Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар
Жоспар
1. Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар.
2. Лейбниц формуласы.
3. Параметрлік және айқындалмаған функциялар туындысы
1. Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар.
2. Лейбниц формуласы.
3. Параметрлік және айқындалмаған функциялар туындысы
Екінші ретті туынды немесе екінші туынды, y=f(x) функциясының туындысын былай жазамыз: y'=f'(x). Екінші ретті туындыны мына символдармен белгілейміз:
y''немесе f''(x). n- ретті туындысы немесе n- ші туындысы деп атаймыз.
Dy Функциясының дифференциалы y=f(x)функциясы – Х- те былай жазылады:dy=f'(x)dx немесе dy=y'dx.
Екіші ретті дифференциал былай жазылады:
, , . мұндағы :n дифференциалдың аргументі болып саналады.
Параметрлік дифференциалдау.
y''немесе f''(x). n- ретті туындысы немесе n- ші туындысы деп атаймыз.
Dy Функциясының дифференциалы y=f(x)функциясы – Х- те былай жазылады:dy=f'(x)dx немесе dy=y'dx.
Екіші ретті дифференциал былай жазылады:
, , . мұндағы :n дифференциалдың аргументі болып саналады.
Параметрлік дифференциалдау.
Негізгі әдебиеттер
№ Әдебиет аты Авторлар Шыққан жылы,
жері
1 Курс дифференциального и интегрального исчисления Г.М.Фихтенгольц
Том 1,2,3 Москва,
Наука 1969г
2 Сборник задач и упражнений по математическому анализу Б.П.Демидович Москва,
Наука 1970г
3 Математический анализ В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Б.Сендов
Том 1,2,3 Москва,
МГУ 1985-87г
4 Математикалық анализ Н.Темірғалиев
Том 1,2,3 Алматы, Мектеп, 1980
5 Дифференциалдық және интегралдық есептеулер курсы Г.М.Фихтенгольц Москва, Наука 1990г
6 Курс математического анализа. Том 1,2 Кудрявцев Л.Д. Высшая школа 1981г.
№ Әдебиет аты Авторлар Шыққан жылы,
жері
1 Курс дифференциального и интегрального исчисления Г.М.Фихтенгольц
Том 1,2,3 Москва,
Наука 1969г
2 Сборник задач и упражнений по математическому анализу Б.П.Демидович Москва,
Наука 1970г
3 Математический анализ В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Б.Сендов
Том 1,2,3 Москва,
МГУ 1985-87г
4 Математикалық анализ Н.Темірғалиев
Том 1,2,3 Алматы, Мектеп, 1980
5 Дифференциалдық және интегралдық есептеулер курсы Г.М.Фихтенгольц Москва, Наука 1990г
6 Курс математического анализа. Том 1,2 Кудрявцев Л.Д. Высшая школа 1981г.
Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар
Жоспар
1. Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар.
2. Лейбниц формуласы.
3. Параметрлік және айқындалмаған функциялар туындысы.
Екінші ретті туынды немесе екінші туынды, y=f(x) функциясының туындысын
былай жазамыз: y'=f'(x). Екінші ретті туындыны мына символдармен белгілейміз:
y''немесе f''(x).
n- ретті туындысы немесе n- ші туындысы деп атаймыз.
Dy Функциясының дифференциалы y=f(x)функциясы – Х- те былай
жазылады:dy=f'(x)dx немесе dy=y'dx.
Екіші ретті дифференциал былай жазылады:
,
,
. мұндағы :n дифференциалдың аргументі
d dy d 2 y d 2 y y dx2 d n y y n dxn
болып саналады.
Параметрлік дифференциалдау.
Егер де х пен у функциялары t параметрінің x= φ(t), y=Ψ(t) функциялары берілсе,
φ(t) және Ψ(t) дифференциалдың функция,
болады. Онда туынды былай
t 0
жазалады:
dy t
dx t
да дифференциалданатын
функциясын қарастырайық.
x
y f x
Анықтама:Егер де
функциясы қандай да бір
аралығында шектеулі және
E
y f x
туындысы, сондай-ақ бұл туындының өзі де
аралығында
E
y f x
дифференциалданатын функция болса, онда
функциясының туындысын, яғни
f
f x
функциясын
функциясының екінші ретті туындысы деп атайды да
y f x
d 2 y d 2 f x
,
, f x , y x 3
2
dx
dx
символдарының бірімен белгілейді. Сонымен анықтама бойынша
f x f x
болады.
Осы сияқты егер де
функциясының
аралығындағы (яғни бұл аралықтың
E
y f x
әрбір нүктесіндегі) екінші ретті туындысы дифференциалданатын функция болса, онда
оның туындысын, яғни
функциясының үшінші ретті туындысы деп атайды да
f x
d 3 y d 3 f x
,
, f x , y x 3
3
dx
dx
символдарының бірімен белгілейді. Анықтама бойынша
Жалпылай келгенде
болады.
f x f x
ші ретті туындының анықтамасын беруімізге болады.
n
1-ші ретті туынды индуктивтік жолмен анықталса, онда
Сонымен, егер
n
n
туындының анықтамасын жоғарыда көрсетілгендей тұжырымдай аламыз.
Егер де
функциясының
аралығында 1-ші ретті туындысы
n
E
y f x
дифференциалданатын функция болса, онда оның туындысын, яғни
f
функциясын
функциясының
f
n
n 1
ші ретті
x
ші ретті туындысы дейді де,
d n y d n f x n
,
, f x , y n x n
n
n
dx
dx
символдарының бірімен белгілейді. Анықтама бойынша
f
Мысалдар:
f x 3x 2
x
x2
f x 6 x 2
f x 6
x3
f x 4
x
f x
.
g x arctgx
g x
1 4x 2
g x
?
?
n
f
n 1
x
болады.
g 2 1 4 x 2
y sin x
2 1 4x
y n
2 2
y
y a x
y a x ln a
1 4 x
2 2
,
sin x n
n
8 x
-?
y cos x sin x
,
y sin x 2
y n sin x
.
.
-?
,
.
y a x ln a a x ln 2 a
Ең қарапайым функциялардың жоғары ретті туындылары.
- дәрежелік функцияның -ші ретті туындысы.
n
x
Біртіндеп бірнеше рет дәрежелік функцияны дифференциалдасақ:
y x , R
y x x 1 ,
y y x 1 1 x 2 ,
y y 1 x 2 1 2 x 3
туындылары шығады. -ші ретті туындының көрсеткіші
-ге тең дәрежелік
n
n
функцияға, ал оның коэффициенті -дан басталып, әрбір келесісі алдыңғыға қарағанда
бірге кем санның көбейтіндісіне туң болады. Осы заңдылықты ескеріп, дәрежелік
функцияның -ші ретті туындысын былай жаза аламыз:
n
.
n
n
x
1 2 n 1 x
Егер
болса, онда
!.
n
n ... жалғасы
Жоспар
1. Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар.
2. Лейбниц формуласы.
3. Параметрлік және айқындалмаған функциялар туындысы.
Екінші ретті туынды немесе екінші туынды, y=f(x) функциясының туындысын
былай жазамыз: y'=f'(x). Екінші ретті туындыны мына символдармен белгілейміз:
y''немесе f''(x).
n- ретті туындысы немесе n- ші туындысы деп атаймыз.
Dy Функциясының дифференциалы y=f(x)функциясы – Х- те былай
жазылады:dy=f'(x)dx немесе dy=y'dx.
Екіші ретті дифференциал былай жазылады:
,
,
. мұндағы :n дифференциалдың аргументі
d dy d 2 y d 2 y y dx2 d n y y n dxn
болып саналады.
Параметрлік дифференциалдау.
Егер де х пен у функциялары t параметрінің x= φ(t), y=Ψ(t) функциялары берілсе,
φ(t) және Ψ(t) дифференциалдың функция,
болады. Онда туынды былай
t 0
жазалады:
dy t
dx t
да дифференциалданатын
функциясын қарастырайық.
x
y f x
Анықтама:Егер де
функциясы қандай да бір
аралығында шектеулі және
E
y f x
туындысы, сондай-ақ бұл туындының өзі де
аралығында
E
y f x
дифференциалданатын функция болса, онда
функциясының туындысын, яғни
f
f x
функциясын
функциясының екінші ретті туындысы деп атайды да
y f x
d 2 y d 2 f x
,
, f x , y x 3
2
dx
dx
символдарының бірімен белгілейді. Сонымен анықтама бойынша
f x f x
болады.
Осы сияқты егер де
функциясының
аралығындағы (яғни бұл аралықтың
E
y f x
әрбір нүктесіндегі) екінші ретті туындысы дифференциалданатын функция болса, онда
оның туындысын, яғни
функциясының үшінші ретті туындысы деп атайды да
f x
d 3 y d 3 f x
,
, f x , y x 3
3
dx
dx
символдарының бірімен белгілейді. Анықтама бойынша
Жалпылай келгенде
болады.
f x f x
ші ретті туындының анықтамасын беруімізге болады.
n
1-ші ретті туынды индуктивтік жолмен анықталса, онда
Сонымен, егер
n
n
туындының анықтамасын жоғарыда көрсетілгендей тұжырымдай аламыз.
Егер де
функциясының
аралығында 1-ші ретті туындысы
n
E
y f x
дифференциалданатын функция болса, онда оның туындысын, яғни
f
функциясын
функциясының
f
n
n 1
ші ретті
x
ші ретті туындысы дейді де,
d n y d n f x n
,
, f x , y n x n
n
n
dx
dx
символдарының бірімен белгілейді. Анықтама бойынша
f
Мысалдар:
f x 3x 2
x
x2
f x 6 x 2
f x 6
x3
f x 4
x
f x
.
g x arctgx
g x
1 4x 2
g x
?
?
n
f
n 1
x
болады.
g 2 1 4 x 2
y sin x
2 1 4x
y n
2 2
y
y a x
y a x ln a
1 4 x
2 2
,
sin x n
n
8 x
-?
y cos x sin x
,
y sin x 2
y n sin x
.
.
-?
,
.
y a x ln a a x ln 2 a
Ең қарапайым функциялардың жоғары ретті туындылары.
- дәрежелік функцияның -ші ретті туындысы.
n
x
Біртіндеп бірнеше рет дәрежелік функцияны дифференциалдасақ:
y x , R
y x x 1 ,
y y x 1 1 x 2 ,
y y 1 x 2 1 2 x 3
туындылары шығады. -ші ретті туындының көрсеткіші
-ге тең дәрежелік
n
n
функцияға, ал оның коэффициенті -дан басталып, әрбір келесісі алдыңғыға қарағанда
бірге кем санның көбейтіндісіне туң болады. Осы заңдылықты ескеріп, дәрежелік
функцияның -ші ретті туындысын былай жаза аламыз:
n
.
n
n
x
1 2 n 1 x
Егер
болса, онда
!.
n
n ... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz