Екінші ретті қисықтар. Парабола

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 3 бет
Таңдаулыға:

Екінші ретті қисықтар. Парабола

Жоспар

Екінші ретті қисықтар.
Парабола

Екінші ретті қисықтар деп, декарат координаталаында екінші дәрежелі алгебралық теңдеулермен анықтамаларын сызықтарды айтады.

Белгісіздер х және у- ке қарағанда екінші дәрежелі жалпы теңдеу мына түрде жазылады:

(*)

Мұндағы А, В және С коэффициенттерінің ең кемінде біреуі нөлге тең емес.

Біздің қарастырайық деп отырған қисық сызықтар осы екінші дәрежелі теңдеудің арнайы түрлермен анықталады. Олар шеңбер, эллипс, гипербола және парабола. Ғылым және техника салаларында осы қисық сызықтар кездеседі. Геометрияда бұл қисық сызықтар теориясын конустық қимылдардың теориясы деп отырған қисық сызықтар қарсы екінші дәрежелі теңдеудіңарнайы түрлерімен анықтлады. Олар шеңбер, эллипс, гипербола және парабола. Ғылым және техника салаларында осы қисық сызықтар жиі кездеседі. Геометрияда бұл қисық сызықтар теориясынконустық қимылдардың теориясы деп те атайды, себебеі конусты әр түрлі хазықтармен қиғанда оның қимасында (жазықтықтың орнына қарай) шеңбер, эллпс, гипербола және парабола пайда болады.

Анықтама. Фокус деп аталатын берілген нүкте мен директриса деп аталатын берілген түзуден бірдей қашықтықта орналасқан жазықтықтың нүктелер жиынын парабола деп атайды.

Параболаның канондық теңдеуін қорытып шығару үшін Ох осі үшін оның фокусы орналасқан директрисаға перпендикуляр түзуді алайық (55-сурет) . Координат басы үшін фокус пен директриса аралығының ортасын аламыз. Ал директриса мен фокус аралығын деп белгілеп, оны параболаның параметрі деп атаймыз. Онда фокустың координаталарын және , яғни, ал директрисаның теңдеуі болады. Енді нүктесі параболаның кез келген нүктесі болсын делік. Осы М нүктесінен директрисаға жүргізілген перпендикулярдың директрисамен қиылысу нүктесі болады. Ендеше анықтама бойынша . Ал егер және деп белгілесек, онда соңғы теңдеу

(22)

түріне келеді. Бұл теңдеудің орындалуы М нүктесінің параболада жатуының қажетті және жеткілікті шарты болады. Енді екі нүкте арақашықтығының формуласы бойынша

Олай болса, (22) тендеуі

(23) '

түріне келеді. Бұл (23) теңдеу параболаның таңдап алған координат жүйесіндегі теңдеуі болады. Оның екі жағын квадраттап,

екенін, онан әрі

(24)

теңдеуін аламыз. Бұл теңдеу параболаның канондың теңдеуі деп аталады.

Параболаның канондық теңдеулерінің түрлері.

Ал енді параболаның

(25)

канондық теңдеуін қарастырайық. Бұл теңдеуде болғанда, айнымалы аралығында өзгеретін болады, 0х өсі оның симметрия осі, ал төбесі координат жүйесінің бас нүктесінде жататын болады. нүктесі оның фокусы, ал түзуі оның директрисасы . Осы және өткен параграфтағы қарастырылған жағдайларға ұқсас теңдеулері де төбелері координат жүйесінің бас нүктесінде жататын 0у осіне қарағанда симметриялы параболаларды анықтайды. Енді (24) канондық тендеуіне қайта оралайық. Осы тендеумен берілген параболаның фокусы мен кез келген нүктесінің арақашықтығы параболаның нүктесінің радиус-векторы деп аталады.

(26)

себебі анықтама бойынша , ал . Параболаның эксцентриситеті әр уақытта .

Негізгі әдебиеттер.

№: №

Кітап аты: Кітап аты

Автор: Автор

Шығарылу жылы: Шығарылу жылы

№: 1

Кітап аты: Лекции по алгебре

Автор: Д. К. Фаддеев

Шығарылу жылы: Москва «Наука» 1984г.

№: 2