Сызықтық кеңістік

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 6 бет
Таңдаулыға:

Сызықтық кеңістік

Жоспар

Сызықты кеңістік: анықтама, өлшемділігі, базис және элементтерді базис бойынша жіктеу.
Сызықты кеңістіктің изоморфмдылығы.

Бұл модульде қандайда бір әдіспен элементтерді қосу және нақты санға элементті көбейту амалдары анықталып, сонымен қатар айтылған амалдар геометриялық векторларға жүргізілген амалдар секілді олардың қасиеттеріне ие болатын табиғатта кездесетін көптеген объектілер қарастырылады. Мұндай жиындар сызықты кеңістіктер деп аталып, осы модулде бекітілетін бірқатар қасиеттерге ие болатынын көреміз

Анықтама 1. Еркін алынған элементтерден құралған жиынын сызықты кеңістік деп, ал оның элементтерін - векторлар деп атаймыз, егер төмендегі үш шарт орындалса:

1. жиынының кез келген екі және элементтері үшін осы жиынның үшінші элементі сәйкес қойылатын екі және элементтің қосындысы деп аталатын және символымен белгіленетін ереже бар болады.

2. жиынының кез келген элементі мен кез келген нақты саны үшін осы жиынның екінші элементі сәйкес келетін элементінің кез келген нақты санына көбейтіндісі деп аталатын және немесе символымен белгіленетін ереже бар болады.

3. Айтылған ережелер келесі 8 аксиомаға бағынады:

3. 1) коммутативті қосу ;

3. 2) ассоциативті қосу ;

3. 3) кез келген элементі үшін орындалатындай нөлдік элемент бар болады;

3. 4) кез келген элементі үшін орындалатындай қарама-қарсы элемент бар болады;

3. 5) кез келген элементі үшін теңдік орындалады;

3. 6) кез келген элементі үшін және кез келген және сандары үшін келесі теңдік орынды: (сандық көбейткішке қатысты ассоциативтік қасиет ) ;

3. 7) кез келген элементі үшін және кез келген және сандары үшін келесі теңдік орынды: (сандық көбейткішке қатысты дистрибутивтік қасиет ) ;

3. 8) кез келген және элементтері үшін және кез келген саны үшін келесі теңдік орынды: (элементтердің қосындысына қатысты дистрибутивтік қасиет ) ;

сызықты кеңістіктің элементтерін көбіне векторлар деп атайды.

Егер анықтаманың 2) шарттындағы нақты сан болса, онда сызықты кеңістігін нақты сызықты кеңістік деп атаймыз.

Сызықты кеңістік ұғымын түсіндіру барысында табиғаттағы зерттелетін объектілер ғана емес, сонымен қатар элементтерді қосу және элементті санға көбейту ережелерінің нақты түріне назар аударылады. ( ең маңыздысы бұл ережелер 8 аксиоиманы қанағаттандыруы тиіс)

«Векторлық алгебра» атты №2 модульде векторлардың сызықты тәуелділігі жайлы айтылған болатын. Бұл ұғымды сызықты кеңістіктегі элементтердің сызықты тәуелділігі ары қарай қорытындылайды.

элементтері бар нақты сызықты кеңістігін қарастырайық.

Анықтама 2. элементтер жүйесінің сызықты комбинациясы деп, осы элементтердің кез келген нақты санға көбейтіндісінің қосындысын айтамыз, яғни

, (1)

мұндағы - кез келген нақты сандар.

Анықтама 3 . кеңістігінің элементтер жүйесі сызықты тәуелді деп аталады, егер нөлге тең емес тұрақтылары бар болып, төмендегі теңдік орындалса:

. (2)

Анықтама 4 . кеңістігінің элементтер жүйесі сызықты тәуелсіз деп аталады егер нөлге тең емес тұрақтылары үшін төмендегі теңдік орындалса:

(3)

Теорема 1. кеңістігінің элементтер жүйесі сызықты тәуелді болуы үшін осы элементтердің бірі қалған элементтердің сызықты комбинациясы болуы қажетті және жеткілікті.

Кері тұжырым элементтердің сызықты тәуелсіз қағидасын сипаттайды.

Егер кеңістігінің элементтер жүйесінің бір элементі қалған элементтердің сызықты комбинациясы бола алмаса, онда элементтер жүйесі сызықты тәуелсіз.

Сызықты кеңістік аксиомаларынан бірнеше қарапайым қасиеттер туындайды:

1-қасиет. Егер кеңістігінің элементтерінің арасында нөлдік элемент бар болса, онда элементтер жүйесі сызықты тәуелді.

2-қасиет. Егер кеңістігінің элементтер жүйесінде сызықты тәуелді ішкі жүйе бар болса, онда ол сызықты тәуелді.

3-қасиет Егер элементтер жүйесі сызықты тәуелсіз болса, онда оның кез келген ішкі жүйесі де сызықты тәуелсіз болады.

Сызықты кеңістікте кез келген вектордың сызықтық комбинациясын құруға болады.

«Векторлық алгебра» атты №2 модульде мұндай жолдар көптеп қарастырылған. кеңістігінде кез келген екі коллинеар емес вектор базис құрады және бұл жұп векторлар арқылы жазықтықтағы кез келген вектор сызықты тәуелді комбинация түрінде анықталады. Сәйкесінше (кеңістіктегі векторлар жиыны) кеңістігінде кез келген үш компланар емес веторлар базис құрайды.

Анықтама 5. кеңістігінің элементтерінің сызықты тәуелсіз жүйесін сызықты кеңістігінің базисі деп атайды, егер кеңістігінің әрбір элементі үшін нақты сандары табылып, келесі теңдік орындалса,

. (4)

Сонымен қатар (4) теңдік элементінің базисі бойынша жіктелуі деп, сандары элементінің координаталары деп аталады . ( базасына қатысты) .

Базис бойынша жіктелудің бар болуы және оның жалғыз болуы туралы теорема. Сызықты кеңістікте кез келген элементтің базис бойынша жіктелуі жалғыз болады.

Базис анықтамасынан ол қысқартылған элементтер жүйесі екенін байқаймыз. Ал бұл, жүйедегі элементтердің ретін өзгертіп, басқа базис алатынымызды көрсетеді. Базистегі элементтер ретін кез келген элементті жіктеудегі коэффициенттердің ретін анықтау үшін белгілейді. Бұл жағдай сызықты комбинацияны өзгертуге алып келеді және нәтижесінде жазу біршама ықшамдалады. Базистегі элементтер реті нөмірлер арқылы анықталады.

Базисте элементтердің ретін белгілеудің тағы бір ерекшелігі - сызықты кеңістікте элементтер қатынасы үшін матрицалық әдісті енгізу. Берілген сызықты кеңістікте базисін жолы, ал элементінің координаталары бағандары болатын матрица түрінде жазуға болады:

(5)

базисі бойынша элементінің жіктелуі мынадай түрде болады:

Немесе матрица жолын матрица бағанына көбейтіп жазуға да болады:

Теорема 2. сызықты кеңістікте кез келген екі элементтің қосындысы бір базада олардың сәйкес координаталары қосылады, ал кез келген элементтің қандай да бір санға көбейтіндісі кезінде осы элементтің әрбір координатасы осы санға көбейтіледі.

Анықтама 6. Сызықты кеңістіктегі базис векторларының саны кеңістіктің өлшемі деп аталады. Сызықты кеңістіктің өлшемділігін мынадай түрде белгілейді: .

Егер сызықты кеңістіктің өлшемі тең болса, онда векторлардан тұратын базис бола алатын сызықты тәуелсіз жүйе бар болады және келесі түрде белгіленеді: . Сызықты кеңістіктен құрамында шексіз элементтер жиыны бар сызықты тәуелсіз жүйені таңдап алуға болады. Мұндай сызықты кеңістіктер шекті өлшемді кеңістіктер деп аталады. өлшемді сызықты кеңістікте бірнеше элементтерден құралған сызықты тәуелсіз жүйелер бар болғандықтан, олардың кез келгенін базис ретінде таңдап алуға болады. Бір сызықты кеңістіктің кез келген екі базисіде өлшеміне тең элементтер саны болады.

Сызықты кеңістікте барлық базалар теңқұқылы. Олар жағдайға байланысты таңдалып отырады. Кейде сызықты кеңістік үшін бірнеше базаны таңдап алу қолайлы болады, бірақ онда базистің өзгеруіне байланысты элементтер координаталарын түрлендіру туралы мәселе туындайды.

-өлшемді сызықтық кеңістікте екі база берілсін: ескі және жаңа . Кез келген элементті базисі бойынша жіктеуге болады. Дербес жағдайда базистегі әрбір элемент базистегі элементтің сызықтық комбинациясы түріде бейнелене алады:

, (6)

мұндағы . Алынған өрнекті матрицалық формада жазсақ:

, мұндағы (7)

немесе

, мұндағы . (8)

базисі бойынша элементтерінің координаталырынан құралған элементерінен тұратын матрицасын базистен базиске өту матрицасы деп атаймыз.

Өту матрицасының келесі қасиеттері бар::

1- қасиет . Өту матрицасы туындалмаған және оның әрқашанда кері матрицасы болады.

2- қасиет. Егер - өлшемді сызықтық кеңістікте базис берілсе, онда осы сызықтық кеңістікте кез келген туындалмаған ретті квадрат матрица үшін базис бар болады және квадрат матрицасы базистен базиске өту матрицасы болып табылады.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.