Ретсіз уақыт қатарларын фракталды талдау


МАЗМҰНЫ:

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 3
1. Фракталды талдау және ретсіз уақыт қатарларының теориялық негіздері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
7
1.1 Фрактал. Фракталды өлшемділік ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 7
1.2 Уақыт қатарларының фракталдық қасиеті ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 14
1.3 Аттрактордың стохастикалық мінездемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 17
2. Ретсіз уақыт қатарларын фракталды талдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 22
2.1 Стохастикалық мінездемені есептеу әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 22
2.2 Ляпунов көрсеткіштері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.3 Колмогоров энтропиясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.4 Жылу.энергетикалық ресурстарға болжам жасау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
3. Тәжірибелік.эксперименттік жұмыс және оның нәтижелері ... ... ... ... ..
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Пайдаланылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 34
35
38
44
49
50
Зерттеудің өзектілігі. Қазіргі таңда күрделі жүйенің қасиеттерін үйренуде, сонымен қатар экспериментті зерттеулерде жүйемен жасалған сигнал талдауына негізделген әдістер кеңінен таралған. Бұл қарастырылып отырған процесті математикалық суреттеу мүмкін емес жағдайларда қолданылады. Сондықтан жүйе анализі, әсіресе эксперименталды зерттеулерде, регистрленген сигналдардың өңделуімен жүзеге асады. Мәселен, аритмологияда осындай сигнал ретінде электрокардиограмма, сейсмологияда – қыстық шоғырмақтың тербелісінің жазбасы пайдаланылады. Көбіне мұндай сигналдар зерттелуші, ал зерттеу әдісі – динамикалық жүйенің реконструкциясы деп аталынады. Бұл динамикалық жүйе теориясының бөлігі уақыт қатарларының талдауы деп аталады.
Зерттелуші – үздіксіз немесе кейбір уақыт аралықтарында ауыспалы мәндерінің реті. Зерттелуші терминінің орнына уақыт қатарлары ұғымы жиі қолданылады. Теңдеудің толық шешімінің орнына тек уақыт қатарларының болуы зерттеу жүйесі жайындағы білімімізді шектейді. Ол реконструкция әдісінің мүмкіндігіне үлкен шектеу қояды.
Скалярлық уақыт қатары деп N саннан тұратын алап аталады. Ол уақыт мерзімінде кейбір қадамымен зерттелуші динамикалық айнымалы мәндерін ұсынады. Уақыт қатарларының талдауында екі негізгі мақсаттар бөлініп көрсетіледі: идентификация мақсаты және болжам мақсаты.
Идентификация мақсаты зерттелуші талдауында мына сұраққа жауап береді, жүйе параметрлері қандай, берілген уақыт қатарлары туындайтын – енгізу өлшемі, корреляциялық өлшем, энтропия және т.б. Енгізу өлшемі – бұл бір мезетте зерттелуші үдерісті суреттейтін динамикалық айнымалылардың минимальды саны. Корреляциялық өлшемділік жүйе аттракторының фракталды өлшемінің бағасы және жиі өлшемнің жалпылама ықтималдығы болып табылады. Энтропия ұғымының мағынасы барлық жүйе және қатар мәндерімен байланысты.
Болжам мақсаты зерттеу нәтижесінде берілген обьектінің алдағы мәнін айту, яғни кейбір уақыт бөліктеріне сәйкес болашаққа болжам жасау. Қазіргі кезде болжамның әртүрлі әдістері табылған. Алайда олардың барлығы екі негізгі класқа бөлінеді: локальды және жаһандық. Мұндай жіктеулер функция парамертлерін анықтау обласында жүргізіледі.
Бірінші болып жаһандық әдіс ойлап табылды. Кейін сызықтық емес динамика шеңберінде жаңа практикалық әдістер пайда болды:
● сингулярлы спектрлі талдау , ол жаһандық әдіс болып табылады;
● локальды аппроксимация ;
● бірігуі;
Уақыт қатарларында негізделген теориялық зерттеулер көптеген жәйттарды түсінуге мүмкіндік береді.
Фракталды талдауды ең бірінші зерттеп және оны белсенді қолданған Билл Вильямс болды. Ол үлкен ғылыми жұмыс жасап, соның негізінде
Пайдаланылған әдебиеттер
1. Божокин С. В, Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
2. Заславский Г. М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984. C. 270.
3. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988. C. 240.
4. Федер И. Фракталы. М.: Мир, 1990.
5. Быстрай Г. П. Детерминированный хаос при химических реакциях в межфазном слое при высоких температурах // ТВТ. 2004. Т. 42, № 1. C. 81.
6. Мандельброт Д. Фрактальная геометрия природы. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.
7. Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов
8. Павлов А. Н. Методы анализа сложных сигналов.
9. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.
10. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991.
11. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. М.: Мир, 2000.
12. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.1990.
13. Гласс Л., Мэки М. От часов к хаосу: ритмы жизни. - М.: Мир, 1991.
14. Дыхне А.М., Зосимов В.В., Рыбак С.А. Аномальный избыточный шум в неоднородных упругих телах. ДАН СССР, т.345, с.467-471, 1995.
15. Колмогоров А.Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространства Лебега. ДАН СССР, т.119, с.861-864, 1958.
16. Колмогоров А.Н. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов. ДАН СССР, т.124, с.754-755, 1959.
17. Ляпунов А.М. Собр. соч. Т.1,2.-М.:Изд-во АН СССР, 1954-1956.
18. Махортых С.А., Сычев В.В. Алгоритм вычисления размерности стохастического аттрактора и его применение к анализу электрофизиологических данных. Abstracts: Nonlinear Phenomena in Biology, Пущино (1998).
19. Махортых С.А., Сычев В.В. Алгоритмы вычисления характеристик стохастических сигналов и их применение к анализу электрофизиологических данных. Сборник тезисов: Математическая и вычислительная биология. 4-я Пущинская конференция молодых ученых (1999).
20. Оселедец В.И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем. Тр. Моск. мат. об-ва, т.19, с.179-210, 1968.
21. Песин Я.Б. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория. с.55-112, 1977.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Көлемі: 36 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 1300 теңге




Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі
Ш. ЕСЕНОВ атындағы КАСПИЙ МЕМЛЕКЕТТІК
ТЕХНОЛОГИЯЛАР ЖӘНЕ ИНЖИНИРИНГ УНИВЕРСИТЕТІ
Қорғауға жіберілді
______________ - - - - - - - - - - - - - - ___
Кафедра меңгерушісі
Диярова Л.Д.
___________2014ж.

Диплом жұмысы

Тақырыбы: Ретсіз уақыт қатарларын фракталды талдау

мамандығы 5В010900 - Математика

Орындаған Абилова Б.Т.

Ғылыми жетекші
ф.-м.ғ.к., аға оқытушы Утемағамбетов З.С.

АҚТАУ 2014

МАЗМҰНЫ:

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
3
1. Фракталды талдау және ретсіз уақыт қатарларының теориялық негіздері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

7
1.1 Фрактал. Фракталды өлшемділік ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
7
1.2 Уақыт қатарларының фракталдық қасиеті ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
14
1.3 Аттрактордың стохастикалық мінездемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
17
2. Ретсіз уақыт қатарларын фракталды талдау ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ...
22
2.1 Стохастикалық мінездемені есептеу әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
22
2.2 Ляпунов көрсеткіштері ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.3 Колмогоров энтропиясы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.4 Жылу-энергетикалық ресурстарға болжам жасау ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ..
3. Тәжірибелік-эксперименттік жұмыс және оның нәтижелері ... ... ... ... ..
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Пайдаланылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
34
35
38
44
49
50

Кіріспе
Зерттеудің өзектілігі. Қазіргі таңда күрделі жүйенің қасиеттерін үйренуде, сонымен қатар экспериментті зерттеулерде жүйемен жасалған сигнал талдауына негізделген әдістер кеңінен таралған. Бұл қарастырылып отырған процесті математикалық суреттеу мүмкін емес жағдайларда қолданылады. Сондықтан жүйе анализі, әсіресе эксперименталды зерттеулерде, регистрленген сигналдардың өңделуімен жүзеге асады. Мәселен, аритмологияда осындай сигнал ретінде электрокардиограмма, сейсмологияда - қыстық шоғырмақтың тербелісінің жазбасы пайдаланылады. Көбіне мұндай сигналдар зерттелуші, ал зерттеу әдісі - динамикалық жүйенің реконструкциясы деп аталынады. Бұл динамикалық жүйе теориясының бөлігі уақыт қатарларының талдауы деп аталады.
Зерттелуші - үздіксіз немесе кейбір уақыт аралықтарында ауыспалы мәндерінің реті. Зерттелуші терминінің орнына уақыт қатарлары ұғымы жиі қолданылады. Теңдеудің толық шешімінің орнына тек уақыт қатарларының болуы зерттеу жүйесі жайындағы білімімізді шектейді. Ол реконструкция әдісінің мүмкіндігіне үлкен шектеу қояды.
Скалярлық уақыт қатары деп N саннан тұратын алап аталады. Ол уақыт мерзімінде кейбір қадамымен зерттелуші динамикалық айнымалы мәндерін ұсынады. Уақыт қатарларының талдауында екі негізгі мақсаттар бөлініп көрсетіледі: идентификация мақсаты және болжам мақсаты.
Идентификация мақсаты зерттелуші талдауында мына сұраққа жауап береді, жүйе параметрлері қандай, берілген уақыт қатарлары туындайтын - енгізу өлшемі, корреляциялық өлшем, энтропия және т.б. Енгізу өлшемі - бұл бір мезетте зерттелуші үдерісті суреттейтін динамикалық айнымалылардың минимальды саны. Корреляциялық өлшемділік жүйе аттракторының фракталды өлшемінің бағасы және жиі өлшемнің жалпылама ықтималдығы болып табылады. Энтропия ұғымының мағынасы барлық жүйе және қатар мәндерімен байланысты.
Болжам мақсаты зерттеу нәтижесінде берілген обьектінің алдағы мәнін айту, яғни кейбір уақыт бөліктеріне сәйкес болашаққа болжам жасау. Қазіргі кезде болжамның әртүрлі әдістері табылған. Алайда олардың барлығы екі негізгі класқа бөлінеді: локальды және жаһандық. Мұндай жіктеулер функция парамертлерін анықтау обласында жүргізіледі.
Бірінші болып жаһандық әдіс ойлап табылды. Кейін сызықтық емес динамика шеңберінде жаңа практикалық әдістер пайда болды:
● сингулярлы спектрлі талдау , ол жаһандық әдіс болып табылады;
● локальды аппроксимация ;
● бірігуі;
Уақыт қатарларында негізделген теориялық зерттеулер көптеген жәйттарды түсінуге мүмкіндік береді.
Фракталды талдауды ең бірінші зерттеп және оны белсенді қолданған Билл Вильямс болды. Ол үлкен ғылыми жұмыс жасап, соның негізінде нарықтағы қозғалыс ретсіз жүйені еске түсіреді деген тұжырым пайда болды. Вильямс қанның қозғалысы, мақтаның бағасы және жағалау сызықтары бірдей структурадан тұрады деді.
Билл Вилямстың ойынша, нарық - сызықтық емес хаостық жүйе. Ол түбінде сызықтық функциялар жатқан стандартты индикаторларға бағдарлау ақмақтық деді. Вильямс хаостың мәңгілік екенін және нарықтағы тұрақтылық уақытша құбылыс екенін атады.
Компьютерлік моделдеудің арқасында фракталдар шықты, сонымен қатар нарық структурасын сипаттайтын кері байланысты анықтады. Нарықтағы фракталды талдау барлық фракталдар (жаға сызықтарының және кез келген нарықтың) негізгі табиғи болмыстан тұрады деген тұжырым негізінде қалыптасуда.
Фракталды талдауды нарықтың жоғары нәтижеге қол жеткізгісі келетін және мол пайда көздейтін мықты қатысушылары қолданады.
Фракталды талдаумен танысуынды неден бастау керек? Біріншіден жаңа адам үлкен емес модель құруды үйрену керек. Негізге таныс және үлкен емес - нақты валюта, акция немесе нарықты алуға болады. Оларға аз факторлар қажет болады, трейдер бұл бағыттағы жұмыстардан тәжірибесі бар, бұл жағдайда талдау жасау жеңіл болады. Бастаушы ойыншы өз бағытындағы шынайы жағдайды моделдей алады және фракталды талдауың жүзеге асқанын көре алады. Егер ойдағыдай болмаса, онда ол сәтсіздіктің себебін анықтауы тиіс.
Егер трейдерге үш-төрт рет басқа қатысушылардан бұрын жақын өзгерісті моделдей алса, онда оны жақсы нәтиже деп есептеуге болады.
Фракталды талдауды қолдануда неге назар аудару керек? Бірінші кезекте, нақты уақыт периодында бағаның өзгеруіне әсер еткен факторларға. Егер экономикалық, саяси және әлеуметтік факторлар сәйкес келсе, онда үлкен ықтималдықпен баға осыған дейінгі кезеңдегідей болады деуге болады.
Фракталды талдау трейдерге бағаның өсуіне немесе түсуіне дұрыс болжам жасауға көмектеседі. Бұл талдаудың көмегімен өткен және болашақтағы бағалар деңгейі арасындағы байланысты анықтайтын графиктер тұрғызуға болады. Нарық фракталды талдауы аса күрделі, алайда өте эффектті. Фракталды талдауды жақсы қолдану трейдерге айтарлықтай пайда әкеледі.
Зерттеу мақсаты: Сызықтық емес динамикалық жүйе фракталды талдауын теориялық тұрғыдан негіздеп, оны ретсіз уақыт қатарларын талдауға қолдану және тәжірибелік-экспериментте тексеру арқылы қорытынды шығарып, тиімділігін анықтау.
Зерттеу нысаны:
Зерттеу пәні: сызықтық емес динамикалық жүйе
Зерттеу болжамы: егер ретсіз уақыт қатарларын зерттеуде фракталды талдау қолданылса және тиімді пайдаланылса, онда талдау дұрыс болжам жасауға көмектеседі және айтарлықтай пайда әкеледі.
Зерттеу міндеттері:
- Сызықтық емес динамикалық жүйеде фракталды талдау әдісін ғылыми тұрғыдан негіздеу;
- ретсіз уақыт қатарларын талдауда фракталды талдау әдісінің алгоритмдерін көрсету және oның тиiмдiлiгiн тәжiрибе aрқылы текcеру;
Зерттеудің теориялық және әдіснамалық негіздері: Осы талдауды кеңінен пайдалануды көрсету және насихаттау зерттеу жұмысының теориялық маңызын құрайды.
Зерттеу көздерi: Әлем нарығындағы болжам, сызықтық емес динамикалық жүйеге қатысты ғалымдардың іргелі еңбектері.
Зерттеу әдістері: зерттеудiң теориялық-әдiснамалық негiзiн айқындау мақсатында сызықтық емес динамика шеңберінде жаңа практикалық әдістер жөніндегі әдебиеттерді зерделеу; фракталды талдау арқылы жүргізілген болжамдарға ғылыми-практикалық талдау; эксперимент жүргізу; эксперимент нәтижелерін бағалау және қорытындылау.
Зерттеу кезеңдері: Зерттеу жұмысыныңа бірінші кезеңінде зерттеу мәселесі бойынша ғылыми әдебиеттерге талдау жасалды. Зерттеу жұмысының ғылыми аппараты, мақсаты, болжамы, міндеттері және әдістері айқындалды.
Екiншi кезеңде - зерттеу тaқырыбының мәнiн aшуғa қaжеттi теoриялық және қолданылу негiздерi aйқындaлды.
Үшінші кезең, тәжірибелік-эксперимент жұмыстарының нәтижелері жүйелі түрде талданып, қорытынды жасалды.
Зерттеудің ғылыми жаңалығы мен теориялық маңыздылығы:
- болжам жасауда фракталды талдаудың теориялық және пайдалану негіздері анықталды;
- сызықтық емес динамикалық жүйені зерттеу барысында фракталды талдауды таңдау критерийлері анықталды;
- ретсіз уақыт қатарларын талдауда фракталды талдау әдісінің алгоритмдері жасалынды.
Зерттеудің тәжірибелік маңыздылығы: Жұмыстың зерттеу нәтижелерін сызықтық емес динамикалық жүйені зерттеуде, әртүрлі болжамдар жасауға пайдалануға болады.
Қорғауға ұсынылатын негізгі қағидалар:
- ретсіз уақыт қатарларын талдауда фракталды талдау әдісін қолдануды теориялық тұрғыдан негіздеу;
- ретсіз уақыт қатарларын талдау барысында фракталды талдау алгоритмдерін қолдану;
Зерттеу базасы: Эксперимент жұмысы Маңғыстау облысы, Ақтау қаласында жүргізілді.
Жұмыстың құрылымы мен көлемі: Дипломдық жұмыс кіріспеден, екі тараудан, тараулар бойынша тұжырымдардан, эксперименттік жұмыс және оның нәтижелерінен, жалпы қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.
Кіріспе бөлімінде зерттеу жұмысының өзектілігі, зерттеу мақсаты, обьектісі, зерттеу пәні, болжамы, міндеті, зерттеудің теориялық және әдіснамалық негіздері, зерттеу әдістері, зерттеу кезеңдері, зерттеудің ғылыми ретсіз уақыт қатарларын фракталды талдаудың теориялық негіздері жаңалығы мен теориялық маңыздылығы, зерттеудің тәжірибелік маңыздылығы, қорғауға ұсынылатын негізгі қағидалар, зерттеу базасы, жұмыстың құрылымы мен көлемі қарастырылады.
Зерттеу кезеңінің бірінші тарауында ретсіз уақыт қатарларының фракталды талдауының теориялық негіздері және анықтамалары қарастырылады.
Екінші тарауында ретсіз уақыт қатарларды фракталды талдаудың қолданылуы қарастырылады.
Жұмыстың үшінші тарауында өткізілген эксперименттік жұмыс және оның нәтижелерін талдап, оларға қорытындылар жасаймыз.

Көп жағдайда математика ғылымының дамуы күрделі жүйелердiң макроскопиялық құрылымы мен ондағы микроскопиялық процестер арасындағы байланысты ашудың дәлдiгiнде. Салыстырмалы түрде бұндай байланысты тағайындаудьң екi, толық жетiстiкке жеткiзетiн мүмкiндiгi бар. Ол жүйе толық реттелген күйде немесе абсолют бейберекеттiкте. Ретсiз орталар мен кеңiстiк -- уақыт өлшемнiң корреляцияланбаған кең диапазондарында бұндай мүмкiндiк жоқ немесе бұл шарт орындалмайды.
Табиғатта кездесетiн өлшемдерi атомдық масштабтан әлемдiк кеңiстiкке дейiн созылып жатқан сан қилы объектiлердің (нысандардың) геометриясы бiздің оны зерттеп түсіну үшін құратын, идеалдандырылған моделдерiмiзде басты орын алады. Бірақ дәстүр бойынша табиғат геометриясын индуктивті түсiнудің негiзi ретiнде осы уақытқа дейiн евклидтiк геометрияның түсiнiктерi, сызық шеңберлер сфералар мен тетраэдрлар қолданылады.
Осындай күрделi жүйелерде болатын процестердi құрылымды -- стохастикалық құбылыстарды барынша қарапайым түрде сипаттауға, түсiну мен түсiндiруге мүмкiндiк беретiн фракталдар теориясы.
Фрактал түсiнiгi алғаш математикалық түрде күрделi геометриялық формаларды сипаттау үшiн енгiзiлдi. Ғылымның дамуы және компьютерлiк техниканы қолданудың алуан түрлi мүмкiндiктерi фрактал түсiнiгiнiң табиғаттың ең жалпы, түбегейлi заңдылықтарымен байланысты екенiн көрсеттi. Физика -- математика ғылымдарының бұл жаңа бағытының күрт дамуына, француз ғалымы Б. Мандельброттың 1982 жылы жарық көрген, "Табиғаттың фракталдық геометриясы" атты кiтабының шығуы тiкелей себеп болды. Мандельброт бұл кiтабында табиғатта кездесетiн фракталдық нысандардың көптеген мысалдарын келтiрдi және оған жаппай қызығушылық тұдырды. Оның дамытқан фракталдық геометриясы, сан түрлi обьектiлердің формасын сипаттауға қолданылуымен қатар, кездейсоқ пайда болмайтын, масштабты -- инварианты құрылымдардың моделiн салуға мүмкiндiк бередi. Осы үлгiлердi қолдану ретсiз құрылымдарды зерттеп бiлудің жаңа жолдары болып табылады.
Аспандағы бұлттар, тау сiлемдерi, терезе шынысына қатқан қыраулар, полимердi түзетiн молекулалар, тiрi клеткалар мен тағы сол сияқты нысандар мен құрылымдардың бәрiне ортақ бiр қасиеті, олардың кiшi және үлкен бөлiктерiнiң бiр-бiрiне ұқсастығы, әр түрлі уақыт мезетiнде түсiрiлген, үлкен және кiшi бұлттардың суреттерiн салыстыру, олардың өзгеру заңдылығының бiрдей болатынын көрсетеді. Осы сияқты заңдылықты әртүрлі масштабта түсірiлген жағалау сызықтарының фрагменттерін (мысалы, Британия аралының, Арал теңiзiнiң, Балқаш көлiнiң) салыстыру арқылы да байқауға болады.
Осындай өзұқсас нысандар үшiн француз математигi Б.Мандельброт жаңа -- фрактал (латыншадан аудармасы -- бөлшектiк, кескiленген) ұғымын енгiздi. Ол құрылымдық, өзiне-өзi ұқсас иерархиялық iшкi құрылысы бар объектiлердi фракталдар деп атады. Фракталдық қасиет бейсызық, процестер мен құбылыстарды сипаттайтын фазалық кеңiстiктерде, күрделi жүйенiң функционалды әрекеттерiнде, адрондардың әсерлесуiнде, қоғамның экономикалық көрсеткiштерiнiң өзгерiстерiнде және т.б. байқалады.
Фракталдардың дәл және қатаң анықтамасы әзiрге жоқ. Б.Мандельброт алғаш рет фрактал анықтамасының мынадай вариантын ұсынған: фрактал деп тұтас күйiне белгiлi-бiр мағынада ұқсас бөлiктерден тұратын құрылым айтылады.
Математикада өзұқсас геометриялық объектілер деп, бiрiне-бiрi ұқсас, шектi бiрдей элементтерге бөлуге болатын денелер саналады. Мысалы, төменде кесiндiнi, тең қабырғалы үшбұрышты, квадратты, кубты сәйкес 2, 4, 4, 8 өзұқсас элементтерге бөлу тәсілі келтiрiлген (1- сурет). Суреттен фракталдың, қандай масштабта байқалғанына қарамастан, бiр-бiрiне ұқсас, бiрдей түрге ие екендiгi бiлiнедi. Бірақ қосымша еш информация алмай, бiртiндегi кiшiрейiп немесе үлкейiп отыратын өзұқсас өркеш-өркеш бұлттардың сыртқы пiшiнiнiн өлшемдерiн бағалау мүмкiн емес. Себебi бұл кезде элементтер саны өте көп және олар бiрсыңырғы орналаспайды. Бұл үшiн арнайы өлшемдiлiк ұғымы енгiзiлуi тиiс.

1 -- сурет.
Объектiнi өзұқсас элементтерге бөлу мысалдары.
Фракталдық өлшемдiлiк
Жалпы өлшемдiлiк ұғымы, кеңiстiктегi нүктенiң орнын анықтауға мүмкiндiк беретiн, ең аз тәуелсiз координаталар санын анықтаумен тығыз байланысты. Физикада бұл -- геометриялық объектiнi бейнелеуге мүмкiндiк беретiн тәуелсiз айнымалылар санымен -- параметрлiк өлшемдiлiкпен сәйкес келедi. Евклид кеңiстiгiндегi көлемдi анықтауға керектi бұндай айнымалылар саны үшке тең (х, у, z), жазықтық өлшеуге оның екеуi (х, у) болса жеткiлiктi, ал сызық үшiн бiр координата х болса да жарайды. Нүктенiң өлшемдiлiгi нөлге тең. Осы жағынан, кеңiстiк үш өлшемдi, жазықтық екi өлшемдi, ал сызық бiр өлшемдi деп айтылады, яғни, параметрлiк өлшемдiлiктің мәндерi бүтін сандар 0,1,2,3.
Өлшемдiлiктің екiншi түрiне топологиялық өлшемдiлiк d жатады. Топологиялық. өлшемдiлiктің d былай берiледi: кез-келген жиынның топологиялық өлшемдiлiгi, оны екi, өзара байланыссыз бөлiктерге ажырататын киманың өлшемдiлiгiне, бiрдi қосқанға тең. Түзудi, екi байланыссыз кесiндiлерге бөлу, оның бiр нүктесiн алып тастау арқылы жүзеге асырылады. Ал шектi нүктелер жиынының өлшемдiлiгi нөлге тең болғандықтан, сызық бiр өлшемдi, яғни dc=0+1. Жазықтық екі өлшемдi, себебi, оны екiге бөлу, өлшемдiлiгi бiрге тең, сызық арқылы ғана жүзеге асыруға болады, яғни, dж=1+1. Көлемдiк, геометриялық өлшемдi, себебі, оны екіге бөлетiн жазықтықтың өлшемдiлiгi екіге тең, яғни, dж=2+1. Осылардан, топологиялық өлшемдiлiктер де d=0,1,2,3. бүтін сандар.
Бірақ, табиғатта кездесетiн кейбiр нысандарды өлшеу үшiн, бұл өлшемдiлiктер жеткілiксiз болып шықты. Себебi, адамның сезiм мүшелерiнiң қабылдау шегi, өлшеулердi шектi масштабтар диапазонында жүргiзуге мүмкiндiк бередi. Әрине, бұл қабылдау шегiн, әртүрлi сезiмтал құралдар (микроскоптар, телескоптар және т.б.) басқа деңгейге ауыстыруға болады, бірақ барлық масштабты бiр мезгiлде қадағалау және нысандардың өлшемдерiнiң әртүрлi масштабта қандай қатынастарда болатынын тағайындау қиын. Информациялық қордың молаюы мен ғылыми-техникалық прогресс бұл қиындықты жеңуге мүмкiндiк бердi.
Алғаш рет, күрделi нысандарды өлшеудi ағылшын физигi Л. Ричардсон жүзеге асырды. Ол фракталдық құрылымдардың бәрiне ортақ маңызды ерекшелiктерiнiң бiрi -- олардың аддитивтiлiгiн, яғни, өлшенетiн шама (ұзындық, аудан, көлем, масса, заряд және т.б.) мәндерiнiң кеңiстiкте жүргiзiлген өлшеулердің дәлдiгiне тәуелдiлiгiн пайдаланды. Мысалы, аса күрделi, шымшытырық броундық. бөлшектің ұзындығы L, өлшеу бiрлiгiне (масштабына) байланысты. Масштаб кiшiрейген сайын өлшенген ұзындық арта бередi.
Л.Ричардсон Британия аралының әртүрлi масштабта түсiрiлген карталарын алып, оның А және С нүктелерiнiң, арасын қосатын жағалау сызығының ұзындығын анықтау үшiн, адымы - ға тең ашамен өлшеулер жүргiздi (2 -- сурет). А нүктесiнен С нүктесiне дейiн жүрiп өткендегi аша адымының санын N() бiлу арқылы Л.Ричардсон өлшенетін жағалау сызығының ұзындығын мына өрнекпен анықтады:
(1.1)
Бұл кезде масштабтың iшiне кiретiн кiшi иiлулер, ойыстар, мен дөңестер есептелмейтінi белгілі. Ол ескеру, яғни өлшеу кателiгiн кемiту үшін Л.Ричардсон өлшеу масштабын кiшiрейтiп өлшеулердi қайталады. Ендi бұрынғы көптеген иiлулер, дөңестер есептелгендiктен өлшенген ұзындық бiршама өстi. Сөйтiп ол ашаның адымын үнемi кiшiрейтiп отыру, жағалау сызығының ұзаруына әкелетiн, шексiз өзгертулер енгiзуге мүмкiндiк беретiнiн байқады. Сонымен, айыру қабілеттілігін арттыру, яғни өлшеу масштабын кемiту, әр кезде күрделi сызықтардың ұзаруына әкеледi.
Фракталдық, нысандарды өлшеудің тағы бiр тәсілі -- өлшенетiн нысанды немесе оның фрагментiн, қабырғаларының ұзындығын - ға тең, квадрат ұяшықтардан құралған торлармен жабу. Бұл кезде де өлшенетiн фракталдық нысанын түгел жабатын ұяшықтар саны N() есептеледi (3-сурет). Тежiрибелер, жағалау сызығының фрагментiн жабатын, квадрат ұяшықтардың саны, жуық шамамен, сол қашықтықты түгел өтетiн аша адымының санына тең болатынын керсеттi. Егер жағалау сызығы белгiлi L0 ұзындыққа ие болса, онда оны жабатын квадрат ұяшықтардың саны өлшеу масштабына кері пропорционал өзгередi. Сонда, (1) өрнекпен есептелетін, жағалау С ұзындығы, кiшiрейген сайын, түрақты L0 - ұмтылады.
Картадағы жағалау сызығын ұяшықтарға бөлу.
Сонымен, Л.Ричардсон өлшеу масштабы кемiген сайын, фракталдық объектiнiң (жағалау сызығының) өлшемi дәрежелiк заңмен өсетiнiн тағайындады:
(1.2)
Мұндағы L0 - өлшенетiн объектiнiң бастапқы және соңғы нүктелерiн қосатын түзудің ұзындығы.
Бұл өрнек Ричардсон заңы деп аталады. Дәрежелiк көрсеткiш терiс мәнге ие болуы тиiс. Жағалау тормен өлшеу тәсілінде де, кемуi, торды түзетiн квадрат ұяшықтардың санын көбейтетiн болғандықтан, Ричардсон заңы орындалады:
(1.3)
А -- қабырғаларының ұзындығы L0 квадраттың ауданы.
Өте кiшi масштабтарда "жағалау сызығы" ұғымының менi жоғалады. Ал атомдар аралық қашықтықтарда "аша адымы", "квадрат ұяшық" ұғымдары да өз мәндерiн жоятыны түсiнiктi. Себебi, бұл кезде кванттық механиканың зерттеу обылыстарына енемiз. Бірақ., қалай дегенмен, Ричардсон заңы кең масштабты диапазонда орындалатыны дәлелдендi. Осыдан жоғарыда тағайындалған физикалық заңдылықтың сипатын түсiну мен түсіндiрудің математикалық құралы болуы тиiстiгi туындайды.
Бұл құралды табу үшiн кез -- келген физикалық шаманы өлшеу процесiнiң жалпы сатылары қарастырылады, себебi, жаңа дережелiк заңдар (2), (3) өлшеу нәтижелерiне сүйенiп тағайындалған. Бiз, объектiнiң санақ жүйелерiнiң өзгерiстерiне сәйкес түрақты сипаттамаларын, яғни, инвариантты сипаттамаларын қарастырамыз. Объектiнiң инвариантты сипаттамаларының аддитивтi (объектiнiң сипаттамасы оны құрайтын элементтердің сипаттамаларының қосындысына тең) және скалярлы болатыны белгiлi. Жиындар теориясында инвариантты, аддитивтi және скалярлы қасиеттерге ие сипаттамалар өлшем деп аталады. Классикалық физикада объектiнiң өлшемi ретiнде ұзындық, аудан, көлем, заряд, масса, оларды жүзеге асыру ықтималдығы және т.б. жатады.
Математиктер тегiс емес күрделi объектiлердi бейнелеу үшiн бөлшектiк (Хаусдорф-Безикович) өлшемдiлiгiн қолданады. Бұл өлшемдiлiктi анықтауда, кеңiстiктегi нүктелердің ара қашықтығы, олардың таралу заңдылығы негiзгi роль атқарады. Осы нүктелер жиынының өлшемдiлiгiн тағайындау үшiн өлшем ұғымы енгiзiлген.
Өлшенетiн шаманы түгел жабатын кесiндiлердің, квадраттардың, кубтардың санын бiлу, объектiнiң өлшемiн анықтауға мүмкiндiк бередi. Мысалы, қисық сызықтың ұзындығы, оны түгел жабатын, масштабы түзу кесiндiлердің санын N() бiлу арқылы анықталады (4а-сурет). Кәдiмгi тегiс қисық үшін
,
ал оның ұзындығы, шекке көшу арқылы, мына формуламен анықталады:
(1.4)

0 ұмтылғанда өлшем L асимптоталы түрде қисықтың ұзындығына теңеледi және өлшеу масштабына тәуелсiз.
Нүктелер жиынына жазықтықты сәйкестендiруге болады. Мысалы, қисықты түгелдей жабатын квадраттардың санын бiлу арқылы, оның ауданын табуға болады. Бұл кезде өлшем аудан. Егер осы қисықты жабатын квадраттардың саны N(), ал әр квадраттың көлемi нөлге теңеледi.
Ауданы 2 - қа тең болса, қисықтың ауданы мынаған тең .

Бұнда ұмтылғанда 0 ұмтылады. Яғни, қисықтың ауданы нөлге тең. Дәл осы сияқты етiп, қисықтың көлемдiк өлшемiн қолдануға болады.
Бірақ, сызықтың көлемi болмайтыны түсiнiктi,

мұнда N ұмтылғанда 0.
Ендi беттi түзетiн нүктелер жиынын қарастырайық және оның өлшемi ретiнде ұзындық. алынсын. Бұл кезде
ал беттiң ұзындығы

мұнда Олай болса, аудандың сызықтар жиынымен жабу мүмкiн емес.
Сонда нүктелер жиыны бет құраса, оның өлшемi тек аудан болуы тиiс, осыдан:
(1.5)
мұнда да Беттің өлшемi ретiнде көлем алып көрелiк. Бұл кезде оны түгел жабатын кiшi кубтардың көлемінің қосындысы мынаған тең:

ал ұмтылатын болғандықтан, беттің көлемі нөлге теңеледі.
Жалпы жағдай үшін (4) және (5) формулалар мына түрде жазылады:
(1.6)
мұндағы - өлшемнің (ұзындық, аудан, көлем және т.б.) жалпы белгісі, ал d - топологиялық өлшемділік. Нүкте, ұзындық, аудан және көлемдер үшін (1.6) формуланы фракталдық өлшем ретінде қолдану үшін, ол мына түрге келтіріледі, яғни,
(1.7)
бұл жерде - тұрақты шамалар, D - фракталдық өлшемділік. (1.7) теңдеудің екі жағын да логарифмдеу мынадай өрнек алуға мүмкіндік береді:

немесе
(1.8)
яғни, шекке көшкенде, бұл өрнектің оң жағындағы екінші мүше

Осыдан фракталдық өлшемділік мына түрде анықталады:
(1.9)
Бұл теңдеу Хаусдорф формуласы деп аталады. (1.9) өрнектi қолдану барысында, -- ұяшықтың өлшемi, ал N() -- объектiнiң өзұқсастығын қамтамасыз ететiн ең аз ұяшықтар саны екенi ескерiлуi тиiс.
1.2 Уақыт қатарларының фракталдық қасиеті
Жиі қолданылатын фракталдық мінездемелер.
Көптеген эксперименталды сигналдар фракталды статистикаға ие, нормирова Мандельброт және Уоллис Херсттің зерттеуіне сүйене ұсынған. Зерттелуші нормироваланған сермеу мына қатынас .
мұндағы R - сермеу, яғни зерттелушінің максималды мәні мен минималды мәнінің айырмашылығы, S - стандартты тоқтату. Бұл мән эмперикалық қатынаспен өте жақсы суреттеледі
,
Мұндағы Н - Херст көрсеткіші, - өлшем периоды.
Кейбір шарттарда
,
яғни көптеген табиғи құбылыстарды зерттеуде алынған экспериментальды сигналдар уақытқа байланысты фракталды тәуелділікке ие.
функциясы фракталды деп аталады, егер оның графигі фракталды көпмүшеден тұрса немесе егер фракталды көпмүше нүктелерінің бейнесі болатын функциясының шешімі бар болса, яғни оның кейбір деңгейі фракталды структураға ие болса.
Фрактал - бұл қандай да бір жағдайда бүтін болатын, бөлімдерден тұратын структура. Басқа да анықтама беруге болады.
Фрактал - бұл Хаусдорф-Безикович өлшемділігі топологиялық өлшемділігінен міндетті түрде үлкен болатын көпмүше.
Екінші анықтама өте шектеулі, біріншісі бар қасиетті айтады: біз қандай масштабта бақыласақ та фрактал бірдей көрінеді.
Е компактты көпмүшесінің Хаусдорф-Безикович өлшемділігі хаусдорф өлшемі көмегімен анықталады.

,

мұндағы Е жабушы көпмүше диаметрі аспайтын.
, ал болатын константа бар болатынын дәлелдеуге болады (кезінде мәні шекті де, шексіз де болады).
мәні анықтамадағы Хаусдорв-Безикович өлшемі.
Бұл өлшемділік бөлшек сан болатын көпмүше фракталды көпмүше (фракталдар) мағынада деп аталады, Көпмүше ауқымды мағынада фракталды деп аталады, егер оның топологиялық өлшемі Хаусдорв-Безикович өлшемінен аз болса, яғни .
Х нүктесіндегі локальды скейлинг көрсеткіші төмендегідей деп саны аталады
,

мұндағы - r радиусының айналасындағы х нүктелері.
- локальды скейлингтің нүктелермен бірігуі, .
Егер функциясы мәнінің толық сегментінде нөлден жоғары болса өлшем мультифракталды, егер жалғыз нүктеде нөлден жоғары болса монофракталды деп аталады.
Праметрлі функциялар үшін локальды скейлинг Гельдердың локальды көрсеткіші болып табылады.
Мультифрактал деп аталудың негізін бастапқыда Мандельброт енгізді, ол турбуленттілікті талқылауда, кейін басқа да жағдайларға тарады. Мультифракталдарға айтарлықтай қызығушылық Грассберг және т.б. жұмыстарынан көрінді. Талдаудың эксперименттік нәтижелері және функциясының енуі қарапайым теориялық модельдер мен байқаулар арасында тамаша байланыс тудырды. Бұл жұмыстар экспериментальды деректерді суреттеуде мультифракталдарды пайдаланудың пайдалы екендігін көрсетті. Өздерінің жұмыстарында аналогиялық жолды Бенсимон, Холси, Глайзер және т.б. дамытты. Әр түрлі локальды скейлинг көрсеткіштеріне сәйкес келетін өлшемді өзінің жиыны түрінде біріктіру идеясы фракталды геометрияны физикалық жүйелерге қолдануға жаңа инструмент ашты. Әр бірігуге енгендер фракталды және өзінің фракталды өлшемділіктері бар. Бұл жиынтықтың фракталды өлшемділігінің максималды мәні өлшем көтерушісінің Р фракталды өлшеміне тең.
Қатарлардың фракталды моделдері: фракталды интерполяциялық функциялар
Фракталды интерполяциялық функцияларды қарастырайық (ФИФ).
ФИФ-ны алу үшін, өңдеу жолымен үш сан тобын көрсету жеткілікті:
1. Интерполяцияның
2. мәндер
3. масштабтық параметрлер
Төмендегі берілгендермен анықталатын жазықтағы n аффиндік бкескіндерді қарастырайық:
,
мұндағы

.

Түсіндірме енгіземіз:
интервалында және интервалында .
кескінінің жиынтығы үшін интервалында үзіліссіз жалғыз ғана функциясы бар болады:

Біріншісі шарт бойынша функциясы нүктесінде берілгенді интерполяциялайды, ал екіншісі - функциясының графигі өзұқсас жиынтық дегенді білдіреді.
Жүйе теңдеуінің өзге түрі төмендегідей:

нүктесіндегі үзіліссіз функциясының Гельдеровтық көрсеткіші

,

мұндағы - нүктесіндегі
Егер Гельдер көрсеткіші нүкте функциясының сингулярлы нүктесі болып табылады.
мәні функцияның берілген нүктедегі сингулярлық деңгейін көрсетеді, аз болған сайын сингулярлық деңгейі жоғары болады.
Гельдер көрсеткіші Херст көрсеткішімен байланысты: мысалы, фракталды броундық қозғалыс траекториясы үшін Гельдер көрсеткіші барлық нүктесінде әр уақыт бірдей және Херст көрсеткішіне тең.
ФИФ-тің ауқымды класына Гельдер диапазонында жатады, мұндағы
, .
60-шы жылға дейін сызықтық емес динамикалық жүйеде стационарлық режимде тек периодты және квазипериодты қозғалыстарды қарастырды. Алайда 1963 жылы динамикалық жүйеде хаостық деп қабылданған Лоренцтің күрделі қозғалысы пайда болды. Мұндай қозғалысты сипаттау үшін динамикалық хаос ұғымы енгізілді. Динамикалық сөзі флуктуация бастаулары жоқ дегенді білдіреді.
Лоренц атмосферадағы конвекциялық қозғалыстың ең оңайлатылған үш қарапайым, бірақ сызықтық емес дифференциалдық теңдеулер жүйесінің математикалық моделін зерттеді. Олар ортаның макроскопиялық мінездемесі үшін динамикалық теңдеуді - локальды жылдамдық және температураның Фурье компонентін ұсынады. Конвекциялық қозғалыс ауырлық кеңістігі мен температура градиентінің біріккен қозғалысының арқасында пайда болады. Жүргізілген талдау температура градиентінің үлкен мәндерінде шешімі күрделі болатыны соншалық, сәйкес қозғалыс хаостық деп қабылданатынын көрсетті. Сонымен қатар алғы шарттардың азғана өзгерісі қозғалыс түрін радикалды өзгертетіні анықталды. Алғы шарттар тек ақырғы нақтылықпен берілетін болғандықтан, берілген алғы шарттарға қарап қозғалыс түрін айту мүмкін емес болады.
Рюэль және Такенс математиктерінің 1971 жылы жарияланған мақалаларында динамикалық хаостың жаңа математикалық бейнесі - қызықты аттрактор енгізілген. Бұл, біріншіден, оның геометриялық структурасының өзгешелігі. Қызықты аттрактордың өлшемі бөлшектік (фракталды). Екіншіден, қызықты аттрактор - бұл траекториялар үшін айналадағы областтардан өзіне тартатын област. Қызықты аттрактордағы барлық траекториялар динамикалық тұрақсыз және траеторияның бастапқы жақын кезеңдерінде күшті(экспоненциалды) шашырау болады. Уақыт қатары - регистрленген (зерттелетін) сигнал реті. Бұл қозғалыс теңдеуін құру мүмкін емес жағдайларда қолданылады.
1. 3 Аттрактордың стохастикалық мінездемесі.
1.1 Өлшемділік.
Аттрактор мінездемесі үшін өлшемділік ұғымын енгізу қажет. Өлшемділік аттрактордағы координат нүктелеріне қажетті ақпарат көлемін анықтайды. Әдебиеттерде өлшемділік анықтамасы екі типке бөлінеді: аттрактордың метрикалық түріне тәуелді, метрикадан басқа, ағынның статикалық түріне тәуелді. Бұл типтердегі жағдайларда өлшемділік бірдей мәнді қабылдайды, оны аттрактордың фракталды өлшемділігі деп атаймыз. n -- өлшемді фазалық кеңістіктегі Колмогоров-Хаусдорф бойынша фракталды өлшемділік анықтамасын енгізейік:

(1.10)

-аттракторды жабуға қажетті n-өлшемді қабырғалы кубиктердің минимальды саны. Бұл анықтаманы нүктенің, сызықтың және беттің өлшемділігін есептеуге қолданып, 0, 1 және 2 әдеттегі мәндерге илану оңай. Кейбір көпмүшеліктер үшін өлшемділігі бөлшектік болуы мүмкін.
Мысалы кантор көпмүшелігін қарастырайық. Ол кесіндінің ретімен 13 бөлігінің орта бөлігін алып тастап отырудан құралады. Бірінші ретте ортасындағы кесіндіні алып тастап, әрқайсысы13 ұзындыққа тең екі кесіндіні қалдырамыз. Содан кейін, қалған екі кесіндінің ортасындағы кесіндіні алып тастап, 19 ұзындықтағы төрт кесіндіні аламыз. Кантор көпмүшелігі, егер интервалдарды алып тастау үдерісі шексіздікке дейін жалғасса құрылады. Үдерістің k қадамында бірдей ұзындықтағы жеке кесінділері қалады. Анықтама бойынша кантор көпмүшелігінің фракталды өлшемділігін табамыз:

2-сурет. Кантор көпмүшелігінің құрылымы.

Әуейі аттракторлардың фракталды өлшемділігі бөлшектік екендігі зерттелген. Фракталды өлшемділікті табу формуласында барлық бос емес кубиктердің бірдей маңызды екендігі байқалады. Бұл әуейі аттракторларға маңызды жетіспеушілік туғызады, өйткені олар бірыңғай емес, яғни аттрактордың кейбір областары көбіне басқаларға қатысады.
Ақпарат өлшемділігі төмендегідей анықталады:

Бұл жердегі - ақпарат саны, жүйенің нақты шеткі мәнін анықтауға қажетті, аттракторды бүркейтін жақты кубиктердің саны, - і-ші кубиктің фазалық траекторияға орналасу ықтималдығы. кіші саны үшін , онда ақпараттың өсу жылдамдығын кемуімен мінездейді. Егер аттрактор аумақтық бірыңғай болса, онда , кері жағдайда .
Тағы бір ықтималдық класының түрі корреляциялық өлшемділік

(1.11)

- аттрактордың нүктелер жұбының і-ші кубикке тиісті болу ықтималдығы. Корреляциялық өлшемділікті мына түрде көрсетуге болады:

(1.12)
(1.13)

- фазалық кеңістіктегі нүктелер; - арақашықтық.
Сонымен, DC өлшемділігі корреляциялық интеграл мәнімен анықталады. Жоғарыда айтылған үш өлшемділіктер жалпыланған Реньи өлшемінің жеке жағдайлары:

(1.14)

Бұл жерде Iq - q ретінің Реньи ақпараты.

.
, Лопиталь ережесін қолданғаннан кейін:

.

өлшемділігі бірсарынды кемитін функция, яғни кез келген үшін теңсіздігі орындалады. Теңдік бірыңғай аттракторлар кеңістігінде өседі. Бүтін үшін -дің физикалық мәні бар. -дің үлкен оң мәндері фазалық кеңістіктегі ең тығыз облыстарды көрсетеді, ал үлкен теріс мәндері аз орналасқан облысты көрсетеді. Осылайша,өлшемділік мәнінің диапазоны бірыңғай емес аттракторлардың мінездемесі ретінде қарастырыла алады.
Энтропия
Өзіне n-өлшемді, жанаспайтын қырлы текшелі аттракторды қамтитын, фазалық кеңістіктің бөліктеуін жасаймыз. Тізбегімен фазалық траекторияны бақылап m өлшемдер жасаймыз және тең уақыттардан кейін траектория болған кубиктерін белгілейміз. Әр тәуелсіз сынақтардан текшелердің тізбектелген реттегі нақты реализацияны аламыз. Бізге текшелер тізбегінің барлық мүмкіндіктерінің ықтималдығы белгілі болсын. Онда Колмогоров энтропиясы келесі жолмен анықталады:

(1.15)

Жүйенің тәртібі айтылатын характерлік уақыт Колмогоров энтропиясына кері пропорционал. Егер энтропия нөлге ұмтылса, онда жүйе толық алдын айтылатындай болады. Мұндай жағдай үздіксіз үдерістерде болады. Шынайы көлденең үдерістер үшін энтропия шексіз үлкен. Қызық аттракторлық режимдегі жүйенің энтропиясы оң, бірақ шекті мәні бар. Энтропияның сандық мәні жүйенің хаостық дәрежесінің сандық мінездемесі болып табылады.

Кейбір болған жағдайларда топологиялық энтропияның анықтамасын, болғанда Колмогоров энтропиясын, болғанда корреляциялық энтропия -ні аламыз.
Мінездемелік Ляпунов көрсеткіштерінің спектрі.
дифференциалды, А - кескінінің аттракторы болсын. k ретті F суперпозициясын Fk деп белгілейік; - Якоби матрицасы, яғни х нүктесіндегі анықталған n*n матрица. - i-ші өзіндік мәнніңжәне . Аттрактордың Ляпуновтың мінездемелік көрсеткіштері келесі қатынаспен анықталады:

(1.16)

Лайық жорамалдарда бұл шек бар және А аттракторындағы типтік нүктелер х үшін бірдей. Осындай ұйғарым автономиялы жүйенің қарапайым дифференциалдық теңдеудің аттракторына да берілуі мүмкін. Осы ретте k индексі t уақытымен өзгереді. Кему ретіндегі сандар тізбегі Ляпунов көрсеткішінің спектрін құрайды және аттрактордың пайдалы классификациясын береді. 1 кестеде динамикалық жүйе аттракторларының классификациясы дифференциалдық теңдеулер жүйесімен берілген.
1 кесте
Аттрактор типі
Фазалық кеңістіктің
өлшемі
Ляпунов көрсеткіштерінің
таңбалары
Жылжымайтын нүкте
1
( - )
Жылжымайтын нүкте
2
( - , - )
Ақырғы цикл
2
( 0 , - )
Жылжымайтын нүкте
3
( - , - , - )
Ақырғы цикл
3
( 0 , - , - )
Екіөлшемді тор
3
( 0 , 0 , - )
Қызықты аттрактор
3
( + , 0 , - )

траекториясының Ляпунов көрсеткішінің қосындысы оның маңайындағы фазалық көлемнің өзгеріс жылдамдығын сипаттайды. Қызық аттрактордың режимі тек диссипативтік жүйеде жүзеге асады және оң көрсеткіштер спектрінде сипатталады. Диссипативті жүйелер үшін Ляпунов көрсеткішінің суммасы жалған. Егер Ляпунов көрсеткішінің суммасы нөлге тең болса, онда жүйенің фазалық көлемі уақыт бойынша өзгермейді - жүйе консервативті және аттракторлары жоқ. Ляпунов көрсеткішінің суммасы оң болса фазалық көлем уақыт бойынша өседі. Физикалық жағынан қарағанда мұндай режим стационарлық жағынан мүмкін емес.
Ляпунов көрсеткіші аттрактордың орташа мінездемесі бола тұра, алғы шарттарға тәуелсіз тартылыс аймағындағы оның қасиеттерін суреттейді. Ол сандық эксперименттермен расталады.
Ляпунов көрсеткіші мен Колмогоров энтропиясының сандық байланысы анықталды. Энтропия оң болады, қашан да фазалық траектория аттракторда экспоненциалды тұрақсыз болған жағдайда. Демек, Ляпунов көрсеткіштерінің спектрі осындай траекторияларда оң көрсеткіштерге ие болуы тиіс. Колмогоров энтропиясы мен Ляпуновтың оң көрсеткіштерін байланыстыратын нақты ұйғарым Песинмен алынды және типті жағдайларда қарапайым көрінеді:

Яғни, энтропия Ляпунов көрсеткіштерінің оң суммасына тең.
Сонымен қатар Ляпунов көрсеткішінің өлшемділікпен өзара байланысы бар. Қазіргі кезде Ляпунов көрсеткіштерінің спектрімен анықталатын Каплан-Йорк гипотезасы қолданылады:

(1.17)

Бұл жерде Ляпунов көрсеткіші реті бойынша кемімелі деп ұйғарылған. Сонымен қатар, Ляпунов өлшемділігі ақпараттық өлшемнің жоғарғы шекарасы.

(1.12)

2. Ретсіз уақыт қатарларын фракталды талдау
2.1 Стохастикалық мінездемелерді шешудің әдістері. Өлшемділік, энтропия, Ляпунов көрсеткіштерінің спектрі және басқа да аттрактор мінездемелерін шешу үшін, фазалық кеңістікте анықталған n өлшемді және аттракторға тиесілі нүктелер жиыны болуы керек. Нүктелер саны М есептерде әрине, бірақ өте үлкен болуы керек.

(2.1)

D - аттрактор өлшемі. Динамикалық жүйе кескіннің дискретті операторымен берілсе, нүктелер алғы шарттар берілгеннен кейін автоматты түрде табылады. Егер динамикалық жүйе дифференциалдық теңдеулер жүйесімен берілсе, онда көп жағдайда шешім тек компьютердің көмегімен сандық интегралмен анықталады. Әдетте 4-ші ретті Рунге-Кутта әдісін қолданады, қателік , счет адымы нақты жүйемен анықталады және оның аз характерлік уақытымен салыстырмалы таңдалуы тиіс.
Алайда кейде аттрактордың мінездемесін шынайы, математикалық моделі белгісіз жүйемен шешуге тура келеді. Сонымен қатар оның фазалық кеңістігінің өлшемі де белгісіз. Сонымен қатар эксперименталды реализацияның уақыт интервалы шектеулі. Мұндай жағдайда аттрактор мінездемелерін алуға бола ма? Бұл мәселенің шешімін табу жолын Такенс ұсынды.
Уақыт қатары бойынша аттракторды қалпына келтіру.
Экспериментальды деректердің физикалық мәні бар уақыт қатарлары болсын. Егер уақытындағы қадам белгілі болса, онда . Физикалық мән s ауыспалы динамикалық жүйе болсын. Жүйе стационарлық режимде, яғни фазалық траектория аттрактор ішімен өтеді. Аттракторды қалпына келтіру үшін Такенс координатаның уақыттық кідіріс әдісін ұсынды. n-өлшемді фазалық кеңістікте нүктелердің реті келесі түрде құрылады:

(2.2)

Бұл жерде -уақыттық кідіріс, n- өлшемі
Такенстің негізгі нәтижесі келесіден тұрады. Егер болса, онда нүктелер жиыны қаралып отырған айнымалының кез келген таңдауында бұрынғы аттрактордың енгізуін береді, егер n бұрынғы аттрактордың екі еселенген өлшемінен аз болмаса. Нақты зерттеліп отырған аттрактордың мінездемелік бағалау үшін қалпына келтірілген аттрактордың мінездемесін есепьеуге болады.
Такенстің негізгі нәтижесі келесіден тұрады. Егер болса, онда нүктелер жиыны қаралып отырған айнымалының кез келген таңдауында бұрынғы аттрактордың енгізуін береді, егер n бұрынғы аттрактордың екі еселенген өлшемінен аз болмаса. Нақты зерттеліп отырған аттрактордың мінездемелік бағалау үшін қалпына келтірілген аттрактордың ... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Астрофизикалық объектілерді фракталды талдау
Еңбек нормаларын белгілеу және уақыт шығынын талдау
Уақыт санау
Ертедегі уақыт өлшемдерінің құралдары
Қазақ халқының уақыт есебі
Уақыт және оның түрлері
Компьютерлік графиканың түрлері: фрактальды, векторлық және растрлық графика
Кеңістік және уақыт теориясының мәселелері
Латын әліпбиіне көшетін уақыт келді
Күннің рентген сәулеленуін бейсызық талдау
Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор №1 болып табылады.

Байланыс

Qazaqstan
Phone: 777 614 50 20
WhatsApp: 777 614 50 20
Email: info@stud.kz
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь