Гаусс әдісі. Матрица рангісі.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 3 бет
Таңдаулыға:

Гаусс әдісі. Матрица рангісі.

Жоспар

Жүйенің матрица анықтауышы нөлге тең болмағандағы n белгісізді сызықты теңдеулер жүйесін шешу: Гаусс әдісі.
Матрица рангісі.

Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін Гаусс әдісімен шешуді қарастырайық . (1) Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесі берілсін:

(1)

және матрица анықтауышы нөлге тең емес.

(2)

теңдеуі (1) берілген жүйенің сықытық теңдеулер комбинациясы деп аталады.

Анықтама 1. Екі сызықты алгебралық теңдеулер жүйесі сызықты эквивалентті деп аталады, егер бірінші жүйенің әрбір теңдеуінде екінші жүйе теңдеуінің сызықтық комбинациясы бар болса және екінші жүйенің әрбір теңдеуінде бірінщі жүйе теңдеуінің сызықтық комбинациясы бар болса.

Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін элементер түрлендіру деп, нөлден өзгеше санға көбейту, теңдеулер орындарын алмастыру және бір теңдеуге екінші теңдеуді қосу, кез келген санға көбейту амалдарын айтамыз.

Бұдан байқайтынымыз, элементер түрлендіру Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін сызықты эквивалентті теңдеуге алып келеді.

Теорема 1 . Берілген жүйенің матрица анықтауышы нөлден өзгеше болғандағы n белгісізді сызықты теңдеулер жүйесі элементер түрлендіруден кейін үшбұрышты матрица түріндегі жүйеге келеді.

Матрица рангысы. өлшемдегі матрица берілсін. ретті матрица минорының анықтамасынан, берілген матрица минорлары әртүрлі ретте болатыны байқаймыз. Матрица минорының ең кіші реті бір, яғни минор бірінші ретті (матрицаны кез келген элементі) . Матрица өлшеміндегі ең кіші сан, яғни жол саны нмесе баған саны берілген матрицаның ең үлкен минор ретін көрсетеді.

Анықтама 2 . Өлшемі нөлден өзгеше ең үлкен минор ретін матрица рангысы деп аталады және олардың белгіленуі .

Кез келген матрицаның рангысы бар болады. Матрица рангысын есептеудің мынадай әдістері бар: минорларды қысқарту әдісі, элементар түрлендіру әдісі.

Минорларды қысқарту әдісі. Матрица рангысын табу келесі түрде болады. Ол үшін:

1) Бірінші ретті нөлден өзгеше кез келген минорды табу ( яғни матрица элементін) . Егер мұндай минор жоқ болса, онда А матрицасы нөльдік және . Егер мұндай минор бар болса, онда 2)

2) Құрамында бар 2-ші ретті нөлге тең емес минорлар табылғанша есептеу. Егер ондай минор табылмаса, онда, егегр табылса, онда және и тағы басқа.

. . .

k) k -ші ретті минорды (егер ол бар болса) есептейік. Минор . Егер мұндай минорлар жоқ болса, немесе олардың барлығы нөлге тең болса, онда, егер де ең болмағанда осындай бір минор бар болса, онда, және процесс жалғасады.

При нахождении ранга матрицы таким способом достаточно на каждом шаге найти всего один ненулевой минор k -го порядка, причем искать его только среди миноров, содержащих минор .

Матрица рангысын есептеу үшін рангы туралы теоремамен байланысты емес және матрица минорларын есептеуді қажет етпейтін әдіс бар ─ элементар түрлендіру әдісі.

Матрицаларды элементар түрлендіру: 1) жолдарды бағандармен алмастыру, ал бағандарды сәйкес жолдармен (транспонирлеу) ; 2) матрица жолдарының (бағандарының) орындарын алмастыру; 3) кез келген жолды (бағанды ) нөлден өзге санға көбейту; 4) бір жолдың (бағанның) элементтеріне басқа жолдың (бағанның) сәйкесінше элементтерін қосу, нөлден өзгеше санға көбейту; 5) нөлге тең элементтері бар жолдарды (бағандарды) сызу.

Теорема 1 . Матрица рангісі матрицаға элементар түрлендіру жүргізгеннен кейін де өзгермейді.

Теорема 2. Сатылы матрица рангісі нөлдік емес жол санына тең.

Матрица рангісін анықтаудың элементар түрлендіру әдісінің басты мақсаты А матрицасын элементар түрлендіру арқылы сатылы түрге келтіру.

Анықтама 3 . Базистік минор деп реті А матрицасының рангісіне тең матрицасының кез келген минорын айтамыз

Негізгі әдебиеттер.

№: №

Кітап аты: Кітап аты

Автор: Автор

Шығарылу жылы: Шығарылу жылы

№: 1

Кітап аты: Лекции по алгебре

Автор: Д. К. Фаддеев