Теңдеулер жүйесінің шығарылуы

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 31 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3

1 Екі айнымалысы бар симметриялық теңдеулер

1.1 Екі айнымалысы бар симметриялық көпмүшелер және оның шығу тарихы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...5
1.2 Симметриялық көпмүшеліктің анықтамалары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..13
1.3 Екі айнымалы бойынша симметриялы көпмүшеліктер туралы теорема ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .14
1.4 және арқылы дәрежелік қосындыларды өрнектеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .16
1.5 Негізгі теореманың дәлелдеуі ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...17
1.6 Симметриялық көмпүшелердің элементар алгебрада қолданылуы. Теңдеулер жүйесінің шығарылуы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..18
1.7 Қайтарымды теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .23
1.8 Симметриялық көпмүшеліктерді көбейткіштерге жіктеу ... ... ... ... ... ... ... . .28

2 Екі айнымалыдан құралған симметириялық көпмүшелерге есептердің шығарылуы және қасиеттерін жалпылау

2.1 Екі айнымалысы бар симметриялық көпмүшелерге арналған есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..29

Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 34
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 36

Кіріспе

Курстық жұмыс әртүрлі алгебралық есептерді шешуге арналған тиімді әдістерді қолдану жөнінде жазылған. Курстық жұмыс кіріспе, негізгі бөлім және қорытындыдан тұрады. Мектепте алгебралық теңдеулер жүйелерін шешу кезінде ереже бойынша бір айнымалыны екіншісі арқылы өрнектеу әдісін қолдану ұсынылады. Бірақ жоғарғы дәрежелі теңдеулер жүйелерін шешуде бұл әдісті қолданып теңдеулер жүйелерінің дәрежелерін жоғарлатып аламыз. Ал 4-ші және одан да жоғарғы дәрежелі теңдеулерді шешу оқушыға қиындық әкеледі.
Симметриялық көпмүшеліктердің қасиеттеріне негізделген әдіс, универсальді емес, бірақ қандай да бір анықталған шарттарға сүйенсек, теңдеулер жүйелерінің дәрежелерін төмендетуге болады. Сонымен қатар бұл әдіс басқа да алгебралық есептерді шешуге көмектеседі. Курстық жұмыс екі бөлімнен тұрады. Негізгі бөлім екі айнымалыдан құралған симметриялық көпмүшелер теориясының түсініктері мен фактілерін мазмұндауға арналған.
Мұнда симметриялық көпмүшеліктерге мысалдар келтірілген, екі айнымалы бойынша симметриялы көпмүшеліктер туралы теорема, симметриялық көпмүшеліктерді σ1 және σ2 арқылы дәрежелік қосындыларды қалай өрнектеу керек екені, негізгі теорема және оның дәлелдеуі, теңдеулер жүйесінің шығарылуы, екі айнымалысы бар симметриялық теңсіздіктер және оларға мысалдар қарастырылған және қайтарымды теңдеулер жайлы айтылған.
Екінші бөлімде екі айнымалыдан құралған симметириялық көпмүшелер, есептердің шығарылуы және қасиеттерін жалпылау енгізіледі.
Курстық жұмыстың өзектілігі: Егер есептің симметриялық шартын қолдансақ, элементар алгебраның көптеген есептерін шешу оңайға түседі. Бұл курстық жұмыста теңдеулер жүйесін, иррационал теңдеулерді, теңсіздіктерді шешкенде, теңсіздіктерді дәлелдегенде симметриялық көпмүшеліктерді қолдану жайлы айтылады. Бұл барлық есептер симметриялық көпмүшеліктер теориясына негізделген әдіспен шығарылады.
Мектеп оқулықтарында симметриялық көпмүшелерге арналған есептер көп кездеседі. Мектеп оқушыларына алгебраның ең қиын бөлімі жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесі бөлімі болып саналады. Бірінші дәрежелі теңдеулер жүйесі ешқандай қиындық туғызбайды. Квадраттық теңдеулерді шешудің стандартты шешу жолы бар. Ал бірақ жоғары дәрежелі теңдеулерді шешу оқушыға қиынға соғады. Бұл курстық жұмыста қарастырылатын әдістің ерекшелігі жоғарғы дәрежелі теңдеулердің дәрежесін көбейтпейді, керісінше теңдеулер дәрежелерін азайтады. Бұдан есепті шешу оңайға түседі.
Курстық жұмыстың мақсаты: Жоғары дәрежелі теңдеулер жүйелерін симметриялық теорияны қолданып жалпы әдіспен шешу, элементар математика, алгебрада симметриялық көпмүшеліктердің қасиеттерін қарау, есептерді шығарып көрсету. Бұл әдіс универсалды емес және ерекше де емес. Себебі, барлық жүйелерге қолданыла бермейді. Бірақ бұл әдіс көптеген жүйелерде қолданылады және оқушыға көп кездеседі. Әдіс симметриялық көпмүшеліктер деп аталатын теорияға негізделген. Бұл теория өте қарапайым және көптеген алгебралық теңдеулер жүйесін шешіп қоймай, басқада алгебралық есептерді (иррационал теңдеулерді шешу, теңдеулер мен теңсіздіктерді, көбейткіштерге жіктеу және т.б.) шешуге көмектеседі.
Курстық жұмыстың міндеті: Симметриялық көпмүшеліктерді мынадай есептер шешу үшін қолданамыз:
1) алгебралық теңдеулер жүйесін шешу;
2) иррационал теңдеулер жүйесін шешу;
3) квадрат теңдеулердің есептерін шешу;
4) жоғары дәрежелі теңдеулерді шешу;
5) қайтарымды теңдеулерді шешу;
6) жоғары дәрежелі теңдеулерді симметриялық көпмүшеліктерге жіктеу арқылы теңдеулерді шешу.
Жұмыста келесі мәселелер қарастырылады:
Теорема: Егер ϕσ1,σ2 және ψσ1,σ2 көпмүшеліктергінің орнына σ1=x+y және σ2=xy-ті қойсақ, олар fx,y симметриялық көпмүшелікке айналып, бейнеленеді: ϕσ1,σ2=ψσ1,σ2.
Дәрежелік қосындыны есептеу тәсілі: sk-ның өрнегі σ1 және σ2 арқылы беріледі. Ол келесі түрде беріледі (екі айнымалы үшін):
1ksk=1kσ1k-k-2!1!k-2!σ1k-2σ2+k-3!2! k-4!σ1k-4σ22-k-4!3!k-6!σ1k-6σ23+...
Дәрежелік қосындыны есептеу тәсілі: Рекурренттік қатынас болып табылатын sk дәрежелік қосындының σ1,σ2,σ3 арқылы өрнектеуді алғашқы дәрежелік қосындылырды тапқаннан кейін ғана табуға мүмкіндік береді. Бірақ оның көмегімен нақты sk дәрежелік қосындының өрнегін σ1,σ2,σ3 арқылы табуға болады (үш айнымалы үшін). Бұл өрнек төмендегідей:

1ksk=-1k-λ1-λ2-λ3λ1+λ2+λ3-1!λ1!λ2!λ 3!σ1λ1σ2λ2σ3λ3.

1 Екі айнымалысы бар симметриялық теңдеулер

1.1 Екі айнымалысы бар симметриялық көпмүшелер және оның шығу тарихы

Табиғатта, техникада және тұрмыста кейбір денелердің өзара ұқсас, үйлесімді орналасуын симметрия деп атайды. Симметрия грек сөзінен алынған үйлесім сөзі сияқты бірдей өлшемділікті, белгілі бір реттілікпен орналасқан деген ұғымды білдіреді.
Симметрия ұғымымен барлық жерде - табиғатта, техникада, өнерде, ғылымда жиі ұшырасамыз. Симметрия ұғымы адам шығармашылығының көпғасырлық тарихымен тығыз байланысты. Симметрия принципі физика мен математикада, химия мен биологияда, техника және архитектурада, поэзия мен музыкада маңызды роль атқарады.
Симметрия табиғаттың негізгі фундаментальды қасиеті болып табылады. Ескерткіштерді археологиялық зерттеулер нәтижесі адамзаттың мәдениетінің қалыптаса бастаған кезеңінен бері олардың симметрия туралы ұғым болғанын және суреттер мен тұрмыстық заттарында бейнелеп көрсете білгенін дәлелдеді. Өзінің барлық өмірін симметрияны зерттеуге арнаған академик А. В. Шубников (1887 - 1970) симметрияны алғашқы өндірісте қолану тек эстетикалық мотивке негізделмеген, сондай-ақ белгілі мөлшерде дұрыс формаларды практикада қолданудың жарамдылығына деген адамның сенімділігіне де байланысты болған деген ұйғарым жасады.
Симметрия органикалық емес, әлем мен тірі табиғатта түрлі құрылымдар кездеседі және маңызды рөлге ие.
Симметрия әр түрлі болады. Симметрияның ең қарапайым түрі - түзуге қатысты симметрия. Егер түзу бойымен бүктегенде жазықтықтағы екі фигура бір-бірімен беттесетін болса, ондай фигуралар түзуге қатысты симметриялы фигуралар деп аталады.
Симметриялы фигуралар өзара тең болады.
Егер түзу фигураны симметриялы екі бөлікке бөлсе, онда ондай фигура осьтік симметриялы фигура деп аталады, ал түзу сол фигураның симметрия осі деп аталады. Тік төртбұрыш, квадрат, шеңбер - осьтік симметриялы фигуралар. Тік төртбұрыштың екі симметрия осі бар, квадраттың төрт симметрия осі бар. Шеңбердің кез келген диаметрі арқылы өтетін түзу оның симметрия осі болады. Сондықтан шеңбердің симметрия осьтері шексіз көп. Бұрыш - осьтік симмтриялы фигура. Бұрыштың симметрия осі бойындағы бұрыштың төбесінен басталатын сәулені биссектриса деп атайды. Бұрыштың биссектрисасы оны градустық өлшемтері тең екі бұрышқа бөледі.
Симметрияның екінші түрі - нүктеге қатысты симметрия.
О нүктесіне қатысты симметриялы нүктелер фигураның өзінде жатса, ол фигура центрлік симметриялы фигура деп аталады. О нүктесі фигураның симметрия центрі деп аталады. Тік төртбұрыш, шеңбер, кесінді - центрлік симметриялы фигуралар. Тік төртбұрыштың қарама-қарсы төбелерін қосатын кесінді диагональ деп аталады. Тік төртбұрыштың диагональдарының қиылысу нүктесі - оның симметрия центрі. Шеңбердің симметрия центрі - шеңбердің центрі болатын О нүктесі. Кесіндіні тең екі бөлікке бөлетін О нүктесі - оның симметрия центрі.
Координаталық жазықтықтағы координаталар басы О нүктесіне катысты симметриялы нүктелердің координаталары қарама-қарсы сандар болады.
Табиғатта симметрияның 2 түрі билатеральды және радиальды кездеседі. 19 ғасырдың зерттеулер нәтижесінде Жердің тарту күші әсерінен табиғаттағы формалар әрбір нүктесінде конустық симметриялы болатыны жөнінде айтылған болатын. Табиғаттағы денелер формасы осы заңға бағынады: Өсетін немесе вертикаль қозғалатындар, яғни жер бетіне қатысты жоғары-төмен қозғалатындар радиальды симметрияға, ал жер бетіне қатысты горизанталь өсетін немесе қозғалатындар билатеральды симметрияға бағынады.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Оқушыларға алгебрадағы ең қиын бөлімдерінің бірі жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесін шығару болып табылады.
Бір белгісізбен квадраттық теңдеулер үшін

х2+рх+q=0 (1.1.1)

стандартты түрін көрсететін мынадай формула шығады:

x1,2=-p2+-p24-q, (1.1.2)

Бірінші дәрежелі теңдеулер үшін де стандартты түрде шығарылуы бар (белгісізді жою, коэффициенттердің теңдігі және т.б.). Бірақ жоғары дәрежелі теңдеулерді шығару үшін қиынырақ болады.
Көбінесе мұндай жүйелерді шығарғанда белгісіздерді жою әдісі қолданылады. Келесі мысалда бұл әдіс көрсетіледі:

x+y=4,

Бірінші теңдеуде y-ті x арқылы өрнектейік. Біз y=4-x таптық. Екінші теңдеуде y-тің орнына 4-x мәнін қояйық, сонда жаңа теңдеуде бір ғана белгісіз x мүшесі шығады:

2x2+4-x2=19,

өрнекті ықшамдағаннан кейін мынадай теңдеу шығады:

3x2-8x-3=0,

оны шығара отырып, екі түбірін табамыз:

x1=3, x2=-13.

Табылған әрбір түбіріне y-тің мәні сәйкес келеді (y=4-x арқылы табылатын):

y1=1, y2=133.

Тексеру кезінде жауаптарының екеуі де

x1=3, x2=-13,

теңдеулер жүйесін қанағаттандыратынын көрсетеді.
Белгісіздерді жою әдісі жалпы болып табылады. Теориялық жағынан қарағанда, кез келген жүйеден екі алгебралық теңдеуде екі белгісіз үшін бір белгісіз мүшені жойып екінші белгісіз мүшесі болатын теңдеуді шығаруға болады. Бірақ белгісіздерді жою әдісі әрқашанда тиімді болмайды. Кейбір жағдайларда белгісіздерді жою әдісі жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесіне әкеліп соқтырады (жүйе арқылы шығарылу, қиындық туғызады). Егер бірінші теңдеулер жүйесінің (екі белгісіз мүшелері болса) дәрежесі n, ал екіншісінің дәрежесі m болса, онда жоюдан кейін, анықтама бойынша, mn дәрежесіндегі теңдеу жоғары алгебрада бар екенін дәлелдейді.
Мысалы, мынадай жүйені алайық

x2+y2=5,

Бірінші теңдеуден: x2=5-y2 табайық, одан

x2=5-y23=125-75y2+15y4-y6.

Сол сияқты екінші теңдеуден: x6=81-18y3+y6 шығады.
x6 үшін екі жағын теңестіріп, тек бір белгісіз y бар теңдеу шығады:

2y6-15y4-18y3+75y2-44=0.

Бірақ бұл теңдеу 6-шы дәрежелі (2x3=6 - жоғары алгебрадағы айтылған теоремаға қатысты), ал формулалар 6-шы дәрежелі теңдеулерді оқушылар шығару үшін қолданылады. Жоқ! Бұл әдіс бізді қиын жолға әкеледі.
Бұл қиындықтар туғанда жою әдісі (жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесін шығарғанда) мектепте сирек қолданылады. Көбінесе бұл жүйені жасанды әдіспен шығарады. Бірақ жалпы анықтама бойынша мұндай әдістер қолданылмайды. Әрбір жүйе өзінің тәсілімен шығарылады, және бір жүйені шығару кезінде алынған тәжірибе, екінші жүйені шығару кезінде аз көмек береді. Нәтижесінде мектептегі математикада бұл бөлім оқушыларға өте қиын болып көрінеді және әрбір жүйенің шығару тәсілдері әр түрлі болып келеді.
Бұл курстық жұмыста жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесінің жалпы шығару әдісінің тиімді жолдары көрсетіледі. Бұл әдістер жою әдісі сияқты барлығына қолданыла бермейді, ол кез келген жүйеге сәйкес келмейді. Бірақ бұл әдісті оқушылар көбінесе барлық жүйелерге қолданылады. Расында да жою әдісімен салыстырғанда бұл әдіс теңдеудің дәрежесін жоғарлатпай, керісінше төмендетеді.
Айтылып отырған әдіс симметриялық көпмүшеліктер теориясына сүйеніп шығарылады. Кез келген адам бұл әдіске қарап мынадай жағдайларды ескереді: өте жиімді және жеңіл; алгебралық жүйелерді шығаруға көмектеседі (иррационалдық теңдеулерді шығару, тепе-теңдіктер мен теңсіздіктерді дәлелдеу, көбейткіштерді жіктеу және т.б.). Бұл курстық жұмыста есептер шығарылып көрсетіледі. Есептердің ішінде күрделі есептер шығарылып, ал кейбіреулері математикалық олимпиадаларда да қолданылады. Симметриялық көпмүшеліктер теориясы көмегімен бұл күрделі есептердің шығару жолы жеңілдетіледі, стандарт түрге келеді.
Жалғыздық теоремасы 1.1.1: Егер ϕσ1,σ2 және ψσ1,σ2 көпмүшеліктергінің орнына σ1=x+y және σ2=xy-ті қойсақ, олар fx,y симметриялық көпмүшелікке айналып, бейнеленеді: ϕσ1,σ2=ψσ1,σ2.
fx,y=0 болғандағы жалғыздық теоремасының бір ғана бөлігін дәлелдесек жеткілікті болады. Сонда келесі тұжырымның дәлелдемесі жеткілікті:
(1.1.1) φx,y көпмүшелікке σ1=x+y, σ2=xy орнына қойып, егер ол нөлге айналса, онда тепе-тең нөлге тең болады.
Жалғыздық теоремасы (1.1.1) тұжырымнан шығатынын көрсетейік. ϕσ1,σ2 және ψσ1,σ2 көпмүшелікке σ1=x+y, σ2=xy орнына қойғанда бірдей нәтиже береді деп алайық: ϕx+y,xy=ψx+y,xy. Сонда φσ1,σ2=ϕσ1,σ2-ψσ1,σ2 көпмүшелігі сол орнына қою кезінде нөлге айналады:

φx+y,xy=ϕx+y,xy-ψx+y,xy=0. (1.1.3)

Сонда (1.1.1) тұжырымы дұрыс болса, онда φσ1,σ2=0 және ϕσ1,σ2=ψσ1,σ2.
(1.1.1) тұжырымдамасын дәлелдеу үшін бізге екі айнымалысы бойынша үлкен мүшенің көпмүшелігі туралы түсінігі керек. Axkyl және Bxmyn - х және у бойынша алынған екі бірмүшелік болсын. Үлкендік х болғанда көрсеткіштерін салыстырып, ал олар тең болған жағдайда у-тің көрсеткішін анықтайық. Басқа сөзбен айтқанда, km не ln болса, Axkyl бірмүшесі Bxmyn-нан үлкен. Мысалы, ex4y2 бірмүшесі x2y7-ден үлкен, ал x4y6 бірмүшесі x4y5-тен үлкен. Егер Axkyl үлкен Bxmyn-нан, ал Bxmyn үлкен Сxpyq-дан болса, онда Axkyl үлкен Сxpyq-дан екені белгілі.
Келесі лемманы дәлелдейік:
Бірмүшенің үлкен мүшесі, жақшаны ашқаннан кейін

x+ykxyl, (1.1.4)
xk+lyl
тең.
Расында да (1.1.4) өрнегін былай көрсетуге болады:

x+y...x+yx'y'.
k рет
Ең үлкен көрсеткіші болған мүше х бойынша шығады, егер әрбір жақшадағы х-ті алсақ. Сонда жақшалардың саны k-ға тең болса, онда бұл мүшенің түрі xk+lyl болады. Ал басқа жағдайларда х бойынша көрсеткіш k+l-дан кіші. Сонда xk+lyl - үлкен мүше болады. Лемма дәлелденді.
(1.1.4) өрнегі σ1kσ2l бірмүшелігінен шығады, егер σ1=x+y, σ2=xy-терді орнына қойсақ. Сонда дәлелденген лемма σ1kσ2l бірмүшесі бойынша үлкен мүшені бірден тауып жазуға болатынын көрсетеді. Ал тапсырылған үлкен мүшесі бойынша σ1kσ2l бірмүшені табу керек. Мысалы, σ16σ24 бірмүшелікке σ1=x+y, σ2=xy орнына қойғаннан және жақшаны ашқаннан кейін x10y4 көпмүшелігі үлкен мүшесінен шығады. Егер x7y3 үлкен мүшесі тапсырылса, онда σ14σ23 бірмүшесі орындалады.
Енді (1.1.1) тұжырымдамасының сөйлемін дәлелдеуге көшейік. Бізге φσ1,σ2 көпмүшелігі нөлден өзгеше болғанын білсек, онда σ1=x+y, σ2=xy орнына қойғаннан кейін нөлге айналуы мүмкін.
φσ1,σ2 көпмүшелігі мынадай түрде болсын:

φσ1,σ2=k,lAklσ1kσ2l.

φσ1,σ2-ден k+l бойынша ең үлкен мән болатын мүшелерді таңдайық. Таңдалғаннан ең үлкен мән l болатын мүшені алайық (ондай мүше тек біреу ғана, k+l және l сандары бірорынды k-мен анықталады).
Мысалы, егер

φσ1,σ2=3σ14σ2-4σ12σ23+σ1σ24-6σ1σ22+ 11σ23-7σ1+5σ2+8

болса, онда біз бірінші 3σ14σ2-4σ12σ23, σ1σ24, мүшелер тобын алып, содан кейін олардан σ1σ24 аламыз.
Енді біз Aσ1mσ2n бірмүшесін алдық делік. Оған Axm+nyn үлкен мүшесі сәйкес келеді. Бұл мүше барлық мүшелерден үлкен екенін көрсетіп, φσ1,σ2 көпмүшелігіне σ1=x+y, σ2=xy орнына қойғаннан кейін және жақшаларды ашқаннан кейін мүшелерге қатысты Aσ1mσ2n-дан шыққанда, Axm+nyn - барлық мүшелерден үлкені болғаны белгілі. Енді басқа қосылғышты алайық, Bσ1kσ2l болсын делік. Бұл қосылғышқа Bxk+lyl үлкен мүшесі жауап берсін. Сонда Aσ1mσ2n бірмүшелігінде біз m+nk+l немесе m+n=k+l болады, бірақ nl. Екі жағдайда да Axm+nyn мүшесі үлкен, Bxk+lyl-ке қарағанда. Ол барлығына қарағанда үлкен, Bσ1kσ2l қосылғыштан шыққанда.
Біз Axm+nyn - барлық мүшелердің ең үлкені болатынын дәлелдедік (σ1=x+y, σ2=xy-ті φσ1,σ2 көпмүшелігіне қойғаннан және жақшаларды ашқаннан кейін). Сондықтан оның ұқсас мүшелері жоқ және оған ұқсас мүшелер келтіргенде жойылмайды. Онда φx+y,xy көпмүшесі нөлге тепе-тең болмайды. Шыққан қарама-қайшылық (1.1.1) сөйлемді дәлелдейді. Онымен бірге жалғыздық теоремасы да дәлелденді.
Варинг формуласы. Дәрежелік қосындыны есептеу тәсілі формула бойынша шыққан. Оның бір кемшілігі: sk-ның өрнегін табу үшін, одан бұрынғы барлық қосындыларды есептеу керек. Ал кейде бізге оның керегі жоқ, σ1 және σ2 арқылы sk-ның өрнегін бірден тауып алсақ. Соған қатысты формула 1779 жылы ағылшын математигі Эдуард Варинг ашты. Ол келесі түрде беріледі:

1ksk=1kσ1k-k-2!1!k-2!σ1k-2σ2+k-3!2! k-4!σ1k-4σ22-k-4!3!k-6!σ1k-6σ23+... (1.1.5)

Бұл формуладан қосындының пайда болу заңын түсінуге қиын емес. sk=xk+yk дәрежелік қосынды х және у бойынша k дәрежесінің көпмүшелігі болса. Бірақ σ1=x+y - бірінші дәрежелі көпмүшелік, ал σ2=xy - екінші дәрежелі бірмүшелік (х және у-ке қатысты). Егер σ2-ні m дәрежеге шығарсақ, онда σ2m=xmym өрнегі шығады. σ1 бөлігіне тек k-2m дәрежесі қалады. Сондықтан 1ksk өрнегіне және amσ1k-2mσ2m түріндегі қосылғыштардан шыққан, мұндағы m - нөлден бүтін санға дейін өзгереді, бірақ k2-ден кіші болады.
am коэффициенті бөлшек болып, алымында k-m-1! тұрып, ал бөлімі m! және k-2m! сандарының көбейтіндісі болады (мұны есте сақтау қиын емес: m және k-2m дәрежелердің көрсеткіштері болып табылады, σ1 және σ2 осы қосылғышқа кіреді). Содан басқа am коэффициенттері кезекпен таңбаны ауыстырып отырады. σ1k бойынша коэффициенті сол заңмен пайда болды. σ2 қосылғышы нөлдік дәрежеге кіреді, ал 0!=1 екені белгілі. Бұл формуладағы оң жақ қосылғыштары бір тәсілмен өрнектеледі

-1mk-m-1!m!k-2m!σ1k-2mσ2m

мұндағы m-нің мәні 0,1,2,... өсе береді, k-2m көрсеткіші теріс емес (үлкен бүтін санға дейін, бірақ k2-ден кіші).
Математикада жиі қосындылар кездеседі, олардың қосылғыштары бір-біріне ұқсас болады. Дәлірек айтсақ, fm өрнегінен шығады, бірақ m-нан тәуелді болады. Осы қосындылардың түрі мынадай

mfm,

m қандай мән қабылдайтынын қосымша көрсету керек. Мысалы, егер m саны нөлден р-ға дейін барлық бүтін мәндерді қабылдайтын болса, ол қосындыны мынадай түрде жазуға болады:

m=0pfm.

Басқаша,

m=0pfm=f0+f1+...+fp.

белгісін қолдансақ, біз формуланы мынадай түрде көшіре аламыз.

1ksk=m=0p-1mk-m-1!m!k-2m!σ1k-2mσ2m,

Мұндағы, р-ең үлкен бүтін сан, бірақ k2-ден кіші. Келешекте біз m-нің өзгеруін түсіреміз.
Варинг формуласы көмегімен дәрежелік қосынды sk, 1=k=10 формуласын тағы шығарамыз, 1-кестедегі.

1-кесте
s1
s2
s3
s4
s5
σ1
σ12-2σ2
σ13-3σ1σ2
σ14-4σ12σ2+2σ22
σ15-5σ13σ2+5σ1σ22
s6
s7
s8
s9
s10
...
σ16-6σ14σ2+9σ12σ22-2σ23
σ17-7σ15σ2+14σ13σ22-7σ1σ23
σ18-8σ16σ2+20σ14σ22-16σ12σ23+2σ24
σ19-9σ17σ2+27σ15σ22-30σ13σ23+9σ1σ24
σ110-10σ18σ2+35σ16σ22-50σ14σ23+25σ1 2σ24-2σ25
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Варинг формуласының дәлелденуін математикалық индукция тәсілімен шығарамыз. k=1 болғандағы мынадай түрге келеді

s1=σ1,

ал k=2 болғандағы түрі
12s2=12σ12-σ2.

Сонда k=1 және k=2 болғанда Варинг формуласы дұрыс болады.
Варинг формуласы s1,s2,...sk-1 үшін дәлелденіп, дұрыс болды делік. Оны sk үшін дәлелдеуде (1.1.5) формуланы қолданайық. Бізде:

1ksk=σ1sk-1-σ2sk-2=k-1kσ1⋅m-1mk-m-2 !m!k-2m-1!σ1k-2m-1σ2m-
-k-2kσ2n-1nk-n-3!n!k-2n-2!σ1k-2n-2σ 2n=
=1km-1mk-m-2!k-1m!k-2m-1!σ1k-2mσ2m- 1kn-1nk-n-3!k-2n!k-2n-2!σ1k-2n-2σ2n +1.

Екінші қосылғышта n+1-ді m-мен ауыстырамыз. Сонда екі қосылғышты біріктіруге болады:

1ksk=1k-1mk-m-2!k-1m!k-2m-1!σ1k-2mσ 2m-1k-1m-1k-m-2!k-2m-1!k-2m!σ1k-2mσ 2m=һһһһһһһһһһһһһһһһһ=1km-1mk-m-2!k- 1m!k-2m-1!+k-2m-1!k-2m!σ1k-2mσ2m.

Бірақ

1m-1!=mm!, 1k-2m-1!=k-2mk-2m!,

осы өрнектен жақшада шығады

k-1k-2mm!k-2m!+k-2mm!k-2m!=kk-m-1m! k-2m!.

Сонымен k-m-1⋅k-m-2!=k-m-1! болғандықтан, бізге керекті қатынасты аламыз
1ksk=m-1mk-m-1!m!k-2m!σ1k-2mσ2m.

Варинг формуласы дәлелденді.
1.2 Симметриялық көпмүшеліктің анықтамалары

Симметриялық көпмүшелік ұғымын келесі мысалдар арқылы көрсетейік. Солардың ішінде ең күрделілері жоғарғы дәрежелі теңдеулер жүйелерін таңдадық. Бұл мысалдар келесіден алынған [1].
Мысалы:

1) x2+xy+y2=4, 2) x+y=a+b,

3) x3+y3=5a3, 4) x4+x2y2+y4=91,

Бұл барлық жүйелердің бір жалпы қаситі - x және y бірдей кіретін сол жақтарында көпмүшеліктер бар теңдеулер. Сондай теңдеулер жүйесіне мынадай тәсілдер қолданылады.
x және y бірдей кіретін көпмүшеліктер симметриялық көпмүшеліктер деп аталады. Яғни,
x және y бойынша көпмүшеліктер симметриялық көпмүшеліктер дейміз, егер
x-ті y-пен, ал y-ті x-пен алмастырғанда өзгермейтін болса.
x2y+xy2 - симметриялық көпмүшелік, ал x3-3y2 - симметриялық көпмүшелік болмайды. x-ті y-пен, ал y-ті x-пен алмастыратын болсақ, ло мына түрге келеді y3-3x2бұл көпмүшелік бастапқыға тең болмайды.
Енді негізгі симметриялық көпмүшеліктерге мысалдар келтірейік. Қосылғыштардың орындарын ауыстырғанмен қосындының мәні өзгермейтіні бізге арифметикадан белгілі x+y=y+x, мұндағы x, y кез келген сандар. Бұл тепе-теңдік x+y көпмүшелігі симметриялық екенін көрсетеді. Сол сияқты көбейтудің коммутативтік заңдылығы xy көбейтіндісі симметриялық болатынын көрсетеді. x+y және xy көпмүшеліктері ең қарапайым симметриялық көпмүшеліктер болып табылады. Оларды x және y бойынша элементарлық симметриялық көпмүшеліктер деп атайды. Оларды σ1 және σ2 арқылы белгілейді:

σ1=x+y, σ2=xy. (1.2.1)

σ1 және σ2-ден басқа x2+y2, x3+y3, ..., xn+yn, ... дәрежелік қосындылыр кездеседі. xn+yn көпмүшелігін sn деп белгілеу қалыптасқан. Сонда:

s1=x+ys2=x2+y2s3=x3+y3s4=x4+y4 ... . ... ... .. (1.2.2)

1.3 Екі айнымалы бойынша симметриялы көпмүшеліктер туралы теорема

Симметриялық көпмүшеліктерді алу үшін жеңіл әдіс бар. Симметриялық емес кез келген σ1 және σ2 бойынша көпмүшеліктерді алып, σ1 және σ2-нің орнына x және y қояйық. x және y бойынша симметриялық көпмүшелігі шығатыны белгілі (σ1=x+y, σ2=xy x-ті y-пен немесе y-ті x-пен алмастырғаннан x+y және xy көпмүшеліктері өзгермейді). Мысалы, σ13-σ1σ2 көпмүшеліктерінен мынадай симетриялық көпмүшелік шығады:

x+y3-x+yxy=x3+2x2y+2xy2+y3.

Сонымен, σ1 және σ2 көпмүшеліктерді алып, σ1 және σ2-нің орнына σ1=x+y, σ2=xy-ті апарып қойсақ, онда x және y бойынша симмметриялық көпмүшелігі шығады.
Бұл әдіс арқылы кез келген симметриялық көпмүшелікті алуға бола ма? - деген сұрақ туындайды.
Мысалдарды қарастырудан кейін бұл тұжырым ақиқат екеніне көз жеткіземіз. Мысалы, s1, s2, s3, s4 дәрежелік қосындылар σ1 және σ2 арқылы жеңіл өрнектеледі:

s1=x+y=σ1s2=x2+y2=x+y2-2xy=σ12-2σ2s 3=x3+y3=x+yx2-xy+y2=x+yx+y2-3xy=σ1σ 12-3σ2s4=x4+y4=x2+y22-2x2y2=σ12-2σ2 2-2σ22 (1.3.1)

x3y+xy3 симметриялық көпмүшелікті келесі түрге келтірейік:

x3y+xy3=xyx2+y2=σ2σ12-2σ2.

Қандай болсын қиын немесе жеңіл симметриялық көпмүшелікті алсақ та, оларды σ1 және σ2 рақылы өрнектеп шығаруға болады. Осы мысалдардың негізінде келесі теореманың ақиқаттығы шығады:
Теорема 1.3.1: Кез келген x және y бойынша симметриялық көпмүшеліктерді σ1=x+y және σ2=xy арқылы өрнектеуге болады.
Әрине миллиондаған мысалдар қарастырсақ та, ол бізге дәлелдеудің орнын толықтырмайды.
Математика тарихынан бізге бірнеше қателікті көрсетеді. Француз математигі Пьер Ферма 22n+1 сандарын қарастырғанда, n=1,2,3,4 болса, онда бұл сандар жай сандар болатынын тауып, енді n кез келген сан болса да жай сан болады деп ұйғарды. Бірақ ол тұжырымды Леонард Эйлер жалған екенін дәлелді. n=5 болғанда 232+1 онтаңбалы саны шықты, ол жай сан болмайтынын көрсетті (өйткені шыққан сан 641-ге бөлінеді).
Эйлердің көмегімен көрсетілген басқа мысал. n2+n+41 үшмүшелікке n-нің орнына ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.