Екінші және үшінші ретті анықтауыштар және олардың қасиеттері. Крамер формуласы

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 7 бет
Таңдаулыға:

Екінші және үшінші ретті анықтауыштар және олардың қасиеттері. Крамер формуласы

Жоспар

Екінші және үшінші ретті анықтауыштар және олардың қасиеттері. Анықтауыш қасиеттері. n-ші ретті анықтауыштар.

Крамер формуласы

Екінші ретті квадрат матрицаны 2-ші ретті А матрицасының анықтауышы (детерминант) деп аталатын ұғыммен сәйкестендіруге болады. Анықтауыштың математикалық мағынасы сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешумен тығыз байланысты.

Анықтама. Екінші ретті анықтауыш деп

белгісімен белгіленіп,

теңдігімен анықталған санды айтады.

сандары анықтауыштың элементтері деп, - сандары орналасқан анықтауыштың диагоналын - бас диагональ , ал - сандары орналасқан диагоналды қосымша диагональ деп атайды.

- элементтінің миноры деп, берілген анықтауыштың -ші жатық жолы мен -ші бағанасын сызып тастағаннан шыққан анықтауышты айтады. Мысалы, анықтауыштың элементтінің миноры,

- элементің алгебралық толықтауышы - деп

формуласымен анықталған анықтауышты айтады.

Үшінші ретті квадрат матрицаны 3-ші ретті матрицаның анықтауышы (детерминант) деген ұғыммен сәйкестендіруге болады.

Анықтама. Үшінші ретті анықтауыш деп

белгісімен белгіленетін,

теңдігімен анықталған санды айтады.

Үшінші ретті анықтауыштың оң жағындағы өрнек үшбұрыш ережесі немесе Саррюс ережесі деп аталады. Оның алғашқы үш мүшесінің біріншісі бас диагональда түрған элементтердің көбейтінді, ал қалған екеуі оған параллель жатқан кіші диагоналдардан қарама-қарсы бұрыштағы элементпен үшбұрыш жасап, олардың төбесіндегі элементтердің көбейтіндісі болса, ал қалған соңғы үш қосылғыш осы тәсілмен қосымша диагоналда және жасалынған үшбұрыштардың төбелерінде жатқан элементтердің көбейтінділерін қарама-қарсы таңбамен алған сандар болып табылады. Аналогиялық түрде жоғарыда айтылғандай анықтауыш элементін деп жазады, мұндағы бірінші индекс i жол санын, ал екінші индекс j- баған санын көрсетеді. Негізгі диагональ элементтері -, ал қосымша диагональ элементтері - .

- элементтінің миноры деп, берілген анықтауыштың -ші жатық жолы мен -ші бағанасын сызып тастағаннан шыққан анықтауышты айтады.

Мысалы, - ші анықтауыштың элементтінің миноры,

- элементің алгебралық толықтауышы - деп

формуласымен анықталған анықтауышты айтады.

Мысалы. - ші анықтауыштың элементінің алгебралық толықтауышы

Екінші және үшінші ретті анықтауыштарды есептеу үшін келесі анықтауыштар қасиеті пайдаланылады:

1. Егер анықтауыштың барлық жатық жолдарын соған сәйкес нөмірлі бағандармен орын ауыстырсақ, одан анықтауыштың шамасы өзгермейді.

2. Анықтауыштың екі бағанын немесе екі жатық жолын өзара алмастырсақ, онда анықтауыштың мәні теріс таңбаға ие болады.

3. Егер анықтауыштың екі бағаны немесе екі жатық жолы бірдей болса, онда анықтауыш нөлге тең.

4. Анықтауыштың бір бағанының, не бір жатық жолының барлық элементтерін кез келген бір «К» санға көбейтсек, ол анықтауышты сол санға көбейткенге тең.

5. Егер анықтауыштың кез келген бағанының не жатық жолының сәйкес элементтері нөлге тең болса, онда анықтауыштың өзі де нөлге тең.

6. Егер анықтауыштың екі бағанының не жатық жолының сәйкес элементтері пропорционал болса, онда анықтауыш нөлге тең.

3-ші ретті анықтауышты есептеу әдістері:

1) анықтауышты үшбұрыштар ережесі бойынша есептеу (3-ші ретті анықтауыштың анықтамасы пайдаланылады) ;

2) анықтауышты кез келген жолдың (кез келген бағаннаң) элементтерін жіктеу арқылы есептеу (жоғарыда көрсетілген 8 ереже пайдаланылады) ;

3) анықтауышты «нөлге айналдыру» әдісі арқылы есептеу (немесе анықтауыш ретін төмендету арқылы ) (жоғарыда көрсетілген 7 ереже пайдаланылады ) .

Кез келген -ші ретті матрицаны берілген матрицасының анықтауышы ( детерминант ) деп аталатын ұғыммен сәйкестендіруге болады және төмендегідей белгілейді:

2-ші және 3-ші ретті анықтауыштар үшін арналған барлық қасиеттер -ші ретті анықтауыштарға да орындалады.

Үшбұрыш түріндегі матрицаға (немесе үшбұрышты матрицаға) сәйкесінше үшбұрыш түріндегі анықтауыш сәйкес келеді.

Үшбұрыш түріндегі анықтауыш негізгі диагональ бойындағы элементтердің көбейтіндісіне тең.

түріндегі анықтауыш Вандермонд анықтауышы деп аталады, және ол кез келген n -нің мәнінде барлық мүмкін болатын көбейтіндісіне тең, мұндағы .

--ші ретті квадрат матрица болсын.

Осы матрица үшін ретті минор деп, таңдап алынған жолдар мен бағандар қиылысуында болатын элементтерден құралған матрица анықтауышын айтамыз.

ретті берілген минорға қосымша минор деп, құрамында берілген минорлары бар жолдар мен бағандарды сызып тастағаннан шығатын ретті минорды айтамыз.

Берілген минордың алгебралық толықтауышы деп көбейткіші бар қосымша минорды айтамыз.

Лаплас теоремасы. Анықтауыш матрицасында жол таңдап алынсын. Алгебралық толықтауыштардан құралған осы жолдардан тұратын ретті барлық минорлар көбейтіндісінің қосындысына тең.

Екі квадрат матрицалардың көбейтіндісінің анықтауышы жайлы теорема. Екі квадрат матрицалардың көбейтіндісінің анықтауышы көбейткіш анықтауыштардың көбейтіндісіне тең.

белгісізді сызықты алгебралық теңдеулер жүйесі.

белгісізді сызықты алгебралық теңдеулер жүйесі берілсін:

, (5)

Мұндағы - белгісіздер, - коэффициенттер, - бос мүшелер.

(5) теңдеулер жүйесінің шешімі деп, (5) теңдеудегі белгісіздердің орнына қойғанда теңдік дұрыс теңдікке айналатын сандар жиынын айтамыз.

Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесі үйлесімді деп аталады, егер оның ең болмағанда жалғыз шешімі болса. Үйлесімді жүйе анықталған деп аталады, егер оның тек бір ғана шешімі бар болса. Үйлесімді жүйе анықталмаған деп аталады, егер оның бірнеше шешімі бар болса. Егер сызықты алгебралық теңдеулер жүйесінің бірде бір шешімі болмаса, онда жүйе үйлесімсіз деп аталады.

(5) сызықты алгебралық теңдеулер жүйесінің матрицасы деп коэффициенттреден құралған төмендегі матрицаны айтамыз:

(6)

(5) сызықты алгебралық теңдеулер жүйесінің анықтауышы деп белгісіздері бар коэффициенттреден құралған төмендегі анықтауышты айтамыз:

. (7)

Жүйенің матрица анықтауышы нөлге тең болмаған жағдайдағы белгісізді сызықты алгебралық теңдеулер жүйеснің (САТЖ ) шешімі.

Жүйенің матрица анықтауышы нөлге тең болмаған жағдайдағы 3 белгісізді 3 теңдеулер жүйеснен тұратын САТЖ шешу әдістерін қаарастырайық

1) Крамер формуласын пайдаланып САТЖ шешу. САТЖ берілсін:

(8)

(8) САТЖ -ның матрицасын жазайық :

(9)

(8) САТЖ матрица анықтауышы төмендегі түрде болады:

. (10)

жүйесіндегі анықтауыштың болғандағы коэффициенттер бағанын (8) жүйедегі бос мүшемен алмастырсақ, анықтауышын аламыз:

(11)

Осы процессті жалғастыра отырып, мен алуға болады:

, (12)

(13)

Крамер теоремасы. (10) САТЖ матрица анықтауышы нөлден өзгеше болса, онда (8) . сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің шешімі бар болады және ол жалғыз шешімі болып табылады.

(8) САТЖ шешімін төмендегі Крамер формуласы арқылы табады:

(14)

(5) САТЖ -не де Крамер теоремасы орындалады, және, ……, табу процесі жоғарыдағыдай болады.

Крамер теоремасының садлдары. .

Салдар 1. белгісізді сызықты алгебралық теңдеулер жүйесінің шешімі болмайтындығы белгілі болса, онда САТЖ матрица анықтауышы нөлге тең.

Салдар 2 . Егер белгісізді сызықты алгебралық теңдеулер жүйесінің шешімі бір немемсе бірнеше болса, онда САТЖ матрица анықтауышы нөлге тең.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.