Электромеханикалық ұқсастық және оның тербелісті зерттеуге қолданылуы

Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3
І. Электромеханикалық ұқсастық жүйелері және электромеханикалық балама ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..6
1.1 Электромеханикалық ұқсастықтың бірінші жүйесі және күш кернеу және екінші жүйесі күш тоқ ... ...6
1.2 Электромеханикалық баламаны қолдану және механикалық жүйе баламаларының.электрлік үлгілерін құру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 28
1.3 Электромеханикалық жүйелер және осы жүйе тербелістерін зерттеуге Лагранж.Максвелл теңдеулерін қолдану және механикалық жүйе тербелістерін электрлік модельдеу, масштабтық коэффициенттер және ұқсастық индикаторы ... ... ... ... ... ... ... ...30
ІІ. Консервативті күш өрісіндегі жүйе тепе.теңдігінің орнықтылығы ... .39
2.1 Жүйенің орнықты тепе.теңдік орнының маңындағы аз тербелісі мен еркіндік дәрежесі шекті сан болатын жүйенің потенциалдық энергиясы ... 39
2.2 Консервативті жүйе тепе.теңдігінің орнықтылығы туралы Лагранж.Дирихле теоремасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .42
2.3 Еркіндік дәрежесі бірге тең және шекті сан болатын консервативті жүйе тепе.теңдігінің орнықтылығы. Сильвестр критериі ... ... ... .45
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 61
Қолданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..63
Кіріспе
Зepттeyдiң өзeктiлiгi: Механикалық және электромагнита энергиялар өзара қайтымды болғандықтан механикалық және электромагниттік жүйелерді электромеханикалық деп аталатын жүйеге біріктіруге болады.
Электромеханикалық жуйенің механикалык бөлігі үшін жалпыланған координаталары болып геометриялық шамалары (орын ауыстыру, бұрыш т.с.с) ал электрлік бөлігі үшін - электрлік шамалар (жиектегі тоқ, түйін потенциалы) алынады.
Электромеханикалық жүйелердегі тербелмелі процесстер энергиясының өзгеруі, энергияның сақталуының жалпыланған заңын беретін термодинамикалық бірінші басталуымен сэйкес болады. Сонымен бірге, жүйенің механикалық және электрлік айнымалылары арасында, байланыс теңдеулерімен анықталатын, қандай да бір тэуелділік орындалады.
Электромеханикалық жүйе параметрлері арасындағы тэуелділікті орнату үшін жэне осы жүйе тербелістерінің дифференциалдық теңдеулерін алу үшін Лагранж - Максвелл теңдеулерін қолдану ыңғайлы. Себебі, бул теңдеулер энергетикалық негізді, сондықтан да бұл жүйе параметрлері арасындағы тэуелдділікті орнатуға мүмкіндік береді.
Лагранж- Максвелл теңдеулерін құруға кіріскенде, эдеттегідей, жүйенің еркіндік дэреже санын анықтап, эрі күйінің механикалық жэне электрлік бөліктерінің жалпыланған координаталарыи тацдап алу қажет.
Жүйенің кинетикалық жэне потенциалды энергияларын жүйенің механикалық және электрлік бөліктерінің энергияларының қосындысы ретінде, жэне де жүйенің таралу функциясын механикалық және электрлік бөліктерінің таралу функцияларының крсындысы ретінде анықтау қажет. Соымен бірге, Ньютондық және электрқозғалтушы күштер эсерінен болатын жүмысты ескеріп, жүйеге эсер ететін механикалық және күштерді анықтау кажет.
Лагранж - Максвелл теңдеулеріне барлық дербес туындылардың, эрі жүйеге эсер ететін берілген консервативті жэне конссрвативті емес күштерге сэйкес жалпыланған күштердің мэндерін қойып, электромеханикалық жүйе тербелістерінің дифференциалдық теңдеулерін аламыз. Бүл теңдеулер саны жүйенің еркіндік дэреже санына, яғни жалпыланған координаталар санына тең болады.
Зepттeyдiң ныcaны: Электромеханикалық ұқсастық және оның тербелісті зерттеуге қолданылуы.
Зepттey пəнi: Электромеханикалық ұқсастық және оның тербелісті зерттеуге қолданылуы.
Зepттeyдiң мaқcaты: Электромеханикалық ұқсастық жүйелері және электромеханикалық баламаларын, консервативті күш өрісіндегі жүйе тепе-теңдігінің орнықтылығын және электромеханикалық ұқсастық және оның тербелісті зерттеуге қолданылуын зерттеу.
Зepттeyдiң мiндeттepi:
 Электромеханикалық ұқсастықтың бірінші жүйесі және күш кернеу және екінші жүйесі күш тоқты;
 Электромеханикалық баламаны қолдану және механикалық жүйе баламаларының-электрлік үлгілерін құруды;
 Электромеханикалық жүйелер және осы жүйе тербелістерін зерттеуге Лагранж-Максвелл теңдеулерін қолдану және механикалық жүйе тербелістерін электрлік модельдеу, масштабтық коэффициенттер және ұқсастық индикаторын;
 Жүйенің орнықты тепе-теңдік орнының маңындағы аз тербелісі мен еркіндік дәрежесі шекті сан болатын жүйенің потенциалдық энергиясын;
 Консервативті жүйе тепе-теңдігінің орнықтылығы туралы Лагранж-Дирихле теоремасын;
 Еркіндік дәрежесі бірге тең және шекті сан болатын консервативті жүйе тепе–теңдігінің орнықтылығы. Сильвестр критериін зерттеу.
Диплoмдық жұмыcтың пəнi– Электромеханикалық ұқсастық және оның тербелісті зерттеуге қолданылуын зерттеу.
Зepттeyдiң дepeккөздepi: Зepттey жұмыcындa пaйдaлaнылғaн дepeктep тoбын құжaттap құpaйды. Дepeктepдi пaйдaлaнy жұмыcтың aлдынa қoйғaн мəceлeлepдi мeйлiншe тoлық зepттeyгe жəнe жұмыcтың мaқcaттapы мiндeттepiн aшyғa мүмкiндiк бepгeнi cөзciз.
Қолданылган әдебеттер тізімі
1. Жолдасбеков Ө.А , Сағитов М.Н, Мустахишев К, Теороялық механика. Алматы: Мектеп,1982.,т.І,1992.,ІІ
2. Бухгольц Н.Н. Основной курс тоеритеческой механики. Ч.2.М.:Наука, 1972.
3. Вульфсон И.И., Коловский М.З. Нелинейные задачи динамики машин. Л.: Машиностроение, 1968.
4. Пановко Я.Г., Введение в теорию механических колебаний. «Наука», 1971.
5. Ғ,У,Уалиев, К.Бисембаев, Ж.М.Өміржанова. Тербелістер теориясы. Алматы.2009
        
        Мазмұны
Кіріспе.................................................................................................................3
І. Электромеханикалық ұқсастық жүйелері және электромеханикалық балама......................................................................6
* Электромеханикалық ... ... ... және күш ... және екінші жүйесі күш тоқ.......6
+ Электромеханикалық баламаны қолдану және механикалық жүйе баламаларының-электрлік үлгілерін құру....................................................28
+ Электромеханикалық жүйелер және осы жүйе ... ... ... ... ... және ... жүйе ... электрлік модельдеу, масштабтық коэффициенттер және ұқсастық индикаторы...............................30
ІІ. Консервативті күш өрісіндегі жүйе тепе-теңдігінің орнықтылығы.....39
2.1 Жүйенің орнықты тепе-теңдік орнының маңындағы аз тербелісі мен ... ... ... сан ... ... ... ... Консервативті жүйе тепе-теңдігінің орнықтылығы туралы Лагранж-Дирихле теоремасы.....................................................42
2.3 Еркіндік дәрежесі бірге тең және шекті сан болатын консервативті жүйе тепе - ... ... ... ... ... тізімі..................................................63
Кіріспе
Зepттeyдiң өзeктiлiгi: Механикалық және электромагнита энергиялар өзара қайтымды ... ... және ... ... ... деп аталатын жүйеге біріктіруге болады.
Электромеханикалық жуйенің механикалык бөлігі үшін жалпыланған координаталары болып геометриялық шамалары (орын ауыстыру, ... ... ал ... ... үшін - ... ... ... тоқ, түйін потенциалы) алынады.
Электромеханикалық жүйелердегі тербелмелі процесстер энергиясының өзгеруі, энергияның сақталуының жалпыланған ... ... ... ... сэйкес болады. Сонымен бірге, жүйенің механикалық және электрлік айнымалылары арасында, байланыс теңдеулерімен ... ... да бір ... ... жүйе ... арасындағы тэуелділікті орнату үшін жэне осы жүйе тербелістерінің дифференциалдық теңдеулерін алу үшін Лагранж - Максвелл теңдеулерін қолдану ыңғайлы. Себебі, бул ... ... ... сондықтан да бұл жүйе параметрлері арасындағы тэуелдділікті орнатуға мүмкіндік береді.
Лагранж- Максвелл теңдеулерін құруға кіріскенде, эдеттегідей, жүйенің еркіндік дэреже санын ... эрі ... ... жэне ... ... ... координаталарыи тацдап алу қажет.
Жүйенің кинетикалық жэне потенциалды энергияларын жүйенің механикалық және электрлік бөліктерінің энергияларының ... ... жэне де ... ... ... ... және электрлік бөліктерінің таралу функцияларының крсындысы ретінде анықтау қажет. ... ... ... және электрқозғалтушы күштер эсерінен болатын жүмысты ескеріп, жүйеге эсер ететін механикалық және күштерді анықтау кажет.
Лагранж - ... ... ... ... туындылардың, эрі жүйеге эсер ететін берілген консервативті жэне конссрвативті емес күштерге сэйкес жалпыланған күштердің мэндерін қойып, электромеханикалық жүйе тербелістерінің ... ... ... Бүл ... саны ... ... дэреже санына, яғни жалпыланған координаталар санына тең болады.
Зepттeyдiң ныcaны: Электромеханикалық ұқсастық және оның тербелісті зерттеуге ... пəнi: ... ... және оның ... ... қолданылуы.
Зepттeyдiң мaқcaты: Электромеханикалық ұқсастық жүйелері және электромеханикалық баламаларын, консервативті күш өрісіндегі жүйе тепе-теңдігінің орнықтылығын және электромеханикалық ұқсастық және оның ... ... ... ... мiндeттepi:
* Электромеханикалық ұқсастықтың бірінші жүйесі және күш кернеу және екінші жүйесі күш тоқты;
* ... ... ... және ... жүйе ... ... құруды;
* Электромеханикалық жүйелер және осы жүйе тербелістерін зерттеуге Лагранж-Максвелл теңдеулерін қолдану және механикалық жүйе тербелістерін электрлік модельдеу, масштабтық коэффициенттер және ... ... ... орнықты тепе-теңдік орнының маңындағы аз тербелісі мен еркіндік дәрежесі шекті сан болатын жүйенің потенциалдық энергиясын;
* Консервативті жүйе тепе-теңдігінің орнықтылығы туралы ... ... ... дәрежесі бірге тең және шекті сан болатын консервативті жүйе тепе - теңдігінің орнықтылығы. Сильвестр критериін ... ... пəнi - ... ұқсастық және оның тербелісті зерттеуге қолданылуын зерттеу.
Зepттeyдiң дepeккөздepi: Зepттey жұмыcындa пaйдaлaнылғaн дepeктep тoбын құжaттap ... ... ... ... ... ... ... мeйлiншe тoлық зepттeyгe жəнe жұмыcтың мaқcaттapы мiндeттepiн aшyғa мүмкiндiк бepгeнi cөзciз.
Зepттey жұмыcының тeopиялық нeгiзiн oтaндық жəнe шeтeлдiк ғaлымдapдың ғылыми қopытындылapы ... ... ... жинaқтay, тaлдay, жүйeлey əдicтepi қoлдaнылды. Coнымeн қaтap кeңiнeн қoлдaнылaтын жүйeлey ... дe ... ... apқay ... ... жұмыcын ғылыми нeгiздe жүйeлeп, oның нəтижeciн шығapy үшiн, coл apқылы бaяндay, ... жəнe ... ... ... ... қoл жeткiзy үшiн ғaлымдap əpтүpлi əдicтepдi зepттeгeн.
Зepттeyдiң əдicтepi. Зepттeлeтiн мəceлeлep жөнiндeгi электромеханикалық ұқсастық және оның ... ... ... туралы əдeбиeттepдi зepдeлey, caлыcтыpy, тaлдay, тұжыpымдay, capaптay, caлыcтыpy, қopытy əдicтepi қoлдaнылды.
Зepттey жұмыcының құpылымы: кipicпe, eкi ... ... жəнe ... ... ... ... Электромеханикалық ұқсастық жүйелері және электромеханикалық балама
1.1 Электромеханикалық ұқсастықтың бірінші жүйесі және күш кернеу
Әртүрлі жүйелердің тербелмелі қозғалыстарының ерекшелігі, олар ... ... ... ... ... ... да бір ... қозғалысының дифференциалдық теңдеулерге зерттеу негізінде орнатылған қасиеттерін, қозғалысының дифференциалдық ... ... ... кез ... ... ... қолдануға болады. Мұндай жүйелер балама(ұқсас) жүйелер деп аталады.
Механикалық жүйелермен тығыз байланысқан ұқсас жүйелер ретінде бірнеше индуктивті байланысқан жүктеме ... тоғы бар, ... ... ... ... тізбектер алынады.
Электрлік тізбектердегі тербелісті зерттегенде, электрлік және механикалық тербелістердің дифференциалдық теңдеулері арасындағы баламаны пайдаланады.
Электрлік тізбектің элементтері ... ... мен тоқ ... элементтер), кедергінің қайнар көзі, конденсаторлар мен индуктивтілік катушкалары (енжар элементтер) алынады.
Сызықты s-жиектемелі электрлік тізбекті ... ... ... тоқтарын i1(l=1,2,...,s) деп белгілейміз.
Бұл тізбектің магнит өрісінің энергиясы мына өрнекпен анықталады:
Тe=12y=1sk=1sLjkqjqk
Мұндағы L ... ... ... ... = dqdt = q, ... q- ... да бір бастапқы мезеттен
алғандағы сымның көлденең қимасы арқылы өтетін электр саны болғандықтан,
Тe=12j=1sk=1sLjkqjqk
Тізбектің электрлік өрісінің ... мына ... ... ... ал 1Cjk ... сәйкес элементтерінің инверсті сыйымдылығы.
Тізбектегі энергияның джоульдік жылуға шығыны ... ... ... анықталады:
Φe=12j=1sk=1sRjkijik=12j=1sk=1sRjkqjqk=
мұндағы RJk (j,к = 1,2,...,s) - омдық ... ... ... шығынына сәйкес келетін жалпыланған күш мына өрнекпен ... да бір ... ... ... ... ... былай анықталады:
j=1sδAj=j=1sujijdt=j=1sujdtj.
s еркіндік дәрежелі және qj(j = 1,2,..., s) ... s ... ... ... ... жүйе үшін, екінші ретті аз шамаға дейінгі дәлдікпен есептелген кинетикалық және ... ... ... анықталады:
T=12j=1sk=1sajkqjqk
және
П=12j=11k=11cjkq1qk
Мұндағы аjk және с jk -осы жүйенің инерция және қатаңдық коэффициенттері.
Жылдамдыққа пропорционал кедергі ... ... ... мына ... анықталады:
Ф=12j=1sk=1sbjkqjqk
мұндағы bjk - диссипация коэфиценттері.
Жүйеге түсірілген қалған күштердің элементар жұмысы (потенциалы бар күштен және кедергі ... ... ... ... Qj -oсы ... ... ... күш.
Көріп отырғанымыздай, қарастырып отырған екі жүйе үшін жазылған формулалардың барлығы да ұқсас және электрлік теңдеулерді құру үшін екінші ретті ... ... ... ... координатасы ретінде электр саны qj(j =1,2,...,s)алынған кездегі электрлік тізбектерге екінші ретті Лагранж теңдеулерін қолдану мүмкіндігін ... ... ... да ... ... мен ... ... қолданылған екінші ретті Лагранж теңдеулерін Лагранж-Максеелл тецдеулері деп атайды.
qj және q j үшін ... ... ... деп ... жүйе үшін
ddtdТdqj=-dПdqj-dФdqj+Qj j=1,2,...,s
электрлік жүйе үшін
ddtdТedqj=-dПedqj-dФedqj+ej j=1,2,...,s
Бұл жағдайда механикалық жүйенің кинетикалық энергиясына магнит өрісі, потенциалды энергиясына - ... өріс ... ... ... - Фe функциясы, Qj жалпыланған күштерге -жүйенің электрлік диссипациясы еj сәйкес келеді.
Лагранж - Максвелл теңдеулерін келесі дифференциалдық ... ... ... ... ... жүйе ... j=1,2,...,s
немесе матрицалық түрде
||a|{q||+|bq+cq=Q;
Lq+Rq+1Cq=e,
мұндағы ||L||{q} - индуктивтілік катушкасының орамындағы ... ... ... ... ... 1Cq-конденсатордағы кернеудің төмендеуі.
Бірінші теңдеулер s еркіндік ... ... жүйе ... ... екіншілер - s жиектемелі электрлік жүйетербелістерін анықтайды және ... ... ... ... ... ... тізбектің кез-келгенжиектемесіндегі алгебралыц қосындысы осы жиектеме элементтеріндегі кернеу төмендеулерінің алгебралық қосындысына тең.
Тербелістің екеуі де ... ... ... ... ... емес ... дифференциалдық теңдеулермен анықталады. Әрі, екінші дифференциалдық теңдеу электромеханикалық баламаның бірінші жүйесіне, нақты айтқанда күш - кернеу баламасына сәйкес келеді. Бұл ... ||а|| ... ... ... ||L|| ... матрицасы;||b||диссипация коэффициенттері матрицасына - ||R|| омдық кедергілер ... ||c|| ... ... ... ... матрицасы; {Q} жалпыланған күштер матрицасына - {е} жүйенің электрлік диссипация матрицасы (ж.э.д); q геометриялық жалпыланған координаталарға - q ... саны ... ... ... ... тең жүйе үшін ( s = 1 ... ... Π1=121Cq2,
мұндағы ... ... ... Qt; et.
Бұл жүйелер үшін дифференциалдық ... ... ... ... + bq + cq = ... + Rq + 1Сq = e(t).
Сонымен, нүктелеріне қалпына келтіруші, кедергі және ұйытқушы күштер әсер ететін еркіндік дәрежесі ... тең ... жүйе үшін ... ... бір жиектемелі электрлік тізбек балама болып табылады.
1-сурет
дифференциалдық теңдеулерін салыстыру арқылы, а ... ... L ... b ... ... - R ... кедергі; с қатаңдық коэффициентіне- 1C инверстісыйымдылыгы;С - конденсатор сыйымдылығына - ... Q(t) ... ... - e(t) ... козғаушы күші сәйкес келетінін көреміз.
Мұндай электрлік тізбек көмегімен еркіндік дәрежесі бірге тең механикалық жүйенің әртүрлі ұйытқушы ... ... ... ... ... зерттеуге болады.
s еркіндік дәрежелі механикалық жүйенің баламасы болып сәйкес түрде құрастырылған s ... ... ... ... ... ... - Максвелл теңдеуін қолдану кезінде келесіні есте сақтау қажет; LJk, Rjk және Cjk коэффициенттеріиндуктивтілік, омдық ... және ... ... j-ші және k-шы жиектемелерінің сыйымдылығын білдіреді.
Сонымен бірге индуктивтілік, кедергі және сыйымдылық Ljk, Rkl және CJk -ға оң ... ... егер iу және ік ... оң бағыттары
жалпы тармақтарда беттессе; ал керісінше болған жағдайда теріс таңбамен кіреді. Максвеллдың өзаралық принципіне сәйкес
Ljt=Lkj; Rjk=Rkj; ... ... деп ... ... ... екінші жүйесі Кирхгофтың бірінші заңы негізінде қүрылған: түйіндегі тоқтардың алгебралық қосындысы нолъге тең.
s жүпты түйіндері бар сызықты электрлік тізбекті қарастырайық.. ... ... ... ... и ... ... жағдайда
T1=12j=1sk=1sCjkujuk; Π1=12j=1sk=1s1Ljkujuk;
Φe=12j=11k=111Rjkujuk.
Бұл жерде s еркіндік дәрежелі механикалық жүйенің ... ... ... өріс энергиясы, потенциалды энергиясына -магнит өрісі ... ... ... - ... ... dijdt ... ... келеді.
Жалпыланған электрлік координата ретінде и кернеуі алынған жағдайда Лагранж -Максвелл теңдеулерінен s жұпты түйіндері бар электрлік тізбек үшін келесі дифференциалдық ... ... ... ... ... түрде
Cu+1Ru+1Lu=didt (7)
Бір ... ... бар (s = 1) ... ... ... С ... 1L инверсті индуктивтілік:
Пe=12 1Ru2,
мұндағы 1R өткізгіштік.
Фe=12 1Ru2,
Бұл электрлік тізбек үшін дифференциалдық ... мына ... ... ... дәрежесі бірге тең механикалық жүйенің мәжбүр тербелісінің дефференцилдық ... ... ... ... ... келтіруші,кедергі және ұйытқушы куштер әсер ететін,электромеханикалық баламасының екінші жүиесі күш-тоқ ... ... ... тең механикалық жүйенің баламасы 94-суретте көрсетілген бір ... ... бар ... ... ... табылады.
Еркіндік дәрежесі бірге тең электромеханикалық жүйелердегі балама шамалары
Жүйе
Жалпыланған координата
Диф. тең. Коэф.
Жалпыланған ұйытқушы ... ... - ... баламасы
Q
L
R
1C
e(t)
Күш - тоқ баламасы
U
C
1R
1L
didt
Жүйе
Кииет. энергиясы
Пот. энергия
Ыдырау функциясы
Мех. жүйе
T=12aq2
П=12cq2
Ф=12bq1
Күш - кернеу баламасы
T1=12Lq2
П1=121cq2
Ф1=12Rq2
Күш - тоқ баламасы
T2=12Cu2
П2=121Lu2
Ф2=121Ru2
Дифференциалдық теңдеулерін ... ... ... күш тоқ баламасы бойынша а инерция коэффициенті С сыйымдылыгы ... ... b ... ... Я өткізгіштігі, с ңатаңдық. Коэффициентіне L инверсті индуктивтілік, Q(t) жалпыланган күшке тоқтың жылдамдыгының ... ... ... ретті, дифференциалдық теңдеулер негізінде әртүрлі баламалы жүйелердегі механикалық және ... ... ... ... ... ... құруға болады.
1-мысал. Лагранж - Максвелл теңделеріне сүйеніп, күш - ... ... ... ... ... көрсетілген электрлік тізбектің шекті тсңдеуін құру қажет.
Шешімі: Қарастырып отырған электрлік тізбектің үш жиектемесі күш ... ... ... ... тізбектің шекті теңдеуін құру үшін Лагранж - Максвеллл теңдеуін пайдаланамыз:
ddtdTedq1=-dΠedq1-dΦedq1+e1(t);
ddtdTedq2=-dΠedq2-dΦedq2+e2(t);
ddtdTedq3=-dΠedq3-dΦedq+e3(t);
Те , Пе және Фе ... ... ... ωt; e2=0; e3=0;
Лагранж - Максвелл ... ... ... ... ... ... ... қарастырып отырған жүйенің электрлік тербелісінің келесі үш дифференциалдық теңдеулерін - осы электрлік тізбектің шекті тсңдеулерінен аламыз:
L1q1-L1q2+R1q1=Asin ... ... t ... ... i= ... ... R-Ом, С -фарад және L -генрий.
2 - мысал. Лагранж - Максвелл теңдеулеріне сүйеніп, күш - тоқ ... ... ... ... ... ... тізбектің шекті теңдеуін құру қажет.
Шешімі: Қарастырып отырған электрлік тізбектің екі еркіндік дәрежесі бар.
Бұл электрлік тізбектің шекті теңдеуін құру үшін ... - ... ... ... ол ... ... ... отырған жүйенің барлық элементтері бойынша есептелген күш - тоқ ... үшін Те Пе және Фе ... ... - ... ... ... ... туындылардың мәндерін қоятын болсақ, қарастырып отырған жүйенің электрлік тербелісінің келесі екі ... ... - осы ... ... ... теңдеулерін аламыз:
C1+C2u1-C2u2+1R1u1-1L2u2+1L11L2-1L2u2=di1di.
-C2u3+C2u2+1R2u2-1L2u2+1L21L3u2=0.
3 - мысал. Екінші ретті. Лагранж теңдеулеріне сүйене отырып, 97-суретте көрсетілген ... жүйе ... ... ... қүру қажет және электромеханикалық баламаның бірінші және екінші жүйесін қолданып, осы ... ... ... алып, оны суретте көрсету қажет.
2-сурет
Шешімі: Қарастырып отырған жүйенің екі еркіндік дәрежесі бар. ... ... ... ... ... z1 және z2 ... ... жүйенің кинетикалық энергиясы
T=m1z122+m2z222;
сәйкесінше, инерция коэффициентгерінің матрицасы:
a=m100m2
Жүйенің потенциалдық энергиясы
Π=12c1z12+c2z1-z22=
=12c1+c2z12-2c2z1z2+c2z12
Қатаңдық коэффициенттерінің матрицасы:
c=c1+c2-c2-c1c2
Таралу функциясы
Φ=12b1+b2z12-2b2z1z2+b2z22
Сондықтан ... ... ... ... күші массасы m2 болатын денеге әсер етеді; осы күшке және z1, z2 жалпыланған ... ... ... күштер келесі мәнге ие болады:
Q1=0; Q1=Pt яғни Q=0P(t)
Қарастырып отырған мехаиикалық жүйенің тербелісінің ... ... ... ... ... |z|+|b| |z|+|c| ... ашып ... болсақ,
m1z1+b1+b2z1+c1+c2z1-b2z2-c2z2=0;
m2z2+b2z2+c2z2-c2z1-b2z1=P(t
Күш - кернеу баламасын қолданып, қарастырып отырған жүйенің электрлік ... ... ... теңдеулерін - осы электрлік тізбектің шекті теңдеулерін аламыз:
L1q1+R1+R2q1+1C1+1C2q1-R2q2-1C2q2=0;
L2q2+R2q2+1C2q2-R2q2-1C2q1=e2t.
Екі жиектемелі электрлік тізбек қарастырып отырған екі еркіндік дәрежелі механикалық жүйенің ... ... ... - тоқ ... ... екі ... ... бар электрлік тізбектің электрлік тербелісінің келесі дифференциалдық теңдеулерін - берілген механикалық жүйенің баламасын аламыз:
С1u1+1R1+1R2u1+1L1+1L2u2-1R2u2-1L2u2=0;
С1u1+1R2u2+1L2u2-1R2u1-1L2u1=di2di
Бұл электрлік тізбек пішіні бірдей дифференциалдық ... ... ... электрлік тізбектер қосақталған деп аталады.
4-мысал. Лаіранж-Максвелл тендеулеріне сүйеніп, күш-кернеу баламасын қолдану арқылы 98-суретте ... ... ... ... бар электрлік тізбек үшін шекті тендеулерін қүру қажет және қандай механикалық жүйе осы электрлік тізбектің баламасы болатынын анықтау ... ... ... ... ... екі ... еркіндік дэрежесі бар. Бүл электрлік тізбектің шекті теңдеуін қүру үшін Лагранж- ... ... ... бүл ... үшін ол ... ... ... ddtdTedq2=dΠedq2;
Қарастырып отырған электрлік ... Те ... ... ... пайдаланып, электрлік өрістің энергиясын мына өрнектен анықтаймыз:
Πe=111C1q12+1C2q22+1C3q1-q22
Лагранж - Максвелл тендеулеріне сәйкес ... ... ... ... ... отырған жүйенің электрлік тербелісінің келесі екі дифференіщалдық теңдеулерін - осы электрлік тізбектің шекті ... ... ... екі ... ... ... ... жүйенің еркін тербелісінің теңдеулерімен ұқсас, олардың кинетикалық және потенциалдық энергиялары мына түрде болады:
T=12a11q12+2a12q1q2+a22q22;
Π=12c11q12+2c12q1q2+c22q22;
Мұндағы
c11=1C1+1C3; ... ... ... erep М = 0 болса, электрлік жисктемелер тек сыйымдылық арқылы байланысады жэне жүйе 9-мысалда қарастырылған екі ... ... ... (а12 = 0) ... ... ... ... көрсетілген механикалық жүйе өзара тісті беріліс арқылы байланысқан екі біліктен тұрады. ... ... ... біліктің айналу өсіне қарағандағы инерция моменттерін J1 жэне J4 деп белгілейміз. J2-A ... ... ... J3 - В ... ... инерция моменті. Бұралу кезіндегі біліктердің қатаңдықтары - с1 және с2 ал беріліс саны і = z31z2
4-сурет
Бірінші ... Mб1(t) ... ... ... ... дискінің айналуға кедергісі оның бұрыштық жылдамдығына пропорционал, ал пропорционалдық коэффициент b4 - ке ... ... ... теңдеулеріне сүйеніп, осы жүйеніц айналуының дифференциалдық теңдеулерін құру ... және ... ... ... арқылы осы жүйе үшін сәйкес электрлік тізбекті тұрғызу қажет
Шешімі: Механикалық ... ... ... ... дискілердің 1 және 4 айналу бұрыштарын және ... ... г және 3 = 2 ... ... ... ... массаларын ескермейміз.
Қарастырып отырған механикалық жүйе үшін
Mб3Mб2=z3z2=ω2ω3=φ2φ3.
М9ндағы ф2 жэне ф3 - ... ... z2 және z3- ... және ... ... тістерінің саны, ал Мб2 және Мб3 сәйкес бұраушы моменттер.
Шестернаның Мб2 ... ... ... ... ... ... болатындықтан, оның бағыты шестернаның бұралу бағытына кері болады, яғни оны теріс ... ... ... ... ... ... теңдеулерін қүру үшін екінші ретті Лагранж теңдеулерін ... ... ... жүйе ... Φ=12b4ϕ42;
онда бұл жүйенің айналуының дифференциалдық ... мына ... ... ... ... ... ... идеал трансформатор үшін:
e3e1=n3n2=i2i3
мұндағы i2 жэне i3 - ... ... ... тоқ, п2,п3 - ... және ... ... ... ал е2 , е3 - сәйкес кернеулер.
Идеал трансформатор деп ауалық трансформаторды айтамыз, ол келесі қасиеттерге ие: ... қысу ... ... ... ... ... қатынасы екінші тоқтың біріншіге қатынасына тең және трансформация коэффициентімен анықталады; идеал трансформаторда ... ... ... және ... орамы ажыратылған жағдайда оның бірінші орамы арқылы тоқ ... ... ... Мб2 және Мб3 ... ... ... трансформатор катушакаларында ұйытқыған е2, е3 кернеулері сәйкес келеді. Сондықтан бұл тізбек үшін шекті теңдеулер мына түрде болады:
L1q1+1C1q1-q2=e1(t)
L2q3+1C1q2-q1=e2;
L2q3+1C1q3-q4=e3;
L4q4+R4q4+1C2q4-q3=0.
5-мысал. Лагранж - Максвелл ... ... ... ... ... ... үшін ... теңдеу құру қажет және осы электрлік тізбектің баламасы - механикалық жүйені орнату қажет. ... ... ... ... ... төрт ... - төрт ... дәрежесі бар.
Бұл элсктрлік тізбектің шекті теңдеуін құру үшін Лагранж - ... ... ... бұл ... үшін ... ... ... тізбек үшін Те және П е мәндері келесі өрнектен анықталады:
Te12L1q12+L2q22+L3q32+L4q42
Бұл мәндерді Лагранж ... қою ... осы ... ... үшін ... ... теңдеулерді аламыз:
Бүл теңдеулер кедергісі ескерілмейтін, төрт еркіндік дәрежелі механикалық жүйенің мәжбүр ... ... ... ... анықталған деп аталатын жүйе тсңдеулерімен ұқсас.
5-суретте берілген электрлік тізбектің баламасын сипаттайтын бірінші механикалық жүйенің варианты көрсетілген.
Бұл жүйенің дифференциалдық теңдеулері мына ... ... ... ... ... көрсетілген. Ji деп дискілердің инерция моменттерін;I - дискілердің бұралу бұрыштарын; JPi - біліктің көлденең қимасының полярлы инерция ... ... ... ... ... бұралу қатаңдығы;
M1(t)-1 - дискіге түсірілген ... ... ... ... ... теңдеулерін жазайық:
J1φ1+c1φ1-φ2=M1t;
J2φ2+c1φ2-φ1+c2φ2-φ3=0;
J3φ3+c2φ3-φ2+c3φ3-φ3=0;
J4φ4+c3φ4-φ3=0.
7-суретте көрсетілгенмеханикалықжүиенің баламасы болып тағы 103-суретте көрсетілген электрлік тізбек алынады.
8-сурет
Бұл электрлік тізбертің ... ... және 103 ... ... электрлік тізбектер қосақталған.
1.2 Электромеханикалық баламаны қолдану және механикалық жүйе баламаларының-электрлік үлгілерін құру
Механикалық жүйе баламаларының электрлік ... құру үшін ... ... ... ... ... жэне электрлік және механикалық ... ... ... ... ... ... ... электромеханикалық баламаньщ бірінші жэне екінші жүйесінің электрлік екіполюсі жэне оларға сэйкес механикалық тізбектің екіполюсі келтірілген.
7-кестені пайдаланып, механикалық тізбектің барлық ... ... ... ... ... екінші жүйесіне сэйкес электрлік тізбектің екііюлюстерін тізбектей немесе параллель қосу арқылы алмастырып, механикалық жүйенің электрлік балама - ... ... ... ... ... ... болады
3-кесте
Механикалық жүйені механикалық тізбек түрінде қарастыру аркылы, бірге қозғалатын екіполюстердің полюстерін жалпы түйінге біріктіреді, ал санақ жүйесіне қарағанда ... ... ... ... немесе қозгалмайтын тірекке қосады.
Мысалы, еркіндік дәрежесі бірге тең ... ... ... Бүл ... ... ... 104, б суретте көрсетілген.
9-сурет
3кестені пайдаланып, 9 суретте бүл тізбектің күш-кернеу баламасы бойынша электрлік үлгі - ... ал бұл ... күш - тоқ ... ... ... үлгі - баламасын көрсетеміз.
Екі еркіндік дәрежелі механикалық жүйе, жүйенің механикалық тізбегі көрсетілген. Бүл жүйенің электромеханикалық баламаның ... жэне ... ... ... ... үлгі-баламасы сәйкесінше көрсетілген.
Механикалық жүйенің механикалық тізбегі мен электрлік үлгі-баламасының құрылымын бұл жүйе щ,т2 жэне тъ үш массадан тұрады. т, массасы ... ... сх ... мен ... ... коэффициенті Ьх болатын демифер арқылы қатаң тіреуішке ... тл, т2 және т, ... ... ... коэффициенттері с2 жэне с3 серіппелерімен жэне түтқырлық ... ... Ь2 жэне Ьг ... ... ... ... тъ ... P3(t) күші түсірілген.
Механикалық жүйеге сэйкес механикалық тізбек күш-кернеу баламасына сэйкес жүйенің электрлік ... ... күш- ток ... ... ... ... көрсетілген.
10-сурет
1.3 Электромеханыкалық жүйелер және осы жүйе тербелістерін зерттеуге Лагранж-Максвелл теңдеулерін қолдану
Механикалық тізбектерде және электрлік тізбектерда да ... ... ... бір ... ... ... ... өзгеру құбылысын білдіреді.
Механикалық және электромагнита энергиялар өзара қайтымды болғандықтан механикалық жэне электромагнитгік жүйелерді ... деп ... ... біріктіруге болады.
Электромеханикалық жуйенің механикалык бөлігі үшін жалпыланған координаталары болып ... ... ... ауыстыру, бұрыш т.с.с) ал электрлік бөлігі үшін - электрлік шамалар (жиектегі тоқ, ... ... ... ... ... ... энергиясының өзгеруі, энергияның сақталуының жалпыланған заңын беретін ... ... ... ... Сонымен бірге, жүйенің механикалық және электрлік айнымалылары ... ... ... ... ... да бір тэуелділік орындалады.
Электромеханикалық жүйе параметрлері арасындағы тэуелділікті орнату үшін жэне осы жүйе тербелістерінің дифференциалдық ... алу үшін ... - ... ... ... ыңғайлы. Себебі, бул теңдеулер энергетикалық негізді, сондықтан да бұл жүйе ... ... ... ... мүмкіндік береді.
Лагранж- Максвелл теңдеулерін құруға кіріскенде, эдеттегідей, жүйенің еркіндік дэреже санын ... эрі ... ... жэне ... ... ... ... тацдап алу қажет.
Бұдан кейін, 6- кестеде келтірілген формулаларды қолданып, жүйенің ... жэне ... ... жүйенің механикалық және электрлік бөліктерінің энергияларының қосындысы ретінде, жэне де жүйенің таралу функциясын механикалық және ... ... ... функцияларының крсындысы ретінде анықтау қажет. Соымен бірге, Ньютондық және электрқозғалтушы күштер эсерінен ... ... ... ... эсер ... ... және күштерді анықтау кажет.
Лагранж - Максвелл теңдеулеріне барлық дербес туындылардың, эрі жүйеге эсер ... ... ... жэне ... емес ... сэйкес жалпыланған күштердің мэндерін қойып, электромеханикалық жүйе тербелістерінің дифференциалдық теңдеулерін аламыз. Бүл теңдеулер саны жүйенің еркіндік дэреже санына, яғни ... ... ... тең ... жүйенің алынған дифференциалдық теңдеулері мен сэйкес байланыс тендеулері арқылы қүрылған, жүйенің механикалық жэне электрлік айнымалылары арасындағы тэуелділік негізінде тербелмелі жүйенің ... ... ... аныктауға болады.
11-сурет
Лагранж-Максвелл теңдеуін еркіндік дәрежесі бірге тең диформацияларды өлшейтін датчиктердің ... ... ... т.е.с ... үшін ... ... қүрылғыны білдіретін карапайым электромеханика-жүйеге қолданайық.
Мұндай қүрылғыда, қатушкадан өтетін тоққа пропорционал Мбур - ... ... ... ... ... ... ... моментімен айналады.
Жүйенің жалпыланған координатасы ретінде катушканың өз осьінен айналу бүрышын аламыз.
Қарастырып отырған жүйенің кинетикалық жэне ... ... ... ... ... қалпына келтіруші момент тудыратын, қатаңдық коэффициент! - с ... ... ... ескере отырып есептейміз.
Т=12i2R+Rk.
Егер сыртқы тізбектің кедергісі R, ал катушканың кедергісі Rk болса, онда ... ... ... ... бөлігінің таралу функциясы мына өрнекпен анықталады:
Φe=12i2R+Rk.
Механикалық және электрлік айнымалылар арасындағы тәуелділікті орнату үшін, ... ... ... қарсы ек күші қозады, ол катушканың бұрыштық жылдамдығына пропорционал:
ek=Вφ,
мұндағы В полюс ... ... ... ... мен ... күш ... ... анықталады.
Катушкадагы тоқ пен магнит арасындағы өзара эсерден пайда болып, электрлік энергияга түрленетін Мбур бүраушы ... ... мына ... ... тізбекке Кирхгоф заңын қолданатын болсақ,
e-ek=e-Bφ=iR+Rk.
Онда
i=e-BφR+Rk
Жалпыланған координатадаға сәйкес жалпыланған күшті, электрлік тізбектен өтетін электрлік тоқ ... ... ... ... ... ... жүйе үшін ... теңдеуі келесі түрде болады:
ddtdTdφ-dTdφ=-dΠdφ-dΦedφ+Qφ.
Бұл жерде
ddtdTdφ=Jφ; dTdφ=0; dTdφ=cφ;
dΦedφ=dΦedφdidφ-iR+Rkiφ=i2R+Rkφ.
Бұл түжырымдарды Лагранж-Максвелл теңдеулеріне қойып, алатынымыз:
Jφ+i2R+Rkφ+cφ=eiφ.
Мұндағы i=e-BφR+Rkболғандықтан, і-ң бұл ... ... ... ... ,
Jφ+B2R+Rkφ+cφ=BR+Rke(t)
немесе
Jφ+cφ=Be-BϕR+Rk=Bi.
Алынаған дифференциалдық теңдеуді зерттей отырып, өлшеуші құрылғының, оған қойылатын талаптарды қанағаттандыратындай параметрлерін орнатуға болады.
60-мысал. Тербелістерді жазатын электромагнита! ... ... m ... ... ... с екі сріппеге орнатылған және датчик табанының вертикаль тербелісі кезінде серіппелердіңдеформацияланбаған орнынан есептегенде х - f(t) ... ... ие ... ... ... ... ... L = L(x) вертикаль ығысуға иропорционал озгереді. Катушка берілген е электр қозғшіысты күші жэне R омдық кедергісі бар электрлік тізбекке ... ... ... датчиктің электрлік тізбегіндағы якорь мен тоқтың козғалысының ... ... құру ... ... ... екі еркіндік дэржелі электромеханикалық жүйенің жалпыланған координатасы ретінде якорьдың х ығысуы мен тізбектегі i ... ... q ... ... ... және потенциалды энергиясын есептейміз,
Τ=ΤM+Τe,
мұндағы
ТМ=12=BφiφMix2;Te=12Lxq2;Π=ΠM+Πe,
мұндағы
Πм=2cx22-mgx; Πe=0.
Сонымен,
Τ=12mix2+12Lxq2;
Π=cx2-mgx;
Φ=Φe=12Ri2=12Rq2.
Ұйытқыған жалпыланған күштер
Qx=0; Qq=e.
Датчиктің ... ... тоқ пен ... ... ... ... қүру үшін жалпыланган координаталарға сэйкес Лагранж-Максвелл теңдеуін қолданамыз:
х координатасы үшін:
ddtdTdx-dTdx=-dΠdx-dΦdx+Qx.
Бұл жерде
ddtdTdx=mx; dTdx=12dLdxq2 ... dΦdx=0; ... ... ... ... dΠdq=0; ... ... Лагранж-Максвелл теңдеулеріне сүйеніп, конденсаторлы микрофон түріндегі электромеханикалық жүйенің қозғалысының дифференциалдық теңдеуін құру қажет. ... ... ... ... ... L ... ... жалғанған өзіндік индукция кату шкал арьгнан, R -омдық кедергіден және тепе-теңдік орнындағы сыйымдылығы С0 ... ... ... ... ... ... с екі ... байланысқан. Қозғалмалы пластинаның массасы т, ал пластиналардың тепе-теңдік орнындағы ара-қашықтығы а - ға тең (109-сурет).
13-сурет
Қарастырып отырған электрлік ... ... ... ... күші бар ... ал қозғалмалы пластинаға P(t) күші эсер етеді.
Шешімі: Карастырып отырған электромеханикалық жүйенің қозгалысьшың дифференциалдык теңдеуін қүру үшін Лагранж-Максвелл теңдеуін қолданамыз.
Жалпыланған ... ... ... ... q ... жэне ... ... тепе-теңдік орнынан х ьгғысуып аламыз. Онда конденсатордьщ толык заряды q0 +q, ал ... ... ... ... х0 + х, ... q0 - конденсатор заряды, ал xQ - жүйенің тепе-тецдік орнындағы пластинаның ... ... ... ... жэне ... ... ... функциясы мен жалпыланған күінін аныктайық.
Τ=ΤM+Τe=12mx2+12Lq2;
Π=ΠM+Πe=212cx+xo2+12q+qo2a-xCoa;
Φ*=Φe=12Rq2.
Qx*=Pt;Qq*=e.
Қарастырын отырган электромеханикалық жүие үшін ... ... ... ... ... ... ... бірінші теңдеуіне кіретін дербес туындыларды есептейік:
dΤdq=mx; ddtdΤdx=mx; dΤdq=0;
dΠdq=2cx+xo-q+qo22Coa.
Бұл мәндерді теңдеуге қою нәтижесінде алатынымыз:
mx+2cx+xo-12q+qo2Coa=P(t)
mx+2cx+2cxo-12q2Coa-qqoCoa-12q02CoaPt.
Бұл ... және ... ... ... күш ... жүйе ... ... Жүйенің орнықты тепе-теңдік орнының маңындағы аз тербелісі мен еркіндік дәрежесі шекті сан болатын жүйенің потенциалдық энергиясы
Діріл әр түрлі факторлардың ... ... ... ... ... соққы әсерінен және қозғалушы жүктемеден, машинаның теңгерілмеген бөліктерінен, бу, газ, су және ... ... ... ... ... мүмкін.
Жүйе тербелісі тепе-теңдік орнының маңында, және де жүйенің қандай да бір анықталған ... ... ... ... ... ... орнының маңындағы тербеліс орнықты тепе-теңдік жағдайында пайда болады. Орнықсыз тепе-теңдік ... жүйе өте аз ... ... орнынан алшақтайды және де бұл орын маңында тербеліс пайда болмайды. ... да ... ... аз тербелістерін зерттеу кезінде бұл жүйелердің тепе-теңдігінің ... ... ... ... күш ... анықталатын голономды және стационар байланысы бар жүйелер үшін бұл критерий жүйенің потенциалды энергиясы жайлы арнайы теоремалармен ... ... ... ... ... ... осы жүйенің жалпыланған координатасының функциясы болады:
; ... тек ... ... аз ... ... Бұл жағдайда, тепе-теңдік орнынан есептелетін жалпыланған координата -ді бірінші дәрежелі аз шама деп ... ... ... ... ... координатаның дәрежесі бойынша Маклорен қатарына жіктейік, нәтижесінде,
Потенциалдық энергияның тепе-теңдік орнындағы мәнін нөлге тең деп алуға ... күш ... ... ... ... - ... ... консервативтік күштер жүйесі
;
Онда консервативті күштер жүйесінің орнықтылық шарты мына түрге ие болады
;
осыдан
.
Сондықтан, теңдіктегі екінші дәрежеден жоғарғы мүшелерді ескермеу ... ... ... жүйенің потенциалдық энергиясының жуық өрнегі келесі түрде жазылады:
өрнегі жүйенің потенциалдық энергиясы жалпыланған координаталардың біртекті ... ... ... ... ... ... ... деп аталады.
шамасы бірінші дәрежелі аз шама болғандықтан, жүйенің потенциалдық энергиясы (9.2.4) формуласымен екінші дәрежелі аз ... ... ... анықталады. Бұл көптеген техникалық есептердің шешімін табуды ықшамдайды және сонымен қатар практикалық мақсаттар үшін ... ... ... ... ... жүйе ... ... туралы Лагранж-Дирихле теоремасы
Голономды және стационар байланыстағы еркіндік дәрежесі және потенциалы бар күштердің әсерінде ... ... ... ... ... ... жүйені консервативті деп атайды. Консервативті жүйе үшін тепе-теңдік теңдеуі
болатыны белгілі.
Бұл теңдеулерден мынадай ұйғарым шығады: қарастырылып отырған жүйенің консервативті күштер үшін ... орны ... осы ... ... энергиясы экстремалды мәнді қабылдайтын орны болып саналады. Бірақ (9.2.1) ... ... ... ... отырған тепе-теңдік орны орнықты немесе орнықты емес екенін тағайындамайды.
Еркіндік дәрежесі шекті сан болатын жүйенің тепе-теңдігінің ... ... ... - ... ... арқылы тағайындалады:
Потенциалдық энергиясы минимумға жететін консервативтік жүйенің тепе-теңдік орны орнықты.
Егер жүйе тепе-теңдігі аз ... ... және аз ... ... бұзылғанда осы тепе-теңдіктің маңында аз тербеліс жасайтын болса, онда консервативті жүйенің тепе-теңдік орны орнықты болады.
Басқаша айтқанда жүйенің ... орны ... ... ... егер
,
бастапқы ауытқуға сәйкес, мұнда жеткілікті мөлшердегі аз саны осы шарт ... ... ... ... ... ... болса, онда жүйенің қозғалысы қарастырылып отырған тепе-теңдік орнының маңында жеткілікті аз аймақпен шектелген.
Лагранж - ... ... ... бұл ... ... үшін ... потенциалдық энергиясы тепе-теңдік орнында минимумға жетуі жеткілікті (бірақ қажетті емес). Бәрінен бұрын, жүйенің потенциалдық энергиясының тепе-теңдік орнындағы мәнін барлық уақытта ... тең деп ... ... ... оның мәні ... ... тұрақтыға дейін анықталады.
Сондықтан,
.
Егер жүйенің потенциалдық энергиясы тепе-теңдік ... ... тең ... және минимумға жететін болса, онда функция
,
мұнда
Координаттарының кез келген біреуі ал қалғанының барлығы -дан кіші немесе тең болған кезде жүйенің ... ... ... ... бұл ... ... ең кіші ... деп белгілейік. Бұдан екені белгілі, яғни ... ... ... ... ... яғни мына шарт
орындалатындай етіп бастапқы жылдамдық -дің мәнін іріктеп алуға болатынын дәлелдейік. Бұлай болғанда, ... кез ... ... қарастырылып отырған тепе-теңдік орны маңында қозғалу кезінде соншалық қажетті аз аймақтың ... ... ... ... ... ... ... энергияның сақталу заңы орындалады, яғни,
;
мұндағы және - жүйенің бастапқы ... ... ... ... және ... ... анықталатын кинетикалық және потенциалдық энергиясы.
Жүйенің кинетикалық энергиясы ... ... онда ... ... ... ... етіп ... алуға болады.
екенін ескеріп,
анықтаймыз. функциясының ең кіші мәні ... ... ... орны ... Бұл шарт тепе-теңдік күйде болатын потенциалдық энергиясы минимум болады ... ... ... Демек, Лагранж-Дирихле теоремасы дәлелденді.
2.3 Еркіндік дәрежесі бірге тең және ... сан ... ... жүйе тепе - ... ... ... ... - Дирихле теоремасы - консервативті күштердің әсерінен болатын механикалық жүйелердің тепе-теңдігі орнықты болады, егер бұл ... оның ... ... ... ие ... - ... ... тағайындайды.
Сонымен, еркіндік дәрежесі бірге тең консервативті механикалық жүйенің тепе-теңдік күйі орнықты екенін ... ... осы ... ... потенциалдық энергиясы минимум екенін айқындауымыз керек.
Бұл жағдайда, егер
болса, минимум шарты орындалады. Егер ... ... ... ... ... потенциалдық энергиясының минимум болу критериі бола алмайды, бұл жағдайда
туындылар тізбегін есептеу қажет.
Егер бірінші туынды нөлге тең ... жұп ... ие ... және ... ... оң ... онда ... потенциалдық энергия минимум болады, демек, жүйенің бұл тепе-теңдік орны орнықты.
Егер бірінші туынды нөлге тең ... тақ ... ие ... онда болғанда минимум да, максимум да жоқ болады.
10-суретте ауырлық ... ... ... ең ... ... ... ... маятник пен шариктің тепе-теңдік орны көрсетілген. Бұл орында денелердің потенциалдық энергиясы минимумға ие болады және ... ... ... ... пен ... ... центрі ең жоғарғы орында орналасқан. Бұл жағдайда дененің потенциалдық энергиясы максимумға ие болады және тепе-теңдік орнықсыз.
11сурет
11-сурет
12-сурет
12- суретте көрсетілген ... ... ... және ... ... тепе-теңдік күйде болады.
10-мысал. Ұзындығы , ал салмағы болатын ОА біртекті ауыр сырығы қозғалмайтын О ... ... Ал оның А ... АВ серіппесі бекітілген. Серіппенің қалыпты жағдайдағы ұзындығы , ал қатаңдығын деп ... ... ... ... шартын анықтау қажет.
Шешімі: Жалпыланған координата ретінде бұрышын алайық. Жүйенің потенциалдық энергиясын ауырлық күші ... ... ... ... потенциалдық энергиясының қосындысы ретінде анықтайық.
=-6Z; =
мұндағы:
;
Сәйкесінше,
13-сурет
Потенциалдық энергиядан жалпыланған координатасы арқылы 1-ші ... 2-ші ... ... ... ... теңдеуден жүйенің тепе-теңдікте болуының екі түрлі шартын аламыз.
1) ; ;
2) ; ... ... жүйе ... ... ... ... етіп және ... тәуелділікті орнатайық. Жүйенің тепе-теңдік жағдайы орнықты болуының (9.4.1) ... ... ... ... ... ... жүйенің тепе-теңдігінің орнықты жағдайы бұрышына сәйкес келеді. ... ... яғни ... ... аз ... онда бұл жағдайда жүйе орнықты тепе-теңдік күйде болады, әрі мына шарт орындалады.
Ал , болғанда жүйенің тепе-теңдігінің ... емес ... сай ... Ұзындығы , ал салмағы ... ОА ... ... Р жүгі ... ... ... болсын. Р жүгі сырықтың ауырлық центріне бекітілген, ұзындығы -ге тең жібінің ... ... ... ВО= биіктікте орналасқан. Жүйенің тепе-теңдік жағдайын анықтап, орнықтылыққа зерттеу қажет.
Шешімі: Сырықтың өсі мен ... ... ... ... жалпыланған координатасы ретінде алайық..
14-сурет
Жүйенің потенциалдық энергиясы
П
мұндағы:
Сәйкесінше,
Потенциалдық энергиядан жалпыланған координатасы арқылы 1-ші немесе 2-ші туынды алайық.
Жүйе тепе-теңдік ... ... ... ... жүйе ... ... екі түрлі шартын береді.
1) ,
2) ... ... ... жүйе ... ... ... ... етіп P және арасындағы тәуелділікті анықтайық.
(9.4.1) шарты бойынша болғанда
Бұдан шығатыны, жүйе орнықты тепе-теңдік жағдайда ... ... ... ... яғни болады.
болғанда
,
Яғни, жүйенің орнықты тепе-теңдік жағдайы
немесе
орындалған болар еді. Бірақ мен арасындағы мұндай тәуелділікте , ал ... ... ... емес.
12-мысал. Көлденең дірілді жазатын аппараттың маятнигінің сырығында салмағы жүгі ілінген. сырығы айналушы ... ... ... ... әрі ол А топсасы арқылы қозғалмайтын центрден айналатын, ұзындығы ... ... ... ... ... салмақтарын ескермей маятниктің вертикаль жағдайының орнықты болуы шартын анықтау қажет.
Шешімі: Жүйенің жалпыланған координатасы ... ... Онда ... ... ... ... үшбұрышынан
;
немесе болғандағы жүйенің тепе-теңдік орнынан ауытқуы кезінде және ... аз шама деп ... ...
, ... ... бұл ... ... потенциалдық энергия өрнегіне қойсақ:
П=.
Потенциалдық энергиядан жалпыланған координатасы арқылы 1-ші және 2-ші туынды алайық ... ... , ... ... ... потенциалдық энергиясы минимум мәнге ие болады, егер
бұдан
,
немесе
.
Бұл шартта зерттеліп отырған тепе-теңдік жағдайы орнықсыз.
Ал, егер ... ... ... ... ... ... болғанда тепе-теңдіктің орнықты болуын анықтау үшін потенциалдық энергиясын бұрышына қарағанда 4-ші ретті ... ... ... ... ... қажет.
13-мысал. Суреттегі күрделі маятниктің тепе-теңдік жағдайы күйентесі көлденең, ал күйентесі мен ... ... ... ... сай ... сырығының ұшына салмағы G цилиндр бекітілген. Сырықтардың салмағын ескермей қандай ... ... ... тепе-теңдік күйде болатынын анықтау қажет.
116-сурет
Шешімі: AC=a; BC=b; BO CO деп белгілейік.
АВ сырығын ... ... ... бұру арқылы маятникті тепе-теңдік күйінен шығарайық. бұрышын жүйенің жалпыланған координатасы ретінде аламыз.
BO немесе CO-ң сәйкес көлденең немесе тік өстермен ... ... және деп ... Бұл бұрыштар мен жалпыланған координатасы келесі теңдеулер ... ... ... OBCO ... ... ... және тік бағытқа проекциялау арқылы алынады. Сырықтардың салмағын ескермей жүйелердің ... ... ... ... 1-ші ретті аз шама ретінде алынып, ал жүйелерінің потенциалдық энергиясы 2-ші ретті аз шама түріндегі нақтылықпен есептелетін, -өте аз ... ... ... ... анықтаймыз. Яғни, және бұрыштары өте аз болғандықтан:
(г)
екенін ... ... (г) ... ... ... ... теңдеулердің 2-сінен бұрышы екінші ретті аз шама екенін көреміз. Демек, 1-ші ... -ты ... ... аз шама ретінде алып тастау нәтижесінде
(д)
Бұл теңдеуден бұрышы 1-ші ... аз шама ... ... Онда (в) ... ... ... ... мәндерін қойсақ,
немесе орнына (д)-ғы мәнін қоямыз
.
Сонымен, жүйенің потенциалдық энергиясы 2-ші ретті аз шама ... ... ... анықталады.
.
Жүйе тепе-теңдігінің орнықтылығының (9.4.1) шартынан , яғни, ... шарт ... ... ... ... ... келеді, демек, жүйенің тепе-теңдік орны орнықты. Егер ... онда бұл ... ... ... ... ... ... еді. Яғни жүйе тепе-теңдігі орнықты емес болар еді.
Лагранж - Дирихле теоремасы тағайындаған еркіндік дәрежесі ... сан ... ... ... орнықтылық шарты мынадан тұрады: орнықты тепе-теңдік орынға потенциалдық энергияның минимум ... ... ... Егер ... ... ... тең жүйе үшін ... энергияның минимум болуы шарты (9.4.1) шартымен анықталатын болса, онда ... ... ... сан ... жүйе үшін ... ... бұл ... бірнеше шарттармен анықталады.
Бұл шарттар, тепе - теңдік орнынан бастап есептегенде жалпыланған координаталардың кез келген өсімшесіне потенциалдық энергияның оң өсімшесі сәйкес ... ... жүйе ... ... ... ... ... Еркіндік дәрежесі болатын консервативті жүйенің потенциалдық энергиясы (9.2.4) өрнегімен анықталады:
.
Лагранж - Дирихле ... ... ... потенциалдық энергиясы оң таңбасы анықталған формада бейнеленеді.
Функция таңбасы анықталған деп аталады, егер ... кез ... ... ол бір ғана таңбаны сақтайтын болса, яғни не оң, не ... ... ... ... ... форма анықталған оң екенін көрсететін шартты анықтау үшін, квадраттық форманың таңбасы анықталғандығы туралы Сильвестр критериін қолданамыз: квадраттық форма анықталған, әрі оң ... ... оның ... ... бас ... оң болуы қажетті және жеткілікті, яғни мынадай шарттар орындалуы керек:
Жүйенің потенциалдық энергиясы үшін:
Сонымен қатар және ... ... саны ... жүйелердің тепе-теңдігінің орнықтылығын зерттеу анағұрлым қиындай түседі. Лагранж - Дирихле ... ... ... ... ... ... ие ... оның тепе-теңдік орны орнықты деген ұйғарымға мүмкіндік беретін критерийді береді. Бірақ бұл теорема бойынша жүйенің тепе - теңдік ... ... ... ... болмаған жағдайда оның тепе-теңдігі қалай болатынын анықтауға болмайды.
Бұл жағдайда ... ... ... ... мынадай теоремасын қолдануға болады.
1.Теорема. Жүйенің тепе-теңдік орны орнықсыз тепе-теңдік орын болады, егер жүйенің потенциалдық энергиясы бұл ... ... ие ... ... ... минимумның жоқ болуы, потенциалдық энергия теңдеуін координаттардың аз өсімшесінің дәрежесі бойынша Маклорен қатарына жіктеу ... ... ... ... реттік аз мүшелерімен анықталады .
2.Теорема. Жүйенің тепе-теңдік орны орнықсыз тепе-теңдік орын болады, егер жүйенің потенциалдық энергиясы бұл ... ... ие ... ... бірге максимум бар болуы, потенциалдық энергия теңдеуін координаттардың аз өсімшесінің дәрежесі бойынша Маклорен ... ... ... ... ... жоғарғы реттен кемірек аз мүшелерімен тағайындалады.
2-теорема, потенциалдық энергияның минимумының бар болуын немесе жоқ болуын ... ... ... ... ... болмаған кезде қолданылады, мысалы потенциалдық энергияны жіктегенде екінші ... аз мүше жоқ ... және ... ... консервативті жүйе тепе-теңдігі жағдайына жатады.
Консервативті емес жүйе тепе-теңдігінің орнықтылығын жүйе тепе-теңдігі бұзылғаннан кейін пайда ... ... ... ... жолымен анықтайды. Бұл жағдайда аз тербелістер теориясын қолданады.
12-мысал. Екі ... ... ... ... ... ... ... анықтайық. Сырықтар қатаңдығы және болатын көлденең серіппелермен бекітілген болсын. 1-ші серіппе 1-ші сырықтың ұшына, ал 2-ші ... ... ... ... бекітілген. бірінші сырықтың ұзындығы, сәйкесінше екінші сырықтың ұзындығы. Ал сырықтың салмақтары .
Шешімі: Жалпыланған координаталар ретінде ... ... ... ... ... және -ні алайық. Жүйенің потенциалдық энергиясын, П-ауырлық күші өрісіндегі потенциалдық энергиясы, П-деформацияланған серіппелердің потенциалдық энергиясы және П-жүйенің тепе-теңдік ... ... ... ... ... алайық
17-сурет
;
Сәйкесінше,
Мұндағы;
және ,
онда
бұл жерден
4c+
; ... ... ... жүйе ... орнықтылығының келесі шарттарын анықтайық:
1)
2)
Бұдан шығатыны: ... ... ... ... ... ... саны үшке тең жүйе ... орнықтылық шартын анықтау қажет. Мұндағы; жүйенің жалпыланған координатасы: тұрақтылар.
Шешімі: Жүйелердің потенциалдық энергиясы оң анықталған ... үшін оның ... бас ... минорлары оң болуы қажет. Сонымен
;
;
;
Сильвестр критерилерін пайдаланып, жүйе ... ... үшін ... шарттарды аламыз:
1)
2) ; ;
3) ... ... ... ... ... ... ... есептейміз.
сондықтан да
Сәйкесінше, жүйенің тепе-теңдігінің орнықтылық шарттары келесі теңсіздіктермен анықталады.
Қорытынды
Электрлік тізбек көмегімен еркіндік ... ... тең ... ... ... ұйытқушы күштер әсерінен болатын мәжбүрлі тербелісін зерттеуге болады.
s еркіндік дәрежелі механикалық ... ... ... ... түрде құрастырылған s жиектемелі электрлік тізбек алынады.
Электрлік тізбекке ... - ... ... қолдану кезінде келесіні есте сақтау қажет; LJk, Rjk және Cjk коэффициенттеріиндуктивтілік, омдық кедергі және жалпы тармақтың j-ші және k-шы ... ... ... ... ... ... және ... Ljk, Rkl және CJk -ға оң таңбамен ... егер iу және ік ... оң ... тармақтарда беттессе; ал керісінше болған жағдайда теріс таңбамен кіреді. Максвеллдың өзаралық ... ... Rjk=Rkj; ... ... деп ... ... ... екінші жүйесі Кирхгофтың бірінші заңы негізінде қүрылған: түйіндегі тоқтардың ... ... ... ... жүпты түйіндері бар сызықты электрлік тізбекті қарастырайық.. ... ... ... ретінде и кернеуін аламыз.
Бұл жағдайда
T1=12j=1sk=1sCjkujuk; Π1=12j=1sk=1s1Ljkujuk;
Φe=12j=11k=111Rjkujuk.
Бұл жерде s ... ... ... ... кинетикалық энергиясына электрлік өріс энергиясы, потенциалды энергиясына -магнит ... ... ... ... - тоқтың жылдамдығының dijdt өзгеруі сәйкес келеді.
Жалпыланған электрлік ... ... и ... ... ... Лагранж -Максвелл теңдеулерінен s жұпты түйіндері бар электрлік тізбек үшін келесі дифференциалдық теңдеулер жүйесін аламыз:
k=11Cjku+k=1s1Rjkuk+k=111Ljkuk=dijdi J=1,2,...,s
немесе матрицалық түрде
Cu+1Ru+1Lu=didt ... ... ... бар (s = 1) ... ... ... С -сыйымдылық:
Πe=121LCu2.
Мүндағы 1L инверсті индуктивтілік:
Пe=12 1Ru2,
мұндағы 1R өткізгіштік.
Фe=12 1Ru2,
Бұл электрлік тізбек үшін дифференциалдық ... мына ... ... ... ... бірге тең механикалық жүйенің мәжбүр тербелісінің дефференцилдық теңдеуі,бізге белгілі,келесі ... ... ... ... ... Ө.А , ... М.Н, ... К, Теороялық механика. Алматы: Мектеп,1982.,т.І,1992.,ІІ
2. Бухгольц Н.Н. Основной курс тоеритеческой механики. Ч.2.М.:Наука, 1972.
3. Вульфсон И.И., ... М.З. ... ... ... ... Л.: ... 1968.
4. Пановко Я.Г., Введение в теорию механических колебаний. , 1971.
5. Ғ,У,Уалиев, К.Бисембаев, ... ... ... ...

Пән: Физика
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Көлемі: 60 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 1 600 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Аймақтық және интегралдық реография8 бет
Физика пәнінен дәріс сабақтарының мән жазбалары113 бет
Электромагниттік толқындарды эксперементте бақылау16 бет
"Инбридинг және аутбридинг"16 бет
Байланыс жүйесі32 бет
Гармониялық осциллятор7 бет
Кодтаудың және дискреттi каналдың негізгі ұғымдары мен анықтамалары36 бет
Механикалық тербелістер мен тербелмелі жүйелер 50 бет
Модельдер көптігі, модельдер құрылымы6 бет
Модельдеу этаптары жайлы8 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь