Теңдеулерді шешудің кейбір ұтымды тәсілдері

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 13 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ

Кіріспе

Теңдеулерді шешудің кейбір ұтымды тәсілдері
КӨРСЕТКІШТІК ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУДІ ҮЙРЕТУ ӘДІСТЕРІ
РАЦИОНАЛ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУДІ ҮЙРЕТУ

Қорытынды

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

Кіріспе

Алгебра (арабша әл-жәбр）－Математиканың теңдеулерді шешу жөніндегі есептерге байланысты дамыған негізгі бөлімдерінің бірі. Алгебра атау және жеке ғылым саласы ретінде Әбу Абдаллаһ әл-Хорезмидің 1-ші, 2-ші дәрежелі теңдеулерге келтірілетін есептердің жалпы шешімі көрсетілген «Әл-жәбр уә-л-Мұқабала» атты еңбегінен бастау алады. Ал, Омар Хайям（1038/48-123/24）- 3-ші дәрежелі теңдеулерді зерттеуді жүйелеп, өзінің «Алгебрасын» жазған. Орта ғасырлық шығыс ғұламалары гректер мен үнділердің математикасын түрлендіріп, қайта өңдеп Еуропаға табыс еткен. Амалдарды белгілейтін таңбалар енгізу нәтижесінде алгебра одан әрі дамыды. 17-ғасырдың ортасында қазіргі алгебрада қолданылатын таңбалар, әріптер толық орнықты. Ал 18-ші ғасырдың басында алгебра математиканың жеке бөлімі ретінде қалыптасты. 17-18-шің ғасырларда теңдеулердің жалпы теориясы (көпмүшеліктер алгебрасы, т. б) қарқындап дамыды. Оған сол кездегі ірі ғалымдар - Рене Декарт, Исаак Ньютон, Жан Даламбер мен Жозеф Лагранж үлкен үлес қосты. Неміс математигі Карл Гаусс кез-келген n дәрежелі алгебралық теңдеудің нақты не жорамал n түбірі болатындығын анықтаған (1799) . 19-шы ғасырдың басында норвег математигі Нильс Абель және француз математигі Эварист Галуа дәрежесі 4 тен жоғары болатын теңдеулердің шешуін алгебралық амалдар көмегімен теңдеудің коэффиценті арқылы өрнектеуге болмайтындығын дәлелдеген.

Математиканың оқу курсы үнемі математика - дамушы ғылым мен математика - оқу пәні арасындағы келіспеушіліктерді жеңіп отыруы тиіс. Ғылымның дамуы математикалық білім берудің мазмұнының үздіксіз жаңаруын, оқу пәнінің ғылыммен ұштастырылуын, мазмұнының қоғамдағы әлеуметтік қажеттіліктерге сай болуын талап етеді. Математиканы оқытудың әдістемесі - бұл математиканы оқытудағы тапсырмалар, мазмұн және әдістер жайлы педогогикалық ғылым. Ол пәннің нәтижелігі мен құндылығын арттыру мақсақсатында математикалық білім беру процесін оқытады және зерттейді. Математиканы оқытудың әдістемесі математиканы қалай беру керек жайлы сұрақты қарастырады.

Математитканы оқыту әдістемесінің мақсаты мектептегі математиканы оқыту жүйесінің негізгі компоненттері мен олардың арасындағы байланысты зерттеу болып табылады. Мұның негізгі компоненттері деп математиканы оқытудың мақсатын, мазмұнын, әдістерін, формалары мен құралдарын түсіну керек.

Математитканы оқыту әдістемесінің пәні өзінің қиындығымен ерекшеленеді. Математитканы оқыту әдістемесінің пәні математикалық білім беру болып табылады. Ол математиканы игерудегі мақсаттар мен мазмұннан, әдістерден, құралдардан және формалардан тұрады.

Математиканы оқыту әдістемесі қазіргі кезде үлкен қиыншылықтарды бастан өткізуде. Бұл ең алдымен мектеп қабырғасындағы математика мен математикалық ғылымды бір-бірімен біріктіру қиынға түскендіктен, сонымен қатар ол философия, математика, логика, психология, биология, кибернетика және өнермен байланыста болатын педогогиканың шекарасы болғандықтан.

Математиканы оқыту әдістемесінің негізгі қызметтері:

Сынып бойынша, сабақ тақырыбы бойынша математиканы оқытудың нақты мақсаттарын анықтау;
Оқу құралының мазмұны мақсаттарға және оқушылардың танымдық қабілеттеріне сәйкес келуін қадағалау;
Қойылған мақсаттардың жүзеге асуына бағытталған сабақ берудегі жаңа ұтымды әдістер мен ұйымдастырушылық формаларды құру;
Оқытуға қажетті құралдарды қарастыру және мұғалімнің жұмыс тәжірибесінде оларды қолдануға арналған көрсеткіштер шығару.

Теңдеулерді шешудің кейбір ұтымды тәсілдері

Математикаға дарындылық жалпы білім беретін орта мектепте жүріп -ақ арнайы дайындықсыз дамуы мүмкін. Мұндай математикалық алтындардың тууы әр заманда әр елде болған. Мысалы, мысалы үнділік белгілі математик С. Рамануджан /1887-1920/ европалық тәрбие атаулының бәріне дұшпандықпен қарайтын жағдайда тәрбиеленген және бала кезінде негізінде ешқандай дерлік математикалық білім алмаған.

Математикалық пәндердің бәрінен бестік баға алу математикалық дарындылықтың бірді -бір көрінісі бола алмайды, кейде ол зейінділік, жұмысқа ұқыптылық, ынта, тіпті жазуы әдемі болудың нәтижелерінен туындауы да мүмкін. Керісінше математикадан орташа бағалар болуы математикадан дарынсыздықтың белгісі деп айтуға болмайды. Мысалы атақты математик М. М. Потинков мектепте алғыр математиктер қатарынан көрінбейтін, оның күнделіктерінде математика пәндерінен /екілік / бағалар да орын алған. Мұғалім өз оқушысының математикалық /дарынын/ дер кезінде байқаған жағдайда да, оған қосымша әдебиет ұсынып, қосымша есептер таңдап алуына дер кезінде көмек жасай алмайтын жағдайлар байқалған. Оған қоса математикалық дарын музкалық дарын сияқты ерте-ақ білінетін кездер де болады. Тіпті ғылым-математиктің дамуы, өсуі дұрыс бағытталса, ғажайып жаңалықтар жастық шақта ашылатын жағдайлар кездеседі. Мысалы француз математигі Э. Галуа /1811-1832/ өзінің қысқаша ғұмырында математиканың әрі қарай дамуына мүмкіндік жасаған ғажайып алгебралық теория туғызып үлгерді.

Үйреншікті математика тілімен айтқанда, олимпиададағы жеңіс келешекті математика обылысында жұмыс істеудіңі жеткілікті шарты болғанмен, қажетті шарты емес. Кезінде математикалық олимпиадан ешқендей орын алмаған көрнекті математиктер көп. Олимпиада уақытының өлшемді болуы, жарыс атмосферасының ауыр болуы секілді келешекті жұмыс жағдайында болмайтын жағдайлар кедергі келтіреді. Бір сөзбен айтқанда сыйлық немесе мақтау қағазын алсам деп емес, олимпиада есептері мен оның шешулеріне қызығушылық, ықылас байқалса сол белгіні басшылыққа алуға болды.

Алайда олимпиада жеңіс математика саласында жұмыс істеудің мүлде қажетті шарты болмаса онда, онда өте бір қажетті шарты бар. Математиканы ойдағдай игеру үшін, өте-мөте ынта қойып, көп жұмыс істеуі тиіс Ең күшті қабілеттің өзі үнемі табандылықпен жұмыс істеудің орынын толтыра алмайды. Маман -математиктің тапқан \теоремасы\ оның жүз сағат тіпті мың сағат жұмысының нәтижесі, математик тек кеңседегі өзінің жұмыс үстелінде ғана емес, ол үйінде де, серуен кезінде де, тіпті кино көріп отырған да немесе тіпті түс көру кезінде де ойға келуге болады. Математика маманы жұмысы табандылықпен және күн сайынғы тыңғылықты жұмыс солай бола тұра ол зор бақыт.

Теңдеулерді және теңдеулер жүйесін шешудің орта мектепте пайдаланатын негізгі тәсілдері ауыстыру мен қосу тәсілдері. Көптеген теңдеулерді әсіресе үшінші немесе оданда жоғарғы дәрежелі теңдеулер мен олардың жүйесін шешуде бұл негізгі тәсілдерді пайдалану соншалықты ұзақ, тауқыметті түрлендіруге соның салдарынан қателіктер көбірек жіберіп алудың себебі болады. Бұл жағдайда соңғы нәтижеге жетудін мүмкіндігі азайуы сөзсіз, тіптен есептің жауабы шықпауы да әбден мүмкін. Егер теңдеулерді шешудің басқа ұтымды тәсілдерін қолдансақ, бұл теңдеулерді шешудің негізгі тәсілдерінен әлдеқайда жеңіл әрі икемді тәсілі болмақ.

Егер теңдеуді рационал теңдеу ретінде әдеттегідей тәсілдермен шешсек. Төртінші дәрежелі күрделі дерлік теңдеуге жетеміз ондай теңдеулерді шешуі оңайлыққа түспейді.

Ал басқаша амал қолдансақ!

Түбір астындағы айнымалысы бар қосылғыштар түбір сыртындағы айнымалысы бар қосышылғыштармен бірдей екенін аңғару қиын емес. Жаңа айнымалы енгізейік. Сонда берілген теңдеу түріне келеді.

Айнымланың бұл мәндері бастапқы теңдеуді қанағаттандратынын тексеру арқылы көз жеткізуге болады.

Бұл теңдеуді де әдеттегі тәсілмен шешу ондай тиімді тәсіл бола алмайды. Одан да жаңа айнымалы енгізсек .

Берілген теңдеу мынадай түрге келеді.

Көбейткішке жіктесек . болады екенін ескерсек болады. Демек бұны бірінші теңдеуге қойсақ ;

3, 5 саны теңдеудің шешімі боламайтынына көз жеткізу қиын емес. Онда теңдеудің шешімін жиынынан қарастырамыз. Бұл жиында болатындықтан. Теңдіктің екі жағын нөлден өзгеше санға яғыни -ге бөлуімузге болады.

жаңа айнымалы енгізуге болады. Бұл жауап теңдедің жалғыз ғана дұрыс жауабы. Теңдеулер мен теңдеулер жүйесін шешуде тағы да бір тиімді тәсілмен танысайық түріндегі теңдеуді шешкенде мына бір тұжырымды дәлелдеусіз пайдалануға болады. Тұжырым: - функциясы бір қалыпты өспелі функция болса теңдеулері пара-пар. Теңдеуді түрлендіріп жазуға болады

функциясын алсақ бұл функция бірқалыпты өспелі екенін аңғару қиын емес. Векторлар скаляр көбейтінді қасиетін пайдаланып теңдеулерді шешу:

Анықтама: Егер векторлары кординаталары арқылы берілген болса олардың скаляр көбейтіндісі сәйкес кординаталарының көбейтіндісінің қосындысына тең.

-скаляр көбейтінді.

олардың модульдары.

теңсіздігі орындалады. Басқаша айтсақ екі вектордың скаляр көбейтіндісі олардың олардың ұзындықтарынаң көбейтіндісінен артық емес.

Егер екі вектор колленар болса теңсіздіктегі теңдік орындалады. Бұл теңсіздіктерді теңдеулер және теңсіздіктерді шешуде тиімді пайдалануға болады. Біз таңдап алған векторлар колленар векторлар болғаны. Онда олардың сәйкес координаталары пропорционал. Ары қарай түрлендірсек.

мына шешімдердің соңғысы теңдеудің анықталу обылысына кірмейтіндіктен шешім бола алмайды. Иррационал теңдеулерді жаңа айнымалы енгізу арқылы шешуге мысал. Теңдеулерден жаңа айнымалы қатысқан теңдеулер жүйесін алуға болады. Алгебралық өрнектің бүтін бөлігін айыру арқылы рациональ теңдеулерді шешу. Бұл функцияның анықталу обылысы болатын барлық нақтылы сандар және өспелі. үздіксіз монотон функция. Басқаша айтқанда аргументтің тең емес мәндеріне қатысты функцияның мәндері де тең болмайды. Функция түзуімен тек бір ғана нүктеде қиылысады. Ал мұндай жағдайда екенін байқау онша қиын емес.

Теңдеулер мен олардың жүйесін шешуде Коши теңсіздігін қолдану.

Коши теңсіздігнің екі жағы тең болатын шартын қолданып кейбір теңдеулер және олардың жүйесін әдеттегі амалдардан әлдеқайда оңай шешуге болады. Ол үшін төмендегі тұжырымды жасайық.

Егер теңдеуі беріліп оның екі жағы шарт орындалатын А саны табылатын болса теңдеудің түбірі теңдеудің де түбірі бола алады егер ондай А саны табылмаса теңдік орындалмайды да теңдеуді шешімі жоқ деп ұйғаруға тура келеді. Түрінде жазып қарасақ теңдеудің сол жақ бөлігі өзара кері нольден үлкен шамаларлың қосындысы болып көрінеді.

теңсіздіктегі теңдік орындалу үшін болуы керек онда болуы керек

болғанда теңдеудің сол жағы 4 тең артық болады Сондай-ақ болғанда ғана теңдеудің оң жағы 4-ке тең болады басқа жағдайда 4-тен кем мәндер қабылдайды. Демек теңдеудің шешімі болады басқа шешім болуы мүмкін емес. Коши теңсіздігін үшін қолдансақ, есептің берілуінен болғандықтан теңсіздік орындалады. Бұны ары қарай түрлендірсек болатындықтын деп табамыз. Теңдеулер жүйесіндегі бірінші теңдеудің сол жағына Коши теңсіздігін қолданып түрлендірсек және теңдеудің берілуін ескерсек

Теңдеулер жүйесіндегі екінші теңдеудің оң жағына Коши теңсіздігін қолдан түрлендірсек және теңдеудің берілуін ескерсек. Жоғарғы екі тұжырымна деп қортындылауға болады. Коши теңсіздігі теңдікке айналуы үшін орындалуы керек. Бұл шешімдерді жүйеге қойып оның шешімдері екеніне көз жеткіземіз. х- айнымалының мүмкін мәндерінің обылысы арлығы.

Теңдеуді түрлендіруді жеңілдету мақсатымен жаңа айнымалы енгізейік.

делік. Онды болады.

Теңдеудің берілуіне қарағанда Коши теңсіздігіндегі теңдік шарты орындалып тұр онды Коши теңсіздігіндегі қосылғыштар өзара тең болып табылады. Ал теңдеудің оң жағына келсек

Бұл теңсіздіктерден теңдеудін сол жағы 2 санынан көп емес ал оң жағы 2 санынан аз есес болатыны көрінеді. Онда олар өзара тең болу үшін 2 тең болып табылады. Оны теңдеудегі айнымалының орнына қойып ақиқатқа көз жеткізүге болды.

Жоғарыда келтірілген теңтеулері шешуде қолданылатын тәсілдер оңай және тиімді екендігіне көз жеткіземіз. Оқушыларға теңдеулерді шешуде тиімді тәсілдердін қолдану арқылы оқушылардың зияткерлік ойлау қабілеті артып және пәнге деген қызығушылығын үстемдей түседі.

КӨРСЕТКІШТІК ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУДІ ҮЙРЕТУ ӘДІСТЕРІ

Кез келген көрсеткіштік теңдеуді тепе-тең түрлендіру арқылы а =в теңдеуіне келтіреміз. Мұндағы а 0, а 1, в-кез келген сан. Осы теңдеуді қарапайым көрсеткіштік теңдеу деп айтады.

Көрсеткіштік функцияның мәні әр уақытта оң сан болғандықтан бұл теңдеудің оң жақ бөлігіндегі в саны да оң болады. Олай болса, в 0 немесе в=0 болса теңдеудің шешімі жоқ, яғни түбірі болмайды.

Енді көрсеткіштік теңдеулерді шешу тәсілдерін қарастырамыз. 1. Көрсеткіштік теңдеудің екі жақ бөлігін де бірдей негізге келтіру.

Мысал. 1) 5х=125, 125=53 2) ( ) х=81 81=

5х=53 ( ) х=3 х=-4

Жауабы: 3 Жауабы:-4

3) 2х -6х-2, 5=16, 16 санын рационал көрсеткішті дәреженің қасиетін қолданып, негізі 2 болатын дәрежеге келтіреміз.

16 =24*2 =24, 5 4) ( ) *( ) =

2х -6х-2, 5=24, 5 ( * ) =

Х2-6х-2, 5=4, 5 ( ) =( ) 3

Х2-6х-2, 5-7=0 х=3

Х=7; -1 Жауабы:3

Жауабы:7; -1.

II. Көрсеткіштік функцияны ортақ көбейткіш ретінде жақшаның алдына шығару.