Рационал бөлшектерді интегралдау

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 3 бет
Таңдаулыға:

Рационал бөлшектерді интегралдау
Жоспар
1. Дұрыс рационал бөлшектердің түрлері
2. Рационал бөлшектi қарапайым бөлшектерге жiктеу.
3. Рационал бөлшектердi интегралдау.
Кез-келген рационал функцияны рационал бөлшек түрінде көрсетуге болады, яғни екі
көпмүшелiктiң қатынасы түрiнде
B 0 x m B 1 x m 1 ... B m 1 x B m
Q( x)

f ( x)
A 0 x n A1 x n 1 ... A n 1 x A n .
Бұл көпмүшеліктердің ортақ түбірлері жоқ деп болжаймыз.
Егер алымының дөрежесi бөлiмiнiң дөрежесiнен кiшi болса, m n онда бөлшек дұрыс деп
аталады, ал керi жағдайда m n бөлшек бұрыс деп аталады.
Егер бөлшек бұрыс болса, онда алымын бөлiмiне бөлiп (көпмүшелiктердi бөлу ережесi
бойынша) берiлген бөлшектi көпмүшелiк пен дұрыс бөлшектiң қосындысына жiктеуге
болады.
Q( x )
F ( x)
F ( x)
M ( x )
f ( x)
f ( x) ; M (x) -көпмүшелiк, f ( x) -дұрыс
бөлшек.
Дұрыс рационал бөлшектердің түрлері
A
A
k
I. x a ; II. ( x a) ( k -бүтiн оң сан, k 2 ).
Ax B
2
III. x px q (бөлiмiнiң түбiрлерi комплекс сан, яғни p 4 q 0 ).
Ax B
k
IV. ( x px q)

( k -бүтiн оң сан, k 2 ; бөлімнің түбірлері комплекс сандар).

I, II, III жөне IV типтi қарапайым бөлшектер деп атайды.
A
dx
dx A
A ln x a C

x a
x a
I.
.
( x a)1 k
A
k
dx

A
(
x

a
)
dx

A
C
( x a) k

k
II.
.
Рационал бөлшектi қарапайым бөлшектерге жiктеу.
F ( x)
Дұрыс рационал бөлшек берілсін f ( x) .

Бұған кіретін көпмүшеліктердің коэффициенттерi нақты сандар жөне берілген бөлшек
қысқартылмайтын, яғни алымы мен бөлiмiнiң ортақ түбірлерi жоқ деп болжаймыз.
Теорема 1. x a саны бөлшектiң бөлiмiнiң k -еселi түбiрi болса, яғни
f ( x) ( x a) k f 1 ( x) , ( f 1 (a) 0) , онда берiлген дұрыс рационал F ( x) f ( x) бөлшектi екi
дұрыс бөлшектiң қосындысына жiктеуге болады:
F1 ( x)
F ( x)
A

k
f ( x) ( x a)
( x a ) k 1 f 1 ( x) ,

(1)

k
мұнда A -тұрақты, нөлге тең емес сан, ал F1 ( x) дөрежесi ( x a) f 1 ( x) -тың дәрежесiнен
кiшi көпмүшелiк.

k 1

(1) теңдікке кіретін дұрыс рационал бөлшекке F1 ( x) ( x a) f 1 ( x) ұқсас пікірді
қолдануға болады (Осы теореманы қолдануға болады).
Сонымен, егер бөлшектің бөлімінің k -еселі x a түбірі болса, онда оны былай жазуға
болады
A
F ( x)
A1
F ( x)
A

... k 1 k
k
k 1
f ( x) ( x a)
( x a ) f 1 ( x)
( x a)
(2)
мұнда Fk ( x) f1 ( x) -қысқартылмайтын дұрыс бөлшек.
Егер f 1 ( x) -тың басқа түбiрлерi болса, онда оған осы теореманы қолдануға болады.

Енді бөлімінің комплекс түбірлері болатын жағдайын қарастырамыз.

Теорема 2. Егер f ( x) ( x pq q) 1 ( x) болса, мұнда 1 ( x) , x px q -ге
бөлінбейтін болса, онда дұрыс F ( x) f ( x) рационал бөлшегiн, басқа екі бөлшектің
қосындысы түрінде жазуға болады.
Ф1 ( x)
F ( x)
Mx N

f ( x) ( x px q)
( x px q) 1 1 ( x)
(3)

Мұнда Ф1 ( x) дөрежесi f ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.