Ауыспалы таңбалы және дәрежелік қатарлар: жинақталу, Тейлор және Маклорен қатарлары мен қолданылуы

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 4 бет
Таңдаулыға:

Ауыспалы таңбалы қатарлар.

Тейлор және Маклорен қатарлары.

Жоспар

Ауыспалы таңбалы қатарлар.
Абсолютті және шартты жинақтылық.
Лейбниц теоремасы.
Функционалдық қатарлар және қатарлардың жинақтылық облысы.
Дәрежелік қатарлар және дәрежелік қатарлардың жинақтылығының радиусы мен интервалы.
Тейлор және Маклорен қатарлары.

Егер қатар мүшелерінің ішінде оң, әрі теріс сандар болса, онда қатар таңбасы ауыспалы деп аталады.

Егер қатар жинақталса, ал қатар жинақталмаса, онда қатары шартты жинақталу деп аталады.

Егер қатар жинақталса, онда қатары бұл жағдайда абсолютті жинақталу деп аталады.

, қатарында болсын.

Мұндай қатарлар таңбасы ауыспалы деп аталады да

және,

онда қатар жинақталады.

Жоғңарыдағы айтылған шерттарды қанағаттандыратын қатарды Лейбниц қатары деп атаймыз.

Теорема 1 . Егер қатар абсолютті жинақталса, онда ол мүшелерінің

кез келген орналасуында абсолютті жинақты болып қалады. Сонымен бірге қатар мүшенің ретіне тәуелді емес.

Теорема 2 . Егер қатар шартты түрде жинақталса, онда кез келген А санын алған, осы қатардың мүшелерін осы А санына тең болатындай етіп орналастыруға болады. Сонымен бірге жинақталатын қатар мүшелерін жинақталмайтын қатар болатындай етіп, орналастыруға болады.

Функционалдық қатарлар және қатарлардың жинақтылық облысы. Дәрежелік қатарлар және дәрежелік қатарлардың жинақтылығының радиусы мен интервалы.

Функцияның тізбегі берілсін:

Олардың анықталу облысы жалпы болып табылады.

Функционалдық қатар деп төмендегі функциядан құралған өрнекті айтамыз:

Функционалдық қатар осы облыстағы әрбір мәнінде сандық қатарға айналады.

Егер соңғы сандық қатар жинақталса, онда нүктесі функционалдық қатардың нүктесі деп аталады. Осындай жинақталатын нүктелердің жиынын функционалдық қатардың жинақталу облысы деп атайды.

Келесі түрдегі жазуды дәріжелік қатар деп атаймыз:

Мұндағы - сандар. болғанда дәріжелік қатар мына түрде болады:

Бұл қатар болғанда әр ақытта жинақталады. Егер ол нүктесінде жинақталса, және орындалатындай саны табылса, онда қатар жинақталады, ал жағдайында жинақталмайды. санын жинақталу радиусы деп, ал - жинақтылық интервалы деп атайды.

Егер дәрежелік қатар сандық осінде жинақталса, онда ; егер дәрежелік қатарболғанда жинақталса, онда .

Теорема 1. ( Абель теоремасы)

Егер дәрежелік қатар 0 - ге тең емес кез келген х ₀ мәнінде жинақталса, онда ол болғандағы х кез келген мәнінде абсолютті жинақталады.

Егер дәрежелік емес кез келген мәнінде жинақталса, онда ол болғандағы х кез келген мәнінде жинақталмайды.

Абель теоремасы жинақтылық нүктелерінің орналасуын анықтауға көмектеседі. болатындай R саны табылса онда абсолютті жинақтылықтың нүктелерін аламыз және керісінше.

Теорема 2 . Дәрежелік қатардың жинақталу облысы центрі координата бас нүктесінде болатын интервал болады.

Дәрежелік қатардың жинақталу интервалы деп -R ден +R-ге дейінгі интервалда орналасқан кез келген х нүктесі үшін қатар абсалютті жинақталады, ал сыртта орналасқан кез келген х нүктесі үшін қатаржинақталмайды.

Дәрежелік қатардың жинақталу радиусы мына формуламен есептеледі:

немесе

Салдар. Интервалда толығымен жатқан кесіндідегі дәрежелік қатарда үзіліссіз функция бар болады.

Тейлор және Маклорен қатарлары. Элементарлы функциялардың Тейлор қатарына жіктелуі. Тейлор қатарының қолданылуы.

Құрамында нүктесі бар қандай да бір интервалда функциясының туындылары бар болса, онда оған Тейлор формуласын қолдануға болады:

Мұндағы (- және х арасындағы айырмашылық, кез келген сан) . Егер х кез келген мәнінде да болса, онда шекке ұмтылғанда Тейлор формуласы Тейлор қатарына айналады:

болғанда

Осылайша, функциясы х мәніне қатысты Тейлор қатарына жіктеледі, егер :

Барлық ретті туындылары болса;
Қарастырылып отырған мән үшін да болса.

x элементарлы функцияның дәреже бойынша Тейлор қатарына жіктелуі:

Тейлор қатарының қолданылуы.

Кейбір жағдайда интегралдарды қатарлар арқылы есептеу ыңғайлы.

Көптеген қажетті анықталған интегралдар Ньютон - Лейбниц формуласы арқылы есептелінбейді, себебі көп жағдайда алғашқы функция элементарлы функция арқылы бейнеленбейді.

Егер интеграл астындағы функция дәрежелік қатарға жіктелсе, ал интеграл шегі осы қатарды ңжинақталу интервалына тиісті болса, онда интегралдың жуық мәні есептелінеді.

Мысал:

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.