Тізбек шегі. Штольц теоремасы. Больцано – Вейерштрасс леммасы

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 3 бет
Таңдаулыға:

Тізбек шегі . Штольц теоремасы . Больцано - Вейерштрасс леммасы.

Жоспар

Тізбек. Тізбек шегі. Шексіз үлкен және кіші шамалар.
Шектер туралы теоремалар. Анықталмаған шамалар. Штольц теоремасы. Монотонды тізбек және оның шегі. е саны.
Тізбектің жоғарғы және төменгі шектері. Тізбектің жинақтылық критериі. Больцано - Вейерштрасс леммасы. Жинақтылық принципі.

Тізбек. Тізбек шегі. Шексіз үлкен және кіші шамалар.

Аныктама егер V Е>0 саны үшін А саны табылып, Х=Хп теңсідігің қанағаттандыратын әрбір әрбір нөмірі үшін (Хп-А) <Е теңсіздігі орындалса, онда А санын (Хп) тізбегінің шегі деп аталады.

Тізбек шегі және функция.

Анықтама. Мүшелерін нөмірлеп шығуға болатын Х={Х} шексіз сандар жиынын тізбек шегі д А Х={Х} жиыны бір элементерден тұрады.

Натурал сан тізбегін қарастырамыз:

1, 2, 3, . . . , п, . . . , п', . . . (1)

Тізбекті құрайтын сандар рет-ретімен, тізбектің бірінші, екінші, үшінші, төртінші мүшелері деп аталады. Тізбектің мүшелерін, әдетте оның реттік нөмірлерін көрсететін индекстері бар әріптермен белгілейді:

Х1, Х2, Х3, . . . , Хп, . ., (2)

Тізбектің Хп мүшесін оның жалпы мүшесі деп атаймыз. Және оны Хп арқылы, ал тізбектің өзін қысқаша Хп' арқылы белгілейді. п'>п, Хп' саны Хп санынан үлкен немесе кіші немесе тең болады.

Тізбектің шегінің анықтамасы.

Егер кез келген Е>0 саны үшін а саны табылып, Х=Хп теңсіздігін қанағаттандыратын әрбір N нөмірі үшін (Хп-А) <Е теңсіздігі орындалса, онда нөмірі п>N қанағатындыратын (Хп-А) <Е (3) болады.

Бұл тұжырым, а тізбек шегі десек, былай жазамыз: LimХп=а немесе LimХ=а

Шектер туралы теоремалар. Анықталмаған шамалар. Штольц теоремасы. Монотонды тізбек және оның шегі. е саны.

Егер Х1<Х2 . . . < . . . Хп<Хп+1< . . . , болса, яғни п'>п-нен Х'>Хп шығатын болса, онда Хп-ді үдеме, егер Х1≤Х2≤ . . . ≤Хп≤Хп+1≤ . . . , болса, яғни п'>п-нен Х'≥Хп шығатын болса, онда Хп-ді кемімейтін деп атаймыз.

Теорема. Монотонды үдеме Х берілсін дейік. Егер ол жоғарыда шектелген болса, Хп<М (М=const; п=1, 2, 3, . . . )

онда оның шектеулі шегі б/ды, ал кері жағдайда ол +∞-ке ұмтылады.

Дәл осы сияқты, монотонды кеміме Хп шегі де әр уақытта болады. Егер ол төменнен шектелген болса: Хп>m (m- const; п=1, 2, 3 . . . ) онда оның шегі шектеулі болады да, кері жағдайда оның шегі -∞ болмақ.

{Хп} жүйесінің жоғарғы шегі деп, егер М санының заттық мәні болса, онда әрбір Хп жүйелік элементі {Хп} қанағаттандырады. Хп≤М

{Хп} жүйесінің төменгі шегі деп, егер m санының заттық мәні болса, онда әрбір Хп жүйелік элементі {Хп} қанағаттандырады. Хп≤m

{Хп} жүйесінің шегі деп, егер заттық және жоғарғы, төменгі т. б. элементер жүйесін қолданамыз. m≤Хп≤М

a санының {Хп} жүйесінің шегі деп, Е саны өз бетімен аз болса да, N саның тапса, n≤ N, мына тенсіздік орындалады. │Хп-А│<Е (4) былай жазылады Lim Хп=А

Егер жүйенің шегі болса, онда ол қиылысады, ал шегі болмаса қиылыспайды.

, , если,

, , если,

, , ,

, ,

Штольц теоремасы түріндегі анықтамаған өрнек аңықтауда дейік, п артқанда, ең болмағанда бір орыннан бастап, де артсын:

, онда

Тізбектің жоғарғы және төменгі шектері. Тізбектің жинақтылық критериі. Больцано - Вейерштрасс леммасы. Жинақтылық принципі.

Мына тізбек (1)

Лемма Бальцано - Коши теоремасының жинақтылық принципі.

Теорема. Хn шектеулі шегі жалпы болуы үшін, әрбір E>0 санына сәйкес N нөмірі твбылып, тек n>N және n'>N болысымен,

│Xn-Xn'│<E

теңсідігінің орындалуы қажетті және жеткілікті.

Енді тізбек бөлігін қарастырамыз.

(2) мұндағы үдеме натурал сан.

Егер(1) тізбектің белгілі а (шектеулі не шектеусіз) шегі болса, онда (2) дербес тізбектің де шегі сол а болады.

Больцано - Вейерштрасс леммасы кез келген шектелген (1) тізбектен шектеулі шекке жинақталатын, сондай, дербес (2) тізбекті әрдайым бөліп көрсетуге болады.

Ең үлкен және ең кіші шектер.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.