Евклидтік кеңістік

Жоспар
1. Евклидтік кеңістік: анықтама, базис және базис бойынша элементтерді жіктеу
2. Ортонормаланған базис
3. Оортогонализация процесі.

R сызықтық кеңістігі және D нақты сандар өрісі берілсін.
Анықтама: Егер нақты R сызықтық кеңістіктің әрбір х және у элементеріне түрінде белгіленетін бір нақты сан сәйкес қойылса, және төмендегі шарттар орындалса:
1)
2) ,
3) Кез келген саны үшін
4) Егер болса, онда және егер болса, онда
онда R сызықтық кеңістік нақты Евклид кеңістігі деп аталады, ал скаляр көбейтінді деп атаймыз.

Негізгі әдебиеттер.
№ Кітап аты Автор Шығарылу жылы
1 Лекции по алгебре Д.К. Фаддеев Москва «Наука» 1984г.
2 Геометрия(часть 1) Л.С. Атанасян В.Т. Базылев Москва «Просвещение» 1986г.
3 Алгебра 1том, 2 том А.Ж Жетпісов., М К. Сексенбаев Алматы «Баспа»

4 Курс высшей алгебры А.Г. Курош Москва «Наука» 1975г.
5 Аналитическая геометрия В.К.Ильин
Э.Г. Позняк Москва «Наука» 1988г.
6 Сызықтық алгебра және аналитикалық геометрия элементтері Т.Б.Булабаев
Ғ.С. Матақаева Алматы «Білім» 1995 ж.
7 Задачи по высшей алгебре Д.К. Фадеев, И.С. Соминский Санкт-Петербург «Лань» 2001г.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 4 бет
Таңдаулыға:

Евклидтік кеңістік
Жоспар
1. Евклидтік кеңістік: анықтама, базис және базис бойынша элементтерді
жіктеу
2. Ортонормаланған базис
3. Оортогонализация процесі.
R сызықтық кеңістігі және D нақты сандар өрісі берілсін.
Анықтама: Егер нақты R сызықтық кеңістіктің әрбір х және у элементеріне
түрінде белгіленетін бір нақты сан сәйкес қойылса, және төмендегі

х, у

шарттар орындалса:
1)
2)

х, у

у , х

х1 х 2 , у

х1 , у х2 , у

3) Кез келген
4)

х, x

Егер

0

х 0

,

х1 , х2 R

саны үшін

болса, онда

х, у

х, x

у, х

0,

және егер

болса, онда

х 0

0

онда R сызықтық кеңістік нақты Евклид кеңістігі деп аталады, ал
скаляр көбейтінді деп атаймыз.
Мысал
нақты

х1 , х2 , ... , хn

сандар

болғанда

х, у

x х1 , х2 , ... , хn

элементтерінің жиынының сызықтық кеңістік болатындығын білеміз, бұл
жиынды
түрінде белгілейік.
және у векторларына сәйкес
Rn

x Rn

скалярлық көбейтіндіні

түрінде

анықтасақ,

х, у

мұнда

x1 y1 x2 y 2 ... xn y n1
y y1 , y 2 , ... , y n

y

нақты

шарттардың орындалатындығын тексеруге болады.Олай болса,
кеңістігі

х, у

x1 y1 x2 y 2 ... xn y n1

скаляр

сандар,
Rn

көбейтіндісіне

1)-4)

сызықтық
қарағанда

евклидтік кеңістік болады.
Осы кеңістікте скаляр көбейтіндіні басқаша анықтауға болады:
Бізге
квадраттық матрицасымен анықталатын квадраттық
А j

форма берілсін:

n

n

А x, x k x y k
1 k 1

квадраттық формасы оң анықтылытын және симметриялы болсын.

А х, х

Сонда,
n

n

А x, у k x y k
1 k 1

қатынасымен скаляр көбейтіндіні анықтаймыз. Одан кейін 1)-4) шарттар
орныдалады, сондықтан бұл анықталған скаляр көбейтіндіндіге қарағанда
евклидтік сызықтық кеңістік болады.
Rn

Евклид кеңістігінің кейбір қасиеттері:
Евклид кеңістігінің кез келген х,у векторлары үшін Коши – Буняковский
теңсіздігі орындалады. Шындығында,

х

у , х у

0

болады.

х

у, х у

2 х, х

2 х, у у, у 0

Сондықтан, бұл квадраттық теңсіздік орындалу үшін

х, у х, х у, у 0
( х, у ) 2 ( х, х)( у, у )

теңсіздігі дұрыс болады. Дәлелденді.
Анықтама. Егер R сызықтық кеңістігі әрбір х векторы үшін норма деп
аталатын
түрінде белгіленген нақты сан сәйкес қойылса, және төмендегі
х

шарттар орындалса,
10. Егер х нөлдік емес элемент бар болса, онда
онда

х 0

, ал егер

х 0

болса,

х 0

2 . Кез-келген х элементі және
0

нақты саны

үшін

х * х

30.Кез -келген х және уэлементтері үшін ұшбұрыш теңсіздігі (немесе
Маяковский теңіздігі )деп аталатын

х у х у

орындалса, R сызықтық кеңістігін нормаланған кеңістік деп аталады.
Теңсіздік Минковский немесе үшбұрыштар теңсіздігі деп аталады.
Теорема: Кез келген евклид кеңістігі үшін х векторының нормасы

х, х

х

түрінде анықтауға болады. Басқаша, айтқанда ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.