Симплекс әдісі

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 5 бет
Таңдаулыға:

2. 4 Симплекс әдісі

Алғашқы жоспар құру. СБ есебі қойылған болсын.

Төмендегі функцияның барынша аз мәнін табу қажет.

$F = C_{1}X_{1} + C_{2}X_{2} + . . . + C_{n}X_{n}$ (1. 1)

мына шектеулерде

$\left\{ \begin{array}{r} a_{11}\ x_{1} + a_{12}x_{2} + . . . + a_{1n}x_{n} = B_{1} \\ \begin{array}{r} a_{21}\ x_{1} + a_{22}x_{2} + . . . + a_{2n}x_{n} = B_{2} \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots. . \\ a_{m1}\ x_{1} + a_{m2}x_{2} + . . . + a_{mn}x_{n3} = B_{m} \end{array} \end{array} \right. \$ (1. 2)

мұнда,

$x_{j} = 0, \ (i = 1, 2, \ldots, \ m) .$ (1. 3)

Шектеу жүйесінің m бірлік векторлары болсын деп ұйғарсақ, онда ол алғашқы m векторлар болады. Осыдан (1. 1) -(1. 3) есепті алғашқы m векторларға сәйкес түрлендіріп жазамыз:

$F = C_{1}X_{1} + C_{2}X_{2} + . . . + C_{n}X_{n},$ (1. 4)

мына шектеулерде

$\left\{ \begin{array}{r} x_{1} + a_{1, \ m + 1}^{1}x_{m + 1} + a_{1, \ \ m + 2}^{1}x_{m + 2} + . . . + a_{1n}^{1}x_{n} = B_{1}^{1} \\ \begin{array}{r} x_{2} + a_{2, \ m + 1}^{1}x_{m + 1} + a_{2, \ \ m + 2}^{1}x_{m + 2} + . . . + a_{2n}^{1}x_{n} = B_{2}^{1} \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots. . \\ x_{m} + a_{m, \ m + 1}^{1}x_{m + 1} + a_{m, \ \ m + 2}^{1}x_{m + 2} + . . . + a_{mn}^{1}x_{n} = B_{m}^{1} \end{array} \end{array} \right. \$ (1. 5)

$x_{j} = 0, \ (j = 1, 2, \ldots, \ n) .$ (1. 6)

Жүйені (1. 5) векторлық формада жазамыз:

$x_{1}A_{1} + x_{2}A_{2} + . . . + x_{m}A_{m} + x_{m + 1}A_{m + 1} + . . . x_{n}A_{n} = B$ (1. 7)

$A_{1} = \left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ \ldots \\ 0 \end{array} \right), \ A_{2} = \left( \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ \ldots \\ 0 \end{array} \right), \ldots\, \ A_{m} = \left( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ \ldots \\ 1 \end{array} \right), \ A_{m + 1} = \left( \begin{array}{r} a_{1. m + 1}^{1} \\ a_{2. m + 1}^{1} \\ \ldots \\ a_{m. m + 1}^{1} \end{array} \right), \ldots\,$

$A_{n} = \left( \begin{array}{r} a_{1. n}^{1} \\ a_{2. n}^{1} \\ \ldots \\ a_{m. n}^{1} \end{array} \right), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B = \left( \begin{array}{r} B_{1}^{1} \\ b_{2}^{1} \\ \ldots \\ b_{m}^{1} \end{array} \right)$

$A_{1}{, A}_{2, \ldots, }A_{m}$ векторлар - m өлшемді кеңістіктің сызықтық тәуелсіз бірлік векторлары. Сондықтан (1. 7) өрнекте базистік айнымалылар ретінде $x_{1}{, x}_{2, \ldots, }x_{m}$ . Ал еркін айнымалылар ретінде $x_{m + 1}{, x}_{m + 2, \ldots, }x_{n}$ таңдаймыз, оларды нөлге теңестіріп, базистік айнымалыларды анықтаймыз. Мұнда $B_{i}$ >=0 (і= 1, 2, …, m), ал $A_{1}{, A}_{2, \ldots, }A_{m}$ бірлік векторлар екенін ескерсек, онда алғашқы жоспарды аламыз:

$X_{0} = (x_{1} = b_{1}; \ \ x_{2} = b_{2; \ } . . . x_{m} = b_{m}; {\ x}_{m + 1} = 0; . . . x_{n} = 0$ (1. 8)

Жоғарыдағы (1. 7) -ден (1. 8) жоспарды ескерсек, төмендегі жіктеу шығады:

$x_{1}A_{1} + x_{2}A_{2} + . . . + x_{m}A_{m} = B,$ (1. 9)

мұнда $A_{1}{, A}_{2, \ldots, }A_{m}$ векторлар сызықтық тәуелсіз, демек, құрылған жоспар базис болып табылады.

1 - анықтама. Еркін белгісіздердің нөл мағыналарына сәйкес келетін шектеулер жүйесінің (1. 2) шешімі базистік деп аталады.

Бастапқы негізге алынатын жоспарға (1. 9) сүйене отырып, екінші негізге алынатын жоспарды қалай құруға болатынын қарастырамыз. Базиске кірмейтін кейбір вектор үшін, мысалы $A_{m + 1}$ , жіктеудегі $X_{i, m + 1}$ коэффициенттердің ең болмағанда біреуі оң болады деп ұйғарамыз.

$x_{1, m + 1}A_{1} + x_{2, m + 1}A_{2} + . . . x_{m, \ m + 1}A_{m} = A_{m + 1}$

Жүйенің оң жағы В бөлікті осы айнымалының оң коэффициенттеріне, яғни $В_{і}/а_{im + 1}$ бөлеміз. Сөйтіп, $x_{m + 1}$ векторы жоспар немесе жаңа базис болып табылады. Есептің m-нен асатын базисі болмайды, сондықтан қазіргі бар базистің біреуін алып тастаймыз. Ол үшін Q=min( $В_{і}/а_{im + 1})$ таңдаймыз. Осы ең кіші мәні бірінші жолда тұрсын, яғни $Q_{1}$ =min( $В_{і}/а_{im + 1})$ . Сонда жаңа базистік шешім аламыз $X = (x_{2}, x_{3}, . . . , x_{m}, x_{m + 1})$ . Бұл базистен $x_{1}$ алып тастау, ал базиске $x_{m + 1}$ енгізу қажет екенін білдіреді. Демек, негізге алынатын жаңа оның орнына базиске енгізілетін айнымалының векторын таңдау қажет.

Оңтайлылық талаптары. СБ есебінің базистік шешімі бар деп ұйғарамыз. Бұл жағдайда есептің математикалық формасы төмендегідей болады:

$x_{1}A_{1} + x_{2}A_{2} + . . . + x_{m}A_{m} = B,$ (1. 10)

$x_{1}C_{1} + x_{2}C_{2} + . . . + x_{m}C_{m} = F,$ (1. 11)

Мұнда барлық $x_{j}$ >=0, j= 1, 2, …, n, ал F - осы жоспарға сәйкес келетін функцияның мәні. Егер сызықтық функциядағы $C_{j}$ коэффициенті $A_{j}$ векторға сәйкес келсе, онда $F_{j} - C_{j}$ оңтайлылық өлшемі немесе сызықтық функцияның бағасы деп аталады.

Оңтайлылық өлшемі бағдарламадан шығарылатын қызметтің құнының сомасына тең болады, лдан жоспарға енгізілетін өнімнің бірлігінен түсетін кіріс алынып тасталады. $F_{j}$ - мақсат функцияссының коэффициенттерін шектеулердегі айнымалылардың коэффициенттеріне көбейтіндісінің қосындысына, яғни,

$F_{j} = \ \sum_{i\epsilon 1}^{}{c_{j}\ }a_{ij}$

$c_{j}$ - мақсат функциясының белгісіздер коэффициенттері.

Төмендегі теоремалар орын алады.

1 - теорема. Егер кейбір $A_{j}$ векторы үшін төмендегі талап орындалса,

$F_{j}{- C}_{j} > = 0$ ,

онда $Х_{0}$ жоспары функцияның максимумы үшін оңтайлы юолып табылады.

2 - теорема. Егер кейбір $A_{j}$ векторы үшін төмендегі талап орындалса,

$F_{j}{- C}_{j} < = 0$

онда $Х_{0}\$ жоспары функцияның минимумы үшін оңтайлы болып табылады.

Демек, сызықтық функцияның максимумына сәйкес есептің жоспары оңтайлы болу үшін оның бағалары оң болуы қажетті әрі жеткілікті болады. Ал функцияның минимумы үшін оның бағалары теріс болуы қажетті әрі жеткілікті болады.

Сөйтіп, мәселені симплекс әдіспен шешу мына сызба бойынша жүргізіледі:

базистік шешім құрылады;
осы шарт шешім оңтайлылық шартына тексеріледі;
егер шарт орындалмаса, онда келесі базистік шешім құрылады да екінші тармаққа көшеді;
оңтайлылық талабы орындалғанға дейін есептеулер қайталанады.

Осы әдіспен есептеулер қайталана отырып, іріктеу нәтижесінде ең жақсы, яғни оңтайлы шешім табуға болатыны дәлелденген.

Симплекс әдістің кестедегі алгоритмін қарастырайық. Есепті максимумға қарастырамыз.

Симплекс - кесте

№

Базис

Оң жағы,

$B_{і}$

Айнымалылар

x_{1}

x_{2}\ldots

x_{m}\ \ \ \ x_{m + 1}\ \ \ \ x_{m + 2}\ . . . \ \ x_{n}

№: 1

Базис:

x_{m + 1}

Оң жағы,BіB_{і}:

B_{1}

Айнымалылар:

a_{11}

{\ a}_{12}\ \ \ \ a_{1m}\ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ . . . \ \ 0

№: 2

Базис:

x_{m + 2}

Оң жағы,BіB_{і}:

B_{2}

Айнымалылар:

a_{21}

{\ a}_{22}\ \ \ \ a_{2m}\ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ . . . \ \ 0

№: . . .

Базис: …

Оң жағы,BіB_{і}: …

Айнымалылар: … … … … … … …

№: m

Базис:

x_{m + n}

Оң жағы,BіB_{і}:

B_{m}

Айнымалылар:

a_{m1}

{\ a}_{m2}\ \ a_{mn}\ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ldots\ \ \ . . . \ \ 1

№: m+1

Базис:

F_{j} - C_{j}

Оң жағы,BіB_{і}: 0

Айнымалылар:

c_{1}

\ \ \ \ \ c_{2}\ \ \ \ {\ \ c}_{m}\ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ . . . \ \ 0

Алғашқы базистік жоспарды құру.

Симплекс әдіспен шешілетін есептің шектеулер жүйесі <= таңбасымен теңсіздіктер жүйесінде берілген, оның оң жағы $b_{i} > = 0.$ Теңсіздіктер жүйесіне оң қосымша айнымалылар енгізу арқылы теңдеулер жүйесіне көшеміз. Осы айнымалылардың баған векторлары бірлік векторлар болып табылады және базис құрайды, сонымен бірге оларға сәйкес келетін айнымалылар базистік деп аталады: