Интервалдағы дифференциалданатын функциялардың негізгі теоремалары.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 4 бет
Таңдаулыға:

Интервалдағы дифференциалданатын функциялардың негізгі теоремалары.

Жоспар

Дифференциалданатын функциялар туралы теоремалар: Ферма, Ролль, Лагранж, Коши, Дарбу теоремалары.
Жоғары ретті туындылар мен дифференциалдар.
Функцияны зерттеу. Функияның ең үлкен және ең кіші мәндері

Жоғарғы ретті туындылар.

Екінші ретті туынды немесе екінші туынды, y=f(x) функциясының туындысын былай жазамыз: y'=f'(x) . Екінші ретті туындыны мына символдармен белгілейміз:y''немесе f''(x) . n- ретті туындысы немесе n- ші туындысы деп атаймыз.

Жоғарғы ретті дифференциал.

Dy Функциясының дифференциалы y=f(x) функциясы - Х- те былай жазылады:dy=f'(x) dx немесе dy=y'dx. Екіші ретті дифференциал былай жазылады:, , . мұндағы :n дифференциалдың аргументі болып саналады.

Параметрлік дифференциалдау.

Егер де х пен у функциялары t параметрінің x= φ(t), y=Ψ(t) функциялары берілсе, φ(t) және Ψ(t) дифференциалдың функция, болады. Онда туынды былай жазалады:

Дифференциалданатын функциялар туралы теоремалар: Ферма, Ролль, Лагранж, Коши, Дарбу теоремалары.

Ферма теоремасы. F(x) функциясы қандайда бір Х аралықта анықталған және бұл аралықтың ішкі С нүктесінде ең үлкен мәнді қабылдайтын болсын. Егер де бұл нүктеде шектеулі екі жақты f'(c) =0 туындысы бар болса, онда f(c) =0 болуы қажетті.

Дарбу теоремасы . Егер де f(x) функциясының [a, b] аралығында шектеулі туындысы болса, онда f'(x) функциясы f'(a) және f'(b) арасындағы әрбір санды өзінің мәні ретінде қабылдайды.

Ролль теоремасы. 1) f(x) функциясы тұйық [a, b] аралығында анықталған және үздіксіз

2) ең болмағанда ашық (a, b) аралығында шектеулі f(x) туындысы бар болсын;

3) аралықтың үштарындағы нүктедегі функция мәндері тең, яғни f(a) =f(b) болсын дейік. Ол уақытта а және b арасынан f'(c) =C болатын C(a, c, b) нүктесін табуға болады.

Лагранж теоремасы. 1) f(x) функциясы тұйық [a, b] аралығында анықталған және үздіксіз;

2) ең болмағанда ашық (a, b) аралығында шектеулі f'(x) туындысы бар болсын дейік. Сонда а мен b аралығынан теңдігі орындалатын c(a, c, b) нүктесі табылады.

Коши теоремасы . 1) f(x) және g(x) функциялары тұйық [a, b] аралығында үздіксіз;

2) ең болмағанда ашық (a, b) аралығында шектеулі f'(x) және туындылары бар; нүктеде

3) (а, в) аралығында g'(x) =0 . Ол уақытта а және в арасынан бір с(а <c<b) нүктесі табылып, бұл нүктеде

Лопитал ережесі . және анықталмаған шамаларды анықтау. Тейлор формуласы.

және анықталмаған шамаларды Лопитал ережесінің көмегімен есептейміз.

Лопитал ережесі: 1) немесе

2) f(x) және g(x) дифференциалдары болсын;

3) Мына шектерді қанағаттадырса:, онда жағдайда бұл өрнектердің екіншісі түріндегі анықталмағандықтан, үшіншісі түріндегі анықталмағандықты кескіндейді.

Тейлор формуласының қалдығы, 0<<1, Логранж теоремасынан қалғаны.

Функияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табу.

Функцияның өзгеруін бақылау. Монотонды фуынкциялар, кемімелі және өспелі функциялар. Теорема 1. f(x) функциясы Х аралығында анықталған әрі үздіксіз және бұл аралықтың ішінде шектеулі f'(x) туындысы бар дейік. Х аралығында f(x) тұрақты болу үшін Х ішінде f'(x) =0 шартының орындалуы қажетті және жеткілікті.

Теорема 2 . f(x) функциясы Х аралығында анықталған әрі үздіксіз және бұл аралықтың ішінде шектеулі f'(x) туындысы бар дейік. Х аралығында f(x) функциясы кең мағынада монотонды өспелі (кемімелі ) болуы үшін Х ішінде f'(x) ≥0 шартының орындалуы қажетті және жеткілікті.

Теорема 3. f(x) функциясының үздіксіздігі және оның f'(x) туындысының бар болуы туралы ұйғаруымыз сол күйінде сақталғанда, f(x) дәл мағынада монотонды өспелі(кемімелі) болуы үшін төмендегі шарттың орындалуы қажетті және жеткілікті: 1) Х - тің Х ішіндегі мәндерінде f'(x) ≥0

2) Х-тің бөлігі болатын еш бір аралықта f(x) туындысы нолге теңбе- тең айналмайды.

Функция экстремумы . Экстремумның бар болуының қажетілік және жеткіліктілік шарттары. Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері.

Анықтама. Егер де Хо нүктесін функция анықталған аралықта жатқан төңірекпен қоршауға мүмкін болса, бұл төңіректің барлық Хо нүктелерінде теңсіздігі орындалса, онда Хо нүктесінде f(x) функцияның максимумы (немесе минимумы) деп аталады.

Максимум және минимум нуктелерін қанағаттандыратын терминді - экстремум нүктесі, ал сол нүктенің атауын экстремум функциясы деп атаймыз.

Ферма теоремасы. F(x) Функциясы қандайда бір х аралықта анықталған немесе бұл аралықтың ішкі с нүктесінде ең үлкен (ең кіші ) мәнді қабылдайтын болсын . Егер де бұл нүктеде шектеулі екі жақты f'(c) туындысы бар болса, онда f'(c) =0 болуы қажетті.

Анықтама. Х=Хо нүктесі бірінші ретті критикалық нүкте, егерде мына ережелелерге сай келсе:

3. -функциясын қанағаттандырмаса, Х=Хо нүктесі көрсетілсе. Функцияның ең үлкен, ең кіші мәні.

Вейерштрасс теоремасы.

Егер f(x) функциясы шектелген тұйық [a, b] облысында анықталған және үздіксіз болса, онда ол шектелген функция, яғни оның мәндері шектеулі екі шекара арасында болады:m≤f(x, y) ≤M

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.