Функция экстремумы

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 4 бет
Таңдаулыға:

Функция экстремумы.

Жоспар

Функция экстремумы. Экстремумның бар болуының қажетілік және жеткіліктілік шарттары.
Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері.
Ферма теоремасы. Вейерштрасс теоремасы

Анықтама. Егер де Хо нүктесін функция анықталған аралықта жатқан төңірекпен қоршауға мүмкін болса, бұл төңіректің барлық Хо нүктелерінде теңсіздігі орындалса, онда Хо нүктесінде f(x) функцияның максимумы (немесе минимумы) деп аталады.

Максимум және минимум нуктелерін қанағаттандыратын терминді - экстремум нүктесі, ал сол нүктенің атауын экстремум функциясы деп атаймыз.

Ферма теоремасы. F(x) Функциясы қандайда бір х аралықта анықталған немесе бұл аралықтың ішкі с нүктесінде ең үлкен (ең кіші ) мәнді қабылдайтын болсын . Егер де бұл нүктеде шектеулі екі жақты f'(c) туындысы бар болса, онда f'(c) =0 болуы қажетті.

Анықтама. Х=Хо нүктесі бірінші ретті критикалық нүкте, егерде мына ережелелерге сай келсе:

3. -функциясын қанағаттандырмаса, Х=Хо нүктесі көрсетілсе. Функцияның ең үлкен, ең кіші мәні.

Вейерштрасс теоремасы. Егер f(x) функциясы шектелген тұйық [a, b] облысында анықталған және үздіксіз болса, онда ол шектелген функция, яғни оның мәндері шектеулі екі шекара арасында болады:m≤f(x, y) ≤M

(а, b) интервалында жатқан критикалық нүктені табу.
Осы нүктедегі функцияны есептеу.
Осы нүктені қиятын ең үлкен және ең кіші функияларды есептеу.

бекітілген нүктесі маңайында (яғни оның барлық нүктесінде) анықталған болсын.

1-анықтама. Егер нүктесінің қандай да болса бір маңайы табылып, оның барлық нүктесі үшін () теңсіздігі орындалса, онда нүктесі функциясының жергілікті максимум (жергілікті минимум) нүктесі деп аталады.

2-анықтама. Егер нүктесінде функциясы жергілікті максимум немесе жергілікті минимум мәндерін қабылдайтын болса, онда ол нүктесінде жергілікті экстремум мәндерін қабылдайды делінеді.

Экстремумның қажетті шарты - функциясы нүктесінің қандай болса да бір маңайында анықталған функция болсын да, нүктесі функциясының жергілікті экстремум нүктесі болсын. Сонда, немесе анықталмаған.

3-анықтама. функциясы нүктесінің қандай болса да бір маңайында (мүмкін осы нүктеде де) үзіліссіз болып қала тұра, дифференциалданатын функция болсын дейік. Сонда, егер немесе анықталмаған болса, онда нүктесі функциясының экстремумға күдікті нүктесі деп аталады [21-23] .

нүктесі функциясының күдікті нүктесі болсын. Егер нүктесінің қандай болса да бір маңайы табылып және бұл маңай ішінде функцияның туындысы таңбасы нүктесінің сол және оң жақтарында әртүрлі болса, онда бұл нүктеде функцияның экстремумы болады және -дің сол жағыда, ал оң жағында болса, онда нүктесі функциясының жергілікті максимум нүктесі де, ал керісінше жағдайда, нүктесі жергілікті минимум нүктесі болады. Егер нүктесінің қандай болса да бір маңайында өз таңбасын үнемі сақтап қалдырса, онда нүктесі функциясының экстремум нүктесі болмайды.

Мысал : Мына функцияның жергілікті экстремумы бар жоқтығын зерттеңіздер.

1. Бұл функция және оның туындысы бүкіл сандық өсте үзіліссіз.

шартынан функциясының жалғыз ғана күдікті нүктесі бар болатыны шығады. болғанда болып, ал болғанда болғандықтан, нүктесі функциясының максимум нүктесі болады.

Сурет функциясының графигі

5-анықтама. Егер интервалында функциясының графигі кез келген нүктеде (жанасу нүктесін ескермегенде) жүргізілген жанамадан төмен жатса, онда функциясының графигі дөңес (немесе дөңесі жоғары қараған) деп аталады. Ал интервалында функциясының графигінің ойыстығы да осылайша анықталады. Бұл жағдайда функцияның графигі кез келген нүктесінде (жанасу нүктесін ескермегенде) жүргізілген жанамадан жоғары орналасады (немесе дөңесі төмен қараған)

Дөңестіктің жеткілікті шарты- функциясы интервалында екі ре дифференциалданатын болсын. Сонда, егер барлық үшін болса, онда бұл интервалда функциясының графигі дөңес болады. Ал барлық үшін болса, онда интервалында функциясының графигі ойыс болады.

6-анықтама. Егер Ох өсінде нүктесінің қандай болса да бір маңайы табылып, бұл маңайда нүктесінің оң жағы мен сол жағында графигінің дөңестік қалпы ауысатын болса, онда нүктесі графиктің иілу нүктесі деп аталады.

Иілудің қажетті шарты интервалында функциясының екінші ретті үзіліссіз туындысы бар дейік; Егер нүктесі функция графигінің иілу нүктесі болса, онда болады.

Пән бойынша негізгі және қосымша әдебиеттер тізімі

№: №

Авторлар: Авторлар

Оқулықтың, оқу құралының аталуы: Оқулықтың, оқу құралының аталуы

Баспасы,шығарылған жылы:

Баспасы,

шығарылған жылы

№: 1

Авторлар: Трусов П. В.

Оқулықтың, оқу құралының аталуы: Введение в математическое моделирование:

Баспасы,шығарылған жылы: - М. : Логос, 2005. 440 c.

№: 2