Математика ұғымы

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 16 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ

Кіріспе

Негізгі бөлім.

Математика ұғымы
Алгебралық өрнектер

2. 1. Анықталмаған теңдеу

2. 2. Алгебралық функция

Қорытынды

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

КІРІСПЕ

«ХХІ ғасырда білімін дамыта алмаған елдің тығырыққа тірелері анық» деп Елбасының халыққа арнаған жолдауында атап көрсетілгендей, ұрпағы білімсіз елдің келешегі де бұлыңғыр екені баршаға аян. Әрбір мемлекет, әрбір ұлт өз өкілінің білімі мен бойындағы ерекше қасиеттері, таланты мен дарындылығы, өзгелерден ерекше табиғи қабілеті арқылы биіктерден көрініп, басқаларға қарғанда оқ бойы озық тұратынымен бағаланады. Өз ұлтының салт-санасы мен ата-бабасынан келе жатқан дәстүрін бойына ана сүтімен, әке қанымен сіңірген әрбір ұрпақ осы заман талабына сай біліммен қаруланса, ел келешегі еңселі, мәртебесі биік, арманы асқақ, елдің мерейі үстем болмақ.

3, 4, 5, 6, 7, сандарының қадір-қасиетін біле отырып, әрбір сан жайлы ой толғанысын тудыру, білімге құштарлықты оятады. 1001 - даңқы шыққан Шехеризада саны. Бұл санның ерекшелігі неде?

Жай сандар туралы не білетінімізді және нелерді білмейтінімізді барынша түсінікті түрде айту. Біз жай сандар туралы элементар арифметикада кездесеміз, олар математиканың басқа бөлімдерінде, негізінен сандар теориясы ме алгебрада маңызды роль атқарады.

Қазақ халқының киелі сандарын оқи отырып, сандар мен олардың сырларын терең ұғындыру арқылы өз бойымызға сіңіріп, әрі қарай дамытамыз. Ал осы киелі сандар жай сандар қатарынан да орын алады. Киелі сандар сияқты жай сандардың да ең маңыздысын, ең қызықтысын қатар қоя отырып, шешілмеген проблемаларды көрсеттік.

Бізді жан - жақтан сандар қоршайды. Олар бізге барлық жерде қажет. Біз сандар арқылы санап қана қоймаймыз, біз олармен санаймыз. Сандарсыз біз уақытты да, күнді де белгілей алмас едік, сандарсыз біз заттарды сатып ала алмаймыз, өзімізде бар нәрсені қайта санай алмаймыз немесе бізге тағы да қанша қажет екені туралы да айта алмаймыз.

Сондықтан сандарды ойлап табу қажет болды. Олардың шығу тарихы өте шытырман және біз қазіргі кезде пайдаланып жүрген қарапайым жүйеге келу үшін адамдарға біршама ұзақ уақыт қажет болды.

Қазір сандар бізге барлық жерде және әрқашан қажет. Біздің әлем сандарсыз қалай болар еді, соны көзіңізге елестетіп көріңізші. .

Математика (грекше: μάθημα - ғылым , білім , оқу ; μαθηματικός - білуге құштарлық ) - әлемнің сандық қатынастары мен кеңістік формалары, оның ішінде құрылымдар, өзгерістер, белгісіздік жөніндегі ғылым. Ол абстрактілендіру және логикалық қорыту, есептеу, санау, өлшеу және физикалық нәрселерді жүйелі түрде орнықтыру, бейнелеу мен өзгерістерді оқыту арқылы көрініс табады. Математиктер жаңа тұжырымдамаларды сипаттайтын осы түсініктерді ретімен таңдалып алынған аксиомалар мен анықтамаларды пайдалана отырып, қорыта зерттейді.

Көне Мысыр әлемдегі ең байырғы мәдениет ошақтарының бірі. Ніл өзенінің екі жағалауына орналасқан бұл ел, біртұтас мемлекет болып біріккен. Ніл өзені әр жылда тасып, жағалаудағы егістік жерлерді шайып кетіп отырған, тасу мезгілі аяқталған соң, тұрғындардың жерін қайта өлшеп бөлу керек болған. Ұзақ жылғы жер өлшеу тәжірибесінің арқасында геометрия ғылымы пайда болған (геометрия - грекше сөз, гео жер, метро өлшеу деген мағына береді) . Патшаларының мазары ретінде, көне мысырлықтар көптеген алып пирамидаларды тұрғызған. Пирамидалардың құрылысына қарай отырып, сол кездегі көне мысырлықтардың геометрия мен астрономияны білгенін аңғаруға болады. Қазіргі кездегі Көне Мысыр математикасы туралы зерттеулер негізінен, сол кездегі монахтар жазуы және руни жазуымен жазып қалдырған екі кітапқа сүйенеді [1] : бірі Лондонда (1858 жылы ағылшын жинаушысы Райнд тауып, өз меншігіне алған, сондықтан көбінесе Райнд папирусы деп аталады, ол папирус 1700 жылға жатады, бұл Мәскеу папирусына қарағанда үлкенірек) . Енді бірі Москвада сақтаулы, «Мәскеу папирусы» деп аталады. Папирус - қамыс текті өсімдік Мысырда, Ніл өзенінің жағалауында өседі. Оның өзегін тілімдеп алып, тілімдерді қатарластыра орналастырады. Олардың үстіне көлденең осындай тілімдердің екінші қабатын салады. Қысқышпен екі қабатты біріктіріп жаныштағанда, тілімдерден шығатын желім сияқты шырын, қабаттарды тұтастырып қағаз түріне келтіреді. Папирустар IX ғасырдан бастап мүлде қолданылмайтын болған, оның орнына қағаз пайдала-нылған. Қағаз ең алғаш Қытайда шыққан, оны Чай Лунь ойлап шығарған. Қағаз жасауды қытайлардан Орталық Азия халықтары үйренген. VII ғасырда Самарқандта қағаз өндірісі болған. Орта Азия халықтарынан арабтар үйрен-ген, арабтар арқылы қағаз өндірісі Еуропаға тараған. Көне Мысырдың ерте-дегі әріптері сурет пішіндес әріптер болған, соңынан ретке келтіріліп демотикалық жазу пайда болған [2] . Осы екі кітаптан басқа да кітаптар теріге, тас-тарға ойылып жазылған, олар қазір дүниенің түкпір-түкпірінде сақтаулы.

Көне Мысырда математиканың туумен, қатар ертедегі Бабыл тұрғындары және шумерлер мен аккадтықтар өз алдына өздерінің дербес математикасын жасап шығарды. Бұл халықтар саз балшықты тақталарға (плиткаларға) білімдерін жазып қалдырған. Мұндай балшық тақталар Бабыл жерінен мыңдап табылады. Бабылдықтардың барлық математикалық жетістіктері жинақталып жазылған қырық төрт кестеден құралған бабылдықтардың математикалық энциклопедиясы табылған. Бұл энциклопедиядан бабылдықтардың сол ертедегі заманда күнделікті мұқтаждықтары алға қойған практикалық есептерді: егіншілік, жер суаруды реттеу, сауда жасаудағы есептерді шешудің бірсыдырғы тиімді тәсілдерін білген. Бабылдықтар астрономия ғылымының негізін салған [3] . Бір аптаны жеті күнге бөлу, шеңберді 360 градусқа, сағатты 60 минутқа, минутты 60 секундқа, секундты 60 терцияға бөлу және т. б. бізге мирас болып қалған. Бабылдықтар санаудың негізіне, қазіргідей ондық жүйе емес, көп жағдайда арифметиканың аса қиын амалы - бөлу амалын жеңілдететін алпыстық санау жүйесін қолданған. Мысалы: 1574640 санын алпыстық жүйеде өрнектесек: 1603+57602+4660+40, яғни қосындысы 424000 етіп жазылады. Әрбір өлшеуіш алдыңғысынан 60 есе артық болатын өлшеуіштер мен таразылар жүйесін де солар жасаған. Біздің қазіргі уақыт өлшемдеріміз - сағатты, минутты және секундты 60 бөлікке бөлу, содан басталады. Бабылдықтар екінші дәрежелі теңдеулерді, ал арнаулы кестелер арқылы үшінші дәрежелі теңдеулерді шеше білген.

Бабыл патшалығы орнына келген Ассирия патшалығы, екінші жағынан Кавказ сыртына шектескен территорияда Урарту патшалығы болды. Бұл патшалық VIII ғасырда Кавказ сыртының оңтүстік облыстарын жаулап алды. Урарту халықтары Бабыл математикасын меңгеріп, қазіргі позициялық ондық нумерацияға жақын және позициялық принципті білмейтін, мысырлық ондық нумерацияға мүлде ұқсамайтын, ондық нумерацияға көшкендігі анықталған. Урарту арифметикасы көбінесе ертедегі Армян арифметикасына ұқсас. Ертедегі бабылдықтардың математикасы, Урарту халықтары арқылы Кавказ сыртындағы халықтардың, әсіресе армяндардың

өте ерте замандағы математикалық мәдениетіне ықпалын тигізіп, математиканың ауқымды дамуына зор үлесін қосқан [3] .

Орта ғасырдағы Орта Шығыс, Солтүстік Африка және Испания мұсылман мемлекеттеріндегі араб жазуы арқылы жазылған математикалық шы-ғармаларда, араб математикасының дамуына арабтар ғана емес, парсылар, сү-риянилер және т. б. үлес қосқан. Бұл шығармалар қолжазба түрінде осы күнге жеткен. Олар әлемнің әр кітапханаларында сақтаулы. Араб математикасының дамуы, орта ғасырдағы араб мәдениетінің дамуымен бірге дамыды. Оның дамуын үш кезеңге бөліп қарауға болады [3] :

VIII ғасырдан бастап IX ғасырдың ортасына дейінәл-Мансұр халиф Бағдат-та ішінде телескоп пен кітапханасы бар «Даналық үйін» (арабша: بيت الحكمة Bait al-Hikma) ашып, оған сол кездегі Сүрия, Үндістан және т. б. мемлекеттерден ғалымдарды жинайды, бұл кезең негізінен басқа тілдегі математикалық шығармаларды аударып, оны үйрету кезеңі деп айтуға болады. Ең алдымен Евклидтің «Геометрияның бастамалары», одан кейін үнді математигі Брахмагупта еңбегі араб тіліне аударылады. Содан бастап Архимед, Аполлониус, Диофант, Птолемей гректің ұлы математиктерінің шығармалары араб тіліне аударылды. Бұл дәуірдегі атақты математик әл-Хорезми болды. Ол тек аудармамен айналысып қана қоймай, сонымен бірге «Хорезми арифметикасы» (көптеген кітаптарда «Liber Algoritmi» деп аталады), «Әл-жәбр уә-л-Мұқабала» және т. б атты атақты кітаптары бар. Қазіргі кездегі математика-ның маңызды бір саласы болып табылатын алгебраны осы әл-Хорезми енгізген.

IX ғасырдың ортасынан XIII ғасырға дейінараб математикасының гүлдену дәуірі деп қарауға болады. Осы кезеңде Бағдадта, Бұхара, Қаһира және Испанияның Кордова және Толедо қалаларында көптеген ғылыми- зерттеу орталықтары пайда болды. Бұл дәуірдегі атақты математиктерден Батани, Әбу-Уафа, Карачи, әл-Бируни, Омар Хайям, Насыреддин Туси, Банналарды атауға болады.

XIV ғасырдан соң XV ғасырдағыӘмір Темірдің Самарқандтағы телеско-пымен сонда зерттеумен айналысқан әл-Кашиды айтпағанда, бүкіл араб мате-матикасының құлдыраған кезеңі болып табылады. Араб математикасының негізгі жетістіктерінен, арифметика жағында: ондық санау жүйесі, жазбаша есеп, дәрежеге көтеру, қатарлардың қосындысын табу формуласы және т. б. Ал алгебра жағында: бірінші және екінші дәрежелі теңдеулерді шешу, үшінші дәрежелі теңдеудің геометриялық шешу әдісі, екімүшеліктің жікте-луіндегі коэфициенттері және т. б, ал геометрия жағынан: Евклидтің «гео-метриясының алғашқы кітабының» аудармасы, параллелдік туралы аксиома-ның тереңдей зеріттелуі, πсанының мәні (әл-Каши 16-орынға дейін дұрыс есептеген) ; тригонометрия саласы да ертедегі грек пен үндіге қарағанда анағұрлым толық зерттелген.

12 ғасырдан бастап, араб математикасы Солтүстік Африкадағы Жерорта теңізі жағалау арқылы өтетін, мәдени жолдары арқылы Испания мен Еуропаға тараған. Әсіресе ондық санау жүйесі мен жазбаша есеп, Евклидтің «Геометрия бастамалары» кітабының аударма нұсқасы, бүкіл Еуропаның, тіпті дүние жүзінің математикасының дамуына орасан зор ықпал еткен. Араб математикасының керемет туындылары латын тіліне аударылып, Еуропаға тараған. Араб математикасы ертедегі Грекияның, Үндістанның, Қытайдың, Шығыс пен Батыстың математикалық жетістіктерін пайдаланып және оларды бір қалыпқа түсіріп, Еуропаға таратқандықтан, мәдениеттің қайта гүлденуі кезеңінде математика керемет дамыды. Сондықтан араб математикасы әлемдік математика тарихында ерекше орын алады.

Математика ғылымының келесі дамуы Грекия мемлекетіне тиісті. Грекия математиктері, математиканы өзінің нәтижелері мен түпкі қағидала-рын логикалық қорытынды арқылы келтіріп шығаратын, дедукциялық ғы-лымға айналдырды. Гректер әсіресе бастапқы геометрияға жататын мәселелерді түгел зерттеді деуге болады. Рим әскерлері Грекияны басып алып, Александрия портындағы Мысыр кемелерін өртегенде, өрт кітапхананы да шарпып, нәтижеде екі жарым ғасыр бойы жинап сақтаған кітаптар мен 500 мың парша қолжазба күйіп түгейді. 4 ғасырда Христандар Грекия пұтханаларын өртеген кезде, Серапис пұтханасындағы 300 қолжазба күйіп түгейді. Осындай тарихи себептерден, әрі грек математикасының өзіндегі олқылықтар себебінен, ежелгі Грекия математикасы тоқырайды. Осыған байланысты бүкіл Еуропада ғылым дамымақ түгіл, уақытысында болған ғылымдардың өздері жоғалып, Еуропаны қара түнек басады. Ақыл берген ғасырлардың орнына мың жарым жыл бойы үздіксіз созылған оянбайтын ұйқыға батқан «Ақыл-ой» ғасырлары келді. Адамзат тарихында мұнан үлкен, бұдан ғаламат ауыртпалық болған жоқ.

Шығыс математикасы V ғасырдан XV ғасырға дейінгі мың жылдан ас-там уақыт аралығында, есептеудің әсіресе астрономияның қажетінен шұғыл дамыды. Бұрынғы Грекия математиктерінің көпшілігі философ болса, кейінгі шығыс мәдениетінің көбінің астроном болуы, міне осы себептен болды. Математика тарихында, гректердің мұрагерлері үнділер делінеді. Үндістан математикасы жоғары толқынға көтерілген дәуірде, гректерден геометрияны, Вавилоннан алгебраны үйренді. Әрі Қытайдан үлгі алып, арифметика мен алгебраны одан ары дамытты.

Үндістан астрономиясын дәуір биігіне көтерген ғалым, «Ариабхатия» атты астрономиялық шығарманың авторы Ариабхатия, тригонометрияға үлкен үлес қосты. Брахмагупта, ол отыз жасында «Арифметикадан лекциялар» және «Анықталмаған теңдеулерден лекциялар» қатарлы арнаулы тарауларды өзі ішіне алған, «Брахмасы бхутаситханда» атты әйгілі шығарма жазған. Ең алғаш теріс сандарға төрт амалды қолданған міне осы Брахмагупта болды.

Махавира «Есептеу жауһары» атты шығарма жазған. Үндіс математика тарихындағы ең биік тұлға Быхаскара Акария болды. Быхаскара астрономия, арифметика, өлшеу алгебрасына қатысты көптеген шығармалардың авторы, солардың ішінде қызының атын қойған арифметика мен есептеуге жататын әйгілі шығармасы «Лайлауати» болды. Алгебралық шығармасы «Вижаганита» (түбірлерді есептеу) де теріс сандарды біршама кеңірек қарастырған. Быхаскара басқа барлық үнді математиктерінен асқан кереметтігі, иррационал сандарды сан деп қарап, иррационал сандар мен рационал сандар арасындағы қатаң шекараны бұзып тастағандығы. Сандардың ондық жүйесін үнділіктер VІ ғасырда игерді. ІХ ғасырдың басында, математик Махавира нөлді бір сан деп қарады. Содан бастап ондық жүйе, одан ары кемелдене түседі. Қазіргі күнде бүкіл дүние жүзі қолданатын ондық жүйенің арғы түп-төркіні Үндістан екендігі мәлім. 773 жылы Үндістаннан Бағдатқа көрнекті бір астроном келеді. Ол арабтарға, одан 150 жыл бұрын жазылған Брахмабуттаның «Брахма-сутта-сиддыханта» атты кітабының санскирт тіліндегі нұсқасын береді. Бұл кітапты Мұхаммет Ибын Ибраһим әл-Фараби араб тіліне аударады. Араб астрономиясы міне осы кезден басталады. Хорезмидің редакциясымен ол екі рет шыққан. Хорезми өзінің «Китап әл-джам уат тафрих би хисап әл-үнді» атты кітабын үнділердің үлгісімен жазады. Онда санау тәртібі, сандардың он цифры арқылы жазылуы, аталуы, төрт амал, түбір шығару, жәй бөлшектерді есептеу айтылған. Бұл кітап 1150 жылы латын тіліне аударылған. Еуропалықтар Үнді цифрларын араб тіліндегі кітаптардың аудармаларынан көргендіктен, араб цифры деп атағаны мәлім.

ХІІІ ғасырда Шығыс Қытай, Батыс Орта Азия, Таяу және Орта Шығыс елдері манғол билеушілерінің қолдарына өтті. Осы елдер барыс-келіс, сауда мәдениет ауысу, онан ары күшеюдің сыртында Юан патшалығы дәуірінде, мұсылмандар ерекше мұрсатты жағдайларда болды. Мұсылман елдерінің көптеген астроном-математиктері, хан ордасына келіп, жылнама жасау қызметімен шұғылданды. Құбылайхан таққа шығар алдында (1260-1294жж. ), Жамалиддін бастаған бір топ мұсылман астрономдары, сол кездегі манғол хандығының астанасы Шаңдуға шақырылады. Құбылайхан Жамалиддін қатарлы мұсылман астрономдарды қабылдап, олардың білім-өнерін пайдалану туралы жарлық түсіреді. Оларға ешқандай мансап берілмеген. Мұсылман елдерінің астрономиясы мен математикасы, міне осы кезден бастап Қытайға кіреді. Құбылай орталықты Бей жиңге (Ханбалық) көшіргеннен кейін, Жамалиддін Ханбалықта бақылау ордасын құрады. 1267 жылы төмендегідей жеті түрлі астрономиялық аспап жасайды:

1. Көпшеңберлі аспап: арабша аты Dhatuhalag - датухалық. Мыстан жасалған аспан денелері мен күннің өз өсінің маңайындағы айналуын бақылауға қол-данған. 2. Азимот аспабы: арабша аты Dhatu sumut - датусмуд жұлдыздарды бақылайтын аспаб. 3. Көлбеу ендікті аспаб: арапша аты Luhma - I - muwaji - лахмуммуж. Күннің көлеңкесін өлшеу арқылы көктем мен күзді айыратын аспап. 4. Горизонтал ендікті аспап: luhma-i- mustawi - лахмомустави. Қыс -жаз маусымдарын айыратын аспап. 5. Аспан глобусы: арабша аты -Kurai - Sama - Курасма, оған 28 жұлдыз және 12 мүшел ойылған, аспан күмбезі деседе болады. 6. Жер шары глобусы: арабша аты -kura- i- ardz-курай арзұ. Жер шары қаритасы десе де болады. 7. Тәуліктік уақыт анықтау аспабы: арабша аты, usturlab - устырлаб мыстан жасалған. Оған 12 шақ сызылған. Мұндай таңғажайып тамаша аспаптардың Қытай астрономдарының аспан денелерін, ауа-райын бақылауда, керемет қолқабысы болғандығын ешкім де теріске шығара алмайды.

Құбылай хан 1276 жылы, атақты астрономия математигі Го Шук Жин (1231-1316) мен Уаң Шунь (1236-1282) қабылдап, Юань патшалығының жаңа жылнамасын жасауды бұйырады. Олар 1280 жылы «Мезгіл жылнамасы» атты біршама кемелді жылнама жасап, ортаға ұсынады. Құбылай хан бұл жылнаманы бүкіл мемлекет бойынша қолдану туралы жарлық түсіреді. 1313 жылы астроном Кламадін «Ұзақ жылдар» жылнамасына өзгерістер енгізеді. 1328 жылдары мұсылман жылнамасын басып таратылу 5257 нұсқаға жеткен. 1368 жылы жылнама меңгермесінің басшылары. 1273 жылы мұсылмандар расатханасы пайдаланған кітаптар 242 кітап, расатхана бастығы Жамалиддіннің үйінде 47 кітап сақталған, жиыны 13 түрлі болып, оның ішінде 4 математика кітабы болған. Бұл кітаптар біздің дәуірімізге келіп жетпей жоғалған, оның үстіне жоғарыдағы 4 кітаптың аттары араб тіліндегі аталуының дыбыстық атаулары болғандықтан, олардың мазмұндары жөнінде дөп басып, бірдеме деу қиын. Мұсылман астрономдардың елімізге келуімен бірге, Юань патшалығы дәуірінде араб цифрының кіргендігі де анық. 1956 жылы, Ши ань қаласы маңынан Юань патшалығы дәуіріндегі Әнши Уаңның ордасының көне орнынан, бетіне араб цифрлары ойылған бірнеше төртбұрышты кішкене темір тахташалар табылды. Бұл араб цифрының елімізге кіруі жөніндегі ең алғашқы заттық айғақ болып табылады.

Қорыта айтқанда, Юань патшалығы дәуірінде, одан кейінгі дәуірлерде ислам елдерінен неше жүздеген ғұлама ғалым, астроном-математиктер жылнамалар меңгермесінде, расатханада жұмыс істеген. Бұлармен бірге көптеген математикалық білімдер де кірген. Орта ғасырдағы ислам елдері математикасының, еліміз математикасының дамуына жасаған ықпалын, әлі де ішкерлей зерттеуге тура келеді. Осы кезеңдегі математиктердің жалпы өмірбаяны туралы толық ақпарат жоқ. Бізге жеткені, мәлім болғаны тек осы кезеңдегі математиктердің аттары мен кейбір ғылыми еңбектері ғана. Олардың ортақ бір ерекшелігі математика және астрономиялық трактаттарды, тек қана араб тілінде жазған.

Алгебралық өрнек

Algebraic expression Саны шекті әріптермен сандардан құралған және бір-бірімен қосу, азайту, көбейту, бөлу бүтін санға дәрежелеу сондай ақ түбір табу амалдарының таңбалары арқылы біріктірілген өрнек. Еген өрнекке енетін әріптер түбір астында болмаса, онда алгебралық өрнек сол әріптерге қарағанда рационал алгебралық өрнек деп аталады. (мысалға өрнегі ға қарағанда рационал алгебралық өрнек) . Егер белгілі бір әріптер енетін өрнекте бөлу амалы болмаса, онда алгебралық өрнек сол әріптерге қарағанда бүтін алгебралық өрнек деп аталады. Егер кейбір әріптерді(не бәрін) айнымалы деп санасақ онда алгебралық өрнек алгебралық функцияға болады.

Анықталмаған теңдеу

Сандар теориясының аса маңызға ие, бай тарихы бар, мазмұны мол саласының бірі. Анықталмаған теңдеу деп белгісіздің саны теңдеудің санынан көп болатын теңдеулер жүйесін не теңдеуді айтамыз. Көне Гректің атақты математигі Диофант сонау Ⅲ ғысырдың басында-ақ осындай түрдегі теңдеулерді зеріттей бастаған, сондықтан кейде анықталмаған теңдеу Диофант теңдеуі деп те аталады. 1969 жылғы, Л. Ж. Модердің «Диофант теңдеуі » атты кітабы осы саладағы зеріттеулердің нәтижесін бір ретке келтіріп берді. Соңғы он жылда осы салада аса зор дамушылық байқалады. Дегенменен, жалпы жағдайға алып қарағанда, екінші дәрежеден жоғары анықталмаған теңдеулер туралы адамдардің білері шамалы. Енді бір жағынан, анықталмаған теңдеумен математиканың басқа салалары, мысалға, алгебралық сандар теориясы, алгебралық геометрия, терулер математикасы қатарлылармен тығыз байланысы бар, шекті топтар мен көркем модудауға да осы анықталмаған теңдеулерді қолдануға болады, осы себептен де математиканың осы бір көне саласы әлі де көптеген математиктердің назарын өзіне аударуда.

Архимед акциомасы

Archimedes's axiom Ұзіндіқтарі әр тұрлі екі кесіндінің ұзінірағі мейлі қанша ұзын, қысқасы мейлі қанша қысқа болсада, ұзінірақ кесіндінің бойынан қысқарақ кесіндіге тең кесіндіні ұздіксіз қыйып алыуға болады, әрі мәлім рет кесіп алғаннан кейін мынадай жағдайдың : а-сурет не асып қалмайды, не қысқарақ кесіндіден де қысқа кесінді қалады. AB кесіндісі ұзінірақ кесінді, CD кесіндісі қысқарақ кесінді болсын, AB нің бойынан CD нің ұзіндіғіна тең болатын кесінділер қыйып алсақ, онда не AB=n CD (а -сурет), не nCD<AB<(n+1) CD ( b-сурет) келіп шығады.

Аполлониус теоремасы-1 ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.