Евклидтік кеңістік: анықтама, скаляр көбейтінді, норма және ортонормаланған базис

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 4 бет
Таңдаулыға:

Евклидтік кеңістік

Жоспар

Евклидтік кеңістік: анықтама, базис және базис бойынша элементтерді жіктеу
Ортонормаланған базис
Оортогонализация процесі.

R сызықтық кеңістігі және D нақты сандар өрісі берілсін.

Анықтама: Егер нақты R сызықтық кеңістіктің әрбір х және у элементеріне түрінде белгіленетін бір нақты сан сәйкес қойылса, және төмендегі шарттар орындалса:

2) ,

3) Кез келген саны үшін

4) Егер болса, онда және егер болса, онда

онда R сызықтық кеңістік нақты Евклид кеңістігі деп аталады, ал скаляр көбейтінді деп атаймыз.

Мысал нақты сандар болғанда элементтерінің жиынының сызықтық кеңістік болатындығын білеміз, бұл жиынды түрінде белгілейік. және у векторларына сәйкес скалярлық көбейтіндіні

түрінде анықтасақ, мұнда нақты сандар, 1) -4) шарттардың орындалатындығын тексеруге болады. Олай болса, сызықтық кеңістігі скаляр көбейтіндісіне қарағанда евклидтік кеңістік болады.

Осы кеңістікте скаляр көбейтіндіні басқаша анықтауға болады:

Бізге квадраттық матрицасымен анықталатын квадраттық форма берілсін:

квадраттық формасы оң анықтылытын және симметриялы болсын. Сонда,

қатынасымен скаляр көбейтіндіні анықтаймыз. Одан кейін 1) -4) шарттар орныдалады, сондықтан бұл анықталған скаляр көбейтіндіндіге қарағанда евклидтік сызықтық кеңістік болады.

Евклид кеңістігінің кейбір қасиеттері:

Евклид кеңістігінің кез келген х, у векторлары үшін Коши - Буняковский теңсіздігі орындалады. Шындығында,

болады.

Сондықтан, бұл квадраттық теңсіздік орындалу үшін

теңсіздігі дұрыс болады. Дәлелденді.

Анықтама. Егер R сызықтық кеңістігі әрбір х векторы үшін норма деп аталатын түрінде белгіленген нақты сан сәйкес қойылса, және төмендегі шарттар орындалса,

1 ⁰ . Егер х нөлдік емес элемент бар болса, онда, ал егер болса, онда

2 ⁰ . Кез-келген х элементі және нақты саны үшін

3 ⁰ . Кез -келген х және уэлементтері үшін ұшбұрыш теңсіздігі (немесе Маяковский теңіздігі ) деп аталатын

орындалса, R сызықтық кеңістігін нормаланған кеңістік деп аталады. Теңсіздік Минковский немесе үшбұрыштар теңсіздігі деп аталады.

Теорема: Кез келген евклид кеңістігі үшін х векторының нормасы

түрінде анықтауға болады. Басқаша, айтқанда кез келген евклид кеңістігін нормалауға болады.

Кез келген нақты R евклид кеңістігінде х және у элементтері үшін «ұғымын » анықтауға болады. Шындығында, х және у элементтерінің арасында бұрышы деп

анықтамасымен анықталатын бұрышын айтамыз.

Егер х және у векторының скалярлық көбейтіндісі нөлге тең болса, онда оларды ортогональдық векторлар деп атаймыз.

Егер х және у элементтері ортогональды болса, онда х+у элементін гипотенуза деп атаймыз, ол х және у катеттер і деп атаймыз.

Сонда, Пифогор теоремасын нормаланған евклид кеңістігінде дәлелдеуге болады:

болсын, сонда

n өлшемді евклид кеңістігінің ортонормальдік базисі.

Анықтама: Егер n өлшемді евклид кеңістігінің - дер үшін

шарттары орындалса, онда базисін ортонормаланған базис деп атаймыз.

Теорема: Кез келген n өлшемді евклид кеңістігінде нормальдік базис бар.

R евклид кеңістігінің базисі берілсе, онда төмендегі ортонормальдық базис табуға болады: берілген болса, онда

, мұнда . . .

Бұл әдісті ортономальдық процестік әдіс деп атайды.

Ортонормальдік базистің қасиеттері.

Ортонормальдық базисте векторлардың скаляр көбейтіндісі сол базистегі сәйкес координаталардың көбейтіндісінің қосындысына тең. n өлшемді R евклид кеңістігінің базисі болсын және

десек. Сонда

2) Енді деп есептейік.

Сонымен, х векторының ортонормалбдық базистегі k координаты х векторымен базистік вектордың скалярлық көбейтіндісіне тең.

Негізгі әдебиеттер.

№: №

Кітап аты: Кітап аты

Автор: Автор

Шығарылу жылы: Шығарылу жылы

№: 1

Кітап аты: Лекции по алгебре

Автор: Д. К. Фаддеев

Шығарылу жылы: Москва «Наука» 1984г.