Бір айнымалылы функциялардың интегралдық есептеулері


Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі:  Материал
Тегін:  Антиплагиат
Көлемі: 4 бет
Таңдаулыға:   

Бір айнымалылы функциялардың интегралдық есептеулері

Жоспар

  1. Анықталмаған интеграл.
  2. Анықталмаған интегралды интегралдаудың классикалық әдістері.
  3. Тригнонометриялық өрнектерді интегралдау

Дифференциалдық есептеуде функциясы беріліп, оның туындысын таптық.

Енді кері есеп қарастырамыз: функцияның туындысы берілген, функцияны табу керек.

Анықтама 1. Егер кесіндісінің барлық нүктелерінде теңдігі орындалса, онда функциясы функциясының осы кесіндідегі алғашқы бейнесі деп аталады.

Теорема. Егер және -функциясының кесіндісіндегі алғашқы бейнелері болса, онда олардың айырмалары тұрақты сан болады.

Анықтама 2. функциясы -тің алғашқы бейнесі болса, онда өрнегі -функциясының анықталмаған интегралы деп аталады және символымен белгіленеді. Сонымен, анықтама бойынша егер . -интеграл астындағы (интегралданбақшы) функция, - интеграл астындағы өрнек, интеграл таңбасы.

Сонымен, анықталмаған интегралды функцияларының жиыны түрінде көрсетуге болады.

-функциясының алғашқы бейнесінің сызбасы графигі, функциясының интегралдық қисығы деп аталады.

Функцияның алғашқы бейнесін табу, оны интегралдау деп аталады.

Анықталмаған интегралдың анықтамасынан:
  1. Анықталмаған интегралдың туындысы, интеграл астындағы функцияға тең, яғни егерболса, онда(4)
  2. Анықталмаған интегралдың дифференциалы, интеграл астындағы өрнекке тең(5)
  3. Функцияның дифференциалының анықталмаған интегралы осы функция мен тұрақты шаманың қосындысына тең.

Интегралдың таблицасы

1. . 9. .

2. . 10. .

3. . 11. .

4. . 12. .

5. . 13. .

6. . 14. .

7. . 15. .

8. . 16. .

Бұл теңдіктердің дұрыстығын (әділдігін) дифференциалдау арқылы анықтауға болады, яғни оң жағының туындысы интегралдың астындағы функцияны береді.

Анықталмаған интегралдың қасиеттерi.

Теорема 1. Бiрнеше функциялардың алгебралық қосындысының анықталмаған интегралы, осы интегралдардың алгебралық қосындысына тең

. (1)

Теорема 2. Тұрақты көбейткiштi интеграл таңбасының алдына шығаруға болады

. (2)

Теорема 3. (Интегралдау формуласының инварианттылығы) . Интегралдау формуласы тәуелсіз айнымалы шаманың орнына, оның дифференциалданатын функциясын қойғанда өзінің түрін сақтайды.

сонда (3)

Мұнда -кез-келген -тің дифференциал функциясы.

Интегралдарды есептегенде мына заңдылықтарды (ережені) пайдалану керек.

  1. Егер, онда(4)

(5)

(6)

Айнымалыны алмастыру арқылы интегралдау

интегралын табу керек.

Интеграл астындағы өрнекте айнымалыны алмастырамыз

(1)

Мұнда -өзі де және туындысы да үздіксіз функция, кері функциясы бар функция. Сонда

(2)

Интегралданғаннан кейін, теңдіктің оң жағында -ның орнына -ті қоямыз.

Теңдіктің оң және сол жағындағы өрнектердің бірдей екендігін көрсету үшін, олардың -бойынша туындылары бір-біріне тең екенін көрсету керек. Оң жағы -ның күрделі функциясы, -бойынша дифференциалдаймыз, -аралық аргумент.

кері функцияны дифференциалдау ережесі бойынша .

Сонда

. Демек, өрнектің оң және сол жақтарының -бойынша туындылары тең.

функциясын (2) -теңдіктің оң жағындағы интеграл алынатындай етіп таңдап алу керек.

Тригонометриялық функцияларды интегралдау .

(1) - интегралын қарастырамыз, -рационал функция.

Бұл интеграл (2) алмастыруы арқылы рационал функцияның интегралына келеді.

, -ті арқылы өрнектейміз.

(3)

(4)

(2) -ші өрнектен

, . (5)

Cонымен , және , -арқылы өрнектелдi.

(2) -(5) өрнектерді (1) интегралға қойып, рационал функцияның интегралын аламыз

Бұл алмастыру түрiндегi кез келген функцияны интегралдауға мүмкіндік береді. Бұл алмастыруды универсалды деп атайды. Ол көп жағдайларда, басқа алмастыруларды қолданған қолайлырақ болады.

  1. ;
  2. ;
  3. Егер интеграл астындағы функция тек-ке тәуелді (байланысты) болса, онда,, алмастыруы, бұл интегралды рационал функцияның интегралымен алып келеді.

  1. Егер интеграл астындағы функциятүрiнде болса, бірақ мұнда, тек жұп дәрежесімен кіретін болса, онда

(2ў)

, ,

алмастыруы арқылы рационал функцияның интегралын аламыз.

  1. а) интегралын қарастырайық, мұндажәне-ең болмағанда бiреуi тақ сан.

Айталық, -тақ сан, онда

б) , бұл жердегi мен -жұп және оң сандар.

Айталық , болсын

, (3)

жақшаны ашсақ, -тiң тақ және жұп дәрежелерiне байланысты мүшелер аламыз. Тақ дәрежелi мүшелер а) жағдайындай интегралданады. Жұп дәрежелi мүшелерінің дәрежесін (3) -шi формуланы пайдаланып төмендетіп, интегралына келтіреміз.

в) Егер екі дәреже де жұп сан және оның бiреуi терiс болса, онда ( ) алмастыруын пайдаланамыз.

6) , , түрiндегi интегралдарды қарастырайық. Бұл интегралдарды төмендегi формулалардың жәрдемiмен түрлендiрiп есептеуге болады:

,

,

.

Негізгі әдебиеттер тізімі.
№:
Авторлары: Авторлары
Оқу құралы мен кітаптың аты.: Оқу құралы мен кітаптың аты.
Басылым, шыққан жылы.: Басылым, шыққан жылы.
№: 1
Авторлары: Пискунов Н. С.
Оқу құралы мен кітаптың аты.: Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т. 1
Басылым, шыққан жылы.: М: Наука, 1985
№: 2
Авторлары: Пискунов Н. С.
Оқу құралы мен кітаптың аты.: Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т. 2
Басылым, шыққан жылы.: М: Наука, 1985
№: 3
Авторлары: Бугров Я. С., Никольский С. М.
Оқу құралы мен кітаптың аты.: Дифференциальное и интегральное исчисление.
Басылым, шыққан жылы.: М: Наука, 1985
№: 4
Авторлары: Ильин В. А., Позняк Э. Г.
Оқу құралы мен кітаптың аты.: Основы математического анализа
Басылым, шыққан жылы.: М: Наука, 1982
№: 5
Авторлары: Бермант А. Ф., Араманович И. Г.
Оқу құралы мен кітаптың аты.: Краткий курс математического анализа для втузов
Басылым, шыққан жылы.: М: Наука, 1971
№: 6
Авторлары: Рябушко А. П.
Оқу құралы мен кітаптың аты.: Сборник индивидуальных заданий по высшей матем атике
Басылым, шыққан жылы.: Минск: Вышейшая школа, 2001
... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Көп аргументті функциялардың интегралдық есептеулері
Комплекс айнымалы жалпы дәрежелік функция
Көп айнымалылы функция
Жалпыланған үш өлшемді Мойсил-Теодереско теңдеулер жүйесі үшін нетерлік есеп
Сызықты жай дифференциалдық теңдеулер
Коэффициенттері тұрақты және айнымалы - ретті сызықты дифференциалдық теңдеулердің шешімін табуға операциялық есептеулерді қолдану
Mathcad программалау ортасы
Арнайы түрдегі бүтін функциялардың нөлдері
Математикалық талдау пәнінің оқу бағдарламасында қарастырылмайтын бөлімдерін зерттеу
Чебышев торындағы квадратуралық формуласының қалдық мүшесінің бағалауы
Пәндер



Реферат Курстық жұмыс Диплом Материал Диссертация Практика Презентация Сабақ жоспары Мақал-мәтелдер 1‑10 бет 11‑20 бет 21‑30 бет 31‑60 бет 61+ бет Негізгі Бет саны Қосымша Іздеу Ештеңе табылмады :( Соңғы қаралған жұмыстар Қаралған жұмыстар табылмады Тапсырыс Антиплагиат Қаралған жұмыстар kz