Сызықты геометриялық обьект

Жоспар
1. Жазықтықтағы түзу сызық.
2. Түзулердің жазықтықта орналасуы.
3. Түзудің бұрыштық коэффициенті теңдеуі.

Түзудің нормаль векторы. Берілген нүкте арқылы өтетін және берілген векторға перпендикуляр түзудің теңдеуі.
Тік төртбұрышты координат жүйесі және осы жүйесі қайсыбір түзуі және торы берілген және екендігі белгілі болсын (24- сурет). Берілген векторын түзудің нормаль векторы деп атайды.
х0у жазықтығындағы түзуінің орны сол түзуде нүктесімен оған перпендикуляр векторы арқылы толық түрде анықталатын болады. Ендеше осы түзудің теңдеуін табу керек. Осы мақсатта l түзуінде жататын кез келген бір ) нүктесін аламыз.

Әдебиеттер

Лекции по алгебре Д.К. Фаддеев Москва «Наука» 1984г.
Геометрия(часть 1) Л.С. Атанасян В.Т. Базылев Москва «Просвещение» 1986г.
Алгебра 1том, 2 том А.Ж Жетпісов., М К. Сексенбаев Алматы «Баспа»

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 7 бет
Таңдаулыға:

Сызықты геометриялық объектілер
Жоспар
1. Жазықтықтағы түзу сызық.
2. Түзулердің жазықтықта орналасуы.
3. Түзудің бұрыштық коэффициенті теңдеуі.

Түзудің нормаль векторы. Берілген нүкте арқылы өтетін және берілген векторға
перпендикуляр түзудің теңдеуі.
Тік төртбұрышты координат жүйесі және осы жүйесі қайсыбір

торы берілген және

l

түзуі

M 0 x , y

және

екендігі белгілі болсын (24- сурет). Берілген

N l

N Al Bj

N

векторын түзудің нормаль векторы деп атайды.
х0у жазықтығындағы

l

түзуінің орны сол

l

түзуде

нүктесімен оған перпендикуляр

M0

N

векторы арқылы толық түрде анықталатын болады. Ендеше осы түзудің теңдеуін табу
керек. Осы мақсатта l түзуінде жататын кез келген бір
М M ( x
Векторын құрамыз. Бұл вектор

l

M x, y

) нүктесін аламыз.

x )i ( y y ) j
0

0

түзуінде жатқандықтан,

векторына перпендикуляр,

N

яғни
М M N
Олай болса, олардың скалярлық көбейтіндісінөлге тең:
М M N 0
Бұл теңдеуді координаттар арқылы
A( x

Түрінде

x ) B( y y ) 0
0

0

жазуға болады (координаталары арқылы берілген екі вектордың скалярлы қ

көбейтіндісі бойынша). Бұл соңғы теңдеуді жазықтықтың кез келген
координаталары қанағаттандырылған болады. Ал егер

M 1 x1 , y1

M x, y

нүктесі

l

нүктесінің

түзуінен тыс

жатқан болса онда оның координаталары (2) теңдеуді қанағаттандырмайды өйткені бұл
жағдайда
М M * N 0

Сонымен (2) теңдеу l түзуінің теңдеуі болады да берілген

M0

нүктесі арқылы өтетін және

векторына перпендикуляр түзудің теңдеуі деп аталады.

N
Ескерту. Егер (2) теңдеудегі жақшаларды ашатын болсақ, онда
Ах Ву Ах Ву 0

Бұдан біз бұл теңдеудің, яғни (2) теңдеудің, ағымдағы белгісіздер х пен у-ке қарағанда
сызықтық теңдеу екенін көреміз.

Түзудің жалпы теңдеуі х0у тікбұрышты координат жүйесінде кез келген l түзуінің

теңдеуі

түрде

(2)

болатыны

және

оның

ағымдағы

белгісіздер

х

пен

у-

ке

қарағандасызықтық теңдеу екенін көрсеттік.
Енді, керісінше, ағымдағы белгісіздер х пен у-ке қарағанда мына
Ах Ву С 0

Түрдегі сызықтықтеңдеудің х0у тікбұрышты координат жүйесінде қайсыбір түзудің теңдеуі
болатындығын көрсетейік.
Шынында да, (3) теңдеуде А және В коэффициенттерінің ең болмағанда біреуі,
мысалы,

A 0

болс-(-ын. Онда (3) теңдеуі мына

А х х х В уС В 0

(4)

Түрде жазуға болады. Ал бұл (4) теңдеу (2) теңдеумен ұқсас. Олай болса, (4) те ңдеу
М 0, С В

нүктесі арқылы өтетін және

векторына перпендикуляр түзудің
N Al Bj

теңдеуі болады екен, Ал (4) теңдеу (3) теңдеуден шығарылғандықтан, ол теңдеу де осы
түзудің жалпы теңдеуі немесе белгісіз арасындағы сызықтық теңдеу деп аталады.
Енді түзудің (3) түрдегі жалпы теңдеуінің кейбір дербес жағдайларына
тоқталайық.

Егер (3) жалпы теңдеудегі С=0 болса, онда теңдеу түріне келіп, ол координат
жүйесінің бас нүктесі арқылы өтетін түзуді өрнектейтін болады;
2) егер A=C=0 болса, онда теңдеу By=0, яғни y=0 түріне келеді де, 0х өсімен беттесетін
түзу болады. Басқаша айтқанда, y=0 теңдеуі абсцисса өсінің теңдеуіекен;
3) B=C=0 болса, онда Ax=0, яғни x=0 түріне келеді де 0у өрнектейтін, басқаша айтқанда
By=0 теңдеуі ордината өсінің теңдеуі болады екен.
Осылай құрылған түзу берілген
векторымен l-нүктеде жататын M0 нүкте арқылы l түзуінің теңдеуін жазу керек. Ол

Осы

s
үшін l түзуінде жататын тағы бір ағымдағы M(x, y) нүктесін алып,
М М х х y y j

Векторын құрамыз. Осылай құрылған бұл вектор түзудің бағыттаушы векторына
коллинеар болады.
Ал координаталары арқылы берілген екі вектордың кооинеарлық шарты бойынша оларды ң
сәйкес координаталары өзара пропоционал. Олай болса,
және

s

векторларының коллинеарлығы
MM

x

x

0

m

y

y

0

n

болатыны білеміз. Осы алынған теңдік ағымдағы белгісіздер х және у-ке қарағанда
сызықтық теңдеу. Ендеше бұл (5) теңдеу l түзуінің теңдеуі болады да, оны түзудің
канондық теңдеуі деп атайды.
Ескерту. Егер l түзуі 0у өсіне параллель, яғни

болса, онда оның теңдеуі x-x0=0

(l 0 y )
болады. Оның бағыттаушы
векторы да 0у өсіне параллель

s

болады да, оның бір координаты, яғни m=0
(S 0 y)

болады. Бірақ бұл түзудің де теңдеуін канондық
x

x

0

0

y

y

0

n

түрде жазу қабылданған.
Осы сияқты l түзуі 0х өсіне параллель болса, онда оның канондық теңдеуі.
x

x

m
түрінде жазылады.

0

y
0

y

0

Түзудің бұрыштық коэффициенті теңдеуі.
Тік бұрышты декарттық координаталар жүйесіндегі 0х өсімен а бұрышын жасайтын
және 0у өсін B(0** нүктесіне қиып өтетін l түзуін берілген деп есептейді. Ендеше (7)
формулада x1=0, y1=b деп алып осы түзуді құрайық y-b=k(x-0)
немесе
y=kx+b
Осы шыққан (8) теңдеу түзудің бұрыштық коэффициентті теңдеуі деп аталады. Әрине
жалпы түрде берілген түзу теңдеуін әр кезде түрдегі бұрышты қ коэффициентті те ңдеуге
келтіруге болады. Ол үшін жалпы түрдегі түзу теңдеуін мына
y

A
C
x
B
A

түрінде жазып және – AB=R, - CB=b деп белгілесек теңдеу (8) түрге болады.
Түзудің кесінділік теңдеуі. Қайсыбір l түзуі өзінің жалпы
Ax+Bx+C=0
Теңдеуімен берілген болсын. Сонымен қатар бұл қатар бұл теңдеудегі А, В, С
коэффициенттерінің барлығы нөлден айрықша және ол түзу координатты ң бас н үктесінен
өтпейтін болсын деп ұйғарайық. Бұл жағдайда координатөстерін қиын өтетін болады (31сурет). Ол нүктелерді M (a; 0) және N (0; b) деп белгілеп,оларды ң координаталарын
теңдеудің коэффииенттері арқылы өрнектейік. Бұл нүктелер түзуде жатқандықтан,
олардың координаталары түзу теңдеуін қанағаттандырылатын болады. Олай болса,
A*a+B*0+C=0,
A*0+B*b+C=0
теңдіктерін аламыз. Бұл теңдіктерден a=-CA және b=-CA екендіктерін табамсыз. Ендеше
тзудің жалпы теңдеуін мына
x
y

C
C
A B
Түрде жазып, ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.