Тұжырымдар алгебрасы

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ 2

1 ТАРАУ. ТҰЖЫРЫМДАР АЛГЕБРАСЫ 5
1.1. Тұжырым ұғымы 5
1.2. Тұжырымдарға қолданылатын логикалық амалдар. Терістеу 5
1.3 Конъюнкция 6
1. 4 Дизъюнкция 6
1. 5 Эквиваленция 7
1.6 Импликация 7
1.7 Тұжырымдар алгебрасының формулалары 8
1.8 Тұжырымдар алгебрасының пара.пар, тепе.тең ақиқат және тепе.тең жалған формулалары 9
1.9 Негізгі тепе.теңдіктер 10
1.10 Формулаларды тепе.тең түрлендіру 11
1.11 Логика алгебрасының функциялары 11
1.12 Нормал және жетілдірілген формалар 12
1.13 Формулаларды ақиқаттық мәндер кестесі бойынша қалпына келтіру 13
1.14 Логикалық байланыстардың толық жүйелері 14
Тақырып бойынша тесттер 15

2 ТАРАУ. ТҰЖЫРЫМДАР ЕСЕПТЕЛІМІ 17
2.1 Тұжырымдар есептелімі формуласының ұғымы 17
2.2. Дәлелденетін формула ұғымы 18
2.3 Тұжырымдар есептелімінің аксиомалар жүйесі 18
2.4 Шығару ережелері 18
2.5 Дәлелденетін формуланың анықтамасы 19
2.6 Туынды шығару ережелері 19
2.7 Формулаларды гипотезалардан қорытып шығару 21
2.8 Шығарылу ережелері 22
2.9 Тұжырымдар алгебрасы мен тұжырымдар есептелімі арасындағы байланыс 23
Тақырып бойынша тесттер 24

ГЛАВА 3. ПРЕДИКАТТАР ЛОГИКАСЫ 26
3.1 Предикат ұғымы 26
3.2 Предикаттарға логикалық амалдарды қолдану 27
3.3 Кванторлық амалдар 28
3.4 Предикаттар логикасының формуласының ұғымы 29
3.5 Предикаттар логикасының формулаларының тепе.теңдігі 30
3.6 Пренекстік нормал форма 31
3.7 Математикалық тұжырымдар мен анықтамаларды предикаттар логикасының формулалары түрінде жазу 31
Тесты по теме 32

VI ТАРАУ. АЛГОРИТМДЕР ТЕОРИЯСЫНЫҢ ЭЛЕМЕНТТЕРІ 34
4.1 Алгоритм түсінігі және оның қасиеттері 34
4.2. Тьюринг машиналары 35
4.3 Машинаның жұмыс істеу ережелері 35
4.4 Машина мысалдары 36

Тақырып бойынша тесттер 36

КУРС БОЙЫНША ТЕСТТЕР 39

ӘДЕБИЕТТЕР 43
КІРІСПЕ

Математика барлық тұжырымдар ақыл қорытындысы арқылы, яғни адамның ойлау қабілеті заңының жолдарын қолданып, дәлелденетін ғылым болып табылады. Адамның ойлау қабілетінің заңын оқу логика пәні болып табылады.
Логика өз алдына ғылым болып грек философы Аристотельдің (384-322 ж.ж б.э.д) еңбегінде нақтыланған. Ол өзіне дейінгі мәліметтерді жүйеледі және осы жүйе кейін формальды немесе Аристотель логикасы деп аталды.
Формальды логика еш өзгеріссіз 20 ғасырдай өмір сүрді. Математиканың дамуы Аристотель логикасының жетіспеушіліктерін көрсетті және оның әрі қарай дамуын талап етті.
Математикалық негізде логиканы құру идеясын тарихта алғашқы болып неміс математигі Г.Лейбниц (1646-1716) XVI ғ. аяғында айтты. Ол логиканың негізгі ұғымдарын арнайы шарттармен байланысқан символдармен белгіленуі тиіс дейді. Бұл кез-келген ойларды есепке ауыстыруға мүмкіндік береді.
Алғашқы болып Лейбництің айтуын жүзеге асырған ағылшын ғалымы
Д. Буль (1815-1864). Ол айтылымдар әріптермен белгіленген алгебраны құрды және бұл айтылымдар алгебрасын дүниеге әкелді. Логикаға симвлодық белгілеуді ендіру, бұл ғылымға маңызды болды. Дәл осы символдарды логикаға ендіру жаңа математикалық логика ғылымының негізін қалады.
Логикада математиканы қолдану логикалық теорияларды жаңа формада кқруге мүмкіндік берді және есептеуіш аппараттарды адамның ойлау қабілеті жетпейтін есептерді шешуде қолдану логиканың зерттеу облысын кеңейтті.
XIX ғ. аяғында математика үшін актуальді мәнге ие болатын сұрақтар туындады, яғни оның негізгі ұғымдары мен идеялары бойынша. Бұл мәселенің логикалық негізі болды және бұл математикалық логиканың әрі қарай дамуына алып келді. Бұл қатынаста неміс математигі Г.Фреге (1848-1925) және Итальян математигі Д. Пеано (1858-1932) еңбектерінде көрсетілген.
Математикалық ойлаудың ерекшеліктері математикалық абстракция және олардың байланыстарының түрлілігінің ерекшеліктерімен түсіндіріледі.
Осыған орай осы заманғы математикалық логиканы математиканың бөлімі ретінде қарастырады.
Математикалық логиканың дамуының негізгі себептерінің бірі әртүрлі математикалық теорияларды құруда аксиоматикалық әдістердің кең таралуы болып табылады.
Математикалық теорияны аксиоматикық құруда алдын-ала кейбір белгісіз жүйе ұғымы және олардың арасындағы қатынас тандалады. Осы ұғымдар мен қатынастар негізгі деп аталады. Әрі қарай дәлелдеусіз теория қарастыратын негізгі орын аксиома қолданылады. Барлық алдағы теорияның мазмұны аксиомадан логикалық түрде шығарады. Математикалық теорияда аксиоматикалық құруды алғашқы болып геометрияны құруды Эвклид қолданды .
Бұл теория алғашқыда әлсіз түсіндірілді. Эвклид мұнда негізгі ұғымдарға (нүкте, түзу, жазықтық) анықтама бергісі келді. Теорияны дәлелдеуде еш жерде жинақталмаған орын қолданылды.
Теорияны аксиоматикалық құру тәсілі XIX ғ. дейін жалғыз болды. Осы әдісті өзгертуде Н. И. Лобачевский (1792-1856) еңбектерінің маңызы зор болды.
Лобачевский алғашқы болып Евклидтің 5 постулатының дәлелденбейтінін айтты және осы айтуын жаңа геометрияны құруда нақтылады. Кейін неміс математигі Ф.Клейн (1849-1925) Лобачевский геометриясын дәлелдеді. Осылайша математика тарихында олардың еңбектері алғашқы болып аксиоматикалық теорияның ділелденбейтін мәселесі көрсетілді.
Қарсылықты емес аксиоматикалық теория осы теорияның аксиома жүйесіне қойылатын негізгі талаптардың бірі болып табылады.
Қарсылықты емес математикалық теорияны дәлелдеудің әртүрлі тәсілі бар. Осының бірі интерпретация болып табылады. Мұнда негізгі ұғым мен қатынас ретінде кейбір жиынның элементтері және олардың арасындағы қатынас таңдалады, одан кейін тексеріледі.
Математикалық теория үшін интерпретацияның көпшілігі жиын теориясының қорында құрылады.
Бірақтан, XIX ғ. аяғында жиын теориясында кемшіліктер пайда болды (жиын теориясының парадоксы). Осыған мысал ретінде Б. Рассела парадоксы болып табылады.
Барлық ойланды жиынды екі класқа бөлеміз. Жиынды “дұрыс”, деп айтамыз егер ол өзінің элементі ретінде өзі болмаса және “дұрыс емес” кері жағдайда . Мысалы, барлық кітаптар жиыны дұрыс жиын, ал ойдағы заттар жиыны дұрыс емес жиын . L –барлық дұрыс жиындар жиыны болсын. Онда L қай жиын класына жатады?
Егер L – “дұрыс” жиын болса, онда L Î L, яғни дұрыс жиын класында, бірақ ол өз элементі ретінде өзі кіреді, сондықтан ол “дұрыс емес”.
Егер L – “дұрыс емес” жиын болса, онда L Ï L, яғни дұрыс жиындар құрамында жоқ, бірақ L өз элементі ретінде өзі кірмейді, сондықтан ол “дұрыс”. Осылайша дұрыс жиын ұғымында қарама-қайшылық туындайды.
Теория жиынында қарама-қарсылықты жою ЦЕРМЕЛО-ны аксиоматикалық жиын теориясын құру қажеттілігіне алып келді. Кейінгі өзгерістерге байланысты бұл теория осы заманғы жиын теориясы құрылды.
Математиканы негіздеудің басқа тәсілдері Д. ГИЛБЕРТ (1862-1943) және оның мектебінде дамытылды. Олар математикалық теорияны құруды синтаксистік теория негізіне сүйене отырып құрды.
Осылайша, математикалық теорияның қарсылықты еместігін дәлелдеу басқа математикалық теория пәні болды, оны Гильберт математика немесе дәлелдеу теориясы деп атады.
Осы тұрғыда синтаксистік, яғни фромальданған аксиоматикалық теорияны математикалық логика негізін құру мәселесі туындайды. Әртүрлі тәсілмен аксиома жүйесі және басқа формуланы шығару шартын таңдауда әртүрлі синтаксистік логикалық теорияны аламыз. Олардың әрқайсысын логика есептелімі деп атаймыз.
Бұл курста біз классикалық тұжырымдар есептелімімен танысамыз.
ӘДЕБИЕТТЕР

1. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А., «Математическая логика». М., Наука, 1979.
2. Жетпісов Қ., Түсіпов Ж.А., «Математикалық логика», Тараз, 2000.
3. Лавров И.А., Максимова Л.Л., «Задачи по теории множеств, математической статистике и теории алгоритмов». М., Наука, 1975.
4. Лихтарников Л.М., Сукачева Т.Г., «Математическая логика». СПб.: «Лань», 1998.
5. Мальцев А.И., «Алгоритмы и рекурсивные функции». М.: Наука, 1986.
6. Мендельсон Э., «Введение в математическую логику», М., 1976.
        
        МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ 2
1 ТАРАУ. ТҰЖЫРЫМДАР АЛГЕБРАСЫ 5
1.1. Тұжырым ... ... ... ... логикалық амалдар. Терістеу 5
1.3 Конъюнкция 6
1. 4 Дизъюнкция 6
1. 5 Эквиваленция ... ... ... ... ... ... ... Тұжырымдар алгебрасының пара-пар, тепе-тең ақиқат және тепе-тең жалған
формулалары ... ... ... 10
1.10 Формулаларды тепе-тең түрлендіру 11
1.11 ... ... ... 11
1.12 Нормал және жетілдірілген формалар 12
1.13 ... ... ... ... бойынша қалпына келтіру 13
1.14 Логикалық байланыстардың толық жүйелері ... ... ... 15
2 тарау. тұжырымдар есептелімі 17
2.1 Тұжырымдар есептелімі формуласының ұғымы ... ... ... ... ... Тұжырымдар есептелімінің аксиомалар жүйесі 18
2.4 Шығару ережелері 18
2.5 ... ... ... 19
2.6 Туынды шығару ережелері 19
2.7 Формулаларды гипотезалардан қорытып шығару 21
2.8 ... ... ... ... алгебрасы мен тұжырымдар есептелімі арасындағы байланыс 23
Тақырып бойынша тесттер 24
Глава 3. предикаттар логикасы 26
3.1 ... ... ... Предикаттарға логикалық амалдарды қолдану 27
3.3 Кванторлық амалдар 28
3.4 Предикаттар логикасының формуласының ұғымы ... ... ... ... ... ... Пренекстік нормал форма 31
3.7 Математикалық тұжырымдар мен анықтамаларды предикаттар ... ... жазу ... по теме 32
VI тарау. АЛГОРИТМДЕР ТЕОРИЯСЫНЫҢ ЭлементтерІ 34
4.1 Алгоритм ... және оның ... ... ... ... ... Машинаның жұмыс істеу ережелері 35
4.4 Машина мысалдары 36
Тақырып бойынша тесттер 36
КУРС ... ... ... ... барлық тұжырымдар ақыл қорытындысы арқылы, яғни адамның ойлау
қабілеті заңының жолдарын қолданып, ... ... ... ... ... қабілетінің заңын оқу логика пәні болып табылады.
Логика өз алдына ... ... грек ... ... (384-322 ... еңбегінде нақтыланған. Ол өзіне дейінгі мәліметтерді жүйеледі және
осы жүйе кейін формальды ... ... ... деп аталды.
Формальды логика еш өзгеріссіз 20 ғасырдай өмір ... ... ... логикасының жетіспеушіліктерін көрсетті және оның әрі
қарай ... ... ... ... ... құру ... ... алғашқы болып неміс
математигі Г.Лейбниц (1646-1716) XVI ғ. аяғында айтты. Ол логиканың негізгі
ұғымдарын арнайы шарттармен ... ... ... тиіс дейді.
Бұл кез-келген ойларды есепке ауыстыруға мүмкіндік береді.
Алғашқы болып Лейбництің айтуын жүзеге асырған ағылшын ғалымы
Д. Буль ... Ол ... ... ... ... құрды
және бұл айтылымдар алгебрасын дүниеге ... ... ... ... бұл ... маңызды болды. Дәл осы символдарды ... жаңа ... ... ғылымының негізін қалады.
Логикада математиканы қолдану логикалық теорияларды жаңа формада
кқруге мүмкіндік берді және ... ... ... ... қабілеті
жетпейтін есептерді шешуде қолдану логиканың зерттеу облысын кеңейтті.
XIX ғ. аяғында математика үшін актуальді мәнге ие ... ... яғни оның ... ... мен ... ... Бұл мәселенің
логикалық негізі болды және бұл математикалық ... әрі ... ... ... Бұл ... ... математигі Г.Фреге (1848-1925) және Итальян
математигі Д. Пеано (1858-1932) еңбектерінде көрсетілген.
Математикалық ойлаудың ерекшеліктері математикалық ... ... ... ... ... түсіндіріледі.
Осыған орай осы заманғы математикалық логиканы математиканың бөлімі
ретінде қарастырады.
Математикалық логиканың ... ... ... бірі ... теорияларды құруда аксиоматикалық әдістердің кең таралуы
болып табылады.
Математикалық теорияны аксиоматикық құруда алдын-ала ... ... ... және ... ... қатынас тандалады. Осы ұғымдар мен қатынастар
негізгі деп аталады. Әрі ... ... ... ... ... орын
аксиома қолданылады. Барлық алдағы теорияның мазмұны аксиомадан логикалық
түрде шығарады. Математикалық теорияда аксиоматикалық құруды алғашқы ... ... ... ... .
Бұл теория алғашқыда әлсіз түсіндірілді. Эвклид мұнда негізгі ... ... ... ... бергісі келді. Теорияны дәлелдеуде еш
жерде жинақталмаған орын қолданылды.
Теорияны ... құру ... XIX ғ. ... ... ... Осы
әдісті өзгертуде Н. И. Лобачевский (1792-1856) еңбектерінің ... ... ... болып Евклидтің 5 постулатының дәлелденбейтінін
айтты және осы ... жаңа ... ... ... Кейін неміс
математигі Ф.Клейн (1849-1925) Лобачевский геометриясын дәлелдеді. Осылайша
математика тарихында ... ... ... болып аксиоматикалық
теорияның ділелденбейтін мәселесі көрсетілді.
Қарсылықты емес аксиоматикалық теория осы теорияның ... ... ... талаптардың бірі болып табылады.
Қарсылықты емес математикалық теорияны ... ... ... ... бірі ... ... табылады. Мұнда негізгі ұғым мен ... ... ... ... және ... ... ... одан кейін тексеріледі.
Математикалық теория үшін интерпретацияның көпшілігі жиын теориясының
қорында құрылады.
Бірақтан, XIX ғ. ... жиын ... ... ... ... (жиын
теориясының парадоксы). Осыған мысал ретінде Б. Рассела парадоксы болып
табылады.
Барлық ойланды жиынды екі ... ... ... ... деп ... ол өзінің элементі ретінде өзі болмаса және “дұрыс ... ... . ... барлық кітаптар жиыны дұрыс жиын, ал ойдағы заттар жиыны
дұрыс емес жиын . L ... ... ... жиыны болсын. Онда L қай жиын
класына жатады?
Егер L – “дұрыс” жиын болса, онда L ( L, яғни ... жиын ... ол өз ... ... өзі ... сондықтан ол “дұрыс емес”.
Егер L – “дұрыс емес” жиын болса, онда L ( L, яғни ... ... жоқ, ... L өз ... ... өзі кірмейді, сондықтан ол
“дұрыс”. Осылайша ... жиын ... ... ... ... ... жою ... аксиоматикалық жиын
теориясын құру қажеттілігіне алып келді. Кейінгі өзгерістерге байланысты
бұл теория осы ... жиын ... ... ... ... ... Д. ГИЛБЕРТ (1862-1943) және
оның мектебінде дамытылды. Олар математикалық теорияны құруды синтаксистік
теория негізіне сүйене отырып ... ... ... ... ... дәлелдеу басқа
математикалық теория пәні болды, оны Гильберт математика немесе дәлелдеу
теориясы деп ... ... ... яғни ... аксиоматикалық теорияны
математикалық логика негізін құру мәселесі ... ... ... ... және ... ... шығару шартын таңдауда әртүрлі
синтаксистік ... ... ... ... әрқайсысын логика
есептелімі деп атаймыз.
Бұл курста біз классикалық тұжырымдар есептелімімен танысамыз.
1 ТАРАУ. ТҰЖЫРЫМДАР АЛГЕБРАСЫ
1.1. ... ... ... ... ... курстағы әр бөлімде де бастапқы
негізгі ұғымдар бар. Негізгі ұғымдар анықталмайды. ... ... ... ішкі ... бар деп ... Бұл ішкі түсініктерде
математикалық білім саласындағы адамзаттың тарихи тәжірибесі ... ... ... ... квазианықтамалар, яғни басқа
анықталған ұғымдар мен объектілерге сілтеме жасайтын анықтамалар ... ... ... негізгі анықталған ұғым тұжырымдар болып табылады.
Тұжырым деп ақиқатығы ... ... ... ... болатын байланысты
баяндамалы сөйлемді айтамыз.
Мысал 1. «2*2=4» (екі көбейту екі тең төрт).
Мысал 2. «Егер натурал сан 6ға бөлінсе, онда ол 3ке ... 3. ... қүс ... 4. ... және 2 ... – ақиқат, ал 3, 4 –жалған. Бір ғана тұжырым болатын
айтылымды жай немесе ... деп ... ... ... ... ... ... айтуға болады.
Граматикалық байланыстар көмегімен («және», «немесе», «егер..., онда...»,
«сонда тек сонда ғана») құрылған тұжырымдарды күрделі деп атайды. Осылайша
2 тұжырым ... ... ... ... «натурал сан 6 бөлінеді»,
«натурал сан 3 ... 4 ... ... сөзімен қосылған «3 үлкен 5»
және «3 тең 5» тұжырымдар.
Әрі қарай ... ... ... жағы қызықтырмастан, олар қандай
ақиқаттық («ақиқат» немесе «жалған») мәнге ие болатындығы ... ... ... ... мәні бар барлық тұжырымдар
алмасымды, яғни бізде ақиқат ... және ... ... ... ... ... бар.
Қарапайым тұжырымдары латын алфавиттің a,b,c,…,x,y,z,… әріптерімен,
ақиқат мәнді А ... ... 1 ... ... ... Ж әріппен немесе 0
цифрмен белгілейміз.
Егер а ақиқат болса, онда а=1, ал егер жалған болса, а=0 деп ... ... ... ... ... ... тұжырымының терістеуі жаңа тұжырым болып табылады, бұл ... а ... ... ал а жалған болғанда кезде, ақиқат болады.
a терістеу тұжырымы (¬a) деп ... және «а ... ... емес а» деп ... ¬a ... логикалық мәнін кесте арқылы
көрсетуге болады:
Бұл түрдегі кестені ақиқаттық кестесі деп атайды.
Мәселен, «2 кіші ... ... үшін ... болып «2 кіші емес 5тен»
тұжырымы болады.
а тұжырым болсын. да ... ... ... ... ... яғни ... а ... екілік терістеу
болады. және а тұжырымдарының логикалық мәні бірдей.
1.3 Конъюнкция
a және b тұжырымдарының конъюнкциясы деп, егер екі ... да ... ... және егер кем дегенде біреуі жалған болғанда жалған болатын
жаңа тұжырымды айтамыз.
a және b тұжырымдарының конъюнкциясы мына ... ... a(b (a ... b, a&b) және ... ... «a және b». a , b ... конъюнкция
мүшелері деп аталады. a және b екі ... ... ... логикалық
мәндерінің конъюнкциясы келесі ақиқат кестеде көрсетілген:
|a |b |a(b |
|1 |1 |1 |
|1 |0 |0 |
|0 |1 |0 |
|0 |0 |0 ... «6 2-ге ... «6 3-ке ... ... үшін ... «6 2-ге бөлінеді және 6 3-ке бөлінеді» тұжырымы болады, бұл
ақиқат.
Конъюнкция операциясы анықтамасында көрсетілгендей ... сөзі ... ... сөйлесудегі сияқты мағынада қолданылады. Бірақ
кәдімгі сөйлесуде «және» сөзімен мағынасы әртүрлі екі ... ... ал ... ... ... екі ... конъюнкциясы
қарастырылған.
1. 4 Дизъюнкция
a және b тұжырымдарының дизъюнкциясы деп,егер екі ... бірі ... ... және егер ... де ... ... жалған болатын жаңа
тұжырымды айтамыз.
a, b тұжырымдардың дизъюнкциясы мына символмен ... a(b ... ... «a ... b». a, b ... ... мүшелері деп
аталады.
a және b екі тұжырымның барлық мүмкін логикалық мәндерінің дизъюнкциясы
келесі ақиқат кестеде көрсетілген:
1. 5 Эквиваленция
a және b екі ... ... деп егер ... ... немесе жалған болса, ақиқат, ал қалған жағдайларда ... жаңа ... ... және b тұжырымдарының эквиваленциясы мына символмен ... ... және ... оқылады: “a үшін қажетті және жеткілікті b ” немесе “ ... және тек ... ... ... b”. a, b ... ... деп аталады. a және b екі тұжырымның барлық мүмкін логикалық
мәндерінің эквиваленциясы келесі ақиқат ... ... |B |a~b |
|1 |1 |1 |
|1 |0 |0 |
|0 |1 |0 |
|0 |0 |1 ... «S ... және PQ ... берілген SPQ үшбұрышы тең бүйірлі
болады, сонда және тек ... ... ... P=Q» ... “ S ... және PQ негізімен берілген SPQ ... тең ... “ S ... және PQ негізімен берілген SPQ үшбұрышында P=Q
” тұжырымдары бір ... ... ... ... ... ... үлкен роль атқарады.
Теоремалардың белгілі бөлігі қажетті және жеткілікті формада құрылады, ... ... Бұл ... оның екі ... бірі ақиқат
немесе жалған екенін біле отырып және эквиваленттіліктің өзінің ақиқаттығын
дәлелдеп біз ... ... ... ... ... жалған
екенін қорытындылаймыз.
1.6 Импликация
a және b екі тұжырымның импликациясы деп, егер a ақиқат, ал b – ... ... және ... ... ... болатын жаңа тұжырымды айтамыз.
a, b тұжырым импликациясы былай белгіленеді a( b (a ( b a( b) ... ... ... a, онда b ” немесе «a дан b шығады». а ... ... ... ... ал b ...... ... қорытынды деп
атайды.
a және b екі тұжырымның ... ... ... ... ... ... ... көрсетілген:
|a | b |a( b |
|1 |1 |1 |
|1 |0 |0 |
|0 |1 |1 |
|0 |0 |1 ... ... 12 6-ға ... онда ол 3-ке ... ... ақиқат.
Мұнда ақиқат сілтеме және ақиқат қорытынды.
Импликация математикалық дәлелдеуде үлкен роль ... ... ... ... және ... ... ... Егер бұл жағдайда
a ақиқат болып және a( b ... ... ... ... ... ... ... екенін қорытындылаймыз.
Логикалық амалдармен алғаш танысқанда импликациядан басқаның барлығы
мейлінше табиғи түрде ... ... Ал ... ... ... ... ... қарсылық көрсетіп жатқандай болып
көрінеді. Бірақ ... ... ... ... ... ішкі
логикамызға және математикада өте жиі қолданылатын ... …, онда ... ... ... ... мысал келтіруге болады.
Арифметикадан бір теореманы еске түсірейік - Q(x)= «Егер х ... саны ... ... ... ол 2-ге бөлінеді». Бұл теореманың әділдігіне біз күмән
келтіреміз, яғни Q(x ) - қа ... х ... ... қойсақ та біз ақиқат
айтылым аламыз. Белгілеу енгіземіз: А(х)= «х натурал саны 4-ке бөлінеді»,
В(х)= «х ... саны 2-ге ... ... )= А(x )( В(x ... ... х=8, 2, 3 мәндерін қоя отырып келесілерді аламыз: 1( 1,
0(1, 0( 0. (1) формулаға 1( 0 ... ... ... ... қою мүмкін
емес (себебі келтірілген теорема әділ).
Қарапайым ... ... А, онда В» ... ... А мен В ... ... ... көреміз. Біздің импликация анықтамасында бұл ... ... Яғни біз ... ... ... құқымыз бар: «Егер
бүгін бейсенбі болса, онда 2*2=5», бұл ... ... ... ... ал ... ... Тұжырымдар алгебрасының формулалары
Тұжырымдарға қолданылатын логикалық амалдары ... ... ... ... құруға болады. Операциялардың орындалу
реті жақшамен көрсетіледі. Мысалы, x, y, z үш ... ... ... ... .
Қарапайым тұжырымдардан терістеу, конъюнкция, дизъюнкция, импликация және
эквиваленция логикалық амалдарды ... ... ... ... ... алгебрасының формуласы деп аталады.
Тұжырымдар алгебрасының формулаларын латын алфавиттің бас әріптерімен
белгілейміз: A, B, C,…,X, Y, ... ... үшін ... ... ретімен орындау келісілген.
Басқа барлық операциялардан бұрын ... ... ал ... мен ... бұрын орындалады. Бұл амалдардың орындалу
ретін анықтайтын жақшалар қойылмауы мүмкін. Егер ... ... ... ... ... ол жағдайда да жақша қойылмайды.
Демек, жоғарыда келтірілген және ... ... ... ... және ... ... ... логикалық мәні оған ... ... ... ... ... анықталады. Мысалы, x=1, y=1,
z=0 болғанда ... ... ... мәні ... ... яғни
((x(y)((z =1.
Логикалық амалдар сияқты, формуланың барлық мүмкін болған мәндері оның
ақиқаттық кестесі көмегімен берілу мүмкін.
Мысалы, ... ... үшін ... ... ... |у |(x |(у |(x(y |х((у ... |
|1 |1 |0 |0 |1 |0 |0 |
|1 |0 |0 |1 |0 |1 |1 |
|0 |1 |1 |0 |1 |0 |0 |
|0 |0 |1 |1 |1 |0 |0 ... ... ... n ... ... енетін болса, онда ол нөл
және бірден тұратын 2n мән ... ... ... ақиқаттық кестесі
2n қатардан тұрады деп айтуға болады.
1.8 Тұжырымдар алгебрасының пара-пар, тепе-тең ақиқат және ... ... ... ... А және В ... олардың құрамына енетін
қарапайым тұжырымдарының кез ... ... ... мән ... онда
бұл формулалар пара-пар деп аталады. Формулалардың пара-парлығын ... ... ... (В ( А және В ... ... А формуласы оған кіретін айнымалылардың барлық мәндерінде 1 мәнді
қабылдайтын болса, онда бұл формула ... ... ... ... ... А ... оған кіретін айнымалылардың барлық мәндерінде 0 ... ... онда бұл ... ... ... (немесе қарама-
қайшылық) деп аталады.
Пара-парлық және эквиваленттік ұғымдары арасында мынадай байланыс ... А және В ... ... болса, онда А(В формуласы – тавтология,
және керісінше, егер А(В ... ... ... онда А және ... ... болады.
1.9 Негізгі тепе-теңдіктер
Теорема 1 Келесе тепе-теңдіктер орындалады:
а( b((a(b;
a~b ( (а( b)( b( a) ( ((a(b)( a((b) ( (ab) ( ... ... ... ... ... ... ... тепе-тең көрінетіндей, ( және ~ амалдары (, ( ... ... ... (, ( және ( арқылы айтылымдар ... ... ... ... ... ... Сол ... біз басты
назарды осы амалдардың қасиеттерін зерттеуге аударамыз. Оларды ... буль ... деп ... 2 ... ... ... ... үшін келесі 19 тепе-
теңдік орындалады:
0. – екі еселі терістеу заңы
– коммутативтік заңдары
– ассоциативтік заңдары
– дистрибутивтік ... ... де ... ... 0 мен 1 заңдары
– жұту заңдары
– үшіншісі өшірілген ... ... ... ... ... кесте көмегімен дәлелдеуге болады.
1.10 Формулаларды тепе-тең түрлендіру
Тепе-теңдіктерді пайдаланып, формуланы немесе оның бөлігін оған ... ... ... ... ... тепе-тең түрлендірлер деп
аталады.
Тепе-тең түрлендірулер тепе-теңдіктерді дәлелдеу, формуланы берілген
түрге келтіру, формуланы ықшамдау үшін қолданылады.
Егер А ... ... оған ... В формулаға қарағанда аз әріптер
мен логикалық амалдар кіретін ... онда А ... В дан ... ... ... ... және импликация амалдары дизъюнкция ... ... ... ал ... ... тұжырымдардан
алынады.
1.11 Логика алгебрасының функциялары
Жоғарыда айтылғандай, ... ... ... мәні бұл ... ... мәндеріне тәуелді. Сондықтан логика алгебрасының
формуласы оған кіретін қарапайым тұжырымдардың функциясы болады.
Мысалы, формуласы үш айнымалының f(x,y,z) ... ... ... және оның ... тек нөл ... бір екі ... біреуін
қабылдайды.
Анықтама Функцией алгебры логики n переменных (или ... ... ... n ... где каждая переменная принимает два
значения: 0 и 1, и при этом ... ... ... ... одно из двух
значений: 0 или ... что ... ... и ... ... ... ... представляют собой постоянные функции, а две равносильные функции
выражают одну и ту же ... ... ... ... ... ... ... әрбір
функциясын (логика алгебрасының формуласы сияқты) 2n ... ... ... ... ... ... яғни логика алгебрасының әрбір n
айнымалы функциясы 2n ... мән ... ... n ... ... 2n ... нөл және бір ... тұратын кейбір тобымен
толығымен анықталады, ал ұзындығы 2n болған нөл және ... ... ... саны тең. ... ... алгебрасының барлық n
айнымалы функциялардың саны ... ... бір ... әртүрлі функциялардың саны төрт, ал екі айнымалы
функциялардың саны он алты. Логика алгебрасының бір және екі ... ... ... ... ... ... ... ақиқаттық кестесін қарастырамыз. Ол
келесі көріністе ... |f1(x) |f2(x) |f3(x) |f4(x) |
|1 |1 |1 |0 |0 |
|0 |1 |0 |1 |0 ... ... ... бір ... екі ... ... болады:
f1(x)=1, f4(x)=0, ал .
Барлық мүмкін болған екі айнымалы функциялардың ақиқаттық кестесі келесі
түрде болады:.
|x |Y |f1 |f2 |
|1 |1 |1 |1 |
|1 |1 |0 |0 |
|1 |0 |1 |0 |
|0 |1 |1 |1 |
|1 |0 |0 |1 |
|0 |1 |0 |0 |
|0 |0 |1 |0 |
|0 |0 |0 |0 ... ... ... ... оның өзін ... Берілген
формула қарпайым тұжырымдардың 1, 4, 5 жолдардағы үлестірулерінде ... ... ... ... ... ... осы ... конъюнкция құрайық.
Бірінші жолдағы мәндерде xyz ақиқат,
Төртінші жолдағы мәндерде (xyz ақиқат,
Бесінші жолдағы мәндерде x(y(z ақиқат.
Енді, осы қарапайым конъюнкциялардан ... ... ... ... ( (xyz ( ... ... ... кестесінің А(x,y,z) формуласының ақиқаттық
кестесімен сәйкес кедетіндігін тексеру қиын емес. ... ... ... ... ... үлестірулерінде жоғырыдағы қарапайым
конъюнкциялардың әрқайсысы жалған мән ... хyz ( (xyz ( ... ... ... емес ... жетілдірілген нормал дизъюнктивті
формаға келтіру үшін оның ақиқаттық ... ... ... ... ... ... ... құру қажет. Бұл қарапайым
конъюнкцияларда, егер қарапайым тұжырым ... мән ... онда ... ал жалған мән қабылдаса, онда оның кері шамасын аламыз. ЖКНФ ... ... ... емес ... жетілдірілген нормал конъюнктивті формаға
келтіру үшін оның ақиқаттық ... ... ... ... келетін
жолдардан қарапайым дизъюнкциялар құру ... Бұл ... егер ... ... ... мән қабылдаса, онда оның
кері шамасын, ал ... мән ... онда оның өзін ... ... қарастырылған формуланың ЖКНФ келесі түрде болады:
А(x,y,z)= ((х((y(z) ((x(y((z)(x((y(z) (x(y((z) ... ... ... ... ... (2, …, (n ... ... символдары болсын. Егер тұжырымдар
алгебрасының кез келген формуласы үшін оған ... (1, (2, …, ... ... ... ... бар болса, онда жүйе
толық деп аталады.
Тұжырымдар алгебрасының кез ... ... үшін оған ... ДНФ және
КНФ болғандықтан, – толық жүйе ... ... 9.1 ... ... келесі жиындары:
, , ,
толық жүйе құрайды.
Лемма 9.2 , жиындары логикалық ... ... ... ... ... ... импликациялардың қайсысы жалған?
1) егер 2(2=4, онда 2>3;
2) егер 2(2=4, онда 23, ... ... f ... жұп, f ... тақ;
4) ABC үшбұрышы тікбұрышты, ABC үшбұрышы – тең бүйірлі.
4. A(B тұжырымы ақиқат болсын. ((A(B ) ( ( (A(B ) ... ... ... ие ... ... ... ( ((P(Q ) ( ((P(Q ) (P) ... ықшамдаңыз:
1) 1
2) 0
3) Р
4) Q
6. Келесі өрнектердің қайсысы формула болады?:
1) ((P(( (Q(R )) ( (((P~ R ) (Q ))
2) ((P(Q) R) ... ... ... ((x(z )((x(y)
1) (x(y((z)
2) (x(y)(y(z)
3) y(z
8. 0 мәнді айнымалылардың тек (0,0) мәндер ... ... ... ... ... (x(y
3) x((y
4) (x ((y
9. формулаға пара-пар тек және ... ... ... ... ... )
2)  x(y
10. ДНФті табыңыз: (x~y) (( ( z(T )
1) ... ( ... x ... ... ... ... ... есептелімі формуласының ұғымы
Тұжырымдар есептелімі бұл интерпретациясы тұжырымдар алгебрасы ... ... ... ... сипаттамасына бұл есептелімі ... ... ... ... ... ... есептелімінің алфавиті үш түрлі символдардан тұрады:
1. Бұл символдарды ... ... деп ... Бұл символдар логикалық байланыс деген жалпы атауға ие.
Келтірілген ... ... ... ... логикалық қосу)
белгісі, екіншісі – конъюнкция (немесе ... ... ... ... ... және ... – терістеу белгісі.
3. Жақшалар деп аталатын символдар: (, ... ... ... символдар болмайды.
Тұжырымдар есептелімінің формуласы тұжырымдар есептелімі алфавитінің
символдарының тізбегі болады. Формула белгісі үшін ... ... ... ... Олар ... ... ... болмай,
формулалардың тек шартты белгілері болады.
Тұжырымдар есептелімі формуласының анықтамасы
1. Кез келген ... ... б ... Егер А және В – ... болса, онда сөздер де формулалар.
3. Ешқандай басқа символдардың қатары формула болмайды.
Айнымалы тұжырымдарды қарапайым формулалар деп атаймыз.
Тұжырымдар ... ... ... ... ... ... 1-ші бөлімі бойынша формулалар
болады. Бірақ, онда сөздер де ... 2-ші ... ... бола ... Сол ... ... ... де формула бола
алады.
Формула түсінігі мен бірге ішформула немесе формула ... ... ... формуланың ішформуласы оның өзі болады.
2. Егер формула ... ... онда оның ... ... А формуласы және А формуланың барлық ішформулалары болады.
3. Егер формула (А*В) (мұнда * – үш ... бірі деп ... ... онда оның ... ... өзі, А, В формулалары
және А мен В формулалардың барлық ішформулалары болады.
Формуладағы ... ... саны ... ... деп аталады.
2.2. Дәлелденетін формула ұғымы
Тұжырымдар есептелімінің құруда келесі кезең дәлелденетін (шығарылатын)
формулалардың класын бөліктеу болады.
Дәлелденетін формула анықтамасы формулалар ... ... ... ... ... формулалар (аксиомалар) анықталады, ал
содан кейін бар дәлелденетін ... жаңа ... ... ... беретін шығару ережелері анықталады. Бастапқы дәлелденетін
формулалардан шығару ережелерін қолдану көмегімен жаңа ... алу ... ... ... ... ... (дәлелдеуі)
деп аталады.
2.3 Тұжырымдар есептелімінің аксиомалар жүйесі
Тұжырымдар есептелімінің аксиомалар жүйесі төрт топқа бөлінетін ... ... ... тобы ... тек ... ... ... екінші тобы ( импликацияға конъюнкция қосылды):
:
: .
: .
Аксималардың үшінші тобы ( импликацияға дизъюнкция қосылды):
:
:
: ... ... тобы ... ... ...
:
2.4 ... ... Алмастыру ережесі (АЕ).
Егер А формуласы тұжырымдар есептелімінде шығарылатын (дәлелденетін)
формула, х – айнымалы, В – ... ... кез ... ... онда А ... х айнымалыны В формулаға алмастыру ... ... да ... ... ... ... х айнымалыны В формулаға алмастыру амалы алмастыру деп
аталады да ... ... ... ... А – ... ... болса, онда ├А деп жазамыз. АЕ
схематикалық ... ... ... болады:
├А____ .

Бұл жазылу былай оқылады: “Егер А формуласы шығарылатын (дәлелденетін)
болса, онда формуласы да шығарылатын ... ... ... ... ... А және А→В ... тұжырымдар есептелімінде шығарылатын
(дәлелденетін) болса, онда В ... да ... ... Бұл ... ... жазылуы мынадай болады:
├А;├А→В (Modus ... ... ... ... егер ... мен шарт ... ... онда
импликациядағы қорытынды тек ақиқат болуы мүмкін.
2.5 Дәлелденетін формуланың анықтамасы
а) Әрбір аксиома дәлелденетін формула болады.
б) Кез келген В формуласынан х ... ... ... ... алынған формула – дәлелденетін формула.
в) А және дәлелденетін формулаларға қорытындылау ережесін қолдану
нәтижесінде алынған В ...... ... ... ... ... ... басқа формуласы дәледенетін болып
саналмайды.
Дәлелденетін формулаларды шығару процесін ... ... деп ... Бұл бір ... ... әр ... ... және қорытындылау ережелерін қолдану көмегімен
басқа ... ... өту ... ... ... ... ... түрлендірулердің аналогі), сондықтан қарапайым
формуланың шығаруы да көпқадамды, күрделі болуы мүмкін.
2.6 Туынды шығару ережелері
Күрделі алмастыру ережесі ... ... ... ... шығару ережелері сияқты, жаңа
дәлелденетін формулаларды алуға мүмкіндік ... Бұл ... ... ... ... көмегімен алынған, сондықтан, олар туынды
ережелер деп аталады.
А – дәлелденетін формула, – ... ал – ... кез ... формулалары болсын. Онда А формулада ... ... ... ... ... формула
болады.
КАЕ схематикалық түрде былай жазылады:
├А______

Күрделі қорытындылау ... ... де ... ... ... нәтижесінде алынған
туынды ереже
түрдегі формулаларға қолданылады да былай анықталады:
егер және ... ... ... онда L ... ... формула.
Күрделі қорытындылау ережесі былай жазылады:
├А1, ├А2, …,├Аn, ├A1→(A2→(A3→(...(An→L) …))) .
├ L
Силлогизм ережесі
Егер А→В және В→С ... ... ... онда А→С ... ... ... .
├А→С
Контрапозиция ережесі
Егер А→В формуласы дәлелденетін болса, онда формула да ... А →В ... ... ... ... ... мұндай тұжырымдардың
дәлелдеу жолын көрсетеміз. алмастыруын орындап,
├(А→В)→├() ... ... ... шарт бойынша
├А→В
(2)
– дәлелденетін формула.
Онда (2) және (1) формулаларынан қорытындылау ережесі бойынша ├.
Екі еселі терістеу ережесі
а) Егер ... ... ... онда ... ... Егер ... дәлелденетін болса, онда формуласы да
дәлелденетін.
Схематикалық жазылулары: ├ А → және ├ ... ... ... ... қорытып шығару
Формулалардың Н={А1,А2,…,Аn} ақырлы жиынын қарастырамыз.
Н жиынынан шығарылатын формула ... Ai(H ... ... ... формула деп аталады.
2) Әрбір дәлелденетін формула Н-тан шығарылатын болады.
3) Егер С және С→В формулалар Н-тан шығарылатын болса, онда В ... ... ... ... ... В ... формулалардың Н жиынынан шығарылатын болса, онда
бұл былай жазылады: Н├В.
Н жиыны бос немесе тек ... ... ... ... Н
жиынынан шығарылатын формулалардың класы дәлелденетін формулалардың
класымен сәйкес ... де Н ... кем ... бір ... ... болса, онда Н-
тан шығарылатын формулардың класы дәлелденетін формулалар ... ... Н={А, В} ... ... шығатынын дәлелдеу
керек.
A(H және B(H болғандықтан, ... ... ... бойынша
Н├А,
(1)
Н├В. ... ... ... және алмастыруларды
орындаймыз.
Нәтижесінде Н-тан шығарылатын дәлелденетін формулаларды аламыз, яғни
Н├(А→А)→((А→В)→(А)), ... ... ... ... онда Н├А→А. ... және (3) ... ... ережесі бойынша
Н├(А→В)→(А))
(6)
алынады.
(2) және (4) формулалардан ... ... ... . ... және (6) ... ... ... бойынша:
Н├А . ... (1) және (8) ... ... ... ... тек қана қорытындылау ережесін емес,
күрделі қорытындылау ережесін пайдалануға мүмкін екендігі түсінікті. Онда
бұл ережені пайдаланып, (9) тұжырымды (5), (7), (1) және (3) ... ... ... Н ... жиынынан шығаруы деп әрбір мүшесі келесі
шарттарды қанағаттандыратын формулалардың В1,В2,…,Вк тізбегін айтамыз:
1) ол Н ... бір ... ... ол ... формула болады,
3) ол В1,В2,…,Вк тізбегінің алдынғы кез келген екі мүшесінен ... ... ... ... ... ... ... жиынынан шығаруы
формулалардың келесі ақырлы тізбегі болады:
А, В, (А→А)→((А→В)→(А)), (А→В), А→А, ... А→В, ... ... ... күрделі қорытындылау ережесін пайдалансақ, онда шығаруды былай
жазуға болады:
А, В, (А→А)→((А→В)→(А)), В→(А→В), А→А, А→В, . (5, 7, 1, ... ... ... және формулалар жиынынан шығару
анықтамасынан шығарудың келесі қасиеттері келіп шығады:
1) Н жиынынан ... ... ... ...... ... ... Егер Н тан шығарудың екі көршілес мүшелерінің арасында (басында ... ... Н тан ... қойсақ, онда формулалардың алынған жаңа
тізбегі Н тан ... ... Н ... ... әрбір мүшесі Н тан шығарылатын формула болады. Н
тан кез келген шығару оның соңғы формуласының шығаруы ... Егер ... онда Н тан кез ... ... W дан шығару болады.
5) В формуласы Н жиынынан шығарылатын болуы үшін бұл формуланың Н ... бар ... ... және ... Шығарылу ережелері
Бұл ережелер шығарудың қасиеттерінен алмастыру және қорытындылау
ережелерін қолдану арқылы тікелей ... ... және W – ... ... ... екі тобы болсын.
Н, W арқылы олардың ... ... яғни ... W жиыны тек бір С формуласынан тұратын ... ... Н, С ... ... ... ... көрсетейік.
1. H ├ A Бұл ... ... ... ... ... шығады: “Егер А формуласы Н тан шығарылатын болса, онда ол
тан да шығарылады. ”.
2. H,C ├ ... .
3. H,C ├ A, ... .
4. H ├ ... .
5. ... теоремасы: H, C├ A ... ... ... ... {C1, C1, …, Ck}├ ... ... ... ережесі: H├A,H├B .
H├
7. Дизъюнкцияны енгізу ережесі: ... ... ... ... мен ... ... ... байланыс
Тұжырымдар есептелімінің формулаларын тұжырымдар алгебрасының формулалары
ретінде қарастыруға болады. Ол үшін тұжырымдар ... ... ... ... яғни екі ... және ... ... қарастырамыз.
операцияларын тұжырымдар алгебрасында ... ... ... ... ... алгебрасының ережелері
бойынша есептелетін 1 немесе 0 мәндерінің біреуін ғана қабылдайды.
Тұжырымдар есептелімі формуласының мәні ... ... А ... есептелімінің формуласы, х1,х2,…,хn – өзара әртүрлі А
формуласына ... ... ... а1, а2,…,аn арқылы бұл
айнымалыларының ... ... ... (а1, ... ... 2n ... ... үш теорема орынды.
Теорема 1. Әрбір тұжырымдар есептелімінде дәлелденетін формула тұжырымдар
алгебрасында тепе-тең ақиқат болады.
Теорема 2. (шығарылу туралы). А – ... ... ... да ... ... ... – А формулаға енетін айнымалылардың тобы; а1,
а2, …, аn – бұл айнымалылар мәндерінің кез келген бекітілген тобы. Н ... ... ... ... где ... Егер ... болса, онда H├A .
2) Егер Ra1,a2,..,an(A)=0 болса, онда H├, мұнда Ra1,a2,..,an(A) –
А формуланың а1, а2,…,аn топтағы мәні.
Теорема 3. ... ... ... ... ақиқат формуласы
тұжырымдар есептелімінде дәлелденетін формула болады.
Тақырып бойынша тесттер
1. формуланың рангін табыңыз
7
6
5
4
2. формуланың рангін табыңыз
8
6
7
5
3. ... ... ... ... ... ... қайсысы формула болады?
Барлық жауаптар дұрыс
5. формула үшін алмастыру нәтижесін жазыңыз
6. формула үшін алмастыру нәтижесін жазыңыз
Глава 3. ... ... ... ұғымы
Анықтама 1. x1, x2, …, xn – пәндік ... ... ... ... (x1, x2, …, xn) топтары пәндік аймақ деп аталатын (
жиыныны тиісті болсын. ( пәндік аймағында ... ... ... ... тұжырымдар жиынына бейнелеуін айтады.
Мысалдарды қарастырар алдын n-орынды предикаттарға квазианықтама берейік:
Анықтама. «n айнымалыға ... және ... ... ие ... байланысты сөйлемі: айнымалылардың орнына анық мәндер қойылғанда
ақиқат немесе жалған ... 1. D(x1, x2) = «x1 ... саны x2 ... санына бөлінеді
(қалдықсыз)» - NN жиынында анықталған екі орынды предикат. Түсінікті,
D(4, 2)=1, D(3, 5)=0.
Мысал 2. Q(x) = «х2-3; x, yR» - екі ... ... ... x2, …, xn) - ( ... ... n-орынды предикат болсын.
Онымен келесі түрде анықталған екі жиынды байланыстырамыз:
IP={( x1, x2, …, xn )( ( | Р(x1, x2, …, xn)=1} – Р ... ... x1, x2, …, xn)( ( | Р(x1, x2, …, xn)=0} – Р ... ... 2. Р – (-да ... ... болсын. Егер IP=( (LP=() болса,
онда Р тепе-тең ... егер LP=( (IP=() ... онда Р ... ... деп ... IP ( ( және LP ( ( болса, онда Р ... ... деп ... ... 3 ... R(x, y, z) ... IP және ... ... (1 ... ... Предикаттарға логикалық амалдарды қолдану
Анықтама 3. Р – (-да анықталған предикат болсын. Р предикаттың ... ... және (-да ... ... анықталған предикат:
P және Q – (-да анықталған предикаттар болсын.
P және Q предикаттардың дизъюнкциясы ... ... ... былай белгіленетін , ( (,,
PQ), , ) және -да келесі түрде анықталатын ... 4. Егер ... ... кез ... ( x1, x2, …, xn ... ... ... үшін Р( x1, x2, …, xn ) Q( x1, x2, …,
xn ) болса, онда P және Q ... ... ... пара-пар
предикаттар деп аталады (PQ).
Теорема 1. аймағында анықталған n – ... ... ... ... ... құрайды, яғни олар үшін ... ... 19 ... ... ... |10. ... |11. ... |12. ... |13. ... |14. ... |15. ... |16. ... |17. ... |18. ... | ... 1 – -дағы тепе-тең ақиқат предикаттың, ал 0 – тепе-тең жалған
предикаттың белгілері.
Бұл ... ... ... ... ... ... ... қолданылатын амалдар көмегімен енгізілген, ... ... ... ... ... ... тұжырымдарға түрлендіретін амалдарды қарастырайық. М
жиынында анықталған Р(х) предикат берілсін. Егер “а” – М ... ... ... элементі болса, онда Р(х) предикатта х ... а ны қою ... Р(а) ... ... ... ... ... деп атайды.
Мысалы, Р(x): “х – жұп сан” – предикат, ал Р(6) – ақиқат тұжырым, Р(3) ... ... ... n – ... ... ... мүмкін: егер барлық
хi, i=, пәндік айнымалылардың орнына олардың мәндері қойылса, ... ... ... ... Бұл амалдардар да предикаттарды
тұжырымдарға ... ... – ( ... ... ... болсын. Бұл предикатқа предикат
тепе-тең ... ... ғана ... ... ... ... тұжырымы былай оқылады: “Кез келген х үшін Р(х) ақиқат ... Р(х) ... х ... ... ... кванторын ілу
көмегімен алынған деп айтады.
символын жалпылау кванторы деп ... Р(х) ... х ... ... ал тұжырымға – х жалпылау кванторымен байланған болып
енеді деп айтады.
Бар болу ... – ( ... ... ... ... Бұл ... предикат
тепе-тең жалған болғанда ғана жалған болатын ... ... ... ... ... P(x) ... болатын х табылады”.
символын бар болу (табылу) кванторы деп аиаймыз. тұжырымы ... х ... ... бар болу ... ілу ... алынған деп
айтады. х айнымалы бұл квантормен байланған болады.
Кванторлық ... көп ... ... да ... ... ( ... екі орынды P(x,y) предикаты берілсін. Предикаттың
айнымалыларына кванторларды ... ... ... алуға болады:
3.4 Предикаттар логикасының формуласының ұғымы
Предикаттар логикасында келесі символдарды пайдаланамыз:
1. p, q, r, … символдары – 1– ... ... 0 – ... екі мәнді
қабылдайтын айнымалы тұжырымдар;
2. x, y, z, … – ... М ... ... ... ... ... y0, z0 – ... тұрақтылар, яғни пәндік айнымалылардың мәндері.
3. P(·), Q(·), F(·), … - бір орынды предикаттық айнымалылар;
Q(·,·,…,·), R(·,·, …,·) – n-орынды ... ... ... …,·) – тұрақты предикаттардың символдары.
4. Логикалық амалдардың символдары:
5. Кванторлық ... ...
6. ... символдар: жақшалар, үтірлер.
Предикаттар логикасы формуласының анықтамасы
1. Кез келген тұжырым (қарапайым) формула болады.
2. Егер F(·,·, …,·) – ... ... ... ... ... ал x1, x2,…, xn – ... ... немесе пәндік
тұрақтылар болса, онда F(x1, x2,…, xn) – формула. Мұндай формула
қарапайым деп ... бұл ... ... ... бос,
кванторлармен байланбаған болады.
3. Егер А және В – формулалар (бұл формулаларға ... бір ... – бос ... ... онда ...... Егер А – формула болса, онда да – ... А ... ... ... ... ... ену түрі өзгермейді.
5. Егер А(х) – формула (бұл формулаға х ... ... бос ... онда және ... де ... 1 – 5 бөлімдерде айтылған сөздерден басқа сөздер формула болмайды.
Мысалы, егер Р(х) және Q(x,y) – бір орынды және екі ... ... q, r – ... тұжырымдар болса, онда келесі сөздер (өрнектер)
формулалар болады: .
Мысалы, сөзі ... ... ... ... бөлімнің шарты бұзылған:
формулаға х айнымалы ... ... ал Р(х) ... бос ... ... формуласы анықтамасынан тұжырымдар алгебрасының
әрбір ... ... ... формуласы болатыны түсінікті.
Предикаттар логикасының формуласының мәні
Формуланың логикалық мәні жайлы бұл формулаға кіретін ... ... ... ... ғана ... ... Формуланың логикалық мәні үш
түрлі айнымалылардың мәндеріне тәуелді: 1) формулаға енетін ... ... 2) М ... ... бос пәндік айнымалылардың
мәндеріне, 3) предикатты айнымалылардың мәндеріне.
Осы үш түрлі айнымалылардың анық ... ... ... ... ... жалған мән қабылдайтын тұжырым болады.
Мысал ретінде келесі формуланы қарастырамыз:
, ... ... екі ... Р(x, y) ... M(M ... анықталған, мұнда
M={0,1,2,…,n,…}, яғни M(M=N(N.
В формулу (1) формулаға кіретін P(x,y) айнымалы ... үш ... ... ... – у және z ... ... ал
үшіншісі х – бос.
P(x,y) предикаттың мәнін бекітеміз: P0(x,y)= «x

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Көлемі: 41 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 500 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Тұжырымдар алгебрасы. Тұжырымдар есептелімі24 бет
Геометриялық есептерді алгебралық, тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шығару әдістері47 бет
Инвестициялық жобаның техникалық негізделгендігін және сатып алынуын бағалауға қойылатын талаптар5 бет
Логика алгебрасы2 бет
Абай «Қарасөздерінің» ағылшын тіліне аударылған нұсқасындағы прагматикалық аспектісі, сонымен қатар лексикалық және стилистикалық жағынан қарастырылған сәйкестіктерді анықтау арқылы қазақ аударматану ғылымының дербес теориясы мен практикасына қатысты жалпы тұжырымдар43 бет
Буль алгебрасы9 бет
Интелектісі бұзылған балаға арнайы білім берудің мемлекеттік стандарты негізінде тұжырымдар10 бет
Кванттық теорияның басты тұжырымдарын тәжірибе жүзінде негіздеу.Франк және Герц тәжірибелері7 бет
Л.С. Выготскийдің оқыту және дамыту жөніндегі тұжырымдары27 бет
Л.С.Выготскийдің оқыту және дамыту жөніндегі тұжырымдары19 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь