Жай сандар саны

Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 14 бет
Таңдаулыға:

Түркістан облысы, Жетісай ауданы

№66 «Мырзашөл» жалпы орта мектебі

коммуналдық мемлекеттік мекемесі

Тақырыбы: «Жай сандар- ғажайып сандар»

Секция: Математика

Ғылыми жұмыстың авторы: Сапархан Жанарыс 5 «А» сынып оушысы

Жетекшісі: Молдакабылова Айнур Асановна математика пәні мұғалімі

2022 жыл

Аннотация

«Жай сандар- ғажайып сандар» ғылыми жобасында жай сандар тарихы, оны табу жолдары, әртүрлі салаларда қолданылуы және жай сандар теориясына зор үлес қосқан ұлы математиктер туралы деректер келтірілген.

Жұмыстың мақсаты мен мәселелері:

Жай сандар туралы түсінікті кеңейту
Жай сандар теориясының даму тарихымен танысу
Ұлы ғалымдардың жай сандар теориясы саласындағы жетістіктері
Жай сандарды табудың әдістері туралы жалпы түсінік
Жай сандар теориясының қолданылуымен танысу

Зерттеудің әдістері және теориялық маңызы:

Мәліметтерді іздеу, деректерді салыстыру, математикалық тұжырымдарды аналитикалық және практикалық тәсілдермен тексеру. Жай сандар теориясындағы шешілмеген мәселелер үстінде жұмыстанып, ғылымға үлес қосу.

Зерттеудің практикалық қолданылуы, нәтижесі және ғылыми

болжамы:

Жай сандарды табудың әртүрлі әдістерін үйрену оқушылардың математикаға деген қызығушылығын арттырады, жай сандар әртүрлі салаларда қолданылады. Бұдан былай да ғалымдар жай сандар теориясында жаңалықтар ашады. Бұл материалдарды сыныптан тыс шараларда, факультатив және үйірме сабақтарда пайдалануға болады.

Мазмұны

I. Кіріспе4-5 бет

II. Негізгі бөлім

1. Жай сан туралы түсінік5-6 бет

2. Жай сандар тарихынан6-11 бет

3. Қазіргі заманғы зерттеулер. . 11-12 бет

4. Жай сандардың қасиеттері 13-14 бет

III. Қолдану14 бет

IV. Қорытынды 15-16 бет

V. Пікір . . . 17 бет

VІ. Пайдаланылған әдебиеттер. 18 бет

I Кіріспе

«Әлемде үйлесімділік орнаған және бұл үйлесімділік сандарда анық көрінген»

Пифагор

Математика - таң қалдырарлық ғылым. Шынымен де солай емес пе? Мысалы сан ұғымына тоқталайық. Сан-бұл абстракт шама, себебі біз оны қолмен ұстай алмаймыз, тек оның жазықтықтағы суретін көреміз және көз алдымызға елестетеміз. Егер әлемде сандар болмаса, онда барлық жерде ретсіздік, түсініксіздік болатын еді. Сандар түсінігінің пайда болуының өзі адамзат ақыл-ойының жарқын жемісі болып табылады. Натурал сандар жиынында мені қатты қызықтырғаны - жай сандар, оның пайда болу тарихы, жай сандардың дамуына кімдер үлес қосты.

Жай сандар ерте заманнан бері математиктердің назарын аударды. Жай сандар әлі табылмаған заң бойынша бірінен соң бірі жүреді. Бірақ математикадағы жай сандар маңызды рөл атқарады.

Жай және құрама сандар ұғымдарымен алғаш рет 5-сыныпта математика сабағында таныстым. Бұл тақырып мені қатты қызықтырды және мен осы тақырып бойынша зерттеу жүргізуді шештім.

Жағдаяттық сұрақ : «Бұл таңғажайып жай сандар қандай?»

Математикаға қатысы жоқ адамға «жай сандар» ұғымы сияқты қол жетімді математикалық ұғымдар аз. Көшеде кездескен кез келген адамға жай сандардың не екенін қысқа мерзімде түсіндіруге болады. Түсінген адам оңай айтады: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . Сонда бұл сандар шынымен соншалықты қарапайым, түсінікті және қолжетімді ме? Олар өз атына сай өмір сүре ме?

Сонымен, зерттеу пәні - жай сандар.

Зерттеу нысаны : натурал сандар жиыны.

Бұл жұмыстың мақсаты: жай сандардың тарихын зерттеу және жай сандардың кейбір қасиеттері мен түрлерін зерттеу.

Осы мақсатқа жету үшін мен алдыма мынадай міндеттер қойдым:

1. Осы тақырып бойынша материал жинап, зерделеу.

2. Жай сандар туралы тарихи ақпаратты оқу.

3. Сандар қатарындағы кез келген үлгілер мен қасиеттерді ашу.

4. Жай сандарды табудың «Эратосфен елеуіші» әдісін зерттеу.

Ұсынылған жұмыс жай сандар мен әдеби көздер кестесіне сәйкес жүргізілген жай сандар жиынын зерттеудің нәтижесі болып табылады.

Негізгі әдістер - жинақтау, зерделеу, талдау, зерттеу және теориялық материалдарды жалпылау, нәтижелерді рефлексиялық түсіну.

II Негізгі бөлім

1. Жай сан туралы түсінік.

Жай сан деп екі түрлі натурал бөлгіштері бар натурал санды айтады: бір және өзі.

Жай сандар натурал сандар жиынына жатады. Евклид жай сандарға мынадай анықтама берді: «Жай сан - тек біреумен өлшенетін сан». Басқаша айтқанда, жай сандардың бір және өзінен басқа бөлгіштері болмайды. Егер p жай сан болса, онда оны екі натурал санның көбейтіндісі ретінде тек келесі түрде көрсетуге болады: p = p*1 . Жай сандарды құрама сандар деп атайды. Әрбір құрама санның 1-ден айырмашылығы кем дегенде екі бөлгіші болатыны анық.

Осылайша, жай сандар барлық натурал сандарды тұрғызу үшін «кірпіш» болып табылады.

1 саны жай сан емес. Математиктер 1-ді жай сан ретінде қарастырмауды жөн көреді, өйткені бұл жағдайда көптеген маңызды теоремалар қарапайымдырақ айтылады. Мысалы, «сандар теориясының негізгі теоремасы» кез келген бүтін сан бір мәнді (факторлар ретіне дейін) жай көбейткіштерге жіктеледі. Сонымен 100 санын 2*2*5*5 төрт жай көбейткіштердің көбейтіндісі ретінде көрсетуге болады. Кез келген басқа жиынтық (кемінде бір санмен ерекшеленетін) жай көбейткіштер 100 санын бермейді.

Егер, алайда, біреуі жай сан деп есептелсе, онда бұл өте маңызды теорема дұрыс емес: бұл жағдайда 100 санын жай сандардың шексіз көп әртүрлі жиындарының көбейтіндісі ретінде көрсетуге болады, мысалы, 2 * 2 * 5 * 5 * 1 * 1.

Жалғыз жұп жай сан - 2. Барлық басқа жай сандар тақ, яғни 2-ден басқа кез келген жай санды былай жазуға болады: p = 2k + 1 (k ≥ 1) .

Натурал сандар жиыны сияқты жай сандар жиыны да шексіз. Мұны Евклид дәлелдеген.

2. Жай сандар тарихынан

Жай сандар мен олардың қасиеттерін алғаш рет Ежелгі Греция математиктері белсенді түрде зерттеді. Сандардың мистикалық және нумерологиялық қасиеттеріне Пифагор мектебінің математиктері (б. з. б. 500 - 300 ж. ) қызығушылық танытты. Олар сандардың қарапайымдылығы идеясын түсінді және тамаша және мейірімді сандарды зерттеді.

Кемел сан - бұл өзінің барлық бөлгіштерінің қосындысына тең сан, яғни. санның өзінен басқа бөлгіштер. Мысалы, 6 санының дұрыс бөлгіштері 1, 2 және 3, ал 1+2+3=6, 28-нің дұрыс бөлгіштері 1, 2, 4, 7 және 14, 1+2+4+7+14=28. .

Достық сандар жұбы 220 және 284 сияқты сандар жұбы, олардың біреуінің тиісті бөлгіштері екіншісіне және керісінше қосылады.

Евклид «Бастамалары» пайда болған кезде, шамамен б. з. б. 300 жылы жай сандарға қатысты бірқатар маңызды нәтижелер дәлелденді. Бастамалардың IX кітабында Евклид жай сандар шексіз көп екенін дәлелдейді. Бұл нәтижені анықтау үшін қайшылық әдісін қолданатын алғашқы белгілі дәлелдердің бірі.

Евклид сонымен қатар арифметиканың іргелі теоремасының дәлелін келтіреді: әрбір бүтін санды жай сандардың туындысы ретінде мәні бойынша бірегей түрде көрсетуге болады.

Евклид сонымен қатар, егер 2n-1 саны жай болса, онда 2n -1(2n-1) саны тамаша екенін көрсетті. Эйлер (1747 ж. кейінірек) барлық жұп мінсіз сандарда осындай форма бар екенін дәлелдей алды. Тақ тамаша сандардың бар-жоғы әлі белгісіз.

Euklid-von-Alexandria_1

б. з. б 325 жж

Біздің эрамызға дейінгі 200 ж. Грек ғалымы Эратосфен жай сандарды табу алгоритмін жасады, оны Эратосфен елегі деп атайды.

Eratosthenes

Эратосфен алгоритмі

1-ден N-ге дейінгі аралықтағы барлық жай сандарды табу керек делік. 2-ден N-ге дейінгі барлық сандарды қатарынан жазамыз. Бұл тізімдегі келесі 2 санынан әрбір екінші санды сызып тастаймыз. Осылайша сүзгіден өткіземіз. 2 санының барлық еселіктері. 2 саны бірінші жай сан. Тізімдегі 2 санынан кейінгі сызылмаған сан 3 саны. Бұл екінші жай сан. Елеуіш процедурасын қайталайық, енді ғана біз 3 санынан кейінгі әрбір үшінші санды сызып тастаймыз. Сондықтан біз 3-ке еселік болатын барлық сандарды електен алдық. Елеу процедурасы үлкен жай санға жеткенше қайталануы керек. N санының квадрат түбірінен. Тізімде сызылмаған барлық сандар жай сандар болады. Мұнда N = 50 үшін сипатталған әдістің суреті берілген. Алдымен, 2-ге еселіктерді електен өткізгеннен кейін сандар тізімі қалай болатынын көрсетейік:

2, 3, /4/, 5, /6/, 7, /8/, 9, /10/, 11, /12/, 13, /14/, 15, /16/, 17, /18/, 19, /20/, 21, /22/, 23, /24/, 25, /26/, 27, /28/, 29, /30/, 31, /32/, 33, /34/, 35, /36/, 37, /38/, 39, /40/, 41, /42/, 43, /44/, 45, /46/, 47, /48/, 49, /50/

Ескерту: сызылған сандар екі қиғаш сызықпен / / беріледі.

Енді 3-тің барлық еселіктерін жойғаннан кейін тізім қандай болатынын көрсетейік:

2, 3, /4/, 5, /6/, 7, /8/, /9/, /10/, 11, /12/, 13, /14/, /15/, /16/, 17, /18/, 19, /20/, /21/, /22/, 23, /24/, 25, /26/, /27/, /28/, 29, /30/, 31, /32/, /33/, /34/, 35, /36/, 37, /38/, /39/, /40/, 41, /42/, 43, /44/, /45/, /46/, 47, /48/, 49, /50/

Екі қадам қалды: 5-ке және 7-ге еселік болатын барлық сандарды сызып тастаңыз. Соңында біз жай сандардың келесі тізімін аламыз (жай сандар қызыл түспен белгіленген) :2, 3, /4/, 5, /6/, 7, /8/, /9/, /10/, 11, /12/, 13, /14/, /15/, /16/, 17, /18/, 19, /20/, /21/, /22/, 23, /24/, /25/, /26/, /27/, /28/, 29, /30/, 31, /32/, /33/, /34/, /35/, /36/, 37, /38/, /39/, /40/, 41, /42/, 43, /44/, /45 /, /46/, 47, /48/, /49/, /50/

Бұл мысалда електен өткізу (сызу) процедурасы 7 жай санмен аяқталды, яғни соңғы рет осы тізімдегі 7 санынан кейінгі әрбір жетінші санды сызып тастадық. 11, өйткені бұл сан 50-дің квадрат түбірінен үлкен.

Эратосфен заманында олар балауыз таблеткаларына жазып, сандарды сызып тастаудың орнына, тақтайшаны тесіп жіберді. Әдістің атауы осы жерден шыққан - «Эратосфен елегі»: құрама сандар, тесілген тесіктерге «елеуден өткен», ал жай сандар «електе» қалды.

Жай сандар тарихындағы келесі орта ғасырлардағы қараңғы ғасырлар деп аталатын ұзақ тоқырау болып табылады.

Ферма 17 ғасырдың басында келесі маңызды жетістіктерге қол жеткізді. Ол Альберт Жирардтың 4n+1 түріндегі әрбір жай санды екі квадраттың қосындысы ретінде бірегей түрде көрсетуге болатындығы туралы болжамын дәлелдеді және кез келген санды төрт квадраттың қосындысы ретінде көрсетуге болатынын көрсете алды. Ол 2027651281=44021*46061 санын мысал ретінде көрсетіп, үлкен сандарды факторингке бөлудің жаңа әдісін жасады. Ол Ферманың кіші теоремасы деп аталатын теореманы дәлелдеді (оны оның соңғы немесе үлкен теоремасынан ажырату үшін)

Пьер Ферма (1601 - 1665)

Эйлердің жұмысы жалпы сандар теориясына және оның ішінде жай сандар теориясына үлкен әсер етті.

Ол Ферманың кіші теоремасын қорытып, Эйлер функциясын енгізді. Ол Ферманың бесінші санын есептеп, бұрын анықталған 60 жұп достық сандарды тапты және квадраттық өзаралық деп аталатын нәрсені ұсынды (бірақ дәлелдей алмады) .

Эйлер сандар теориясын талдау құралдарымен зерттеуге болатынын бірінші болып түсінді, осылайша аналитикалық сандар теориясының негізін қалады.

Леонард Эйлер (1707 - 1783)

Бір қарағанда жай сандар бүтін сандар арасында кездейсоқ бөлінген болып көрінеді. Мысалы, 10 000 000-ның алдында тұрған 100 санның ішінде 9 жай сан бар, бірақ 10 000 000-нан кейінгі 100 санда тек 2 жай сан ғана бар. Алайда, кең ауқымда жай сандар жеткілікті түрде жүйелі түрде таратылады. Лежандр мен Гаусс жай сандардың тығыздығына үлкен есептеулер жүргізді. Гаусс (қуатты калькулятор болған) досына 15 минут бос уақыт болған кезде оны «мыңдағы» (1000 санның диапазоны) жай сандарды есептеуге жұмсайтынын айтты. Өмірінің соңына қарай ол шамамен 3 000 000-ға дейінгі әрбір жай санды тапты деп есептеледі.

1837 жылы неміс математигі Л. Дирихле кез келген арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесі мен айырмасы қос жай сандар болатынын, шексіз көп жай сандар болатынын дәлелдеді.

1852 жылы П. Л. Чебышев француз математигі Ж. Бертранның кез келген N натурал саны үшін N және 2N сандарының арасында әрқашан жай сан болады деген болжамын дәлелдеді.

Жай сандар арасында ерекше рөлді Мерсенн жай сандары - M _р = 2 ^р -1 түріндегі сандар атқарады. Олар Париж Ғылым академиясының негізін салушылардың бірі француз монахы Мерена Мерсен нің (1588-1648) құрметіне Мерсенна праймалары деп аталады.

MarinMersenne

М ₂ =2 ² -1=3 болғандықтан, яғни. M ₂ =3, M ₃ =7, M ₅ =31, M ₇ =127, онда бұл Мерсеннің жай сандары. 1750 жылға дейін тек 7 Мерсенн жай сандары табылды: M ₂ , M ₃ , M ₅ , M ₇ , M ₁₃ , M ₁₇ , M ₁₉ . M ₃₁ жай сан екенін 1750 жылы Л. Эйлер дәлелдеген. 1876 жылы француз математигі Эдуард Лукас бұл санды тапты

М ₁₂₇ = - жай саны. 1883 жылы Пермь губерниясының ауылдық діни қызметкері И. М. Первушин ешбір есептеуіш құрылғысыз М ₆₁ = 2305843009213693951 санының жай екенін дәлелдеді. Кейінірек M ₈₉ және M ₁₀₇ сандары жай сандар екені анықталды. 1952-1964 жылдары ЭВМ компьютерлерін қолдану M ₅₂₁ , M ₆₀₇ , M ₁₂₇₉ , M ₂₂₀₃ , M ₂₂₈₁ , M ₃₂₁₇ , M ₄₂₅₃ , M ₄₄₂₃ , M ₂₆₈₉ , M ₉₉₄₁ , M ₁₁₂₁₃ сандарының жай сандар екенін дәлелдеуге мүмкіндік берді. Қазіргі уақытта Мерсенннің 30-дан астам жай сандары белгілі.

3. Қазіргі заманғы зерттеулер

Ең үлкен белгілі жай сан (GIMPS [Great Internet Mersenne Prime Search] 2008 жылдың тамызында тапқан) 1209780189 он цифрдан тұратын 45-ші Mersenne саны, M _43112609 болды. Жақында Мерсенның жаңа жай саны табылды (2008 ж. қыркүйек) M _37156667 .

Ең үлкен белгілі егіз жай сандар 2003663613*21950001. Олар 58711 цифрдан тұрады және оларды 2007 жылы Вотье, Мак-Киббон және Грибенко жариялады.

Ең үлкен белгілі факториалдық жай сан (n!1 түріндегі жай сан) 34790!. Бұл сан 142891 цифрдан тұрады және оны 2002 жылы Маршалл, Кармоди және Куоса жариялады.

Ең үлкен белгілі жай сан (n#1 түріндегі жай сан, мұндағы n#1 барлық жай сандардың туындысы <1) 392113#1+1 .

Бұл сан 169966 цифрдан тұрады және оны 2001 жылы Heuer жариялады.

Қазіргі компьютерлер үлкен жай сандарды табуға көмектеседі, бірақ олардың мүмкіндіктері де шектеулі, өйткені жай сандар жиыны шексіз.

Компьютердің көмегімен ең үлкен Мерсенн жай саны табылады

2 p -1, p = 216091 кезінде.

Ең үлкен белгілі егіз сандар

1 000 000 009 649 және 1 000 000 009 651.

Егіз сандардың ең үлкен жұбы бар ма деген сұраққа әлі жауап жоқ.

Натурал сандар қатарының 1-ден N-ге дейінгі сегментіндегі жай сандар саны N өскен сайын өте тез өседі:

N

Жай сандар саны

%

102

Жай сандар саны:

25

104

Жай сандар саны:

1 229

12, 3

106

Жай сандар саны:

78 498

7, 8

108

Жай сандар саны:

5 761 455

5, 8

1010

Жай сандар саны:

455 052 511

4, 6

1012

Жай сандар саны:

37 607 912 018

3, 8

1014

Жай сандар саны:

3 204 941 750 802

3, 2

1016

Жай сандар саны:

279 238 341 033 925

2, 8

4. Жай сандардың қасиеттері.

1. Айырмасы 2-ге тең екі жай сан, мысалы, 5 және 7, 11 және 13, 17 және 19, т. б. «егіз сандар» атауын алды. Бүгінгі күнге дейін «егіз сандардың» соңғы сандары табылған жоқ

2. Айырмасы 2-ге тең үш сан « үштік» , 3, 5, 7 деп аталады.

3. Алғашқы мың натурал санның 168 -і жай сандар. Оның ішінде 16 сан палиндромды - әрқайсысы кері санға тең. Мысалы: 11. 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929 т. б.

4. Өзіне симметриялы жай сандар: 107 - 701, 113 - 311, 149 - 941,

157 - 751, 167 - 761, 179 - 971, 199 -991, 337 - 733, 347 - 743,

359 - 953, 389 - 983, 709 - 907, 739 -937, 769 - 967 (14 жұп)

5. Жай сандарды сиқырлы шаршы ға орналастыруға болады (Сиқырлы (сиқырлы) шаршылар - барлық жолдардағы, бағандардағы және диагональдардағы сандардың қосындысы бірдей натурал сандардың (жолдар мен бағандардың саны бірдей) шаршы кестелері.

571

1051

181

571: 211

1051: 601

181: 991

571: 1021

1051: 151

181: 631

және

823

1093

643

823: 673

1093: 853

643: 1033

823: 1063

1093: 613

643: 883

6. 2-ден үлкен кез келген жұп санды 2 жай санның қосындысы ретінде көрсетуге болады.

Мысалы: 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=3+7, 12=5+7, 14=7+7, 16=11+5, 18=7+11, , 20=3+17, 56=19+37, 924=311+613 т. б. Бірақ бұл мәлімдеме дәлелденген жоқ. Бұл мәселе Варинг мәселесі деп аталады.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.