Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 4 бет
Таңдаулыға:

Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар

Жоспар

Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар.
Лейбниц формуласы.
Параметрлік және айқындалмаған функциялар туындысы.

Екінші ретті туынды немесе екінші туынды, y=f(x) функциясының туындысын былай жазамыз: y'=f'(x) . Екінші ретті туындыны мына символдармен белгілейміз:

y''немесе f''(x) . n- ретті туындысы немесе n- ші туындысы деп атаймыз.

Dy Функциясының дифференциалы y=f(x) функциясы - Х- те былай жазылады:dy=f'(x) dx немесе dy=y'dx.

Екіші ретті дифференциал былай жазылады:

, , . мұндағы :n дифференциалдың аргументі болып саналады.

Параметрлік дифференциалдау.

Егер де х пен у функциялары t параметрінің x= φ(t), y=Ψ(t) функциялары берілсе, φ(t) және Ψ(t) дифференциалдың функция, болады. Онда туынды былай жазалады:

да дифференциалданатын функциясын қарастырайық.

Анықтама:Егер де функциясы қандай да бір аралығында шектеулі және туындысы, сондай-ақ бұл туындының өзі де аралығында дифференциалданатын функция болса, онда функциясының туындысын, яғни функциясын функциясының екінші ретті туындысы деп атайды да

символдарының бірімен белгілейді. Сонымен анықтама бойынша болады.

Осы сияқты егер де функциясының аралығындағы (яғни бұл аралықтың әрбір нүктесіндегі) екінші ретті туындысы дифференциалданатын функция болса, онда оның туындысын, яғни функциясының үшінші ретті туындысы деп атайды да

символдарының бірімен белгілейді. Анықтама бойынша болады.

Жалпылай келгенде ші ретті туындының анықтамасын беруімізге болады. Сонымен, егер 1-ші ретті туынды индуктивтік жолмен анықталса, онда ші ретті туындының анықтамасын жоғарыда көрсетілгендей тұжырымдай аламыз.

Егер де функциясының аралығында 1-ші ретті туындысы дифференциалданатын функция болса, онда оның туындысын, яғни функциясын функциясының ші ретті туындысы дейді де,

символдарының бірімен белгілейді. Анықтама бойынша болады.

Мысалдар:

1. ?

2. ?

3. -?

4. -?

Ең қарапайым функциялардың жоғары ретті туындылары.

1. - дәрежелік функцияның -ші ретті туындысы.

Біртіндеп бірнеше рет дәрежелік функцияны дифференциалдасақ:

туындылары шығады. -ші ретті туындының көрсеткіші -ге тең дәрежелік функцияға, ал оның коэффициенті-дан басталып, әрбір келесісі алдыңғыға қарағанда бірге кем санның көбейтіндісіне туң болады. Осы заңдылықты ескеріп, дәрежелік функцияның -ші ретті туындысын былай жаза аламыз:

Егер болса, онда !.

2. Көрсеткіштік функцияның -ші ретті туындысы. Көрсеткіш функцияның -ші ретті туындысын табу үшін осы функциядан бірнеше туынды алайық:

санының көрсеткіш туындының ретімен бірдей болғандықтан, теңдігін береді. Дербес жағдайда .

3. және тригонометриялық функцияларының -ші ретті туындылары.

Жалпы алғанда теңдігі шығады.

Лейбниц формуласы.

Әрқайсысының -ші ретті туындылары бар екі функцияның көбейтіндісінің -ші ретті туындысын табу керек болсын.

Көбейтіндінің бірнеше туындыларын табайық:

т. с. с

-Лейбниц формуласы.

Мысалы: функциясының 100 ретті туындысын табу керек.

-тің үшінші ретті туындысы 0-ге тең болады, онда .