Меншіксіз интегралдар

Жоспар

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3
І бөлім. Интегралдау және меншіксіз интеграл ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..5
1.1 Лаплас интегралы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .5
1.2 Екі және үш еселі интегралдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...12
1.3 Айнымалыны ауыстыру тәсілімен интегралдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..17
1.4 Лаплас интегралының көмегімен меншіксіз интегралдарды есептеу ... ...20
ІІ бөлім. Меншіксіз интегралдар және оларды теңдеулерге қолдану ... ...22
2.1 Меншіксіз интегралдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...22
2.2 Квадрат үшмүшелігі бар өрнектерді меншіксіз интегралдау ... ... ... ... ... ..24
2.3 Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулерді меншіксіз интегралдаудың тәсілдері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..252.4 Меншіксіз интегралдардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .29
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..32
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 34

Кіріспе

Алгебралық кеңінен баяндалатын сандар жұйелері мен функциялар, теңсіздіктер сол сияқты көптеген геометриялық тұжырымдарға байланысты мәселелер, проблемалар логикалық жағынан теңдеулер мен теңдеулер жүйелері мен тығыз байланысты болады. Олай болса, теңдеулер мен теңдеулер жүйелерін аталған маңызды мәселелерден мүлде оқшау жалаң қарастыруға болмайды.
Тақырыптың өзектілігі. Математиканы сабағында теңдеулер жүйесін шешудегі интеграл есептердің маңызы зор.
Қазіргі математиканың басқа тарауларда қолданылуы көбінесе математикалық модельдеуге байланысты. Осы ұғымды пайдаланып теңдеулер мен олардың жүйелері математикалық модельдеудегі негізгі құрал ретінде аңықталады.
Сонымен, орта мектепте математикалық білімдер жүйесін оқытуда интеграл есептерді қолдану жөніндегі мәселелерді курс жұмысына лайықты тақырып ретінде таңдау мақсатымен төмендегі дәйектілікке сүйендім, соларды негізге алдым.
Алдымен, интеграл есептер оқушыларды еңбек сүйгіштікке тәрбиелейді. Қарастырылатын мәселерді ең тиімді, ұтымды, пайдалы жақтарынан зерттеуге үйретеді. Атқарылатын жұмыстарға терең, салыстырмалы түрде жан–жақты талдаулар жасай отырып, дұрыс жоспар құруға пәрменді көмегін тигізеді. Орындалған жұмыстардың нәтижелеріне сыншыл көзқараспен қорытындылар жасауға үйретеді. Оқушылардың ойлау жүйесінің, ой қорытындыларының ұтымды логикалық жолымен дамуына кең жол салады. Олай болса, теңдеулер мен теңдеулер жүйелері мектеп математикасын басқа салалары сияқты, оқушылардың ойлау жүйесінің жас жеткіншектерге лайықты дамуына, оларды қоғамға, Отанына пайдалы азамат болып қалыптасуына лайықты пайдасын тигізеді.
Интеграл есептер қолданылатын теңдеулердің дәрежелері бірдей болғанымен, олардың шарттары тиімділікті таңдау тұрғысынан қарағанда өзіндік ерекшеліктері мен оқшаулануы мүмкін.
Курс жұмысының мазмұнын ашуда, әдістемелік мәнін түсіндіруде, теориялық тұжырымдар мен қатар сан-алуан есептер мысалдар оларға сәйкес жаттығулар жүйелері кеңінен қарастырылады. Олар өз кезегінде класта шешілетін, үйде орындалатын және қысқаша бақылау жұмыстары үшін қолданылады.

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі:
1. Е.А. Волков «Численные методы», М.Наука,1982.-248с.
2. М.Г.Калиткин «Численные методы», М.:Наука,1978.-512с.
3. Г.И.Марчук «Методы вычислительной математики» , М.:Наука,1980.-535с.
4. А.А.Самарский «Тероия разностных схем», М.:Наука,1977.-656с.
5. Ө.М.Султанғазин,С.А.Атанбаев Есептеу әдістерінің қысқаша теориясы.Оқу құралы.Алматы,Білім,1995.-272б.
6. С.А.Атанбаев Алгебраның есепте әдістері / Оқу құралы/.Алматы,Республика баспа кабинеті,1994.-115б.
7. Е.Ы.Бидайбеков «Лабораторные работы по вычислительной математике» , А,1989
8. А.А.Самарский,Н.В.Гулина «Численные методы», М.Наука,1989.-429с
9. А.А.Самарский « Введение в численные методы», М.Наука,1987.-248с.
10. В.И.Киреев,А.В.Пантелеев «численные методы в примерах изадачах», М.: «Высшая математика»,2004.-480с.
11. А.И.Плисс,Н.А.Сливина «Лабораторный практикум по вычислительной математике», М.,1994.-240с.
12. А.А.Самарский,Н.В.Гулина «Численные методы», М.Наука,1989.-429с.
13. Н.И. Данилина «Численные методы», М.:ВШ,1976.-368с.
14. А.А.Самарский « Введение в численные методы», М.Наука,1987.-248с
15. Г.И.Марчук «Методы вычислительной математики» , М.:Наука,1980.-535с.
16. А.А.Самарский «Тероия разностных схем», М.:Наука,1977.-656с.
17. Ө.М.Султанғазин,С.А.Атанбаев Есептеу әдістерінің қысқаша теориясы.Оқу құралы.Алматы,Білім,1995.-272б.
18. С.А.Атанбаев Сандық әдістері алгоритмі / Оқу құралы/.Алматы,Уиверситет Каинар,1998.-148б.
19. Е.Ы.Бидайбеков «Лабораторные работы по вычислительной математике» , А,1989
20. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков «Численные методы» М.:Лаборатория базавых знаний, 2002.-632с
21. Е.А. Волков «Численные методы», М.Наука,1982.-248с.
22. В.И.Киреев,А.В.Пантелеев «численные методы в примерах и задачах», М.: «Высшая математика»,2004.-480с.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 31 бет
Таңдаулыға:

Жоспар

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3
І бөлім. Интегралдау және меншіксіз
интеграл ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...5
1.1 Лаплас
интегралы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ..5
1.2 Екі және үш еселі
интегралдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ..12
1.3 Айнымалыны ауыстыру тәсілімен интегралдау
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...17
1.4 Лаплас интегралының көмегімен меншіксіз интегралдарды есептеу ... ...20
ІІ бөлім. Меншіксіз интегралдар және оларды теңдеулерге қолдану ... ...22
2.1 Меншіксіз
интегралдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ..22
2.2 Квадрат үшмүшелігі бар өрнектерді меншіксіз
интегралдау ... ... ... ... ... ..24
2.3 Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулерді меншіксіз интегралдаудың
тәсілдері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 252.4 Меншіксіз
интегралдардың
қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... 29
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 32
Пайдаланылған әдебиеттер
тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .34

Кіріспе

Алгебралық кеңінен баяндалатын сандар жұйелері мен функциялар,
теңсіздіктер сол сияқты көптеген геометриялық тұжырымдарға байланысты
мәселелер, проблемалар логикалық жағынан теңдеулер мен теңдеулер жүйелері
мен тығыз байланысты болады. Олай болса, теңдеулер мен теңдеулер жүйелерін
аталған маңызды мәселелерден мүлде оқшау жалаң қарастыруға болмайды.
Тақырыптың өзектілігі. Математиканы сабағында теңдеулер жүйесін
шешудегі интеграл есептердің маңызы зор.
Қазіргі математиканың басқа тарауларда қолданылуы көбінесе
математикалық модельдеуге байланысты. Осы ұғымды пайдаланып теңдеулер мен
олардың жүйелері математикалық модельдеудегі негізгі құрал ретінде
аңықталады.
Сонымен, орта мектепте математикалық білімдер жүйесін оқытуда интеграл
есептерді қолдану жөніндегі мәселелерді курс жұмысына лайықты тақырып
ретінде таңдау мақсатымен төмендегі дәйектілікке сүйендім, соларды негізге
алдым.
Алдымен, интеграл есептер оқушыларды еңбек сүйгіштікке тәрбиелейді.
Қарастырылатын мәселерді ең тиімді, ұтымды, пайдалы жақтарынан зерттеуге
үйретеді. Атқарылатын жұмыстарға терең, салыстырмалы түрде жан–жақты
талдаулар жасай отырып, дұрыс жоспар құруға пәрменді көмегін тигізеді.
Орындалған жұмыстардың нәтижелеріне сыншыл көзқараспен қорытындылар жасауға
үйретеді. Оқушылардың ойлау жүйесінің, ой қорытындыларының ұтымды логикалық
жолымен дамуына кең жол салады. Олай болса, теңдеулер мен теңдеулер
жүйелері мектеп математикасын басқа салалары сияқты, оқушылардың ойлау
жүйесінің жас жеткіншектерге лайықты дамуына, оларды қоғамға, Отанына
пайдалы азамат болып қалыптасуына лайықты пайдасын тигізеді.
Интеграл есептер қолданылатын теңдеулердің дәрежелері бірдей
болғанымен, олардың шарттары тиімділікті таңдау тұрғысынан қарағанда
өзіндік ерекшеліктері мен оқшаулануы мүмкін.
Курс жұмысының мазмұнын ашуда, әдістемелік мәнін түсіндіруде, теориялық
тұжырымдар мен қатар сан-алуан есептер мысалдар оларға сәйкес жаттығулар
жүйелері кеңінен қарастырылады. Олар өз кезегінде класта шешілетін, үйде
орындалатын және қысқаша бақылау жұмыстары үшін қолданылады.
Осыған байланысты, теориялық материалдарды оқушылардың саналарына
қалыптастырудағы жаттығулар жүйелерінің логикалық реттеуіне үлкен маңыз
береміз. Сонымен бірге, теңдеулер мен теңдеулер жүйелеріне байланысты жеке
тұжырымдарды оқшаулардың өздігінен түсінуіне, баяндай білуіне ерекше мән
берілді. Сөйтіп, біз оқушылардың математикалық ойлау жүйесінің дамуына
көңіл бөліп отырдық. Онсыз оқушылар санасында математикалық білімдер
жүйесін қалыптастыруға, дұрыс практикалық шешімдер қабылдауға болмайды.
Курстық жұмыстың мақсаты: меншіксіз интегралдарға математикалық
тұрғыдан жалпы сипаттама беру.
Курстық жұмыстың міндеттері:
- әртүрлі теңдеулерді шешудегі интеграл есептердің ролін анықтау;

- меншіксіз интегралдар мен олардың қолданылуына сипаттама беру;

- меншіксіз интегралдардың басқа интегралдармен сабақтастығын
айқындау.

Курстық жұмыстың зерттеу нысаны: математикадағы интеграл есептер.
Зерттеу пәні: математика.
Орта мектепте математикалық білімдер жүйесін оқытуда интеграл есептерді
қолдану тақырыбы бойынша жазылған курс жұмысы логикалық жағынан сабақтас
екі бөлімнен, қорытындыдан және әдебиеттер тізімінен тұрады.
І бөлім. Интегралдау және меншіксіз интеграл

1.1 Лаплас интегралы

Нақты айнымалы t-ның функциясы үшін мына шарттар орындалсын:
1) Айнымалы t-ның мәндерінде функция мәні болсын;
2) Нақты айнымалы t-ның функциясы барлық мәндерінде
үздіксіз болсын.
Үздіксіздік шарты тек бірінші текті үзіліс нүктелерінде ғана орындалмасын
және ондай нүктелер саны шектеулі болсын;
3) Берілген функциясының өсу дәрежесі шектеулі болсын,
яғни барлық мәндерінде теңсіздігі орындалатындай және
сандары табылсын. Осы шартты қанағаттандыратын сандарының ең
кішісі функциясының өсу көрсеткіші деп аталады.
Осы (1)-(3) шарттарды қанағаттандыратын функциясы түпнұсқа деп
аталады.
Автоматты жүйелердегі құбылыстарды сипаттағанда кездесетін көптеген
функциялар түпнұсқа болады. Мысалы, Хевисайдтың бірлік функциясы деп
аталатын функциясы, функциялары
түпнұсқа болады. Бұл функциялардың бірлік баспалдақты функция түріндегі
көбейткіштерінің бар болуы түпнұсқаның (1) шартының орындалуын қамтамасыз
етеді. Оны физикалық тұрғыдан түсіндірудің ешқандай қиындығы жоқ. Шынында
да, автоматты жүйелердегі құбылыстар қандай да бір белгілі уақыт кезеңінен
басталады.
Осы уақытты алғашқы уақыт кезеңі ретінде алуға болады. Сонда
t болғанда f(t)=0 болады да түпнұсқаның (1) шарты орындалады.
Ал (2) және (3) шарттар автоматты жүйелерді сипаттайтын көптеген f(t)
функциялары үшін орындалады.
Егер осы (1)-(3) шарттардың ең болмағанда біреуі орындалмаса, онда
f(t) функциясы түпнұсқа болмайды. Мысалы, функциялары түпнұсқа
болмайды.Бұл функциялар үшін (3) шарт орындалмайды.
Түпнұсқаның (3) шартын қанағаттандыратын функциялардың мысалын
келтірейік:
а) Барлық шектелген функциялар; мұндай функциялар үшін өсу көрсеткіші
өйткені
б) Барлық түріндегі дәрежелік функциялар. Бұлар үшін
болады. Шынында да

өйткені -тің модулі көрсеткіштік функциясына қарағанда баяу
өседі.
Мұндағы -қаншалықты болса да аз оң сан.
Осыдан функциясының аралығында шектелген функция екендігі
көрінеді. Басқаша айтқанда, барлық мәндері үшін , немесе
теңсіздігі орындалады.
Мұндағы А-кез-келген оң сан, -қаншалықты болса да аз оң сан.
Сондықтан функциясының өсу көрсеткіші болады.
Егер болса, онда үзіліс нүктесі болады да функциясы
түпнұсқаның (3) шартын қанағаттандырмайды.
Жоғарыдағы

(1)

теңдігімен анықталған комплекс айнымалының функциясы
функциясының Лаплас бойынша бейнесі деп аталады. Осы (1) теңдіктің оң
жағындағы интеграл Лаплас интегралы деп аталады. Анықтама бойынша бұл
меншіксіз интеграл мынаған тең:

(2)

Мұндағы оңжақтық шекке көшу амалын көрсетеді. Лаплас
интегралының көмегімен функциясы мен оның бейнесі арасында
сәйкестік орнатылады.
Берілген функциясы бойынша оның бейнесін табу амалы Лаплас
түрлендіруі деп аталады. Ол былай белгіленеді:
Егер функцияға бейнесі сәйкес келсе, ол сәйкестік әдетте былай
жазылады: немесе .
Егер (2) теңдіктің оң жағындағы шек бар болатын болса, онда Лаплас
интегралы жинақталады.

Енді Лаплас бойынша қандай функцияларын түрлендіруге болатынын
қарастырайық.

Теорема 1.1
Егер функциясы түпнұсқа болса, онда оны Лаплас бойынша
түрлендіруге болады және оның бейнесі жарты жазықтығында
анықталған.
Мұндағы деп функциясының өсу көрсеткішін ұғамыз.
Теореманы дәлелдеу үшін р комплекс айнымалысының жазықтығының
теңсіздігі орындалатын бөлігінде (1) теңдіктің оң жағындағы интеграл
жинақталатындығын көрсетсек жеткілікті.
Түпнұсқаның (3) шартын пайдаланып мынадай теңсіздіктер аламыз:

Ал болғандықтан

(3)

Мұндағы болғандықтан, болса, Лаплас интегралы
жинақталады. Сонымен, функциясы түпнұсқа болса, онда оны Лаплас
бойынша түрлендіруге болады. Оның бейнесі р комплекс айнымалысы
жазықтығының жорымал оске параллель және одан қашықтықта өтетін
түзуден оңға қарай бөлігінде анықталған.

0 С

1-сурет

Осы теоремадан бейнесінің мынадай қасиетін алуға болады.

Егер (3) теңсіздікте шексіздікке ұмтылса, онда Лаплас нтегралының
модулі нолге ұмтылады.

Осыдан функциясы бейне болса, онда

(4)

болатындығы шығады.

түпнұсқаның бейнесі шарты орындалатын жарты
жазықтықта аналитикалық функция болады.

Мұндағы -түпнұсқаның өсу көрсеткіші.

Анықтама

Мына

болса,

шартымен анықталған функциясы Хевисайдтың бірлік функциясы деп
аталады.
Осы функциясы түпнұсқа болады. Оның өсу көрсеткіші . Бұл
функцияның мәні болғанда анықталмаған, өйткені Лаплас интегралын
есептегенде функциясының болғанда қандай мән қабылдайтыны
ескерілмейді.
Дегенмен де, нүктесіндегі мәні үшін әдетте
мәндерін алады.

1

t
0
2-сурет

Берілген функциясы - аралықта анықталсын және түпнұсқаның (2),
(3) шарттарын қанағаттандырсын. Ал болғанда шарты орындалсын.
Егер функциясын қарастырсақ, яғни

болса, (6)
онда функциясы түпнұсқа болады. Мұндағы көбейткіші түпнұсқаның
(1) шартының орындалуын қамтамасыз етеді. Сондықтан, алдағы уақытта
функциясының Лаплас түрлендіруінде функциясы берілген деп есептеп,
оның орнына қысқаша деп жазамыз.
Енді кейбір функциялардың бейнесін анықтама бойынша табу мысалдарын
келтірейік.

1 мысал

функциясының бейнесін табу керек. Мұндағы (нақты немесе
комплекс сан).

Шешуі

Анықтама бойынша

Егер деп алсақ, онда Сондықтан, егер болса, онда
болады. Нәтижесінде мынадай сәйкестік аламыз:

Дербес жағдайда

2 мысал

функциясының бейнесін табу керек.
Мұндағы (нақты немесе комплекс сан).

Шешуі

Егер болса, онда функциясының өсу көрсеткіші егер
болса, онда функциясы шектелген болады да мәнін аламыз.
Берілген функцияның Лаплас түрлендіруін жазайық:

Мұндағы ал болсын. Олай болса теңдігін аламыз. Осыдан,
егер болса, онда мәні шығады.
Нәтижесінде

сәйкестігін аламыз.

Дербес жағдайда

(10)

(11)

Мұндағы ω-кез-келген комплекс сан.

3 мысал

функциясының бейнесін табу керек.

Шешуі

болғандықтан, функциясының өсу көрсеткіші

Берілген функцияның Лаплас түрлендіруін табайық

Егер болса, онда

теңсіздігі алынады.

(Мұнда )

Сонда егер болса, онда аламыз.

Сондықтан

4 мысал

f(t)=cost функциясының бейнесін табу керек.

Шешуі

cost 1 болғандықтан cost функциясының өсу көрсеткіші
с=0.

Бұл функцияның Лаплас түрлендіруін жазамыз:

Жақшаның ішіндегі функцияның шегі жоғарыда көрсетілгендей нолге ұмтылады.
Сондықтан

1.2 Екі және үш еселі интегралдар

Бізге Оху жазықтығының тұйық D аймағында оң таңбалы, үзіліссіз
функциясы берілген.
Есеп: Жасаушылары Оху жазықтығына перпендикуляр жоғарғы жағынан
бетімен, төменгі жағынан D аймағымен шенелген цилиндрлік дененің көлемін
табу керек. Бұл денені цилиндроид деп атайды. Мұның көлемін табу үшін, оның
табаны D –ны бөліктерге бөлшектеп, әрқайсысынан бір нүкте
таңдайық. Сонда жуық шамамен цилиндрдің і – ші бөлігінің көлемін
береді (2-сурет).

3-сурет
Демек интегралдық қосынды, жуық шамамен бүтін цилиндрдің көлемі.
Егер , қосынды Vn шегін табатын болсақ, онда цилиндроидтың көлемі
шығады.

(8.1)

Осы шекті D аймағы бойынша функциясынан алынған екі еселі
интеграл деп атайды.
Екі еселі интегралдың негізгі қасиеттері:

1)

2)

3) Егер D=D1(D2 D=D1(D2(( болса, онда

4) Егер D аймағында, , онда

5) Егер D аймағында, теңсіздігі орындалса, онда

Интегралдау аймағы D мына сызықтармен шенелген болсын.
Мұндағы сегментінде бірмәнді, үзіліссіз функциялар. Осы шарттар
орындалған жағдайда:

(8.2)

Бұл формуланың оң жағындағы интегралды қайталама интеграл деп атайды.
Егер D аймағы , сызықтармен шенелген болса, онда

(8.3)

Бұл интегралдардың біреуін екіншісімен ауыстыруға болады.

Мысал 1 Интегралдау ретін өзгертіңіз.

Шешуі D аймағы , осыдан

.

Мысал 2 Интегралдау ретін өзгертіңіз.

Шешуі D=D1+D2 болғандықтан (3-сурет),

4-сурет

Екі еселі интеграл қарастырайық. функциясы шенелген тұйық D
аймағында үзіліссіз.

(8.4)

формулалары арқылы жаңа және аргументтеріне көшіп (8.4)
теңдеулер жүйесінен деп есептеп,

(8.5)

функциялары анықталады. нүктесіне координаттар жазықтығында
нүктесі сәйкес келеді. Онда (8.4) формуласындағы функциялардың дербес
туындылары бар болады да, мына анықтауыш

,
сонда

(8.6)

теңдігі орындалады. -ны функцияларының Якобинаны деп
атайды. ( – (8.4) түрлендіруіндегі D-ның бейнесі.
Егер (8.4) формуладан полярлық координаталарға көшетін болсақ, яғни

(8.7)

деп алсақ, онда, (8.7) алмастыруының Якобианы

екенін ескеріп,

(8.8)

теңдігіне келеміз.
Мысал 3 , D - бірінші квадрантта жататын дөңгелегінің
бөлігі . Осы интегралды есептеу керек.

Шешуі формулаларынан

; .

Сондықтан,

.

Мысал 4 интегралын есепте, егер D: түзулерімен
шенелген аймақ болса.
Шешуі Айталық, болсын, онда , . Ал түрлендіру
Якобианы

.

Сондықтан,

,

.

1.3 Айнымалыны ауыстыру тәсілімен интегралдау

- анықталмаған интегралын қарастырамыз, мұндағы
кесіндісінде үзіліссіз функция. Интеграл астындағы функция күрделі болып,
яғни интегралдау қиындық келтіреді, сондықтан айнымалыны ауыстыру ыңғайлы
болады, яғни делік, мұндағы алынатын интегралды кестелік
интегралға жеңіл тәсілмен келетіндей таңдап алынады.

Теорема. Егер интегралында (мен - үзіліссіз
функциялар) ауыстыруын алсақ, онда

(3)

формуласы орындалады, яғни жаңа интегралын аламыз, ал ол кестелік
интегралға оңай келуі мүмкін.

Дәлелдеу. Сол жағын бойынша, оң жағын бойынша күрделі функция
ретінде дифференциалдаймыз:

;

Оң бөлігі мен сол бөлігінің теңдігі теореманың дұрыстығын дәлелдейді.

Практикалық тәсіл:

=.

Алғашқы функцияны тапқаннан кейін ескі айнымалыға қайта ауыстырамыз.

Мысалдар.

1)

,

2),

(t-1) –ге бөлу арқылы жеңіл интегралданады.

=

Негізгі интегралдар кестесі

, k(-1; ;

; ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.