Көп айнымалы функция дердес туындысы және толық дифференциалы.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 6 бет
Таңдаулыға:

Көп айнымалы функция дердес туындысы және толық дифференциалы.

Жоспар

Көп айнымалы функцияның (КАФ) негізгі түсініктері.
КАФ - ның шегі және үзіліссіздігі.
КАФ- ның дердес туындысы және толық дифференциалы.
КАФ - ның айқын емес және күрделі дифференциалдануы.

Анықтама 1. Егер берілген D облысынан алынған әрбір (х, y) жұбының мәніне толық анықталған u мәні сәкес келсе, онда айнымалы u шамасын х және y екі айнымалының функциясы деп аталады . Айнымалы х және у тәуелсіз айнымалылар немесе аргументтер деп аталады. D облысы функцияның анықталу облысы деп аталады. Екі айнымалының функциясы мына түде белгілейміз: . функциясының дербес мәні деп, кез келген анықталған аргументтер мәнінің жұбы на сәйкес келетін мәнді айтамыз. (х, y) аргументтер мәнінің жұбының әрбірі xOy жазықтығындағы P нүктесін анықтайды, ал осы нүктедегі функция мәні z аппликатасында кеңістік нүктесі М(x, y, z) болады. D обласында xOy жазықтығына бірмәнді проектіленеді. Осы табылған бет f (х, y) функциясының геометриялық бейнесі деп аталады.

Жалпы жағдайда, с қиын болуы мүмкін. Біз тек облыс жазықтықтың өлшемді немесе өлшемсіз бөлігі болған жағдайды қарстырудамыз. Бұл облыс бір немесе бірнеше үзіліссіз сызықтармен ─ облыс шекараларымен шектелген. Шекаралардың бірі нүктеге айналу жағдайы да қарастырылады. D облысы тұйық деп аталады, егер ол өзінің шекараларын қамтып жатса. Функциясының анықталу облысы функцияның анықтамасымен беріледі және осы функцияны анықтайтын геометриялық, физикалық және т. б. шарттармен қамтылады. Егер функция ешбір шарттарсыз аналитикалық түрде (формуламен) өрнектелсе, онда оның анықталу облысы ретінде аналитикалық өрнек алынады.

Анықтама 2. Егер берілген D облысынан алынған әрбір (х, y, z) үштігінің мәніне толық анықталған u мәні сәкес келсе, онда айнымалы u шамасын х, y, z үш айнымалының функциясы деп аталады да, былай белгіленеді: .

функциясының анықталу облысы, дербес жағдайда қандайда бір кеңістіктік облысты ─ көлемді құрайды. Кеңістіктік облыс мағынасы бір немесе бірнеше беттермен шектелген кеңістіктің бөлігі деп түсіндіріледі.

Екі айнымалы функциясының шегі. Р ₀ (х ₀ , у ₀ ) - жазықтықтың қандай да бір белгіленген нүктесі болсын, Р (х, у) нүктесі Р ₀ (х ₀ , у ₀ ) нүктесіне ұмтылады, яғни Р → Р _0. Бұл ρ әрпі арқылы белгіленетін РР ₀ қашықтығының нөлге ұмтылуын көрсетеді.

Анықтама 3 . Егер кез келген саны үшін Р ₀ (х ₀ , у ₀ ) нүктесінің маңайы табылып, осы маңайдағы Р (х, у) нүктесі үшін

теңсіздігі орындалса, онда b саны ұмтылғанда екі айнымалы функциясының шегі деп аталады.

Анықтама бойынша

екі айнымалы функция үшін қосындының, айырманың, көбейтіндінің шегі туралы теоремалар орынды.

Егер

1) Р ₀ (х ₀ , у ₀ ) нүктесінде және оның аймағында анықталса;

2) шегі бар болса;

3) бұл шек шектік нүтедегі функция мәніне тең болса, онда ф ункциясы Р ₀ (х ₀ , у ₀ ) нүктесінде үзіліссіз деп аталады.

Функция D облысында үзіліссіз, егер ол осы облыстың барлық нүктелерінде үзіліссіз болса. Р ₀ (х ₀ , у ₀ ) нүктесі функцияның үзілу нүктесі деп аталады.

Үзіліссіздік анықтамасының үш шарттарының бірі орындалмаса, . Берілген функцияның үзілу нүктесі бөлек орналасуы мүмкін, сонымен қатар бүкіл сызықтың бойында жатуы мүмкін.

Бір айнымалысы бар функция секілді Р ₀ (х ₀ , у ₀ ) нүктесіндегі екі айнымалы функцияның қосындысы, айырмасы және көбейтіндісі сол нүктеде үзіліссіз болады; Р ₀ (х ₀ , у ₀ ) нүктесіндегі функцияның дербес үзіліссіздігі осы нүктеде үзіліссіз болады, егер осы нүктеде бөлгіш нөлге айналмаса. Күрделі функцияның үзіліссіздігі туралы теорема да орынды.

бірінші ретті дербес туындылар. екі айнымалылы функцияны қарастырайық. Аргументтерінің бір мәнін белгілейік, мысалы у=у ₀ болсын. Сонда f (x, y ₀ ) функциясы х бір айнымалысы бар функция секілді х нүктесінде туындысы болады:

Бұл туынды х айнымалысы бойынша бірінші ретті дербес туынды деп аталады.

Бірінші ретті дербес туынды х=х ₀ болғанда у айнымалысын келесі түрде табамыз:

Р (х, у) - берілген нүкте болсын, ал P'(x+Δx¸y+Δy) - Δx и Δy аргументтерінің өсуіне жауап беретін жақын нүкте.

Пусть Р (х, у) - данная точка, P'(x+Δx¸y+Δy) - близкая точка, отвечающая приращениям аргументов Δx и Δy. Р (х, у) нүктесінде екі айнымалы функцияның толық өсімшесі деп, келесі айырманы айтамыз:

Δz=ƒ(P') -ƒ(P) =ƒ(x+Δx¸y+Δy) -ƒ(x¸y) .

Егер Δz өсімшесін келесі түрде жазатын болсақ,

мұндағы - и нүктелері арасындағы арақашықтықпен салыстырғанда шексіз аз болса, (яғни болғанда ), онда функциясы нүктесінде дифференциалданады, ал өсімшенің негізгі сызықтық бөлігі

нүктесінде функцияның толық дифференциалы деп аталады.

облысының әрбір нүктесінде дифференциалы бар функция, осы облыста дифференциалданады.

Р (х, у) нүктесінде екі айнымалылы функцияның толық дифференциалы мына формуламен есептеледі:

екі айнымалылы функция берілсін. Сонымен қатар функция аргументтері бір тәуелсіз айнымалының функциясы болсын: x=x(t), y=y(t), сонда, z бір тәуелсіз айнымалы t - ның күрделі функциясы болып табылады және оның туындысы төмендегі формуламен анықталады:

у =у (х) шарт орындалғандағы функциясын қарастырайық. Мұндағы z─ х бір айнымалы функциясы бар йнымалы:

Бұл функция туындысы келесі түрде есептеледі:

болсын, сонымен қатар және болсын. Сонда, дербес туындыларды мына формулалармн есептейміз:

Айқын емес функцияларды дифференциалдау. ─ х және у бойынша айқын емес функци деп аталады, егер ол мына теңдеумен берілсе,

Бұл и әрбәр мәнінде айқын емес функциялардың анықталу облысынан қанағаттандыратын мәнін қабылдайды дегенді білдіреді. .

Это значит, что при каждых значениях аргументов и, из области определения неявной функции, она принимает такое значение, для которого .

Егер - үш айнымалылардың дифференциалданатын функциясы және болса, онда теңдеуімен анықталған айқын емес функция да дифференциалданады, және оның дербес туындылары төмендегі формулалармен анықталады:

Жоғары ретті КАФ - ның туындысы және дифференциалы. КАФ - ның экстремумдары.

КАФ - тың жоғары ретті функция туындысы.

функциясы берілген болсын. функциясының екінші ретті дербес туындысы деп, бірінші туындыларынан яғни

дербес туынды тапқанды айтады, және екінші ретті дербес туындыны келесі символдармен белгілейді

Бұдан да жоғарғы ретті дербес туындылар аналогиялық түрде анықталып, белгіленеді. Айырмашылығы дифференциалдау ретінде болатын аралас туындылар (мысалы, и ), олардың үзіліссіздік шарттарында бірдей болады.

функциясы берілген болсын. функциясының екінші, үшінші және т. с. с. ретті дифференциалы мына формуламен анықталады:

және т. с. с.

Олардың дербес туындырлары келесі түрде өрнектеледі:

Үлкен санды функциясының жоғары ретті туындысы мен дифференциалы аналогиялық түрде анықталады.

Екі айнымалылы функцияның экстремумы.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.