Ньютон биномы

Ньютон Биномы

Жоспар

1. Екімүше, дәрежеге шығару, қысқаша көбейту формулалары
2. туынды, комбинаторика ұғымдар: орналастырулар, алмастырулар, терулер және олардың формулалары мен саны.
3. Ньютон биномы

Осы тақырыпты оқу барысында сендер нені үйренесіңдер?

Бұл тақырыпты оқу барысында екі мүшенің қосындысын, $n(n \in N$ $n(n \in N$ ) дәржеге шығару формуласымен, Ньютон биномының формуласы және оның қасиеттерімен, биномдық коэффициент ұғымымен танысып, екі мүшелікті $n$ $n$ дәрежеге шығаруға мысалдар шығару мен Ньютон биномы жіктелуінің кез келген коэффициентін табу дағдысын қалыптастырысыңдар.

7- сынып алгебра курсынан өздеріне қысқаша көбейту формулалары, мысалы, екі мүшенің қосындысының квадраты мен кубы, яғни

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (х + {а) }^{2} = х^{2} + 2ах + а^{2}$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (х + {а) }^{2} = х^{2} + 2ах + а^{2}$ , (х+ ${а) }^{3} = х^{3} + 3{ах}^{2} + 3а^{2}х + а^{3}$ ${а) }^{3} = х^{3} + 3{ах}^{2} + 3а^{2}х + а^{3}$

белгілі.

Осы формулаларды қолданып, екі мүшенің қосындысын кез келген натурал дәрежеге шығаруға болады. Мысалы, қосындының төртінші дәрежесін есептейтін формуланы алу үшін қосындының кубының формуласы мен көпмүшелікті көпмүшелікке көбейту ережесін қолдануға болады. Сонда

$(х + {а) }^{4} = (х + {а) }^{3} \bullet (х + а) = \left( х^{3} + 3{ах}^{2} + 3а^{2}х + а^{2} \right) \ (х + а) = х^{4} + 4{ах}^{3} + 6а^{2}х^{2} + 4а^{3}х + а^{4} = х^{4} + 4 \bullet а \bullet х^{2} +$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \frac{4 \bullet (4 - 1) }{2!} \bullet а^{2} \bullet х^{2} + 4 \bullet а^{3} \bullet х \bullet а^{4}.$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \frac{4 \bullet (4 - 1) }{2!} \bullet а^{2} \bullet х^{2} + 4 \bullet а^{3} \bullet х \bullet а^{4}.$

Енді екімүшені $n$ $n$ - ші дәрежеге формуласын қарастырайық. Ол үшін

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (х + {а) }^{n} = а_{0}х^{n} + а_{1}х^{n - 1} + а_{2}х^{n - 2} + а_{3}х^{n - 3} + . . . + а_{n - 1}х + а_{n}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (*$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (х + {а) }^{n} = а_{0}х^{n} + а_{1}х^{n - 1} + а_{2}х^{n - 2} + а_{3}х^{n - 3} + . . . + а_{n - 1}х + а_{n}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (*$

Көпмүшесін алып, ондағы $а_{0}, \ \ а_{1}, \ \ а_{2}, \ \ . . . а_{n - 1}, \ \ а_{n}$ $а_{0}, \ \ а_{1}, \ \ а_{2}, \ \ . . . а_{n - 1}, \ \ а_{n}$ коэффициенттерін анықтайық.

$(*)$ $(*)$ теңдігінің х $=$ $=$ 0 болғандағы сол және оң жақтарының мәндерін табайық:
$а_{n} = а^{n} = С_{n}^{n} \bullet а^{n}.$

Енді $(*)$ $(*)$ теңдігінің екі жағынан туынды аламыз:

$n(х + {а) }^{n - 1} = nа_{0}х^{n} - 1 + ($ $n(х + {а) }^{n - 1} = nа_{0}х^{n} - 1 + ($ $n - 1) а_{1}х^{n - 2} + (n - 2) а_{2}х^{n - 3} +$ $n - 1) а_{1}х^{n - 2} + (n - 2) а_{2}х^{n - 3} +$

+ $(\ n - 3) а_{3}х^{n - 4} + . . \ . \ + 2а_{n - 2}х + а_{n - 1. }$ $(\ n - 3) а_{3}х^{n - 4} + . . \ . \ + 2а_{n - 2}х + а_{n - 1. }$ ( $**)$ $**)$

Шыққан теңдіктің х $=$ $=$ а сол және оң жақтарының мәндерін табамыз: ${nа}^{n - 1} = а_{n - 1}\$ ${nа}^{n - 1} = а_{n - 1}\$ немесе

$а_{n - 1} = С_{n}^{n - 1}а^{n - 1}.$ $а_{n - 1} = С_{n}^{n - 1}а^{n - 1}.$

Енді ( $**)$ $**)$ теңдігінің екі жағынан туынды аламыз:

$n(n - {1) (х + а) }^{n - 2} = n(n - 1) а_{0}х^{n - 2} + (n - 1) (n -$ $n(n - {1) (х + а) }^{n - 2} = n(n - 1) а_{0}х^{n - 2} + (n - 1) (n -$ $а_{1}х^{n - 1} + (n - 2) ({n - 3) а}_{2}х^{n - 4} +$ $а_{1}х^{n - 1} + (n - 2) ({n - 3) а}_{2}х^{n - 4} +$

+ $(\ n - 3) (n - 4) а_{3}х^{n - 5} + . . \ . \ + 3 \bullet 2{\bullet а}_{n - 3}х + {2а}_{n - 2. }\$ $(\ n - 3) (n - 4) а_{3}х^{n - 5} + . . \ . \ + 3 \bullet 2{\bullet а}_{n - 3}х + {2а}_{n - 2. }\$

Соңғы теңдіктең $х = 0$ $х = 0$ болғанда $= 2а_{n - 2}$ $= 2а_{n - 2}$ немесе $а_{n - 2} = \frac{n(n - 1) }{1 \bullet 2}а^{n - 2} = С_{n}^{n - 2}а^{n - 2}$ $а_{n - 2} = \frac{n(n - 1) }{1 \bullet 2}а^{n - 2} = С_{n}^{n - 2}а^{n - 2}$ аламыз .

Осылайша қалған коэффиценттерді табамыз:

$а_{\ n - 3}\frac{n(n - 1) (n - 2) }{1 \bullet 2 \bullet 3}а^{n - 3} = С_{n}^{n - 3}а^{n - 3}. . \ . \ \$

$а_{1} = \frac{n(n - 1) (n - 2) . . \ . 2}{1 \bullet 2 \bullet 3 \bullet . . \ . \bullet (n - 1) }а = С_{n}^{1}а$

Және

$а_{0} = \frac{n(n - 1) (n - 2) . . \ . 2 \bullet 1}{1 \bullet 2 \bullet 3 \bullet . . \ . \bullet (n - 1) n}а_{0} = С_{n}^{0}.$

Табылған коэффициенттерді $\ \ \ \ \ (*)$ $\ \ \ \ \ (*)$ формуласына қоямыз:

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (х + {а) }^{n} = С_{n}^{0}х^{n} + С_{n}^{1}х^{n - 1} \bullet а + С_{n}^{2}х^{n - 2} \bullet а^{2} + С_{n}^{3}х^{n - 3}а^{3} + . . \ . \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (х + {а) }^{n} = С_{n}^{0}х^{n} + С_{n}^{1}х^{n - 1} \bullet а + С_{n}^{2}х^{n - 2} \bullet а^{2} + С_{n}^{3}х^{n - 3}а^{3} + . . \ . \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$
$. . \ . \ + С_{n}^{n - 1}{х \bullet а}^{n - 1} + С_{n}^{n}а^{n}.$
Енді терулер формасын қолданып, мынаны аламыз:

$(х + {а) }^{n}х^{n} + nх^{n - 1} \bullet а + \frac{n(n - 1) }{2!}х^{n - 2} \bullet а^{2}\frac{n(n - 1) (n - 2) }{3!}а^{n - 3} \bullet а^{3} +$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + . . \ . \frac{n(n - 1) . . \ . (n - r + 1) }{r!}х^{n - r} \bullet а^{r} + . . \ . + n{х + а}^{n}. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \ \ \$

(1) немесе (2) формулалары Ньютон биномының формуласы деп аталады .

Бином сөзі француз тілінен аударғанда "алгебралық екі мүше "ұғымды білдіреді.

Ньютон биномының формуласындағы коэффициенттері Биномдық коэффициент деп атаймыз.

(2) формуланы кыскаша былай білуге болады:

${\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (x + a) }^{n} = \sum_{k = 0}^{n}{С_{n}^{r}а^{r}{\bullet х}^{n - r}}. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$
$r = 0$ $r = 0$ болғанда, I қосылғыш шығады, $С_{n\ }^{0}а^{0} \bullet х^{n - 0} = х^{n; \ \ \ \ \ \ \ \ }$ $С_{n\ }^{0}а^{0} \bullet х^{n - 0} = х^{n; \ \ \ \ \ \ \ \ }$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r = 1$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r = 1$ болғанда, II қосылғыш шығады, $С_{n\ }^{1}ах^{n - 1} = nах^{n - 1; \ \ \ \ \ \ \ \ }$ $С_{n\ }^{1}ах^{n - 1} = nах^{n - 1; \ \ \ \ \ \ \ \ }$

$r = 2$ $r = 2$ болғанда, III қосылғыш шығады, $С_{n\ }^{2}а^{2}х^{n - 2} = \frac{n(n - 1) }{2!}а^{2}х^{n - 2; \ \ \ \ \ \ \ \ }$ $С_{n\ }^{2}а^{2}х^{n - 2} = \frac{n(n - 1) }{2!}а^{2}х^{n - 2; \ \ \ \ \ \ \ \ }$

. . .

$r = r$ $r = r$ болғанда, ( $\ r + 1) \ қосылғыш\ шығады,$ $\ r + 1) \ қосылғыш\ шығады,$ $С_{n\ }^{r}{\bullet а}^{r} \bullet х^{n - r\ } = \frac{n(n - 1) . . . (n - r + 1) }{r!}а^{r}{\bullet х}^{n - r; \ \ \ \ \ \ \ \ }$ $С_{n\ }^{r}{\bullet а}^{r} \bullet х^{n - r\ } = \frac{n(n - 1) . . . (n - r + 1) }{r!}а^{r}{\bullet х}^{n - r; \ \ \ \ \ \ \ \ }$

. . .

${\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r = n - 1\ болғанда, n\ \ \ қосылғыш\ шығады, \ \ \ \ С}_{n\ }^{n - 1}{\bullet а}^{n - 1} \bullet х = {nа}^{n - 1} \bullet х;$ ${\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r = n - 1\ болғанда, n\ \ \ қосылғыш\ шығады, \ \ \ \ С}_{n\ }^{n - 1}{\bullet а}^{n - 1} \bullet х = {nа}^{n - 1} \bullet х;$

$r = n\$ $r = n\$ болғанда, ( $\ n + 1) қосылғыш\ шығады,$ $\ n + 1) қосылғыш\ шығады,$ $С_{n\ }^{n}{\bullet а}^{n} \bullet х^{0} = а^{n}.$ $С_{n\ }^{n}{\bullet а}^{n} \bullet х^{0} = а^{n}.$

(1), (2), (3) формулаларын математикалық индукция әдісімен дәлелдеуге болады.

Ньютон биномының қасиеттері:

1. Қосылғыштар санының бином дәреже көрсеткішінен біреуі артық яғны дәрежеболса, қосылғыштар саны(n+1(n + 1(n+1(n + 1) болады;
2. Х-тің дәреже көрсеткіші- нен нөлге дейін кемиді, ал а- ның дәреже көрсеткіш нөлден\ \\ \

$\ \ \ \ \ \ \ \ n - ге\ дейін$ $\ \ \ \ \ \ \ \ n - ге\ дейін$ өседі. Әр қосылғыштың дәреже көрсеткіштерінің қосындысы биномның дәреже

көрсеткішіне тең;

3. Қосылғыштардың коэффициенттері терулеп саныныңСnr+Сnn−{n\ }^{r} + С_{n\ }^{n - r}қасиеттеріне\ байланыстыСnr+Сnn−{n\ }^{r} + С_{n\ }^{n - r}қасиеттеріне\ байланысты

$\ \ \ \ \ \ \$ $\ \ \ \ \ \ \$ анықталады, яғни жіктелудің басы мен соңынан бірдей қашықтықта тұрған қосылғыштардың

коэффициенттері өзара тең болады;

4. Биномның кез келген мүшесі

---

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс