Теңдеулер жүйесінің шығарылуы

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 31 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

Кіріспе . . . . . . 3

1 Екі айнымалысы бар симметриялық теңдеулер

1. 1 Екі айнымалысы бар симметриялық көпмүшелер және оның шығу тарихы . . . 5

1. 2 Симметриялық көпмүшеліктің анықтамалары . . . 13

1. 3 Екі айнымалы бойынша симметриялы көпмүшеліктер туралы теорема . . . 14

1. 4 және арқылы дәрежелік қосындыларды өрнектеу . . . 16

1. 5 Негізгі теореманың дәлелдеуі . . . 17

1. 6 Симметриялық көмпүшелердің элементар алгебрада қолданылуы. Теңдеулер жүйесінің шығарылуы. . . . 18

1. 7 Қайтарымды теңдеулер . . . 23

1. 8 Симметриялық көпмүшеліктерді көбейткіштерге жіктеу . . . 28

2 Екі айнымалыдан құралған симметириялық көпмүшелерге есептердің шығарылуы және қасиеттерін жалпылау

2. 1 Екі айнымалысы бар симметриялық көпмүшелерге арналған есептер . . . 29

Қорытынды . . . 34

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі . . . 36

Кіріспе

Курстық жұмыс әртүрлі алгебралық есептерді шешуге арналған тиімді әдістерді қолдану жөнінде жазылған. Курстық жұмыс кіріспе, негізгі бөлім және қорытындыдан тұрады. Мектепте алгебралық теңдеулер жүйелерін шешу кезінде ереже бойынша бір айнымалыны екіншісі арқылы өрнектеу әдісін қолдану ұсынылады. Бірақ жоғарғы дәрежелі теңдеулер жүйелерін шешуде бұл әдісті қолданып теңдеулер жүйелерінің дәрежелерін жоғарлатып аламыз. Ал 4-ші және одан да жоғарғы дәрежелі теңдеулерді шешу оқушыға қиындық әкеледі.

Симметриялық көпмүшеліктердің қасиеттеріне негізделген әдіс, универсальді емес, бірақ қандай да бір анықталған шарттарға сүйенсек, теңдеулер жүйелерінің дәрежелерін төмендетуге болады. Сонымен қатар бұл әдіс басқа да алгебралық есептерді шешуге көмектеседі. Курстық жұмыс екі бөлімнен тұрады. Негізгі бөлім екі айнымалыдан құралған симметриялық көпмүшелер теориясының түсініктері мен фактілерін мазмұндауға арналған.

Мұнда симметриялық көпмүшеліктерге мысалдар келтірілген, екі айнымалы бойынша симметриялы көпмүшеліктер туралы теорема, симметриялық көпмүшеліктерді $\sigma_{1}$ және $\sigma_{2}$ арқылы дәрежелік қосындыларды қалай өрнектеу керек екені, негізгі теорема және оның дәлелдеуі, теңдеулер жүйесінің шығарылуы, екі айнымалысы бар симметриялық теңсіздіктер және оларға мысалдар қарастырылған және қайтарымды теңдеулер жайлы айтылған.

Екінші бөлімде екі айнымалыдан құралған симметириялық көпмүшелер, есептердің шығарылуы және қасиеттерін жалпылау енгізіледі.

Курстық жұмыстың өзектілігі: Егер есептің симметриялық шартын қолдансақ, элементар алгебраның көптеген есептерін шешу оңайға түседі. Бұл курстық жұмыста теңдеулер жүйесін, иррационал теңдеулерді, теңсіздіктерді шешкенде, теңсіздіктерді дәлелдегенде симметриялық көпмүшеліктерді қолдану жайлы айтылады. Бұл барлық есептер симметриялық көпмүшеліктер теориясына негізделген әдіспен шығарылады.

Мектеп оқулықтарында симметриялық көпмүшелерге арналған есептер көп кездеседі. Мектеп оқушыларына алгебраның ең қиын бөлімі жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесі бөлімі болып саналады. Бірінші дәрежелі теңдеулер жүйесі ешқандай қиындық туғызбайды. Квадраттық теңдеулерді шешудің стандартты шешу жолы бар. Ал бірақ жоғары дәрежелі теңдеулерді шешу оқушыға қиынға соғады. Бұл курстық жұмыста қарастырылатын әдістің ерекшелігі жоғарғы дәрежелі теңдеулердің дәрежесін көбейтпейді, керісінше теңдеулер дәрежелерін азайтады. Бұдан есепті шешу оңайға түседі.

Курстық жұмыстың мақсаты: Жоғары дәрежелі теңдеулер жүйелерін симметриялық теорияны қолданып жалпы әдіспен шешу, элементар математика, алгебрада симметриялық көпмүшеліктердің қасиеттерін қарау, есептерді шығарып көрсету. Бұл әдіс универсалды емес және ерекше де емес. Себебі, барлық жүйелерге қолданыла бермейді. Бірақ бұл әдіс көптеген жүйелерде қолданылады және оқушыға көп кездеседі. Әдіс симметриялық көпмүшеліктер деп аталатын теорияға негізделген. Бұл теория өте қарапайым және көптеген алгебралық теңдеулер жүйесін шешіп қоймай, басқада алгебралық есептерді (иррационал теңдеулерді шешу, теңдеулер мен теңсіздіктерді, көбейткіштерге жіктеу және т. б. ) шешуге көмектеседі.

Курстық жұмыстың міндеті: Симметриялық көпмүшеліктерді мынадай есептер шешу үшін қолданамыз:

1) алгебралық теңдеулер жүйесін шешу;

2) иррационал теңдеулер жүйесін шешу;

3) квадрат теңдеулердің есептерін шешу;

4) жоғары дәрежелі теңдеулерді шешу;

5) қайтарымды теңдеулерді шешу;

6) жоғары дәрежелі теңдеулерді симметриялық көпмүшеліктерге жіктеу арқылы теңдеулерді шешу.

Жұмыста келесі мәселелер қарастырылады:

Теорема: Егер $\phi\left( \sigma_{1}, \sigma_{2} \right)$ және $\psi\left( \sigma_{1}, \sigma_{2} \right)$ көпмүшеліктергінің орнына $\sigma_{1} = x + y$ және $\sigma_{2} = \text{xy}$ -ті қойсақ, олар $f(x, y)$ симметриялық көпмүшелікке айналып, бейнеленеді: $\phi\left( \sigma_{1}, \sigma_{2} \right) = \psi\left( \sigma_{1}, \sigma_{2} \right)$ .

Дәрежелік қосындыны есептеу тәсілі: $s_{k}$ -ның өрнегі $\sigma_{1}$ және $\sigma_{2}$ арқылы беріледі. Ол келесі түрде беріледі (екі айнымалы үшін) :

$\frac{1}{k}s_{k} = \frac{1}{k}\sigma_{1}^{k} - \frac{(k - 2) !}{1!(k - 2) !}\sigma_{1}^{k - 2}\sigma_{2} + \frac{(k - 3) !}{2!(k - 4) !}\sigma_{1}^{k - 4}\sigma_{2}^{2} - \frac{(k - 4) !}{3!(k - 6) !}\sigma_{1}^{k - 6}\sigma_{2}^{3} + \text{ . . . }$

Дәрежелік қосындыны есептеу тәсілі : Рекурренттік қатынас болып табылатын $s_{k}$ дәрежелік қосындының $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ арқылы өрнектеуді алғашқы дәрежелік қосындылырды тапқаннан кейін ғана табуға мүмкіндік береді. Бірақ оның көмегімен нақты $s_{k}$ дәрежелік қосындының өрнегін $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ арқылы табуға болады (үш айнымалы үшін) . Бұл өрнек төмендегідей:

$\frac{1}{k}s_{k} = \sum_{}^{}{\frac{( - 1) ^{k - \lambda_{1} - \lambda_{2} - \lambda_{3}}\left( \lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3} - 1 \right) !}{\lambda_{1}!\lambda_{2}!\lambda_{3}!}\sigma_{1}^{\lambda_{1}}\sigma_{2}^{\lambda_{2}}\sigma_{3}^{\lambda_{3}}\text{. }}$

1 Екі айнымалысы бар симметриялық теңдеулер

1. 1 Екі айнымалысы бар симметриялық көпмүшелер және оның шығу тарихы

Табиғатта, техникада және тұрмыста кейбір денелердің өзара ұқсас, үйлесімді орналасуын симметрия деп атайды. «Симметрия» грек сөзінен алынған «үйлесім» сөзі сияқты бірдей өлшемділікті, белгілі бір реттілікпен орналасқан деген ұғымды білдіреді.

Симметрия ұғымымен барлық жерде - табиғатта, техникада, өнерде, ғылымда жиі ұшырасамыз. Симметрия ұғымы адам шығармашылығының көпғасырлық тарихымен тығыз байланысты. Симметрия принципі физика мен математикада, химия мен биологияда, техника және архитектурада, поэзия мен музыкада маңызды роль атқарады.

Симметрия табиғаттың негізгі фундаментальды қасиеті болып табылады. Ескерткіштерді археологиялық зерттеулер нәтижесі адамзаттың мәдениетінің қалыптаса бастаған кезеңінен бері олардың симметрия туралы ұғым болғанын және суреттер мен тұрмыстық заттарында бейнелеп көрсете білгенін дәлелдеді. Өзінің барлық өмірін симметрияны зерттеуге арнаған академик А. В. Шубников (1887 - 1970) симметрияны алғашқы өндірісте қолану тек эстетикалық мотивке негізделмеген, сондай-ақ белгілі мөлшерде дұрыс формаларды практикада қолданудың жарамдылығына деген адамның сенімділігіне де байланысты болған деген ұйғарым жасады.

Симметрия органикалық емес, әлем мен тірі табиғатта түрлі құрылымдар кездеседі және маңызды рөлге ие.

Симметрия әр түрлі болады. Симметрияның ең қарапайым түрі - түзуге қатысты симметрия. Егер түзу бойымен бүктегенде жазықтықтағы екі фигура бір-бірімен беттесетін болса, ондай фигуралар түзуге қатысты симметриялы фигуралар деп аталады.

Симметриялы фигуралар өзара тең болады.

Егер түзу фигураны симметриялы екі бөлікке бөлсе, онда ондай фигура осьтік симметриялы фигура деп аталады, ал түзу сол фигураның симметрия осі деп аталады. Тік төртбұрыш, квадрат, шеңбер - осьтік симметриялы фигуралар. Тік төртбұрыштың екі симметрия осі бар, квадраттың төрт симметрия осі бар. Шеңбердің кез келген диаметрі арқылы өтетін түзу оның симметрия осі болады. Сондықтан шеңбердің симметрия осьтері шексіз көп. Бұрыш - осьтік симмтриялы фигура. Бұрыштың симметрия осі бойындағы бұрыштың төбесінен басталатын сәулені биссектриса деп атайды. Бұрыштың биссектрисасы оны градустық өлшемтері тең екі бұрышқа бөледі.

Симметрияның екінші түрі - нүктеге қатысты симметрия.

О нүктесіне қатысты симметриялы нүктелер фигураның өзінде жатса, ол фигура центрлік симметриялы фигура деп аталады. О нүктесі фигураның симметрия центрі деп аталады. Тік төртбұрыш, шеңбер, кесінді - центрлік симметриялы фигуралар. Тік төртбұрыштың қарама-қарсы төбелерін қосатын кесінді диагональ деп аталады. Тік төртбұрыштың диагональдарының қиылысу нүктесі - оның симметрия центрі. Шеңбердің симметрия центрі - шеңбердің центрі болатын О нүктесі. Кесіндіні тең екі бөлікке бөлетін О нүктесі - оның симметрия центрі.

Координаталық жазықтықтағы координаталар басы О нүктесіне катысты симметриялы нүктелердің координаталары қарама-қарсы сандар болады.

Табиғатта симметрияның 2 түрі «билатеральды» және «радиальды» кездеседі. 19 ғасырдың зерттеулер нәтижесінде Жердің тарту күші әсерінен табиғаттағы формалар әрбір нүктесінде конустық симметриялы болатыны жөнінде айтылған болатын. Табиғаттағы денелер формасы осы заңға бағынады: «Өсетін немесе вертикаль қозғалатындар, яғни жер бетіне қатысты жоғары-төмен қозғалатындар «радиальды» симметрияға, ал жер бетіне қатысты горизанталь өсетін немесе қозғалатындар «билатеральды» симметрияға бағынады.

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Оқушыларға алгебрадағы ең қиын бөлімдерінің бірі жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесін шығару болып табылады.

Бір белгісізбен квадраттық теңдеулер үшін

$х^{2} + \text{рх} + q = 0$ (1. 1. 1)

стандартты түрін көрсететін мынадай формула шығады:

$x_{1, 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^{2}}{4} - q}$ , (1. 1. 2)

Бірінші дәрежелі теңдеулер үшін де стандартты түрде шығарылуы бар (белгісізді жою, коэффициенттердің теңдігі және т. б. ) . Бірақ жоғары дәрежелі теңдеулерді шығару үшін қиынырақ болады.

Көбінесе мұндай жүйелерді шығарғанда белгісіздерді жою әдісі қолданылады. Келесі мысалда бұл әдіс көрсетіледі:

$\begin{array}{r} \left\{ x + y = 4, \middle \right. \ \end{array}$

Бірінші теңдеуде $y$ -ті $x$ арқылы өрнектейік. Біз $y = 4 - x$ таптық. Екінші теңдеуде $y$ -тің орнына $4 - x$ мәнін қояйық, сонда жаңа теңдеуде бір ғана белгісіз $x$ мүшесі шығады:

$2x^{2} + (4 - x) ^{2} = \text{19}$ ,

өрнекті ықшамдағаннан кейін мынадай теңдеу шығады:

$3x^{2} - 8x - 3 = 0$ ,

оны шығара отырып, екі түбірін табамыз:

$x_{1} = 3$ , $x_{2} = - \frac{1}{3}$ .

Табылған әрбір түбіріне $y$ -тің мәні сәйкес келеді ( $y = 4 - x$ арқылы табылатын) :

$y_{1} = 1$ , $y_{2} = \frac{\text{13}}{3}$ .

Тексеру кезінде жауаптарының екеуі де

$\begin{array}{r} \left\{ x_{1} = 3, \middle \right. \ \end{array}$ $\begin{array}{r} \left\{ x_{2} = - \frac{1}{3}, \middle \right. \ \end{array}$

теңдеулер жүйесін қанағаттандыратынын көрсетеді.

Белгісіздерді жою әдісі жалпы болып табылады. Теориялық жағынан қарағанда, кез келген жүйеден екі алгебралық теңдеуде екі белгісіз үшін бір белгісіз мүшені жойып екінші белгісіз мүшесі болатын теңдеуді шығаруға болады. Бірақ белгісіздерді жою әдісі әрқашанда тиімді болмайды. Кейбір жағдайларда белгісіздерді жою әдісі жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесіне әкеліп соқтырады (жүйе арқылы шығарылу, қиындық туғызады) . Егер бірінші теңдеулер жүйесінің (екі белгісіз мүшелері болса) дәрежесі n, ал екіншісінің дәрежесі m болса, онда жоюдан кейін, анықтама бойынша, mn дәрежесіндегі теңдеу жоғары алгебрада бар екенін дәлелдейді.

Мысалы, мынадай жүйені алайық

$\begin{array}{r} \left\{ x^{2} + y^{2} = 5, \middle \right. \ \end{array}$

Бірінші теңдеуден: $x^{2} = 5 - y^{2}$ табайық, одан

$x^{2} = \left( 5 - y^{2} \right) ^{3} = \text{125} - \text{75}y^{2} + \text{15}y^{4} - y^{6}$ .

Сол сияқты екінші теңдеуден: $x^{6} = \text{81} - \text{18}y^{3} + y^{6}$ шығады.

$x^{6}$ үшін екі жағын теңестіріп, тек бір белгісіз $y$ бар теңдеу шығады:

$2y^{6} - \text{15}y^{4} - \text{18}y^{3} + \text{75}y^{2} - \text{44} = 0$ .

Бірақ бұл теңдеу 6-шы дәрежелі ( $2 \times 3 = 6$ - жоғары алгебрадағы айтылған теоремаға қатысты), ал формулалар 6-шы дәрежелі теңдеулерді оқушылар шығару үшін қолданылады. Жоқ! Бұл әдіс бізді қиын жолға әкеледі.

Бұл қиындықтар туғанда жою әдісі (жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесін шығарғанда) мектепте сирек қолданылады. Көбінесе бұл жүйені жасанды әдіспен шығарады. Бірақ жалпы анықтама бойынша мұндай әдістер қолданылмайды. Әрбір жүйе өзінің тәсілімен шығарылады, және бір жүйені шығару кезінде алынған тәжірибе, екінші жүйені шығару кезінде аз көмек береді. Нәтижесінде мектептегі математикада бұл бөлім оқушыларға өте қиын болып көрінеді және әрбір жүйенің шығару тәсілдері әр түрлі болып келеді.

Бұл курстық жұмыста жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесінің жалпы шығару әдісінің тиімді жолдары көрсетіледі. Бұл әдістер жою әдісі сияқты барлығына қолданыла бермейді, ол кез келген жүйеге сәйкес келмейді. Бірақ бұл әдісті оқушылар көбінесе барлық жүйелерге қолданылады. Расында да жою әдісімен салыстырғанда бұл әдіс теңдеудің дәрежесін жоғарлатпай, керісінше төмендетеді.

Айтылып отырған әдіс симметриялық көпмүшеліктер теориясына сүйеніп шығарылады. Кез келген адам бұл әдіске қарап мынадай жағдайларды ескереді: өте жиімді және жеңіл; алгебралық жүйелерді шығаруға көмектеседі (иррационалдық теңдеулерді шығару, тепе-теңдіктер мен теңсіздіктерді дәлелдеу, көбейткіштерді жіктеу және т. б. ) . Бұл курстық жұмыста есептер шығарылып көрсетіледі. Есептердің ішінде күрделі есептер шығарылып, ал кейбіреулері математикалық олимпиадаларда да қолданылады. Симметриялық көпмүшеліктер теориясы көмегімен бұл күрделі есептердің шығару жолы жеңілдетіледі, стандарт түрге келеді.

Жалғыздық теоремасы 1. 1. 1: Егер $\phi\left( \sigma_{1}, \sigma_{2} \right)$ және $\psi\left( \sigma_{1}, \sigma_{2} \right)$ көпмүшеліктергінің орнына $\sigma_{1} = x + y$ және $\sigma_{2} = \text{xy}$ -ті қойсақ, олар $f(x, y)$ симметриялық көпмүшелікке айналып, бейнеленеді: $\phi\left( \sigma_{1}, \sigma_{2} \right) = \psi\left( \sigma_{1}, \sigma_{2} \right)$ .

$f(x, y) = 0$ болғандағы жалғыздық теоремасының бір ғана бөлігін дәлелдесек жеткілікті болады. Сонда келесі тұжырымның дәлелдемесі жеткілікті:

(1. 1. 1) $\varphi(x, y)$ көпмүшелікке $\sigma_{1} = x + y$ , $\sigma_{2} = \text{xy}$ орнына қойып, егер ол нөлге айналса, онда тепе-тең нөлге тең болады.

Жалғыздық теоремасы (1. 1. 1) тұжырымнан шығатынын көрсетейік. $\phi\left( \sigma_{1}, \sigma_{2} \right)$ және $\psi\left( \sigma_{1}, \sigma_{2} \right)$ көпмүшелікке $\sigma_{1} = x + y$ , $\sigma_{2} = \text{xy}$ орнына қойғанда бірдей нәтиже береді деп алайық: $\phi\left( x + y, \text{xy} \right) = \psi\left( x + y, \text{xy} \right)$ . Сонда $\varphi\left( \sigma_{1}, \sigma_{2} \right) = \phi\left( \sigma_{1}, \sigma_{2} \right) - \psi\left( \sigma_{1}, \sigma_{2} \right)$ көпмүшелігі сол орнына қою кезінде нөлге айналады:

$\varphi\left( x + y, \text{xy} \right) = \phi\left( x + y, \text{xy} \right) - \psi\left( x + y, \text{xy} \right) = 0$ . (1. 1. 3)

Сонда (1. 1. 1) тұжырымы дұрыс болса, онда $\varphi\left( \sigma_{1}, \sigma_{2} \right) = 0$ және $\phi\left( \sigma_{1}, \sigma_{2} \right) = \psi\left( \sigma_{1}, \sigma_{2} \right)$ .

(1. 1. 1) тұжырымдамасын дәлелдеу үшін бізге екі айнымалысы бойынша үлкен мүшенің көпмүшелігі туралы түсінігі керек. $\text{Ax}^{k}y^{l}$ және $\text{Bx}^{m}y^{n}$ - х және у бойынша алынған екі бірмүшелік болсын. «Үлкендік» х болғанда көрсеткіштерін салыстырып, ал олар тең болған жағдайда у-тің көрсеткішін анықтайық. Басқа сөзбен айтқанда, k>m не l>n болса, $\text{Ax}^{k}y^{l}$ бірмүшесі $\text{Bx}^{m}y^{n}$ -нан үлкен. Мысалы, $e^{x^{4}}y^{2}$ бірмүшесі $x^{2}y^{7}$ -ден үлкен, ал $x^{4}y^{6}$ бірмүшесі $x^{4}y^{5}$ -тен үлкен. Егер $\text{Ax}^{k}y^{l}$ үлкен $\text{Bx}^{m}y^{n}$ -нан, ал $\text{Bx}^{m}y^{n}$ үлкен $\text{Сx}^{p}y^{q}$ -дан болса, онда $\text{Ax}^{k}y^{l}$ үлкен $\text{Сx}^{p}y^{q}$ -дан екені белгілі.

Келесі лемманы дәлелдейік:

Бірмүшенің үлкен мүшесі, жақшаны ашқаннан кейін

$(x + y) ^{k}\left( \text{xy} \right) ^{l}$ , (1. 1. 4)

$x^{k + l}y^{l}$

тең.

Расында да (1. 1. 4) өрнегін былай көрсетуге болады:

$\underset{}{\overset{(x + y) \text{ . . . }(x + y) }{︸}}x'y'$ .

k рет

Ең үлкен көрсеткіші болған мүше х бойынша шығады, егер әрбір жақшадағы х-ті алсақ. Сонда жақшалардың саны k-ға тең болса, онда бұл мүшенің түрі $x^{k + l}y^{l}$ болады. Ал басқа жағдайларда х бойынша көрсеткіш k+l-дан кіші. Сонда $x^{k + l}y^{l}$ - үлкен мүше болады. Лемма дәлелденді.

(1. 1. 4) өрнегі $\sigma_{1}^{k}\sigma_{2}^{l}$ бірмүшелігінен шығады, егер $\sigma_{1} = x + y$ , $\sigma_{2} = \text{xy}$ -терді орнына қойсақ. Сонда дәлелденген лемма $\sigma_{1}^{k}\sigma_{2}^{l}$ бірмүшесі бойынша үлкен мүшені бірден тауып жазуға болатынын көрсетеді. Ал тапсырылған үлкен мүшесі бойынша $\sigma_{1}^{k}\sigma_{2}^{l}$ бірмүшені табу керек. Мысалы, $\sigma_{1}^{6}\sigma_{2}^{4}$ бірмүшелікке $\sigma_{1} = x + y$ , $\sigma_{2} = \text{xy}$ орнына қойғаннан және жақшаны ашқаннан кейін $x^{\text{10}}y^{4}$ көпмүшелігі үлкен мүшесінен шығады. Егер $x^{7}y^{3}$ үлкен мүшесі тапсырылса, онда $\sigma_{1}^{4}\sigma_{2}^{3}$ бірмүшесі орындалады.

Енді (1. 1. 1) тұжырымдамасының сөйлемін дәлелдеуге көшейік. Бізге $\varphi\left( \sigma_{1}, \sigma_{2} \right)$ көпмүшелігі нөлден өзгеше болғанын білсек, онда $\sigma_{1} = x + y$ , $\sigma_{2} = \text{xy}$ орнына қойғаннан кейін нөлге айналуы мүмкін.

$\varphi\left( \sigma_{1}, \sigma_{2} \right)$ көпмүшелігі мынадай түрде болсын:

$\varphi\left( \sigma_{1}, \sigma_{2} \right) = \sum_{k, l}^{}{A_{\text{kl}}\sigma_{1}^{k}\sigma_{2}^{l}}$ .

$\varphi\left( \sigma_{1}, \sigma_{2} \right)$ -ден k+l бойынша ең үлкен мән болатын мүшелерді таңдайық. Таңдалғаннан ең үлкен мән l болатын мүшені алайық (ондай мүше тек біреу ғана, k+l және l сандары бірорынды k -мен анықталады) .

Мысалы, егер

$\varphi\left( \sigma_{1}, \sigma_{2} \right) = 3\sigma_{1}^{4}\sigma_{2} - 4\sigma_{1}^{2}\sigma_{2}^{3} + \sigma_{1}\sigma_{2}^{4} - 6\sigma_{1}\sigma_{2}^{2} + \text{11}\sigma_{2}^{3} - 7\sigma_{1} + 5\sigma_{2} + 8$

болса, онда біз бірінші $3\sigma_{1}^{4}\sigma_{2} - 4\sigma_{1}^{2}\sigma_{2}^{3}$ , $\sigma_{1}\sigma_{2}^{4}$ , мүшелер тобын алып, содан кейін олардан $\sigma_{1}\sigma_{2}^{4}$ аламыз.