Туынды көмегімен функцияның графигін салу

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 3 бет
Таңдаулыға:

Туынды көмегімен функцияның графигін салу

Жоспар

. Функция графигінің асимптоталары.
Туынды көмегімен функцияның графигін салу.

Функцияның графигін салу оны зерттеу болып табылады. Функцияны зерттеу үшін төмендегі этаптарды орындау керек:

1. Функцияның анықталу облысын табу керек.

2. Үзіліс нүктелерін тауып, функцияның осы нүктелердегі оң және сол жақ шектерін анықтау керек.

3. Максимум және минимум нүктелерін табу керек.

4. Өсу және кему аралықтарын табу керек.

5. Иілу нүктесін табу керек.

6. Ойыс, дөңес аралықтарын табу керек.

Анықтама. Х=Хо нүктесі бірінші ретті критикалық нүкте, егерде мына ережелелерге сай келсе:

;

-функциясын қанағаттандырмаса, Х=Хо нүктесі көрсетілсе.

Функцияның өзгеруін зерттеу және (осы зерттеу көмегімен) оның графигін сызуды мына үлгі бойынша орындау тиімді.

1) Функцияның анықталу облысы мен үзіліссіздік облысын тауып және үзіліс (егер бар болса) нүктелерін анықтау.

2) Вертикаль, көлбеу асиптоталарды (егер бар болса) табу.

3) Күдікті нүктелерін табу. Функцияның анықталу обылсының күдікті нүктелермен бөлінген интервалдарында туындысы таңбаларын анықтау. Соған байланысты функцияның өсу және кему облыстарын анықтап, оның жергілікті экстремум нүктелерін табу. Сәйкес кесте құру.

4) туындысын табу және немесе анықталмаған нүктелерді табу. Функцияның анықталу облысындағы туындысы таңбасын сақтап қалдыратын интервалдарды анықтау. Бұған сәйкес функция графигінің дөңес және ойыс болатын облыстарын тауып, оның иілу нүктесін анықтау. Сәйкес кесте құру.

5) Графиктің координаталар өстерімен қиылысу нүктелерін (жуық болса да) табу.

6) Функция графигін сызып көрсету. Кей жағдайда (әдетте туындысының өрнегі аса күрделі болғанда) функцияның бірінші туындысының көмегімен тағайындалатын графикке тән қасиеттерді қарастырумен қанағаттанады.

1-мысал. функциясының графигін салу керек. Жоғарыдағы схеманы пайдаланамыз.

1) Бұл функция тек нүктелерінде ғана анықталмаған, сондықтан

2) Алдыңғы пунктте дәлелденгендей, және түзулері функция графигінің вертикаль асимптоталары болады. Сонымен бірге,

Сол пунктте у=х түзуі жағдайда, жағдайда функция графигінің көлбеу асимптотасы болатыны дәлелденген.

3) Енді күдікті нүктелерді табайық. Функцияның бірінші туындысы:

Бұдан х=0 және болғанда, теңдеуі шығады. Оның үстіне, нүктелерінде болмайды. Алайда, түзулері-асимптоталары. Демек, берілген функцияның үш күдікті нүктесі бар, олар:

Осы табылған нүктелер функцияның анықталу облысын мынадай интервалдарға бөледі: . Бұл интервалдардың әрқайсысында таңбасы тұрақты болып қала береді. туындысының сәйкес таңбаларын, мысалы, интервалдар әдісімен оңай табуға болады.

\[\scriptstyle{\mathfrak{q}}\]

Сурет функциясының графигі

Бұдан f функциясының екі шеткі интервалдарында өсетінін, ал қалған төртеуінде кемитінін көреміз. Бұған қоса, жергілікті максимум нүктесі: нүктесінде экстремум болмайды. Ал нүктесі: Сонымен сәйкес кестені аламыз:

x: x

-3: -3

-: -

0: 0

3: 3

: +

-3: +

: -

0: 0

: -

3: 0

: +

-3: -4. 5

0: 0

3: 4. 5

: max

-3:

: min

1) Функцияның екінші туындысы

Бұдан болғанда =0 болады да, ал болғанда анықталмаған. Енді нүктесіне мейілінше жақын нүктелер үшін өрнегінен нүктесінің сол жағында ал оң жағында болатындығы айқын. Демек, координаталардың бас нүктесі О (0, 0) - иілу нүктесі. Яғни функция графигі координатлардың бас нүктесінен солдан оңға қарай өткенде ойыстан дөңеске ауысады. Функция графигі үзіліс нүктесінен өткенде (солдан оңға қарай) дөңестен ойысқа ауысады. Ал үзіліс нүктесінен өткенде де дөңестен ойысқа ауысады. Функцияның ойыс және дөңес болатын интервалдары белгілі болғандықтан, туындысы көмегімен сәйкес кестені құрмаса да болады.

2) Координаталардың бас нүктесінен өзге нүктеде функция графигі координаталар өстерімен қиылыспайды.

3) Енді функциясының графигін сызайық.