Екінші ретті қисықтар. Гипербола.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 4 бет
Таңдаулыға:

Екінші ретті қисықтар. Гипербола.

Жоспар

Екінші ретті қисықтар.
Гипербола.

Екінші ретті қисықтар деп, декарат координаталаында екінші дәрежелі алгебралық теңдеулермен анықтамаларын сызықтарды айтады.

Біздің қарастырайық деп отырған қисық сызықтар осы екінші дәрежелі теңдеудің арнайы түрлермен анықталады. Олар шеңбер, эллипс, гипербола және парабола. Ғылым және техника салаларында осы қисық сызықтар кездеседі. Геометрияда бұл қисық сызықтар теориясын конустық қимылдардың теориясы деп отырған қисық сызықтар қарсы екінші дәрежелі теңдеудіңарнайы түрлерімен анықтлады. Олар шеңбер, эллипс, гипербола және парабола. Ғылым және техника салаларында осы қисық сызықтар жиі кездеседі. Геометрияда бұл қисық сызықтар теориясынконустық қимылдардың теориясы деп те атайды, себебеі конусты әр түрлі хазықтармен қиғанда оның қимасында (жазықтықтың орнына қарай) шеңбер, эллпс, гипербола және парабола пайда болады.

Гиперболаның канондық тендеуі.

Анықтама. Фокустар деп аталатын берілген екі және нүктеден қашықтықтарының айырымының абсолют шамасы тұрақты және фокустар ара қашықтығынан кіші болатын жазықтықтың нүктелер жиыны г и п е р б о л а деп аталады.

Гиперболаның канондық теңдеуін қорытып шығару үшін координат жүйесінің бас нүктесін кесіндісінің ортасынан белгілейміз. өсін кесіндісі бойымен бағыттап, екі фокус аралығын арқылы белгілейміз. Онда және нүктелерінің координаталары сәйкес (-с, 0) және (с, 0) болады (49-сурет) . Бас нүкте кесіндісінің ортасында дедік, ал ізделініп отырған нуктелер жиынының кез келген өкілі болсын. Бұл нүктелердің және фокустардан қашықтықтарын және арқылы белгілесек, яғни

онда гиперболаның анықтамасы бойынша

(14)

теңдігі М нүктесінің гиперболада жатуының қажетті және жеткілікті шарты болады.

және

49-сурет

екендіктерін алдыңғы параграфтан білеміз. Оларды енді (14) формулаға қоятын болсақ,

(14')

теңдеуін аламыз. Бұл шыққан теңдеу тандап алынған координат жүйесіндегі гиперболаның теңдеуі болады. Енді х0 деп алып, (14') тендеуін абсолюттік шамасыз мына

түрде жазайық- Енді теңдікті квадраттап және ықшамдап теңдігін аламыз. Оны тағы да квадраттап, ықшамдасақ, теңдеуі келіп шығады. Ал анықтама бойынша болғандықтан, болады да,

(15)

деп белгілейміз. Осыны соңғы теңдікке қойсақ, ол түріне келеді. Бұл теңдеудің екі жағын да мүшелеп, -қа бөлетін болсақ, онда

(16)

теңдеуін аламыз. Осы шыққан теңдеуді гиперболаның канондық теңдеуі деп атайды. Мұндағы а- гиперболаның нақты жарты өсі, ал b- оның жорымал жарты өсі деп аталады.

Гиперболаның фокустары орналасқан симметрия өсі фокустық өсі деп аталады. Симметрия осьтерінің қиылысу нүктесі - симметрия центрі - гиперболаның центрі деп аталады. (16) тендеуімен берілген гиперобла үшін фокустық ось 0х өсімен беттеседі, ал координат басы - нүктесі гиперболаның центрі болады. Гиперболаның фокустық оспен қиылысу нүктелері және гипеболаның төбелері деп аталады. Бұл екі нуктенің арақашықтығы -ға тең, ал осы кесіндісін

50-сурет 51-сурет

гиперболаның нақты (фокустық) осі деп атайды (50-сур ет) .

Гиперболаның асимптоталары.

Қабырғалары координат өстеріне параллель және -ға тең болатын диагональдарының қиылысу нүктесі координат басында жататын тіктөртбұрыштың диагональдары гиперболаның асимптоталары болатынын көрсетейік. Тіктөртбұрыштың диагональдарының теңдеулері . Гиперболаның канондық теңдеуін

(16')

түрінде жазайық.

Енді деп алып, соңғы теңдеуді де оң таңбасымен алып, салыстырайық. гиперболаның нүктесі, ал нүктесі түзуінде жатқан нүкте болсын (51-сурет) . Бұл нүктелердің абсциссалары бірдей, ал ординаталарын салыстырайық. Онда екені айқын. Ендеше бұл нүктелердің ординаталарының айырымы олардың арақашықтығын көрсетеді, яғни . Абсцисса мәні шексіз ескен сайын бұл ара қашыктық азая береді де, нөлге ұмтылатын болады. Осыған көз жеткізейік. түзудегі нүкте болғандықтан, оның координаталары түзудің теңдеуін қанағаттандырады, яғни

Сол сияқты нүктесі гиперболада жатқандықтан, оның координаталары (16') теңдеуін қанағаттандыратын болады, яғни

52-сурет

53-сурет

Ендеше, немесе

ескерсек, М нүктесі екінші немесе төртінші ширектерде орналасып қозғалатын жағдайларында да түзуіне жақындай беретінін дәл жоғарыдағыдай дәлелдеуге болады. Сонымен бұл екі түзу - тіктөртбұрыштың диагональдары - гиперболаның асимптоталары деп аталады және олардың теңдеулері жоғарыда көрсеткеніміздей

және (18)

түрлерінде жазылады.

(16) тендеуімен берілген гиперболаға түйіндес гипербола деп

(19)

теңдеуімен анықталатын гиперболаны айтады. Егер болса, онда гипербола тең қабырғалы (тармақты) деп аталады (53-сурет) . Бұл жағдайда оның канондық теңдеуі

(20)

түрінде жазылады да, асимптоталарының теңдеулері болады.

Гиперболанын радиус-векторы және эксцентриситеті

Гиперболаның канондық тендеуін қорытып және оны зерттеу барысында

және (17)

теңдіктерін алған болатынбыз. Мұндағы және гиперболаның кез келген нүктесінің фокальдық радиус-векторлары , яғни

(17) теңдеулеріндегі шамасы гиперболаның эксцентриситеті деп аталады және оны эллипстегі сияқты арқылы белгілейді.

Гиперболаның эксцентриситеті әр уақытта, себебі 2с фокустық аралықтың гиперболаның нақты өсіне 2а қатынасын көрсетеді, ал гипербола үшін екенін білеміз.

Е с к е р т у. Гиперболаның нақты және жорымал жарты өстері а және b-ны с шамасымен байланыстыратын (15) формуланы пайдаланып, осы (15) формуладан үшін мына өрнекті (15') алуға болады.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.