Арифметикалық амалдар
Мазмұны
Кіріспе 2
1. Арифметикалық амалдар және олардың қасиеттері
мен заңдары 3
1.1. Арифметикалық амалдағыштар 3
1.2. Арифметикалық ұғымдарды оқыту технологиясы 3
1.3. Арифметикалық амалдарды жазбаша орындау 5
1.4. Арифметикалық амалдарды жазбаша есептеу тәсілдері 7
1.4.1. Арифметикалық амалдарды жазбаша
орындаудың мысалдары 7
2. Арифметикалық амалдардың қасиеттері мен заңдары 13
2.1. Есептеу дағдыларын қалыптастыру 13
2.2. Он көлеміндегі сандарға байланысты қосу жэне
азайту амалдары 16
2.3 Жүз көлеміндегі сандарды қосу және азайту
машықтарын қалыптастыру әдістемесі 20
2.4 Сандық және әріпті өрнектерді оқыту әдістемесі, олардың мәндерін табу. Амалдарды орындау ережесі 22
Қорытынды 24
Пайдаланылған әдебиеттер 25
Кіріспе 2
1. Арифметикалық амалдар және олардың қасиеттері
мен заңдары 3
1.1. Арифметикалық амалдағыштар 3
1.2. Арифметикалық ұғымдарды оқыту технологиясы 3
1.3. Арифметикалық амалдарды жазбаша орындау 5
1.4. Арифметикалық амалдарды жазбаша есептеу тәсілдері 7
1.4.1. Арифметикалық амалдарды жазбаша
орындаудың мысалдары 7
2. Арифметикалық амалдардың қасиеттері мен заңдары 13
2.1. Есептеу дағдыларын қалыптастыру 13
2.2. Он көлеміндегі сандарға байланысты қосу жэне
азайту амалдары 16
2.3 Жүз көлеміндегі сандарды қосу және азайту
машықтарын қалыптастыру әдістемесі 20
2.4 Сандық және әріпті өрнектерді оқыту әдістемесі, олардың мәндерін табу. Амалдарды орындау ережесі 22
Қорытынды 24
Пайдаланылған әдебиеттер 25
Кіріспе
Арифметикалық амалдар - берілген сандар бойынша тиісті шартты қанағаттандыратын басқа бір санды табу әдісі. Мектеп арифметикасында натурал сандар меп оң бөлшектерді қосу, азайту, көбейту, бөлу амалдары қарастырылады. Берілген натурал сандарды қосу деп сол сандарда қанша бірлік болса, сонша бірліктерден қүралған санды табу амалын айтады. Берілген сандар қосылғыштар, ал қосу нәтижесі қосынды деп аталады. Мыс., 5+7+8=20, мүндағы 5, 7, 8 — қосылғыштар, 20 — қосынды. Қосу амалы ауыстырымдылық (коммутативтілік) және терімділік (ассоциативтілік) заңдарына бағынады. Ерте кезде сандарды сол жақтан бастап қосатын болған. Өзімізге үйреншікті түрдегі қосу тәсілі жәпе онын таңбасы ( + ) 15 ғ-да енгізілген. Азайту амалы деп берілген қосынды мен бір қосылғыш бойьшша екінші қосылғышты табу амалын айтады. Берілген қосынды азайғыш, берілген қосылғыш азайтқыш, ал азайту нәтижесі айырма деп аталады. Сонымен, азайту амалы — қосу амалына кері амал. Мыс., 15—8=7; 15 — азайғыш, 8 — азайтқыш, 7 — айырма. Ертеректе азайту амалы да қазіргіге керісінше, сол жақтап басталып орындалатын. Қазіргі үйреншікті тәсіл Европада 15 ғасырдан бастап қолданылған. Азайту тацбасының ( —) да шыққан кезі — сол уақыт.
Натурал сандарды көбейту деп бірдей қосылғыштардыц қосындысын табу амалып айтады. Қосылғыш ретін-де қайталанатын сан көбейгіш, оның неше рет қосылатынын көрсететін сан көбейткіш, ал амал нәтижесі көбейтінді деп аталады. Көбейгіш пен көбейткішті жалпы алғанда көбейткіштер деп те атайды. Мыс., 6X5=30, 6 —кобейгіш. 5 — көбейткіш, 30 — көбейтінді. Көбейту амалы да ауыстырымдылық, терімділік және үлестірімділік (дистрибутивтілік) заддарына бағынады. Ертедегі Индияда көбейту амалы сол жағынан басталып орындалатын. Қазіргі үйреншікті тәсіл 15 ғ-дан бастап қолда-нылған. Көбейту таңбасы әуелде нүкте (•) түрінде (15 ғ.), кейін онымен қатар кірес (X) түрінде (17 ғ.) жазылатын болған.
Екі көбейткіштің көбейтіндісінеп сол кобейткіштердің бірі арқылы екіншісін табу амалы бөлу деп аталады. Бөлінетін сан бөлінгіш, оны белетiн сан бөлгіш, белу нәтижесі бөлінді деп аталады. Мыс., 12:3=4, 12 — бөлінгіш, 3 — бөлгіш, 4 — бөлінді. Бөлу амалы — көбейту амалына кері амал. Белу амалы бүтіндей болу және қалдықпен бөлу деп екі турге бөлінеді. Қалдықпен бөлу дегеніміз — бөлгішпен кобейтіндісі берілген бөлінгіштен артпайтын ең үлкен бүтін санды табу деген сөз. Бүл іздеп отырған сан толымсыз бөлінді дсп аталады. Бөлінгіштің толымсыз бөлінді мен бөлгіш кебейтіндісінен айырмасы қалдқ деп аталады, ол — белгіштен әрқашан да кем болады. Мыс., 21-ді 4-ке бөлгенде, толымсыз бөлінді 5, қалдық 1 болады, яғни 21=4x5+1. Белудің қазіргі қолданылатын тәсілін 15 ғ-да итальян ғалымдары ойлап шығарған. Бөлу таңбасын (: ) алғаш қолданған (1633) — ағылшын ғалымы Джонсон.
Арифметикалық амалдар - берілген сандар бойынша тиісті шартты қанағаттандыратын басқа бір санды табу әдісі. Мектеп арифметикасында натурал сандар меп оң бөлшектерді қосу, азайту, көбейту, бөлу амалдары қарастырылады. Берілген натурал сандарды қосу деп сол сандарда қанша бірлік болса, сонша бірліктерден қүралған санды табу амалын айтады. Берілген сандар қосылғыштар, ал қосу нәтижесі қосынды деп аталады. Мыс., 5+7+8=20, мүндағы 5, 7, 8 — қосылғыштар, 20 — қосынды. Қосу амалы ауыстырымдылық (коммутативтілік) және терімділік (ассоциативтілік) заңдарына бағынады. Ерте кезде сандарды сол жақтан бастап қосатын болған. Өзімізге үйреншікті түрдегі қосу тәсілі жәпе онын таңбасы ( + ) 15 ғ-да енгізілген. Азайту амалы деп берілген қосынды мен бір қосылғыш бойьшша екінші қосылғышты табу амалын айтады. Берілген қосынды азайғыш, берілген қосылғыш азайтқыш, ал азайту нәтижесі айырма деп аталады. Сонымен, азайту амалы — қосу амалына кері амал. Мыс., 15—8=7; 15 — азайғыш, 8 — азайтқыш, 7 — айырма. Ертеректе азайту амалы да қазіргіге керісінше, сол жақтап басталып орындалатын. Қазіргі үйреншікті тәсіл Европада 15 ғасырдан бастап қолданылған. Азайту тацбасының ( —) да шыққан кезі — сол уақыт.
Натурал сандарды көбейту деп бірдей қосылғыштардыц қосындысын табу амалып айтады. Қосылғыш ретін-де қайталанатын сан көбейгіш, оның неше рет қосылатынын көрсететін сан көбейткіш, ал амал нәтижесі көбейтінді деп аталады. Көбейгіш пен көбейткішті жалпы алғанда көбейткіштер деп те атайды. Мыс., 6X5=30, 6 —кобейгіш. 5 — көбейткіш, 30 — көбейтінді. Көбейту амалы да ауыстырымдылық, терімділік және үлестірімділік (дистрибутивтілік) заддарына бағынады. Ертедегі Индияда көбейту амалы сол жағынан басталып орындалатын. Қазіргі үйреншікті тәсіл 15 ғ-дан бастап қолда-нылған. Көбейту таңбасы әуелде нүкте (•) түрінде (15 ғ.), кейін онымен қатар кірес (X) түрінде (17 ғ.) жазылатын болған.
Екі көбейткіштің көбейтіндісінеп сол кобейткіштердің бірі арқылы екіншісін табу амалы бөлу деп аталады. Бөлінетін сан бөлінгіш, оны белетiн сан бөлгіш, белу нәтижесі бөлінді деп аталады. Мыс., 12:3=4, 12 — бөлінгіш, 3 — бөлгіш, 4 — бөлінді. Бөлу амалы — көбейту амалына кері амал. Белу амалы бүтіндей болу және қалдықпен бөлу деп екі турге бөлінеді. Қалдықпен бөлу дегеніміз — бөлгішпен кобейтіндісі берілген бөлінгіштен артпайтын ең үлкен бүтін санды табу деген сөз. Бүл іздеп отырған сан толымсыз бөлінді дсп аталады. Бөлінгіштің толымсыз бөлінді мен бөлгіш кебейтіндісінен айырмасы қалдқ деп аталады, ол — белгіштен әрқашан да кем болады. Мыс., 21-ді 4-ке бөлгенде, толымсыз бөлінді 5, қалдық 1 болады, яғни 21=4x5+1. Белудің қазіргі қолданылатын тәсілін 15 ғ-да итальян ғалымдары ойлап шығарған. Бөлу таңбасын (: ) алғаш қолданған (1633) — ағылшын ғалымы Джонсон.
Пайдаланылған әдебиеттер
Негізгі әдебиет:
1. ҚР жалпы орта білім берудің мемлекеттік жалпыға міндетті стандарттары. Жалпы бастауыш білім.- Алматы: РОНД, 2002.
2. ҚР жалпы орта білім берудің мелекеттік жалпыға міндетті стандарттары: Жалпы орта білім.- Алматы: РОНД , 2002.
3. ҚР жалпы орта білім берудің мелекеттік жалпыға міндетті стандарттары: Мектеп алдындағы дайындық.- Алматы: РОНД , 2002.
4. Оспанов Т.Қ, Құрманалина Ш.Х. Математиканың бастауыш курсын оқытудың әдістемесі. Педагогикалық колледждердің оқушыларына және мұғалімдерге арналған оқу құралы. 1,2 бөлімдер. – Алматы, 1995, 1996.
5. Оспанов Т.Қ. Бастауыш кластарда математиканы оқыту. – Алматы: «Мектеп», 1987.
6. Қадырбаева А. А и др. Внеклассная работы по математике в начальной школе.-Алматы, 2000.
7. Құрманалина Ш.Х. и др. Задачи и упражнения, направленные на развитие интелетуальных умений у младших школьников.-Алматы, 2000.
8. Оспанов Т.Қ. және т.б. Математика 1-4 сыныптар.- Алматы: «Атамұра», 1997-2004.
9. Оспанов Т.Қ және т.б. Математиканы оқыту әдістемесі 1-4 сыныптар. –Алматы; «Атамұра», 1997-2000.
10. Ақпаева А.Б. практические и лабораторные занятия по методике преподавания математике в начальной школе.-Алматы, АГУ иа Абая, 2003.
Негізгі әдебиет:
1. ҚР жалпы орта білім берудің мемлекеттік жалпыға міндетті стандарттары. Жалпы бастауыш білім.- Алматы: РОНД, 2002.
2. ҚР жалпы орта білім берудің мелекеттік жалпыға міндетті стандарттары: Жалпы орта білім.- Алматы: РОНД , 2002.
3. ҚР жалпы орта білім берудің мелекеттік жалпыға міндетті стандарттары: Мектеп алдындағы дайындық.- Алматы: РОНД , 2002.
4. Оспанов Т.Қ, Құрманалина Ш.Х. Математиканың бастауыш курсын оқытудың әдістемесі. Педагогикалық колледждердің оқушыларына және мұғалімдерге арналған оқу құралы. 1,2 бөлімдер. – Алматы, 1995, 1996.
5. Оспанов Т.Қ. Бастауыш кластарда математиканы оқыту. – Алматы: «Мектеп», 1987.
6. Қадырбаева А. А и др. Внеклассная работы по математике в начальной школе.-Алматы, 2000.
7. Құрманалина Ш.Х. и др. Задачи и упражнения, направленные на развитие интелетуальных умений у младших школьников.-Алматы, 2000.
8. Оспанов Т.Қ. және т.б. Математика 1-4 сыныптар.- Алматы: «Атамұра», 1997-2004.
9. Оспанов Т.Қ және т.б. Математиканы оқыту әдістемесі 1-4 сыныптар. –Алматы; «Атамұра», 1997-2000.
10. Ақпаева А.Б. практические и лабораторные занятия по методике преподавания математике в начальной школе.-Алматы, АГУ иа Абая, 2003.
Мазмұны
Кіріспе 2
1. Арифметикалық амалдар және олардың қасиеттері
мен заңдары 3
1.1. Арифметикалық амалдағыштар 3
1.2. Арифметикалық ұғымдарды оқыту технологиясы 3
1.3. Арифметикалық амалдарды жазбаша орындау 5
1.4. Арифметикалық амалдарды жазбаша есептеу тәсілдері 7
1.4.1. Арифметикалық амалдарды жазбаша
орындаудың мысалдары 7
2. Арифметикалық амалдардың қасиеттері мен заңдары 13
2.1. Есептеу дағдыларын қалыптастыру 13
2.2. Он көлеміндегі сандарға байланысты қосу жэне
азайту амалдары 16
2.3 Жүз көлеміндегі сандарды қосу және азайту
машықтарын қалыптастыру әдістемесі 20
2.4 Сандық және әріпті өрнектерді оқыту әдістемесі, олардың мәндерін табу. Амалдарды орындау ережесі 22
Қорытынды 24
Пайдаланылған әдебиеттер 25
Кіріспе
Арифметикалық амалдар - берілген сандар бойынша тиісті шартты қанағаттандыратын басқа бір санды табу әдісі. Мектеп арифметикасында натурал сандар меп оң бөлшектерді қосу, азайту, көбейту, бөлу амалдары қарастырылады. Берілген натурал сандарды қосу деп сол сандарда қанша бірлік болса, сонша бірліктерден қүралған санды табу амалын айтады. Берілген сандар қосылғыштар, ал қосу нәтижесі қосынды деп аталады. Мыс., 5+7+8=20, мүндағы 5, 7, 8 -- қосылғыштар, 20 -- қосынды. Қосу амалы ауыстырымдылық (коммутативтілік) және терімділік (ассоциативтілік) заңдарына бағынады. Ерте кезде сандарды сол жақтан бастап қосатын болған. Өзімізге үйреншікті түрдегі қосу тәсілі жәпе онын таңбасы ( + ) 15 ғ-да енгізілген. Азайту амалы деп берілген қосынды мен бір қосылғыш бойьшша екінші қосылғышты табу амалын айтады. Берілген қосынды азайғыш, берілген қосылғыш азайтқыш, ал азайту нәтижесі айырма деп аталады. Сонымен, азайту амалы -- қосу амалына кері амал. Мыс., 15 -- 8=7; 15 -- азайғыш, 8 -- азайтқыш, 7 -- айырма. Ертеректе азайту амалы да қазіргіге керісінше, сол жақтап басталып орындалатын. Қазіргі үйреншікті тәсіл Европада 15 ғасырдан бастап қолданылған. Азайту тацбасының ( -- ) да шыққан кезі -- сол уақыт.
Натурал сандарды көбейту деп бірдей қосылғыштардыц қосындысын табу амалып айтады. Қосылғыш ретін-де қайталанатын сан көбейгіш, оның неше рет қосылатынын көрсететін сан көбейткіш, ал амал нәтижесі көбейтінді деп аталады. Көбейгіш пен көбейткішті жалпы алғанда көбейткіштер деп те атайды. Мыс., 6X5=30, 6 -- кобейгіш. 5 -- көбейткіш, 30 -- көбейтінді. Көбейту амалы да ауыстырымдылық, терімділік және үлестірімділік (дистрибутивтілік) заддарына бағынады. Ертедегі Индияда көбейту амалы сол жағынан басталып орындалатын. Қазіргі үйреншікті тәсіл 15 ғ-дан бастап қолда-нылған. Көбейту таңбасы әуелде нүкте (::) түрінде (15 ғ.), кейін онымен қатар кірес (X) түрінде (17 ғ.) жазылатын болған.
Екі көбейткіштің көбейтіндісінеп сол кобейткіштердің бірі арқылы екіншісін табу амалы бөлу деп аталады. Бөлінетін сан бөлінгіш, оны белетiн сан бөлгіш, белу нәтижесі бөлінді деп аталады. Мыс., 12:3=4, 12 -- бөлінгіш, 3 -- бөлгіш, 4 -- бөлінді. Бөлу амалы -- көбейту амалына кері амал. Белу амалы бүтіндей болу және қалдықпен бөлу деп екі турге бөлінеді. Қалдықпен бөлу дегеніміз -- бөлгішпен кобейтіндісі берілген бөлінгіштен артпайтын ең үлкен бүтін санды табу деген сөз. Бүл іздеп отырған сан толымсыз бөлінді дсп аталады. Бөлінгіштің толымсыз бөлінді мен бөлгіш кебейтіндісінен айырмасы қалдқ деп аталады, ол -- белгіштен әрқашан да кем болады. Мыс., 21-ді 4-ке бөлгенде, толымсыз бөлінді 5, қалдық 1 болады, яғни 21=4x5+1. Белудің қазіргі қолданылатын тәсілін 15 ғ-да итальян ғалымдары ойлап шығарған. Бөлу таңбасын (: ) алғаш қолданған (1633) -- ағылшын ғалымы Джонсон.
1. Арифметикалық амалдар және олардың қасиеттері мен заңдары
1.1. Арифметикалық амалдағыштар
Қосу, алу немесе көбейту сияқты негізгі математикалық амалдарды орындау; сандарды біріктіру; және сандық нәтиже алу үшін төмендегідей арифметикалық амалдағыштарды пайдаланыңыз.
Арифметикалық амалдағыш Мағынасы Мысал
+ (қосу таңбасы) Қосу 3+3
- (алу таңбасы) Алу 3 - 1
Теріс сан - 1
* (жұлдызша) Көбейту 3*3
(қиғаш сызық) Бөлу 33
% (пайыз таңбасы) Пайыз 20%
^ (екпін дәйекшесі) Дәрежеге 3^2
келтіру
1.2. Арифметикалық ұғымдарды оқыту технологиясы
Арифметикалық амалдарды орындаудың ерекше және дербес жағдайлары. Есептеулер жүргізуде арифметикалық амалдарды орындаудың "ерекше және дербес" жағдайлары жиі кездеседі.Олар арифметикалық амалдарды орындағанда 0 мен 1 сандары қатысатын жағдайлар.Бұлар тірек білімінің қатарына жатады, себебі, сандармен ауызша және жазбаша есептеулер жүргізудің барысында оқушылардың қатесіз және шұғыл түрде осындай жағдайларды қарастаруына тура келеді. Демек, арифметикалық амалдардың "ерекше және дербес" жағдайларын алдымен оқушылар саналы түсінуі тиіс те, күнделікті сабақта әр алуан жаттығуларды шұғыл дәрежеде орындау деңгейіне жеткізу үшін жүйелі жұмыс жүргізу әрдайым мұғалімнің назарында болуы керек. Мұндағы ең басты мәселе - осындай жағдайларда амалдар орындаудың сәйкес түрін қарастыру барысында оқытылып отырған мәселені оқушылардың саналы игеруіне жету және әрі қарай жұмыс барысында ондай жағдайларды салыстыра қарастыру арқылы әрқайсысының өзіне тән ерекшелігін, сондай-ақ олардың әр түрлі топтарының ұқсастығын тағайындау.Сонымен бірге ондай білімдерді саналы қабылдауын қамтамасыз ету.Бұл жағдайлар жеке дара қарастырылады.Сондықтан амалдардың кестелік жағдайларының құрамына бұлар енгізілмейді.Ол қосу мен көбейту,азайту мен бөлудің сәйкес жағдайларына қатысты кестелерді біршама ықшам түрде құруға мүмкіндік туғызады.Сондай-ақ балалардың есте сақтауына тиісті кестелік жағдайлардың мөлшерін (санын) әлдеқайда кемітуге себепші болады.
Алдымен оқушылардың танысатын мәселесі санға 1-ді қосу және саннан 1-ді алу. Бұл есептеу тәсілінің теориялық негізі натурал сандар қатарының негізгі қасиеті.Егер n кез-келген натурал сан болса, онда алдыңғы n-1 саны шығады. Әрине осы қасиеттің жалпы түріндегі тұжырымдамасын балалардың келтіруі және оны жатқа айтуы міндетті емес.Оны балалардан талап етуге болмайды.Осы жерде оны мұғалімдердің есіне салу үшін ғана келтіріліп отырғанын ескертеміз.
Дегенмен, ол тұжырымдаманың мән-мазмұнын оқушылар сезінуі тиіс және нақты мысалдарды қарастыру барысында біртіндеп қолдануға машықтануы керек.Сондықтан нақты мысалдар арқылы осы қасиеттің мән-мазмұнын аша түсуге 10 көлеміндегі сандарды нөмірлеуді оқып-үйрену кезінен-ақ ерекше көңіл бөлу қажет. Осы тұрғыда заттарды санау, яғни зат пен санды сәйкестендіру; санға 1-ді қосу және 1-ді азайту арқылы шығарып алу; сандар қатарын тура және кері ретпен атау; кез-келген саннан бастап 1-ден қоса және 1-ден шегере санау;сандар қатарын бір санды атап отырып екі бағытта атау;қалдырып кеткен сандар қатарындағы санды,т.с.с. Жаттығуларды, сондай-ақ әр алуан көрнекіліктің түрлері мен дидактикалық материалды қажетінше және тиімді пайдалану керек болады. Сонда ғана осы қасиетке негізделген есептеу тәсілінің мәнін оқушылар саналы қабылдайды және игереді.
Келесі қарастырылатын мәселе 0-ді қосу,0-ді азайту,0-ге санды қосу. Азайтуда 0-дің шығатын жағдайлары, жалпы 0 саны ұғымын енгізу аса күрделі мәселе.Бұл жайындағы жұмыстың үлгі ретіндегі нұсқасын келтірейік. Дидактикалық нақты материал арқылы 0-дің шығуын демонстрациялап көрсету.
1.3. Арифметикалық амалдарды жазбаша орындау
Математиканы бастауыш буында оқытудың белгілі бір кезеңінде арифметикалық амалдарды жазбаша орындаудың тәсілдері үйретіледі. Төрт жылдық бастауыш мектепте қосу мен азайту амалдарына қатысты алғанда, 100 көлеміндегі сандар мен 1000 көлеміндегі сандарды жазбаша қосу мен азайту 2-сыныпта енгізіледі, ал көбейту мен бөлу сондай-ақ үш таңбалы санды бір таңбалы санға көбейту мен бөлудің жазбаша тәсілдерін қарастыру 3-сыныпта көзделеді. Әрмен қарай 4-сыныпта амалдарды орындаудың жазбаша тәсілдері көп таңбалы сандарға қолданылады да, сәйкес есептеулер жүргізу біліктері мен дағдылары қалыптастырылады.
Жазбаша есептеу тәсілдері амал алгоритмдерінің мән- мазмұны болып табылады. Өйткені осындай тәсілдерді оқып- үйрену барысында амалдардың әрқайсысын жазбаша орындаудың рет-тәртібі тағайындалады.
Жалпы алғанда амал алгоритмі- қандай да бір амалды орындау процесіндегі саналы іс- әрекеттің әр қадамын бағыттап отыратын орныққан тәртіп, ережелердің жүйесі. Оны жете түсіндіріп және меңгерту нәтижесінде ғана әр алуан есептеулерді өнімді, тез, қатесіз орындау шәкірттің дағдылы іс-әрекетіне айналады.
Қосу мен азайту амалдары алгоритмдерінің мән-мазмұны мынадай мәселелерді қамтиды: сандарды разряд бірліктерін бірінің астына бірін дәл келтіріп ретті жазу, амалды кіші разрядтан бастап біртіндеп орындау, амалды орындау кезінде разряд бірліктерін ірілеу немесе ұсақтау, нәтижені сәйкес разряд бірліктерінің астына дәл келтіріп жазу, нәтиженің дұрыс табылғанына тексеру арқылы көз жеткізу.
Енгізілетін есептеу тәсілін оқушылардың саналы игеруіне мүмкіндік жасалады. Ол үшін оқушылардың өздігінен орындалуына 25+14 және 37-25 сияқты мысал ұсынылады. Оқушылар нәтижені өздеріне белгілі есептеу тәсілдері арқылы табады.
25 37
+14 -25
37
Сандарды жазбаша қосу және азайту алгоритмін, қажетті қорытынды ережені оқушылар өздері дәлелдеп тұжырымдайды. Бұл үшін қажетті құралдар: санау шыбықтары, бумалары ( он-оннан буылған) абак, есепшот, әр түрлі дөңгелектері бар жолақтар. Осы құралдар арқылы санның разрядтық құрамын анықтауға, ондықтар мен бірліктермен жүргізілетін амалдарды орындауға болады. Әсіресе қосу мен азайту кезінде разряд бірліктерін ұсақтау мен ірілеу сияқты түрлендіруді айқынырақ түсіндіруге көңіл бөлінуі тиіс. Мысалы жекелеген шыбықтардан ондықтың (буманың ) және бірнеше бірліктің қалай шығатынын, ондықты (буманы) жекелеген шыбықтарға жіктеу және тағы бірнеше бірлікті қосуды дидактикалық материалдардың жәрдемімен практикалық жұмыс арқылы көрсету жөн. Сонда ғана оқушы жазбаша қосу мен азайтудың ең бір шешуші кезеңіне сай дұрыс іс-әрекетті сенімді орындауға үйренеді және оны саналы игереді.
25+14 және 37-25 мысалдарында нәтижені табуды разрядтар бойынша орындауға болатынын көрсетіп беру үшін, айталық, дөңгелектер салынған жолақтарды пайдаланудың үлгісін көрсетейік. Алдымен берілген мысалдардың әрқайсысын жолақтарды пайдаланып, ондықтармен бірліктерден құрастырамыз. Сонда ол дөңгелектен салынған екі, бір, (үш, екі) жолақ және басқа түсті дөңгелектер бар (сондай-ақ жылжымалы жолақтардың және көрнекіліктің басқадай да түрінің қолданылуы мүмкін), жолақты пайдаланамыз. Сәйкес жазулар қоса көрсетіледі:
25+14= (20+10) +(5+4) =30+9 =39
37-25 = (30-20) +( 7-5) =10+2 =12
Осы сияқты 27+38 және 42-26 мысалдарында сәйкес практикалық жұмысты санау шыбықтарымен ұйымдастыруға болады. Мысалы: 27+38 жағдайында екі бума және жеті шыбық, Сондай-ақ үш бума және сегіз шыбық алынады. Буманы санап шығамыз, 5 бума. Жекелеген шыбықтарды санаймыз -15. Ал он шыбықтан бір бума құраймыз, сонда барлығы 6 бума және 5 жеке шыбық болады.
Демек, 27+38 =(20 +30) + ( 7 +8 ) = 50 +15 = 65.
Ал 42-26 жағдайында төрт бума және жеке 2 шыбық, сондай- ақ екі бума және алты жеке шыбық алынады. Жеке шыбықтар салыстырылады, 2- ден 6-ны (яғни үлкен санды кіші саннан) алуға болмайтынына оқушылардың назары аударылады. Бір бума шешіліп, 10 жекелеген шыбықтың шыққаны және тағы 2 жеке шыбық, барлығы 12 жеке шыбықтан 6 шыбық алынады. Үш бумадан 2 бума алынады. Сонда 1 бума және 6 жеке шыбық қалды. Демек, 42 -26 = (30 -20) + (12 -6) = 10+6=16.
Осы жағдайда екі таңбалы сандармен ондықтан аттап қосу мен азайту амалдарын орындау тәсілдерінің мән-мазмұны ашылады. Жоғарыда келтірілген жазулар мен талқылауларға біршама уақыт жұмсауға тура келетініне оқушылардың назары аударылады да, амалдардың баған түрінде жазылуының тиімділігі көрсетіледі, яғни :
27 42
+38 - 26
65 16
Бірлі жарым мысалдарды қарастырудың алғашқы сатысында, кейінірек оқушы қателескен жағдайларда, сондай-ақ жекелеген үлгерімі нашар оқушының сәйкес алгоритмді игере алмағандығы байқалатын болады.
1.4. Арифметикалық амалдарды жазбаша есептеу тәсілдері
Есептеулердің осы тәсілдерін меңгергеннен кейінгі жұмыстың бәрі сәйкес дағдыны қалыптастыруға арналады. Тәжірибеге қарағанда, екі таңбалы сандарды ондықтан аттап жазбаша қосу мен азайтудың енгізілуі және 100 көлеміндегі сандарға жазбаша және ауызша есептеу тәсілдерінің алма- кезек қолданылуы сәйкес есептеу дағдыларын кемелдендіре түсетінін көрсетеді. Біртіндеп оқушылар сәйкес мысалды көре отырып, (олар сандардағы ондықтар мен бірліктерді көру арқылы қабылдайды) нәтижені ауызша табуға бейімделе бастайды.
Оқушылар күнделікті тәжірибеде мысалдарды қарастыру барысында сандарды разрядтар бойынша қосу мен азайту дағдысын игереді. Есептеулерді ауызша немесе жазбаша жүргізуге жаттыға келе оқушының екі таңбалы санды қосу мен азайтуға қатысты дағдылары олардың шұғыл түрде орындайтын іс- әрекеті деңгейіне жеткізіледі. Балалар мысалды оқығанда (есту) және жазылғанда (көру) бірден ондықтар, бірліктер разрядындағы цифрларға назар аударып, іштер есептей отырып нәтижені бірден айтады немесе жазады. Түсіндірмелер қажетіне қарай, әсіресе оқушылар қате жібергенде келтіріледі. Дегенмен әрдайым разряд бірліктерін ұсақтау мен ірілеуге қатысты жағдайларға ерекше көңіл бөліп отыру керек. Бұларға мысалдардың белгілі бір тобын (үштіктер) салыстыра қарастыру арқылы балаларды жаттықтыру орынды.
Мысалы:
32 34 37 87 87 87
+46 + 46 +46 - 54 - 57 - 59
78 80 83 33 30 28
Екі таңбалы сандарды қосуға және азайтуға берілген тапсырмалардың математикалық басқа да жаттығулардың( мәтінді есептерді ,теңдеулерді шешуде, геометриялық мазмұнды есептерде) құрамында енгізілуі сәйкес дағдыны тиянақтай түседі. Сонымен
Жүздік тақырыбын оқып- үйренудің соңын ала оқушылар қосу мен азайту алгоритмдерінің мән - мазмұнын игеріп шығады деуге толық негіз бар. Ал Мыңдар тақырыбында қосу және азайтудың жазбаша тәсілдері бойынша оқушылар өздерінің игерген білім, білік және дағдыларын сандардың жаңа облысына қолданады. Жазбаша қосу мынадай ретпен қарастырылады:
1) бірліктерінің қосындысы мен ондықтарының қосындысы 10-нан кіші(кем) болатын жағдайлар;
2) бірліктерінің қосындысы, ондықтарының қосындысы(немесе екі қосынды да 10- ға тең) болатын жағдайлар;
3) бірліктерінің қосындысы, ондықтарының қосындысы (немесе қосындының екеуі де) 10-нан үлкен (артық) болатын жағдайлар.
Алдымен ондықтан аттамайтын қосуға мысалдар келтіріледі: 232+347, 235 +431. Оқушылар алғашқы кезде есептеу әдісін бір жолға тәптіштеп жаза отырып ауызша шығарады. Сонан кейін мұғалім бұл мысалдарды баған түрінде: екінші санның бірліктерін бірінші санның бірліктерінің астына келтіріп, ондықтарын ондықтарының астына келтіріп жүздіктерін жүздіктерінің астына келтіріп жазады. Қосу әдісіне түсінік беріледі.
232 2 бірлікке 7 бірлікті қосамыз, 9 бірлік шығады. Қосындыда 9- ды + 347 сызықшаның астыңғы жағына бірліктердің орнына жазамыз; 3 ондыққа 4 ондықты қосамыз, 7 ондық болады. Қосындыда ондықтардың орнына 7-ні жазамыз. 2 жүздікке 3 жүздікті қосамыз, 5 жүздік шығады. Қосындыда жүздіктердің орнына 5-ті жазамыз. Қосынды 579-ға тең.
Балалар мысалдардың жазылуымен түсінік беруге жаттығады, баған түрінде қосқанда бірліктерден бастайтынын есіне сақтап қалады.
427+133,363+245,236+464 түріндегі мысалдарды шығарғанда жазбаша қосуды ауызша қосудағыдай жоғарғы разрядтардан бастамай, 1 разряд бірліктері бастайтыны неліктен екенін көрсету оңай: қосуды жүздіктен бастап балалар бір мысал (457+243) шығарып көрсін; олар мұндай реттің тиімсіз екеніне көздері жетеді, өйткені жүздіктер мен ондықтар цифрларын түзетуге тура келеді.
Ондықтан аттап қосуға берілген мысалдарды шығарудан бұрын қосу кестесін қайталап алу және мына түрдегі дайындық жұмыстарын енгізу қажет:
8 бірл.+6 бірл., 6 онд.+7 онд., т.с.с. бұларда нәтижені ірірек бірліктермен өрнектеуге тура келеді. Алдыңғы кездегідей , мысалдар толық түсінік беріліп шығарылады.
544 4 бірлікке 8 бірлікті қосамыз, 12 бірлік немесе 1 ондық пен 2 бірлік +218 шығады, 2 бірлікті бірліктердің астына жазамыз, ал 1 ондықты ондықтарға қосамыз,т.с.с. Бірте-бірте қысқаша түсіндірме беруге көшу керек: 4 пен 8-12 ;2-ні жазамыз, 1-ді ойда сақтаймыз , 4 пен 1-5, ойдағы 1 мен-6 ; 6- ны жазамыз. 5 пен 2-7; не бары 762. Егер оқушы қате жіберсе, онда тәптіштеп түсініктеме беру талап етіледі.
Жазбаша қосуды оқып-үйренудің қорытынды сабақтарында оқушылар бірнеше қосылғыштарды қосудың жазылу формасымен және пайымдауымен танысады.
Оқушылар жазбаша қосуды орындау әдісін меңгерумен қоса , берілген тақырыпты оқып - үйренудің барлық кезеңдерінде тез және дұрыс есептеулер дағдысын қалыптастыруға тырысу қажет. Осы мақсатпен әр түрлі жаттығулар : мысалдар, есептер теңдеулер шығару, т.с.с. жеткілікті мөлшерде енгізіледі.
Оқушылар жазбаша есептеулермен қатар ауызша есептеулерге төселуі үшін мынадай тапсырмалар берген орынды: Мысалдардың шешулерін ауызша шығару қиын болғанда ғана баған түрінде жазыңдар. мысалы: х- 290= 6106 х+294=638, х-295=605).
Азайтудың жазба әдістерімен орындалатын жұмыс рсыған ұқсас жүргізіледі. Алғашқы рет азайтудың мына түріндегі ең оңай жағдайлары енгізіледі:
563-321. Балаларға нәтижелерді ауызша тапқызып, есептеу әдісін тәптіштеп жазу ұсынылады.
Қосу амалдағыдай, мысалды баған түрінде жазса, нәтижені табу оңай және жылдам болатынын балалар байқайды. Бұдан кейін ортасында немесе аяғында нөлдері бар сандарды азайту жағдайлары қарастырылады (547-304, 547-340, 507-305). Оларды енгізуден бұрын 0 мен байланысты амалдарды қайталап алған дұрыс( 5+0,5-0,0-0, 7*0, 0:9,9+0, т.с.с.).
Бұдан кейін мына түрдегі жағдайлар қарастырылады:
540-126 және 603 -281.
Алдын ала разрядтық бірліктердің арсындағы қатынастарды қайталап алу керек.
(1 ондықта неше бірлік бар? 1 жүздікте неше ондық бар? ) Ең алдымен мысалдар толық түсініктеме беріле отырып, шығарылады.
0-ден 6 бірлікті шегеруге болмайды. 4 ондықтың 1 ондығын - 126 аламыз. Алғанымызды ұмытып қалмау үшін 4 цифрының төбесіне нүкте қоямыз. 1 ондықта 10 бірлік бар. 10- нан 6-ны шегереміз. 4 бірлік қалады. Жауабын бірліктердің астына жазамыз. 3 ондықтан 2 ондықты шегереміз. 1 ондық қалады, т.с.с. 603 -281 мысалының шешуші осылайша түсіндіріледі, мұнда 1 жүздікті қарызға алуға оны ондықтарға ұсақтап , 10 ондықтан 8 ондықты шегеруге тура келеді. Жүздіктер цифрының (6) төбесіндегі нүкте 1 жүздік алынғанын және 5 жүздік қалғанын көрсетеді. Содан кейін мына түрдегі: 875-528, 628 -365 және 831-369 мысалдар енгізіледі . Осы мысалдардың бәрінде көршілес жоғары разрядтың бірлігін қарызға алуға (1 немесе 2 рет ) тура келеді. Дайындық жаттығулар ретінде азайтудың кестелік жағдайларын қайталап алып, 1 ондық 6 бірлік, 7 бірлік,1 жүздік -8 ондық, т.с.с. ауызша тапсырмалар енгізген пайдалы болады. Сондай-ақ разрядты бірліктерін көршілес төменгі разряд бірліктеріне түрлендіруді қайталап алған жөн.
1.4.1. Арифметикалық амалдарды жазбаша орындаудың мысалдары
875 875-528 мысалын шығарғанда оқушы былайша пайымдайды : 5 бірліктен - 528 8 бірлікті шегере алмаймыз, 7 ондықтың 1 ондығын аламыз (7 цифрының төбесіне нүкте қоямыз). 1 онд. пен 5 бірл. -15 бірлік, 15 бірлікті 8 бірлікті шегереміз , 7 бірлік шығады , жауабын бірліктердің астына жазамыз, т.с.с. Осыған ұқсас 1 мысал алып , жазбаша айтуды бірліктерден бастаған неліктен ыңғайлы екенін түсіндіруге болады.
Мына түрдегі мысалдарды орындау қиындық туғызады: 900-547, 906-547, 1000-456. Мұндағы қиындық бір разрядтық бірліктерді еншілерге түрлендіруді бірнеше рет орындауға тура келетіндігіне байланысты туады. (1000-456, бірліктер, ондықтар және жүздіктер жоқ, 1 мыңды алып, оны жүздіктерге ұсақтаймыз, 10 жүздік шығады; 10 жүздіктің бір жүздігін аламыз-нүкте қоямыз және 9 жүздік қалғанын есте сақтаймыз; 1 жүздікті ондықтарға ұсақтаймыз, 10 ондық шығады, т.с.с.) тағы да көрнекі құралдарды (квадраттарды немесе есепшотты) пайдаланып, 1 жүздік 9 ондық пен 10 бірлік, 1 мыңдық 9 жүздік 9 ондық және 10 бірлік болғанын көрсетуге болады.
Азайтуды оқып-үйренудің әрбір кезеңінде есептеу дағдыларын қалыптастыруға бағытталған жаттығуларды беру қажет. Осы жаттығуларды орындау процесінде оқушылардың пайымдаулары неғұрлым қысқа болып, ал есептеу тезірек орындалуы тиіс.
Жаттығулардың түрлері:
1. қосуға берілген мысалдарды шығарыңдар және оларды азайтумен тексеріңдер;
2. азайтуға берілген мысалдарды шығарыңдар және оларды азайтумен тексеріңдер;
3. берілген мысалдардың ауызша шығаруы қиын болатындарын ғана баған түрінде шығарыңдар;
4. берілген мысалдарды жазбаша шығарғанда жіберілген қателерді түсіндіріңдер;
5. жазылмай қалған цифрларды орнына қойып жазыңдар:
252 6 2 5 857 8 6 5
- . 18 - . . 1 - . 2 . - 2 . 7
. . 4 . 2 3 6 . 8 6 5 8
Мыңдар тақырыбын оқып - үйпенуде жазбаша қосу мен азайту дағдылары кемелдене түседі де, ол тақырыпты оқып- үйренудің соңында барлық оқушылар сәйкес алгоритмдердің мән- мазмұнын және орындаудың кезеңдерін еркін игеруі тиіс, осыған жету үшін қосу мен азайту амалдарын орындаудың ерекшелігі мынадай ретпен ашылады.
Ондықтан аттап қосу не азайту кезінде оқушылар қателесетін және қиналатын болса, ондай оқушылармен жеке-дара қарым- қатынас жасап, оларға көмек ретінде мынадай жазулардың көрсетілуі де мүмкін:
1 11 10 1010
378 564 570 1000
+ 419 + 398 - 246 - 268
797 962 324 732
Миллиондар көлеміндегі сандарды нөмірлеу мен оларға жүргізілетін амалдарды оқып- үйрену барысында жазбаша қосу мен азайту дағдылары дамытыла түседі. Мұнда оқушылар өздеріне үйреншікті алгоритмдерді тек қана көп таңбалы сандарға қолданады. Осы кезде әсіресе амалдардың дербес және аса қиын жағдайларын қамтитын жаттығуларды үнемі ауызша орындалатын тапсырмалар жүйесінің құрамына енгізіп отыру жөн.
Мысалы: 809 - 101, 302 +504, 899 +101, 795 -104, 302 +508, 1000- 394, 1000-309, т.с.с.
Сондай- ақ мына жазудағы сандардың жазылу реті дұрыс па?
399 389 18345 18944 3980 15798
+17 - 89 193 - 4149 + 217 - 239
Мысалдарды ауызша жаттығулар жүйесіне енгізген жөн, сонда оқушылар сандардың разряд бірліктерін дәл келтіріп жазудың қажеттігін еркін түсінетін болады.
Көп таңбалы сандарды жазбаша қосу және азайтумен танысу кезінде оқушылар әрбір келесі мысалдың құрамына алдыңғы сандар еніп отырған жағдайларды қарастырады, мысалы:
752 4752 57752 837 6837 76837 376837
+256 +3246 + 43246 - 425 - 2425 - 52425 -152425
Осындай мысалдарды шығарғаннан кейін оқушылар көп таңбалы сандарды жазбаша қосу мен азайту үш таңбалы сандарды жазбаша қосу мен азайту сияқты орындалатындығы жөнінде қорытынды жасайды. Бұдан кейін қосу мен азайту жағдайлары бара- бара қиындай түседі. Бірте- бірте разрядтық бірліктерді аттап өту саны артады: азайтудың азайғышта нөлдері бар болатын жағдайлары енгізіледі; бірнеше қосылғыштарды қосу, сондай- ақ атаулы сандарды қосу мен азайту үйретіледі. Жаңа жағдайлармен таныса отырып, балалар ең алдымен есептеулерге тәптіштеп түсініктеме береді( разрядтық бірліктерді және орындалатын түрлендірулерді атайды), мысалы 49099 9 бірлікке 7 бірлікті қосамыз, 16 бірлік немесе 1 ондық пен 6 бірлік + 6007 шығады; 6-ны бірліктің астына жазамыз, ал ондықты ондықтарға 53106 қосамыз, 9 ондыққа 0 ондықты қосамыз, 9 ондық шығады және тағы да бір ондық, он ондық немесе 1 жүздік болады, қосындыда ондықтардың орнына 0 жазамыз, ал 1 жүздікті жүздіктерге қосамыз.
0 жүзд. + 0 жүзд.= 0 жүз.,0 жүзд. +1 жүзд = 1жүзд.7 мыңға 6 мыңды қоссақ, 13 мың немесе 1онд. мың және 3 бірл. мың болады, 3 бірл.мыңды жазып 1 онд. мыңды 4 онд.- мыңға қоссақ, 5 онд. мың болады. Қосынды 53106.
Азайтуда азайғыштың кіші разрядтық санмен берілген жағдайлары біршама қиындық келтіреді, жоғарғы разряд бірліктерін төменгі разряд бірліктеріне бірте-бірте ұсақтауды есепшотпен көрсеткен тиімді (1000-ды 9 жүзд. 9 онд. 10 бірл. деп 1000-9 мың 9 жүзд. 9 онд. 10 бірл. деп атауға т.с.с. ) . Сонымен бірге мынадай мысалдарды түсініктеме бере отырып , шығаруды ауызша жаттығуларға енгізген пайдалы: 1 онд. -2 бірл., 1 жүзд. -5 онд., 1 мыңд.- 7 жүзд, т.с.с. азайтудың жоғарғы разряд бірліктерін бірнеше қайтара бірте-бірте ұсақтауға тура келетін жағдайларына ерекше назар аудару керек, мысалы: 400100-205708. Мұндай жағдайларды алдыңғы жағдайлармен салыстырып отырған дұрыс болады. 700000 -4097 және 701000-497 ,т.с.с. мысалдардың шешуіне толық түсініктеме беруді талап ету керек. Мысалы, бірліктердегі нөлден 8 бірлікті шегере алмаймыз. 1 жүзд. алып ( жүздіктердің төбесіне нүкте қоямыз) ,жүздікті ондықтарға ұсақтаймыз. 1 жүздікте 10 ондық бар, 10 ондықтың 1 ондығын аламыз( 9 ондық қалғандығын есімізге сақтаймыз). Ондықты бірліктерге ұсақтаймыз, 10 бірлік болады, 10 бірліктен 8 бірлікті шегереміз,2 бірлік қалады.9 ондықтан 0 ондықты шегереміз,
2. Арифметикалық амалдардың қасиеттері мен заңдары
2.1. Есептеу дағдыларын қалыптастыру
Есептеу дағдыларын қалыптастыру үшін әр түрлі жаттығулар енгізіп отыру қажет. Мүмкіндігінше мынадай тапсырмаларды жиірек беріп отыру керек: мысалдарды тәсілдердің біреуінің немесе кейде екеуімен шығарып тексеріңдер. Бұл амалдардың нәтижелері мен компаненттерінің арасындағы өзара байланыс жөніндегі білетіндерін ғана бекітіп қана қоймайды, есептеу дағдыларын қалыптастыруға көмектеседі және өзін-өзі бақылау әдетін тәрбиелейді.
Көп таңбалы сандарды қосу мен азайтуды үйренген кезде сол амалдарды ауызша орындау әдістеріне көңіл бөлудің маңызы бар, олай болмағанда есептеудің жазбаша әдістерін меңгеріп алғаннан кейін балалар оларды жазбаша жағдайлар үшін де, сондай-ақ ауызша жағдайлар үшін де қолдана бастайды. Осы мақсатпен мысалдарды шығарған кезде оқушылардың өздеріне ауызша шығаруға болатын мысалдарды талдап алуды және тек ең қиын мысалдарды ғана жазбаша әдістер мен шығаруды ұсыну қажет. Ауызша жаттығуларда 2- 3 таңбалы сандарды ,сондай-ақ бірнеше сандарды қосқанда орын ауыстыру және топтау әдістерін қолданып, орынды болатын жерінде қосу мен азайтудың компоненттерінің бірін дөңгелектеу әдісін пайдаланып, көп таңбалы сандарды ауызша қосу мен азайту әдістерін үнемі бекітіп отырған жөн. Көп таңбалы сандарды қосу мен азайтуды оқып үйренгеннен кейін метрикалық өлшеуіштермен өрнектеліп жазылған құрама атаулы сандарды қосуға және азайтуға кіріседі,өйткені бұл есептеулердің әдістері ұқсас. Атаулы сандарға амалдар қолдана білу есептер шығару үшін қажет. Құрама атаулы сандарға амалдарды түрліше қолануға болады: не ұқсас атаулы сандардан бастап тиісті түрлендіруді бірден орындай отырып, бірдей атаулы бірліктерді қосып(азайтып), ең алдымен берілген сандарды атаулары бірдей жай атаулы санға түрлендіріп, оларға амалдарды дерексіз сандарға қолданғандағыдай қолданып, шыққан нәтижені неғұрлым ірі өлшеу бірліктерімен өрнектеу. Бұл екі әдісте оқушыларға көрсетіледі.
Бірінші әдістің жазылуы үнемі дерексіз және атаулы сандарға қолданылатын амалдардың ұқсастығын көрсету арқылы беріледі, бірақ балалар үшін біршама қиын. Оны пайдалануды 2 -3 жаттығуды қарастырумен шектелген жөн. Бұл жаттығулардың мақсаты - дерексіз және атаулы сандарға қолданылатын есептеу әдістерін салыстыру:
12647 12 т 647 кг 12 км 647 м 13086 13 км 086 м
-5384 -5 т 384 кг - 5 км 384 м - 8225 - 8 265 265 м
(10 жүздік 1 мың болды, оны мыңдарға қосқанда 10 жүзік килограмм, 1 мың киллограмм, немесе 1 т болды, оны тонналарға қосамыз, т. с. с ... 0 жүздіктен 2 жүздіктерді шегере аллмаймыз, 1 мыңды аламыз, ал 1 мың 10 жүздік болады, 10 жүздіктен жүздікті тереміз және осыған ұқсас, ... 1 км-ді қарызға аламыз, 1 км - 1000 м немесе 10 жүздік метр, 10 жүздік метрден 2 жүздік метрді шегереміз.) Мұнда балалардың 10 жүздік киллограм 10 жүздік метр, 10 ондық тиын, т. с. С. Түрдегі екі санау бірлігінің және өлшеу бірлігінің атауы бар сандарға операция қолдануға тура келетінін көріп отырмыз, әрине, мұның ол сандарда түрлендіруді және оларға амалдар қолдануды қиындататыны сөзсіз. Атаулы сандарға есептеулер қолданудың екінші тәсілі әлдеқайда жеңілірек, бірақ жазылуы анағұрлым ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Кіріспе 2
1. Арифметикалық амалдар және олардың қасиеттері
мен заңдары 3
1.1. Арифметикалық амалдағыштар 3
1.2. Арифметикалық ұғымдарды оқыту технологиясы 3
1.3. Арифметикалық амалдарды жазбаша орындау 5
1.4. Арифметикалық амалдарды жазбаша есептеу тәсілдері 7
1.4.1. Арифметикалық амалдарды жазбаша
орындаудың мысалдары 7
2. Арифметикалық амалдардың қасиеттері мен заңдары 13
2.1. Есептеу дағдыларын қалыптастыру 13
2.2. Он көлеміндегі сандарға байланысты қосу жэне
азайту амалдары 16
2.3 Жүз көлеміндегі сандарды қосу және азайту
машықтарын қалыптастыру әдістемесі 20
2.4 Сандық және әріпті өрнектерді оқыту әдістемесі, олардың мәндерін табу. Амалдарды орындау ережесі 22
Қорытынды 24
Пайдаланылған әдебиеттер 25
Кіріспе
Арифметикалық амалдар - берілген сандар бойынша тиісті шартты қанағаттандыратын басқа бір санды табу әдісі. Мектеп арифметикасында натурал сандар меп оң бөлшектерді қосу, азайту, көбейту, бөлу амалдары қарастырылады. Берілген натурал сандарды қосу деп сол сандарда қанша бірлік болса, сонша бірліктерден қүралған санды табу амалын айтады. Берілген сандар қосылғыштар, ал қосу нәтижесі қосынды деп аталады. Мыс., 5+7+8=20, мүндағы 5, 7, 8 -- қосылғыштар, 20 -- қосынды. Қосу амалы ауыстырымдылық (коммутативтілік) және терімділік (ассоциативтілік) заңдарына бағынады. Ерте кезде сандарды сол жақтан бастап қосатын болған. Өзімізге үйреншікті түрдегі қосу тәсілі жәпе онын таңбасы ( + ) 15 ғ-да енгізілген. Азайту амалы деп берілген қосынды мен бір қосылғыш бойьшша екінші қосылғышты табу амалын айтады. Берілген қосынды азайғыш, берілген қосылғыш азайтқыш, ал азайту нәтижесі айырма деп аталады. Сонымен, азайту амалы -- қосу амалына кері амал. Мыс., 15 -- 8=7; 15 -- азайғыш, 8 -- азайтқыш, 7 -- айырма. Ертеректе азайту амалы да қазіргіге керісінше, сол жақтап басталып орындалатын. Қазіргі үйреншікті тәсіл Европада 15 ғасырдан бастап қолданылған. Азайту тацбасының ( -- ) да шыққан кезі -- сол уақыт.
Натурал сандарды көбейту деп бірдей қосылғыштардыц қосындысын табу амалып айтады. Қосылғыш ретін-де қайталанатын сан көбейгіш, оның неше рет қосылатынын көрсететін сан көбейткіш, ал амал нәтижесі көбейтінді деп аталады. Көбейгіш пен көбейткішті жалпы алғанда көбейткіштер деп те атайды. Мыс., 6X5=30, 6 -- кобейгіш. 5 -- көбейткіш, 30 -- көбейтінді. Көбейту амалы да ауыстырымдылық, терімділік және үлестірімділік (дистрибутивтілік) заддарына бағынады. Ертедегі Индияда көбейту амалы сол жағынан басталып орындалатын. Қазіргі үйреншікті тәсіл 15 ғ-дан бастап қолда-нылған. Көбейту таңбасы әуелде нүкте (::) түрінде (15 ғ.), кейін онымен қатар кірес (X) түрінде (17 ғ.) жазылатын болған.
Екі көбейткіштің көбейтіндісінеп сол кобейткіштердің бірі арқылы екіншісін табу амалы бөлу деп аталады. Бөлінетін сан бөлінгіш, оны белетiн сан бөлгіш, белу нәтижесі бөлінді деп аталады. Мыс., 12:3=4, 12 -- бөлінгіш, 3 -- бөлгіш, 4 -- бөлінді. Бөлу амалы -- көбейту амалына кері амал. Белу амалы бүтіндей болу және қалдықпен бөлу деп екі турге бөлінеді. Қалдықпен бөлу дегеніміз -- бөлгішпен кобейтіндісі берілген бөлінгіштен артпайтын ең үлкен бүтін санды табу деген сөз. Бүл іздеп отырған сан толымсыз бөлінді дсп аталады. Бөлінгіштің толымсыз бөлінді мен бөлгіш кебейтіндісінен айырмасы қалдқ деп аталады, ол -- белгіштен әрқашан да кем болады. Мыс., 21-ді 4-ке бөлгенде, толымсыз бөлінді 5, қалдық 1 болады, яғни 21=4x5+1. Белудің қазіргі қолданылатын тәсілін 15 ғ-да итальян ғалымдары ойлап шығарған. Бөлу таңбасын (: ) алғаш қолданған (1633) -- ағылшын ғалымы Джонсон.
1. Арифметикалық амалдар және олардың қасиеттері мен заңдары
1.1. Арифметикалық амалдағыштар
Қосу, алу немесе көбейту сияқты негізгі математикалық амалдарды орындау; сандарды біріктіру; және сандық нәтиже алу үшін төмендегідей арифметикалық амалдағыштарды пайдаланыңыз.
Арифметикалық амалдағыш Мағынасы Мысал
+ (қосу таңбасы) Қосу 3+3
- (алу таңбасы) Алу 3 - 1
Теріс сан - 1
* (жұлдызша) Көбейту 3*3
(қиғаш сызық) Бөлу 33
% (пайыз таңбасы) Пайыз 20%
^ (екпін дәйекшесі) Дәрежеге 3^2
келтіру
1.2. Арифметикалық ұғымдарды оқыту технологиясы
Арифметикалық амалдарды орындаудың ерекше және дербес жағдайлары. Есептеулер жүргізуде арифметикалық амалдарды орындаудың "ерекше және дербес" жағдайлары жиі кездеседі.Олар арифметикалық амалдарды орындағанда 0 мен 1 сандары қатысатын жағдайлар.Бұлар тірек білімінің қатарына жатады, себебі, сандармен ауызша және жазбаша есептеулер жүргізудің барысында оқушылардың қатесіз және шұғыл түрде осындай жағдайларды қарастаруына тура келеді. Демек, арифметикалық амалдардың "ерекше және дербес" жағдайларын алдымен оқушылар саналы түсінуі тиіс те, күнделікті сабақта әр алуан жаттығуларды шұғыл дәрежеде орындау деңгейіне жеткізу үшін жүйелі жұмыс жүргізу әрдайым мұғалімнің назарында болуы керек. Мұндағы ең басты мәселе - осындай жағдайларда амалдар орындаудың сәйкес түрін қарастыру барысында оқытылып отырған мәселені оқушылардың саналы игеруіне жету және әрі қарай жұмыс барысында ондай жағдайларды салыстыра қарастыру арқылы әрқайсысының өзіне тән ерекшелігін, сондай-ақ олардың әр түрлі топтарының ұқсастығын тағайындау.Сонымен бірге ондай білімдерді саналы қабылдауын қамтамасыз ету.Бұл жағдайлар жеке дара қарастырылады.Сондықтан амалдардың кестелік жағдайларының құрамына бұлар енгізілмейді.Ол қосу мен көбейту,азайту мен бөлудің сәйкес жағдайларына қатысты кестелерді біршама ықшам түрде құруға мүмкіндік туғызады.Сондай-ақ балалардың есте сақтауына тиісті кестелік жағдайлардың мөлшерін (санын) әлдеқайда кемітуге себепші болады.
Алдымен оқушылардың танысатын мәселесі санға 1-ді қосу және саннан 1-ді алу. Бұл есептеу тәсілінің теориялық негізі натурал сандар қатарының негізгі қасиеті.Егер n кез-келген натурал сан болса, онда алдыңғы n-1 саны шығады. Әрине осы қасиеттің жалпы түріндегі тұжырымдамасын балалардың келтіруі және оны жатқа айтуы міндетті емес.Оны балалардан талап етуге болмайды.Осы жерде оны мұғалімдердің есіне салу үшін ғана келтіріліп отырғанын ескертеміз.
Дегенмен, ол тұжырымдаманың мән-мазмұнын оқушылар сезінуі тиіс және нақты мысалдарды қарастыру барысында біртіндеп қолдануға машықтануы керек.Сондықтан нақты мысалдар арқылы осы қасиеттің мән-мазмұнын аша түсуге 10 көлеміндегі сандарды нөмірлеуді оқып-үйрену кезінен-ақ ерекше көңіл бөлу қажет. Осы тұрғыда заттарды санау, яғни зат пен санды сәйкестендіру; санға 1-ді қосу және 1-ді азайту арқылы шығарып алу; сандар қатарын тура және кері ретпен атау; кез-келген саннан бастап 1-ден қоса және 1-ден шегере санау;сандар қатарын бір санды атап отырып екі бағытта атау;қалдырып кеткен сандар қатарындағы санды,т.с.с. Жаттығуларды, сондай-ақ әр алуан көрнекіліктің түрлері мен дидактикалық материалды қажетінше және тиімді пайдалану керек болады. Сонда ғана осы қасиетке негізделген есептеу тәсілінің мәнін оқушылар саналы қабылдайды және игереді.
Келесі қарастырылатын мәселе 0-ді қосу,0-ді азайту,0-ге санды қосу. Азайтуда 0-дің шығатын жағдайлары, жалпы 0 саны ұғымын енгізу аса күрделі мәселе.Бұл жайындағы жұмыстың үлгі ретіндегі нұсқасын келтірейік. Дидактикалық нақты материал арқылы 0-дің шығуын демонстрациялап көрсету.
1.3. Арифметикалық амалдарды жазбаша орындау
Математиканы бастауыш буында оқытудың белгілі бір кезеңінде арифметикалық амалдарды жазбаша орындаудың тәсілдері үйретіледі. Төрт жылдық бастауыш мектепте қосу мен азайту амалдарына қатысты алғанда, 100 көлеміндегі сандар мен 1000 көлеміндегі сандарды жазбаша қосу мен азайту 2-сыныпта енгізіледі, ал көбейту мен бөлу сондай-ақ үш таңбалы санды бір таңбалы санға көбейту мен бөлудің жазбаша тәсілдерін қарастыру 3-сыныпта көзделеді. Әрмен қарай 4-сыныпта амалдарды орындаудың жазбаша тәсілдері көп таңбалы сандарға қолданылады да, сәйкес есептеулер жүргізу біліктері мен дағдылары қалыптастырылады.
Жазбаша есептеу тәсілдері амал алгоритмдерінің мән- мазмұны болып табылады. Өйткені осындай тәсілдерді оқып- үйрену барысында амалдардың әрқайсысын жазбаша орындаудың рет-тәртібі тағайындалады.
Жалпы алғанда амал алгоритмі- қандай да бір амалды орындау процесіндегі саналы іс- әрекеттің әр қадамын бағыттап отыратын орныққан тәртіп, ережелердің жүйесі. Оны жете түсіндіріп және меңгерту нәтижесінде ғана әр алуан есептеулерді өнімді, тез, қатесіз орындау шәкірттің дағдылы іс-әрекетіне айналады.
Қосу мен азайту амалдары алгоритмдерінің мән-мазмұны мынадай мәселелерді қамтиды: сандарды разряд бірліктерін бірінің астына бірін дәл келтіріп ретті жазу, амалды кіші разрядтан бастап біртіндеп орындау, амалды орындау кезінде разряд бірліктерін ірілеу немесе ұсақтау, нәтижені сәйкес разряд бірліктерінің астына дәл келтіріп жазу, нәтиженің дұрыс табылғанына тексеру арқылы көз жеткізу.
Енгізілетін есептеу тәсілін оқушылардың саналы игеруіне мүмкіндік жасалады. Ол үшін оқушылардың өздігінен орындалуына 25+14 және 37-25 сияқты мысал ұсынылады. Оқушылар нәтижені өздеріне белгілі есептеу тәсілдері арқылы табады.
25 37
+14 -25
37
Сандарды жазбаша қосу және азайту алгоритмін, қажетті қорытынды ережені оқушылар өздері дәлелдеп тұжырымдайды. Бұл үшін қажетті құралдар: санау шыбықтары, бумалары ( он-оннан буылған) абак, есепшот, әр түрлі дөңгелектері бар жолақтар. Осы құралдар арқылы санның разрядтық құрамын анықтауға, ондықтар мен бірліктермен жүргізілетін амалдарды орындауға болады. Әсіресе қосу мен азайту кезінде разряд бірліктерін ұсақтау мен ірілеу сияқты түрлендіруді айқынырақ түсіндіруге көңіл бөлінуі тиіс. Мысалы жекелеген шыбықтардан ондықтың (буманың ) және бірнеше бірліктің қалай шығатынын, ондықты (буманы) жекелеген шыбықтарға жіктеу және тағы бірнеше бірлікті қосуды дидактикалық материалдардың жәрдемімен практикалық жұмыс арқылы көрсету жөн. Сонда ғана оқушы жазбаша қосу мен азайтудың ең бір шешуші кезеңіне сай дұрыс іс-әрекетті сенімді орындауға үйренеді және оны саналы игереді.
25+14 және 37-25 мысалдарында нәтижені табуды разрядтар бойынша орындауға болатынын көрсетіп беру үшін, айталық, дөңгелектер салынған жолақтарды пайдаланудың үлгісін көрсетейік. Алдымен берілген мысалдардың әрқайсысын жолақтарды пайдаланып, ондықтармен бірліктерден құрастырамыз. Сонда ол дөңгелектен салынған екі, бір, (үш, екі) жолақ және басқа түсті дөңгелектер бар (сондай-ақ жылжымалы жолақтардың және көрнекіліктің басқадай да түрінің қолданылуы мүмкін), жолақты пайдаланамыз. Сәйкес жазулар қоса көрсетіледі:
25+14= (20+10) +(5+4) =30+9 =39
37-25 = (30-20) +( 7-5) =10+2 =12
Осы сияқты 27+38 және 42-26 мысалдарында сәйкес практикалық жұмысты санау шыбықтарымен ұйымдастыруға болады. Мысалы: 27+38 жағдайында екі бума және жеті шыбық, Сондай-ақ үш бума және сегіз шыбық алынады. Буманы санап шығамыз, 5 бума. Жекелеген шыбықтарды санаймыз -15. Ал он шыбықтан бір бума құраймыз, сонда барлығы 6 бума және 5 жеке шыбық болады.
Демек, 27+38 =(20 +30) + ( 7 +8 ) = 50 +15 = 65.
Ал 42-26 жағдайында төрт бума және жеке 2 шыбық, сондай- ақ екі бума және алты жеке шыбық алынады. Жеке шыбықтар салыстырылады, 2- ден 6-ны (яғни үлкен санды кіші саннан) алуға болмайтынына оқушылардың назары аударылады. Бір бума шешіліп, 10 жекелеген шыбықтың шыққаны және тағы 2 жеке шыбық, барлығы 12 жеке шыбықтан 6 шыбық алынады. Үш бумадан 2 бума алынады. Сонда 1 бума және 6 жеке шыбық қалды. Демек, 42 -26 = (30 -20) + (12 -6) = 10+6=16.
Осы жағдайда екі таңбалы сандармен ондықтан аттап қосу мен азайту амалдарын орындау тәсілдерінің мән-мазмұны ашылады. Жоғарыда келтірілген жазулар мен талқылауларға біршама уақыт жұмсауға тура келетініне оқушылардың назары аударылады да, амалдардың баған түрінде жазылуының тиімділігі көрсетіледі, яғни :
27 42
+38 - 26
65 16
Бірлі жарым мысалдарды қарастырудың алғашқы сатысында, кейінірек оқушы қателескен жағдайларда, сондай-ақ жекелеген үлгерімі нашар оқушының сәйкес алгоритмді игере алмағандығы байқалатын болады.
1.4. Арифметикалық амалдарды жазбаша есептеу тәсілдері
Есептеулердің осы тәсілдерін меңгергеннен кейінгі жұмыстың бәрі сәйкес дағдыны қалыптастыруға арналады. Тәжірибеге қарағанда, екі таңбалы сандарды ондықтан аттап жазбаша қосу мен азайтудың енгізілуі және 100 көлеміндегі сандарға жазбаша және ауызша есептеу тәсілдерінің алма- кезек қолданылуы сәйкес есептеу дағдыларын кемелдендіре түсетінін көрсетеді. Біртіндеп оқушылар сәйкес мысалды көре отырып, (олар сандардағы ондықтар мен бірліктерді көру арқылы қабылдайды) нәтижені ауызша табуға бейімделе бастайды.
Оқушылар күнделікті тәжірибеде мысалдарды қарастыру барысында сандарды разрядтар бойынша қосу мен азайту дағдысын игереді. Есептеулерді ауызша немесе жазбаша жүргізуге жаттыға келе оқушының екі таңбалы санды қосу мен азайтуға қатысты дағдылары олардың шұғыл түрде орындайтын іс- әрекеті деңгейіне жеткізіледі. Балалар мысалды оқығанда (есту) және жазылғанда (көру) бірден ондықтар, бірліктер разрядындағы цифрларға назар аударып, іштер есептей отырып нәтижені бірден айтады немесе жазады. Түсіндірмелер қажетіне қарай, әсіресе оқушылар қате жібергенде келтіріледі. Дегенмен әрдайым разряд бірліктерін ұсақтау мен ірілеуге қатысты жағдайларға ерекше көңіл бөліп отыру керек. Бұларға мысалдардың белгілі бір тобын (үштіктер) салыстыра қарастыру арқылы балаларды жаттықтыру орынды.
Мысалы:
32 34 37 87 87 87
+46 + 46 +46 - 54 - 57 - 59
78 80 83 33 30 28
Екі таңбалы сандарды қосуға және азайтуға берілген тапсырмалардың математикалық басқа да жаттығулардың( мәтінді есептерді ,теңдеулерді шешуде, геометриялық мазмұнды есептерде) құрамында енгізілуі сәйкес дағдыны тиянақтай түседі. Сонымен
Жүздік тақырыбын оқып- үйренудің соңын ала оқушылар қосу мен азайту алгоритмдерінің мән - мазмұнын игеріп шығады деуге толық негіз бар. Ал Мыңдар тақырыбында қосу және азайтудың жазбаша тәсілдері бойынша оқушылар өздерінің игерген білім, білік және дағдыларын сандардың жаңа облысына қолданады. Жазбаша қосу мынадай ретпен қарастырылады:
1) бірліктерінің қосындысы мен ондықтарының қосындысы 10-нан кіші(кем) болатын жағдайлар;
2) бірліктерінің қосындысы, ондықтарының қосындысы(немесе екі қосынды да 10- ға тең) болатын жағдайлар;
3) бірліктерінің қосындысы, ондықтарының қосындысы (немесе қосындының екеуі де) 10-нан үлкен (артық) болатын жағдайлар.
Алдымен ондықтан аттамайтын қосуға мысалдар келтіріледі: 232+347, 235 +431. Оқушылар алғашқы кезде есептеу әдісін бір жолға тәптіштеп жаза отырып ауызша шығарады. Сонан кейін мұғалім бұл мысалдарды баған түрінде: екінші санның бірліктерін бірінші санның бірліктерінің астына келтіріп, ондықтарын ондықтарының астына келтіріп жүздіктерін жүздіктерінің астына келтіріп жазады. Қосу әдісіне түсінік беріледі.
232 2 бірлікке 7 бірлікті қосамыз, 9 бірлік шығады. Қосындыда 9- ды + 347 сызықшаның астыңғы жағына бірліктердің орнына жазамыз; 3 ондыққа 4 ондықты қосамыз, 7 ондық болады. Қосындыда ондықтардың орнына 7-ні жазамыз. 2 жүздікке 3 жүздікті қосамыз, 5 жүздік шығады. Қосындыда жүздіктердің орнына 5-ті жазамыз. Қосынды 579-ға тең.
Балалар мысалдардың жазылуымен түсінік беруге жаттығады, баған түрінде қосқанда бірліктерден бастайтынын есіне сақтап қалады.
427+133,363+245,236+464 түріндегі мысалдарды шығарғанда жазбаша қосуды ауызша қосудағыдай жоғарғы разрядтардан бастамай, 1 разряд бірліктері бастайтыны неліктен екенін көрсету оңай: қосуды жүздіктен бастап балалар бір мысал (457+243) шығарып көрсін; олар мұндай реттің тиімсіз екеніне көздері жетеді, өйткені жүздіктер мен ондықтар цифрларын түзетуге тура келеді.
Ондықтан аттап қосуға берілген мысалдарды шығарудан бұрын қосу кестесін қайталап алу және мына түрдегі дайындық жұмыстарын енгізу қажет:
8 бірл.+6 бірл., 6 онд.+7 онд., т.с.с. бұларда нәтижені ірірек бірліктермен өрнектеуге тура келеді. Алдыңғы кездегідей , мысалдар толық түсінік беріліп шығарылады.
544 4 бірлікке 8 бірлікті қосамыз, 12 бірлік немесе 1 ондық пен 2 бірлік +218 шығады, 2 бірлікті бірліктердің астына жазамыз, ал 1 ондықты ондықтарға қосамыз,т.с.с. Бірте-бірте қысқаша түсіндірме беруге көшу керек: 4 пен 8-12 ;2-ні жазамыз, 1-ді ойда сақтаймыз , 4 пен 1-5, ойдағы 1 мен-6 ; 6- ны жазамыз. 5 пен 2-7; не бары 762. Егер оқушы қате жіберсе, онда тәптіштеп түсініктеме беру талап етіледі.
Жазбаша қосуды оқып-үйренудің қорытынды сабақтарында оқушылар бірнеше қосылғыштарды қосудың жазылу формасымен және пайымдауымен танысады.
Оқушылар жазбаша қосуды орындау әдісін меңгерумен қоса , берілген тақырыпты оқып - үйренудің барлық кезеңдерінде тез және дұрыс есептеулер дағдысын қалыптастыруға тырысу қажет. Осы мақсатпен әр түрлі жаттығулар : мысалдар, есептер теңдеулер шығару, т.с.с. жеткілікті мөлшерде енгізіледі.
Оқушылар жазбаша есептеулермен қатар ауызша есептеулерге төселуі үшін мынадай тапсырмалар берген орынды: Мысалдардың шешулерін ауызша шығару қиын болғанда ғана баған түрінде жазыңдар. мысалы: х- 290= 6106 х+294=638, х-295=605).
Азайтудың жазба әдістерімен орындалатын жұмыс рсыған ұқсас жүргізіледі. Алғашқы рет азайтудың мына түріндегі ең оңай жағдайлары енгізіледі:
563-321. Балаларға нәтижелерді ауызша тапқызып, есептеу әдісін тәптіштеп жазу ұсынылады.
Қосу амалдағыдай, мысалды баған түрінде жазса, нәтижені табу оңай және жылдам болатынын балалар байқайды. Бұдан кейін ортасында немесе аяғында нөлдері бар сандарды азайту жағдайлары қарастырылады (547-304, 547-340, 507-305). Оларды енгізуден бұрын 0 мен байланысты амалдарды қайталап алған дұрыс( 5+0,5-0,0-0, 7*0, 0:9,9+0, т.с.с.).
Бұдан кейін мына түрдегі жағдайлар қарастырылады:
540-126 және 603 -281.
Алдын ала разрядтық бірліктердің арсындағы қатынастарды қайталап алу керек.
(1 ондықта неше бірлік бар? 1 жүздікте неше ондық бар? ) Ең алдымен мысалдар толық түсініктеме беріле отырып, шығарылады.
0-ден 6 бірлікті шегеруге болмайды. 4 ондықтың 1 ондығын - 126 аламыз. Алғанымызды ұмытып қалмау үшін 4 цифрының төбесіне нүкте қоямыз. 1 ондықта 10 бірлік бар. 10- нан 6-ны шегереміз. 4 бірлік қалады. Жауабын бірліктердің астына жазамыз. 3 ондықтан 2 ондықты шегереміз. 1 ондық қалады, т.с.с. 603 -281 мысалының шешуші осылайша түсіндіріледі, мұнда 1 жүздікті қарызға алуға оны ондықтарға ұсақтап , 10 ондықтан 8 ондықты шегеруге тура келеді. Жүздіктер цифрының (6) төбесіндегі нүкте 1 жүздік алынғанын және 5 жүздік қалғанын көрсетеді. Содан кейін мына түрдегі: 875-528, 628 -365 және 831-369 мысалдар енгізіледі . Осы мысалдардың бәрінде көршілес жоғары разрядтың бірлігін қарызға алуға (1 немесе 2 рет ) тура келеді. Дайындық жаттығулар ретінде азайтудың кестелік жағдайларын қайталап алып, 1 ондық 6 бірлік, 7 бірлік,1 жүздік -8 ондық, т.с.с. ауызша тапсырмалар енгізген пайдалы болады. Сондай-ақ разрядты бірліктерін көршілес төменгі разряд бірліктеріне түрлендіруді қайталап алған жөн.
1.4.1. Арифметикалық амалдарды жазбаша орындаудың мысалдары
875 875-528 мысалын шығарғанда оқушы былайша пайымдайды : 5 бірліктен - 528 8 бірлікті шегере алмаймыз, 7 ондықтың 1 ондығын аламыз (7 цифрының төбесіне нүкте қоямыз). 1 онд. пен 5 бірл. -15 бірлік, 15 бірлікті 8 бірлікті шегереміз , 7 бірлік шығады , жауабын бірліктердің астына жазамыз, т.с.с. Осыған ұқсас 1 мысал алып , жазбаша айтуды бірліктерден бастаған неліктен ыңғайлы екенін түсіндіруге болады.
Мына түрдегі мысалдарды орындау қиындық туғызады: 900-547, 906-547, 1000-456. Мұндағы қиындық бір разрядтық бірліктерді еншілерге түрлендіруді бірнеше рет орындауға тура келетіндігіне байланысты туады. (1000-456, бірліктер, ондықтар және жүздіктер жоқ, 1 мыңды алып, оны жүздіктерге ұсақтаймыз, 10 жүздік шығады; 10 жүздіктің бір жүздігін аламыз-нүкте қоямыз және 9 жүздік қалғанын есте сақтаймыз; 1 жүздікті ондықтарға ұсақтаймыз, 10 ондық шығады, т.с.с.) тағы да көрнекі құралдарды (квадраттарды немесе есепшотты) пайдаланып, 1 жүздік 9 ондық пен 10 бірлік, 1 мыңдық 9 жүздік 9 ондық және 10 бірлік болғанын көрсетуге болады.
Азайтуды оқып-үйренудің әрбір кезеңінде есептеу дағдыларын қалыптастыруға бағытталған жаттығуларды беру қажет. Осы жаттығуларды орындау процесінде оқушылардың пайымдаулары неғұрлым қысқа болып, ал есептеу тезірек орындалуы тиіс.
Жаттығулардың түрлері:
1. қосуға берілген мысалдарды шығарыңдар және оларды азайтумен тексеріңдер;
2. азайтуға берілген мысалдарды шығарыңдар және оларды азайтумен тексеріңдер;
3. берілген мысалдардың ауызша шығаруы қиын болатындарын ғана баған түрінде шығарыңдар;
4. берілген мысалдарды жазбаша шығарғанда жіберілген қателерді түсіндіріңдер;
5. жазылмай қалған цифрларды орнына қойып жазыңдар:
252 6 2 5 857 8 6 5
- . 18 - . . 1 - . 2 . - 2 . 7
. . 4 . 2 3 6 . 8 6 5 8
Мыңдар тақырыбын оқып - үйпенуде жазбаша қосу мен азайту дағдылары кемелдене түседі де, ол тақырыпты оқып- үйренудің соңында барлық оқушылар сәйкес алгоритмдердің мән- мазмұнын және орындаудың кезеңдерін еркін игеруі тиіс, осыған жету үшін қосу мен азайту амалдарын орындаудың ерекшелігі мынадай ретпен ашылады.
Ондықтан аттап қосу не азайту кезінде оқушылар қателесетін және қиналатын болса, ондай оқушылармен жеке-дара қарым- қатынас жасап, оларға көмек ретінде мынадай жазулардың көрсетілуі де мүмкін:
1 11 10 1010
378 564 570 1000
+ 419 + 398 - 246 - 268
797 962 324 732
Миллиондар көлеміндегі сандарды нөмірлеу мен оларға жүргізілетін амалдарды оқып- үйрену барысында жазбаша қосу мен азайту дағдылары дамытыла түседі. Мұнда оқушылар өздеріне үйреншікті алгоритмдерді тек қана көп таңбалы сандарға қолданады. Осы кезде әсіресе амалдардың дербес және аса қиын жағдайларын қамтитын жаттығуларды үнемі ауызша орындалатын тапсырмалар жүйесінің құрамына енгізіп отыру жөн.
Мысалы: 809 - 101, 302 +504, 899 +101, 795 -104, 302 +508, 1000- 394, 1000-309, т.с.с.
Сондай- ақ мына жазудағы сандардың жазылу реті дұрыс па?
399 389 18345 18944 3980 15798
+17 - 89 193 - 4149 + 217 - 239
Мысалдарды ауызша жаттығулар жүйесіне енгізген жөн, сонда оқушылар сандардың разряд бірліктерін дәл келтіріп жазудың қажеттігін еркін түсінетін болады.
Көп таңбалы сандарды жазбаша қосу және азайтумен танысу кезінде оқушылар әрбір келесі мысалдың құрамына алдыңғы сандар еніп отырған жағдайларды қарастырады, мысалы:
752 4752 57752 837 6837 76837 376837
+256 +3246 + 43246 - 425 - 2425 - 52425 -152425
Осындай мысалдарды шығарғаннан кейін оқушылар көп таңбалы сандарды жазбаша қосу мен азайту үш таңбалы сандарды жазбаша қосу мен азайту сияқты орындалатындығы жөнінде қорытынды жасайды. Бұдан кейін қосу мен азайту жағдайлары бара- бара қиындай түседі. Бірте- бірте разрядтық бірліктерді аттап өту саны артады: азайтудың азайғышта нөлдері бар болатын жағдайлары енгізіледі; бірнеше қосылғыштарды қосу, сондай- ақ атаулы сандарды қосу мен азайту үйретіледі. Жаңа жағдайлармен таныса отырып, балалар ең алдымен есептеулерге тәптіштеп түсініктеме береді( разрядтық бірліктерді және орындалатын түрлендірулерді атайды), мысалы 49099 9 бірлікке 7 бірлікті қосамыз, 16 бірлік немесе 1 ондық пен 6 бірлік + 6007 шығады; 6-ны бірліктің астына жазамыз, ал ондықты ондықтарға 53106 қосамыз, 9 ондыққа 0 ондықты қосамыз, 9 ондық шығады және тағы да бір ондық, он ондық немесе 1 жүздік болады, қосындыда ондықтардың орнына 0 жазамыз, ал 1 жүздікті жүздіктерге қосамыз.
0 жүзд. + 0 жүзд.= 0 жүз.,0 жүзд. +1 жүзд = 1жүзд.7 мыңға 6 мыңды қоссақ, 13 мың немесе 1онд. мың және 3 бірл. мың болады, 3 бірл.мыңды жазып 1 онд. мыңды 4 онд.- мыңға қоссақ, 5 онд. мың болады. Қосынды 53106.
Азайтуда азайғыштың кіші разрядтық санмен берілген жағдайлары біршама қиындық келтіреді, жоғарғы разряд бірліктерін төменгі разряд бірліктеріне бірте-бірте ұсақтауды есепшотпен көрсеткен тиімді (1000-ды 9 жүзд. 9 онд. 10 бірл. деп 1000-9 мың 9 жүзд. 9 онд. 10 бірл. деп атауға т.с.с. ) . Сонымен бірге мынадай мысалдарды түсініктеме бере отырып , шығаруды ауызша жаттығуларға енгізген пайдалы: 1 онд. -2 бірл., 1 жүзд. -5 онд., 1 мыңд.- 7 жүзд, т.с.с. азайтудың жоғарғы разряд бірліктерін бірнеше қайтара бірте-бірте ұсақтауға тура келетін жағдайларына ерекше назар аудару керек, мысалы: 400100-205708. Мұндай жағдайларды алдыңғы жағдайлармен салыстырып отырған дұрыс болады. 700000 -4097 және 701000-497 ,т.с.с. мысалдардың шешуіне толық түсініктеме беруді талап ету керек. Мысалы, бірліктердегі нөлден 8 бірлікті шегере алмаймыз. 1 жүзд. алып ( жүздіктердің төбесіне нүкте қоямыз) ,жүздікті ондықтарға ұсақтаймыз. 1 жүздікте 10 ондық бар, 10 ондықтың 1 ондығын аламыз( 9 ондық қалғандығын есімізге сақтаймыз). Ондықты бірліктерге ұсақтаймыз, 10 бірлік болады, 10 бірліктен 8 бірлікті шегереміз,2 бірлік қалады.9 ондықтан 0 ондықты шегереміз,
2. Арифметикалық амалдардың қасиеттері мен заңдары
2.1. Есептеу дағдыларын қалыптастыру
Есептеу дағдыларын қалыптастыру үшін әр түрлі жаттығулар енгізіп отыру қажет. Мүмкіндігінше мынадай тапсырмаларды жиірек беріп отыру керек: мысалдарды тәсілдердің біреуінің немесе кейде екеуімен шығарып тексеріңдер. Бұл амалдардың нәтижелері мен компаненттерінің арасындағы өзара байланыс жөніндегі білетіндерін ғана бекітіп қана қоймайды, есептеу дағдыларын қалыптастыруға көмектеседі және өзін-өзі бақылау әдетін тәрбиелейді.
Көп таңбалы сандарды қосу мен азайтуды үйренген кезде сол амалдарды ауызша орындау әдістеріне көңіл бөлудің маңызы бар, олай болмағанда есептеудің жазбаша әдістерін меңгеріп алғаннан кейін балалар оларды жазбаша жағдайлар үшін де, сондай-ақ ауызша жағдайлар үшін де қолдана бастайды. Осы мақсатпен мысалдарды шығарған кезде оқушылардың өздеріне ауызша шығаруға болатын мысалдарды талдап алуды және тек ең қиын мысалдарды ғана жазбаша әдістер мен шығаруды ұсыну қажет. Ауызша жаттығуларда 2- 3 таңбалы сандарды ,сондай-ақ бірнеше сандарды қосқанда орын ауыстыру және топтау әдістерін қолданып, орынды болатын жерінде қосу мен азайтудың компоненттерінің бірін дөңгелектеу әдісін пайдаланып, көп таңбалы сандарды ауызша қосу мен азайту әдістерін үнемі бекітіп отырған жөн. Көп таңбалы сандарды қосу мен азайтуды оқып үйренгеннен кейін метрикалық өлшеуіштермен өрнектеліп жазылған құрама атаулы сандарды қосуға және азайтуға кіріседі,өйткені бұл есептеулердің әдістері ұқсас. Атаулы сандарға амалдар қолдана білу есептер шығару үшін қажет. Құрама атаулы сандарға амалдарды түрліше қолануға болады: не ұқсас атаулы сандардан бастап тиісті түрлендіруді бірден орындай отырып, бірдей атаулы бірліктерді қосып(азайтып), ең алдымен берілген сандарды атаулары бірдей жай атаулы санға түрлендіріп, оларға амалдарды дерексіз сандарға қолданғандағыдай қолданып, шыққан нәтижені неғұрлым ірі өлшеу бірліктерімен өрнектеу. Бұл екі әдісте оқушыларға көрсетіледі.
Бірінші әдістің жазылуы үнемі дерексіз және атаулы сандарға қолданылатын амалдардың ұқсастығын көрсету арқылы беріледі, бірақ балалар үшін біршама қиын. Оны пайдалануды 2 -3 жаттығуды қарастырумен шектелген жөн. Бұл жаттығулардың мақсаты - дерексіз және атаулы сандарға қолданылатын есептеу әдістерін салыстыру:
12647 12 т 647 кг 12 км 647 м 13086 13 км 086 м
-5384 -5 т 384 кг - 5 км 384 м - 8225 - 8 265 265 м
(10 жүздік 1 мың болды, оны мыңдарға қосқанда 10 жүзік килограмм, 1 мың киллограмм, немесе 1 т болды, оны тонналарға қосамыз, т. с. с ... 0 жүздіктен 2 жүздіктерді шегере аллмаймыз, 1 мыңды аламыз, ал 1 мың 10 жүздік болады, 10 жүздіктен жүздікті тереміз және осыған ұқсас, ... 1 км-ді қарызға аламыз, 1 км - 1000 м немесе 10 жүздік метр, 10 жүздік метрден 2 жүздік метрді шегереміз.) Мұнда балалардың 10 жүздік киллограм 10 жүздік метр, 10 ондық тиын, т. с. С. Түрдегі екі санау бірлігінің және өлшеу бірлігінің атауы бар сандарға операция қолдануға тура келетінін көріп отырмыз, әрине, мұның ол сандарда түрлендіруді және оларға амалдар қолдануды қиындататыны сөзсіз. Атаулы сандарға есептеулер қолданудың екінші тәсілі әлдеқайда жеңілірек, бірақ жазылуы анағұрлым ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz