Анықталмаған интегралдарды есептеу әдістері

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 15 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ ҒЫЛЫМ ЖӘНЕ ЖОҒАРЫ БІЛІМ МИНИСТІРЛІГІ ҚЫЗЫЛОРДА БОЛАШАҚ УНИВЕРСИТЕТІ
Бизнес, техника және технология жоғары мектебі
Математика және ақпараттық технологиялар кафедрасы

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС

Пәннің коды, атауы: 6В01503-Математика

Тақырыбы:Анықталмаған интегралды оқыту әдістемесі

Ғылыми жетекшісі: п.ғ.к., доцент Серікбаева Валентина Ержанқызы

Орындаған: МАТ-232-1 Моңкебаев Қайрат Бекенұлы

Курс жұмысы қорғалды 2023ж.

(бағасы)
Комиссия төрағасы

(қолы)

Қызылорда-2023

Мазмұны

Кіріспе
3
1
Интеграл туралы жалпы ұғым
4
1.1
Анықталмаған интеграл және оның қасиеттері
5
2
Анықталмаған интегралдың негізгі кестесі
7
2.1
Анықталмаған интегралдарды есептеу әдістері
9
2.2
Айнымалыларды ауыстыру арқылы интегралдау әдісі
11
2.3
Бөліктеп интегралдау әдісі
12

Қорытынды
24

Пайданылған әдебиеттер тізімі
25

Kipicпe

Анықталмаған интегралды есептеудің тәжірибеде ыңғайлы жалпы әдістерінің жоқтығына байланысты және есептеудің оқушылар үшін жеткілікті деңгейде күрделілігіне байланысты әр дайым есептеуде жиі кездесетін функциялардың кейбір дербес кластарының интегралдау әдістерін қарастыруға тура келеді.
Математиканы оқыту әдістемесі ең алдымен төменгі класс оқушыларына математиканы оқыту міндетін жалпы оқу және тәрбие жүйесімен бірге қарастырады. Әдістемеде математиканың бастауыш курсының мазмұны мен құрылысы ашылып айқындалынады, яғни математикадан бастауыш кластарда қандай материал оқылатыны және неге дәл сол материал таңдап алынғандығы, курстың әрбір жеке мәселесі бастауыш кластарда қандай дәрежеде жинақталып оқылатыны, курс тақырыптары қандай тәртіпте қарастырылатыны және мұндай тәртіптің неге анағұрлым тиімді екендігі айтылады.
Математикалық анализді кластарда оқыту әдістемесінде курстағы әрбір тараудын, және сол тараудағы әр мәселені мысалы, интегралдарды табу қосу мен азайтуды қалай оқып үйрену керектігі, атап айтқанда, осы тақырыпта қосудың ауыстырымдылық қасиетін анықтау оқып үйренудін дербес әдістері айқындалады. Математиканы оқыту әдістемесі оқушыларға теориялық білімді игеру, алған білімін алуан түрлі практикалық мәселелерді шешу үшін қолдана білуге үйрену, оқушыларда берік дағды қалыптастыру жөнінде дәлелді ақыл-кеңестер ұсынады.
Курстық жұмыстың мақсаты: Математиканы оқытуда есептердің алатын орны ерекше. Оны оқытудың негізгі мақсаты - математикалық есептердің белгілі бір жүйесін шешу. Әдістемесін игеру. Сондықтан есепті шешу - оқытудың мақсаты ғана емес, сондай - ақ құралы да. Оның қатарына пәнді оқытуда қарастырылатын әр алуан жаттығулар, мысалдар, логикалық тапсырмалар, яғни кез келген математикалық мазмұнды тапсырманы жатқызуға болады. Есепті шешу кезінде оның шартына немесе салдарына математикалық жалпы қағидаларды қолданудың реті анықталады.
Курстық жұмыстың міндеті:
- Анықталмаған интеграл және оның қасиеттері;
- Анықталмаған интегралдарды есептеу әдістері;
- Тәжірибелік-эксперименттік жұмыс
Курстық жұмыстың зерттеу обьектісі. Математикалық анализ.

1 Интеграл туралы жалпы ұғым

Интеграл (лат. Іnteger - бүтін) - математиканың маңызды ұғымдарының бірі. Интеграл ұғымы бір жағынан - туындысы бойынша функцияны іздеу (мысалы, қозғалған нүктенің жүріп өткен жолын өрнектейтін функцияны сол нүктенің жылдамдығы бойынша табу), екінші жағынан - аудан, көлем және доға ұзындығын өлшеу, күштің белгілі бір уақыт ішінде атқарған жұмысын табу, т.б. қажеттіліктерден пайда болды. Осыған қатысты интеграл анықталмаған интеграл және анықталған интеграл болып ажыратылады. Міне, осыларды есептеу интегралдық есептеудің міндеті болып саналады.
Интеграл сөзін алғаш рет (1690) швейцариялық ғалым Якоб Бернулли қолданған;
- өзінің шексіз аз бөліктерінің қосындысы түрінде қарастырылатын бүтін шама (1-сурет).

1-сурет - Анықталмаған интеграл

Анықталмаған интегралды іздеу амалы немесе дифференциалдық теңдеулерді шешу.
Осыған сай дифференциалдау формулалары мен ережелеріне сүйене отырып, интегралдаудың формулалары мен ережелерін алуға болады.

1.1 Анықталмаған интеграл

Егер интервалының кез келген х берілген нүктесінде функциясы дифференциалданатын болса және оның туындысы болса, онда фукнциясы функциясының алғашқы функциясы деп аталады.
Мысал: функциясының алғашқы функциясын табу керек.
Шешуі
Алғашқы функцияның анықтамасы бойынша болғандықтан, функциясы -тің алғашқы функциясы болады.

Теорема: Егер және интервалында берілген функциясының кез келген алғашқы функциялары болса, онда берілген интервалда теңдігі орындалады, мұнда С-қайсы бір тұрақты. Демек, бір функцияның кезкелген алғашқы функциялары тек тұрақты шамаға ғана айрықшаланады. Алдындағы көрсетілген есепте алғашқы функциялары деп мына функцияларды алуға болады:
. Немесе жалпы түрде , мұнда С-
кезкелген тұрақты, өйткені .
интервалында берілген функциясының интервалында берілген барлық алғашқы функциялар жиынын анықталмаған интеграл деп атап, былай белгілейді:
Мына белгілеуде -интеграл белгісі, - интеграл астындағы өрнек, - интеграл астындағы функция, -интегралдау айнымалысы.
Егер функциясы функциясының бір алғашқы функциясы болса, яғни, , онда , мұнда С-кезкелген тұрақты (1)
Интеграл астындағы өрнек теңдіктің оң жақтағы кез келген алғашқы функцияларының дифференциалы болады.
Берілген интеграл астындағы функция бойынша анықталмаған интегралды табу интегралдау амалы деп аталады. Дифференциалдау амалына қарағанда интегралдау қарама-қарсы амал. Анықталмаған интегралдың геометриялық мәні: , С- параметр, қисықтар жиыны. Осы жиынға жататын қисықтар интегралдау қисықтары деп аталады. Осы жиынның кез келген қисығын Оу осінің бойымен параллель жылжытып алуға болады.

1.2 Анықталмаған интеграл, оның қасиеттері

F(x) функциясы дифференциалдау деп берілген алғашқы F(x) функциясының F'(x)= f(x) туындысын немесе df(x)=f(x)dx.
Дифференциалын табу амалын айтамыз.
Сол амалға кері амал, яғни F'(x) болып табылатын берілген f(x) үшін алғашқы F(x) функциясын табу амалы f(x)-ті интегралдау деп аталады.
F (x)-ті интегралдау амалын көрсету үшін ʃ символы қолданылады да, былай жазылады: ʃ f(x)dx.
Осы ʃ f(x)dx берілген f(x) функциясының барлық алғашқы функцияларының жиынын бейнелейді және f(x)-тен анықталмаған интеграл деп аталады.
Демек, анықтамаға сәйкес ʃ f(x)dx = F(x) + C болады. Бұл формуладағы F(x) функциясы f(x)-тың белгілі бір алғашқы функциясы, С-кез келген тұрақты.
Сонымен бірге f(x) - интеграл астындағы функция, ал f(x)dx - интеграл астындағы өрнек деп аталады.
ʃ - символы ұзартылып алынған латын алфавитіндегі S әріпі, ол символды интегралдың белгісі деп атайды.
Функцияны интегралдау және олардың алғашқы функцияларының қаиеттері жайындағы ілім интегралдық есептеу деп аталады.
Дифференциалдық есептеу сияқты интегралдық есептеуде математикалық анализдің өте маңызды бөлімдерінің бірі болып табылды. қарастырылған есептердің шешуін енді интеграл түрінде былай жазуға болады:
S = fv(t)dt + C
m = fp(t)dt + C.
Теорема-1. Екі және бірнеше функцияның алгебралық қосындысының анықталмаған интегралы олардың интегралдарының қосындысына тең.
.
Теорема-2. Тұрақты көбейткішті интеграл таңбасының алдына шығаруға болады, яғни егер а - тұрақты сан болса, болады.

F'(x)=f(x) және екенін ʃ f(x)dx = F(x) + C ескере отырып анықталмаған интегралдың қасиеттерін қарастырамыз.
1) Дифференциалдың анықталмаған интегралы дифференциалданған функция мен кез келген тұрақтының қосындысына тең, яғни:
ʃ df(x)dx = F(x) + C
2) Анықталмаған интегралдың дифференциалын интеграл астындағы өрнекке тең, яғни:
dʃ f(x)dx = f(x)dx
3) Тұрақты көбейткішті интегралдық белгінің алдына шығаруға да, интегралдық белгінің астына алып баруға да болады, яғни:
ʃ kf(x)dx = kf(x)dx
2 Анықталмаған интегралдың негізгі кестесі

1-Анықтама. Егер [a,b] кесіндісінің кез келген нүктесінде болса, онда F(x) функциясы f(x) функциясының алғашқы функциясы деп аталады.
Мысалы: функциясының алғашқы функциясы болады, өйткені болады.
Теорема-1. Егер және функциялары f(x) функциясының [a,b] кесіндісіндегі екі алғашқы функциялары болса, онда олардың айырмасы тұрақты сан болады.
2-Анықтама. Егер функциясы f(x)-тің алғашқы функциясы болса, онда өрнегі f(x) функциясының анықталмаған интегралы деп аталады. және деген белгімен белгіленеді. Сонымен болады. Мұндағы
f(x) интеграл астындағы функция деп, f(x)dx интеграл астындағы өрнек деп аталады. х интегралдау айнымалысы деп, ал белгі -анықталмаған интегралдың таңбасы деп аталады.
Теорема-2. Берілген сегментте үздіксіз кез келген функцияның осы сегментте алғашқы функциясы болады. Берілген функцияның анықталмаған интегралын табу амалы сол функцияны интегралдау деп аталады.
Интегралдауды жеңілдету үшін негізгі интегралдардың таблицасы беріледі. Бұл таблицалардың дұрыстығын дифференциалдау арқылы жеңіл тексеруге болады.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
11*.
12.
12*.
13.
13*.
14.
15.
16.

2.1 Анықталмаған интегралдарды есептеу әдістері

Интегралды интегралдау әдістері интеграл астындағы функцияның берілуіне және интегралдау кестесінің қорына байланысты:
- тікелей интегралдау;
- айнымалыларды ауыстыру арқылы интегралдау;
- бөліктеп интегралдау.
Осы тәсілдерді жеке қарастырайық:
Тікелей интегралдау әдісі.
Функцияларды анықталмаған интегралдың қасиеттері мен интегралдар кестесіне сүйеніп тікелей интегралдауға болады. Ал, тригонометриялық фнкцияларды интегралдағанда қосымша келесі келтіру формулаларын пайдалануға болады:
- sin²x+cos²x=1, sinx=
- ctgx=, tgx*ctgx=1
- cosec, secx=
- sin2x=2sinx*cosx, cos2x=cos²x-sin²x=2cos²x-1=1-2sin²x
- sinx*cosy=
cosx* siny = (sin (x+y)-sin (x-y))cos*cosy = (cos(x+y)+cos(x-y)) sinx*siny = (cos(x+y)-cos(x-y)).
Мысал, ∫ интегралын есептеп, нәтижесін дифференциалдау арқылы тексеріңдер. Алымын бөліміне бөліп, интегралдың қасиетін және кестені пайдаланып, шығарамыз:
1. ∫-14dx-2∫ x154dx+∫ x512dx=4x34-x194+ x1712+C=4-19+12√x17+C.
- ∫ cos7xdx
- ∫sin(2x-6)dx
- ∫ sin²xdx
Интеграл астындағы функцияның бөліміндегі өрнектен толық квадратты бөліп аламыз. Сонда 1. ∫ =∫ = =4√36√13arctg
- ∫dx
Алымында бөлімінің туындысына тең болатын қосылғышты айырып алып, алатынымыз:
∫=∫(4-8x)-25dx=-(4-8x)35+C=-⁵√(4- 8x)³+C5.∫6. ∫dx7. ∫dx= ∫dx= ∫=dx= ∫(1-cosx) dx=x-sinx+C
Негізгі интегралдар кестесін қолданып, анықталмаған интегралдар қасиеттерін пайдаланып интеграл астындағы өрнекті түрлендіріп интегралдағанды тікелей интегралдау деп атайды.
№1 Интегралдарды табу керек.
а) , б)

в)

Шешуі:
1) Алдымен интеграл астындағы функцияны ықшамдап, сосын анықталмаған интеграл қасиеттерін және (1) кестелік интегралды қолданып есептейміз.

б) Анықталмаған интеграл қасиеттерін және (5), (8) кестелік интегралдарды қолданып есептейміз.

в) 4, 5 қасиеттерін және (9), (10), (2) кестелік интегралдарды қолданып, есептейміз.

№2 Интегралдарды табу керек

а) б) ,

в) г)

а) Алымындағы жақшаларды ашып және ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.