Тура және кері теоремалар. Қажетті және жеткілікті шарттар.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 4 бет
Таңдаулыға:

Тура және кері теоремалар.

Қажетті және жеткілікті шарттар.

Теоремаларды оқыту

Теорема ұғымын қатаң түрде анықтау тек формальды теорияларда кездеседі. Формальды емес теорияларда ( оның ішінде мектеп математика курсында) теорема ұғымына түсініктеме ғана беріледі: қисынды пайымдаулар арқылы дұрыс немесе бұрыстығы дәлелдеу нәтижесінде белгілі болатын пайым (сөйлем) теорема делінеді. Теорема грек сөзі, оның қазақша мағынасы «көз жеткіземін», «ойлап көремін».

Бұрын дәлелденген теоремалардан тікелей шығатын кейбір теоремаларды салдарлар деп атайды.

Салыстырмалы түрде дәлелдемесі қысқа, өз алдына дербес мәнге ие болмайтын және басқа теоремаларды дәлелдеу үшін ғана пайдаланылатын теоремаларды лемма (грек сөзі, қазақша табыс деген мағынада) дейді. Теорема дәлелдеуді қажет ететін кейбір маңызды ұйғарымдар түрінде де кездесуі мүмкін. Дәлелдеуді қажет ететін тек ақиқат пайымдар ғана теорема болады. Сонымен теорема деп ақиқаттығы дәлелдеу арқылы тағайындалатын математикалық сөйлемді айтады.

Теоремалардың тұжырымдамалары екі түрлі болады:

Кесімді теорема. Бұған мынадай теоремалар жатады: «Вертикаль бұрыштары тең», «Бір жазықтыққа перпендикуляр екі түзу өзара параллель», «Тіктөртбұрыштың диагональдары тең».
Шартты теорема. Шартты теоремаларға «Егер . . . болса, онда . . . болады» импликация түрінде тұжырымдалған теоремалар жатады. Мысалы, «Егер үшбұрыштың екі бұрышы тең болса, онда ол тең бүйірлі болады», «Егер түзу параллель түзулердің біреуіне перпендикуляр болса, онда ол екіншісіне де перпендикуляр болады».

Кез келген теорема үш бөліктен тұрады:

теореманың шарты;
теореманың қорытындысы;
теореманың түсінік беру бөлігі.

Теореманың шартында қандайда бір математикалық объектінің элементтерінің арақатынасы мен қасиеттері туралы ақиқат деректер айтылады. Мұны математикада теореманың берілгендері деп те атайды. Ал теореманың қорытындысы - теореманың шартының логикалық салдарыболытын (одан тікелей туындайтын) арақатыстар және қаситеттер. Теореманың түсіндірме бөлігінде тұжырымдаманың қай жиында қарастырылып отырғаны, яғни қарастырылып отырған ұғым объектінің қандай жиынына тиісті болатындығы көрсетіледі.

Теоремалардың түрлері. Теоремаларды олардың құрылысына қарай жай және құрама теорема деп бөледі. Теореманың шарты немесе қорытындысы екіден кем болмайтын пайымдардан тұрса, онда құрама, ал басқаша жағдайларды, жай деп аталынады.

Тура және кері теоремалар

Мектеп математика курсында тура және теоремалардың арақатынасын білу, оқушылардың математикалық ұғымдардың белгісі мен қасиеттері, «қажетті шарты», «жеткілікті шарты», «қажетті және жеткілікті шарттар», нүктелердің геометриялық орны т. б. мәселелерді саналы түсінуіне мүмкіндік береді.

Оқушылардың тура және кері теоремалардың мәнін дұрыс түсінбеуі нәтижесінде өзара кері теоремалар бірдей ойды білдіреді немесе тура теорема дұрыс болған жағдайда, оғар кері теорема да әрдайым дұрыс болады деген жаңсақ пікірлер қалыптасады.

Мектеп математика оқулықтарында тура және кері теоремалар тұжырымдалып, олар дәлелденгенімен өзара кері теоремалардың мән - мағынасы ашылмай қалады. Математикада өзара кері теоремалардың маңызы ерекше.

Мектеп математика курсында тура және кері теоремалармен оқушылар алғаш рет «Тең бүйірлі үшбұрыш» тақырыбын оқуда танысады. Әрине, тура және кері теоремаларды оқушылардың меңгеруі осы тақырыпты оқыту барысында түпкілікті шешіледі деуге болмайды. өзара кері теоремалардың логикалық құрылысы мен оның мән - мағынасын меңгеру ұзақ уақытты талап етіп, бүкіл математика курсын оқыту барысында жүзеге асырылады. Ол үшін оқыту үрдісінде мақсатты және жүйелі жұмыстарды жүргізуді қажет етеді. Ондай жұмыстар мынадай ретпен іске асырылады:

Теореманың шарты мен қорытындысын ажырата алу. Егер теорема кесімді түрде тұжырымдалған болса, оны шартты түрінде тұжырымдай алуға үйрету.
Тура теоремаға кері теореманы тұжырымдай алу.
Кері теореманың дұрыстығына көз жеткізу.
Қайсы теорема ұғымның белгісін, қайсысы ұғымның қасиетін білдіретінін анықтау.
Тура және кері теоремаларды пайдаланып есептер шығаруға жаттығу.

Қажетті және жеткілікті шарттар

Мектеп математика курсында «қажетті шарты», «жеткілікті шарты», «қажетті және жеткілікті шарт» ұғымдары оқушылардың логикалық ойлауын жетілдіруде, теоремаларды дәлелдеуде және көптеген есептер шығару үрдісінде кең түрде қолданылады.

Егер А қасиетінің орындалуынан В қасиетінің орындалуы келіп шықса, онда А қасиет В қасиетінің бар болуы үшін жеткілікті шарт болады. Мысалы, «Егерекі қосылғыштың әрқайсысы қандай да бір санға бөлінсе, онда олардың қосындысы да сол санға бөлінеді» деген пайымды былайша тұжырымдауға болады: «Екі қосылғыштың қосындысы қандай да бір санға бөлінуі үшін әрбір қосылғыш сол санға бөлінуі жеткілікті».

Егер А қасиет орындалмағанда, В қасиет те орындалмаса, онда А қасиет В қасиетінің бар болуы үшін қажетті шарт болады. Мысалы, төртбұрыштың бір жұп қабырғаларының параллель болуы, бұл төртбұрыштың параллелограмм болуы үшін қажетті шарт, бірақ әлі бұл жеткілікті емес.

Ұғымның кез келген сипаттық қасиеттерін оның анықтамасын тұжырымдау үшін негіз етіп алуға болады. Ондай жағдайда оның басқа сипаттық қасиеттері теоремалар ретінде тұжырымдалады. Мысалы, параллелограмм ұғымын «Диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінетін төртбұрыш параллелограмм деп аталынады» түрінде анықтауға болады. Ондай жағдайда «қарама - қарсы қабырғалары қос - қостан параллель болатын төртбұрыш параллелограмм болады» деген сөйлем теорема ретінде қарастырылуы керек.

Мысал. Егер ABCD төртбұрышы - ромб болса, ол параллелограмм болады.

Бұл пайымдауды қажетті шарт түрінде тұжырымдайық:

ABCD төртбұрышы ромб болу үшін, оның параллелограмм болуы қажет. ABCD төртбұрышы параллелограмм болмаса, ол ромб бола алмайды.

Егер ABCD төртбұрыш ромб болмаса, одан ABCD - ның параллелограмм бола алмайтындығы келіп шықпайды.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.