Мектепте интегралды оқытудың әдістемесі
АСТАНА ХАЛЫҚАРАЛЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ
МЕЖДУНАРОДНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ АСТАНА
Бектемір Б.Н.
Мектепте интегралды оқытудың әдістемесі
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
6В01506 Математика- білім беру бағдарламасы
Астана, 2024
АСТАНА ХАЛЫҚАРАЛЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ
МЕЖДУНАРОДНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ АСТАНА
Педагогикалық институт
Қорғауға жіберілді
Педагогикалық институт директоры
_________Ж.К. Ахмадиева
_____________2024 ж.
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
Тақырыбы: Мектепте интегралды оқытудың әдістемесі
6В01506 Математика- білім беру бағдарламасы
Орындаған Б.Н.Бектемір
Ғылыми жетекшісі
физика-математика ғылымдарының
кандиданты, қауымдастырылған
профессор А.А.Анияров
Норма бақылаушы П.Н.Абилова
Астана, 2024
Дипломдық жұмысты орындауға
ТАПСЫРМА
Білім алушы Бектемір Балнұр Нұрболатқызы
Білім беру бағдарламасы - 6В01506 Математика білім беру бағдарламасы
Дипломдық жұмыстың тақырыбы: Мектепте интегралды оқытудың әдістемесі
20____ ____ _______________№ ______бұйрығымен бекітілген.
Осы жұмысты орындау үшін негіздеме жоғары мектептің ғылыми бағыты
(жоғары мектептің ғылыми бағыты, кәсіпорынның немесе ұйымның тапсырысы, жоба аясында, бастамашыл тақырып немесе т.б.)
Дипломдық жұмыс міндеттерінің тізімі
1. Интеграл тақырыбын дұрыс тәсілмен оқыту мақсатында мектеп оқулықтарына толықтай шолу жасау;
2. Тақырып бойынша берілетін ақпараттарды қарастыру;
3. Математика пәні оқушыларға қызықты болуы үшін жаңаша әдіс-тәсілдер қарастыру
Ұсынылатын негізгі әдебиеттер:
1. Алгебра және анализ бастамалары Әбілқасымова А.Е, В.Е. Корчевский, З.Ә.Жұмағұлова, 2019
2. Алгебра және анализ бастамалары Ә.Н. Шыныбеков, Д.Ә.Шыныбеков, Р.Н.Жұмабаев, 2020
3. The history of the calculus and its conceptual development, Boyer.C.B., 1959
Тапсырманың берілген күні _________________
Ғылыми жетекші __________
Қолы
Педагогикалық институт директоры __________
Қолы
Тапсырма орындауға
қабылданды __________
Қолы
МАЗМҰНЫ
НОРМАТИВТІК СІЛТЕМЕЛЕР ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
АНЫҚТАМАЛАР, БЕЛГІЛЕУЛЕР ЖӘНЕ ҚЫСҚАРТУЛАР .6
КІРІСПЕ 7
1. Интеграл тақырыбының теориялық негіздері ... ... ... ... ... ... .. ... 9
1.1Интеграл ұғымы, қалыптасу тарихы және дамуы ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... .9
1.2 Туындыны және алғашқы функция ұғымы және анықталмаған интеграл ... 12
2. Мектеп курсында негізгі интегралды оқытудың әдістемелік ерекшеліктері ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... 22
2.1 Мектеп қабырғасында қолданыста жүрген "Алгебра және анализ бастамалары''оқулығына анализ жасау ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... .22
2.2Интеграл тақырыбын тереңдетіп оқытудың әдістемесі ... ... ... ... ... ... . ... ... ..28
2.3Қисықсызықты трапецияның ауданын оқыту әдістемесі ... ... ... ... ... ... . ... ...32
2.4 Геометриялық және физикалық есептерде интегралды қолдану ... ... ... ... ...40
3. Зерттеу нәтижесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 43
3.1 Математиканы оқытудың заманауи формалары мен әдістері ... ... ... ... ... ... 43
3.2 Тәжірбиелік сабақтар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...48
3.3 Тәжірбиелік эксперимент ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 51
Қорытыңды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...57
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... 59
Нормативтік сілтемелер
Бұл дипломдық жұмыcтa кeлecі нopмaтивтік құжaттapғa cілтeмeлep көpceтілгeн:
1 ПР-МУА 005-20 Дипломдық жұмысты (жобаны) орындау ережелері, Бірінші басылым
2 ҚР МЖМБС 5.04.019 -2008 Қазақстан Республикасының мемлекеттік жалпыға міндетті білім беру стандарты. Жоғары кәсіптік білім. Бакалавриат. Негізгі ережелер.
3 Қaзaқcтaн Pecпубликacы Бiлiм туpaлы Зaңы. Aлмaты, 2007, 42 б. Қазақстан Республикасы Парламентінің Жаршысы, 2007 ж., № 20, 151-құжат; "Егемен Қазақстан" 2007 жылғы 15 тамыз № 254-256
4 Қaзaқcтaн Pecпубликacындa бiлiм бepудi және ғылымды дaмытудың 2016-2019 жылдapғa apнaлғaн Мeмлeкeттік бaғдapлaмacы Eгeмeн Қaзaқcтaн, 2010 жылғы 14 жeлтoқcaндaғы № 529-532 (26375). - 2010. - 3 б.
5 Білім берудің тиісті деңгейлерінің мемлекеттік жалпыға міндетті білім беру стандарттары, Қaзaқcтaн Pecпубликacы Үкімeтінің 2012 жылғы 23 тaмыздaғы № 1080 қaулыcымeн бeкітілгeн. Күші жойылды - Қазақстан Республикасы Үкіметінің 2018 жылғы 27 желтоқсандағы № 895 қаулысымен.
6 Қазақстан Республикасы Президенті Н.Ә.Назарбаевтың Қазақстан халқына Жолдауы. 100 нақты қадам Астана. 20.05.2015ж.
7 Қазақстан Республикасында білім беруді және ғылымды дамытудың 2020 - 2025 жылдарға арналған мемлекеттік бағдарламасы. Қазақстан Республикасы Үкіметінің 2019 жылғы 27 желтоқсандағы № 988 қаулысымен бекітілген. Күші жойылды - Қазақстан Республикасы Үкіметінің 2021 жылғы 12 қазандағы № 726 қаулысымен.
8 Мектепке дейінгі тәрбие мен оқытудың, бастауыш, негізгі орта, жалпы орта, техникалық және кәсіптік, орта білімнен кейінгі білім берудің мемлекеттік жалпыға міндетті стандарттары. Қазақстан Республикасы Оқу-ағарту министрінің 2022 жылғы 3 тамыздағы № 348 бұйрығымен бекітілген
Анықтамалар, белгілеулер және қысқартулар
Анықталмаған интеграл- fx функциясының берілген Fx+С барлық алғашқы функциялары .
Анықталған интеграл - a;b кесіндісінде үзіліссіз fx функциясы үшін ақиқат және n--infinity жағдайында sn берілген трапецияның s ауданына ұмтылады.
Ол сан a- дан b-ға дейінгі fx функциясы.
Интегралдау әдісі-туындысы бойынша функцияны табу есептері.
Туынды - дифференциалдық есептеулерде өзгерген кездегі fx функциясының өзгеру жылдамдығымен ғана сипатталатын негізгі түсінігі. Кез келген x үшін қатынасының шегі арқылы анықталатын функция туынды деп аталады. Алғашқы функция - I аралығында берілген кез-келген х үшін F'x=fx болып табылса және онда І аралығында y=Fx функциясы y=fx берілген функция.
Қисызықты трапеция -жоғарыдан y=fx үздіксіз функциямен шектелген және төменнен a, b кесіндісімен, сол жағынан x=a түзуімен, оң жағынан x=b түзуімен шектелген жазықтықтың бөлігін айтамыз.
Ньютон-Лейбниц формуласы - егер f(x) функциясы [a; b] сегментінде үзіліссіз болса онда мына формула орынды:
abfxdx=Fb- F(a)
ҚР-Қазақстан Республикасы;
Не-немесе;
Же-және;
А.н- анықталған интеграл;
Қ.с.т.а-қисық сызықты трапецияның ауданы;
Б.б.к-білім беру кезінде;
Ф-функция;
Ф.т-функция туындысы;
Кіріспе
Нақты ғылымдар арасында математика пәнінің алар орны биік. Сол себептіде математика пәні - ғылымдардың іргетасы деп аталады. Қай пәнді алсақта, мысалы: физика, химия, биология басқа пәндерді математикасыз елестету қиынға соғады. ХХІ ғасыр тек білімділер озып шығатын заман. Тұңғыш елбасымыз айтқандай: ең басты мақсат - Қазақстанның дамыту және дамыта отырып әлемдегі ең мықты елдердің қатарына қосылу. Ал дамыған елдерге қосылу тек өзімізге байланысты. Себебі, ел тағдыры біздің халықтың білім деңгейіне тікелей байланысты. Алдымызға қойылған бұл мақсатқа жету тікелей білім беру жүйесін жетілдіруге алып келеді. Қай кезде болмасын, қандай мамандықтың иесі болсада, математикалық білім міндетті түрде талап етіледі.
Басты мақсат - Қазақстанның әлемдегі ең дамыған 30 мемлекеттің қатарына қосылуы! Ол - Мәңгілік Қазақстан жобасы, ел тарихындағы біз аяқ басатын жаңа дәуірдің кемел келбеті. Қазақстан-2050 Стратегиясы - барлық саланы қамтитын және үздіксіз өсуді қамтамасыз ететін жаңғыру жолы. Ол - елдігіміз бен бірлігіміз, ерлігіміз бен еңбегіміз сыналатын, сынала жүріп шыңдалатын үлкен емтихан. Стратегияны мүлтіксіз орындап, емтиханнан мүдірмей өту - ортақ парыз, абыройлы міндет!, деп атап айтты [1].
Бізге дейінгі келіп жеткен ұлы ғалымдар, ақындар, батырлар болсын білімге келгенде ерекше назар аударған. Сол себептіде, білім алу бағыты әр қашанда актуалды проблема болып табылады. Білім алушының, болашақта алар білімі жеңіл әрі оңай болуы үшін бала кезіндегі фундаментті дұрыс қалыптасуы керек. Ал фундаметі жақсы қалыптасқан жағдайда, алар асуы биік болады. Менің жеке пікірім бойынша бала фундаменті жақсы қалыптасу үшін тікелей математика пәнімен жұмыс жасағаны дұрыс. Баланың логикалық сыни ойлау қабілеті дамыған сәттен алдына келген ақпараттарды, өзіңе керегін және керек емесін анықтай алатын болады. Математика пәнін түсіну, білім берудегі гуманизация және сонымен қатар гуманитарландыру математика пәнінің ғылымдағы және қоғамдағы орнын айқындайды. Бұл пән оқушының сыни ойлау қабілетін ойлап, логикалық деңгейін көтеру қабілеті дамыған, әлеуметтік белсенділігі жоғары тұлғаларды тәрбиелеп шығуға берер пайдасы аласан зор. Математика пәнін мектеп қабырғаларында қалай оқылуы керек, оқушыларды қалай қызықтыра алу керек, сабақ барысы қалай өту керек барлығы алдын ала дайындалған жоспар арқылы өтілуі қажет.
Жаратылыстану-математикалық бағыттарда білім алатын жоғары сынып оқушыларына математика пәнің оқытуда жаңаша әдіс -тәсілдерді қолдану ол заман талабына сай болу болып табылады. Демек, жаратылыстану-математика бағытында оқитын оқушыларға интеграл ұғымын түсіндіру үшін де интербелсенді әдістерді қолдану талап етіледі. Қазіргі заман талабындағы білім жүйесі, бізге дейін қойылған талаптардан өзгеше. Себебі, қазіргі таңда оқушыда, мұғалімде өзіңе қажет білімді үлкен көлемде және қысқа мерзімде, тез алуға тырысады. Сондықтан да, білім беру барысында жаңа әдіс тәсілдер қолданылуда.
Менің дипломдық жұмысымның мазмұны орта мектеп қабырғасында математика-жаратылыстану бағытында білім алатын оқушылармен, маған берілген дипломдық жұмысымның тақырыбы интеграл бойынша, мектеп оқулықтарына анализ жасай отыру арқылы, білім алушы оқушылардың математика пәніне деген көз-қарастарын өзгерту, осы пәнге деген қызығушылықты дамыту.
Зерттеу өзектілігі: жаратылыстану - математика бағытындағы жоғары сынып оқушыларына математика сабағында жаңаша әдіс-тәсілдерді қолдану арқылы, оқушының логикалық тұрғыда және сыни ойлау қабілетін дамыту.
Зерттеу жұмысының мақсаты: мектеп математика бағдарламасындағы интеграл тақырыбын терең меңгерту және тақырыпты жеңіл әрі нақты түрде оқытуға арналған жаңа әдіс-тәсілдерді қолдану.
Осы зерттеу жұмысының мақсатына қарай келесі міндеттер құрылады:
- Интеграл тақырыбын дұрыс тәсілмен оқыту мақсатында мектеп оқулықтарына толықтай шолу жасау;
- Тақырып бойынша берілетін ақпараттарды қарастыру;
- Математика пәні оқушыларға қызықты болуы үшін жаңаша әдіс-тәсілдер қарастыру.
Зерттеудің нысаны: білім беру үрдісі және математика пәніндегі жаңа интербелсенді әдіс-тәсілдер.
Зерттеу пәні: мектепте интегралды оқытудың әдістерін талдау.
Дипломдық жұмыстың теориялық маңыздылығы: мектепте интегралды оқытуды жеңіл меңгеруге бағытталған қадамдар мен әдістер.
Дипломдық жұмыстың практикалық маңыздылығы: жұмыстың нәтижесіне қарай, мектепте интегралды оқытудың түрлі әдістерімен бөлісу.
Дипломдық жұмыстың құрылымын төмендегідей әрекеттер мен кезеңдер арқылы орындау көзделген.
Кіріспе бөлімде жұмыстың мақсаты, міндеттері, өзектілігі, жаңалығы, зерттеу нысаны, зерттеу пәні, теориялық және практикалық маңыздылығы қамтылады.
Негізгі бөлімі үш тараудан тұруы жоспарланды. Бірінші тарауда интеграл туралы толық ақпаратты, қайдан шыққаны туралы, туынды жайлы теориялық ақпараттарды жаздым. Екінші тарауда мектепте интеграл ұғымын оқытудың теориялық негіздері.Үшінші тарауы зерттеу нәтижелеріммен толықтырдым.
Қорытынды бөлімде дипломдық жұмысты бастауда қойған мақсаттарыма жеткенім жайлы жазып шықтым.
1 Интеграл тақырыбының теориялық негіздері
0.1 Интеграл ұғымы, қалыптасу тарихы және дамуы
Интеграл деген ұғымның пайда болуы кез-келген фигуралардың аудандарын (квадратурасын) және ерікті денелердің көлемін (кубатурасын) есептеу қажеттілігінен туындады. Ежелгі грек ғалымдарының интеграл ұғымының қалыптасуына сіңірген еңбегі зор. Б.з.д 408-355 жылдары өмір сүрген Евкодс Книд ең алғаш рет пирамиданың көлемі жайлы толық ақпарат береді. Евкодс Книд өз еңбегінде екі шеңберді мысалға ала отырып, олардың аудандары, сол шеңбердің радиустарының квадраттары болып табылады деп айтқан. Ізбасарларының жазбаларында дәлелдеу кезінде ол "сарқылу" әдісін қолданды. Дәл солай екі мың жыл өткеннен кейін барып қана, "сарқылу" әдісінің орнына жаңадан интеграция әдісі келеді. Ол әдіс арқылы, қарастыратын әр түрлі міндеттерді еш қиындықсыз біріктілетін. Мысалы, кез келген заттың ауданын, нақты бір заттың көлемін және одан бөлек жұмысты, зарядты есептей алу мүмкіндігі болған. Қарапайым мысалда "сарқылу әдісін" суреттейміз. Біз дұрыс емес пішінді лимонның көлемін есептеуіміз керек делік, сондықтан белгілі көлем формуласын қолдану мүмкін емес. Өлшеу арқылы көлемді табу да қиын, өйткені лимонның әр түрлі бөліктеріндегі тығыздығы әр түрлі. Біз келесідей әрекет етеміз. Біз лимонды жұқа тілімдерге кесеміз. Әрбір кесілген бөлікті шамамен цилиндр деп санауға болады, оны өлшеуге болатын негіз радиусы. Мұндай цилиндрдің көлемін дайын формула бойынша есептеу оңай. Кішкентай цилиндрлердің көлемін қосу арқылы біз бүкіл лимонның шамамен көлемін аламыз. Жуықтау дәлірек болады, біз лимонды жіңішке бөліктерге бөле аламыз. Евдокс Книдтың ашқан жаңалығынан кейін, біраз жылдан соң грек ғалымы Архимед, Евкодстың ашып кеткен жаңалығы сарқылу әдісін қолданды. Архимед өзіне дейінгі қаншама еңбектердің барлығын қолдана отырып, және сәтті дамытып алып, дөңгелектің ауданын және оның көлемін анықтай алды. Бұл ол уақытта өте елеулі ашылған жаңалық болған. Біздің тілмен айтқанда, Архимед қазіргі біз қолданып жүрген, 11 сыныпта өтіп бастайтын интегралды ашқан.
Ал интеграл дегеніміз не? Интеграл термині (лат. integer-бүтін, яғни бүтін, бүкіл -- аудан) 1696 жылы Иоганн Бернулли ұсынған. Мектеп оқулықтарында интеграл ұғымының кездесуі және белгіленуі Ньютон-Лейбництің формуласында анықталған.
1613 жылы Австрия мемлекетінде, қараша айы қазір бізге атақты, бірақ сол заманның император сарайының математигі және атақты астрономы Иоганн Кеплер өзінің үйлену тойына дайындық үстінде жүреді. Дайындық қыза түсіп, Иоганн Кеплер дастарханға арнайы жүзім шарабынан бірнеше бөшке алмақшы болады да, өзіне жақын орналассқан базарға аттанады. Бірақ жүзім шарабын сатып алып тұрғанда, сатушының бөшкедегі шарапты өлшеудегі әдісіне таң қалады. Сатушы тек бөшкенің аузы мен түбінің аралығын ғана өлшеп баға қойып қойғанын көреді. Бөшкенің формасы мүлде ескерілмеген. Дәл осы сәтте математик Иоганн Кеплер өте қызықты, бірақ шешу үшін ұзақ уақытты талап ететін математикалық есепті көреді. Есептің басты мақсаты: әртүрлі өлшеулерді пайдаланып бөшкенің сыйымдылығын анықтау. Дәл осы есептің шешімін табу үшін тек бөшке ғана емес, лимон, апельсин, пияз, жүгері және маталарда қолданылды. Осы заттардың көлемін және сыйымдылығын есептеу барысында және ең басты қарапайым тәсілін табу кезінде интегралдық есептеуді дүниеге алып келеді. Кейіннен бұл жаңалық басқа математиктердің еншісіне тиеді.
Иоганн Кеплерден кейін өлмес мұра, өшпес із қалдырған физика және математика пәндерінің ғылым алыбы болған Исаак Ньютон өз жылдарында туындыны және интегралдық есептеулерді тапқан. 1665-1667 жылдары ашылған жаңалық, кітап ретінде өзі дүниеден өткеннен кейін ғана жарыққа шыққан. Исаак Ньютонмен қатарлас өмір сүрген, замандасы Готфрид Вильгельм Лейбницте өте үлкен мұра қалдырған. Лейбниц дифференциалдық және игнтегралдық есептелемелерді жарыққа 1684-1686 жылдары шығарған. Екі мемлекетте, екі елде жүріп ашылған жаңалыққа таңғалмау мүмкін емес. Бірақ осы ашылған жаңалық арқылы, табиғат құбылысында адам санасы жетпейтін есептердің шешімі табыла бастады. Интеграл ұғымы пайда болғаннан бастап, ағылшын және неміс ғалымдарының арасында ұзақ уақыт бойы дау-жанжал болған екен. Басты себебі, Лейбництің еңбектері жарыққа шығып бастаған сәттен, оны Ньютонның достары байқап қалып, бұл жаңалықты ашқан Ньютон ал Лейбниц оны ұрлап алған деп айыптаған. Ал, Лейбниц болса, егер Ньютон жаңалықты ашқан болса, неге бірден жарияламаған деп сөккен. Ұзақ уақыт жанжалдан кейін барып, ХІХ ғасырда бұл таластың тоқтамайтынын біліп, жан жақтан ең мықты ғалымдар ат салысып, ең мықты деген математик ғалымдардың арқасында екі еңбек бірдей деп қалдырған. Сол себептіде, формула атауы Ньютон мен Лейбництің құрметіне бірге аталатын болып кеткен. Интеграл сөзін 1690 жылы ең алғаш ойлап тапқан Я.Бернулли еді. Шығу тарихы латын тілімен тығыз байланысты. Латын тілінің integro сөзінен бастау алуы мүмкін. Қазақ тіліне аударғанда беретін мағынасы: бұрынғы қалыпқа келу, орнына қайта келу деген мағынаны білдіреді. Одан бөлек кішкентай шексіз бөлшектердің қосындысы.
Исаак Ньютон ұлы математик ғалым болған және ең алғашқы рет осы математикалық талдауды дамытқан. Ньютонның мұғалімі Исаак Барроу есептеудің негізгі теоремасы оның жазбаларында болғанын, бірақ қандай да бір себептермен оның мағынасын түсінбегенін және оған баса назар аудармағанын айтты. Ньютон есептеуге қатысты алғашқы ұғымдарды ойлап тапты: туындыларды табу және теңдеулердің максимумдары мен минимумдарын табу [2].
Интегралдардың ашылу тарихын қысқаша талдағаннан кейін анықтаманың өзін қарастырсақ, математикада интеграл функцияларға сандарды шексіз шағын деректерді біріктіру кезінде пайда болатын орын ауыстыруды, ауданды, көлемді және басқа ұғымдарды сипаттайтын етіп анықтама береді.
Интегралды табу процесі интегралдау деп аталады. Дифференциялдаумен қатар интегралдау есептеудің негізгі және маңызды операциясы болып табылады және математика мен физиканың ерікті фигураның ауданына, қисық ұзындығына және қатты дененің көлеміне қатысты есептерін шешудің құралы ретінде қызмет етеді.
Мұнда келтірілген интегралдар нақты интегралдар деп аталады, оларды нақты сызықтағы екі нүкте арасындағы берілген функцияның графигімен шектелген жазықтықтағы аймақтың символдық аймағы ретінде түсіндіруге болады. Әдетте жазықтықтың көлденең осінен жоғары аймақтар оң, ал төменгі аймақтар теріс болады.
Интегралдың ашылу тарихын қысқаша қарастырып болғаннан кейін, интегралдың анықтамасын қарастырып бастаймыз. Математикада интегралды функцияларда сандарды шексіз шағын деректермер бірітіру және орын ауыстыруды, ауданды, көлемді, және басқада ұғымдарды сипаттауды білдіреді.
Интеграл жайлы мектеп қабырғасында оқушылар 11 сыныпта түсінік қалыптастырып бастайды. Мысалы, ``Алгебра және анализ бастамалары`` оқулығындағы анықтамаларды қарастыратын болсақ, олар келесідей.
Анықтама: fx функциясының барлық алғашқы функцияларының Fx+С берілген fx функциясының анықталмаған интегралы деп аталады.
Белгіленуі:
fxdx,
Мұндағы fx - интеграл таңбасының астындағы функция, fxdx - интеграл таңбасының астындағы өрнек, x- интегралдау айнымалысы, - интеграл белгісі.
Анықтама бойынша fxdx= Fx+C, мұнда C тұрақтысының орнына кез келген санды алуға болады, яғни оның мәні анықталмаған. Сондықтан fxdx анықталмаған интеграл болып есептелінеді.
Анықталмаған интегралдың мәнін табу операциясын функцияны интегралдау дейді .
Қортыңды: a;b кесіндісінде үзіліссіз fx функциясы үшін ақиқат және
n--infinity жағдайында sn берілген трапецияның s ауданына ұмтылады.
Ол сан a- дан b-ға дейінгі fx функциясының анықталған интегралы деп аталады [4].
11 сынып оқушылары Алгебра және анализ бастамалары оқулығынан интеграл деген не екенін, анықталған және анықталмаған интегралды үйренеді.
Интеграл жайлы Шыныбековтың Алгебра және анализ бастамалары оқулығында: берілген функцияның туындысын табуды білгеннен кейін, оларға кері есеп қарастырамыз делінген. Мысалы, туындысы fx=3x2 функцияны табу керек делік, туындысы бойынша функцияны табу есептерін функцияны интегралдау есебі немесе қысқаша интегралдау деп атайды [5].
Интеграл, интеграл шамалар мен функцияларды зерттеудің ажырамас және дәйекті элементтері болып табылады. Интегралдау сандық функцияларды талдау мен зерттеудің маңызды әдістерімен тығыз байланысты -- орташа, шекті, шексіз кіші, шексіз үлкен шамалар, шектер, дифференциалдар, туындылар және т.б. сондықтан бұл ұғымдарды білмей және зерттемей интеграл ұғымын қалыптастыру мүмкін емес. Тарихи және логикалық тұрғыдан олар біртұтас және ажырамас түрде дамыды.
Интеграл ұғымының дамуы кітабының кіріспесінде белгілі математика тарихшысы профессор Федор Андреевич Медведев интегралдың мәнін және оның ғылымдағы даму процесін сипаттады. Интегралдау шамаларды өлшеудің әр түрлі тәсілдерінің дерексіз көрінісі болып табылады және адам танымына нақты шындықтың жаңа және жаңа объектілері тартылған сайын, математиктер өлшенетін объектілердің кеңейіп келе жатқан шеңберін қамту үшін интегралдау процестердің барған сайын жалпы схемаларын жасайды [6].
Интегралдың ары қарай дамуына Ирак елінде ІІ ғасырдың ең мықты универсал математик-механигі, астрономі 965 жылы дүниеге келген, Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хасан ибн аль-Хайсам аль-Басри "параболалық дененің өлшемі" атты еңбегінде квадраттың, кубтың және басқа да сандар қатарының формуласын атап көрсеткен. Сол еңбегінде көрсетілген формулалар арқылы анықталған интегралды тапқан, және төмендегідей белгілеген:
0αxⅆx
Келесі интеграл бойынша жаңа ақпараттар 16 ғасырда 1598 жылы дүниеге келген итальян математигі Бонавентура Франческо Кавальери және 1601 жылы дүниеге келген математик Пьера де Ферманың еңбегінде кездеседі.
1.2 Туынды және алғашқы функция туралы ұғым және анықталмаған интеграл
Туынды дегеніміз бұл дифференциалдық есептеулерде өзгерген кездегі fx функциясының өзгеру жылдамдығымен ғана сипатталатын негізгі түсінігі. Кез келген x үшін қатынасының шегі арқылы анықталатын функция туынды деп аталады.
Туынды - негізгі математикалық ұғымдардың бірі. Берілген тұжырымдама бірқатар математикалық және физикалық шешімдерде, әр түрлі процестердің жылдамдығын зерттеу кезінде қолданылады [7].
Туынды ұғымына әкелетін мысалды қарастырайық.
Бақылаушы, оның мақсаты-қозғалатын жолдың қозғалу заңын зерттеу. Жердің жасанды спутнигінің аспанында аспап бар, спутниктің уақыты мен жүріп өткен қашықтығын өлшеу. Аспанға ішінара бұлт пен көкжиек сызығымен жабылған. Соның салдарынан бақылау жерсеріктің қозғалыс траекториясының учаскелерінде шектеулі. Бақылаушы спутниктің жүріп өткен s=ft функциясы бойынша анықтай алмайды. Берілген бұл функцияны t-уақыттың функциясы деп қарастырсақ. Бақылаушыға қол жетімді емес траекториялар бойынша алынған ақпараттарды жеткізу үшін, міндетті түрде жол функциясының st және орташа жылдамдықтың 𝑣t функциясын білуі қажет.
Қозғалыстың орташа жылдамдығы-қатынаспен өзгеретін шама уақыт аралығына жүріп өткен қашықтық, оның ішінде жүріп өткен қашықтық [8].
vорт=st1-st0t1-t0 (1)
Белгілі бір уақыттағы нүктенің жылдамдығы (немесе лезде жылдамдық) келесі формуламен көрсетіледі:
vt=limt--t0st1-st0t1-t0 (1.1)
жылдамдық мәні арақатынас шегіне тең , аралықта нөлге ұмтылатын уақыт.
Бақылаушы спутниктің бірініші қозғалысындағы жылдаымдығы орташа екендігін анықтады. (1.1) формуласын қолдану арқылы, біз аламыз:
st1=st0+vортt-t0 (1.2)
Тікелей бақылаулардың арқасында t0, st0, vорт кез келген уақыт аралығында спутниктің орналасқан жерін есептеуге мүмкіндік береді.
Туындының физикалық мағынасы ескерсек, берілетін функция тек тікелей st-ға байланысты болып табылады және жылдамдық, функция уақыты, жол
Анықтама:
Егер y=fx функциясы x0∈R айналасындағы кейбір нүктелерінде анықталсын және x- ерікті нүктесі болсын. Егер fx-fx0x-x0 қатынасы, x--x0 шегі болса, онда бұл шек f функциясының x0 немесе x--x0 туынды функциясы болады және f'x0 деп белгіленеді:
f'x0=limΔx--0ΔfxΔx (1.4)
Туынды анықтамасы келесі тұжырымдарды қамтиды [9].
1. Функция туындысы x0 нүктесінде болуы мүмкін, егер ол нүктенің белгілі бір маңында анықталған болса x0 нүктесін бірге алған кезде;
2. Функцияның туындысының болуы үшін қажетті шарт: берілген нүкте-осы нүктедегі функцияның үздіксіздігі.
3. fx функциясының туындысын есептеу, берілген функцияны саралау деп аталады.
4. y=fx туынды функцияға, нақты саралау ережелі берілген:
oo x аргументінің мәнін бекітеміз, және fx-ты табамыз.
oo x аргументіне өсім береміз Δx , және fx+Δx анықтаймыз.
oo Δf= fx+Δx- fx функциясының өсімін анықтаймыз.
oo Δf функция өсімін , Δx аргументі өсіміне бөлеміз:
ΔfΔx=fx+Δx- fxΔx;
oo Δx--0 қатынасындағы шекті анықтаймыз:
limΔx--0ΔfxΔx=fx+Δx- fxΔx=f'x
oo Тұрақты функцияның туындысы нөлге тең: c'=0, c=const;
oo y=x функцияның туындысы 1:x'=1.
Туындының кестесін төмендегідей:
1. c'=0, c=const;
2. xn'=nxn-1
3. ax'=ax⋅lna
4. ⅇx'=ⅇx
5. logax'=1xlna
6. lnx'=1x
7. sinx'=cosx
8. cosx'=-sinx
9. x'=12x
10. tgx'=1cos2x
11. cgx'=-1sin2x
12. arcsinx'=11-x2
13. arccosx'=-11-x2
14. arctgx'=11+x2
15. arcctgx'=-11+x2
1-мысал: fx=3x-3 функциясының туындысын табу керек.
Шешуі:
f'x=3x-3'=3x'-3'=3
Бұл жерде x'=1 және c'=0, c=const формуласы қолданылады. Мысалы: fx=x3-3х функциясының туындысын табу керек.
f'x=x3-3х'=x3'-3х'=3x2-3.
Бұл жерде xn'=nxn-1 және c'=0, c=const формуласы қолданылады.
2-мысал: fx=4x2-3x2 функциясының туындысын табу керек.
Шешуі:
f'x=4x3-3x2'=4x3'-3x2'=12x2-6x;
Бұл жерде xn'=nxn-1 формуласы қолданылады.
3-мысал: fx=x7 функциясының туындысын табу керек.
Шешуі:
f'x=x7'=x72'=72x52=7x52;
Бұл жерде xn'=nxn-1 формуласы қолданылады.
4-мысал: fx=15x+4x2-2 функциясының туындысын табу керек.
Шешуі:
f'x=15x+4x2-2'=15x2-2+x+4∙2x==15x2- 2+2x2+8x=153x2+8x-2=45x2+120x-30;
Бұл жерде туындыны табу үшін төмендегідей формула қолданылады:
ʋ∙v'=ʋ'v+ʋv'
Енді қандай функцияның туындысы fx=5x2 функциясы екеніні анықтайық, яғни туындысы fx=5x4 болатын функцияны қалай анытаймыз?
Егер біз бұндай фунцияны шартты түрде Fx деп белгілесек, онда ізделінді функция Fx=x5 болады, себебі F'x=x5'=5x4.
Анықтама. І аралығында берілген кез-келген х үшін F'x=fx болып табылса және, онда І аралығында y=Fx функциясы y=fx берілген функцияға алғашқы функциясы болады.
Алғашқы функциялардың саны шексіз көп. Мысалы, 2х-тің алғашқы функциялары:
F1=х2
F2=х2+1
F3=х2-3
Өйткені бұл функциялардың туындылары 2х-ке тең [10].
Алғашқы функцияны табудың үш ережесі:
1. Егер F(x) функциясы f(x) функциясының, ал Р(х) функциясы р(х) функциясының алғашқы функциялары болса, онда F(x)+ P(x) функциясы f(x)+ р(х) функциясының алғашқы функциясы болады.
2. Егер F(x) функциясы f(x) функциясының алғашқы функциясы,ал k - тұрақты болса, онда kF(x) функциясы kf(x) функциясы үшін алғашқы функция болады.
3. Егер F(x) функциясы f(x) функциясының алғашқы функциясы,ал k және b - тұрақтылар болса, онда функциясы f (kx+b)функциясы үшін алғашқы функция болады.
Алғашқы функция мен интегралды оқытудың әдістемелік схемасы мынандай:
1.Өзара амалдарға кері мысалар келтіру.
2.Интегралды дифференциалдау амалына кері амал ретінде келтіру, ал алғашқы функцияны интегралдау амалының нәтижесі ретінде қарау;
3.Кез келген функция үшін алғашқы функцияны табу туралы есептер шығару және берілген кез келген функцияның алғашқы функциясы екенін көрсету;
4.Оқушыларға алғашқы функцияның қасиеттерімен толық таныстырып шығу;
5.Алғашқы функцияның кестесін салу;
6.Оқушыларға алғашқы функцияны қалай табу керектігін түсіндіру;
7.Алғашқы функцияны қолдана отырып, оқушыларға есептер шығарту.
Оқушыларға алғашқы функцияны түсіндіру үшін, өздеріңе таныс кері амалдарға мысалдар қарастыру керек. Қарапайм сандар арқылы мысал келтіріп өтсек, жай ғана 4+3=7. Біз бұл жерде екі санның қосу амалы қолданылып тұр. Егерде бірінші сан 4 болып, қосындының мәні 7 екені белгілі болса, қосылатын санды табу үшін, азайту амалы қолданылады. Демек азайту у амалы қосу амалына кері амал болып табылады.
Кез келген F'(x)=f(x) үшін F(x) функциясы f(x) функциясының алғашқы функциясы болып табылады.
1-мысал:
F(x)=2x3-3x функциясы f(x)=6x2-3 функциясының алғашқы функциясы бола ма?
Шешуі:
F'(x)=f(x)
F'(x)=(2x3-3x)'= 6x2-3
Туынды: F'(x)=(2x3-3x)'
Алғашқы функция: fx=6x2-3 немесе (6x2-3)dx
Кері амал
f(x)=6x2-3 функцияның F(x) алғашқы функциясын тап.
Алғашқы функцияларды табу кестесі қажет:
(6x2-3)dx= 6x2dx- 3dx=6∙x33-3x=2x3 -3x
2-мысал: ∫1x4ⅆx интегралын табаын болсақ, ең алдымен 1x4=x-4 деп келтіріп алсақ және xndx=xn+1n+1+C, n!=-1 осы формуланы қолдансақ:
Шешуі : ∫х-4ⅆx= х-4+1-4+1+С=x-3-3+C=-13x3+C;
Тексеру: -13x3+C'=-13x3'+0=-13-3х-4=х-4=1x4
Алғашқы функциямен жұмыс жасау барысында орындалу қажет шарттар:
oo Анықталмаған интегралдың берілгені;
oo Алғашқы функция кестесі;
oo Формуламен шығарып болып, тексереміз, кері амалдар құрастырамыз.
* xndx=xn+1n+1+C, n!=-1
* dxx=lnx+C
* axdx=axlna+C
* cosxdx=sinx+C
* sinxdx=-cosx+C
* dxcos2x=tgx+C
* dxsin2x=-ctgx+C
* dxx2+a2=1aarctgxa+C, a!=0
* dxa2-x2=arcsinxa+C, a0
* dxx2-a2=12alnx-ax+a+C, a!=0
* dxa2-x2=12alna+xa-x+C, a!=0
* dxx2+a2=lnx+x2+a2+C, a!=0
* tgxdx=-lncosx+C
* ctgxdx=lnsinx+C
* dxsinx=lntgx2+C
* dxcosx=lntgx2+PI4+C
Бұл форсулалардың оң жағындағы функция интегралдау таңбасының астындағы функцияның бір интегралы болатынын білдіреді [3].
Осы формулаларды қолдана отырып, алғашқы функция табылады.
3-мысал: x3-7x2+4xdx алғашқы функциясын табыңыз.
Шешуі:
x3-7x2+4xdx=x2-7x+4xdx=x2dx-7xdx+4d xx=x33-7x22+4lnx+C;
Шығару жолындаxndx=xn+1n+1+C, n!=-1 және dxx=lnx+C формулалары қолданылды.
Мектеп қабырғасында анықталмаған интеграл ұғымымен танысып және анықталмаған интегралды тауып үйренеді.
Анықталмаған интеграл.
* Анықталмаған интеграл деп, біз f(x) функциясының алғашқы функцияларының түрін, демек берілген F(х)+С түрін айтамыз.
* Анықталмаған интегралды табу формуласы
f(x)dx= F(х)+С
- интегралдау амалының белгісі
* f(x)dx - анықталмаған интеграл
* f(x)dx - интеграл таңбасының ішіндегі өрнек
* Х-интегралдау айнымалысы
Анықталмаған интегралдың қасиеттері:
1. afxdx=afxdx, a- тұрақты сан
2. f1x+f2x-f3xdx=f1xdx+f2xdx-f3xdx
3. fkx+bdx=1kFkx+b+C
Анықтама. Егер Х аралығында F(х) функциясы берілген f(x) функциясына алғашқы функциясы болып жатса, демек бұл функцияның барлық алғашқы функияларының жиынтығы G(x)=F(x)+C формуласымен табылады
Мұндағы С - тұрақты сан.
Интегралдау дегеніміз анықталмаған интегралдың шешімін табу әрекеттері.
Интеграл тақырыбын оқыту кезінде мына 3 жағдайға мән беру қажет:
1. Интегралды орындау кезінде, тікелей кестені пайдалануға болады.
2. Анықталмаған интегралды анықтау кезінде, бір не оданда көп кестелік түрге алып келуге болады.
3. Интеграл таңбасы астындағы функцияны және интеграл қасиеттерін пайдалана отырып, бір не оданда көп интегралдар есептеп алуға болады.
Егер ∫f(x)dx= F(x)+C болса, онда ∫f(u)dx+C орындалады.
Интегралдың төменгі жағындағы берілген функцияны ықшамдауды қолдана отырып, анықталмаған интегралдарды жоғарыда келтірілген интегралды қолдана отырып есептейді. Берілген функцияға мысалдар келтіріп өтсек:
Берілген есептің, толықтай шығару жолымен қарастырсақ:
№1.x5dx мәнін табу қажет.
Шешуі: бұл есепті қарастырған кезде, ең алдымен жоғарыдағы берілген 1 ден 16-ға дейінгі кестені еске аламыз, және сол кестеге қарап отырып, берілген есепке келетін түрін анықтаймыз. Демек бізде n=5. Сол үшін берілген кестеден біз 3-шісін таңдап аламызда, сол орынға формуламен ораналстырамыз:
Сонда, бізде төмендегідей интеграл шығады.
x5dx=x5+15+1+C=16x6+C.
№2 5х4dx мәнін табу қажет.
Шешуі:
Бұл есепті қарастырған кезде, ең алдымен жоғарыдағы берілген 1 ден 16-ға дейінгі кестені еске аламыз және сол кестеге қарап отырып, берілген есепке келетін түрін анықтаймыз. Демек бізде n=4. Сол үшін берілген кестеден біз 3-шісін таңдап аламызда, сол орынға формуламен ораналстырамыз:
Сонда, бізде төмендегідей интеграл шығады.
5х4dx=5x4+14+1+C=x5+C.
№3 7х6dx мәнін табу қажет.
Шешуі:
бұл есепті қарастырған кезде, ең алдымен жоғарыдағы берілген 1 ден 20-ға дейінгі кестені еске аламыз және сол кестеге қарап отырып, берілген есепке келетін түрін анықтаймыз. Демек бізде n=6. Сол үшін берілген кестеден біз 3-шісін таңдап аламызда, сол орынға формуламен ораналстырамыз:
Сонда, бізде төмендегідей интеграл шығады.
7х6dx=7x6+16+1+C=x7+C.
№4 15х8dx мәнін табу қажет.
Шешуі:
Бұл есепті қарастырған кезде, ең алдымен жоғарыдағы берілген 1 ден 20-ға дейінгі кестені еске аламыз және сол кестеге қарап отырып, берілген есепке келетін түрін анықтаймыз. Демек бізде n=8. Сол үшін берілген кестеден біз 3-шісін таңдап аламызда, сол орынға формуламен ораналстырамыз:
Сонда, бізде төмендегідей интеграл шығады.
15х8dx=15x8+18+1+C=53x9+C.
№5 4х3dx мәнін табу қажет.
Шешуі:
Бұл есепті қарастырған кезде, ең алдымен жоғарыдағы берілген 1 ден 16-ға дейінгі кестені еске аламыз және сол кестеге қарап отырып, берілген есепке келетін түрін анықтаймыз.. Демек бізде n=3. Сол үшін, берілген кестеден біз 3-шісін таңдап аламызда, сол орынға формуламен ораналстырамыз:
Сонда, бізде төмендегідей интеграл шығады.
4х3dx=4x3+13+1+C=x4+C.
№6 2х7dx мәнін табу қажет.
Шешуі:
бұл есепті қарастырған кезде, ең алдымен жоғарыдағы берілген 1 ден 16-ға дейінгі кестені еске аламыз және сол кестеге қарап отырып, берілген есепке келетін түрін анықтаймыз.. Демек бізде n=2. Сол үшін, берілген кестеден біз 3-шісін таңдап аламызда, сол орынға формуламен ораналстырамыз:
Сонда , бізде төмендегідей интеграл шығады.
2х7dx=2x7+17+1+C=x84+C.
№7 х7dx мәнін табу қажет.
Шешуі:
бұл есепті қарастырған кезде, ең алдымен жоғарыдағы берілген 1 ден 20-ға дейінгі кестені еске аламыз ,және сол кестеге қарап отырып, берілген есепке келетін түрін анықтаймыз. Демек бізде n=7. Сол үшін , берілген кестеден біз 3-шісін таңдап аламызда, сол орынға формуламен ораналстырамыз:
Сонда, бізде төмендегідей интеграл шығады.
х7dx=x7+17+1+C=x88+C.
№7 9х7dx мәнін табу қажет.
Шешуі:
бұл есепті қарастырған кезде, ең алдымен жоғарыдағы берілген 1 ден 16-ға дейінгі кестені еске аламыз және сол кестеге қарап отырып, берілген есепке келетін түрін анықтаймыз.. Демек бізде n=7. Сол үшін , берілген кестеден біз 3-шісін таңдап аламызда, сол орынға формуламен ораналстырамыз:
Сонда , бізде төмендегідей интеграл шығады.
9х7dx=9x7+17+1+C=9x88+C.
№8 х2dx мәнін табу қажет.
Шешуі:
бұл есепті қарастырған кезде, ең алдымен жоғарыдағы берілген 1 ден 16-ға дейінгі кестені еске аламыз және сол кестеге қарап отырып, берілген есепке келетін түрін анықтаймыз. Демек бізде n=2. Сол үшін , берілген кестеден біз 3-шісін таңдап аламызда, сол орынға формуламен ораналстырамыз:
Сонда, бізде төмендегідей интеграл шығады.
х2dx=x2+12+1+C=x33+C.
№9 ∫ⅆx3+x мәнін табу қажет.
Шешуі:
Бұл есепті қарастырған кезде, ең алдымен жоғарыдағы берілген 1 ден 16-ға дейінгі кестені еске аламыз.
Сол кестеге қарап отырып, берілген есепке келетін түрін анықтаймыз. Демек бізде n=2. Сол үшін, берілген кестеден біз 6-шісін таңдап аламызда, сол орынға формуламен ораналстырамыз:
Сонда , бізде төмендегідей интеграл шығады.
d(3+x)=dx пайдаланып және 1xdx=lnx формуласына қоямыз:
∫ⅆx3+x=d(3+x)3+x=ln3+x+C;
№9 ∫47xdx мәнін табу қажет.
Шешуі:
Бұл есепті қарастырған кезде, ең алдымен жоғарыдағы берілген 1 ден 16-ға дейінгі кестені еске аламыз .
Сол кестеге қарап отырып, берілген есепке келетін түрін анықтаймыз.. берілген кестеден біз 7-шісін таңдап аламызда, сол орынға формуламен ораналстырамыз:
Сонда, бізде төмендегідей интеграл шығады.
47xdx =1747xd(7x)=47x7ln4x+C ;
№10 ∫25xdx мәнін табу қажет.
Шешуі:
Бұл есепті қарастырған кезде, ең алдымен жоғарыдағы берілген 1 ден 16-ға дейінгі кестені еске аламыз .
Сол кестеге қарап отырып, берілген есепке келетін түрін анықтаймыз.. берілген кестеден біз 7-шісін таңдап аламызда, сол орынға формуламен ораналстырамыз:
Сонда, бізде төмендегідей интеграл шығады.
25xdx =1525xd(5x)=25x5ln2x+C ;
1 Мектеп курсында негізгі интегралды оқытудың әдістемелік ерекшеліктері
0.1 Мектеп қабырғасында қолданыста жүрген оқулық Алгебра және анализ бастамаларына анализ жасау.
Барлығымызға белгілі, мектеп оқулықтары нақты бір сыныпты меңгеріп шығу үшін, бір пәнді нақты түрле баяндап беретін оқу құралы. Біз қарастырып отырған мектеп оқулықтары оқушыларға жаңа біліп беріп, дағдыларды қалыптастыруға ықпал етеді. Білім беру барысында, сол уақытқа дейінгі алған білімді сақтай отырып, болашақта алынған білімді қолданыста пайдалануға ықпал етеді. Дәл сол сияқты, оқулықтың математика пәнін үйренуде беретін пайдасы өте мол. Сол себепті, білім алушы оқушығада, білім беруші мұғалімгеде мазмұны бойынша дұрыс білім беретін, оқулықтар қажет. Осы оқулықтар арқылы жыл бойы берілетін оқу бағдарламасы құрылады.
Қазіргі уақытта математиканы оқыту және оқу үшін оқулықтарды қолдануға қатысты өте қарама-қайшы пікірлер бар болса да, қазіргі заманғы математика оқулығына бірқатар талаптар қойылады:
1. Ең басты қойылатын талап бойынша , берліген оқулық мұғалімге жыл бойы өтілетін сабақ барысын қалай жоспарлану керектігін, сол арқылы шешілетін мәселелерді, қабылдану керек оқу әдістерін және қолданылатын оқу құралдарын дұрыс таңдау бойынша түсінік беруі керек.
2. Мектеп оқулығын тәжірибелі математика мұғалімдері жауы керек.
3. Математика оқулығында мұғалімге математика пәнін реттелген және жүйелі түрде болуы үшін, логикалық және одан бөлек психологиялық реттілікті дұрыс сақтауы шарт.
4. Жақсы жазылған оқулықтарда, міндетті түрде әр тақырыпты толық қамтып, әрқайсына жеке-жеке мысалдар болуы керек. Берілген тақырыпқа және мысалға байланысты оқушының әртүрлі тапсырмалармен жұмыс жасай отырып және оларды шешу әдістерімен танысуға көмектеседі.
5. Оқулықта берілген тақырыптан кейін, бағалауға арналған жаттығулар арқылы мұғалім оқушыларға жеке қабілеттеріне қарай, тапсырмаларды және үй-тапсырмаларын беруге көмектеседі.
6. Ең бастысы оқулық арқылы мұғалімнің уақыты үнемделеді, себебі оған тапсырмалар мен үй-тапсырмасын дайындаудың қажеті жоқ, барлығы оқулықта дайындалған және қол жетімді.
7. Математика оқулығы математика пәні бойынша білім беру мақсаттарына жету үшін қажетті деп табылған ақпаратты ұсынуы қажет.
Қазіргі таңда мектеп оқулығы Алгебра және анализ бастамалары авторы, Әбілқасымова А.Е, Корчевский В.Е., Жұмағұлова З.Ә. Біз қарастырып отырған интеграл тақырыбы бұл оқулықтың І-ші тарауында, бірінші параграфта қарастырылған. Мектепте интегралды тек қосынды ретінде емес, барлық интегралдық қосындылардың шегі деп қарастырады. Бұл тәсілмен интегралдау операциясы тәуелсіз ретінде енгізіледі, сонымен қатар интеграл интегралды қосындылардан тұратын реттілік шегі ретінде анықталады. "Интеграл" деген ұғымның өзі математикаданың негіздері екені анық. Оны игеру мектептің Математикалық талдау курсының соңғы бөлігін білдіреді. Балаларға материалды түсіндіру оңай және жеңіл жолмен болуы керек. Өз кезегінде мұғалім интеграл тақыры бойынша басқада оқулықтардан ақпарат жинап, оқушыға ыңғайлы жолмен ақпарат беруі керек.
Интегралдар мектеп оқушыларын әлемді танудың жаңа, бұрын таныс емес құралымен таныстырады, ал интегралды есептеуді практикада әртүрлі салаларда қолданудың негіздері мен ерекшеліктерін игеру балаларға математиканың мәні мен күшін түсінуге көмектеседі.
11 сынып оқушылары жыл басында өтіліп басталатын, бұл тақырыптар бізде :
Алғашқы функцияға жеке тоқталамыз сосын барып, анықталмаған интегралды қарастырамыз. Кейінгі сабақтарда анықталмаған интегралдың қасиеттерін үйренеміз.
Оқушылар тақырыпты өту барысында, ең бірінші туынды дегеннің не екенін еске түсіреді. Одан кейін алғашқы функцияның не екенін үйренеді. Тақырыпты түсіндіру барысында, мысалдар және дәлелдеулермен жұмыс жасайды. Оқулықта барлығы нақты көрсетілген және алғашқы функцияны кестесі берілген. Ары қарай осы сабақтың аясында интегралдың не екенін , оның анықталмаған түрін өтеді. Анықталмаған интеграл жайлы ақпарат алып болғаннан кейін, оның қасиеттерін үйренеді.
Осы тақырыпқа оқулықта 21 жаттығу беріледі. Интегралдау тәсілдері тақырыбына 5- мысал есеп және 14-жаттығу есептерін береді. Есептер А, В, С тобына бөлінген. Сабақ барысында А, В, С обындағы есептерді қарастырылуы қажет. Қисықсызықты трапеция және оның ауданы. Бұл тақырыпта 4-мысал есеп және 17-жаттығу есептері берілген. Жаттығулар А, В, С тобына бөлінген. Ары қарай анықтал,ған интеграл тақырыбы, бұл тақырыпта 3-мысал есептер және 20 жаттығу қарастырылған. Анықталмаған интегралдың геометриялық және физикалық есептерді шығаруда қолданылуы тақырыбында 7-мысал есеп және 30 -жаттығу есептері берілген. Есептер А, В, С топтарына бөлінген. Тақырыпты қорытыңдылау мақсатында өзіңді тексер есептері берілген.
Интеграл тақырыбын түсіндіру барысында оқушыға 24-мысал есептері және 102-жаттығу есептері берілген.
Жаңа және ауқымды тақырып болғандықтан, жаттығуларды орындау барысында кедергілер туындауы мүмкін. Мен "А.Сейдімбек атындағы №54 мектеп - лицейінің" 11 сынып оқушыларымен педагогикалық практика барысында, оқушылардың дәл осы тақырыптан қателіктер жіберетінің байқаған болатынмын. Оқушыларға түсінік ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
МЕЖДУНАРОДНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ АСТАНА
Бектемір Б.Н.
Мектепте интегралды оқытудың әдістемесі
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
6В01506 Математика- білім беру бағдарламасы
Астана, 2024
АСТАНА ХАЛЫҚАРАЛЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ
МЕЖДУНАРОДНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ АСТАНА
Педагогикалық институт
Қорғауға жіберілді
Педагогикалық институт директоры
_________Ж.К. Ахмадиева
_____________2024 ж.
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
Тақырыбы: Мектепте интегралды оқытудың әдістемесі
6В01506 Математика- білім беру бағдарламасы
Орындаған Б.Н.Бектемір
Ғылыми жетекшісі
физика-математика ғылымдарының
кандиданты, қауымдастырылған
профессор А.А.Анияров
Норма бақылаушы П.Н.Абилова
Астана, 2024
Дипломдық жұмысты орындауға
ТАПСЫРМА
Білім алушы Бектемір Балнұр Нұрболатқызы
Білім беру бағдарламасы - 6В01506 Математика білім беру бағдарламасы
Дипломдық жұмыстың тақырыбы: Мектепте интегралды оқытудың әдістемесі
20____ ____ _______________№ ______бұйрығымен бекітілген.
Осы жұмысты орындау үшін негіздеме жоғары мектептің ғылыми бағыты
(жоғары мектептің ғылыми бағыты, кәсіпорынның немесе ұйымның тапсырысы, жоба аясында, бастамашыл тақырып немесе т.б.)
Дипломдық жұмыс міндеттерінің тізімі
1. Интеграл тақырыбын дұрыс тәсілмен оқыту мақсатында мектеп оқулықтарына толықтай шолу жасау;
2. Тақырып бойынша берілетін ақпараттарды қарастыру;
3. Математика пәні оқушыларға қызықты болуы үшін жаңаша әдіс-тәсілдер қарастыру
Ұсынылатын негізгі әдебиеттер:
1. Алгебра және анализ бастамалары Әбілқасымова А.Е, В.Е. Корчевский, З.Ә.Жұмағұлова, 2019
2. Алгебра және анализ бастамалары Ә.Н. Шыныбеков, Д.Ә.Шыныбеков, Р.Н.Жұмабаев, 2020
3. The history of the calculus and its conceptual development, Boyer.C.B., 1959
Тапсырманың берілген күні _________________
Ғылыми жетекші __________
Қолы
Педагогикалық институт директоры __________
Қолы
Тапсырма орындауға
қабылданды __________
Қолы
МАЗМҰНЫ
НОРМАТИВТІК СІЛТЕМЕЛЕР ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
АНЫҚТАМАЛАР, БЕЛГІЛЕУЛЕР ЖӘНЕ ҚЫСҚАРТУЛАР .6
КІРІСПЕ 7
1. Интеграл тақырыбының теориялық негіздері ... ... ... ... ... ... .. ... 9
1.1Интеграл ұғымы, қалыптасу тарихы және дамуы ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... .9
1.2 Туындыны және алғашқы функция ұғымы және анықталмаған интеграл ... 12
2. Мектеп курсында негізгі интегралды оқытудың әдістемелік ерекшеліктері ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... 22
2.1 Мектеп қабырғасында қолданыста жүрген "Алгебра және анализ бастамалары''оқулығына анализ жасау ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... .22
2.2Интеграл тақырыбын тереңдетіп оқытудың әдістемесі ... ... ... ... ... ... . ... ... ..28
2.3Қисықсызықты трапецияның ауданын оқыту әдістемесі ... ... ... ... ... ... . ... ...32
2.4 Геометриялық және физикалық есептерде интегралды қолдану ... ... ... ... ...40
3. Зерттеу нәтижесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 43
3.1 Математиканы оқытудың заманауи формалары мен әдістері ... ... ... ... ... ... 43
3.2 Тәжірбиелік сабақтар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...48
3.3 Тәжірбиелік эксперимент ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 51
Қорытыңды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...57
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... 59
Нормативтік сілтемелер
Бұл дипломдық жұмыcтa кeлecі нopмaтивтік құжaттapғa cілтeмeлep көpceтілгeн:
1 ПР-МУА 005-20 Дипломдық жұмысты (жобаны) орындау ережелері, Бірінші басылым
2 ҚР МЖМБС 5.04.019 -2008 Қазақстан Республикасының мемлекеттік жалпыға міндетті білім беру стандарты. Жоғары кәсіптік білім. Бакалавриат. Негізгі ережелер.
3 Қaзaқcтaн Pecпубликacы Бiлiм туpaлы Зaңы. Aлмaты, 2007, 42 б. Қазақстан Республикасы Парламентінің Жаршысы, 2007 ж., № 20, 151-құжат; "Егемен Қазақстан" 2007 жылғы 15 тамыз № 254-256
4 Қaзaқcтaн Pecпубликacындa бiлiм бepудi және ғылымды дaмытудың 2016-2019 жылдapғa apнaлғaн Мeмлeкeттік бaғдapлaмacы Eгeмeн Қaзaқcтaн, 2010 жылғы 14 жeлтoқcaндaғы № 529-532 (26375). - 2010. - 3 б.
5 Білім берудің тиісті деңгейлерінің мемлекеттік жалпыға міндетті білім беру стандарттары, Қaзaқcтaн Pecпубликacы Үкімeтінің 2012 жылғы 23 тaмыздaғы № 1080 қaулыcымeн бeкітілгeн. Күші жойылды - Қазақстан Республикасы Үкіметінің 2018 жылғы 27 желтоқсандағы № 895 қаулысымен.
6 Қазақстан Республикасы Президенті Н.Ә.Назарбаевтың Қазақстан халқына Жолдауы. 100 нақты қадам Астана. 20.05.2015ж.
7 Қазақстан Республикасында білім беруді және ғылымды дамытудың 2020 - 2025 жылдарға арналған мемлекеттік бағдарламасы. Қазақстан Республикасы Үкіметінің 2019 жылғы 27 желтоқсандағы № 988 қаулысымен бекітілген. Күші жойылды - Қазақстан Республикасы Үкіметінің 2021 жылғы 12 қазандағы № 726 қаулысымен.
8 Мектепке дейінгі тәрбие мен оқытудың, бастауыш, негізгі орта, жалпы орта, техникалық және кәсіптік, орта білімнен кейінгі білім берудің мемлекеттік жалпыға міндетті стандарттары. Қазақстан Республикасы Оқу-ағарту министрінің 2022 жылғы 3 тамыздағы № 348 бұйрығымен бекітілген
Анықтамалар, белгілеулер және қысқартулар
Анықталмаған интеграл- fx функциясының берілген Fx+С барлық алғашқы функциялары .
Анықталған интеграл - a;b кесіндісінде үзіліссіз fx функциясы үшін ақиқат және n--infinity жағдайында sn берілген трапецияның s ауданына ұмтылады.
Ол сан a- дан b-ға дейінгі fx функциясы.
Интегралдау әдісі-туындысы бойынша функцияны табу есептері.
Туынды - дифференциалдық есептеулерде өзгерген кездегі fx функциясының өзгеру жылдамдығымен ғана сипатталатын негізгі түсінігі. Кез келген x үшін қатынасының шегі арқылы анықталатын функция туынды деп аталады. Алғашқы функция - I аралығында берілген кез-келген х үшін F'x=fx болып табылса және онда І аралығында y=Fx функциясы y=fx берілген функция.
Қисызықты трапеция -жоғарыдан y=fx үздіксіз функциямен шектелген және төменнен a, b кесіндісімен, сол жағынан x=a түзуімен, оң жағынан x=b түзуімен шектелген жазықтықтың бөлігін айтамыз.
Ньютон-Лейбниц формуласы - егер f(x) функциясы [a; b] сегментінде үзіліссіз болса онда мына формула орынды:
abfxdx=Fb- F(a)
ҚР-Қазақстан Республикасы;
Не-немесе;
Же-және;
А.н- анықталған интеграл;
Қ.с.т.а-қисық сызықты трапецияның ауданы;
Б.б.к-білім беру кезінде;
Ф-функция;
Ф.т-функция туындысы;
Кіріспе
Нақты ғылымдар арасында математика пәнінің алар орны биік. Сол себептіде математика пәні - ғылымдардың іргетасы деп аталады. Қай пәнді алсақта, мысалы: физика, химия, биология басқа пәндерді математикасыз елестету қиынға соғады. ХХІ ғасыр тек білімділер озып шығатын заман. Тұңғыш елбасымыз айтқандай: ең басты мақсат - Қазақстанның дамыту және дамыта отырып әлемдегі ең мықты елдердің қатарына қосылу. Ал дамыған елдерге қосылу тек өзімізге байланысты. Себебі, ел тағдыры біздің халықтың білім деңгейіне тікелей байланысты. Алдымызға қойылған бұл мақсатқа жету тікелей білім беру жүйесін жетілдіруге алып келеді. Қай кезде болмасын, қандай мамандықтың иесі болсада, математикалық білім міндетті түрде талап етіледі.
Басты мақсат - Қазақстанның әлемдегі ең дамыған 30 мемлекеттің қатарына қосылуы! Ол - Мәңгілік Қазақстан жобасы, ел тарихындағы біз аяқ басатын жаңа дәуірдің кемел келбеті. Қазақстан-2050 Стратегиясы - барлық саланы қамтитын және үздіксіз өсуді қамтамасыз ететін жаңғыру жолы. Ол - елдігіміз бен бірлігіміз, ерлігіміз бен еңбегіміз сыналатын, сынала жүріп шыңдалатын үлкен емтихан. Стратегияны мүлтіксіз орындап, емтиханнан мүдірмей өту - ортақ парыз, абыройлы міндет!, деп атап айтты [1].
Бізге дейінгі келіп жеткен ұлы ғалымдар, ақындар, батырлар болсын білімге келгенде ерекше назар аударған. Сол себептіде, білім алу бағыты әр қашанда актуалды проблема болып табылады. Білім алушының, болашақта алар білімі жеңіл әрі оңай болуы үшін бала кезіндегі фундаментті дұрыс қалыптасуы керек. Ал фундаметі жақсы қалыптасқан жағдайда, алар асуы биік болады. Менің жеке пікірім бойынша бала фундаменті жақсы қалыптасу үшін тікелей математика пәнімен жұмыс жасағаны дұрыс. Баланың логикалық сыни ойлау қабілеті дамыған сәттен алдына келген ақпараттарды, өзіңе керегін және керек емесін анықтай алатын болады. Математика пәнін түсіну, білім берудегі гуманизация және сонымен қатар гуманитарландыру математика пәнінің ғылымдағы және қоғамдағы орнын айқындайды. Бұл пән оқушының сыни ойлау қабілетін ойлап, логикалық деңгейін көтеру қабілеті дамыған, әлеуметтік белсенділігі жоғары тұлғаларды тәрбиелеп шығуға берер пайдасы аласан зор. Математика пәнін мектеп қабырғаларында қалай оқылуы керек, оқушыларды қалай қызықтыра алу керек, сабақ барысы қалай өту керек барлығы алдын ала дайындалған жоспар арқылы өтілуі қажет.
Жаратылыстану-математикалық бағыттарда білім алатын жоғары сынып оқушыларына математика пәнің оқытуда жаңаша әдіс -тәсілдерді қолдану ол заман талабына сай болу болып табылады. Демек, жаратылыстану-математика бағытында оқитын оқушыларға интеграл ұғымын түсіндіру үшін де интербелсенді әдістерді қолдану талап етіледі. Қазіргі заман талабындағы білім жүйесі, бізге дейін қойылған талаптардан өзгеше. Себебі, қазіргі таңда оқушыда, мұғалімде өзіңе қажет білімді үлкен көлемде және қысқа мерзімде, тез алуға тырысады. Сондықтан да, білім беру барысында жаңа әдіс тәсілдер қолданылуда.
Менің дипломдық жұмысымның мазмұны орта мектеп қабырғасында математика-жаратылыстану бағытында білім алатын оқушылармен, маған берілген дипломдық жұмысымның тақырыбы интеграл бойынша, мектеп оқулықтарына анализ жасай отыру арқылы, білім алушы оқушылардың математика пәніне деген көз-қарастарын өзгерту, осы пәнге деген қызығушылықты дамыту.
Зерттеу өзектілігі: жаратылыстану - математика бағытындағы жоғары сынып оқушыларына математика сабағында жаңаша әдіс-тәсілдерді қолдану арқылы, оқушының логикалық тұрғыда және сыни ойлау қабілетін дамыту.
Зерттеу жұмысының мақсаты: мектеп математика бағдарламасындағы интеграл тақырыбын терең меңгерту және тақырыпты жеңіл әрі нақты түрде оқытуға арналған жаңа әдіс-тәсілдерді қолдану.
Осы зерттеу жұмысының мақсатына қарай келесі міндеттер құрылады:
- Интеграл тақырыбын дұрыс тәсілмен оқыту мақсатында мектеп оқулықтарына толықтай шолу жасау;
- Тақырып бойынша берілетін ақпараттарды қарастыру;
- Математика пәні оқушыларға қызықты болуы үшін жаңаша әдіс-тәсілдер қарастыру.
Зерттеудің нысаны: білім беру үрдісі және математика пәніндегі жаңа интербелсенді әдіс-тәсілдер.
Зерттеу пәні: мектепте интегралды оқытудың әдістерін талдау.
Дипломдық жұмыстың теориялық маңыздылығы: мектепте интегралды оқытуды жеңіл меңгеруге бағытталған қадамдар мен әдістер.
Дипломдық жұмыстың практикалық маңыздылығы: жұмыстың нәтижесіне қарай, мектепте интегралды оқытудың түрлі әдістерімен бөлісу.
Дипломдық жұмыстың құрылымын төмендегідей әрекеттер мен кезеңдер арқылы орындау көзделген.
Кіріспе бөлімде жұмыстың мақсаты, міндеттері, өзектілігі, жаңалығы, зерттеу нысаны, зерттеу пәні, теориялық және практикалық маңыздылығы қамтылады.
Негізгі бөлімі үш тараудан тұруы жоспарланды. Бірінші тарауда интеграл туралы толық ақпаратты, қайдан шыққаны туралы, туынды жайлы теориялық ақпараттарды жаздым. Екінші тарауда мектепте интеграл ұғымын оқытудың теориялық негіздері.Үшінші тарауы зерттеу нәтижелеріммен толықтырдым.
Қорытынды бөлімде дипломдық жұмысты бастауда қойған мақсаттарыма жеткенім жайлы жазып шықтым.
1 Интеграл тақырыбының теориялық негіздері
0.1 Интеграл ұғымы, қалыптасу тарихы және дамуы
Интеграл деген ұғымның пайда болуы кез-келген фигуралардың аудандарын (квадратурасын) және ерікті денелердің көлемін (кубатурасын) есептеу қажеттілігінен туындады. Ежелгі грек ғалымдарының интеграл ұғымының қалыптасуына сіңірген еңбегі зор. Б.з.д 408-355 жылдары өмір сүрген Евкодс Книд ең алғаш рет пирамиданың көлемі жайлы толық ақпарат береді. Евкодс Книд өз еңбегінде екі шеңберді мысалға ала отырып, олардың аудандары, сол шеңбердің радиустарының квадраттары болып табылады деп айтқан. Ізбасарларының жазбаларында дәлелдеу кезінде ол "сарқылу" әдісін қолданды. Дәл солай екі мың жыл өткеннен кейін барып қана, "сарқылу" әдісінің орнына жаңадан интеграция әдісі келеді. Ол әдіс арқылы, қарастыратын әр түрлі міндеттерді еш қиындықсыз біріктілетін. Мысалы, кез келген заттың ауданын, нақты бір заттың көлемін және одан бөлек жұмысты, зарядты есептей алу мүмкіндігі болған. Қарапайым мысалда "сарқылу әдісін" суреттейміз. Біз дұрыс емес пішінді лимонның көлемін есептеуіміз керек делік, сондықтан белгілі көлем формуласын қолдану мүмкін емес. Өлшеу арқылы көлемді табу да қиын, өйткені лимонның әр түрлі бөліктеріндегі тығыздығы әр түрлі. Біз келесідей әрекет етеміз. Біз лимонды жұқа тілімдерге кесеміз. Әрбір кесілген бөлікті шамамен цилиндр деп санауға болады, оны өлшеуге болатын негіз радиусы. Мұндай цилиндрдің көлемін дайын формула бойынша есептеу оңай. Кішкентай цилиндрлердің көлемін қосу арқылы біз бүкіл лимонның шамамен көлемін аламыз. Жуықтау дәлірек болады, біз лимонды жіңішке бөліктерге бөле аламыз. Евдокс Книдтың ашқан жаңалығынан кейін, біраз жылдан соң грек ғалымы Архимед, Евкодстың ашып кеткен жаңалығы сарқылу әдісін қолданды. Архимед өзіне дейінгі қаншама еңбектердің барлығын қолдана отырып, және сәтті дамытып алып, дөңгелектің ауданын және оның көлемін анықтай алды. Бұл ол уақытта өте елеулі ашылған жаңалық болған. Біздің тілмен айтқанда, Архимед қазіргі біз қолданып жүрген, 11 сыныпта өтіп бастайтын интегралды ашқан.
Ал интеграл дегеніміз не? Интеграл термині (лат. integer-бүтін, яғни бүтін, бүкіл -- аудан) 1696 жылы Иоганн Бернулли ұсынған. Мектеп оқулықтарында интеграл ұғымының кездесуі және белгіленуі Ньютон-Лейбництің формуласында анықталған.
1613 жылы Австрия мемлекетінде, қараша айы қазір бізге атақты, бірақ сол заманның император сарайының математигі және атақты астрономы Иоганн Кеплер өзінің үйлену тойына дайындық үстінде жүреді. Дайындық қыза түсіп, Иоганн Кеплер дастарханға арнайы жүзім шарабынан бірнеше бөшке алмақшы болады да, өзіне жақын орналассқан базарға аттанады. Бірақ жүзім шарабын сатып алып тұрғанда, сатушының бөшкедегі шарапты өлшеудегі әдісіне таң қалады. Сатушы тек бөшкенің аузы мен түбінің аралығын ғана өлшеп баға қойып қойғанын көреді. Бөшкенің формасы мүлде ескерілмеген. Дәл осы сәтте математик Иоганн Кеплер өте қызықты, бірақ шешу үшін ұзақ уақытты талап ететін математикалық есепті көреді. Есептің басты мақсаты: әртүрлі өлшеулерді пайдаланып бөшкенің сыйымдылығын анықтау. Дәл осы есептің шешімін табу үшін тек бөшке ғана емес, лимон, апельсин, пияз, жүгері және маталарда қолданылды. Осы заттардың көлемін және сыйымдылығын есептеу барысында және ең басты қарапайым тәсілін табу кезінде интегралдық есептеуді дүниеге алып келеді. Кейіннен бұл жаңалық басқа математиктердің еншісіне тиеді.
Иоганн Кеплерден кейін өлмес мұра, өшпес із қалдырған физика және математика пәндерінің ғылым алыбы болған Исаак Ньютон өз жылдарында туындыны және интегралдық есептеулерді тапқан. 1665-1667 жылдары ашылған жаңалық, кітап ретінде өзі дүниеден өткеннен кейін ғана жарыққа шыққан. Исаак Ньютонмен қатарлас өмір сүрген, замандасы Готфрид Вильгельм Лейбницте өте үлкен мұра қалдырған. Лейбниц дифференциалдық және игнтегралдық есептелемелерді жарыққа 1684-1686 жылдары шығарған. Екі мемлекетте, екі елде жүріп ашылған жаңалыққа таңғалмау мүмкін емес. Бірақ осы ашылған жаңалық арқылы, табиғат құбылысында адам санасы жетпейтін есептердің шешімі табыла бастады. Интеграл ұғымы пайда болғаннан бастап, ағылшын және неміс ғалымдарының арасында ұзақ уақыт бойы дау-жанжал болған екен. Басты себебі, Лейбництің еңбектері жарыққа шығып бастаған сәттен, оны Ньютонның достары байқап қалып, бұл жаңалықты ашқан Ньютон ал Лейбниц оны ұрлап алған деп айыптаған. Ал, Лейбниц болса, егер Ньютон жаңалықты ашқан болса, неге бірден жарияламаған деп сөккен. Ұзақ уақыт жанжалдан кейін барып, ХІХ ғасырда бұл таластың тоқтамайтынын біліп, жан жақтан ең мықты ғалымдар ат салысып, ең мықты деген математик ғалымдардың арқасында екі еңбек бірдей деп қалдырған. Сол себептіде, формула атауы Ньютон мен Лейбництің құрметіне бірге аталатын болып кеткен. Интеграл сөзін 1690 жылы ең алғаш ойлап тапқан Я.Бернулли еді. Шығу тарихы латын тілімен тығыз байланысты. Латын тілінің integro сөзінен бастау алуы мүмкін. Қазақ тіліне аударғанда беретін мағынасы: бұрынғы қалыпқа келу, орнына қайта келу деген мағынаны білдіреді. Одан бөлек кішкентай шексіз бөлшектердің қосындысы.
Исаак Ньютон ұлы математик ғалым болған және ең алғашқы рет осы математикалық талдауды дамытқан. Ньютонның мұғалімі Исаак Барроу есептеудің негізгі теоремасы оның жазбаларында болғанын, бірақ қандай да бір себептермен оның мағынасын түсінбегенін және оған баса назар аудармағанын айтты. Ньютон есептеуге қатысты алғашқы ұғымдарды ойлап тапты: туындыларды табу және теңдеулердің максимумдары мен минимумдарын табу [2].
Интегралдардың ашылу тарихын қысқаша талдағаннан кейін анықтаманың өзін қарастырсақ, математикада интеграл функцияларға сандарды шексіз шағын деректерді біріктіру кезінде пайда болатын орын ауыстыруды, ауданды, көлемді және басқа ұғымдарды сипаттайтын етіп анықтама береді.
Интегралды табу процесі интегралдау деп аталады. Дифференциялдаумен қатар интегралдау есептеудің негізгі және маңызды операциясы болып табылады және математика мен физиканың ерікті фигураның ауданына, қисық ұзындығына және қатты дененің көлеміне қатысты есептерін шешудің құралы ретінде қызмет етеді.
Мұнда келтірілген интегралдар нақты интегралдар деп аталады, оларды нақты сызықтағы екі нүкте арасындағы берілген функцияның графигімен шектелген жазықтықтағы аймақтың символдық аймағы ретінде түсіндіруге болады. Әдетте жазықтықтың көлденең осінен жоғары аймақтар оң, ал төменгі аймақтар теріс болады.
Интегралдың ашылу тарихын қысқаша қарастырып болғаннан кейін, интегралдың анықтамасын қарастырып бастаймыз. Математикада интегралды функцияларда сандарды шексіз шағын деректермер бірітіру және орын ауыстыруды, ауданды, көлемді, және басқада ұғымдарды сипаттауды білдіреді.
Интеграл жайлы мектеп қабырғасында оқушылар 11 сыныпта түсінік қалыптастырып бастайды. Мысалы, ``Алгебра және анализ бастамалары`` оқулығындағы анықтамаларды қарастыратын болсақ, олар келесідей.
Анықтама: fx функциясының барлық алғашқы функцияларының Fx+С берілген fx функциясының анықталмаған интегралы деп аталады.
Белгіленуі:
fxdx,
Мұндағы fx - интеграл таңбасының астындағы функция, fxdx - интеграл таңбасының астындағы өрнек, x- интегралдау айнымалысы, - интеграл белгісі.
Анықтама бойынша fxdx= Fx+C, мұнда C тұрақтысының орнына кез келген санды алуға болады, яғни оның мәні анықталмаған. Сондықтан fxdx анықталмаған интеграл болып есептелінеді.
Анықталмаған интегралдың мәнін табу операциясын функцияны интегралдау дейді .
Қортыңды: a;b кесіндісінде үзіліссіз fx функциясы үшін ақиқат және
n--infinity жағдайында sn берілген трапецияның s ауданына ұмтылады.
Ол сан a- дан b-ға дейінгі fx функциясының анықталған интегралы деп аталады [4].
11 сынып оқушылары Алгебра және анализ бастамалары оқулығынан интеграл деген не екенін, анықталған және анықталмаған интегралды үйренеді.
Интеграл жайлы Шыныбековтың Алгебра және анализ бастамалары оқулығында: берілген функцияның туындысын табуды білгеннен кейін, оларға кері есеп қарастырамыз делінген. Мысалы, туындысы fx=3x2 функцияны табу керек делік, туындысы бойынша функцияны табу есептерін функцияны интегралдау есебі немесе қысқаша интегралдау деп атайды [5].
Интеграл, интеграл шамалар мен функцияларды зерттеудің ажырамас және дәйекті элементтері болып табылады. Интегралдау сандық функцияларды талдау мен зерттеудің маңызды әдістерімен тығыз байланысты -- орташа, шекті, шексіз кіші, шексіз үлкен шамалар, шектер, дифференциалдар, туындылар және т.б. сондықтан бұл ұғымдарды білмей және зерттемей интеграл ұғымын қалыптастыру мүмкін емес. Тарихи және логикалық тұрғыдан олар біртұтас және ажырамас түрде дамыды.
Интеграл ұғымының дамуы кітабының кіріспесінде белгілі математика тарихшысы профессор Федор Андреевич Медведев интегралдың мәнін және оның ғылымдағы даму процесін сипаттады. Интегралдау шамаларды өлшеудің әр түрлі тәсілдерінің дерексіз көрінісі болып табылады және адам танымына нақты шындықтың жаңа және жаңа объектілері тартылған сайын, математиктер өлшенетін объектілердің кеңейіп келе жатқан шеңберін қамту үшін интегралдау процестердің барған сайын жалпы схемаларын жасайды [6].
Интегралдың ары қарай дамуына Ирак елінде ІІ ғасырдың ең мықты универсал математик-механигі, астрономі 965 жылы дүниеге келген, Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хасан ибн аль-Хайсам аль-Басри "параболалық дененің өлшемі" атты еңбегінде квадраттың, кубтың және басқа да сандар қатарының формуласын атап көрсеткен. Сол еңбегінде көрсетілген формулалар арқылы анықталған интегралды тапқан, және төмендегідей белгілеген:
0αxⅆx
Келесі интеграл бойынша жаңа ақпараттар 16 ғасырда 1598 жылы дүниеге келген итальян математигі Бонавентура Франческо Кавальери және 1601 жылы дүниеге келген математик Пьера де Ферманың еңбегінде кездеседі.
1.2 Туынды және алғашқы функция туралы ұғым және анықталмаған интеграл
Туынды дегеніміз бұл дифференциалдық есептеулерде өзгерген кездегі fx функциясының өзгеру жылдамдығымен ғана сипатталатын негізгі түсінігі. Кез келген x үшін қатынасының шегі арқылы анықталатын функция туынды деп аталады.
Туынды - негізгі математикалық ұғымдардың бірі. Берілген тұжырымдама бірқатар математикалық және физикалық шешімдерде, әр түрлі процестердің жылдамдығын зерттеу кезінде қолданылады [7].
Туынды ұғымына әкелетін мысалды қарастырайық.
Бақылаушы, оның мақсаты-қозғалатын жолдың қозғалу заңын зерттеу. Жердің жасанды спутнигінің аспанында аспап бар, спутниктің уақыты мен жүріп өткен қашықтығын өлшеу. Аспанға ішінара бұлт пен көкжиек сызығымен жабылған. Соның салдарынан бақылау жерсеріктің қозғалыс траекториясының учаскелерінде шектеулі. Бақылаушы спутниктің жүріп өткен s=ft функциясы бойынша анықтай алмайды. Берілген бұл функцияны t-уақыттың функциясы деп қарастырсақ. Бақылаушыға қол жетімді емес траекториялар бойынша алынған ақпараттарды жеткізу үшін, міндетті түрде жол функциясының st және орташа жылдамдықтың 𝑣t функциясын білуі қажет.
Қозғалыстың орташа жылдамдығы-қатынаспен өзгеретін шама уақыт аралығына жүріп өткен қашықтық, оның ішінде жүріп өткен қашықтық [8].
vорт=st1-st0t1-t0 (1)
Белгілі бір уақыттағы нүктенің жылдамдығы (немесе лезде жылдамдық) келесі формуламен көрсетіледі:
vt=limt--t0st1-st0t1-t0 (1.1)
жылдамдық мәні арақатынас шегіне тең , аралықта нөлге ұмтылатын уақыт.
Бақылаушы спутниктің бірініші қозғалысындағы жылдаымдығы орташа екендігін анықтады. (1.1) формуласын қолдану арқылы, біз аламыз:
st1=st0+vортt-t0 (1.2)
Тікелей бақылаулардың арқасында t0, st0, vорт кез келген уақыт аралығында спутниктің орналасқан жерін есептеуге мүмкіндік береді.
Туындының физикалық мағынасы ескерсек, берілетін функция тек тікелей st-ға байланысты болып табылады және жылдамдық, функция уақыты, жол
Анықтама:
Егер y=fx функциясы x0∈R айналасындағы кейбір нүктелерінде анықталсын және x- ерікті нүктесі болсын. Егер fx-fx0x-x0 қатынасы, x--x0 шегі болса, онда бұл шек f функциясының x0 немесе x--x0 туынды функциясы болады және f'x0 деп белгіленеді:
f'x0=limΔx--0ΔfxΔx (1.4)
Туынды анықтамасы келесі тұжырымдарды қамтиды [9].
1. Функция туындысы x0 нүктесінде болуы мүмкін, егер ол нүктенің белгілі бір маңында анықталған болса x0 нүктесін бірге алған кезде;
2. Функцияның туындысының болуы үшін қажетті шарт: берілген нүкте-осы нүктедегі функцияның үздіксіздігі.
3. fx функциясының туындысын есептеу, берілген функцияны саралау деп аталады.
4. y=fx туынды функцияға, нақты саралау ережелі берілген:
oo x аргументінің мәнін бекітеміз, және fx-ты табамыз.
oo x аргументіне өсім береміз Δx , және fx+Δx анықтаймыз.
oo Δf= fx+Δx- fx функциясының өсімін анықтаймыз.
oo Δf функция өсімін , Δx аргументі өсіміне бөлеміз:
ΔfΔx=fx+Δx- fxΔx;
oo Δx--0 қатынасындағы шекті анықтаймыз:
limΔx--0ΔfxΔx=fx+Δx- fxΔx=f'x
oo Тұрақты функцияның туындысы нөлге тең: c'=0, c=const;
oo y=x функцияның туындысы 1:x'=1.
Туындының кестесін төмендегідей:
1. c'=0, c=const;
2. xn'=nxn-1
3. ax'=ax⋅lna
4. ⅇx'=ⅇx
5. logax'=1xlna
6. lnx'=1x
7. sinx'=cosx
8. cosx'=-sinx
9. x'=12x
10. tgx'=1cos2x
11. cgx'=-1sin2x
12. arcsinx'=11-x2
13. arccosx'=-11-x2
14. arctgx'=11+x2
15. arcctgx'=-11+x2
1-мысал: fx=3x-3 функциясының туындысын табу керек.
Шешуі:
f'x=3x-3'=3x'-3'=3
Бұл жерде x'=1 және c'=0, c=const формуласы қолданылады. Мысалы: fx=x3-3х функциясының туындысын табу керек.
f'x=x3-3х'=x3'-3х'=3x2-3.
Бұл жерде xn'=nxn-1 және c'=0, c=const формуласы қолданылады.
2-мысал: fx=4x2-3x2 функциясының туындысын табу керек.
Шешуі:
f'x=4x3-3x2'=4x3'-3x2'=12x2-6x;
Бұл жерде xn'=nxn-1 формуласы қолданылады.
3-мысал: fx=x7 функциясының туындысын табу керек.
Шешуі:
f'x=x7'=x72'=72x52=7x52;
Бұл жерде xn'=nxn-1 формуласы қолданылады.
4-мысал: fx=15x+4x2-2 функциясының туындысын табу керек.
Шешуі:
f'x=15x+4x2-2'=15x2-2+x+4∙2x==15x2- 2+2x2+8x=153x2+8x-2=45x2+120x-30;
Бұл жерде туындыны табу үшін төмендегідей формула қолданылады:
ʋ∙v'=ʋ'v+ʋv'
Енді қандай функцияның туындысы fx=5x2 функциясы екеніні анықтайық, яғни туындысы fx=5x4 болатын функцияны қалай анытаймыз?
Егер біз бұндай фунцияны шартты түрде Fx деп белгілесек, онда ізделінді функция Fx=x5 болады, себебі F'x=x5'=5x4.
Анықтама. І аралығында берілген кез-келген х үшін F'x=fx болып табылса және, онда І аралығында y=Fx функциясы y=fx берілген функцияға алғашқы функциясы болады.
Алғашқы функциялардың саны шексіз көп. Мысалы, 2х-тің алғашқы функциялары:
F1=х2
F2=х2+1
F3=х2-3
Өйткені бұл функциялардың туындылары 2х-ке тең [10].
Алғашқы функцияны табудың үш ережесі:
1. Егер F(x) функциясы f(x) функциясының, ал Р(х) функциясы р(х) функциясының алғашқы функциялары болса, онда F(x)+ P(x) функциясы f(x)+ р(х) функциясының алғашқы функциясы болады.
2. Егер F(x) функциясы f(x) функциясының алғашқы функциясы,ал k - тұрақты болса, онда kF(x) функциясы kf(x) функциясы үшін алғашқы функция болады.
3. Егер F(x) функциясы f(x) функциясының алғашқы функциясы,ал k және b - тұрақтылар болса, онда функциясы f (kx+b)функциясы үшін алғашқы функция болады.
Алғашқы функция мен интегралды оқытудың әдістемелік схемасы мынандай:
1.Өзара амалдарға кері мысалар келтіру.
2.Интегралды дифференциалдау амалына кері амал ретінде келтіру, ал алғашқы функцияны интегралдау амалының нәтижесі ретінде қарау;
3.Кез келген функция үшін алғашқы функцияны табу туралы есептер шығару және берілген кез келген функцияның алғашқы функциясы екенін көрсету;
4.Оқушыларға алғашқы функцияның қасиеттерімен толық таныстырып шығу;
5.Алғашқы функцияның кестесін салу;
6.Оқушыларға алғашқы функцияны қалай табу керектігін түсіндіру;
7.Алғашқы функцияны қолдана отырып, оқушыларға есептер шығарту.
Оқушыларға алғашқы функцияны түсіндіру үшін, өздеріңе таныс кері амалдарға мысалдар қарастыру керек. Қарапайм сандар арқылы мысал келтіріп өтсек, жай ғана 4+3=7. Біз бұл жерде екі санның қосу амалы қолданылып тұр. Егерде бірінші сан 4 болып, қосындының мәні 7 екені белгілі болса, қосылатын санды табу үшін, азайту амалы қолданылады. Демек азайту у амалы қосу амалына кері амал болып табылады.
Кез келген F'(x)=f(x) үшін F(x) функциясы f(x) функциясының алғашқы функциясы болып табылады.
1-мысал:
F(x)=2x3-3x функциясы f(x)=6x2-3 функциясының алғашқы функциясы бола ма?
Шешуі:
F'(x)=f(x)
F'(x)=(2x3-3x)'= 6x2-3
Туынды: F'(x)=(2x3-3x)'
Алғашқы функция: fx=6x2-3 немесе (6x2-3)dx
Кері амал
f(x)=6x2-3 функцияның F(x) алғашқы функциясын тап.
Алғашқы функцияларды табу кестесі қажет:
(6x2-3)dx= 6x2dx- 3dx=6∙x33-3x=2x3 -3x
2-мысал: ∫1x4ⅆx интегралын табаын болсақ, ең алдымен 1x4=x-4 деп келтіріп алсақ және xndx=xn+1n+1+C, n!=-1 осы формуланы қолдансақ:
Шешуі : ∫х-4ⅆx= х-4+1-4+1+С=x-3-3+C=-13x3+C;
Тексеру: -13x3+C'=-13x3'+0=-13-3х-4=х-4=1x4
Алғашқы функциямен жұмыс жасау барысында орындалу қажет шарттар:
oo Анықталмаған интегралдың берілгені;
oo Алғашқы функция кестесі;
oo Формуламен шығарып болып, тексереміз, кері амалдар құрастырамыз.
* xndx=xn+1n+1+C, n!=-1
* dxx=lnx+C
* axdx=axlna+C
* cosxdx=sinx+C
* sinxdx=-cosx+C
* dxcos2x=tgx+C
* dxsin2x=-ctgx+C
* dxx2+a2=1aarctgxa+C, a!=0
* dxa2-x2=arcsinxa+C, a0
* dxx2-a2=12alnx-ax+a+C, a!=0
* dxa2-x2=12alna+xa-x+C, a!=0
* dxx2+a2=lnx+x2+a2+C, a!=0
* tgxdx=-lncosx+C
* ctgxdx=lnsinx+C
* dxsinx=lntgx2+C
* dxcosx=lntgx2+PI4+C
Бұл форсулалардың оң жағындағы функция интегралдау таңбасының астындағы функцияның бір интегралы болатынын білдіреді [3].
Осы формулаларды қолдана отырып, алғашқы функция табылады.
3-мысал: x3-7x2+4xdx алғашқы функциясын табыңыз.
Шешуі:
x3-7x2+4xdx=x2-7x+4xdx=x2dx-7xdx+4d xx=x33-7x22+4lnx+C;
Шығару жолындаxndx=xn+1n+1+C, n!=-1 және dxx=lnx+C формулалары қолданылды.
Мектеп қабырғасында анықталмаған интеграл ұғымымен танысып және анықталмаған интегралды тауып үйренеді.
Анықталмаған интеграл.
* Анықталмаған интеграл деп, біз f(x) функциясының алғашқы функцияларының түрін, демек берілген F(х)+С түрін айтамыз.
* Анықталмаған интегралды табу формуласы
f(x)dx= F(х)+С
- интегралдау амалының белгісі
* f(x)dx - анықталмаған интеграл
* f(x)dx - интеграл таңбасының ішіндегі өрнек
* Х-интегралдау айнымалысы
Анықталмаған интегралдың қасиеттері:
1. afxdx=afxdx, a- тұрақты сан
2. f1x+f2x-f3xdx=f1xdx+f2xdx-f3xdx
3. fkx+bdx=1kFkx+b+C
Анықтама. Егер Х аралығында F(х) функциясы берілген f(x) функциясына алғашқы функциясы болып жатса, демек бұл функцияның барлық алғашқы функияларының жиынтығы G(x)=F(x)+C формуласымен табылады
Мұндағы С - тұрақты сан.
Интегралдау дегеніміз анықталмаған интегралдың шешімін табу әрекеттері.
Интеграл тақырыбын оқыту кезінде мына 3 жағдайға мән беру қажет:
1. Интегралды орындау кезінде, тікелей кестені пайдалануға болады.
2. Анықталмаған интегралды анықтау кезінде, бір не оданда көп кестелік түрге алып келуге болады.
3. Интеграл таңбасы астындағы функцияны және интеграл қасиеттерін пайдалана отырып, бір не оданда көп интегралдар есептеп алуға болады.
Егер ∫f(x)dx= F(x)+C болса, онда ∫f(u)dx+C орындалады.
Интегралдың төменгі жағындағы берілген функцияны ықшамдауды қолдана отырып, анықталмаған интегралдарды жоғарыда келтірілген интегралды қолдана отырып есептейді. Берілген функцияға мысалдар келтіріп өтсек:
Берілген есептің, толықтай шығару жолымен қарастырсақ:
№1.x5dx мәнін табу қажет.
Шешуі: бұл есепті қарастырған кезде, ең алдымен жоғарыдағы берілген 1 ден 16-ға дейінгі кестені еске аламыз, және сол кестеге қарап отырып, берілген есепке келетін түрін анықтаймыз. Демек бізде n=5. Сол үшін берілген кестеден біз 3-шісін таңдап аламызда, сол орынға формуламен ораналстырамыз:
Сонда, бізде төмендегідей интеграл шығады.
x5dx=x5+15+1+C=16x6+C.
№2 5х4dx мәнін табу қажет.
Шешуі:
Бұл есепті қарастырған кезде, ең алдымен жоғарыдағы берілген 1 ден 16-ға дейінгі кестені еске аламыз және сол кестеге қарап отырып, берілген есепке келетін түрін анықтаймыз. Демек бізде n=4. Сол үшін берілген кестеден біз 3-шісін таңдап аламызда, сол орынға формуламен ораналстырамыз:
Сонда, бізде төмендегідей интеграл шығады.
5х4dx=5x4+14+1+C=x5+C.
№3 7х6dx мәнін табу қажет.
Шешуі:
бұл есепті қарастырған кезде, ең алдымен жоғарыдағы берілген 1 ден 20-ға дейінгі кестені еске аламыз және сол кестеге қарап отырып, берілген есепке келетін түрін анықтаймыз. Демек бізде n=6. Сол үшін берілген кестеден біз 3-шісін таңдап аламызда, сол орынға формуламен ораналстырамыз:
Сонда, бізде төмендегідей интеграл шығады.
7х6dx=7x6+16+1+C=x7+C.
№4 15х8dx мәнін табу қажет.
Шешуі:
Бұл есепті қарастырған кезде, ең алдымен жоғарыдағы берілген 1 ден 20-ға дейінгі кестені еске аламыз және сол кестеге қарап отырып, берілген есепке келетін түрін анықтаймыз. Демек бізде n=8. Сол үшін берілген кестеден біз 3-шісін таңдап аламызда, сол орынға формуламен ораналстырамыз:
Сонда, бізде төмендегідей интеграл шығады.
15х8dx=15x8+18+1+C=53x9+C.
№5 4х3dx мәнін табу қажет.
Шешуі:
Бұл есепті қарастырған кезде, ең алдымен жоғарыдағы берілген 1 ден 16-ға дейінгі кестені еске аламыз және сол кестеге қарап отырып, берілген есепке келетін түрін анықтаймыз.. Демек бізде n=3. Сол үшін, берілген кестеден біз 3-шісін таңдап аламызда, сол орынға формуламен ораналстырамыз:
Сонда, бізде төмендегідей интеграл шығады.
4х3dx=4x3+13+1+C=x4+C.
№6 2х7dx мәнін табу қажет.
Шешуі:
бұл есепті қарастырған кезде, ең алдымен жоғарыдағы берілген 1 ден 16-ға дейінгі кестені еске аламыз және сол кестеге қарап отырып, берілген есепке келетін түрін анықтаймыз.. Демек бізде n=2. Сол үшін, берілген кестеден біз 3-шісін таңдап аламызда, сол орынға формуламен ораналстырамыз:
Сонда , бізде төмендегідей интеграл шығады.
2х7dx=2x7+17+1+C=x84+C.
№7 х7dx мәнін табу қажет.
Шешуі:
бұл есепті қарастырған кезде, ең алдымен жоғарыдағы берілген 1 ден 20-ға дейінгі кестені еске аламыз ,және сол кестеге қарап отырып, берілген есепке келетін түрін анықтаймыз. Демек бізде n=7. Сол үшін , берілген кестеден біз 3-шісін таңдап аламызда, сол орынға формуламен ораналстырамыз:
Сонда, бізде төмендегідей интеграл шығады.
х7dx=x7+17+1+C=x88+C.
№7 9х7dx мәнін табу қажет.
Шешуі:
бұл есепті қарастырған кезде, ең алдымен жоғарыдағы берілген 1 ден 16-ға дейінгі кестені еске аламыз және сол кестеге қарап отырып, берілген есепке келетін түрін анықтаймыз.. Демек бізде n=7. Сол үшін , берілген кестеден біз 3-шісін таңдап аламызда, сол орынға формуламен ораналстырамыз:
Сонда , бізде төмендегідей интеграл шығады.
9х7dx=9x7+17+1+C=9x88+C.
№8 х2dx мәнін табу қажет.
Шешуі:
бұл есепті қарастырған кезде, ең алдымен жоғарыдағы берілген 1 ден 16-ға дейінгі кестені еске аламыз және сол кестеге қарап отырып, берілген есепке келетін түрін анықтаймыз. Демек бізде n=2. Сол үшін , берілген кестеден біз 3-шісін таңдап аламызда, сол орынға формуламен ораналстырамыз:
Сонда, бізде төмендегідей интеграл шығады.
х2dx=x2+12+1+C=x33+C.
№9 ∫ⅆx3+x мәнін табу қажет.
Шешуі:
Бұл есепті қарастырған кезде, ең алдымен жоғарыдағы берілген 1 ден 16-ға дейінгі кестені еске аламыз.
Сол кестеге қарап отырып, берілген есепке келетін түрін анықтаймыз. Демек бізде n=2. Сол үшін, берілген кестеден біз 6-шісін таңдап аламызда, сол орынға формуламен ораналстырамыз:
Сонда , бізде төмендегідей интеграл шығады.
d(3+x)=dx пайдаланып және 1xdx=lnx формуласына қоямыз:
∫ⅆx3+x=d(3+x)3+x=ln3+x+C;
№9 ∫47xdx мәнін табу қажет.
Шешуі:
Бұл есепті қарастырған кезде, ең алдымен жоғарыдағы берілген 1 ден 16-ға дейінгі кестені еске аламыз .
Сол кестеге қарап отырып, берілген есепке келетін түрін анықтаймыз.. берілген кестеден біз 7-шісін таңдап аламызда, сол орынға формуламен ораналстырамыз:
Сонда, бізде төмендегідей интеграл шығады.
47xdx =1747xd(7x)=47x7ln4x+C ;
№10 ∫25xdx мәнін табу қажет.
Шешуі:
Бұл есепті қарастырған кезде, ең алдымен жоғарыдағы берілген 1 ден 16-ға дейінгі кестені еске аламыз .
Сол кестеге қарап отырып, берілген есепке келетін түрін анықтаймыз.. берілген кестеден біз 7-шісін таңдап аламызда, сол орынға формуламен ораналстырамыз:
Сонда, бізде төмендегідей интеграл шығады.
25xdx =1525xd(5x)=25x5ln2x+C ;
1 Мектеп курсында негізгі интегралды оқытудың әдістемелік ерекшеліктері
0.1 Мектеп қабырғасында қолданыста жүрген оқулық Алгебра және анализ бастамаларына анализ жасау.
Барлығымызға белгілі, мектеп оқулықтары нақты бір сыныпты меңгеріп шығу үшін, бір пәнді нақты түрле баяндап беретін оқу құралы. Біз қарастырып отырған мектеп оқулықтары оқушыларға жаңа біліп беріп, дағдыларды қалыптастыруға ықпал етеді. Білім беру барысында, сол уақытқа дейінгі алған білімді сақтай отырып, болашақта алынған білімді қолданыста пайдалануға ықпал етеді. Дәл сол сияқты, оқулықтың математика пәнін үйренуде беретін пайдасы өте мол. Сол себепті, білім алушы оқушығада, білім беруші мұғалімгеде мазмұны бойынша дұрыс білім беретін, оқулықтар қажет. Осы оқулықтар арқылы жыл бойы берілетін оқу бағдарламасы құрылады.
Қазіргі уақытта математиканы оқыту және оқу үшін оқулықтарды қолдануға қатысты өте қарама-қайшы пікірлер бар болса да, қазіргі заманғы математика оқулығына бірқатар талаптар қойылады:
1. Ең басты қойылатын талап бойынша , берліген оқулық мұғалімге жыл бойы өтілетін сабақ барысын қалай жоспарлану керектігін, сол арқылы шешілетін мәселелерді, қабылдану керек оқу әдістерін және қолданылатын оқу құралдарын дұрыс таңдау бойынша түсінік беруі керек.
2. Мектеп оқулығын тәжірибелі математика мұғалімдері жауы керек.
3. Математика оқулығында мұғалімге математика пәнін реттелген және жүйелі түрде болуы үшін, логикалық және одан бөлек психологиялық реттілікті дұрыс сақтауы шарт.
4. Жақсы жазылған оқулықтарда, міндетті түрде әр тақырыпты толық қамтып, әрқайсына жеке-жеке мысалдар болуы керек. Берілген тақырыпқа және мысалға байланысты оқушының әртүрлі тапсырмалармен жұмыс жасай отырып және оларды шешу әдістерімен танысуға көмектеседі.
5. Оқулықта берілген тақырыптан кейін, бағалауға арналған жаттығулар арқылы мұғалім оқушыларға жеке қабілеттеріне қарай, тапсырмаларды және үй-тапсырмаларын беруге көмектеседі.
6. Ең бастысы оқулық арқылы мұғалімнің уақыты үнемделеді, себебі оған тапсырмалар мен үй-тапсырмасын дайындаудың қажеті жоқ, барлығы оқулықта дайындалған және қол жетімді.
7. Математика оқулығы математика пәні бойынша білім беру мақсаттарына жету үшін қажетті деп табылған ақпаратты ұсынуы қажет.
Қазіргі таңда мектеп оқулығы Алгебра және анализ бастамалары авторы, Әбілқасымова А.Е, Корчевский В.Е., Жұмағұлова З.Ә. Біз қарастырып отырған интеграл тақырыбы бұл оқулықтың І-ші тарауында, бірінші параграфта қарастырылған. Мектепте интегралды тек қосынды ретінде емес, барлық интегралдық қосындылардың шегі деп қарастырады. Бұл тәсілмен интегралдау операциясы тәуелсіз ретінде енгізіледі, сонымен қатар интеграл интегралды қосындылардан тұратын реттілік шегі ретінде анықталады. "Интеграл" деген ұғымның өзі математикаданың негіздері екені анық. Оны игеру мектептің Математикалық талдау курсының соңғы бөлігін білдіреді. Балаларға материалды түсіндіру оңай және жеңіл жолмен болуы керек. Өз кезегінде мұғалім интеграл тақыры бойынша басқада оқулықтардан ақпарат жинап, оқушыға ыңғайлы жолмен ақпарат беруі керек.
Интегралдар мектеп оқушыларын әлемді танудың жаңа, бұрын таныс емес құралымен таныстырады, ал интегралды есептеуді практикада әртүрлі салаларда қолданудың негіздері мен ерекшеліктерін игеру балаларға математиканың мәні мен күшін түсінуге көмектеседі.
11 сынып оқушылары жыл басында өтіліп басталатын, бұл тақырыптар бізде :
Алғашқы функцияға жеке тоқталамыз сосын барып, анықталмаған интегралды қарастырамыз. Кейінгі сабақтарда анықталмаған интегралдың қасиеттерін үйренеміз.
Оқушылар тақырыпты өту барысында, ең бірінші туынды дегеннің не екенін еске түсіреді. Одан кейін алғашқы функцияның не екенін үйренеді. Тақырыпты түсіндіру барысында, мысалдар және дәлелдеулермен жұмыс жасайды. Оқулықта барлығы нақты көрсетілген және алғашқы функцияны кестесі берілген. Ары қарай осы сабақтың аясында интегралдың не екенін , оның анықталмаған түрін өтеді. Анықталмаған интеграл жайлы ақпарат алып болғаннан кейін, оның қасиеттерін үйренеді.
Осы тақырыпқа оқулықта 21 жаттығу беріледі. Интегралдау тәсілдері тақырыбына 5- мысал есеп және 14-жаттығу есептерін береді. Есептер А, В, С тобына бөлінген. Сабақ барысында А, В, С обындағы есептерді қарастырылуы қажет. Қисықсызықты трапеция және оның ауданы. Бұл тақырыпта 4-мысал есеп және 17-жаттығу есептері берілген. Жаттығулар А, В, С тобына бөлінген. Ары қарай анықтал,ған интеграл тақырыбы, бұл тақырыпта 3-мысал есептер және 20 жаттығу қарастырылған. Анықталмаған интегралдың геометриялық және физикалық есептерді шығаруда қолданылуы тақырыбында 7-мысал есеп және 30 -жаттығу есептері берілген. Есептер А, В, С топтарына бөлінген. Тақырыпты қорытыңдылау мақсатында өзіңді тексер есептері берілген.
Интеграл тақырыбын түсіндіру барысында оқушыға 24-мысал есептері және 102-жаттығу есептері берілген.
Жаңа және ауқымды тақырып болғандықтан, жаттығуларды орындау барысында кедергілер туындауы мүмкін. Мен "А.Сейдімбек атындағы №54 мектеп - лицейінің" 11 сынып оқушыларымен педагогикалық практика барысында, оқушылардың дәл осы тақырыптан қателіктер жіберетінің байқаған болатынмын. Оқушыларға түсінік ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz