Сызықты геометриялық обьект

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 7 бет
Таңдаулыға:

Сызықты геометриялық объектілер

Жоспар

Жазықтықтағы түзу сызық.
Түзулердің жазықтықта орналасуы.
Түзудің бұрыштық коэффициенті теңдеуі.

Түзудің нормаль векторы . Берілген нүкте арқылы өтетін және берілген векторға перпендикуляр түзудің теңдеуі.

Тік төртбұрышты координат жүйесі және осы жүйесі қайсыбір түзуі және торы берілген және екендігі белгілі болсын (24- сурет) . Берілген векторын түзудің нормаль векторы деп атайды.

х0у жазықтығындағы түзуінің орны сол түзуде нүктесімен оған перпендикуляр векторы арқылы толық түрде анықталатын болады. Ендеше осы түзудің теңдеуін табу керек. Осы мақсатта l түзуінде жататын кез келген бір ) нүктесін аламыз.

Векторын құрамыз. Бұл вектор түзуінде жатқандықтан, векторына перпендикуляр, яғни

Олай болса, олардың скалярлық көбейтіндісінөлге тең:

Бұл теңдеуді координаттар арқылы

Түрінде жазуға болады (координаталары арқылы берілген екі вектордың скалярлық көбейтіндісі бойынша) . Бұл соңғы теңдеуді жазықтықтың кез келген нүктесінің координаталары қанағаттандырылған болады. Ал егер нүктесі түзуінен тыс жатқан болса онда оның координаталары (2) теңдеуді қанағаттандырмайды өйткені бұл жағдайда

Сонымен (2) теңдеу l түзуінің теңдеуі болады да берілген нүктесі арқылы өтетін және векторына перпендикуляр түзудің теңдеуі деп аталады.

Ескерту . Егер (2) теңдеудегі жақшаларды ашатын болсақ, онда

Бұдан біз бұл теңдеудің, яғни (2) теңдеудің, ағымдағы белгісіздер х пен у -ке қарағанда сызықтық теңдеу екенін көреміз.

Түзудің жалпы теңдеуіх0утікбұрышты координат жүйесінде кез келгенlтүзуінің теңдеуі (2) түрде болатыны және оның ағымдағы белгісіздерхпену- ке қарағандасызықтық теңдеу екенін көрсеттік.

Енді, керісінше, ағымдағы белгісіздер х пен у- ке қарағанда мына

Түрдегі сызықтықтеңдеудің х0у тікбұрышты координат жүйесінде қайсыбір түзудің теңдеуі болатындығын көрсетейік.

Шынында да, (3) теңдеуде А және В коэффициенттерінің ең болмағанда біреуі, мысалы, болс -(- ын. Онда (3) теңдеуі мына

(4)

Түрде жазуға болады. Ал бұл (4) теңдеу (2) теңдеумен ұқсас. Олай болса, (4) теңдеу нүктесі арқылы өтетін және векторына перпендикуляр түзудің теңдеуі болады екен, Ал (4) теңдеу (3) теңдеуден шығарылғандықтан, ол теңдеу де осы түзудің жалпы теңдеуі немесе белгісіз арасындағы сызықтық теңдеу деп аталады.

Енді түзудің (3) түрдегі жалпы теңдеуінің кейбір дербес жағдайларына тоқталайық.

Егер (3) жалпы теңдеудегі С=0 болса, онда теңдеу түріне келіп, ол координат жүйесінің бас нүктесі арқылы өтетін түзуді өрнектейтін болады;

2) егер A=C=0 болса, онда теңдеу By=0 , яғни y=0 түріне келеді де, 0х өсімен беттесетін түзу болады. Басқаша айтқанда, y=0 теңдеуі абсцисса өсінің теңдеуіекен;

3) B=C=0 болса, онда Ax=0 , яғни x=0 түріне келеді де 0у өрнектейтін, басқаша айтқанда By=0 теңдеуі ордината өсінің теңдеуі болады екен.

Осылай құрылған түзу берілген

Осы векторымен l -нүктеде жататын M ₀ нүкте арқылы l түзуінің теңдеуін жазу керек. Ол үшін l түзуінде жататын тағы бір ағымдағы M(x, y) нүктесін алып,

Векторын құрамыз. Осылай құрылған бұл вектор түзудің бағыттаушы векторына коллинеар болады.

Ал координаталары арқылы берілген екі вектордың кооинеарлық шарты бойынша олардың сәйкес координаталары өзара пропоционал. Олай болса,

және векторларының коллинеарлығы

болатыны білеміз. Осы алынған теңдік ағымдағы белгісіздер х және у-ке қарағанда сызықтық теңдеу. Ендеше бұл (5) теңдеу l түзуінің теңдеуі болады да, оны түзудің канондық теңдеуі деп атайды.

Ескерту. Егер l түзуі 0у өсіне параллель, яғни болса, онда оның теңдеуі x-x ₀ =0 болады. Оның бағыттаушы

векторы да 0у өсіне параллель болады да, оның бір координаты, яғни m=0 болады. Бірақ бұл түзудің де теңдеуін канондық

түрде жазу қабылданған.

Осы сияқты l түзуі 0х өсіне параллель болса, онда оның канондық теңдеуі.

түрінде жазылады.

Түзудің бұрыштық коэффициенті теңдеуі.

Тік бұрышты декарттық координаталар жүйесіндегі 0х өсімен а бұрышын жасайтын және 0у өсін B(0** нүктесіне қиып өтетін l түзуін берілген деп есептейді. Ендеше (7) формулада x ₁ =0, y ₁ =b деп алып осы түзуді құрайық y-b=k(x-0)

немесе

y=kx+b

Осы шыққан (8) теңдеу түзудің бұрыштық коэффициентті теңдеуі деп аталады. Әрине жалпы түрде берілген түзу теңдеуін әр кезде түрдегі бұрыштық коэффициентті теңдеуге келтіруге болады. Ол үшін жалпы түрдегі түзу теңдеуін мына

түрінде жазып және - A/B=R, - C/B=b деп белгілесек теңдеу (8) түрге болады.

Түзудің кесінділік теңдеуі. Қайсыбір l түзуі өзінің жалпы

Ax+Bx+C=0

Теңдеуімен берілген болсын. Сонымен қатар бұл қатар бұл теңдеудегі А, В, С коэффициенттерінің барлығы нөлден айрықша және ол түзу координаттың бас нүктесінен өтпейтін болсын деп ұйғарайық. Бұл жағдайда координатөстерін қиын өтетін болады (31-сурет) . Ол нүктелерді M (a; 0) және N (0; b) деп белгілеп, олардың координаталарын теңдеудің коэффииенттері арқылы өрнектейік. Бұл нүктелер түзуде жатқандықтан, олардың координаталары түзу теңдеуін қанағаттандырылатын болады. Олай болса,

A*a+B*0+C=0,

A*0+B*b+C=0

теңдіктерін аламыз. Бұл теңдіктерден a=-C/A және b=-C/A екендіктерін табамсыз. Ендеше тзудің жалпы теңдеуін мына

Түрде жазып, - C/A=a және -C/B=bекендіктерін ескерсек,

түрдегі теңдеуді аламыз. Міне, осы шыққан теңдеуін түзудің кескінділік теңдеуі деп атайды. Сонымен параметр а абцисса өсінен, ал параметр b ордината өсімен қиылатын кесінділер болады екен.

Әрине жалпы түрдегі теңдеудегі коэффициенттер нөлден айрықша болса, онда ол теңдеуді әр кезде (12) түргекелтіруге болады да, координат өстерінен а және b кесінділерін алып, сол өстердегі нүктелерді өзара түзумен қосатын болсақ, осы түзу берілген түзудің өзі болады.

Берілген екі нүкте арқылы өтетін түзу теңдеуі.

Тік бұрышты х0у координат жүйесінде және екі нүктесі берілген болсын. Осы нүктелер арқалы өтетін түзудің теңдеуін жазу керек.

Екі нүктенің бір арқылы өтетін түзулер шоғының теңдеуі.

Болатыны, ал мұндағы R кез келген қандай да бір параметр екендігін білеміз. Енді осы шоқ түзулерден берілген екінші нүкте арқылы өтетін түзуді бөліп шығаруымыз керек. Ол үшін нүктесінің координаталары (13) шоқ түзулердің теңдеуін қанағаттандыруы керек, яғни

(14)

Осы шыққан теңдіктен бұрыштық коэффициент k табамыз:

(15) .

Берілген нүкте арқылы өтетін және белгілі бағытта болатын түзу теңдеуі, і түзулер шоғы. Декарттық кооррдинаталар жүйесінде абсцисса ф өсінің оң бағытымен а бұрышы жасайтын бір l түзу берілген болсын және ол түзу ордината (0у) өсіне параллель болмасын l/0y

Осы l түзуінің координат жүйесіндегі орнын сол түзуде жататын M ₁ (x ₁ , y ₁ ) нүктесі және а бұрышы арқылы толық түрде анықтауға болады. Түзудің бағыттаушы векторы үшін l түзуі сияқты 0х өсімен а бұрышы жасайтын бірлік

векторын алайық.

Ал болғандықтан, Олай болса, (5) теңдеуінде cos a , n=sin a деп алу керек болады. Сонда

Бұл жерден y-y ₁ =tg a(x-x ₁ ) .

Ал енді бұл теңдеудегі tg a=k деп белгілесек,

y-y ₁ =k(x-x ₁ )

Фор өңдеуін аламыз. Бұл теңдеуіндегі фор саны түзудің бұрыштық коэффициенті, ал (7) теңдеу берілген фор нүктесі арқылы өтетін белгілі фор белгілі болғандықтан) бағыттағы түзудің теңдеуі деп аталады.

Сонымен қатар егер фор нүктесі бекітілген, ал бұрыштық коэфициенті фор әр түрлі мәндер қабылдайтын болса, онда коэффициент фор-ң әрбір мәніне бір түзу сәйкес келетін болады. Сондықтан да (7) теңдеуін түзулер шоғының теңдеуі деп атайды.

Егер де фор түзуі 0х өсіне параллель ( l0x ) болса, онда a=0 немесе a= болады да, коэффициент k=tg a=0 болады. Сонда (7) теңдеудеуі y-y ₁ =0 екенін табамыз.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.