Электромеханикалық ұқсастық және оның тербелісті зерттеуге қолданылуы

Пән: Физика
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 61 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

Кіріспе . . . 3

І. Электромеханикалық ұқсастық жүйелері және электромеханикалық балама . . . 6

Электромеханикалық ұқсастықтың бірінші жүйесі және күш кернеу және екінші жүйесі күш тоқ . . . 6Электромеханикалық баламаны қолдану және механикалық жүйе баламаларының-электрлік үлгілерін құру . . . 28Электромеханикалық жүйелер және осы жүйе тербелістерін зерттеуге Лагранж-Максвелл теңдеулерін қолдану және механикалық жүйе тербелістерін электрлік модельдеу, масштабтық коэффициенттер және ұқсастық индикаторы . . . 30

ІІ. Консервативті күш өрісіндегі жүйе тепе-теңдігінің орнықтылығы . . . 39

2. 1 Жүйенің орнықты тепе-теңдік орнының маңындағы аз тербелісі мен еркіндік дәрежесі шекті сан болатын жүйенің потенциалдық энергиясы . . . 39

2. 2 Консервативті жүйе тепе-теңдігінің орнықтылығы туралы Лагранж-Дирихле теоремасы . . . 42

2. 3 Еркіндік дәрежесі бірге тең және шекті сан болатын консервативті жүйе тепе-теңдігінің орнықтылығы. Сильвестр критериі . . . 45

Қорытынды . . . 61

Қолданылған әдебиеттер тізімі . . . 63

Кіріспе

Зepттeyдiң өзeктiлiгi: Механикалық және электромагнита энергиялар өзара қайтымды болғандықтан механикалық және электромагниттік жүйелерді электромеханикалық деп аталатын жүйеге біріктіруге болады.

Электромеханикалық жуйенің механикалык бөлігі үшін жалпыланған координаталары болып геометриялық шамалары (орын ауыстыру, бұрыш т. с. с) ал электрлік бөлігі үшін - электрлік шамалар (жиектегі тоқ, түйін потенциалы) алынады.

Электромеханикалық жүйелердегі тербелмелі процесстер энергиясының өзгеруі, энергияның сақталуының жалпыланған заңын беретін термодинамикалық бірінші басталуымен сэйкес болады. Сонымен бірге, жүйенің механикалық және электрлік айнымалылары арасында, байланыс теңдеулерімен анықталатын, қандай да бір тэуелділік орындалады.

Электромеханикалық жүйе параметрлері арасындағы тэуелділікті орнату үшін жэне осы жүйе тербелістерінің дифференциалдық теңдеулерін алу үшін Лагранж - Максвелл теңдеулерін қолдану ыңғайлы. Себебі, бул теңдеулер энергетикалық негізді, сондықтан да бұл жүйе параметрлері арасындағы тэуелдділікті орнатуға мүмкіндік береді.

Лагранж- Максвелл теңдеулерін құруға кіріскенде, эдеттегідей, жүйенің еркіндік дэреже санын анықтап, эрі күйінің механикалық жэне электрлік бөліктерінің жалпыланған координаталарыи тацдап алу қажет.

Жүйенің кинетикалық жэне потенциалды энергияларын жүйенің механикалық және электрлік бөліктерінің энергияларының қосындысы ретінде, жэне де жүйенің таралу функциясын механикалық және электрлік бөліктерінің таралу функцияларының крсындысы ретінде анықтау қажет. Соымен бірге, Ньютондық және электрқозғалтушы күштер эсерінен болатын жүмысты ескеріп, жүйеге эсер ететін механикалық және күштерді анықтау кажет.

Лагранж - Максвелл теңдеулеріне барлық дербес туындылардың, эрі жүйеге эсер ететін берілген консервативті жэне конссрвативті емес күштерге сэйкес жалпыланған күштердің мэндерін қойып, электромеханикалық жүйе тербелістерінің дифференциалдық теңдеулерін аламыз. Бүл теңдеулер саны жүйенің еркіндік дэреже санына, яғни жалпыланған координаталар санына тең болады.

Зepттeyдiң ныcaны: Электромеханикалық ұқсастық және оның тербелісті зерттеуге қолданылуы.

Зepттey пəнi: Электромеханикалық ұқсастық және оның тербелісті зерттеуге қолданылуы.

Зepттeyдiң мaқcaты: Электромеханикалық ұқсастық жүйелері және электромеханикалық баламаларын, консервативті күш өрісіндегі жүйе тепе-теңдігінің орнықтылығын және электромеханикалық ұқсастық және оның тербелісті зерттеуге қолданылуын зерттеу .

Зepттeyдiң мiндeттepi:

Электромеханикалық ұқсастықтың бірінші жүйесі және күш кернеу және екінші жүйесі күш тоқты;
Электромеханикалық баламаны қолдану және механикалық жүйе баламаларының-электрлік үлгілерін құруды;
Электромеханикалық жүйелер және осы жүйе тербелістерін зерттеуге Лагранж-Максвелл теңдеулерін қолдану және механикалық жүйе тербелістерін электрлік модельдеу, масштабтық коэффициенттер және ұқсастық индикаторын;
Жүйенің орнықты тепе-теңдік орнының маңындағы аз тербелісі мен еркіндік дәрежесі шекті сан болатын жүйенің потенциалдық энергиясын;
Консервативті жүйе тепе-теңдігінің орнықтылығы туралы Лагранж-Дирихле теоремасын;
Еркіндік дәрежесі бірге тең және шекті сан болатын консервативті жүйе тепе-теңдігінің орнықтылығы. Сильвестр критериін зерттеу.

Диплoмдық жұмыcтың пəнi - Электромеханикалық ұқсастық және оның тербелісті зерттеуге қолданылуын зерттеу.

Зepттeyдiң дepeккөздepi: Зepттey жұмыcындa пaйдaлaнылғaн дepeктep тoбын құжaттap құpaйды. Дepeктepдi пaйдaлaнy жұмыcтың aлдынa қoйғaн мəceлeлepдi мeйлiншe тoлық зepттeyгe жəнe жұмыcтың мaқcaттapы мiндeттepiн aшyғa мүмкiндiк бepгeнi cөзciз.

Зepттey жұмыcының тeopиялық нeгiзi н oтaндық жəнe шeтeлдiк ғaлымдapдың ғылыми қopытындылapы құpaйды. Зepттey жұмыcындa жинaқтay, тaлдay, жүйeлey əдicтepi қoлдaнылды. Coнымeн қaтap кeңiнeн қoлдaнылaтын жүйeлey əдicтepi дe зepттey жұмыcынa apқay бoлды.

Зepттey жұмыcын ғылыми нeгiз дe жүйeлeп, oның нəтижeciн шығapy үшiн, coл apқылы бaяндay, тaлдay жəнe бoлжay түpiндe нeгiзгi мaқcaттapғa қoл жeткiзy үшiн ғaлымдap əpтүpлi əдicтepдi зepттeгeн.

Зepттeyдiң əдicтepi. Зepттeлeтiн мəceлeлep жөнiндeгi электромеханикалық ұқсастық және оның тербелісті зерттеуге қолданылуы туралы əдeбиeттepдi зepдeлey, caлыcтыpy, тaлдay, тұжыpымдay, capaптay, caлыcтыpy, қopытy əдicтepi қoлдaнылды.

Зepттey жұмыcының құpылымы: кipicпe, eкi бөлiмнeн, қopытынды жəнe қoлдaнылғaн əдeбиeттep тiзiмiнeн тұpaды.

І. Электромеханикалық ұқсастық жүйелері және электромеханикалық балама

1. 1 Электромеханикалық ұқсастықтың бірінші жүйесі және күш кернеу

Әртүрлі жүйелердің тербелмелі қозғалыстарының ерекшелігі, олар бірдей математикалық теңдеулермен өрнектеледі.

Сондықтан, қандай да бір жүйенің қозғалысының дифференциалдық теңдеулерге зерттеу негізінде орнатылған қасиеттерін, қозғалысының дифференциалдық теңдеулері сондай болатын кез келген басқа жүйеге қолдануға болады. Мұндай жүйелер балама(ұқсас) жүйелер деп аталады.

Механикалық жүйелермен тығыз байланысқан ұқсас жүйелер ретінде бірнеше индуктивті байланысқан жүктеме құрайтын тоғы бар, сымдардың жиынтығынан тұратын электрлік тізбектер алынады.

Электрлік тізбектердегі тербелісті зерттегенде, электрлік және механикалық тербелістердің дифференциалдық теңдеулері арасындағы баламаны пайдаланады.

Электрлік тізбектің элементтері болып кернеу мен тоқ (белсенді элементтер), кедергінің қайнар көзі, конденсаторлар мен индуктивтілік катушкалары (енжар элементтер) алынады.

Сызықты s-жиектемелі электрлік тізбекті қарастырайық.

Оның жиектегі тоқтарын i ₁ (l=1, 2, …, s) деп белгілейміз.

Бұл тізбектің магнит өрісінің энергиясы мына өрнекпен анықталады:

$Т_{e} = \frac{1}{2}\sum_{y = 1}^{s}{\sum_{k = 1}^{s}{L_{jk}q_{j}q_{k}}}$

Мұндағы L -тізбектің сәйкес элементтерінің индуктивтілігі.

$i\ = \ \frac{dq}{dt}\ = \ q$ , мұндағы q- қандай да бір бастапқы мезеттен

алғандағы сымның көлденең қимасы арқылы өтетін электр саны болғандықтан,

$Т_{e} = \frac{1}{2}\sum_{j = 1}^{s}{\sum_{k = 1}^{s}{L_{jk}q_{j}q_{k}}}$

Тізбектің электрлік өрісінің энергиясы мына өрнекпен анықталады:

$П_{e} = \frac{1}{2}\sum_{j = 1}^{1}{\sum_{k = 1}^{1}{\frac{1}{C_{\mu}}q_{j}q_{k}}}$

мұндағы C _jk -cыйымдылық, ал $\frac{1}{C_{jk}}$ тізбектің сәйкес элементтерінің инверсті сыйымдылығы.

Тізбектегі энергияның джоульдік жылуға шығыны ыдырау функциясы арқылы анықталады:

$\Phi_{e} = \frac{1}{2}\sum_{j = 1}^{s}{\sum_{k = 1}^{s}{R_{jk}i_{j}i_{k} = \frac{1}{2}\sum_{j = 1}^{s}{\sum_{k = 1}^{s}{R_{jk}q_{j}q_{k} =$

мұндағы R _Jk (j, к = 1, 2, . . . , s) - омдық кедергілер.

Омдық кедергідегі энергия шығынына сәйкес келетін жалпыланған күш мына өрнекпен анықталады:

$Q_{jR} = - \frac{\partial Ф}{{\partial q}_{j}}$

Қандай да бір уақыт аралығындағы кернеудің элементар жұмысы былай анықталады:

$\sum_{j = 1}^{s}{{\delta A}_{j} = \sum_{j = 1}^{s}{u_{j}i_{j}dt} = \sum_{j = 1}^{s}{u_{j}{dt}_{j}. }}$

s еркіндік дәрежелі және q _j (j = 1, 2, . . . , s) болатын s геометриялық жалпылама координаталы механикалық жүйе үшін, екінші ретті аз шамаға дейінгі дәлдікпен есептелген кинетикалық және потенциалдық энергиялары өрнегімен анықталады:

$T = \frac{1}{2}\sum_{j = 1}^{s}{\sum_{k = 1}^{s}{a_{jk}q_{j}q_{k}}}$

және

$П = \frac{1}{2}\sum_{j = 1}^{1}{\sum_{k = 1}^{1}{c_{jk}q_{1}q_{k}}}$

Мұндағы а _jk және с _jk -осы жүйенің инерция және қатаңдық коэффициенттері.

Жылдамдыққа пропорционал кедергі күшінің таралу функциясы мына өрнекпен анықталады:

$Ф = \frac{1}{2}\sum_{j = 1}^{s}{\sum_{k = 1}^{s}b_{\mathbf{jk}}q_{j}q_{k}}$

мұндағы b _jk - диссипация коэфиценттері.

Жүйеге түсірілген қалған күштердің элементар жұмысы (потенциалы бар күштен және кедергі күштен басқасы) мынаған тең:

$\sum_{j = 1}^{s}{{\delta A}_{j} = \sum_{j = 1}^{s}{Q_{j}{dq}_{j}}, }$

мұндағы Q _j -oсы күштерге сәйкес жалпыланған күш.

Көріп отырғанымыздай, қарастырып отырған екі жүйе үшін жазылған формулалардың барлығы да ұқсас және электрлік теңдеулерді құру үшін екінші ретті Лагранж теңдеулерін пайдалануға болады.

Жалпыланған координатасы ретінде электр саны q _j (j =1, 2, . . . , s) алынған кездегі электрлік тізбектерге екінші ретті Лагранж теңдеулерін қолдану мүмкіндігін Максвелл көрсеткен. Сондықтан да электрлік тізбектер мен электромеханикалық жүйелерге қолданылған екінші ретті Лагранж теңдеулерін Лагранж-Максеелл тецдеулері деп атайды.

q _j және q _j үшін барлық коэффициенттер түрақты деп алынып, механикалық жүйе үшін

$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial Т}{{\partial q}_{j}} \right) = - \frac{\partial П}{{\partial q}_{j}} - \frac{\partial Ф}{{\partial q}_{j}} + Q_{j\ (j = 1, 2, \ldots, s) }$

электрлік жүйе үшін

$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial Т_{e}}{{\partial q}_{j}} \right) = - \frac{{\partial П}_{e}}{{\partial q}_{j}} - \frac{{\partial Ф}_{e}}{{\partial q}_{j}} + e_{j\ (j = 1, 2, \ldots, s) }$

Бұл жағдайда механикалық жүйенің кинетикалық энергиясына магнит өрісі, потенциалды энергиясына - электрлік өріс энергиясы, таралу функциясына - Ф _e функциясы, Q _j жалпыланған күштерге -жүйенің электрлік диссипациясы е _j сәйкес келеді.

Лагранж - Максвелл теңдеулерін келесі дифференциалдық теңдеулер жүйесіне келтіреді:

механикалық жүйеүшін

$\sum_{k = 1}^{s}a_{jk}q_{k} + \sum_{k = 1}^{s}{b_{jk}q_{k} +}\sum_{k = 1}^{s}c_{jk}q_{k} + Q_{j\ \ \ }(j = 1, 2, \ldots, s)$

электрлік жүйе үшін

$\sum_{k = 1}^{s}L_{jk}q_{k} + \sum_{k = 1}^{s}{b_{jk}q_{k} +}\sum_{k = 1}^{s}\frac{1}{C_{jk}}q_{k} + e_{j\ \ \ }(j = 1, 2, \ldots, s)$

немесе матрицалық түрде

$a\{ q + b\left\{ q \right\} + \left c \right\left\{ q \right\} = \left\{ Q \right\};$

$\left L \right\left\{ q \right\} + \left R \right\left\{ q \right\} + \left\ \frac{1}{C} \right\\left\{ q \right\} = \left\{ e \right\},$

мұндағы L{q} - индуктивтілік катушкасының орамындағы кернеудің төмендеуі;

R{q}-омдық кедергілердегі кернеудің төмендеуі; $\left\ \frac{1}{C} \right\\left\{ q \right\} -$ конденсатордағы кернеудің төмендеуі.

Бірінші теңдеулер s еркіндік дәрежелі механикалық жүйе тербелісін анықтайды; екіншілер - s жиектемелі электрлік жүйе
тербелістерін анықтайды және Кирхгофтың екінші заңын өрнектейді: жүйенің электрлік диссипациясының тізбектің кез-келген
жиектемесіндегі алгебралыц қосындысы осы жиектеме элементтеріндегі кернеу төмендеулерінің алгебралық қосындысына тең.

Тербелістің екеуі де екінші ретті тұрақты коэффициент! біртекті емес сызықты дифференциалдық теңдеулермен анықталады. Әрі, екінші дифференциалдық теңдеу электромеханикалық баламаның бірінші жүйесіне, нақты айтқанда күш - кернеу баламасына сәйкес келеді. Бұл жүйеде а инерция коэффициенттерінің матрицасына L индуктивтілік матрицасы; b диссипация коэффициенттері матрицасына - R омдық кедергілер матрицасы; c қатаңдық коэффициеттері матрицасына- $\left\ \frac{1}{C} \right\\$ сыйымдылық матрицасы; {Q} жалпыланған күштер матрицасына - {е} жүйенің электрлік диссипация матрицасы (ж. э. д) ; q геометриялық жалпыланған координаталарға - q электр саны сәйкес келеді.

Еркіндік дәрежесі бірге тең жүйе үшін ( s = 1 ) ;

$T = \frac{1}{2}{aq}^{2}; \ \ \ \ \ \ T_{e} = \frac{1}{2}Lq^{2};$

$П = \frac{1}{2}cq^{2}; \ \ \ \ \ \ \ \Pi_{1} = \frac{1}{2}\frac{1}{C}q^{2},$

мұндағы С-конденсатор сыйымдылығы.

$\phi = \frac{1}{2}bq^{2}; \ \ \phi_{e} = \frac{1}{2}Rq^{2}. \ \ \ Q(t) ; \ \ e(t) .$

Бұл жүйелер үшін дифференциалдық теңдеулер келесі түрде болады:

aq + bq + cq = Q(t)

$Lq\ + \ Rq\ + \ \frac{1}{С}q\ = \ e(t) .$

Сонымен, нүктелеріне қалпына келтіруші, кедергі және ұйытқушы күштер әсер ететін еркіндік дәрежесі бірге тең механикалык жүйе үшін 93-суретте көрсетілген бір жиектемелі электрлік тізбек балама болып табылады.

1-сурет

дифференциалдық теңдеулерін салыстыру арқылы, а инерция коэффициенттеріне L индуктивтілігі , b диссипация коэффициентіне - R омдық кедергі; с қатаңдық коэффициентіне- $\frac{1}{C}$ инверсті
сыйымдылыгы; С - конденсатор сыйымдылығына - $a = \frac{1}{C}$ икемділік

коэффициенті, Q(t) жалпыланған күшке - e(t) электрлік козғаушы күші сәйкес келетінін көреміз.

Мұндай электрлік тізбек көмегімен еркіндік дәрежесі бірге тең механикалық жүйенің әртүрлі ұйытқушы күштер әсерінен болатын мәжбүрлі тербелісін зерттеуге болады.

s еркіндік дәрежелі механикалық жүйенің баламасы болып сәйкес түрде құрастырылған s жиектемелі электрлік тізбек алынады.

Электрлік тізбекке Лагранж - Максвелл теңдеуін қолдану кезінде келесіні есте сақтау қажет; L _Jk , R _jk және C _jk коэффициенттері
индуктивтілік, омдық кедергі және жалпы тармақтың j-ші және k-шы жиектемелерінің сыйымдылығын білдіреді.

Сонымен бірге индуктивтілік, кедергі және сыйымдылық L _jk , R _kl және C _Jk -ға оң таңбамен кіреді, егер i _у және і _к тоқтарының оң бағыттары

жалпы тармақтарда беттессе; ал керісінше болған жағдайда теріс таңбамен кіреді. Максвеллдың өзаралық принципіне сәйкес

$L_{jt} = L_{kj}; \ \ R_{jk} = R_{kj}; {\ C}_{jk} = C_{kj};$

Күш-тоқ баламасы деп аталатын электромагниттік баламаның екінші жүйесі Кирхгофтың бірінші заңы негізінде қүрылған: түйіндегі тоқтардың алгебралық қосындысы нолъге тең.

s жүпты түйіндері бар сызықты электрлік тізбекті қарастырайық. . Жалпыланған электрлік координата ретінде и кернеуін аламыз.

Бұл жағдайда

$T_{1} = \frac{1}{2}\sum_{j = 1}^{s}{\sum_{k = 1}^{s}C_{jk}}u_{j}u_{k}; \ \ \ \ \Pi_{1} = \frac{1}{2}\sum_{j = 1}^{s}{\sum_{k = 1}^{s}\frac{1}{L_{jk}}}u_{j}u_{k};$

$\Phi_{e} = \frac{1}{2}\sum_{j = 1}^{1}{\sum_{k = 1}^{1}\frac{1}{R_{jk}}}u_{j}u_{k}.$

Бұл жерде s еркіндік дәрежелі механикалық жүйенің кинетикалық энергиясына электрлік өріс энергиясы, потенциалды энергиясына -магнит өрісі энергиясы, жалпыланган күштерге - тоқтың жылдамдығының $\frac{di_{j}}{dt}\$ өзгеруі сәйкес келеді.

Жалпыланған электрлік координата ретінде и кернеуі алынған жағдайда Лагранж -Максвелл теңдеулерінен s жұпты түйіндері бар электрлік тізбек үшін келесі дифференциалдық теңдеулер жүйесін аламыз:

$\sum_{k = 1}^{1}C_{jk}u + \sum_{k = 1}^{s}{\frac{1}{R_{jk}}u_{k} + \sum_{k = 1}^{1}\frac{1}{L}_{jk}u_{k} = \frac{{di}_{j}}{di}}\ \ (J = 1, 2, \ldots, s)$

немесе матрицалық түрде

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\ C \right\\left\{ u \right\} + \left\ \frac{1}{R} \right\\left\{ u \right\} + \left\ \frac{1}{L} \right\\left\{ u \right\} = \left\{ \frac{di}{dt} \right\}$ (7)

Бір жұпты түйіні бар (s = 1) электрлік тізбек үшін:

$T_{e} = \frac{1}{2}Cu^{2},$

мұндағы С -сыйымдылық:

$\Pi_{e} = \frac{1}{2}\frac{1}{L}{Cu}^{2}.$

Мүндағы $\frac{1}{L}$ инверсті индуктивтілік:

$П_{e} = \frac{1}{2}\ \frac{1}{R}u^{2},$

мұндағы $\ \frac{1}{R}$ өткізгіштік.

$Ф_{e} = \frac{1}{2}\ \frac{1}{R}u^{2},$

Бұл электрлік тізбек үшін дифференциалдық теңдеу мына түрде болады

$Cu + \frac{1}{R}u + \frac{1}{L}u = \frac{di}{dt}$

2-сурет

Еркіндік дәрежесі бірге тең механикалық жүйенің мәжбүр тербелісінің дефференцилдық теңдеуі, бізге белгілі, келесі түрде болады;

$aq + bq + cq = Q(t) .$

Cонымен, нүктелер қалпына келтіруші, кедергі және ұйытқушы куштер әсер ететін, электромеханикалық баламасының екінші жүиесі күш-тоқ болатын, еркіндік дәрежесі бірге тең механикалық жүйенің баламасы 94-суретте көрсетілген бір жұпты түйіні бар электрлік тізбек болып табылады.

Еркіндік дәрежесі бірге тең электромеханикалық жүйелердегі балама шамалары

Жүйе

Жалпыланған координата

Диф. тең. Коэф.

Жалпыланған ұйытқушы күш

Жүйе: Мех. жүйе

Жалпыланған координата: Q

Диф. тең. Коэф.: a

Жалпыланған ұйытқушы күш: b

Q(t)

Жүйе: Күш - кернеу баламасы

Жалпыланған координата: Q