Рационал бөлшектерді интегралдау

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 3 бет
Таңдаулыға:

Рационал бөлшектерді интегралдау

Жоспар

Дұрыс рационал бөлшектердің түрлері
Рационал бөлшектi қарапайым бөлшектерге жiктеу.
Рационал бөлшектердi интегралдау.

Кез-келген рационал функцияны рационал бөлшек түрінде көрсетуге болады, яғни екі көпмүшелiктiң қатынасы түрiнде

Бұл көпмүшеліктердің ортақ түбірлері жоқ деп болжаймыз.

Егер алымының дөрежесi бөлiмiнiң дөрежесiнен кiшi болса, онда бөлшек дұрыс деп аталады, ал керi жағдайда бөлшек бұрыс деп аталады.

Егер бөлшек бұрыс болса, онда алымын бөлiмiне бөлiп (көпмүшелiктердi бөлу ережесi бойынша) берiлген бөлшектi көпмүшелiк пен дұрыс бөлшектiң қосындысына жiктеуге болады.

; -көпмүшелiк, -дұрыс бөлшек.

Дұрыс рационал бөлшектердің түрлері

I. ; II. ( -бүтiн оң сан, ) .

III. (бөлiмiнiң түбiрлерi комплекс сан, яғни ) .

IV. ( -бүтiн оң сан, ; бөлімнің түбірлері комплекс сандар) .

I, II, III жөне IV типтi қарапайым бөлшектер деп атайды.

I. .

II. .

Рационал бөлшектi қарапайым бөлшектерге жiктеу.

Дұрыс рационал бөлшек берілсін .

Бұған кіретін көпмүшеліктердің коэффициенттерi нақты сандар жөне берілген бөлшек қысқартылмайтын, яғни алымы мен бөлiмiнiң ортақ түбірлерi жоқ деп болжаймыз.

Теорема 1. саны бөлшектiң бөлiмiнiң -еселi түбiрi болса, яғни , , онда берiлген дұрыс рационал бөлшектi екi дұрыс бөлшектiң қосындысына жiктеуге болады:

, (1)

мұнда -тұрақты, нөлге тең емес сан, ал дөрежесi -тың дәрежесiнен кiшi көпмүшелiк.

(1) теңдікке кіретін дұрыс рационал бөлшекке ұқсас пікірді қолдануға болады (Осы теореманы қолдануға болады) .

Сонымен, егер бөлшектің бөлімінің -еселі түбірі болса, онда оны былай жазуға болады

(2)

мұнда -қысқартылмайтын дұрыс бөлшек.

Егер -тың басқа түбiрлерi болса, онда оған осы теореманы қолдануға болады.

Енді бөлімінің комплекс түбірлері болатын жағдайын қарастырамыз.

Теорема 2. Егер болса, мұнда , -ге бөлінбейтін болса, онда дұрыс рационал бөлшегiн, басқа екі бөлшектің қосындысы түрінде жазуға болады.

(3)

Мұнда дөрежесi көпмүшелiгiнiң дөрежесiнен төмен көпмүшелiк.

дұрыс бөлшегіне, 1 жөне 2 теоремалардың нөтижелерiн қолданып -тың барлық түбiрлерiне сөйкес келушi қарапайым бөлшектерге жiктеуге болатынын көрсетуге болады.

Егер болса, онда бөлшегін мына түрде жазуға болады

(4)

Коэффициенттерін былай табамыз.

(4) теңдік тепе-теңдік болғандықтан, бөлшектерді ортақ бөлімге келтіріп, оның алымының сол және оң жақтарында тепе-тең көпмүшеліктер аламыз. -тің бірдей дәрежесінің коэффициенттерін теңестіріп, белгiсiз коэффициенттерді , табу үшiн теңдеулер системасын аламыз.

Коэффициенттерді табудың бұл әдісін, анықталмаған коэффициенттер әдісі деп атаймыз.

Сонымен, кез-келген дұрыс рационал бөлшекті қарапайым рационал бөлшектердің қосындысы түрінде жазуға болады.

Рационал бөлшектердi интегралдау .

бөлшегінің интегралын табу керек, яғни

Егер дұрыс емес бөлшек берілсе, онда оны көпмүшеліктің және дұрыс рационал бөлшектің қосындысы түрінде жазуға болады. Сонымен кез-келген рационал бөлшектерді интегралдау, көпмүшелікті және қарапайым бөлшектерді интегралдауға келеді.