Қолданбалы курс Тамаша теңсіздіктер

І тарау. Теңсіздіктер.

Сандық теңсіздіктер және олардың қасиеттері
Орташа шамалар үшін алгебралық теңсіздіктер
Есептер шығару
Геометриялық теңсіздіктер
Есептер шығару

ІІ тарау. Теңсіздіктерді дәлелдеу әдістер

Анықтама бойынша дәлелдеу
Ақиқат теңсіздікке сүйеніп дәлелдеу
Талдау арқылы дәлелдеу
Кері жору арқылы дәлелдеу
Теңсіздіктерді күшейту әдісімен дәлелдеу
Квадраттық үшмүшенің дискриминанты бойынша дәлелдеу
Математикалық индукция әдісімен дәлелдеу

ІІІ тарау. Теңсіздіктердің қолданылуы.

Кейбір күрделі теңсіздіктерді дәлелдеуде Коши теңсіздігінің қолданылуы
Алгебралық есептерді векторлық теңсіздіктерді қолданып шешу
Теңсіздіктердің көмегімен стандарт емес есептерді шығару
Қорытынды

І. Теңсіздіктер.
1- сабақ. Сандық теңсіздіктер және олардың қасиеттері
Сабақтың мақсаты: Сандық теңсіздік, бірдей мағыналы, қарама-қарсы мағыналы теңсіздік, қатаң, қатаң емес теңсіздік ұғымдарын білу.
«Үлкен» не «кіші» таңбасымен жалғастырылған өрнекті теңсіздік деп атайды. Мысалы, -4< - 2; (b-c) 2+1>0. Тек сандардан ғана тұратын теңсіздік сандық теңсіздік деп аталады. Сандық теңсіздіктер сандардың реттелген жиынында ғана орындалады. Көбінесе алгебралық теңсіздіктерді ғана қарастырамыз.
a > b, c > d – бірдей мағыналы және a > b, c < d қарама-қарсы мағыналы теңсіздіктер деп аталады.
a > b, c > d – қатаң теңсіздік, a ≤ b, c ≥ d – қатаң емес теңсіздіктер деп аталады.
Анықтама.Егер a және b сандарының айырымы оң сан болса, онда a > b болады. Егер a және b сандарының айырымы теріс болса, онда a < b болады. бо
1-теорема. Егер теңсіздіктің екі жағында бір оң санға көбейтсе (не бөлсе ), одан шығатын теңсіздік бастапқы теңсіздікпен мағыналас болады.
Дәлелдеу: a > b болсын, анықтама бойынша a –b >0, n >0 саны берілсін, (a – b) • n = na – nb > 0, бұдан na > nb, дәлелдеу керегі осы.
2 – теорема. Егер теңсіздіктің екі жағында бір теріс санға көбейтсе (не бөлсе), одан шығатын теңсіздік бастапқы теңсіздікпен қарама-қарсы мағыналас болады.
Дәлелдеу: a < b, n < 0 болсын, a –b < 0, анықтама бойынша. na – nb > 0, бұдан na > nb.
Теңсіздіктің қасиеттері:
1. Егер a > b, онда b < a болады.
2. a > b, b > c болса, онда a > c.
3.a > b, a +c > b +c, с –кез келген нақты сан.
4. a >b, c > d, a + c > b + d.
5. a > b, c < d, a –c > b – d.
6. a > b, c > d, a – d > b – c.
7. a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, a > b, c > d, ac > bd.
8. a > b, a > 0, b > 0, n € N, an > bn.
Теңсіздіктердің айтылған қасиеттерін пайдаланып, таңбалас теңсіздіктерді қосуға және көбейтуге болады.
3,4-сабақтар. Орташа шамалар үшін алгебралық теңсіздіктер.
Көп жағдайда теңсіздіктерді дәлелдеу барысында төмендегі үш теңсіздік негіз етіп алынады:
1) кез келген үшбұрышта үлкен қабырғаға қарсы үлкен бұрыш жатады және керісінше;
2) үшбұрыштың сыртқы бұрышы онымен сыбайлас емес ішкі бұрыштардың әрқайсысынан артық болады;
3) егер үшбұрыштың екі қабырғасы екінші бір үшбұрыштың екі қабырғасына тең болып, олардың арасындағы бұрыштары тең болмаса, онда үлкен қабырғаға қарсы үлкен бұрыш қарсы жатады, және керісінше.
1-мысал: Үшбұрыштыың төбесін оған қарсы жатқан қабырғаның кез келген нүктемесімен қосатын кесінді басқа екі қабырғаның ең үлкенінен кіші болады.

Пайдаланылған әдебиеттер:

1.Алгебра, 8-9 сыныптар.
2.Сборник задач по математике. В.Г. Галицкий.
3.Сборник задач по математике. М.Н.Выгодский.
4.Олимпиада есептері. О.Әжіғалиев.
5.Математика және физика журналы, 2003-2005ж.
6.Репетитор журналы, 2001-2003ж.