Бір айнымалы функциялардың анықталмаған интегралдары мен интегралдау әдістері

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 4 бет
Таңдаулыға:

Бір айнымалылы функциялардың интегралдық есептеулері

Жоспар

Анықталмаған интеграл.
Анықталмаған интегралды интегралдаудың классикалық әдістері.
Тригнонометриялық өрнектерді интегралдау

Дифференциалдық есептеуде функциясы беріліп, оның туындысын таптық.

Енді кері есеп қарастырамыз: функцияның туындысы берілген, функцияны табу керек.

Анықтама 1. Егер кесіндісінің барлық нүктелерінде теңдігі орындалса, онда функциясы функциясының осы кесіндідегі алғашқы бейнесі деп аталады.

Теорема. Егер және -функциясының кесіндісіндегі алғашқы бейнелері болса, онда олардың айырмалары тұрақты сан болады.

Анықтама 2. функциясы -тің алғашқы бейнесі болса, онда өрнегі -функциясының анықталмаған интегралы деп аталады және символымен белгіленеді. Сонымен, анықтама бойынша егер . -интеграл астындағы (интегралданбақшы) функция, - интеграл астындағы өрнек, интеграл таңбасы.

Сонымен, анықталмаған интегралды функцияларының жиыны түрінде көрсетуге болады.

-функциясының алғашқы бейнесінің сызбасы графигі, функциясының интегралдық қисығы деп аталады.

Функцияның алғашқы бейнесін табу, оны интегралдау деп аталады.

Анықталмаған интегралдың анықтамасынан:

Анықталмаған интегралдың туындысы, интеграл астындағы функцияға тең, яғни егерболса, онда(4)
Анықталмаған интегралдың дифференциалы, интеграл астындағы өрнекке тең(5)
Функцияның дифференциалының анықталмаған интегралы осы функция мен тұрақты шаманың қосындысына тең.

Интегралдың таблицасы

1. . 9. .

2. . 10. .

3. . 11. .

4. . 12. .

5. . 13. .

6. . 14. .

7. . 15. .

8. . 16. .

Бұл теңдіктердің дұрыстығын (әділдігін) дифференциалдау арқылы анықтауға болады, яғни оң жағының туындысы интегралдың астындағы функцияны береді.

Анықталмаған интегралдың қасиеттерi.

Теорема 1. Бiрнеше функциялардың алгебралық қосындысының анықталмаған интегралы, осы интегралдардың алгебралық қосындысына тең

. (1)

Теорема 2. Тұрақты көбейткiштi интеграл таңбасының алдына шығаруға болады

. (2)

Теорема 3. (Интегралдау формуласының инварианттылығы) . Интегралдау формуласы тәуелсіз айнымалы шаманың орнына, оның дифференциалданатын функциясын қойғанда өзінің түрін сақтайды.

сонда (3)

Мұнда -кез-келген -тің дифференциал функциясы.

Интегралдарды есептегенде мына заңдылықтарды (ережені) пайдалану керек.

Егер, онда(4)

(5)

(6)

Айнымалыны алмастыру арқылы интегралдау

интегралын табу керек.

Интеграл астындағы өрнекте айнымалыны алмастырамыз

(1)

Мұнда -өзі де және туындысы да үздіксіз функция, кері функциясы бар функция. Сонда

(2)

Интегралданғаннан кейін, теңдіктің оң жағында -ның орнына -ті қоямыз.

Теңдіктің оң және сол жағындағы өрнектердің бірдей екендігін көрсету үшін, олардың -бойынша туындылары бір-біріне тең екенін көрсету керек. Оң жағы -ның күрделі функциясы, -бойынша дифференциалдаймыз, -аралық аргумент.

кері функцияны дифференциалдау ережесі бойынша .

Сонда

. Демек, өрнектің оң және сол жақтарының -бойынша туындылары тең.

функциясын (2) -теңдіктің оң жағындағы интеграл алынатындай етіп таңдап алу керек.

Тригонометриялық функцияларды интегралдау .

(1) - интегралын қарастырамыз, -рационал функция.

Бұл интеграл (2) алмастыруы арқылы рационал функцияның интегралына келеді.

, -ті арқылы өрнектейміз.

(3)

(4)

(2) -ші өрнектен

, . (5)

Cонымен , және , -арқылы өрнектелдi.

(2) -(5) өрнектерді (1) интегралға қойып, рационал функцияның интегралын аламыз

Бұл алмастыру түрiндегi кез келген функцияны интегралдауға мүмкіндік береді. Бұл алмастыруды универсалды деп атайды. Ол көп жағдайларда, басқа алмастыруларды қолданған қолайлырақ болады.

;
;
Егер интеграл астындағы функция тек-ке тәуелді (байланысты) болса, онда,, алмастыруы, бұл интегралды рационал функцияның интегралымен алып келеді.

Егер интеграл астындағы функциятүрiнде болса, бірақ мұнда, тек жұп дәрежесімен кіретін болса, онда

(2ў)

, ,

алмастыруы арқылы рационал функцияның интегралын аламыз.

а) интегралын қарастырайық, мұндажәне-ең болмағанда бiреуi тақ сан.

Айталық, -тақ сан, онда

б) , бұл жердегi мен -жұп және оң сандар.

Айталық , болсын

, (3)

жақшаны ашсақ, -тiң тақ және жұп дәрежелерiне байланысты мүшелер аламыз. Тақ дәрежелi мүшелер а) жағдайындай интегралданады. Жұп дәрежелi мүшелерінің дәрежесін (3) -шi формуланы пайдаланып төмендетіп, интегралына келтіреміз.