Нақты сандар және олардың қасиеттері. Бүтін сандар және оларға амалдар қолдану

I Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5

II Негізгі бөлім ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 7

2.1 Натурал сандар және олардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... 7

2.2 Бүтін сандар және оларға амалдар қолдану ... ... ... ... ... ... . 11

2.3 Рационал және иррационал сандар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 15

2.4 Нақты сандар және олардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... 27

III Практикалық бөлім ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 33

IV Қорытынды бөлім ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 48
КІРІСПЕ

Сан ұғымы өте ерте заманда туған. Бұл ұғым ғасырлар бойы кеңейтіліп әрі жалпылана түскен. Адамзат мәдениетінің тууы және оның дамуымен тығыз байланысты ұғым — сан ұғымы. Тарихтан бұрынғы заманда сан ұғымының тууы және дамуы тіл дамуымен байланысты болды, өйткені әр санды атау үшін тіл керек. Міне осы мәселелерді материалистік тұрғыдан талдап, танып білу жаратылыстану ғылымдар философиясындағы мақсаттардың бірі болып табылады. Буржуазиялық идеалистік «теория» сан ұғымы адамға туа біткен табиғи категория деп тұжырымдайды. Неміс математигі Кронекер « 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,... натурал сандарды жасаған құдай, қалғандары -адамзаттың қолындағы іс» дейді.
Математиканың алғашқы ұғымы — сан ұғымының тууына түрткі болған адамның еңбек әрекеті. Еңбектену әрекетінде оған бұйымның мөлшерін өлшеп білу керек болды. Әрине бұл ұғым бір күннің, әйтпесе бір жылдың тіпті бір ғасырдың ішінде қалыптаса қойған жоқ. Сан ұғымының қалыптасуына мыңдаған жылдар керек болды.
Адамзат мәдениет есігін аша бастаған шақта, ең алдымен натурал сандарды қолданды. Олар мыналар: 1, 2, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,... жеке заттарды санаудың нәтижесінен келіп шыққан бұл сандар адамзат мәдениетінің ең негізгі табыстарының бірі болып табылады. Егер сан ұғымы болмаса, рухани өміріміз бен практикалық қызметімізді өз дәрежесінде көрсете алмаған болар едік, есеп-қисап жүргізу, уақытты, қашықтықты өлшеу, еңбек нәтижелерінің қорытындыларын есептеп шығару сан ұғымынсыз мүмкін болмаған болар еді.
Теңдеулерді шешу теріс сандардың шығуына алып келді. Теріс сандар ұзақ уақыт бойы “жалған” сандар деп есептеліп, “қарыз” (“борыш”), “жеткіліксіздік” (“жетімсіздік”) ретінде түсіндіріліп келген.
Оң және теріс сандарға амалдар қолдану ережесі ұзақ уақыт бойы тек қосу және азайту жағдайлары үшін ғана ғарастырылып отырған.
XVII ғасырда ғана Декарт пен Ферма енгізген координаттар әдісі пайдаланыла бастағаннан бері теріс сандар оң сандар мен тең праволы сандар ретінде қабылданады. Бүтін және бөлшек сандар рационал жиынын құрайды. Бұл сандар есептеуге қолайлы: екі рационал санның қосындысы, айырмасы, көбейтіндісі және бөліндісі рационал сандар болып табылады.
Рационал сандардың тығыздық қасиеті бар, мұның арқасында кез келген кесіндісі бірлік өлшем ретінде қабылданған кесіндімін кез келген дәлдік дәрежесі бойынша өлшеуге және де өлшеу нәтижесін рационал санмен өрнектеуге болады. Сондықтан рационал сандар ұзақ уақыт бойы адамзаттың іс жүзінде қажеттіктерін толық қамтамасыз етіп келді (және де қазіргі кезге дейін қамтамасыз етуде). Соған қарамастан шамаларды өлшеу мәселесі жаңа сан, иррационал санның шығуына әкеп тіреді. Ежелгі Грецияда Пифагордың (біздің заманымызға дейінгі 6 ғасырда) мектебінде, егер өлшеу бірлігі ретінде квадраттың қабырғасы алынатын болса, онда квадраттың диагоналын рационал санмен өрнектеуге болмайтыны дәлелденген болатын. Квадраттың диагоналы және оның қабырғасы секілді кесінділерді өлшенбейтін кесінділер деп атаған. Бұдан кейінгі уақытта (біздің заманымызға дейінгі 5-4 ғасырларда) ежелгі грек математиктері толық квадрат болмайтын кез келген натурал n саны үшін n санының иррационалдығын дәлелдеді.
Әрбір рационал немесе иррационал сан координаттық түзудің бойында нүктемен кескінделеді және керісінше, координаттық түзудің бойындағы әрбір нүктеге белгілі бір рационал немесе иррационал, яғни нақты сан сәйкес келеді. Иррационал сандар ендірілгеннен кейін координаттық түзудің бойындағы барлық “бос орындар” толтырылды. Осы қасиетке сүйеніп, нақты сандар жиыны үздіксіз болып табылады делінеді.
Кез келген нақты санды шектеусіз (периодты немесе периодсыз) ондық бөлшек түрінде көрсетуге болады. XVIII ғасырда Л.Эйлер (1707-1783) мен И. Ламберт (1728-1777) кез келген шектеусіз ондық бөлшек иррационал сан болатынын көрсетеді. Шектеусіз ондық бөлшектер негізінде нақты сандар құруды неміс математигі К.Вейерштрасс (1815-1897) жасады. Нақты сандар теориясын мазмұндаудың басқаша тәсілдерін неміс математиктері Р.Дедекинд (1831-1897) пен Г.Кантор (1845-1918) ұсынды.
Курстық жұмыстың мақсаты:
Нақты сандар және олардың қасиеттері туралы үйрену және олардың қасиеттерін зерттеу. Арифметикалық амалдар қолдану арқылы есептер шығару арқылы тақырыпты пысықтау. Теорияда берген материалдары тәжірибеде іске асыру.
Курстық жұмыстың міндеттері:
- санның шығу тарихы туралы түсінік беру;
- мектеп курсында оқытылатын сандар туралы түсінік қалыптастыру;
- сандардың қасиеттерін ұғындыру;
- әр түрлі қасиетке ие болатын сандарды зерттеу.
Жұмыстың зерттелу деңгейі:
Егер сандар туралы тереңірек зерттеп, оқып үйренсе, онда әрбір адам математиканың қаншалықты қажеттілігін толық түсінер еді.
Сандар мен оларға қолданылатын амалдардың қасиеттері зерттелетін математиканың бөлімі сандар теориясы деп аталады. Сандар теориясын құрудың бастамасын ежелгі грек оқымыстылары Пифагор, Евклид, Эратосфен және т.б. жасаған еді.
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР:

1. «Бастауыш мектеп» №4.
2. «История математики» 2 бөлім 1979ж.
3. «Математика және физика», журнал, №2 2008ж.
4. Т.А. Алдамұратова «Математика» Жалпы білім беретін мектептің 5-сыныбына арналған оқулық. Алматы «Атамұра» 2005ж.
5. Е.Ж. Айдос, Т.О. Балыңбаев «Математика – оқу құралы».
6. Н.Я. Виленкин Алгебра 8 кл. Учеб.пособие для учащихся шк. и кл. с угубл. изуч. математики. Москва. Просвещение, 1997г.
7. Г.М. Фихтенгольц “Математикалыќ анализ негіздері” Гостехиздат 1956г.
8. Х.И. Ибрашев, Ш.Т. Еркеғұлов “Математикалыќ анализ курсы” 1 том Алматы:
“Мектеп”1970ж.
9. Н. Темірғалиев “Математикалыќ анализ” Алматы: “Мектеп”1987ж. 1том.
10. «Математика» О.М. Жолынбаев, Г.Е. Берікханова Алматы, 2004ж.
11. «Математикалық анализден лексиялар курсы» I том, Б.Т. Төлегенов, Алматы, 1973ж.
12. «Математика» В.А. Гусев, А.Г. Модкович, Алматы, 1993ж.
        
        МАЗМҰНЫ:
I ... 5
II ... ... ... ... сандар және олардың қасиеттері ............................ 7
2.2 ... ... және ... ... ... ... 11
2.3 ... және ... ... ... ... ... және олардың қасиеттері ...............................
27
III ... ... ... ... ... ... ... өте ерте заманда туған. Бұл ұғым ғасырлар бойы кеңейтіліп ... ... ... ... тууы және оның ... ... ұғым — сан ұғымы. Тарихтан бұрынғы заманда сан ... ... ... тіл ... байланысты болды, өйткені әр санды атау үшін ... Міне осы ... ... ... ... ... білу
жаратылыстану ғылымдар философиясындағы мақсаттардың бірі ... ... ... ... сан ... ... туа біткен табиғи
категория деп ... ... ... ... « 1, 2, 3, 4, 5, ... 8, 9, 10, 11,... натурал сандарды жасаған құдай, қалғандары -адамзаттың
қолындағы іс» дейді.
Математиканың алғашқы ұғымы — сан ... ... ... ... ... ... ... әрекетінде оған бұйымның мөлшерін өлшеп
білу керек ... ... бұл ұғым бір ... ... бір ... ... ... ішінде қалыптаса қойған жоқ. Сан ұғымының қалыптасуына мыңдаған
жылдар керек болды.
Адамзат мәдениет ... аша ... ... ең ... ... қолданды. Олар мыналар: 1, 2, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... ... ... нәтижесінен келіп шыққан бұл сандар адамзат
мәдениетінің ең негізгі табыстарының бірі ... ... Егер сан ... ... өміріміз бен практикалық қызметімізді өз ... ... ... ... ... жүргізу, уақытты, қашықтықты өлшеу,
еңбек нәтижелерінің қорытындыларын есептеп шығару сан ... ... ... еді.
Теңдеулерді шешу теріс сандардың шығуына алып келді. Теріс сандар ұзақ
уақыт бойы ... ... деп ... ... ... ... ... түсіндіріліп келген.
Оң және теріс сандарға амалдар қолдану ережесі ұзақ уақыт бойы тек ... ... ... үшін ғана ғарастырылып отырған.
XVII ғасырда ғана Декарт пен ... ... ... ... ... бері ... сандар оң сандар мен тең ... ... ... ... және ... ... рационал жиынын құрайды. Бұл сандар
есептеуге ... екі ... ... ... ... ... бөліндісі рационал сандар болып табылады.
Рационал сандардың тығыздық қасиеті бар, мұның арқасында кез ... ... ... ... қабылданған кесіндімін кез келген дәлдік
дәрежесі бойынша өлшеуге және де өлшеу нәтижесін рационал санмен ... ... ... ... ұзақ уақыт бойы адамзаттың іс жүзінде
қажеттіктерін толық қамтамасыз етіп келді (және де ... ... ... етуде). Соған қарамастан шамаларды өлшеу мәселесі жаңа сан,
иррационал санның шығуына әкеп ... ... ... ... ... ... 6 ... мектебінде, егер өлшеу бірлігі ретінде
квадраттың қабырғасы алынатын болса, онда квадраттың ... ... ... ... ... ... ... диагоналы және
оның қабырғасы секілді кесінділерді өлшенбейтін кесінділер деп атаған.
Бұдан кейінгі уақытта ... ... ... 5-4 ... ... математиктері толық квадрат болмайтын кез келген натурал n саны үшін
n ... ... ... ... немесе иррационал сан координаттық түзудің бойында ... және ... ... түзудің бойындағы әрбір нүктеге
белгілі бір рационал немесе иррационал, яғни ... сан ... ... ... ... ... координаттық түзудің бойындағы барлық
“бос орындар” толтырылды. Осы қасиетке сүйеніп, нақты сандар жиыны үздіксіз
болып табылады делінеді.
Кез келген нақты ... ... ... ... ... ... ... көрсетуге болады. XVIII ғасырда Л.Эйлер (1707-1783) мен И. Ламберт
(1728-1777) кез келген шектеусіз ондық ... ... сан ... ... ондық бөлшектер негізінде нақты сандар құруды неміс
математигі К.Вейерштрасс (1815-1897) ... ... ... ... ... ... неміс математиктері Р.Дедекинд (1831-1897)
пен Г.Кантор (1845-1918) ұсынды.
Курстық жұмыстың мақсаты:
Нақты сандар және олардың қасиеттері ... ... және ... қасиеттерін
зерттеу. Арифметикалық амалдар қолдану арқылы есептер шығару арқылы
тақырыпты пысықтау. Теорияда ... ... ... іске ... ... ... санның шығу тарихы туралы түсінік беру;
- мектеп курсында оқытылатын сандар туралы түсінік қалыптастыру;
- сандардың қасиеттерін ұғындыру;
- әр түрлі қасиетке ие ... ... ... зерттелу деңгейі:
Егер сандар туралы тереңірек зерттеп, оқып ... онда ... ... ... ... ... ... еді.
Сандар мен оларға қолданылатын амалдардың ... ... ... ... ... деп ... Сандар теориясын құрудың
бастамасын ежелгі грек оқымыстылары Пифагор, Евклид, ... және ... ... ... ... және ... қасиеттері
Натурал сандардың жазылуы. Заттарды санау үшін немесе қандай да бір заттың
біртекті заттар арасындағы реттік ... ... үшін ... 1, ... 4, 5 . . . ... ... сандар деп аталады. Ондық санау системасында
кез келген натурал сан 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... ... ... 2457 ... 2 – ... цифры, 4 – жүздіктер цифры, 5
– ондықтар цифры және 7 – ... ... ... ... яғни 2457 – 2 ... + 4 ∙ 100 + 5 ∙ 10 + 7. ... егер a – ... цифры, b – жүздіктер
цифры, c – ондықтар цифры және d – бірліктер цифры болса, онда a ∙ 1000 + ... 100 + c ∙ 10 + d ... ... ... ... abcd (abcd деп жазуға
болмайды, өйткені бұндай жазуды математикада қабылданған келісім бойынша a,
b, c, d сандарының ... ... ... да пайдаланылады. Осы
сияқты abcde жазылуы a ∙ 10000 + b ∙ 1000 + c ∙ 100 + d ∙ 10 + e (a ≠ ... ... ... ... ... ... ... қосудың немесе көбейтудің нәтижесі әрқашан натурал сан
болады: егер m, n ... ... ... онда p = m +n де ... сан, m ...... p – қосынды; p = mn де натурал сан, m, n – ... ... ... Натурал сандарды қосу мен көбейтудің ... ... a + b = b + a ... орын ... қасиеті).
2°. (a + b) + c = a + (b + c) (қосудың терімділік қасиеті).
3°. ab = ba ... орын ... ... (ab)c = a(bc) (көбейтудің терімділік қасиеті).
5°. a (b + c) = ab + ac ... ... ... ... қасиеті).
Натурал сандарды азайтудың немесе бөлудің нәтижесінде әрқашан натурал сан
алына ... ... 7 – 4 = 3 – ... сан, ал 4 – 7 = -3 – ... ... 21 : 7 = 3 – ... ал 11 : 2 = 5,5 – ... сан емес. Егер
m, n, k – ... ... ... онда m – n = k, ... ... m –
азайғыш, n – азайтқыш, k – айырым дейді; m : n = k ... ... m ... n – бөлгіш, k – бөліндінің мәні дейді, бұл жағдайда m ... ... ... ал n ... m санының бөлгіші деп те айтады. Егер m – n
санының еселігі болса, онда m = kn ... k ... ... арифметикалық сандардың таңбалары ... ... ... ... ... ... Егер сандақ өрнекте,
қабылданған ретті сақтай отырып, көрсетілген амалдарды орындайтын болсақ,
онда өрнектің мәні деп ... сан ... ... ... ... ... ретін еске түсірейік: алдымен жақшалардың
ішіндегі амалдар орындалады; кез ... ... ... ... ... өрнектерде де ауд.) алдымен көбейту мен бөлу, ал содан кейін ... ... ... орындалады. Мысалы, егер
1 4 2 3 5 ... ∙ 93 + (1927 - 1873) ∙ 31) : 6 - ... ... ... ... ... онда ... орындалу реті мынадай
болады:
1 2 3 4 5 ... ∙ 93 + (1927 - 1873) ∙ 31) : 6 – ... ... Егер m ... саны n натурал санына бөлінбейтін, яғни m =
nk болатындай k натурал саны жоқ ... онда ... ... қарастырады
мысалы, 43 санын 18 санына бөлгенде бөліндіде 2 және ... 7 ... 43 = 18 ∙ 2 + 7. ... ... егер m – ... n – ... (m >
n), p – бөлінді және r – қалдық ... ... = np + ... r < n. Бұл жерде m, n, p, r – натурал сандар (тек m n-ға ... және r = 0 ... ... өзгеше). Мысалы, егер n = 3, ал r = ... онда m = 3p + 2. Бұл ... ... 2-ні беретін сандардың
формуласы.
Мысал. 36 421 санын 25 санына бөлгендегі ... мен ... табу ... ... ... ... ... 25 1456
114
¯100
142
¯125
171
¯150
21
Сонымен, бөлінді 1456, ал қалдық 21 болды. (1) ... ... 36421 =
25 ∙ 1456 + 21 деп жаза ... ... ... ... m ... санын n натурал санына
бөлуді жүргізбей-ақ, «m-ды n-ға қалдықсыз бөлуге бола ма, әлде болмай ... ... ... ... ... ... әр түрлі бөліну белгілері арқылы алуға болады.
Т.1.1. Егер ... ... ... ... бөлінетін болса, онда қосынды да
сол санға бөлінеді (қосындының бөлінгіштік белгісі туралы ... егер ... ... қандай да бір санға бөлінбесе, онда қосынды да
сол санға бөлінбейді деп ... ... ... 37 + 19 қосындысы 4-ке
бөлінеді, ал 37 де, 19 да 4-ке ... ... егер бір ... ... бәрі ... ... бөлінсе, онда қосынды сол санға
бөлінбейтінін атап өтеміз.
Т.1.2. Егер көбейтінді де кемінде бір көбейткіш ... ... ... онда ... де сол санға бөлінеді (көбейтіндінің бөлінгіштік
белгісі туралы теорема).
Мысалы, көбейтуді орындамай-ақ 105 ∙ 48 ∙ 93 ∙ 54 ... ... деп ... ... ... 105 ... 5-ке бөлінеді.
Т.1.3. Натурал сан оның соңғы цифры 2-ге бөлінгенде және тек сонда ғана 2-
ге бөлінеді (2-ге бөліну белгісі).
Т.1.4. ... сан оның ... ... не 0, не 5 ... және тек сонда ғана
5-ке бөлінеді (5-ке бөліну белгісі).
Т.1.5. Натурал сан оның соңғы цифры 0 болғанда және тек ... ғана ... (10-ға ... ... ... саны ... кем болмайтын натурал сан соңғы екі ... ... сан 4-ке ... және тек ... ғана 4-ке ... ... бөліну белгісі).
Дәлелдеуді бесорынды аbсdе саны үшін жүргіземіз. Сонда аbсdе – а ∙ 10000 +
b ∙ 1000 + с ∙ 100 + d ∙ 10 + е. 100, 1000 және 10000 ... үшін ... ... 10 000 а + 1000 b + 100 с ... да ... Олай болса, егер а ∙ 10 + с саны 4-ке бөлінетін болса, онда аbсdе
саны да 4-ке бөлінеді, егер де 10 d + е саны 4-ке ... ... ... саны да 4-ке ... ... 15436 саны 4-ке ... өйткені 36
саны 4-ке бөлінеді. 372 514 саны 4-ке бөлінбейді, өйткені 14 саны ... ... сан оның ... ... 3-ке ... және ... ғана 3-ке бөлінеді (3-ке бөліну белгісі).
Дәлелдеуді төрторынды аbсd саны үшін жүргіземіз. Сонда аbсd = 1000 а + ... + 10 с + d = (999 а + а) + (99 b + b) + (9с +с) + d = (999 а + 99 b + ... + (а + b + с + d). 9, 99, 999 ... 3-ке ... және (999 а + 99 b +
9 с) + (а + b + с + d) ... ... а + b + с + d ... 3-ке
бөлінеді және тек сонда ғана 3-ке ... ... 2742 саны ... ... бұл ... ... 2 + 7 + 4 + 2 = 15 қосындысы 3-ке
бөлінеді. 17941 саны 3-ке ... ... бұл ... ... 22, ал 22 саны 3-ке ... ... сан оның ... қосындысы 9-ға бөлгенде және тек сонда
ғана 9-ға бөлінеді (9-ға ... ... ... жай ... ... ... тек екі ... (санның өзі мен бір) ғана бар болса, онда ... сан деп ... егер ... екіден көп бөлгіштері бар болса, онда ол
құрама сан деп аталады. Солай, 19 жай сан, өйткені оның екі ... ... 1 мен 19; 35 сан ... сан: оның 4 ... бар: 1, 5, 7, 35. Жай ... екі ... ... көбейтіндісі түрінде бір ғана тәсілмен өрнектеуге
болады: 19 = 1 ∙ 19 ... ... ... құрама 35 санын
екі натурал санның көбейтіндісі түрінде екі ... ... ... ... 35 = 1 ∙ 35 = 5 ∙ 7. 1 саны жай ... да, ... ... ... атап ... Кез келген құрама натурал санды бір ғана тәсілмен жай ... ... ... жай ... жіктегенде бөліну белгілерін пайдаланады да
вертикаль сызықтың оң жағында бөлгіштер, ал сол ... ... ... бөліндінің мәні орналасатындай етіп бағаналап жазу қолданылады.
Олай, 360 саны үшін тиімді бұл жазылу мынадай ... ... 2
90 2
45 3
15 3
5 ... ... жай ... жіктелуінде бір а көбейкіші n рет кездесетін
болса, қысқаша былай жазады: аn , яғни а ∙ а ∙ а ∙ ... ∙ а = аn. аn ... ... а саны – ... ... n саны – дәреженің көрсеткіші деп
аталады. Сондықтан 360 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 = 23 ∙ 32 ∙ 5 деп ... ... ... ең ... ... бөлгіші. 72 және 96 сандары
берілсін. 72 ... ... ... жазайық: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, ... 24, 36, 72. 96 ... ... ... жазайық: 1, 2, 3, 4, 6, 8,
12, 16, 24, 32, 48, 96. Осы жазылған ... ... ... бар: ... 3, 4, 6, 8, 12, 24. Бұл ... ... 72 мен 96 ... ортақ
бөлгіштері деп, ал олардың ішіндегі ең үлкенін ең үлкен ортақ ... ... ... а мен b ... натурал сандары үшін ең үлкен ... ... ... Ол Д (а, b) ... ... («Д – а, b» деп оқылады).
Егер а мен b – Д (а, b) = 1 ... ... ... онда а мен b ... ... деп аталады. Мысалы, 72 мен 35 сандары (олардың әрқайсысы құрама сан
болса да) өзара жай сандар.
Бірнеше ... ең ... ... ... табу үшін бұл ... жай
көбейткіштерге жіктеу керек те ең кіші дәрежелерімен алынған ... ... ... табу ... Д (48, 60, 72)-ні табу ... 48 = 24 ∙ 3; 60 = 22 ∙ 3 ∙ 5; 72 = 23 ∙ 32. Олай ... (48, 60, 72) = 22 ∙ 3. ... Д (48, 60, 72) = ... Д (3780, ... табу керек.
3780 = 22 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 7
7056 = 24 ∙ 32 ∙ 72
Шешуі. 3780 2 7056 ... 2 3528 ... 2 1764 ... 2 882 ... 2 441 3
35 2 147 3
7 2 49 7
1 2 7 ... Д (3780, 7056) = 22 ∙ 32 ∙ 7, 3780 ... ... де, ... жіктелуіне де енетін жай көбейткіштер (ең кіші дәрежелі) алынған.
Жауабы: Д (3780, 7056) = 252.
Бірнеше натурал санның ең кіші ... ... 12 мен 18 ... ... ... ... ... 12, 24, 36, 48, 72, ... . 18-ге ... ... 18, 36, 54, 72, 90, .... . ... ... ... бірдейлері бар: 36, 72, ... . Осы ... ... 12 мен ... ... ... деп, ал ... ... ең кішісін 12 мен ... ең кіші ... ... деп атайды.
Кез келген а мен b натурал ... ең кіші ... ... осы ... да, ол К (а, b) ... белгіленеді (оқылуы, «К – а, b»).
Бірнеше санның ең кіші ... табу үшін бұл ... жай ... ... те ... ... жай көбейткіштердің (оларды ең үлкен
дәрежесімен алып) көбейтіндісін табу керек.
Мысал. К (3780, 7056)-ны табу керек.
Шешуі. 3780 = 22 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 7, 7056 = 24 ∙ 32 ∙ 72. ... К (3780, 7056) =
24 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 7, яғни 3780 мен 7056 ... ... ... ... ... жай ... алынған. Сонымен, К (3780, 7056) = 105 840.
Кез келген а мен b натурал сандары ... (а, b) ∙ К (а, b) = а ... ... Егер, дербес жағдайда, а мен b сандары өзара жай, яғни ... b) = 1 ... онда К (а, b) = а b. Бұл ... жай екі ... ең ... ... осы ... көбейтіндісіне тең болатынын білдіреді.
Алгебрада әріптерді қолдану. Айнымалылар. Алгебрада сандардың нақтылы
қасиеттері көбінесе ... ... ... ... ... ... заңы (қосылғыштардың орындарын ауыстырғаннан қосынды
өзгермейді) былай жазылады: а + b = b + а, ... а мен b-ның ... ... ... ... ... 3 + 5 = 5 + 3; 100 + 3501 = 3501 + 100 ... Әріптердің орнына қоятын санды оның мәні деп ... ... ... ... ... теңдік орынды болатындай етіп
әріптің орнына тек анықталған сандарды ғана қоюға болады. Мысалы, 7 + х =
10 ... тек х = 3 ... ғана ... ... ... әріптерді
айнымалылар деп атайды; бұндай атаудың мағынасы әріптің сандық ... ... ... а + b = b + а ... а =3, b – 5 деп, а
= 7, b = 19 деп және ... ... болады – барлық жағдайларда да теңдік
орынды. 7 + х = 10 ... х = 3 деп, х = 5 деп ... ...... ... ... дұрыс, ал екінші жағдайда теңдік
дұрыс емес болуында. Д (а, b) = 1 ... а мен b ... ... ... ... а = 18, b = 25, а = 100, b = 99; а = 13, b = ... т.с.с. Бұл теңдік айнымалылардың келесі мәндерінде дұрыс емес: а = 8,
b = 6, а = 25, b = 150; а = 7, b = 777 және ... ... ... және ... ... ... байқағанымыздай натурал сан қатары, ноль саны, бірлік ... ... ... ... ... Сондай-ақ сандарға
қолданылатын амалдар жөніндегі бастапқы біліміміздің көзі де ... ... ... ... емес ... ... ... қолдану нәтижесінде жаңа сан шығады. Бұл
амалдар – қосу, азайту, көбейту, және бөлу.
Қосу. Сандарға қолданылатын арифметикалық амалдардың ең ... ол ... ... болып табылады. Бұл амал жиындарға қолданылатын операциялардан
шыққан. Расында да, ортақ ... жоқ, әр ... және ... ... ... бір жиын етіп ... біз ... шығарып аламыз, ал бұл жиын және жиындарының, тек
солардың ғана ... ... ... жиынын берілген М1 және М2 жиындарының қосындысы деп айтатын боламыз.
Сонымен, ортақ элементтері жоқ, ... М1 және М2 екі ... ... сол ... тек ... ... барлық элементтерінен құралған жаңа
жиынды айтамыз.
Жалпы алғанда, егер М1,М2 және ... ... М ... ... және ... мен ...
санын құрастыру мен сандарын қосу деп аталады, ал ... ... ... ... деп ... ... ... болады:натурал мен сандарының қосындысы деп мынадай
бір жаңа ... ... ол саны ... ... болмайтын және
қуаттары мен сандарымен ... М1 және М2 ... ... ... М ... ... ... белгілеп көрсету үшін плюс деп аталатын + таңбасы қолданылады.
Жоғарыда баяндағанымызға ... ... емес ... екі ... ... да ... болады, өйткен берілген екі саның қосындысын санау
операциясын ... ... ... ... ... ... ... санау арқылы әрқашан да табуға болады.
Теріс емес бүтін сан -ға ... ... ... ... ... сол санының өзі шығады деген сөз екендігін ескертейік.
Демек, және символдары санын көрсетеді, яғни ... ... ... ... .
Бұған дейін екі жиының бірігуі және соған ... екі ... ... сөз ... ... ... зандары деп қосындының мынадай қасиеттері аталады:
Ауыстырымдылық ... ... ... ... ... орнын өзгертуден қосынды өзгермейді. Расында
да, біз екі ... қосу ... бір ... ... ... ... қосып санау арқылы орындауға болатындығын байқадық, бірақ санау
нәтижесі санау тәртібіне байланысты болмайды. Демек, 5 пен 3 ... 5-ке 3-тің ... ... ... санаймыз ба, немесе,
керісінше, 3 санына 5 санының барлық бірліктерін қосып ... ба, ... бұл екі ... да бір ... ... Тек ... маңызды нәрсе
әр-бір қосылғыштың барлық бірліктері қосындының ... ... ... Нақтысында да 5+3=8 және 3+5=8. Демек: 5+3=3+5, және ... ... ... да,
Терімділік. Егер қандай да бір қосылғыштарды топтарға біріктіріп, қосуды
топтар бойынша ... ... ... ... ... ... ... қосындыс өзгермейді.
Мысалы, егер 2, 4 және 3 сандарын алсақ, олардың қосындысын шығарып алу
үшін, ... ... ... ... бойынша, біздің былай
істеуімізгі болар еді;: 2+4+3=(2+4)+3=6+3=9. Бірақ ... ... та біз осы ... шығарып алуымызға болар еді, атап айтқанда:
2+4+3=2+(4+3)=2+7=9.
және қандай сандар болса да,
және
Қосындының монотондылығы
1) Егер берілген екі сан (және ) ... тең ... онда ... бір ғана ... () ... өзара тең қосындылар шығады.
Расында да, егер болса, онда өйткені бұл ... ... саны ... ... ... Егер ... екі ... біреуі () екіншісінен () артық
немесе кем болса, онда олардың әрқайсысына бір ғана санды () ... сай ... ... ... ... ... немесе кем болады.
болсын дейік. Мұнымыз санның құрамында саны және ... ... тағы бір саны бар ... сөз ... яғни ... болса,
Бұдан болады, өйткені алдындағы теңдікке қарағанда қосындысының
құрамында қосындысы және нөлге тең емес тағы да бір ... Екі ... және ... ... қосындысы жөніндегі ұғымды біз
жиындардың бірігуін және сол сандарды қосуды қарастырудан тікелей шығардық.
Азайту және ... да ... ... ... ... қолданатын сәйкес операцияларды қарастырмай-ақ, екі санның
қосындыс жөніндегі ұғымға сүйенуімізге болады.
Тең емес екі сан ... ... ... екіншісінен қалай дегенмен де
артық болады, яғни оны кіші санға бір үшінші санды қосу ... ... ... егер және ... ... ... онда оның ... және оның үстінде тағы да бір саны болады, демек, оны
мен ... ... ... ... ... яғни ... санынан бірлікті азайтсақ (шегерсек), онда ол саннан
бірлік қалуға тиіс. Егер мен ... ... ... ... ... ретінде қайтадан саны келіп шығады.
Бұған қарағанда, үлкен сан -дан кіші сан -ні ...... ... табу ... сөз, ... саны кіші сан
-ге қосқанда үлкен сан шығатын болу керек.
Демек, азайту деп берілген қосынды () және ... ... ... ... ... () ... арифметикалық амал
аталады.
Азайту амалы «минус» деп аталатын (-) таңба арқылы былай өрнектеледі:
Мұндағы - азайғыш, - ... - ... ... ... тең емес екі санның айырмасы бір ... ... ... ... ... ... ... және азайтқыш өзара тең. Бұл жағдайда азайғыштан ... ... ... ... ... ... ... айқын. Демек
айырымы нөлге тең.
Расында да: , өйткені
2) берілген саннан нөлді азайту дегеніміз – ол ... ... ... ... ...
3) 0-0=0, ... ... және азайту өзара кері амалдар болып табылады, өйткені қосу амалында
қосылғыштар беріледі де, қосынды ізделінеді, ал ... ... ... және бір ... ... де, екінші қосылғыш ізделінеді.
Көбейту. Қосу амалына берілген есептерді екі немесе бірнеше тең ... табу ... ... ... жиі ... Мынадай есептерді
қарастырайық:
Ұшақ сағатына 420 км ұшады. 4 ... ... ол неше ... ... ... төрт тең ... қосумен шығаруға болады: 420+420+420+420=1680(км)
Бірдей екі немесе бірнеше сандардың қосындысын табу жаңа ... ... алып ... ... емес ... сан -ны ... емес бүтін сан -
ге көбейту дегеніміз - әрқайсысы -ға тең - ... табу ... ... ... ... ... немесе 2) әріптер қолданылғанда әдетте нүкте жазылмайды да,
деп жазудың орнына деп жазады.
Қайталайтын қосылғыш көбейгіш деп, оның неше рет ... ... ... деп ... да, ... ... ... көбейтіндінің мәні
немесе көбейтінді деп ... ... ... ... деп берілген бір сан
қосылғыш ретінде екінші бір санда қанша бірлік ... ... ... ... ... қосудың дербес түрі болғандықтан, оның әрқашан да
орындалуы мүмкін және бір ғана нәтиже ... ... ... тең болса, онда кбейтінді көбейгішке тең
болады. Басқаша айтқанда, берілген ... ... ... ... – ол ... ... деген сөз:
Егер көбейткіш нөлге тең болса, онда көбейтінді де нолге тең ... ... ... ... тең ... ... бізді жаңа амалға бөлу
амалын алып келді. Берілген санын санына бөлу ... ... ... саны ... бір жаңа санды табу деген сөз. Бұдан
бөлу амалының мынадай анықтамасы шығады: Бөлу амалы деп берілген екі ... және ... ... ... ... сан табылатын арифметикалық
амалды атаймыз. Математикаша жазып көрсеткенде бөлу түрліше белгіленеді:
бөлінгіш (сол жақта) пен ... (оң ... ... ... ... екі
нүктемен немесе бөлінгіш пен бөлгішті бір-бірінен ... ... ... белгілейді. Сөйтіп санын санына бөлуді екі
тәсілмен жазып көрсетуге болады:
1) немесе 2) сонда бұл ... ... ... ... ... бөлінедіде натурал сан шығатындығын көрсетеді. Бөлу
амалының анықтамасына сүйеніп, тендігінен мынадай теңдік ... , яғни ... ... көбейтілген бөлгішке тең болады.
Біздің барлық байымдап ... ... ... сан ... ... ескертелік.
2.3 Рационал және иррационал сандар
Жай бөлшектер. Дұрыс және бұрыс бөлшектер. Аралас сандар.
Жай бөлшек дегеніміз түріндегі ... ... m мен n ... ... ... , . m саны ... ... n саны
бөлшектің бөлімі деп аталады. Дербес жағдайда, n = 1 бола ... ... ... түрінде болады, бірақ бұны көбінесе жай ғана m деп
жазады. Бұл әрбір натурал ... ... 1 ... жай ... ... болатынын білдіреді. жазылуы – жазылуының ... ... ... және бұрыс бөлшектер деп те ажыратады. m/n бөлшегі,
алымы бөлімінен кіші болғанда дұрыс бөлшек деп, ал ... ... ... оған тең болғанда бұрыс бөлшек деп аталады. Әрбір бұрыс бөлшекті
натурал сан мен ... ... ... түрінде өрнектеуге болады (егер m
n-ге еселі болса, онда натурал сан алынады, мысалы = 4).
Мысал. Бұрыс бөлшекті натурал сан мен ... ... ... ... ... а) ; б) .
Шешуі. а) = = + = ... = = + = ... сан мен жай ... ... қосу ... жазу ... орнына деп, ал орнына деп ... ... ... сан ... сан деп ... Ол екі ... тұрады: бүтін
бөлік пен бөлшек бөлік. Сонда саны үшін бүтін бөлік 3, ал ... . ... ... ... ... сан ... ... натурал сан
түрінде) жазуға болады. Кері тұжырым да ... ... ... ... натурал
санды бұрыс бөлшек түрінде жазуға болады. Мысалы, = = +
= ; ... ... ... ... ... ... ... аd = bс болса, мен бөлшектері тең деп есептеледі. Мысалы,
пен бөлшектері тең, ... 3 ∙ 15 = 5 ∙ 9, мен ... тең, ... 12 ∙ 14 = 7 ∙ 24 ... ... ... мен ... теңдігі шығады, өйткені а(bm) =
b(аm), бұл жерде біз натурал ... ... ... және ... ... ... ... = , яғни егер
берілген бөлшектің алымы мен бөлімін бір ғана ... ... ... ... онда ... ... тең бөлшек алынады. Бұл қасиет
бөлшектің негізгі қасиеті деп аталады.
Бөлшектің ... ... ... кейде берілген бөлшекті өзіне тең,
бірақ алымы мен бөлімі берілген бөлшектің сәйкес алымы мен ... ... ... ... ... ... ... қысқарту деп
атайды. Мысалы, = (алымы мен бөлімді бір ғана 3 ... ... ... ... мен ... 5-ке ... тағы да қысқартуға болады,
яғни = . Жалпы жағдайда, егер бөлшектің алымы мен ... ... ... ... ... ... егер де алым мен бөлім өзара жай
сандар болса, онда бөлшек ... ... деп ... ... ... ... қысқартудың негізгі мақсаты – осы бөлшекті өзіне тең қысқармайтын
бөлшекпен ауыстыру.
Бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру. және ... ... ... әр ... 3 және 8, ... бөлшектің негізгі қасиетін
пайдаланып, бұл ... ... тең ... ... ... ... алынған бөлшектердің бөлімдері тең болуы ... ... ... ... бөлімге келтіру деп аталады. бөлшегінің
алымы мен бөлімін 8-ге көбейтіп, = ... ... мен ... 3-ке ... = ... ... ...
пен бөлшектері ортақ бөлімге келтірілді:
=
Бұл қойылған мәселенің жалғыз ғана шешімі емес ... ... ... ... ... 48 бөлімге келтіруге:
=, және ортақ 72 бөлімге келтіруге: = , және ... ... де, 8-ге де бір ... ... кез келген ортақ бөлімге келтіруге
болады.
Сонымен, бөлшектерді ортақ бөлімге көптеген тәсілдермен келтіруге болады,
бірақ әдетте ... ең кіші ... ... ... тырысады, ол
берілген бөлшектер бөлімдерінің ең кіші ортақ еселігіне тең.
Мысал, мен бөлшектерін ең кіші ортақ ... ... ... 24 пен 30 ... ең кіші ... ... ... К (24, 30) =
120 (7 пункті қараңыз). Сонда 120 : 24 = 5, ... ... ... ... ... үшін, оның алымын да, бөлімін де 5-ке көбейту керек:
= . Әрі қарай бөлімге келтіру үшін, оның ... да, ... де ... ... керек: =. Бөлшектер ортақ бөлімге келтірілді: ;
. 4 пен 5 сандарын ... ... және ... бөлшек қосымша
көбейткіштер деп атайды. Келесі жазылу әдісі пайдаланылады:
Сөйтіп, ... ең кіші ... ... ... ... 1) ... ең кіші ортақ еселігін табу; 2) ең кіші ортақ еселікті әрбір
бөлімге ... ... ... ... 3) әрбір бөлшектің алымы мен
бөлімін сәйкес қосымша көбейткішке көбейту ... ... ... ... амалдар. Жай бөлшектерді қосу
былай орындалады:
а) егер бөлшектердің бөлімдері бірдей ... онда ... ... ... ... ... қосады да бұрынғы бөлімді қалдырады, яғни
;
б) егер бөлшектердің бөлімдері әр ... ... онда ... бөлшектерді
ортақ бөлімге (ең кіші ортақ бөлім қолайлы) келтіреді, ал содан ... ... ... ... бөлшектерді азайту былай орындалады:
а) егер бөлшектердің бөлімдері тең болса, онда
;
б) егер бөлшектердің бөлімдері әр түрлі болса, онда ... ... ... ... ал содан кейін а) ережесін қолданады.
Жай бөлшектерді көбейту амалын былай ... ... ... ... жеке ... де ... көбейтіндіні –
алым, екінші көбейтіндіні бөлім етіп алады. Мысалы:
.
Жай бөлшектерді бөлуді былай орындайды:
,
яғни ... -ны ... кері ... ... ... сандық өрнегінің мәнін табу керек.
Шешуі. 1). Алым мәні бөлімді 3-ке қысқартып ... алым мен ... ... ... дейін жасаған пайдалы), , яғни ... ... ... .
2) .
3) ... ... тапқанда қосу мен азайту амалдарын бір ... ... 15, 20, 30 ... ең кіші ... еселігі 60 саны
болады, қосымша көбейткіштерді (бірінші бөлшек үшін 4, екінші ... ... ... ... үшін 2) ... үш ... де 60 ... келтіреміз.
Сонда:
.
3-мысал. а) ; б) амалдарын орындау керек.
Шешуі. а) Бірінші тәсіл. Берілген аралас сандардың әр ... ... ... содан кейін қосуды орындаймыз:
;
;
.
Енді бұрыс бөлшегін аралас санға айналдырамыз:
.
Екіншітәсіл .
б) Аралас сандарды ... мен бөлу ... ... ... ... .
Ондық бөлшектер.
Бөлімі 10, 100, 1000 және жалпы 10 n болатын ... ... ... ... ... ... ... ; 48/100 = 0,48; 21/1000 = 0,021. Дәл
осылай аралас санда ... ... ... (бөлімдер жоғарыда аталған сандар
болса) жазуға болады. Мысалы, ; ;
Бұл жағдайларда аралас санның бүтін бөлігін бөлшек бөлігінің ... ... ... ... ... ... – шын мәнісінде, ... 10 ... ... ... ... ... ... қайсыбір дәрежесінің бөлгіші болатындай кез келген жай
бөлшекті ондық бөлшек түрінде өрнектеуге болады. ... 4 – 100 ... ... ... ... бөлшек түрінде өрнектеуге болады:
; 125 – 1000 ... ... ... бөлшегін ондық бөлшек
түрінде өрнектеуге болады: .
Жай бөлшекті ондық бөлшек түрінде өрнектеу туралы ... ... ... ... ... жай көбейткіштерге жіктелуінде тек екіліктер мен
бестіктер ғана бар болса, онда бұл бөлшекті ... ... ... ... егер де ... ... ... және оның бөлімінің жай
көбейткіштерге жіктелуінде екіліктер мен бестіктерден басқа да ... ... онда ... ... ... бөлшек түрінде жазуға болмайды.
7,234 ондық бөлшегін қарастырайық. Сонда ; ; . Олай болса,
7,234 = 7,2340 = 7,23400. ... егер ... ... оң ... ... ... нольді қосып (жалғастырып) жазса, онда оған тең бөлшек
алынады. Егер ондық бөлшек бір ... ... ... аяқталатын болса,
онда бұл нольдерді тастап кетуге болады – сонда оған тең бөлшек алынады.
Ондық ... үшін ... цифр ... ... ... ... деп ... нольдерден басқа оның барлық цифрларын айтады. Мысалы,
23,0009 санында мағыналы алты цифр бар; 0,1023 санында төрт ... ... 1, 0, 2, 3; 0,00004 ... бір ... цифр бар: 4.
Ондық бөлшектерге арифметикалық амалдар қолдану.
Ондық бөлшектерді қосқан кезде оларды бірінің астына ... ... ... ... бірі, ал үтір үтірдің астында болатындай етіп жазу
керек те, ... ... ... қосқандағыдай етіп, қосу керек.
Мысалы, 12,7 мен 3,442 бөлшектерін қосайық.
Бірінші ... ... ... бір ... ал екінші бөлшекте – үш цифр бар:
12,7 = 12,700, сонда
12,700
+ 3,442
16,142
Ондық бөлшектерді ... ... да осы ... ... 13,1 мен ... айырымын табайық:
13,10
‾ 0,37
12,73
Ондық бөлшектерді көбейткен кезде берілген сандарды, үтірлерге ... ... ... ... ... ... содан кейін
көбейткіштерде үтірден кейін ... ... неше цифр ... ... оң ... ... ... үтірмен анықтау керек.
Мысалы, 2,7-ні 1,3-ке ... ... 27 ∙ 13 = 351. Оң ... ... ... ... үтірден кейінгі цифрлардың қосынды саны екіге
тең) ... ... 2,7 ∙ 1,3 = 3,51 ... ... Егер көбейтіндіде
цифрлар саны үтірмен ажыратуға керек цифрлар санынан аз болса, онда ... ... ... ... ... ... мысалы:
2,12 ... 0,13 х ... ... ... ... 10, 100, 1000 және ... сандарға көбейтуді
қарастырайық. 12,733 бөлшегін 10-ға ... ... ... ... 12733 ∙ 10
= 127330. Оң ... ... үш цифрды ажыратамыз: 12,733 ∙ 10 = 127,330.
Бірақ 127,330 = 127,33. Олай болса, 12,733 ∙ 10 = 127,33. ... ... 10-ға ... ... оңға ... бір ... жылжытуға келтіріледі.
Жалпы ондық бөлшекті 10, 100, 1000 сандарына көбейту үшін ... ... 1, 2, 3 ... ... ... ... бөлшектің оң жағына
нольдерді жалғап жазып) жылжыту ... ... 1,47 ∙ 10000 = ... ... натурал санға бөлу натурал санды натурал санға бөлу сияқты
орындалады, ал бөліндіде үтірді ... ... бөлу ... ... 22,1 санын 13-ке бөлу керек болсын:
22,1 13
‾ 13 1,7
91
... ... ... бөлігі бөлгіштен кіші болса, онда бөліндінің ... ноль ... ... ... 13 ... 91
0
Енді ондық бөлшекті ондық бөлшекке бөлуді қарастырайық. 2,576 санын 1,12-ге
бөлу керек болсын. Ол үшін бөлінгіште де, бөлгіште де ... оңға ... ... ... неше цифр ... сонша (берілген жағдайда екі)
орынға жылжытамыз. Басқаша айтқанда, ... де, ... де ... – бұдан бөлінді өзгермейді. Сонда 257,6 бөлшегін 112 натурал
санына бөлу ... яғни есеп ... ... ... ... 112
‾ 224 ... ... ... 10n-не бөлу ... бұл ... ... n цифрға (орынға)
солға қарай жылжыту керек (сонда қажет болғанда сол жағынан керекті ... ... ... 27,344 : 104 = 0,0027344.
Натурал сандар үшін бөлу қалай әрқашан орындала бермейтін болса, ... ... үшін де ... ... ... Мысалы, 2,8-ді 0,09-ға
бөлейік:
280 9
‾ 27 31,11 . . ... ... ... 9
1 . . ... ... ... ... деп аталатын сан алынады. Бұндай жағдайларда
жай бөлшектерге ... ... ... жай бөлшектер түрінде, екіншілері аралас ... ... ... ... түрінде жазылған болып келуі мүмкін. Бұндай
сандарға ... ... ... әр түрлі әрекет етуге болады: не ондық
бөлшектерді жай бөлшектерге келтіріп, жай ... ... ... ... не жай ... мен аралас сандарды ондық
бөлшектерге келтіріп (егер бұл мүмкін ... ... ... ... ... ... бөлшектердің ішінде 0,01 бөлшегі практикада ерекше жиі пайдаланылады.
Ол процент деп аталады да, 1 ℅ болып белгіленеді. Солай 1 ℅ = 0,01, 2 ℅ ... 45 ℅ = 0,45, 350 ℅ = 3,5 және ... ... және ... ғылымның көптеген салаларында ... ... ... қабылданған. Мысалы, 60 кг-ның 23 ℅- ін табу үшін 60
кг-ды 0,23-ке көбейту керек, яғни 60 ∙ 0,23 = 13,8. Олай ... 60 ... ℅-і 13,8 кг ... ... ... 80 деталь жасауы керек еді. Жұмыс күні біткенде ол
күндік тапсырманы 150 ℅-ке орындағаны белгілі ... ... неше ... 1) 150 ℅ = 1,5. 2) 80 ∙ 1,5 = 120. ... 120 ... Жұмысшы күніне 80 деталь жасауы тиіс еді. ... 12-ге ... ол ... жасады. Осы уақыт ішінде жұмысшы тапсырманың неше процентін
орындады?
Шешуі. Сағат 12-ге ... ... ... ... ... оны проценттерге көшіреміз:
.
Жауабы: 66,75 ℅.
3-мысал. Жұмысшы сағат 12-ге дейін 55 деталь жасады, бұл күндік тапсырманың
66,75 ℅-і ... ... ... неше ... ... тиіс еді?
Шешуі. Күндік тапсырманы құрайтын санын х әрпімен белгілейік. Есептің
шартынан 68,75 ℅ ∙ х = 55, яғни ... ... ... . ... ... ... периодты ақырсыз ондық бөлшекке айналдыру.
2,73 ондық бөлшегі берілсін. Егер оң жағынан нольдердің кез ... ... ... оның мәні ... 2,73 = 2,730 = 2,7300 = . . . ... . . . 0 ... ... n ноль тұр). 2,73 ... ... көп ... бар ... бөлшек, яғни 2,73 = 2,73000 . . . түрінде де
жазылуы да мүмкін. Бұнда үтірден кейін ақырсыз көп ... ... ... ... ... ... ... бөлшек деп аталады.
Т.1.10. Кез келген жай бөлшекті ақырсыз ондық бөлшек түрінде өрнектеуге
болады.
Мысалы, ... ... та ... ... ... ... ... біртіндеп таба береміз. Бұл жағдайда кез ... ... ... ондық бөлшек түрінде өрнектеуге болатынын ескерте кетейік, яғни 3 ... . . . . ... . . . ... 28 ... . . ... ... 56
40
‾ 28
120
‾ 112
80
‾ 70
100
‾ 98
20
‾ 14
60
‾ 56
40 . . ... 3/14 = ... . . . ... ... орындау кезінде алынатын қалдықтарды біртіндеп жазып
шығайық: 2, 6, 4, 12, 8, 10, 2, 6, . . . . Осы ... ... яғни 14 ... кіші ... айқын. Олай болса, бөлудің қандай да
бір қадамында бұрын кездескен қалдық міндетті ... тағы да ... ... ... ... ... бірінші қадамдағы қалдық 2 қайта пайда болды.
Сонымен бірге, бұрын кездескен қалдық пайда болғаннан соң, одан ... ... тобы ... ... Біздің мысалымызда 2 қалдығынан
кейін 6 қалдығы, одан кейін 4, одан соң 12 және т.с.с. ... ... ... ... ... ... ... 2, 6, 4, 12, 8, 10, 2, 6, 4, 12, ... . . . . ... ... ... топтары санның ондық
жазылуындағы цифрлардың сәйкес периодты ... ... ... ... ... = 0,2142857142857142857. . . .
екенін аламыз.
Санның ондық жазылуындағы үтірден кейін біртіндеп қайталана беретін цифрлар
тобы ... ... ... деп, ал ... ... осындай периоды бар
ақырсыз ондық бөлшек периодты деп аталады. Ықшамдық үшін периодты дөңгелек
жақшалар ішінде ... рет жазу ... . . = ... ... ... ... кейін басталатын болса, онда ... ... деп ... егер де үтір мен ... ... ... ... бар болса, онда бөлшек аралас периодта деп аталады. Солай,
2,(23) = ... . . . – таза ... ... 0,2 142 857 – аралас
периодты бөлшек, 2,73 = 2,73000. . . = 2,73(0) – аралас периодты бөлшек.
Периодты ақырсыз ... ... жай ... ... ... ... 10, 100, 1000 және ... сандарға көбейту үшін, ... ... ... ... бір, екі, үш ... және ... оңға қарай
жылжыту жеткілікті. Мысалы,
0,1(23) ∙ 100 = 0,1232323 . . . ∙ 100 = 12,323232. . . = ... ... ... жай ... айналдыруды мысалдар арқылы
қарастырайық.
Мысал. Санды жай ... ... ... а) 0,(13); б) 2,(273); ... г) ... а) х = 0,(13) = ... . . деп алайық. Таза периодты х ... оңға ... дәл бір ... орын ... (жылжытатындай)
санға көбейтеміз. Периодта екі цифр бар болғандықтан, үтірді екі орынға
оңға қарай жылжыту керек, ал ол үшін х ... 100-ге ... ... 100х = ... . . ∙ 100 = 13,1313. . . = 13,(13). Енді ... ... азайтамыз: 100х – х = 13,(13) – 0,(13). Олай болса, 99х – 13, бұдан х –
13/99 екенін ... х = 2,(273) деп ... Бұл таза ... ... периоды үш цифрдан
тұрады. х-ті 1000-ға көбейтіп, 1000х = 2273,(273) екенін аламыз. Әрі қарай
1000х – х = ... – 2,(273); 999х = ... х = 0,2(54) деп ... Бұл ... ... бөлшекте үтірден оңға қарай
таза периодты бөлшек алынатындай етіп жылжытайық. Ол үшін х-ті ... ... 10х = 2,(54), y = 2,(54) деп ... та таза ... ... мысалдардағыдай жай бөлшекке айналдырайық.
Сонда, y = 2,(54), бұдан 100y = ... – y = 254,(54) – ... ... , ... ... х = 3,254(9) деп ... 1000х = 3254,(9) ... табамыз. y = 1000х
белгілеуін енгізейік. Сонда, y = ... ... 10y = ... – y = ...... = 29295; y = 3255; 1000х = ... ... яғни біз ақыры ондық бөлшек немесе периодты ноль болатын
ақырсыз ондық бөлшек алдық. Олай ... 3,254(9) = ... Бұл ... ... болатын кез келген ондық бөлшектер үшін ... ... ... ноль ... ондық бөлшекке айналдыруға болады. Ол үшін
тек периодтың алдындағы соңғы ондық ... ... ... ... 0,45(9) = 0,46 (0); 14,(9) = 15,(0) және ... ... ... ... онда санаудың басы етіп 0 нүктесін белгілейік, бағыт
пен бірлік кесінді [0;1] ... ... ... Бұл жағдайда
координаталық түзу берілді дейді. Әрбір натурал санға немесе ... ... бір ... ... келеді. Мысалы, 3 саны берілсін. 0 нүктесінен
берілген бағытта бірлік кесіндіні үш рет салайық, сонда А нүктесін аламыз ... ... 3 ... ... ... санын алайық. 0 нүктесінен берілген
бағытта бірлік кесіндіні төрт рет ... ... ... тағы да ... саламыз, сонда В нүктесін аламыз – ол ... ... l ... М ... ... r ... ... келсе, онда ол сан
нүктенің координатасы деп аталады, бұл жағдайда былай жазады: М(r). ... А, В ... ... үшін олардың координаталарын ноль (0) болып
есептеледі.
Енді 0 нүктесінен бастап бірлік кесіндіні ... ... ... үш рет ... ... ... басы 0 нүктесіне қатысты А нүктесіне
симметриялы болатын А′ нүктесін аламыз. А нүктесінің ... 3 ... ал А′ ... ... былай жазады: -3 – және «минус ... ... Дәл ... ... В ... ... В′ нүктесінің
координатасы болып - саны есептеледі. 3 пен -3, мен ... ... ... деп аталады. Координаталық түзуде берілген
бағытта жататын нүктелерге ... ... ... оң ... деп ... 1, 3, 4 – оң сандар. Оң ... ... ... ... +1, +3, +4 . ... ... ... бағытқа қарама-
қарсы бағытта жататын нүктелерге сәйкес келетін сандар теріс сандар ... ... -3, - – ... ... 0 саны оң ... та, ... болып
та есептелмейді; 0 санына сәйкес келетін 0 нүктесі координаталық түзуде оң
координаталары бар нүктелерді ... ... бар ... ... ... берілген бағытта оң бағыт (ол әдетте оңға ... деп, ал ... ... ... ... теріс бағыт деп
атайды.
Рационал сандар жиыны. 1, 2, 3, 4, 5, . . . ... ... оң ... деп те атайды. Натурал сандарға қарама-қарсы -1, -2, -3, -4, -5, . .
. сандарын теріс ... ... деп ... 0 санын да бүтін сан деп
есептейді. Сонымен, бүтін сандар – натурал сандар, натурал ... ... ... және 0 саны.
Бүтін сандар мен бөлшектер (оң және теріс) бірігіп рационал сандар ... Кез ... ... сан ... ... (мұндағы m – бүтін,
n – натурал сан) ... ... ... ... бір ғана ... ... көптеген тәсілдермен жазуға болатынын атап өтейік. Мысалы:
.
Берілген рационал санды белгілейтін бөлшектердің ішінде бір және тек ... ... ... бар ... ... сандар үшін – бұл ... ... ... ... өлшеу үшін тек рационал сандар ғана ... ... ... ... немесе бөлшек болмайтын сандар да пайдаланылады. Бұндай сандардың
бәрі ... ... деп ... ... қабырғасы 1-ге тең квадраттың
диагоналі (2,а-сурет) r2 = 12 + 12 (Пифагор теоремасы бойынша, яғни r2 = ... ... оң r ... ... ... R саны бүтін бола алмайды,
өйткені 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9 және ... r саны ... те бола ... r = m/n (n≠1) ... ... ... болса, онда r2 = m2/n2
бөлшегі де қысқармайтын болады (n2 ≠ 1), олай ... m2/n2 ... сан ... ... ол 2-ге тең бола ... Сондықтан, квадрат диагоналінің
ұзындығы иррационал санмен өрнектеледі, ол сан √2 арқылы («2-нің ... деп ... ... 2, ... ... l түзуі
кескінделген, ОАВJ – квадрат, ОС = ОВ = ОD. Сонда С нүктесінің координатасы
√2 саны, ал D ... ... -√2 саны ... С мен D ... де ... – иррационал сандар.
Осы сияқты квадраты 5-ке, 7-ге, 10-ға тең болатындай рационал сандар ... ... ... √5, √7, √10 арқылы белгіленеді. Оларға қарама-
қарсы сандар да иррационал сандар ... да -√5, -√7, -√10 ... ... ... берілген оң санға тең болатындай санды табу
есебі ғана емес, басқа есептер де әкелетінін атап өткен жөн. Мысалы, ... ... ... білдіретін П санын жай ... ... ... – ол ... ... ... рационал саны периодты ақырсыз ондық бөлшек түрінде жазуға және
өз кезегінде кез келген периодты ... ... ... ... ... ... онда ... иррационал санды периодсыз ақырсыз
ондық бөлшек түрінде жазуға және өз кезегінде кез келген периодсыз ... ... ... сан ... ... ... және олардың қасиеттері
Нақты сандар. Сандық түзу. Рационал сандар мен иррационал сандар бірігіп
нақты сандар жиынын құрайды. Әрбір ... ... ... түзуде жалғыз
ғана нүкте сәйкес келеді. Координаталық түзудің әрбір нүктесі ... ... ... ... ... (осы ... ... басына дейінгі қашықтықты
табу және табылған ... ... ... ... ... ... оңға
қарай немесе солға қарай орналасуына байланысты «+» немесе «-» таңбасын қою
жеткілікті). ... үшін ... «а ... ... ... ... ... орнына «а нүктесі» дейді, ал «а саны» терминін қолдана
отырып, ол «а нақты ... ... есте ... ... ... сандық түзу деп те атайды. Сандық түзудің геометриялық
моделі координаталық түзу болады.
Кейбір сандық ... ...... ... жиыны. Z – нақты сандар жиыны. Q – ... ... R – ... ... ... n ε N жазылуы («n – N жиынында жатады» деп
оқылады). Келесі белгілеулер де осыған ұқсас ... ие ... m ε Z (m ... сан); r ε Q (r – ... сан); х ε R (х – ... сан).
Нақты сандарды салыстыру.
Кез келген өзара тең емес а мен b ... ... ... ... ... үлкен,
ал қайсы кіші екені туралы айтуға болады. Егер а – b айырымы оң сан болса,
онда а саны b ... ... ... де а > b деп ... егер де а – b
айырымы ... сан ... онда а саны b ... кіші ... де а < b ... Осы ... ... кез келген оң сан нольден үлкен, кез келген
теріс сан нольден кіші және кез ... оң ... ... Кез ... а мен b
берілген сандары үшін а > b, а < b, а = b ... ... және ... ғана орынды. Геометриялық тұрғыдан а < b (а > b) ... ... а ... b ... ... ... (оңға қарай)
орналасқанын білдіреді.
белгілері қатаң теңсіздік белгілері деп аталады. Кейде ≥, ≤ ... ... емес ... ... пайдаланылады; а ≤ b жазылуы не а саны b
санынан кіші, не а саны b санына тең екенін ... ... 3 ≤ 5, 5 ≤ ... ... а > b және с >d ... ... таңбалы
(мағыналы),
а < b және с > d ... ... ... ... деп ... Егер а, b, с сандары үшін а < b және b < с болса,
онда а < b < с ... ... мен 0,67 ... ... ... айырымын құрамыз да осы айырмалық мәнін табамыз:
.
Айырым теріс, сондықтан .
Сандық теңсіздіктердің қасиеттері.
Кез келген а, b, с, d ... ... үшін ... ... ... Егер а < b ... онда b > ... Егер а > b және b > с болса, онда а > с (транзитивтік қасиет).
3°. Егер а > b ... онда а + с > b + ... Егер а > b және с – оң сан (с > 0) ... онда ас > bс. Бұл ... мағынасы бар: егер дұрыс теңсіздіктің екі жағын да бір ғана оң санға
көбейтсе, онда ... ... ... ас – bс ... ... ... ас – bс = с(а - b). ... с –оң сан, ал а > b болғандықтан, а –b да оң сан. Екі оң ... оң сан ... олай ... с(а – b) > 0. ... ас – bс > ... егер ас – bс ... оң сан болса, онда ас > bс.
5°. Егер а > b және с – теріс сан (с < 0) ... онда ас < bс. ... ... ... бар: егер ... ... екі жағын да бір ғана
теріс санға көбейтсе, және бастапқы теңсіздіктің белгісін ... онда ... ... ... Егер а > b және с > d ... онда а + с > b + d (егер бірдей ... ... ... ... ... онда дұрыс теңсіздік алынады).
7°. Егер а, b, с, d – оң ... және а > b, с > d ... онда ас > ... ... ... оң ... мен сол ... оң сандар болатын екі
дұрыс теңсіздікті мүшелеп көбейтсе, онда дұрыс теңсіздік алынады).
Дәлелдеуі. а > b және с > 0 ... ... ... ; ... және болғандықтан . Әрі қарай және
болғандықтан 20 – қасиет ... ... Егер және ... онда .
90. Егер болса, онда .
100. Егер ... онда кез ... ... саны үшін ... ... ... мен сандарын алайық та координаталық ... ... ... ... мен ... ... ... нүктесі теңсіздіктерін ... ... ... ... ... ... ... деп
аталады да ... ... ... ... ... ... ... көсінді (сегмент) деп
аталады да болып белгіленеді. Интервал мен ...... ... Ақырлы сандық аралықтардың тағы да екі түрі ... ... ... ... ... ... сандарының жиыны. Бұл аралықтар
жартыинтервалдар (жартысегменттер) деп аталады.
Ақырсыз сандық аралықтар да болады. ... ... ... ... ... деп атайды да деп белгілейді, ал
теңсіздігін қанағаттандыратын барлық сандарының жиыны ашық ... ... да деп ... «» ... «плюс шексіздік» деп
оқылады. Осы ... ... ... (теңсіздігін
қанағаттандыратын сандар) және түріндегі ашық ... ... ... де ... «» белгісі «минус шексіздік» деп
оқылады.
Төменде келтірілген ... ... ... ... түрі үшін ... ... ... және теңсіздіктер көмегімен жазылуы
берілген.
|Аралық түрі ... ... ... |
| | ... ... | | ... ... | | ... | | ... | | ... | | ... | | ... ... | | ... сәуле | | ... ... ... ... «жартыинтервал», «сәуле»
терминдерін қолдана ... ... ... ... ... деген жалпы
атпен ауыстарады.
Нақты санарға амалдар қолдану ережелері.
Бірдей таңбалы екі санның қосындысы дәл ... ... сан ... ... ... табу үшін ... модульдерін қосу керек.
Мысалы. (12) + (8) = 20; (-12) + (-8) = ... ... ... екі ... ... ... ... қосылғыштың таңбасы бар
сан болады; бұл қосындының ... табу үшін ... ... кіші модульді
азайту керек. Мысалы. (12) + (-8) = (12-8) = 4; (-12) + (8) = (12-8) = ... ... ... ... ... үшін ... азайтқышқа қарама-қарсы санды
қосу керек. Мысалы, 12 - (-8) = 12 + 8 = 20; 12 - (8) = 12 + (-8) = ... ... екі ... ... оң сан, ал әр ... таңбалы екі
санның көбейтіндісі теріс сан болады; көбейтіндінің ... табу ... ... ... ... ... ... (-12) ∙(-8)=12∙8=96;
Нақты сандарға қолданылатын арифметикалық ... ... ... ... ... ... негізгі зандары деп атайды, сонда 10 ... ... ... қосу мен ... орны ауыстырымдық заңы, 20 мен 60
қасиеттерін – ... заң, ал 70 ... ... ... ... заңы деп ... қасиеттерден басқа қасиеттер қорытылады. Мысалы. . ... ... -ден ... ... сандар және теңдігі ... ... ... деп, мен ... ... ... ал мен ... ... ... деп ... үшін жазылуын да пайдалануға болады. Мысалы 2,5;-4;-5 және
8сандарын пропорция құруға болады: ... ... ... Пропорцияның шеткі мүшелерінің көбейтіндісі оның ортаңғы мүшелерінің
көбейтіндісіне тең.
Т.1.12 Пропорцияның шеткі мүшелерінің орындарын ауыстыруға болады, ... ... онда ... Пропорцияның ортаңғы мүшелерінің орындарын ауыстыруға болады, яғни
егер болса онда .
Нақты ... ... ... және ... ... ... ... сандар жиыны деп аталып,
R арқылы белгіленеді.
Кез келген нақты санды шексіз ондық бөлшек ... жазу ... ... ондық бөлшек рационал санды, ал периодты емес шексіз ондық ... ... ... ... ... жиынының тәртіптелгендігі.
Кез келген екі нақты сандар х және у үшін х=y ,xy үш ... ... ... ... ... ... егер x

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Көлемі: 39 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 1 300 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Нақты сандар және олардың қасиеттері36 бет
Паскаль программалау тілі. Шығу тарихы5 бет
Паскаль тіліндегі негізгі элементтері тілдің алфавиті мен сөздігі15 бет
1. Вирустардың организмге енуі, таралуы, орналасуы. Инфекция түрлері және оларға сипаттама. 2. Иммунитеттің механизмдері. Иммунитеттің гуморальдық, клеткалық, жалпы физиологиялық фактролары11 бет
1.санитарлық көрсеткіш микроорганизмдердің сипаттамасы. оларға қойылатын талаптар. 2. Санитарлық микробиологиялық зерттеудің әдістері мен принциптері5 бет
1.санитарлық көрсеткіш микроорганизмдердің сипаттамасы. оларға қойылатын талаптар. 2.санитарлық микробиологиялық зерттеудің әдістері мен принциптері21 бет
1.Санитарлық көрсеткіш микроорганизмдердің сипаттамасы. Оларға қойылатын талаптар.2.Санитарлық микробиологиялық зерттеудің әдістері мен принциптері7 бет
100 көлеміндегі сандарды көбейту мен бөлу20 бет
60-80 жылдардағы ортасындағы Қазақстандағы нақты социализм12 бет
IP желілерде нақты уақыт режимінде ICQ хабарлар алмасу жүйесінде ақпараттық сервистерін іске асыру38 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь