Математикалық софизмдер

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 5 бет
Таңдаулыға:

Келешек ұрпақтың ойлау қабілетін, ой-өрісін дамытуда, математиканы тереңдете оқытудың, математикадан сыныптан тыс жұмыстар жүргізудің маңызы өте зор болмақ. Күнделікті сабақтан тыс әртүрлі шаралардың біріне математикалық үйірмелер мен кештерді жатқызуға болады.

Ал, сол математикалық кештің бір бөлімінде төмендегідей математикалық софизмдерді қолдана білсек, ол да оқушылардың математикаға қызығушылығын арттырары анық.

Кез келген сан өзінің екі есесіне тең. Төмендегі теңдікті аламыз. a2-a2=a2-a2оны түрлендіріп аламыз. (a+a) • (a-a) =a•(a-a)

Соңғы теңдіктің екі жағында a-a - ға бөліп, a+a=a ; немесе a=2a теңдігін аламыз. ол кез келген сан өзінің екі есесіне тең дегеніміз. Қателік қайда? a-a=0 , санды нөлге бөлуге болмайды.

4=5теңдікті дәлеңдеңдер. Төмендегі теңдікті аламыз:4:4=5:5(1) Бұл теңдіктің екі жағынан да ортақ көбейткішті жақша сыртына шығарсақ, онда:4• (1:1) =5•(1:1) (2) аламыз. Соңғы теңдіктің екі жағын да қысқартып, 4=5теңдікті аламыз. Теңдік дәлелденді. Қателігіміз қайда? Біз(1) - теңдіктен (2) - теңдікті алғанда қателестік. Себебі, 4:4=4/4 ; 5:5=5/5 ; онда 4•1/4және 5•1/5сандардан 4-ті және 5-ті ортақ көбейткіш деп жақша сыртына шығара алмаймыз.
1=3теңдікті дәлелдеңдер.

a=5/3b; болсын деп аламыз. Теңдіктің екі жағында 6-ға көбейтіп, 6=10b; теңдігін аламыз.

6a=9a-3a; ал 10b = 15b-5b; деп алып, 9a-3a = 15b-5b; 5b - 3a=3•(5b-3a) ;

теңдіктерін аламыз. Соңғы теңдіктің екі жағында 5b-3a өрнекке бөліп, 1=3;

деген теңдікті аламыз.

Теңдік дәлелденді. Дәлелдегенде қандай қателік жібергенімізді анықтайық. Біз соңғы 5b - 3a=3•(5b-3a) теңдігінің екі жағын да 5b-3a өрнекке қысқартқанымызда 5b-3a=5b-3•5/3•b=5b-5b=0; шығады, сондықтан ол өрнекке қысқартуға болмайды. $\frac{х + 10}{х - 10}$ - 5= $\frac{4х - 60}{20 - х}$ ; Теңдеудің сол жағын ортақ бөлімге келтіріп алсақ:

$\frac{х + 10 - 5(х - 10) }{х - 10} = \frac{4х - 60}{20 - х}$ ; немесе $\frac{- 4х + 60}{х - 10} = \frac{4х - 60}{20 - х};$ немесе $\frac{4х - 60}{10 - х} = \frac{4х - 60}{20 - х}$ ; Бұл теңдеудің екі жағын да 4х-60-ға қысқартып алсақ;

$\frac{1}{10 - х} = \frac{1}{20 - х}$ немесе 10-х =20-х; 10=20; Теңдік дәлелденді. Дәлелденгенде қандай қателік жібердік?Бастапқы теңдеудің түбірі 15 ; сондықтан $4х - 60$ = 0 болар еді. Бөлшекті 0-ге қысқартуға болмайды. Қателігіміз сол жерде.

Енді геометриялық мағыналы софизмге қараймыз:

5. Шеңбердің екі центрі бар. Еркін АВС бұрыш аламыз. Сол бұрыштың қабырғаларына еркін D және Е нүктелерін аламыз. D нүктеден АВ қабырғаға Е-нүктеден ВС-қабырғаға пернпендикуляр кесінділер жүргізейік. Олар К нүктесінде қиылысады. Енді D, К және Е нүкетелер арқылы шеңбер жүргіземіз. Олар шеңбер АВ қабырғаны М нүктеде ВС қабырғаны N н N үктеде қияды. К нүктені М және N Нүктелерімен қосамыз. Онда МDК және

NЕК тікбұрышты үшбүрыштар аламыз. Мұнда МК және NК гипотенузалар шұеңбер центрінен өтеді. Сондақтан КМ диаметрінде жататын бір центр, КN диаметрінде жататын басқа бір центр болуға тиіс. Шеңбердің екі центрі бар деген тұжырымдама дәлелденді. Қатеміз қайда?

ВDКЕ төртбұрышында екі қарсы жатқан бұрыштардың қосындысы 180 ⁰ -қа тең.

(< КDМ+< КЕN=90 ⁰ +90 ⁰ =180 ⁰ ) . Демек, сол төртбұрышқа сырттай шеңбер сызуға болады. Басқаша айтқанымызда, D, К және Е үш нүте арқылы жүретін шеңбер төртбұрыштың төртінші төбесі болатын В төбеден жүреді деген ұғымды еске алмай кеткенбіз.

Симметриялық теңдеулер мектеп бағдарламасында тақырып түрінде енгізілмеген, дегенмен элементарлық авлгебраның жалпы курсында мұндай тенңдеулердің ерекекше орны бар. Сондықтан симметриялық теңдеулерді шешуді факультатив сабақтарда немесе үиірме сабақтарда өтуге болады.

Оқушылардың математикаға деген тұрақты қызғушылығын арттыру, өзіндік ізденуге дағдылындыру, ойлау қабілітін дамыту мақсатында факультатив сабақтарында симметриялы теңдеулерге арналған емептерді шығартамын. Соған арнайы мына төмендегі теңдеулерді шешу әдістерін ұсынамын:

Анықтама:Егер n-дәрежелі теңдеуде х ^к және х ^n-к мүшелердің коэффициенттерді тең болса, онда мұндай теңдеулер симметриялық теңдеулердің жалпы түрі төмендегідей түрде болады:

а ₀ х ⁿ +а ₁ х ^n-1 +а ₂ х ^n-2 + . . . +а _к х ^к + . . . +а ₁ х+а ₀ =0;

мұндағы:а _0, а ₁ , . . . , а _к -коэффициенттер.

Симметриялық теңдеулердің шешу жолдарын мысалдар арқылы айқындайық.

1-мысал: х ⁴ -7х ³ +14х ² -7х+1=0 теңдеудің шешеміз. Теңдеудің екі жағында х ¹ -қа(х≠0) мүшелеп бөлгенде,

Х ² -7х+14- $\frac{7}{х} + \frac{1}{х^{2}} = 0;$ немесе, (х ²⁺ $\frac{1}{х^{2}}$ ) -7(х+ $\frac{1}{х}$ +14=0) теңдеуін аламыз.

(х+ $\frac{1}{х} = у$ деп көмекші айнымалы енгіземіз, сонда х ² +2+ $\frac{1}{х^{2}} = у^{2}$ немесе $х^{2}$ + $\frac{1}{х^{2}} = у^{2}$ болады орындарына қойып төмендегідей квадраттық теңдеуін аламыз.
$у^{2} - 2 - 7у + 14 = 0; у^{2} - 7у + 12 = 0;$

$у_{1} = - 3:у_{2} = 4; онда, х + \frac{1}{х} = - 3$ немесе $\ х + \frac{1}{х} = 4$ теңдеулерден төмендегідей квадраттық теңдеулерін аламыз.

Х ² +3х+1=0 немесе х ² -4х+1=0;

Бұл квадраттық теңдеулерін шешміз, сонда: $х_{1} = \frac{- 3 - \sqrt{5}}{2}$ ; $х_{2} = \frac{- 3 + \sqrt{5}}{2}$ ; х ₃ =2- $\sqrt{3}$ ; х ₄ =2+ $\sqrt{3}$ түбіріне ие боламыз.

2-мысал.

30х ⁴ -17х ³ -228-17х+30=0 теңдеуді шешеміз. Ол үшін тееңдеудің екі жағында х ² -қа мүшелеп бөлгенде төмендегідей теңдеуді аламыз:

30х ² -17х-228- $\frac{17}{х} + \frac{30}{х^{2}} = 0$ немесе,

30(х ² + $\frac{1}{х^{2}}$ ) -17) х- $\frac{1}{х}$ ) -228=0

$х - \frac{1}{х} = у\$ деп көмекші айнымалы енгізсек, онда $х^{2}$ + $\frac{1}{х^{2}} = у^{2} + 2$ болады, ендеше 30(у ² +2) -17у-228=0 немесе,

30у ² -17у-168=0 теңдеуін аламыз.

Осы квадрат теңдеуді шешеіп $у_{1} = \frac{8}{3}$ және $у_{2} = - \frac{21}{10}$ түбірлерді аламыз. Енді

$х - \frac{1}{х} = \frac{8}{3}$ және $х - \frac{1}{х} = - \frac{21}{10}$ төмендегідей квадраттық теңдеулерін аламыз.

3х ² -8х-3=0 және 10х ² +21х-10=0

Осы квадраттық теңдеуді шешіп:

Х ₁ =3; $Х_{2} = - \frac{4}{3};$ және х ₁ = $\ \frac{2}{5};$ х ₂ =− $\frac{5}{2}$ ;

З-мысал

Х ⁶ +3х ⁵ +6х ⁴ +7х ³ +6х ² +3х+1=0

Теңдеуді шешейік. Теңдеудің барлық мүшелерін х ³ -қа (х≠0) бөліп, төмендегідей теңдеуді аламыз.

Х ³ +3х ³ +6х+7+6 $\frac{1}{х} + 3\frac{1}{х^{2}} + \frac{1}{х^{3}}$ =0 немесе(х ³ + $\frac{1}{х^{3}}$ ) +3(х ² + $\frac{1}{х^{2}}) + 6\left( х + \frac{1}{х} \right) + 7 = 0$