Диэлектриктер арасындағы жазық электромагниттік толқындардың сынуы және шағылуы

Пән: Физика
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 12 бет
Таңдаулыға:

Жоспыр

Кіріспе
Негізгі бөлім

2. 1 Электрмагниттiк толқынның векторлары үшiн шектi шарттар.

2. 2 Жиiлiктiң сақтауы, шағылысуы және сынуы.

2. 3 Құлау бұрыштарының арасындағы байланыс, шағылысуы және сынуы. Снеллиустiң заңы

2. 4 Өткiзушi орталардағы электрмагниттiк толқындарын тарату.

Кешендi диэлектриялық қабылдағыш.

2. 5 Өтiмдiлiк тереңдiгi

Қорытынды

Пайдаланған әдебиеттер

Кіріспе

Диэлектриктердiң арасындағы сыну және жазық толқындарды шағылысу туралы есептi шекаралық шарттардың көмегімен шешеміз. Шекаралық шартта толқын бірінші ортаға жартылай сәуле түсірсе, ал екінші ортаға жартылай және толық өтеді.

Ұқсас түрде толқынның магниттiк өрiсiн кернеулiкпен бiрге алады. Электр кернеулiгiнiң тангенсін құрайтын векторлар, үзiлiссiз шекаралық шартты мына түрде көрсетуге болады:

$E_{10}^{(0) }e^{i(\omega_{10}t - k_{10}r) } + E_{11}^{(0) }e^{i(\omega_{11}t - k_{11}r) } = E_{12}^{(0) }e^{i(\omega_{12}t - k_{12}r) }$ (*)

Шылған және сынған сәулелер бiр жазықтықтарда ұшатынын ескереміз.

Шекаралық шартта (*) өрнектегі r нүктенің радиус векторы болсын. Бөлiмнiң бекі нүктелердiң координаталарының басын таңдаймыз. Сонда r векторы жазықтықтын ортасында толық жатады. Осы жағдайда (*) өрнекті шекаралық шарт түрде жазамыз

${\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a}^{, }e^{- ik_{10}r} + b^{, }e^{- ik_{11}r} = c^{, }e^{- ik_{12}r}$

Диэлектриктер аралығындағы шекарада жазық электрмагниттiк толқындардың сынуы және шағылысуы.

2. 1 Электрмагниттiк толқынның векторлары үшiн шектi шарттар . Диэлектриктердiң арасындағы сыну және жазық толқындарды шағылысу туралы есептi шектi шарттардың көмегімен шешеміз. 1- суретте көрсетілгендей екі орта жазық шекарамен бөлінген. Оның оң жағына электромагнитті толқын түсірілген. Шекаралық шартта бұл толқын бірінші ортаға жартылай сәуле түсірсе, ал екінші ортаға жартылай және толық өтеді. Осылайша бірінші ортада түскен сәуле және шағылған сәуле пайда болады да, ал екінші ортада сынған сәуле пайда болады. Мұндай түрмен, бiрiншi ортаға түскен және шағылған толқын, екiншi ортада - сынған толқынды қарастырайық. 10-шi индексiмен түскен толқын жататын шамаларыды, шағылғанды - 11, сынған - 12мен белгiлеймiз. Түскен, шағылған және сынған толқындардың электр өрiсiнiң кернеулiктерi үшiн, сәйкесiнше жазуға болады:

$Е_{10\ }(r, t) = E_{10}^{(0) }e^{i(\omega_{10}t - k_{10}r) }$ (2. 1)

${\ \ \ Е}_{11\ }(r, t) = E_{11}^{(0) }e^{i(\omega_{11}t - k_{11}r) }$ (2. 2)

${\ \ \ Е}_{12\ }(r, t) = E_{12}^{(0) }e^{i(\omega_{12}t - k_{12}r) }$ (2. 3)

Ұқсас түрде толқынның магниттiк өрiсiн кернеулiкпен бiрге алады. Электр кернеулiгiнiң тангенсін құрайтын векторлар, үзiлiссiз шектi шарт. Оны мына түрде көрсете аламыз:

$E_{10}^{(0) }e^{i(\omega_{10}t - k_{10}r) } + E_{11}^{(0) }e^{i(\omega_{11}t - k_{11}r) } = E_{12}^{(0) }e^{i(\omega_{12}t - k_{12}r) }$ (2. 4)

1-сурет

2. 2 Жиiлiктiң сақтауы, шағылысуы және сынуы.

Оңайлықтар үшiн (2. 4) түрдегi шартты жазып аламыз, уақытқа тәуелдi болмайды. Екi теңдiктiң бiр бөлiгiн дифференциалдаймыз

${\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ae}^{{i\omega}_{10}t} + {ae}^{{i\omega}_{11}t}$ + ${aс}^{{i\omega}_{12}t}$ (2. 5)

егер шаманы бұл теңдiктiң бiрiншi тарабында оны t алмастыратының бiлдiрсек, онда

${\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i\omega}_{10}{ae}^{{i\omega}_{10}t} + {i\omega}_{11}{be}^{{i\omega}_{11}t} = {i\omega}_{12}{ce}^{{i\omega}_{12}t}$ (2. 6)

Егер шаманы бұл теңдiктiң оң жағындағы ${ce}^{{i\omega}_{12}t}$ оны (2. 5) өрнегiпен алмастырсақ, онда

$ia\left( \omega_{10} - \omega_{10} \right) e^{{i\omega}_{10}t} = ib\left( \omega_{12} - \omega_{11} \right) e^{{i\omega}_{11}t}$ (2. 7)

t тепе- тең болғанда (2. 7) өрнек орындалады. Бірақ мына шарт орындалса

$\omega_{10} = \omega_{11}$ (2. 8)

Осы сияқты (2. 6) өрнектегі ${be}^{{i\omega}_{11}t}$ (2. 5) өрнекке қойып, жанағы шартқа сүйенсек, онда мына теңдікті аламыз:

${\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \omega}_{10} = \omega_{12}$ (2. 9)

Сөйтіп келгенде, толқынның жиiлiгi, шағылысу және сынуы да өзгермейді:

$\omega_{10}{= \omega}_{11} = \omega_{12}$ (2. 10)

Шылған және сынған сәулелер бiр жазықтықтарда ұшатынын көрсетемiз.

Шекті шартта (2. 4) өрнектегі r нүктенің радиус векторы болады. Бөлiмнiң бекі нүктелердiң координаталарының басын таңдаймыз. Сонда r векторы жазықтықтын ортасында толық жатады. Осы жағдайда (2. 4) өрнекті шектi шарт түрде жазып алуға болады:

${\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a}^{, }e^{- ik_{10}r} + b^{, }e^{- ik_{11}r} = c^{, }e^{- ik_{12}r}$ (2. 11)

a ^/ , b ^/ , c ^/ r-ге тәуелді емес. Теңдіктін екі жағына да (2. 11) өрнегін қолданамыз.

$r\nabla = x\frac{\partial}{\partial x} + y\frac{\partial}{\partial y} + z\frac{\partial}{\partial z}$

ескерсек,

$r\nabla e^{- ikr} = - ik*re^{- ik*r}$ (2. 12)

онда мына өрнекті аламыз.

${- ia}^{/}k_{10}*re^{- ik_{10}*r}{- ib}^{/}k_{11}*re^{- ik_{11}*r}$ = ${- ic}^{/}k_{12}*re^{- ik_{12}*r}$ (2. 12. a)

(2. 12. a) оң жағын ескерсек $\ \ {ic}^{/}k_{12}*re^{- ik_{12}*r}$ , (2. 11) өрнегінің көмегімен келесідей өрнек аламыз:

${\ \ \ \ \ \ \ \ \ ia}^{/}\left( k_{10}*r - k_{12}*r \right) e^{- ik_{10}*r} = {ib}^{/}\left( k_{12}*r - k_{11}*r \right) e^{- ik_{11}*r}$ (2. 12. б)

Ол жазықтықта жатқан кез-келген r векторлар үшін, (2. 13) өрнекті қанағаттандырады.

${\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k}_{10}*r = k_{11}*r$ (2. 13)

Егер (2. 12. a) өрнекті $b^{, }e^{- ik_{11}r}$ алмастырсақ, (2. 11) өрнектің көмегімен. Сәйкесінше

${\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k}_{10}*r = k_{12}*r$ (2. 14)

Сөйтіпп келгенде

${\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k}_{11}*r = k_{12}*r$ = $k_{10}*r$ (2. 15)

K _11, k _12, k ₁₃ векторлары бір жазықтықта жатқанын көреміз. Шынында да, $r$ векторы жазықтық орталарында, ал қалғандарында кез- келген жағдайда жатады. Бұны толқынды вектордың бағыттаушысы етіп тандасақ, мысалға $k_{10}$ векторын алсақ

$k_{10}*r = 0 = k_{11}*r = k_{12}*r$

Бұл $k_{11}\ және\ k_{12}$ векторлары $r$ векторына перпендикуляр жатқаның, яғни $k_{10\ }$ векторы жатқан жазықтықта жатады. Осылайша, шағылған және сынған сәулелер бiр жазықтықтарда жатадыны дәлелденді.

2. 3 Құлау бұрыштарының арасындағы байланыс, шағылысу және сыну. Снеллиустiң заңы

Жаңқалай құлау диэлектриктердiң бөлiмнiң бетiндегi координаталар жүйесiнiң басы нүктеге таңдаймыз. XZ жазықтықтарын біріктірсек, түсу, шағылу және сыну сәулелері жатыр делік. Z осі бөлімнің беттеріне перпендикуляр орналасқан, ал X осі бөлімнің беттерін бойлай орналасқан. Бұны 1-суреттен көре аламыз. $k_{10}^{(0) }$ , $\ k_{11}^{(0) }, k_{12}^{(0) }$ -бірлік векторлары, тиiстi сәулелердiң бағытын мiнездеймiз. Әр түрлi бұрыштардың белгiлерi суретте көрсетiлген. (2. 15) теңдiктер орталардың бөлiмi басы бар кез-келген координаталар жүйесiнде нүктеге әдiл. Координаттар жүйесіндегі нүктелері X осіне теріс жатады. Ал $r$ векторы сәйкесінше X осіне бағыттас. Осыдан

$k_{10}*r = k_{10}rcos\alpha_{10}, \ \ k_{11}*r = k_{11}rcos\alpha_{11}, \ \ k_{12}*r = k_{12}rcos\alpha_{12}$

(2. 15) теңдеу мына түрге келеді

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k_{10}\cos\alpha_{10} = k_{11}\cos\alpha_{11} = k_{12}\cos\alpha_{12}$ (2. 16)

$\vartheta_{10}, \vartheta_{11}, \vartheta_{12}$ деп белгілесек, түскен және шағылған толқуларға сәйкес. Бұл жылдамдықтар толқулық сандарға тең $k_{10}, \ k_{11}, k_{12}$ .

${\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k}_{10} = \frac{\omega}{\vartheta_{10}}, \ \ {\ \ k}_{11} = \frac{\omega}{\vartheta_{11}}, \ \ k_{12} = \frac{\omega}{\vartheta_{12}}$ (2. 17)

Бұнда үш толқынның да жиіліктері бірдей. Өйткені түсу және шағылған сәулелер бір ортада таралады, яғни

${\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vartheta}_{10} = \vartheta_{11}, \ \ k_{10} = k_{11}$

(2. 16) өрнекте ${cos\alpha}_{10} = {cos\alpha}_{11}, \ \alpha_{10} = \alpha_{11}$ осыдан

${\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \theta}_{10} = \theta_{11}$ (2. 18)

Бұл түсу бұрышы, сыну бұрышына тең екендігін көрсетеді. (16) теңдеу мен (2. 17) теңдеуді ескерсек,

$\left( \frac{1}{\vartheta_{10}} \right) \cos\alpha_{10} = \left( \frac{1}{\vartheta_{12}} \right) \cos\alpha_{12}$ (2. 19)

$\cos\alpha_{10} = sin\theta_{10}\ жәнеcos\alpha_{12} = sin\theta_{12}\$ ескерсек, онда (2. 19) өрнекті мына түрде жазуға болады

$\frac{{\ sin\theta}_{10}}{\ \ \ {sin\theta}_{12}} = \frac{\vartheta_{10}}{\vartheta_{12}}$ (2. 20)

$\vartheta_{10} = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{1}\mu_{1}}}; \ \vartheta_{12} = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{2}\mu_{2}}}$ ескепе отырып, (2. 20) өрнекті былай жазуға болады

$\frac{{\ sin\theta}_{10}}{\ \ \ {sin\theta}_{12}} = \sqrt{\frac{\varepsilon_{2}\mu_{2}}{\varepsilon_{1}\mu_{1}}}$ (2. 21)

Яғни, түсу бұрышының синусы, сыну бұрышының синусына тең. (Снеллиу заңы) .

2. 4 Өткiзушi орталардағы электрмагниттiк толқындарын тарату.

Кешендi диэлектриялық қабылдағыш.

Бiркелкi шексiз өткiзушi ортада $(\gamma = const, \ \mu = const, \varepsilon = const. \ \gamma \neq 0)$ алғашқы екі теңдік Максвелл теңдеуіне қойсақ

$rotH = j + \frac{\varepsilon\partial E}{\partial t} = \gamma E + \varepsilon\partial E/\partial t$ (2. 22)

$rotH = - \mu\partial H/\partial t$ (2. 23)

Осы теңдіктерді мына теңдеуге қоятын болсақ $E(r, t) = E_{0}e^{i(\omega t - k*r) }, \ H(r, t) = H_{0}e^{i(\omega t - k*r) }$ сәйкесінше мына өрнек шығады.

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - ik*H = i\omega\left\lbrack \varepsilon + \gamma/(i\omega) \right\rbrack E$ (2. 24)

$- ik*E = - i\omega\mu H$ (2. 25)

Диэлектриктерге сәкес (2. 22) өзгереді, егер сәйкесінше $\ \gamma = 0$ болса. Ал (2. 25)

өрнек диэлектриктердiң жағдайындағы тиiстi теңдеуден айырмашылығы болмайды. Сөйып келгенде, математикалық қатынастағы өткiзушi орта тек қана енiң абсолюттi диэлектриялық өтiмдiлiгiнiң орынының өткiзушi ортасы үшiн теңдеуде кешендi диэлектриялық өтiмдiлiк кiретiн диэлектрика айырмашылығы болады.

$\varepsilon_{\omega} = \varepsilon + \frac{\gamma}{i\omega} = \varepsilon - i\gamma/\omega$ (2. 26)

Нақты k шаманың орнына кескінді $k_{\omega}$ шама пайда болады.

${\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k}_{\omega}^{2} = \omega^{2}\varepsilon_{\omega}\mu = \omega^{2}\varepsilon\mu - i\omega\gamma\mu$ (2. 27)

$k_{\omega}$ қосымша түрдегі комплексті сандары:

${\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k}_{\omega} = k - is$ (2. 28)

(2. 27) теңдікті былай өрнектеуге болады

$k^{2} - 2iks - s^{2} = \omega^{2}\varepsilon\mu - i\omega\gamma\mu$

Өзара нақты және бұл теңдiктiң жорамал санына теңестiрсек, онда:

${\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k}^{2} - s^{2} = \omega^{2}\varepsilon\mu \equiv a$ (2. 29)

$2ks = \omega\gamma\mu \equiv b$ (2. 31)

Бұл теңдіктің алгебралық өрнегі мына түрге келеді:

${\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k}^{2} = \frac{a}{2}\left( \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} + 1 \right) = \omega^{2}\varepsilon\mu/2\left\lbrack \sqrt{1 + {(\frac{\gamma}{\varepsilon\omega}) }^{2}} + 1 \right\rbrack$ (2. 31)

${\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ s}^{2} = \frac{a}{2}\left( \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} + 1 \right) = \omega^{2}\varepsilon\mu/2\left\lbrack \sqrt{1 + {(\frac{\gamma}{\varepsilon\omega}) }^{2}} + 1 \right\rbrack$ (2. 32)