Көпмүшеліктер мен комплекстік сандар

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 9 бет
Таңдаулыға:

Жоспар

Комплекстік сандар және оларға амалдар қолдану.
Комплекстік сандардың тригонометриялық, көрсеткіштік формалары.
Көпмүшеліктерге амалдар қолдану. ЕҮОЕ,
Евклид алгоритмі. Негізгі теорема және оның салдарлары.

Квадраты теріс сан болатын нақты сан болмайды. Нақты сандар жиынын кеңейтуге тура келеді.

Анықтама. Квадраты минус бірге тең болатын санды жорамал бірлік деп атайды, ол былай белгіленеді: i ² = -1, i=.

Анықтама. Z= a+bі(1) тҮріндегі санды (мұндағы а, в R) комплекс сан деп атайды, бұл комплекс санның алгебралық түрі делінеді.

а - комплекс санның нақты бөлігі, ал ві - оның жорамал бөлігі деп аталады.

Z= а-ві саны Z=а+ві санына түйіндес комплекс сан деп атайды

комлекс санның геометриялық кескіні және оның тригонометриялық формасы. ХОу тікбұрышты декарттық координаталар жҮйесінде М нҮктесінің абсциссасы Z=а+ві комплекс санының нақты бөлігіне, ал ординатасы оның жорамал бөлігінің коэффициентіне тең болсын, яғни М(а; в) . Сонымен, тік бұрышты кординаталар жҮйесінің әрбір нҮктесіне бір комплекс са сәйкес келеді және керісінше, әрбір комплекс санға тік бұрышты кординаталар жҮйесінің белгілі бір нҮктесі сәйкес келеді.

ОМ векторының ұзындығы Z=а+ві санының модулі ал осы вектордың ОХ осінің оң бағытымен жасайтын бұрышын φ деп белгілейік.

r=ІZІ=- комплекс санның модулі,

(2) .

Сонда Z=a+bi комплекс санын

) (3)

түрінде жазуға болады, бұл комплекс санның тригонометриялық формасы.

(4)

формуласы Эйлер формуласы деп аталады, бұл формула тригонометриялық фукциялар мен көрсеткіштік функция арасындағы байланысты өрнектейді.

Эйлер формуласын пайдаланып, комплекс санды былайша жазуға болады:

(5) бұл комплекс санның көрсеткіштік формасы.

Комплекс санның бір формасынан екінші формасына көшуге болады.

2. Комплекс сандарға амалдар қолдану.

, және комплекс сандары берілсін.

А) Комплекс сандарды қосу және азайту

(6)

Ә) Комплекс сандарды көбейту.

(7)

немесе

(8)

Б) Комплекс санды натурал дәрежеге шығару

яғни (9)

(9) формуланы Муавр формуласы деп атайды.

В) Комплекс сандарды бөлу

немесе былайша орындауға болады:

(10)

Г) Комплекс саннан тҮбір табу

(11)

мұндағы К=0, 1, 2, …, n-1.

Көпмүшеліктерге амалдар қолдану. ЕҮОЕ, Евклид алгоритмі. Негізгі теорема және оның салдарлары.

Көпмүшеліктің х=х ₀ нүктедегі мәні деп х-тің орнына х ₀ -ді апарып қойғандағы шыққан санды айтамыз.

f(x) =a ₀ x ⁿ +a ₁ k ^n-1 +…+a _n

f(x ₀ ) =a ₀ x ₀ ⁿ +a ₁ x ⁿ⁺¹ +…+a _n

к-ның мәні 0-ге тең болатын айнымалының мәндерін -көпмүшеліктің түбірлері деп аталады.

f(x) =0

к-ның түбірлерін табу үшін n-ші дәрежелі теңдеуді шешу керек.

a ₀ x ⁿ +a ₁ х ^n-1 +…+a _n =0

a ₀ №0 -аға коэффицент

a _n -бос мҮше

f(x) көпмҮшелігін х-с 1-ші мҮшелігіне бөлейік

a ₀ x ⁿ +a ₁ х ^n-1 +…+a _n-1 х+а _n =( в ₀ х ^n-1 +в ₁ х ^n-2 +…+в _n-2 х+в _n-1 ) (х-с) +z

Екі көпмүшелік тең болуы үшін олардың х айнымалысының бірдей дәрежесінің алдындағы коэффиценттері тең болуы керек.

а ₀ =в ₀ Ю в ₀ = а ₀

а ₁ =в ₁ -в ₀ с Ю в ₁ = а ₁ +в ₀ с

а ₂ =в ₂ -в ₁ с Ю в ₂ = а ₂ +в ₁ с

а _n-1 =в _n-1 -в _n-2 с Ю в _n-1 = а _n-1 +в _n-2 с

а _n =r-в _n-2 c Ю r=a _n +в _n-1 c

a0: a ₀

a1: a ₁

a2………: a ₂ ………

an: a _n

: C

a0: a ₀

a1: a ₀ c+ a ₁

a2………: C(a ₀ c+ a ₁ ) + a ₂

an: a _n +в _n-1 c

Теорема: с саны f(x) көпмҮшелігінің тҮбірі болу Үшін f(x) -ті х-с-ға бөлгенде қалдық 0-ге тең болуы қажетті және жеткілікті.

КөпмҮшелікті х-с-ға бөлгенде z=f(c) болады.

f(x) =g(x) (x-c) +r f(c) =0; f(c) =r; r=0 f(x) = g(x) (x-c) .

Евклид алгоритмі. Өзара жай көпмүшеліктер.

f(x), g(x) берілген.

(1)

r _k+1 (x) =0

Ю f(x), g(x) бөлгіші.

. .

ϕ(x) - f(x), g(x) көпмҮшеліктерінің кез-келген ортақ бөлгіші.

(1) Ю

. . .

, r _k (x) f(x), g(x) - тың ең Үлкен бөлгіші.

Теорема: Егер d(x) f(x) g(x) көпмҮшелігінің ең Үлкен ортақ бөлгіші болса, онда f(x) U(x) +g(x) r _i (x) =d(x) орындалатындай U(x) ; V(x) табылады және deg m < deg g, deg V < deg f …

Егер f(x) U(x) +g(x) V(x) =1 болса, онда f(x), g(x) өзара жай көпмҮшелік

f(x), g(x) 0-дік емес көпмҮшеліктер болсын. f(x) -ты g(x) -ке бөлгенде қалдық 0-ге тең болса, онда f(x) g(x) -ке бөлінеді деп айтады. g(x) көпмҮшелігін f(x) -тің бөлгіші деп атайды. g(x) f(x) -тің көпмҮшелігі Ы f(x) =g(x) (x) орындалатындай көпмҮшелігі табылса .

КөпмҮшеліктің бөлінгіштік қасиеттері

1 ⁰ ;

;

2 ⁰ Егер екі көпмҮшелік f(x), g(x) -ке бөлінсе, онда олардың қосындысы

да, айырмасы да -ке бөлінеді.

3. көпмҮшеліктері -ке бөлінсе, онда кез-келген көпмҮшеліктері Үшін көпмҮшелігі де -ке бөлінеді.

4 ⁰ Кез-келген f(x) көпмҮшелігі 0-ші дәрежелі кез-келген көпмҮшелікке бөлінеді.

5 ⁰ онда ;

6 ⁰ , көпмҮшелігінің f(x) -тің дәрежесі мен бірдей дәрежесі болатын бөлімі f(x) көпмҮшелігінің өзі болады.

7 ⁰ f(x), g(x) көпмҮшеліктері бір-біріне бірдей уақытта бөліну Үшін теңдігінің орындалуы қажетті және жеткілікті.

8 ⁰ f(x) және g(x) көпмҮшелігінің біреуінің кез-келген бөлгіші екіншісінің де бөлгіші болады.

Көпмүшеліктердің ең үлкен ортақ бөлгіші

f(x), g(x) берілген

, болса Ю g(x) ортақ бөлгіші

Анықтама: 0-ден өзгеше f(x) және g(x) көпмҮшеліктерінің ең Үлкен ортақ бөлгіші деп олардың ортақ бөлгіші болатын және өзі басқа ортақ бөлгіштерге бөлінетін көпмҮшеліктерді айтамыз.

Анықтама: Е гер көпмҮшеліктің 0-ші дәрежелі ғана ортақ бөлгіштері болса,

онда олар өзара жай көпмҮшеліктер деп аталады.

Көпмүшеліктердің түбірлері, түбір еселігі. Виет формуласы.

Виет теоремасы.

Ах ² +вх+c=0

Х ₁ +х ₂ = -, х ₁ х ₂ =

Бас коэффициенті 1-ге тең n дәрежелі көпмҮшелік берілсін

f(x) =х ⁿ +а ₁ х ^n-1 +a ₂ x ^n-2 + . . . +a _n-1 x+a _n (1)

α ₁ , α ₂ , . . . α _n - көпмҮшеліктің тҮбірлері болсын. Сонда оның жіктелуі f(x) =(x-α ₁ ) (x-α ₂ ) . . . (x-α _n ) (2)

Жақшаларды көбейіп (1) -(2) теңдіктердің оң жақтарын салыстырып х-тің бірдей дәрежелерінің алдынғы коэффисентерін теңестіреміз.

A ₁ =α ₁ +α ₂ + . . . +α _n )

A ₂ =α ₁ α ₂ +α ₁ α ₃ +α ₁ α _n +α ₂ α ₃ + . . . +α _n-1 α _n

A ₃ =(α ₁ α ₂ α ₃ +α ₁ α ₂ α _n + . . . +α _n-2 α _n-1 α _n )

A _n-1 =(-1) ^n-1 (α ₁ α ₂ . . . α _n-1 +α ₁ α ₂ . . . α _n + . . . +α ₂ α ₃ α _n )

A _n =(-1) ⁿ α ₁ α ₂ . . . α _n

N=3 f(x) =x ³ +a ₁ x ² +a ₂ x+a ₃

A ₁ =-(α ₁ +α ₂ +α ₃ )

A ₂ =α ₁ α ₂ +α ₁ α ₃ +α ₂ α ₃

A ₃ = -α ₁ α ₂ α ₃

Мысал: α ₁ =2, α ₂ =-1, α ₃ =5, α ₄ =2

A ₁ =(2+(-1) +5+2=-8

A ₂ =(-2+10+4-5-2+10) =15

A ₃ =-(-10-4-10) =4

A ₄ =-20

F(x) =x ⁴ -8x ³ +15x ² +4x-20

Коэффицентері нақты көпмҮшеліктер.

Дәрежесі n≥1 f(x) коэффиценттері нақты болсын.

α -комплекс сан оның тҮбірі.

А ₀ α ⁿ +a ₁ α ^n-1 + . . . +a _n =0 онда α тҮйіндес α саны да осы көпмҮшеліктің тҮбірі болады.

A ₀ α ^-n +a ₁ α ^-n-1 + . . . +a _n =0 сонымен комплекс сан көпмҮшеліктің тҮбірі болса онда оған тҮйіндес санда көпмҮшеліктін тҮйіндес тҮбірі болады.

F(x) көпмҮшелік φ(x) =x ² -(α+α) x+αα квадратық көпмҮшеге бөлінеді. X ₁ =α=1+ί

X ₂ =α=1-ί x ₃ =1 x ² -2x+2

F(x) =(x-1) (x ² -2x-2) .

Рационал бөлшектер

, q(x) ≠0 рационал бөлшек деп атаймыз.

Мұндағы f(x), q(x) көпмҮшеліктер. Егер рационал бөлшектін алымы бөлімімен өзара жай болса онда бөлшек қысқартылмайтын бөлшек деп аталады. Егер deg f < deg q болса онда рационал бөлшек дұрыс бөлшек деп аталады.

Егер deg f > deg q бұрыс деп аталады.

Кез - келген бұрыс бөлшекті көпмҮшеліктің дұрыс бөлшектерінің қосындысы тҮрінде жазуға болады. Егер дұрыс рационал бөлшектің бөлімі х-α немесе х ² +px+q, D=p ² -4q<0 көпмҮшеліктің дәрежесі тҮрінде болса онда мұндай бөлшекті келтірілмейтін бөлшектер деп аталады.

Егер дұрыс рационал бөлшекің бөлімі келтірілген бөлшектіңбөлімдері тҮрде болса онда оны жай бөлшек деп атаймыз. Кез - келген дұрыс рационал бөлшекті жай бөлшектердің қосындысы тҮрінде жіктеуге болады.

1) 2) 3) 4)

Мысал:

A(x ² +2x+4) +(Bx+C) (x-2) =x ² +1

x=2 12A=5 A=

x ² :A+B=1

x ⁰ :4A-2c=1 2c=4a-1=

Дәрежесі бірден кіші емес сандық коэффиценттермен

берілген кез-келген көпмҮшеліктің кем дегенде бір тҮбірі болады. Теореманы дәлелдемес бұрын көмекші тұжырымдарды дәлелдейміз. f(x) - комплекс функциясы берілсін, х- комплекс аргументі.

Анықтама: Кез-келген саны Үшін, саны табылып, аргумент өсімшесі һ Үшін теңсіздігі орындалғанда - орындалса, онда f(x) фунуциясы нҮктесінде Үзіліссіз функция деп аталады.

Лемма:f(x) көпмҮшелігінің бос мҮшесі 0-ге тең болсын. Егер

саны Үшін болатын барлық х Үшін болатындай санын таңдауға болады. -саны берілген

(1) теңдеу бойынша 0<<1 және

сонымен бос мҮшесі 0-ге тең көпмҮшелік 0 нҮктесінде Үзіліссіз болады.

х-ң орнына х+һ-ты қоямыз.

дәрежесін Ньютон биномы формуласы бойынша жіктеп, һ бойынша бірдей дәрежелерді топтастырамыз.

(2) формула Тейлор формуласы деп аталады.

Теорема:Кез-келген f(x) көпмүшелігі кез-келген нүктесінде үзіліссіз.

Тэйлор формуласы бойынша

(3) теңдіктің сол жағындағы көпмүшелікте

бос мҮше 0-ге тең. Олай болса, жоғарыдағы лемма бойынша

теңсіздігінен көпмшелігінің Үзіліссіздігі шығады.

Негізгі теоремадан шығатын салдарлар

f(x) көпмҮшелігі берілсін, оның - тҮбірі болсын,

- тың тҮбірі болса, онда . Осы процесті жалғастыра беруге болады. Сонда төмендегідей жіктеу алынады

(1)

α ₁ , α ₂ , . . , α _n , - нақты немесе комплекс сандар. Бұл сандардың ішінде өзара тең сандар да болуы мҮмкін. (1) тҮрдегі жіктеу жалғыз ғана тҮрде болады. Егер көпмҮшеліктің еселік тҮбірі болса, онда оны мына тҮрде жазуға болады.

(2)

Үшінші және төртінші дәрежелі теңдеулер.

Төртінші дәрежелі теңдеу

(3) Теңдеудегі квадрат жақша ішіндегі өрнек қандай да бір өрнектің квадраты болатындай -ны іздейміз. Кватрат жақша ішіндегі өрнектің дискреминанты 0-ге тең болуы керек.

Сонда -ге қатысты кубтық теңдеу алдық.

-ң 1 мәнін тауып аламыз. Сонда (3) теңдеудегі [] -ішіндегі кв. ҮшмҮшеліктің тҮбірі

Түбірлер шекарасы. Штурм теоремасы. Көпмүшелік, теңдеу түбірлерін жуықтап шешу.

Егер көпмҮшелік тҮбірлерін айқын тҮрде таба алмасақ онда оның тҮбірлерінің шекарасын және тҮбірлер санын білу де маңызды.

F(x) =x ⁵ +3 x ³ +2 x ² -8 x-3 x-тің бҮтін мәндеріндегі бҮтін тҮбірін табамыз.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.