Жиындар теориясына кіріспе

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2

§1. Жиын ұғымы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 4

§2. Жиындардың берілу тәсілдері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 10

§3. Жиындарға қолданылатын амалдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... 13

§4. Жиындарға байланысты кірістірулер мен теңдіктерді дәлелдеу тәсілдері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 22

§5. Сандық жиындар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 26

Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 32

Пайдаланылған әдебиет ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 34
Кез келген ғылым саласында «негізгі ұғым» деп аталатын ұғымдар бар. Негізгі ұғымдар негізінде ғылымның сол саласының басқа ұғымдары, тұжырымдары, жалпы теориясы тұрғызылады. Негізгі ұғымдар анықталатын, яғни анықтама берілетін және анықталмайтын, яғни анықтама берілмейтін, тек өзімізге белгілі ұғымдар арқылы түсіндірілетін ұғымдар болып екіге бөлінеді. Мысалы, геометрияның анықтама берілмейтін негізгі ұғымдарына «нүкте», «түзу», «жазықтық» және «арақашықтық» ұғымдары жатады. Жалпы, математиканың кез келген саласы жиындар теориясынан басталуы керек, себебі математиканың кез келген саласы, кез келген бөлімі, кез келген тарауы белгілі бір геометриялық фигуралардың, геометриялық денелердің, теңдеулердің, функциялардың, және т.с.с. математикалық нысандардың жиынын зерттейтіні белгілі. Шынында да, геометрияда геометриялық фигуралардың жиыны, дәлірек айтқанда, планиметрияда жазық фигуралардың жиыны, стереометрияда кеңістіктегі геометриялық денелердің жиыны қарастырылады, алгебрада сандық жиындар қарастырылады, анализ бастамаларында функциялардың жиыны қарастырылады, және т.с.с.
Жиын ұғымы және онымен байланысты басқа да кейбір ұғымдар математиканы алғаш оқытудың негізі болып табылады және онда кеңінен қолданылады. Кейбір оқулықтарда «жиын» термині кездеспейді, бірақ бұл ұғым айқындалмаған түрде қолданылады, ал кейбір оқулықтарда жиын ұғымы символикасымен қоса айқын түрде пайдаланылады. Сан, натурал сандарды қосу және көбейту амалдары және олардың қасиеттері, геометриялық фигура сияқты маңызды ұғымдардың қалыптасуы мектеп математика курсында теориялық-жиындық негізде жүзеге асады.
Жалпы, математиканың кез келген деңгейдегі кез келген саласына арналған оқулықтар мен оқу құралдарында жиындар теориясына тұтас тарау немесе одан кішірек көлемде көңіл бөлінген. Бұл ретте жоғары оқу орындарына арналған әдебиет арасынан /1/-/5/, /9/-/11/, ал мектеп бағдарламасына сәйкес әдебиет арасынан /12/, /15/, /16/-/19/, /21/, /22/ әдебиеттерді атап кетуге болады. Біз жұмысты орындау барысында осы аталған әдебиеттерге баса назар аудардық.
1. Жәутіков О.Ә. Математикалық анализ курсы. – Алматы: Мектеп, 1958.
2. Ибрашев Х.И., Еркеғұлов Ш.Т. Математикалық анализ курсы. 1-бөлім. – Алматы: Каз. уч. пед. изд., 1963.
3. Төлегенов Б.Т. Математикалық анализден лекциялар курсы. 1-бөлім. – Алматы: Мектеп, 1973.
4. Темірғалиев Н. Математикалық анализ. 1-бөлім. – Алматы: Мектеп, 1987.
5. Профессор Ермек ұлы Әлімхан. Ұлы математика курсы. 1-ші бөлім. – Алматы: РБК, 1995.
6. Шыныбеков Ә.Н. Алгебра-9. –Алматы: Атамұра, 2005.
7. Шойынбеков Қ.Д., Әбілқасымова А.Е., Есенова М.И., Тұрлыханова М.А. Анализ бастамалары: Оқу құралы. – Алматы: Білім, 2002.
8. Яковлев Г.Н. Пособие по математике для поступающих в вузы. – М.: Просвещение, 1988.
9. Қабдықайыр Қ. Жоғарғы математика. – Алматы: РБК, 2004.
10. Искаков М.Ө. Математика мен математиктер жайындағы әңгімелер. 3-ші кітап. – Алматы: Мектеп, 1971.
11. Ахметқалиев Т. Математикалық талдау /дифференциалдық есептеу/. – Алматы: Республикалық баспа кабинеті, 1994.
12. Колягин Ю. М. Методика преподавания математики в средней школе: Частные методики. – М.: Просвещение, 1980.
13. Сатыбалдиев О. Математикалық анализ курсында тарихи мәселелерді пайдалану. // ИФМ. – Алматы: – 2001. – №3.
14. Ивашев-Мусатов О.С. Начала математического анализа. – М.: Наука, 1988.
15. Петраков И. С. Математические кружки в 8-10 классах. Книга для учителя. – М: Просвещение, 1987.
16. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ – 9. – М.: Просвещение, 1998.
17. Тимошук П. Г. О дифференцированной помощи учащимся при решении задач. // Математика в школе. – М: –1993. – №2.
18. Галицкий М.Л., Мошкевич М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1998.
19. Понтрягин Л.С. Математический анализ для школьников. – М.: Наука, 1988.
20. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел –М.: Наука, 1975.
21. Бекбаулиева Ш. және т.б. Алгебра және анализге кіріспе. –Алматы.: Ана тілі, 1991.
22. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. –М.: ACADEMIA, 1999.
23. Оспанов Т.Қ. Математика. –Алматы.: Ы.Алтынсарин атындағы Қазақтың білім академиясының Республикалық баспа кабинеті, 2000.
        
        -635054610МАЗМҰНЫ
00МАЗМҰНЫ
Кіріспе ........................................................................................... 2
§1. Жиын ұғымы ... ... ... ... ... ............................................. 10
§3. Жиындарға қолданылатын амалдар ... ... ... ... ... мен ... ... тәсілдері ........................................................................ 22
§5. Сандық жиындар ................................................................... ... ... ... ... ... ... келген ғылым саласында деп аталатын ұғымдар бар. Негізгі ұғымдар негізінде ғылымның сол саласының басқа ұғымдары, ... ... ... ... Негізгі ұғымдар анықталатын, яғни анықтама берілетін және анықталмайтын, яғни анықтама берілмейтін, тек өзімізге белгілі ұғымдар арқылы ... ... ... екіге бөлінеді. Мысалы, геометрияның анықтама берілмейтін негізгі ұғымдарына , , және ... ... ... ... кез ... ... ... теориясынан басталуы керек, себебі математиканың кез келген ... кез ... ... кез келген тарауы белгілі бір геометриялық фигуралардың, геометриялық денелердің, теңдеулердің, функциялардың, және т.с.с. математикалық нысандардың жиынын ... ... ... да, ... ... фигуралардың жиыны, дәлірек айтқанда, планиметрияда жазық фигуралардың жиыны, стереометрияда кеңістіктегі геометриялық денелердің жиыны ... ... ... ... ... ... бастамаларында функциялардың жиыны қарастырылады, және т.с.с.
Жиын ұғымы және онымен байланысты басқа да кейбір ұғымдар математиканы алғаш оқытудың негізі ... ... және онда ... ... ... оқулықтарда термині кездеспейді, бірақ бұл ұғым ... ... ... ал ... ... жиын ... ... қоса айқын түрде пайдаланылады. Сан, натурал сандарды қосу және көбейту амалдары және олардың қасиеттері, геометриялық ... ... ... ... ... ... математика курсында теориялық-жиындық негізде жүзеге асады.
Жалпы, математиканың кез келген деңгейдегі кез келген саласына арналған оқулықтар мен оқу құралдарында жиындар ... ... ... ... одан кішірек көлемде көңіл бөлінген. Бұл ретте жоғары оқу орындарына арналған әдебиет арасынан /1/-/5/, ... ал ... ... ... ... ... /12/, /15/, /16/-/19/, /21/, /22/ әдебиеттерді атап ... ... Біз ... ... ... осы аталған әдебиеттерге баса назар аудардық.
63506350§1. Жиын ұғымы
00§1. Жиын ұғымы
Жиын ұғымы математиканың негізгі ұғымдарының бірі ... ... ... ... ... ... олар белгілі ұғымдар арқылы түсіндіріледі. Өзара әртүрлі (бөлек) заттарды қандай да бір қасиеті бойынша біріктіріп, бүтін бір зат ретінде ... ... ... жаңа зат жиын деп, ал оның ... ... ... жиынның элементі деп аталады. сөзі математикада , , , деген сөздердің, яғни қайсыбір нәрселер жиынтығын сипаттайтын сөздердің ... ... оның ... ... ... жиынтықта бір ғана нәрсе болуы мүмкін немесе бірде-бір нәрсе болмауы мүмкін.
Мысалдар. Қолымыздағы кітаптың беттерінің ... ... ... (системасындағы) планеталар жиыны.
Барлық натурал сандар жиыны.
Координаталық жазықтықтың барлық нүктелерінің
жиыны.
Бұл мысалдардан жиынның элементтерінің саны ақырлы (шектеулі) да, ақырсыз (шектеусіз) да бола ... ... ... көбінесе латын алфавитінің үлкен (бас) әріптерімен, ал оның элементтерін кіші ... ... ... ... ... ... бейнеленеді.
Жиын туралы айтқанда кез келген нәрсеге байланысты келесі екі мәселенің біреуі ғана орындалады: не нәрсе бұл ... ... ... не ... бұл ... жиынға енбейді.
х заты жиынының элементі ... ... ... (, деп ... заты ... ... болмайтыны символымен
белгіленеді (,
деп оқылады). символының ... ... да ... Егер ... ... ... ... белгілесек, онда
Жиынның өзі ешқашан өзінің элементі болмайды:
.
Жалпылама үшін және тұжырымдамалардың қарапайымдылығы мен қолдануға ыңғайлылығы үшін ... ... ... ... жоқ ... бос (құр) жиын деп атайды да, Ø символымен белгілейді.
Мысалы, теңдеуінің нақты түбірлері жиыны құр жиын болады. ... ... ... жиындарды, яғни бір ғана элементі бар жиындарды қарастыруға тура келеді. Мысалы, теңдеуінің ... ... бір ... 5 ... ғана ... Бір ... жиынды оның жалғыз элементімен шатастырмау керек.
Егер жиынының элементтерінің жалпы атауы ... онда ... ... ... А және В ... берілген болсын. Егер А жиынының әрбір элементі В ... да ... ... онда А ... В ... ішкі жиыны (жиыншасы) деп аталып, былайша белгіленеді:
немесе ... ... ... (ену) деп аталады.
Айталық, А - колледждегі барлық студенттер жиыны, ал В - осы ... бір ... ... ... ... ... В жиыны А жиынының бір бөлігі, немесе, басқаша айтқанда, В жиыны А ... ... ... ... сәйкес В жиыны А жиынының ішкі жиыны.
Егер және ... онда ... көз ... қиын ... Шынында да, А жиынының әрбір элементі В жиынына, ал өз ... В ... ... элементі С жиынына тиісті. Ендеше, А жиынының әрбір элементі С жиынына да тиісті, яғни . Бұл жағдайды Эйлер-Венн ... ... ... кескіндеуге болады (Эйлер-Венн диаграммасы туралы үшінші параграфта толығырақ айтатын боламыз):
060960 B
A
С
00 B
A
С
Ұғымдар мен ... ... әр ... ... қарастырғанда біз әрдайым ішкі жиын ұғымын қолданып отырамыз. Ана тіліміздегі сөйлемдегі барлық сөздер жиынының әр түрлі ішкі ... - зат ... сын ... ... ... қарастырамыз. География және тарих сабақтарында барлық елдер, барлық қалалар, барлық көлдер, т.с.с. жиындардың әр түрлі ішкі ... ... Осы ... ... ... де ішкі жиын ... пайдаланамыз. Мысалы, қайсыбір елді мекендегі бір көше бойындағы үйлер сол елді мекендегі ... ... ... ішкі ... болады; жатақханадағы бір қабатта орналасқан бөлмелер жиынтығы сол ... ... ... ... ішкі ... болады, бөлмедегі орындықтар жиыны сол бөлмедегі барлық жиһаздар жиынының ішкі жиыны болып табылады және т.с.с.
Ішкі жиын ұғымы математикада да кеңінен ... , , , , ... ... ... ... ана тілі ... да, ... сабағында да, математика сабағында да төменгі сынып оқушыларын жиынның бөліктерін ажырата білуге үйретеміз.
Жиын және ішкі жиын ұғымдарын ... ... ... енді геометриялық ұғымдарды дәлірек анықтауымызға болады. Геометриядағы ең маңызды ұғымдардың бірі ... ... және ... арқылы анықталады. Геометриялық фигура деп нүктелердің кез келген құр емес жиынын атайды. Олай болса, жеке алынған нүкте де, ... ... ... да ... фигура болып табылады. Кесінді, түзу, сәуле, үшбұрыш, шеңбер, дөңгелек, доға және де басқа нүктелердің шектеусіз жиындары ... ... ... табылады.
0431165 F
.D
T .
00 F
.D
T .
Егер нүктесі фигурасына тиісті болса, онда жиындар теориясында, ... ... ... ... және ... ... ... сәйкес түрінде жазады; егер нүктесі фигурасына тиісті емес болса, онда ... ... ... сандар жиыны, бүтін сандар жиыны, рационал сандар жиыны, иррационал сандар жиыны, нақты сандар жиыны, ... ... ... болса, онда
, .
Кез келген жиын өзінің ішкі жиыны болып табылады:
.
Құр жиын кез ... Ø ... ішкі ... ... деп ... .
А жиынының құр емес В ішкі жиыны А жиынымен дәлме-дәл келмейтін болса, онда оны ... ішкі жиын деп ... А ... А және Ø ішкі ... оның ... емес ішкі жиындары деп атайды.
Мысалы, жиынының алты меншікті ішкі жиыны бар: , , , , , ; екі ... емес ішкі ... бар: және ... А жиынының элементтерінің саны n болса, онда оның ішкі ... саны 2n ... ... ... ішкі ... жиынын А жиынының булеаны деп атайды. Белгілеуі . Сонда .
Анықтама. Егер А және В ... үшін және ... ... орындалса, яғни бірінің кез келген элементі екіншісіне де тиісті болса, онда А және В жиындары тең ... де, А=В ... ... егер және В ... ... ... ... болса, онда А=В.
Басқаша айтқанда, егер А және В екі жиын бірдей элементтерден ... ... онда ... тең жиындар деп атайды және А=В деп жазады. Мысалы, және жиындары өзара тең, өйткені ... ... ... Элементтерінің орындарын ауыстырғаннан жиын өзгермейді.
6350139700§2. Жиындардың берілу тәсілдері
00§2. Жиындардың берілу тәсілдері
Егер әрбір нәрсе туралы оның ... ... ... ... емес ... айта ... ... онда жиын берілген деп саналады.
Жиынды оның барлық элементтерін атау арқылы анықтап беруге болады. Егер , , , - ... ... ... ... онда осы ... жиынын
түрінде жазып, оны деп оқиды.
Әрбір нәрсе жиынға тек бір рет қана ... ... 62 545 772 ... әртүрлі цифрларынан тұратын жиын , ал деген ... ... ... жиыны түрінде жазылады.
Жиынның берілуінің осы тәсілі математикада жиі қолданылады. Мысалы, радиусы R, ... О ... ... ... ... ... еске ... О нүктесінен R қашықтықта және О нүктесімен бір жазықтықта жату - ... О ... ... R болатын шеңбердің барлық нүктелеріне тән қасиет және бұл қасиетке шеңберге тиісті емес бірде-бір ... ие бола ... ... тағы бір ... оны құрайтын нәрселердің ортақ қасиетін атау болып табылады. Мұндай қасиетті сипаттамалық қасиет деп атайды.
Элементтердің сипаттамалық қасиеті ... ... ... ... ... ... ... ішіне алдымен элементтердің белгіленуін жазады. Содан кейін не ... ... не қос ... қояды да, одан кейін осы жиын элементтеріне және тек соларға тән қасиетті жазады. Мысалы, 6-дан кіші натурал ... А ... ... Бұл ... ... жаза аламыз:
немесе
.
Егер арқылы белгілі бір қасиетті белгілесек, онда осы қасиетті қабылдайтын нәрселердің барлығынан құрылған жиын
символымен белгіленеді.
Егер ... ... ... ... онда жиыны құр жиын болады.
Мысалы, Ø (мұнда Р қасиеті ретінде х заты ... сан ... оның ... мен 1 ... ... нөлге тең болуы алынған).
Мысалы, 6-дан кіші натурал сандардың А ... ... Бұл ... А ... ... элементтеріне ортақ қасиет, атап айтқанда, олардың аталып отыр. ... ... А ... ... ... атап шығу ... ... .
Жиын элементтерінің өздері де жиын болуы мүмкін. Мысалы, колледждегі топтардың (группалардың) жиыны туралы айтуға болады. Бұл жиынның элементтері - ... ал ... өзі сол ... ... жиыны болады. Бірақ студенттер колледждегі топтар жиынының элементтері бола алмайды.
Сонымен, қандай да бір жиын берілген болуы үшін не оның ... атап ... не оның ... тән қасиетті көрсету қажет. Екінші тәсіл бірінші тәсілге қарағанда жалпылау екенін айта кетеміз. Мәселе мынада: жиынның элементтерін атап шығу осы жиын ... ... ғана ... ал жиын ... ... қасиетін жиын шектеулі болғанда да, шектеусіз болғанда да көрсетуге болады.
Бірақ кейбір ... ... ... да ... ... ... ... көрсетуге болады. Мысалы, барлық натурал сандар жиынын
арқылы белгілеп, мына түрде жазуға болады:
.
Әрине, ... тек көп ... ... не ... ... ... ғана осы түрде жазуға болады.
Барлық натурал сандардан және ... ... ... ... белгілеп, былайша жазады:
.
Бұл жиынды теріс емес бүтін сандар жиыны деп атайды.
Теріс бүтін сандардың жиынын арқылы белгілеп, былай ... ... ... ... ... яғни ... ... сандардан, барлық теріс бүтін сандардан және нөлден тұратын жиынды арқылы белгілеп, ... ... ... қолданылатын амалдар
00§3. Жиындарға қолданылатын амалдар
Енді жиындарға қолданылатын кейбір амалдарды анықтайық.
1. Жиындардың бірігуі. Екі жиынның бірігуі.
Анықтама. және ... ең ... ... ... ... тек сол ... ғана ... жиынды және жиындарының бірігуі деп атайды да, A∪B символымен белгілейді.
.
0123190 A
B
00 ... ... ... ... ... түсіндіруді жеңілдету үшін жиындардың жазықтықтағы кескіндері болатын Эйлер-Венн диаграммалары деп аталатын геометриялық кескіндерін қолданады. Екі жиынның ... ... ... ... ... ... ... А мен В жиындарын дөңгелектер арқылы белгілесек, олардың бірігуі боялған ... ... А мен В ... ортақ элементтері жоқ болса, яғни олар қиылыспайтын болса, онда да бұл екі ... ... ... тәсілмен үш және одан да көп жиындардың бірігуін анықтауға болады. Мысалы, , , , ..., n ... ... ... A
B
С
00 A
B
С
немесе
арқылы белгіленеді.
, , , ..., , ... ... ... ... ... ... ... оң ... жиыны болса, онда
.
Егер болса, онда
болатыны түсінікті, бұдан дербес жағдайда
.
2. Жиындардың қиылысуы. Екі ... ... ... ... А және В ... ... де тиісті элементтерден тұратын жиынды А және В жиындарының қиылысуы деп ... да, ... ... ... ... қиылысуын Эйлер-Венн диаграммасы арқылы былайша кескіндеуге болады. А мен В жиындарын дөңгелектер арқылы белгілесек, олардың қиылысуы боялған облыс ... А мен В ... ... ... жоқ ... яғни олар ... ... онда да бұл екі жиынның қиылысуы анықталады, және ол құр жиын болады.
11430072390 A
B
Ø
00 A
B
Ø
Егер А және В ... бір де бір ... ... болмаса, яғни бұл екі жиын қиылыспайтын болса, онда Ø. Бұл жағдайда А және В жиындары қиылыспайды деп те ... ... ... ... үш және одан да көп жиындардың қиылысуын анықтауға болады. Мысалы, , , , ..., n жиынның қиылысуы ... ... , , ..., , ... ... ... ... ... белгіленеді.
Мысалы,
,
яғни бір элементті жиын, ал
Ø,
яғни құр жиын.
Егер болса, онда
болатыны түсінікті, бұдан дербес жағдайда
.
3. Екі ... ... А ... тиісті, ал В жиынына тиісті емес элементтерден тұратын жиынды А және В ... ... деп ... да, ... белгілейді.
-635310515 A
B
00 A
B
А және В жиындарының айырмасын символымен қатар A\B символымен де белгілейді.
немесе
A\B=.
0127635 A
B
00 A
B
А және В жиындарының ... ... бұл ... ... ... ... ... атап кетеміз. В - А және В - А ... ... екі ... ... ... ... , яғни және екеуі екі түрлі жиындар ... ... ... егер және ... онда
және
.
Әрине, егер және болса, онда Ø.
1-теорема. .
2-теорема. .
Екі жиынның ... кез ... ... ... Екі жиын ... болса, онда олардың айырмасы анықтамаға сай, бірінші жиынға тиісті, ал екінші жиынға тиісті емес элементтерден тұратын жиын екені ... Яғни бұл ... ... ... екі ... ... элементтерді алып тастағанда осы екі жиынның осы реттегі айырмасы шығады. Ал егер екі жиын ... ... яғни Ø ... онда және . Бұл екі ... ... ... диаграммаларында сәйкесінше бейнеленген.
2825750135890 A
B
00 A
B
0191770 A
B
00 A
B
0410210 B
A
00 B
A
Егер және болса, онда ... және бұл ... ... ... ... ... жиын болады.
4. Әмбебап жиын. Қандай жиын қарастырсақ та, оның басқа бір үлкен жиынның ішкі ... ... ... ... ... топ ... жиыны курс студенттерінің жиынының ішкі жиыны, ал соңғысы университет студенттерінің жиынының ішкі жиыны т.с.с. Бұл мысалдан үлкен жиын ... ... ... түсінуге болады.
Жиындар теориясында жеткілікті дәрежеде ауқымды жиынды алып, оның көлемінен ... ... ... ... алып ... да, ол ... ... (универсал) жиын деп атайды. Қарастырылатын жиындардың барлығының барлық элементтері осы әмбебап жиынға тиісті деп есептеледі, яғни қарастырылатын жиындардың барлығы да осы ... ... ішкі ... ... ... ... ... () деген сөзінің бірінші әрпі) символымен белгілеу келісілген.
Кез келген жиынды графикалық түрде кескіндеуге болады. Ол үшін ... ... ... да, ... ... осы контурдың ішіндегі нүктелермен кескінделген деп түсінеміз. Суретте нүктелерді жекелеп көрсету міндетті емес. Универсал жиын тіктөртбұрыш түрінде, оның ішкі ... осы ... ... тұйық контур ретінде кескінделеді. Жиындарды бұл түрде кескіндеу Эйлер-Венн диаграммалары деп ... ... ... сыртқы төртбұрышты сызбайды, универсал жиынды атап көрсетпейді.
5. Толықтауыш жиын. жиыны ... ... ... ... толықтауыш жиыны (толықтауышы) деп аталады және символымен белгіленеді, яғни
.
Сонда, егер ... ... ... ... ... ... нақты сандар жиыны , ал оның ішкі жиыны ретінде рационал ... ... ... онда -дің ... ... ... сандар жиыны болады, яғни
.
6. Жиындар теориясының негізгі 19 теңдігі.
1º. .
2º. .
3º. .
4º. .
5º. .
6º. ... ... ... .
10º. .
11º. .
12º. .
13º. Ø ... ... ... ... ... ... ... екі рет толықтау заңы, 2º мен 3º-қасиеттер коммутативтік (орын ауыстыру) заңдары, 4º пен ... ... ... ... 6º мен ... дистрибутивтік (үлестірімділік) заңдары, 8º бен 9º-қасиеттер Де Морган заңдары, 12º-15º-қасиеттер құр жиын мен әмбебап жиын (Ø мен ) ... 16º мен ... ... ... деп ... он ... қасиеттің әрқайсысының алатын орны бар және оларды дәлелдеу қиынға соқпайды.
7. Екі жиынның симметриялық айырмасы.
және жиындарының симметриялық ... деп ... ... ... ... оны символымен белгілейді, яғни
.
0100965 A
B
U
00 A
B
U
Келесі теңдіктер орындалады:
1. .
2. -
коммутативтік.
3. .
4. Ø .
6350260350§4. ... ... ... мен ... ... ...
00§4. Жиындарға байланысты кірістірулер мен теңдіктерді дәлелдеу тәсілдері
Жиындарға байланысты кірістірулер мен ... ... ... екі ... бар. ... біріншісі - анықтамалар мен дәлелденген теңдіктер және қатыстарды ... ... ... - ... ... амалдардың негізгі қасиеттерімен қоса пайдалана отырып дәлелдеу қажет болатын өрнектің екі жағын параллель түрлендіру тәсілі. Осы екі тәсілдің ... бір ... ... түсіндіреміз.
теңдігін дәлелдейік.
1-тәсіл - анықтамалар мен дәлелденген теңдіктер және қатыстарды қолдану тәсілі.
болсын. Онда екі жиынның айырмасының ... ... . ... , және . ... ... және ; яғни теңдіктің сол жағындағы жиынының әрбір элементі ... ... оң ... ... ... ... яғни ... дәлелденді.
Енді кірістіруін дәлелдейік. Ол үшін элементін ... Екі ... ... ... ... ... Соңғы қатынастардан екі жиынның айырмасының анықтамасы бойынша келесі қатынастар алынады: .
Бұдан ... , және ... ... Яғни, теңдіктің оң жағындағы жиынының әрбір элементі теңдік таңбасының сол жағындағы жиынға ... ... яғни ... ... ... тең ... анықтамасы бойынша , яғни теңдік дәлелденді.
2-тәсіл - ... ... ... ... ... қоса ... отырып дәлелдеу тәсілі.
теңдігінің екі жағы үшін жеке-жеке Эйлер-Венн диаграммаларын тұрғызамыз да, оларды параллель түрлендіреміз.
Сол жағы
297180098425 A
B
С
00 A
B
С
137160034131240018288002384425 A
B
С
00 A
B
С
5257800112712400left98425 ... ... ... A
B
С
00 A
B
С
2971800866775
A
B
В
С
00
A
B
В
С
-114935866774002971165752474005257800112712400left98425 A
B
С
00 A
B
С
635074295§5. Сандық жиындар
00§5. Сандық жиындар
Заттарды (нәрселерді) санауға немесе нөмірлеуге қолданылатын сандарды натурал сандар деп ... ... ... ...
.
Барлық натурал сандардан және нөлден тұратын жиынды теріс емес бүтін сандар жиыны деп атайды да, ... ... ... ... ... жиыны :
.
Барлық бүтін сандар жиыны :
немесе
бүтін және натурал сандарының бөліндісі ... ... ... ... сандар деп аталады. Рационал сандар жиыны:
Рационал емес сан ... сан деп ... ... ... жиыны арқылы белгіленеді. Рационал сандар жиыны мен ... ... ... ... ... сандар жиыны - барлық рационал және иррационал сандардан тұрады, яғни . ... ... сан не ... сан ... не оны ... немесе периодты ондық бөлшек түрінде бейнелеуге болады.
Әрбір иррационал санды периодсыз ондық бөлшек түрінде жазуға ... ... 1) - ... ... - ... ... ... сандар болып табылатын кез келген жиын сандық жиын деп аталады. Сандық жиынға және ... ... ... ... ... сан, мұндағы , - ... ... (), ... сан деп ... және ... ... сәйкесінше комплекс санының нақты және жорамал бөліктері деп аталады, және былайша белгіленеді:
немесе ,
немесе ... ... ... ... ... сандық жиындар арасында келесі қатыстар орын алады:
, , .
Сан өсі. Нүктенің ... ... ... ... (сан ... ... кескіндеуге болады.
Бір түзу алып, оның бойында нүктесін (бас нүкте, санақ басы) белгілейік, түзу бойында оң бағытты анықтайық және ... ... - ... ... ... тең ... тағайындайық. Енгізілген түзу координаталық түзу (сан өсі) деп ... ... ... ... оң ... ... оңға ... деп алады.
-27051085090-3
-2
-1
0
1
2
3
x
O
00-3
-2
-1
0
1
2
3
x
O
нүктесі координаталық түзуді екі сәулеге (екі жарты түзуге) бөледі, олардың бірінің бағыты оң және оң ... деп ... ... ... ... және ... сәуле деп аталады.
Координаталық түзу бойындағы нүктесіне сәйкес келетін санды ... ... деп ... ... ... кез келген нүктесінің координатасы кесіндісінің ұзындығына тең:
0
1
2
3
x
O
4
5
M
Оң сәулеге тиісті кез келген нүктесінің координатасы кесіндісінің ұзындығына тең: ... ... ... кез келген нүктесінің координатасы теріс таңбамен алынған кесіндісінің ұзындығына тең:
-4
-3
-2
-1
x
O
0
1
M
Теріс сәулеге ... кез ... ... координатасы теріс таңбамен алынған кесіндісінің ұзындығына тең:
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
O
M2
M1
Координаталық түзудің және нүктелерінің ара қашықтығы олардың координаталарының айырмасының ... ... ... тең: ... түзудің және нүктелерінің ара қашықтығы олардың координаталарының айырмасының абсолют шамасына (модуліне) тең:
.
Сандық ... ... ... және болсын. Төмендегі кестеде сандық аралықтар деп ... ... ... атаулары, анықтамалары және олардың координаталық түзудегі бейнелері берілген. Сандық ... ... ... бір ... қанағаттандыратын нақты сандарының жиыны ретінде анықталады.
Кесте (сандық аралықтар)
АТАУЫ
Жиынды анықтайтын теңсіздік
Белгі-леуі
Бейнеленуі
- дан - ға ... ... ... ... ... -ға ... интервал (ашық аралық)
226695113665a
b
x
00a
b
x
a
b
x
a
b
x
сол жағы ашық -дан - ға дейінгі аралық
a
b
x
a
b
x
оң жағы ашық -дан - ға ... ... дан оң ... ... сандық сәуле
265430183515a
x
00a
x
- дан оң шексіздікке дейінгі ашық сандық сәуле
26543097155a
x
00a
x
теріс ... ... ... ... ... шексіздіктен
-ға дейінгі ашық сандық сәуле
26543032384900265430208915a
x
00a
x
және аралықтарын сәйкесінше жартылай интервал және ... ... деп ... ... атау аралықтың шеткі нүктелерінің аралыққа қайсысы тиісті, қайсысы тиісті еместігіне байланысты). Көбінесе бұл аралықтардың екеуін де ... ... деп ... ... ... ... да ... және сан түзуі деп атайды.
Сандық аралықтар және ... ... ... ... ... ... рөл ... Мысалы, теңдеулер жүйесінің шешімі жүйе құрамындағы теңдеулердің әрқайсысының түбірлер жиындарының қиылысуы болып табылады, ал ... ... ... жүйе ... теңдеулердің шешімдерінің бірігуі болады.
Сол сияқты, теңсіздіктер жүйесінің шешімі жүйе құрамындағы теңсіздіктердің шешімдерінің, яғни ... ... ... ... ... бұл ... жиыны құр жиын болуы да мүмкін екенін атап кетеміз.
Мысал.
Ø ; ... ... ... ең ... де, негізгілерінің бірі ұғымы екенін кіріспеде атап кеткенбіз. Бұдан ... , , , ... ... қатар жүріп, бірдей қолданылатын, тіпті осы ұғымдарды мәндес, яғни олар синонимдер деп ... ... ...
Мектеп бағдарламасында және мектеп оқулықтарында ұғымына, жиынға қолданылатын амалдар мен олардың ... ... ... ... ... ... ... жеткілікті дәрежеде қарастырылмаған. Бір өкініштісі, мектеп оқулықтарында жиын ұғымына тікелей анықтама берілмейді, жиын ... ... ... жиын ... түсіндірілетін көптеген тақырыптар жиынды айқындалмаған түрде қолдану арқылы үйретіледі. Ғылым мен техникада, жалпы өскелең ұрпаққа математика ... ... ... ... жетік меңгеруге көп пайдасын тигізетін тақырыбы мектеп математика ... ... сай) тек ... ... ... ... үстіртін қарастырылады. тақырыбы мектепте ... ... ... ... ... оқушыларының әр түрлі деңгейдегі математикалық кештер, конкурстар мен олимпиадаларда және ... ... ... ... ... ... ... жиынға қатысты негізгі мәселелер егжей-тегжейлі қарастырылған.
Жиын ұғымын жақсы түсінген, жиындарға қолданылатын амалдар мен олардың ... ... ... математиканың барлық салаларын меңгеруге деген құлшыныс пайда болады және жеңіл меңгереді деген қорытынды жасауға ... ... ... Жәутіков О.Ә. Математикалық анализ курсы. - Алматы: Мектеп, 1958.
2. Ибрашев Х.И., Еркеғұлов Ш.Т. ... ... ... ... - ... Каз. уч. пед. изд., 1963.
3. ... Б.Т. ... ... лекциялар курсы. 1-бөлім. - Алматы: Мектеп, 1973.
4. ... Н. ... ... ... - ... Мектеп, 1987.
5. Профессор Ермек ұлы Әлімхан. Ұлы ... ... 1-ші ... - ... РБК, ... ... Ә.Н. ... - Алматы: Атамұра, 2005.
7. Шойынбеков Қ.Д., ... А.Е., ... М.И., ... М.А. ... ... Оқу ... - ... Білім, 2002.
8. Яковлев Г.Н. ... по ... для ... в ... - М.: ... ... ... Қ. Жоғарғы математика. - Алматы: РБК, 2004.
10. Искаков М.Ө. ... мен ... ... ... 3-ші ... - Алматы: Мектеп, 1971.
11. Ахметқалиев Т. Математикалық ... ... ... - ... ... баспа кабинеті, 1994.
12. Колягин Ю. М. Методика преподавания математики в средней школе: ... ... - М.: ... ... Сатыбалдиев О. Математикалық анализ курсында тарихи мәселелерді пайдалану. // ИФМ. - ... - 2001. - ... ... О.С. ... ... ... - М.: Наука, 1988.
15. Петраков И. С. ... ... в 8-10 ... ... для ... - М: ... 1987.
16. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ - 9. - М.: ... ... ... П. Г. О дифференцированной помощи учащимся при решении задач. // ... в ... - М: - 1993. - ... Галицкий М.Л., Мошкевич М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса ... и ... ... - М.: ... 1998.
19. ... Л.С. ... ... для школьников. - М.: Наука, 1988.
20. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных ... - М.: ... 1975.
21. ... Ш. және т.б. ... және ... ... - ... Ана тілі, 1991.
22. Истомина Н.Б. ... ... ... в ... ... - М.: ... 1999.
23. Оспанов Т.Қ. Математика. - Алматы.: Ы.Алтынсарин атындағы Қазақтың білім академиясының ... ... ... 2000. ... ... ... сатып алып, пайдаланғаныңыз үшін Сізге алғысымды білдіремін. Бұл ... әрі ... ... ... бар. Осы кітап туралы және математикаға қатысты басқа да ... ... ... ... ... жіберуіңізге болады: alseyytov@rambler.ru, alseytov@yandex.ru.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Көлемі: 30 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 2 000 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Мемлекет пен құқық теориясына кіріспе43 бет
Java туралы жалпы түсiнiк11 бет
Turbo Pascal тілінің негізгі элементтері22 бет
Альфред Адлер12 бет
Бір өлшемді жиындарға амалдар қолдану11 бет
Біріншілік өлшеу түрлендіргіштерін монтаждау7 бет
Баймырзаұлы Балуан Шолақ 7 бет
Бәйге8 бет
Жалпы білім беретін орта мектепте информатика курсының мазмұны28 бет
Жиын уғымы22 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь