Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 4 бет
Таңдаулыға:

Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар
Жоспар
1. Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар.
2. Лейбниц формуласы.
3. Параметрлік және айқындалмаған функциялар туындысы.
Екінші ретті туынды немесе екінші туынды, y=f(x) функциясының туындысын
былай жазамыз: y'=f'(x). Екінші ретті туындыны мына символдармен белгілейміз:
y''немесе f''(x).

n- ретті туындысы немесе n- ші туындысы деп атаймыз.

Dy Функциясының дифференциалы y=f(x)функциясы – Х- те былай
жазылады:dy=f'(x)dx немесе dy=y'dx.
Екіші ретті дифференциал былай жазылады:
,
,
. мұндағы :n дифференциалдың аргументі
d dy d 2 y d 2 y y dx2 d n y y n dxn
болып саналады.
Параметрлік дифференциалдау.
Егер де х пен у функциялары t параметрінің x= φ(t), y=Ψ(t) функциялары берілсе,
φ(t) және Ψ(t) дифференциалдың функция,
болады. Онда туынды былай
t 0
жазалады:
dy t

dx t
да дифференциалданатын
функциясын қарастырайық.
x
y f x
Анықтама:Егер де
функциясы қандай да бір
аралығында шектеулі және
E
y f x
туындысы, сондай-ақ бұл туындының өзі де
аралығында
E
y f x
дифференциалданатын функция болса, онда
функциясының туындысын, яғни
f
f x
функциясын
функциясының екінші ретті туындысы деп атайды да
y f x
d 2 y d 2 f x
,
, f x , y x 3
2
dx
dx
символдарының бірімен белгілейді. Сонымен анықтама бойынша
f x f x

болады.

Осы сияқты егер де

функциясының
аралығындағы (яғни бұл аралықтың
E
y f x
әрбір нүктесіндегі) екінші ретті туындысы дифференциалданатын функция болса, онда
оның туындысын, яғни
функциясының үшінші ретті туындысы деп атайды да

f x
d 3 y d 3 f x
,
, f x , y x 3
3
dx
dx
символдарының бірімен белгілейді. Анықтама бойынша
Жалпылай келгенде

болады.

f x f x
ші ретті туындының анықтамасын беруімізге болады.

n
1-ші ретті туынды индуктивтік жолмен анықталса, онда

Сонымен, егер

n
n
туындының анықтамасын жоғарыда көрсетілгендей тұжырымдай аламыз.
Егер де
функциясының
аралығында 1-ші ретті туындысы
n
E
y f x
дифференциалданатын функция болса, онда оның туындысын, яғни

f

функциясын

функциясының

f

n

n 1

ші ретті

x

ші ретті туындысы дейді де,

d n y d n f x n
,
, f x , y n x n
n
n
dx
dx
символдарының бірімен белгілейді. Анықтама бойынша

f

Мысалдар:

f x 3x 2
x
x2

f x 6 x 2
f x 6

x3

f x 4
x

f x

.

g x arctgx

g x
1 4x 2

g x

?

?

n

f

n 1

x

болады.

g 2 1 4 x 2

y sin x

2 1 4x

y n

2 2

y

y a x
y a x ln a

1 4 x

2 2

,

sin x n

n

8 x

-?

y cos x sin x

,

y sin x 2

y n sin x

.

.

-?

,

.

y a x ln a a x ln 2 a

Ең қарапайым функциялардың жоғары ретті туындылары.
- дәрежелік функцияның -ші ретті туындысы.
n
x
Біртіндеп бірнеше рет дәрежелік функцияны дифференциалдасақ:
y x , R
y x x 1 ,

y y x 1 1 x 2 ,

y y 1 x 2 1 2 x 3
туындылары шығады. -ші ретті туындының көрсеткіші
-ге тең дәрежелік
n
n
функцияға, ал оның коэффициенті -дан басталып, әрбір келесісі алдыңғыға қарағанда

бірге кем санның көбейтіндісіне туң болады. Осы заңдылықты ескеріп, дәрежелік
функцияның -ші ретті туындысын былай жаза аламыз:
n
.
n
n
x
1 2 n 1 x
Егер
болса, онда
!.
n
n ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.