Туынды ұғымы

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 3

I тарау. Функцияның туындысы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6

1.1 Функцияның туындысы деген не? ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6
1.2 Функцияның туындысы ұғымына алып келетін есептер ... ... ... ... ... ... 16
1.3 Дифференциалдау ережелері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 16
1.4 Функцияның дифференциалы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 20
1.5 Лагранж теоремасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 26
1.6 Жоғарғы ретті туындылар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 26

II тарау. Функция туындысы ұғымын мектепте оқыту ... ... ... ... ... ... ... 28

2.1 Функция туындысы ұғымын жалпы орта білім беретін
мектеп бағдарламасына енгізудің қажеттілігі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 28
2.2 Оқушыларға функция туындысы ұғымын үйрету тәсілі ... ... ... ... ... ... .. 29
2.3 Күрделі функцияның туындысы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 32
2.4 Кері функцияның туындысы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 32

III тарау. Туындының мектеп математика курсында қолданылулары ... 34

3.1 Туындының геометриялық қолданылулары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 34
3.2 Туындының механикалық қолданылулары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 35
3.3 Функцияның нүктеде және аралықта өсуі мен кемуі ... ... ... ... ... ... ... ... 35
3.4 Функцияның экстремумдары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 36
3.5 Функцияның аралықтағы ең үлкен және ең кіші мәндері ... ... ... ... ... ... 38
3.6 Функцияны дөңестікке зерттеу. Иілу нүктелері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 38
3.7 Функцияны толық зерттеу және оның графигін салу ... ... ... ... ... ... ... ... 39

Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 44

Қолданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 47
Кіріспе

Қазіргі қоғамдағы ғылым мен техниканың, әсіресе, компьютерлік техника мен технологиялардың даму деңгейі «біліммен қаруланған адам» даярлау қағидасынан «іс-әрекет жасауға үйретілген маман» даярлау қағидасына көшуді қажет етуде. Осы қажеттіліктің іс жүзіне ауысуы қазіргі педагогика ғылымы саласындағы кейбір мәселелерді шешуге мүмкіндік береді.
Математика пәнінің жаңа бағдарламасында «кез келген адам өз өмірінде кездесетін күрделі есептерді орындау: кесте, диаграмма, график түріндегі ақпаратты оқи алуы қажет» делінген.
Математикалық ұғымдардың ішіндегі ең іргелі де, негізгілерінің бірі функционалдық (функция) тәуелділік ұғымы. Бұл ұғымның басқа ұғымдардан басты ерекшелігі ― ол басқа оқу пәндерінде де жиі қолданылады. Функционалдық тәуелділік ― қоршаған ортаны оқып үйренуге негізделген математикалық модель. Осы модель арқылы дүниенің біртұтас ғылыми бейнесі оқып-игеріледі. Функционалдық тәуелділікті оқып-үйрену кезінде зерттелетін құбылыстардың мәні көрнекі түрде айқындалады, ұғымды оқушылардың меңгеруі басқа ұғымдардың дұрыс қалыптасуына тікелей әсерін тигізеді. Функциялық тәуелділіктің дербес жағдайы, яғни функцияның дербес жағдайы ― сандық тізбек. Туынды ұғымы математикалық анализдің негізгі ұғымдарының бірі және математикалық анализдің негізгі тұжырымдарының барлығы дерлік осы ұғым арқылы анықталатынын ескерсек, бұл ұғымның математикалық талдауға арналған кез келген оқулықтан ойып тұрып орын алатынына оңай көз жеткізуге болады. Ана тілімізде жарық көрген және өз мезгілінде университеттер мен педагогикалық институттардың физика, математика, механика факультеттері, жоғары білімді техникалық мамандар және экономика саласының мамандарын даярлайтын жоғары оқу орындарының студенттерінің математикалық анализ бен жоғары математика саласынан сапалы білім алуына үлкен жағдай жасаған О.Ә.Жәутіков /1/, Х.И.Ибрашев пен Ш.Т.Еркеғұлов /2/, Б.Т.Төлегенов /3/, Н.Темірғалиев /4/ сияқты математик-ғалымдардың еңбектерінде туынды тақырыбы терең қарастырылған. Жалпы орта білім беретін мектептерге арналған математика оқулықтарының ішінен Кеңес Одағы кезінен бері пайдаланылып келе жатқан А.Н.Колмогоровтың /5/, ал отандық соңғы буын оқулықтардың ішінен Ә.Н.Шыныбековтың /6/ және Қ.Д.Шойынбеков бастаған авторлық ұжымның еңбектерін /7/ атауға болады. 1935 жылы қазақтың тұңғыш жоғары математика оқулығын жазып шығарған Әлімхан Әбеуұлы Ермековтің еңбегінің «Сызықтық функция» тарауының «Түзу сызықтың бұрыштық коэффициентті теңдеуі. Сызықтық функцияның негізгі қасиеттері» параграфында сызықтық функцияның туындысы мен дифференциалы және туынды арқылы бұрыштық коэффициентті табу қарастырылған /8/.
Туындыға қатысты теориялық материалдар мен есептерді қамтитын және сәйкесінше жоғары оқу орындарында /9-15/ және жалпы орта білім беретін мектептерде қосымша ретінде және факультативтік сабақтар мен түрлі деңгейлердегі математикалық сайыс, конкурс, олимпиадаларға дайындық кезінде қолданылып жүрген /16-25/ оқулықтар мен оқу құралдарын атауға болады. Функцияның туындысы ұғымына қатысты және оның қолданылуларына байланысты ғылыми және ғылыми-әдістемелік журналдар мен газет беттерінде жарияланған /26-29/ мақалаларды атап кетеміз. Біз олардың барлығын дипломдық жұмысты орындау барысында жан-жақты талқылап, қажет материалдарды қолданып отырдық.
Жұмыстың мақсаты:
1. Жәутіков О.Ә. Математикалық анализ курсы. – Алматы: Мектеп, 1958.
2. Ибрашев Х.И., Еркеғұлов Ш.Т. Математикалық анализ курсы. 1-бөлім. – Алматы: Каз. уч. пед. изд., 1963.
3. Төлегенов Б.Т. Математикалық анализден лекциялар курсы. 1-бөлім. – Алматы: Мектеп, 1973.
4. Темірғалиев Н. Математикалық анализ. 1-бөлім. – Алматы: Мектеп, 1987.
5. Колмогоров А.Н. Алгебра және анализ бастамалары. 10-11 сыныптар. – Алматы: Мектеп, 2001.
6. Шыныбеков Ә.Н. Алгебра-9. –Алматы: Атамұра, 2005.
7. Шойынбеков Қ.Д., Әбілқасымова А.Е., Есенова М.И., Тұрлыханова М.А. Анализ бастамалары: Оқу құралы. – Алматы: Білім, 2002.
8. Профессор Ермек ұлы Әлімхан. Ұлы математика курсы. 1-ші бөлім. – Алматы: РБК, 1995.
9. Қабдықайыр Қ. Жоғарғы математика. – Алматы: РБК, 2004.
10. Искаков М.Ө. Математика мен математиктер жайындағы әңгімелер. 3-ші кітап. – Алматы: Мектеп, 1971.
11. Ахметқалиев Т. Математикалық талдау /дифференциалдық есептеу/. – Алматы: Республикалық баспа кабинеті, 1994.
12. Колягин Ю. М. Методика преподавания математики в средней школе: Частные методики. – М.: Просвещение, 1980.
13. Түнғатаров А.Б. Экономистерге арналған математика. 1-ші том. – Алматы: Экономикс, 2006.
14. Ивашев-Мусатов О.С. Начала математического анализа. – М.: Наука, 1988.
15. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч.I. – М.: Высшая школа, 1986.
16. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ – 10. – М.: Просвещение, 1998.
17. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1998.
18. Галицкий М.Л., Мошкевич М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1998.
19. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике. Решение задач. 10-класс. – М.: Просвещение, 1991.
20. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике. Решение задач. 11-класс. – М.: Просвещение, 1991.
21. Яковлев Г.Н. Пособие по математике для поступающих в вузы. – М.: Просвещение, 1988.
22. Тарасов Л.В. Математический анализ: Беседы об основных понятиях. Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1979.
23. Петраков И. С. Математические кружки в 8-10 классах. Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1987.
24. Канин Е.С. Приложения производной. – М.: Просвещение, 1991.
25. Понтрягин Л.С. Математический анализ для школьников. – М.: Наука, 1988.
26. Тимошук П. Г. О дифференцированной помощи учащимся при решении задач. // Математика в школе. – М.: –1993. – №2.
27. Колмогоров А.Н., Ивашев-Мусатов О.С. Действительные числа, бесконечные последовательности и их пределы. // Математика в школе. – М.: – 1975. – №2.
28. Чернявский М.Д. Задачи на геометрический смысл производной. // Квант. – 1979. – №2.
29. Сатыбалдиев О. Математикалық анализ курсында тарихи мәселелерді пайдалану. // ИФМ. – Алматы: – 2001. – №3.
        
        Мазмұны
Кіріспе ..................................................................................... 3
I тарау. Функцияның туындысы ................................................................ 6
1.1 ... ... ... не? ... 6
1.2 ... ... ... алып келетін есептер ........................ 16
1.3 ... ... ... ... ... дифференциалы .................................................................... 20
1.5 Лагранж теоремасы ...................................................................................... 26
1.6 Жоғарғы ретті туындылар ........................................................................... ... ... ... ... ... ... оқыту ............................ 28
2.1 Функция туындысы ұғымын жалпы орта білім беретін
мектеп бағдарламасына енгізудің қажеттілігі ............................................ 28
2.2 ... ... ... ... ... ... .......................... 29
2.3 Күрделі функцияның туындысы ................................................................ 32
2.4 Кері функцияның туындысы ...................................................................... 32
III тарау. Туындының мектеп ... ... ... .... ... Туындының геометриялық қолданылулары ............................................. 34
3.2 Туындының механикалық қолданылулары ... ... ... ... және аралықта өсуі мен кемуі ............................... 35
3.4 Функцияның экстремумдары ...................................................................... 36
3.5 ... ... ең ... және ең кіші ... ... ... Функцияны дөңестікке зерттеу. Иілу нүктелері ........................................ 38
3.7 ... ... ... және оның ... салу ... ... ... 44
Қолданылған әдебиеттер тізімі .................................................................... 47
Кіріспе
Қазіргі қоғамдағы ғылым мен техниканың, әсіресе, компьютерлік ... мен ... даму ... ... ... даярлау қағидасына көшуді қажет етуде. Осы ... іс ... ... ... педагогика ғылымы саласындағы кейбір мәселелерді шешуге мүмкіндік береді.
Математика пәнінің жаңа бағдарламасында ... ... ... ең ... де, ... бірі функционалдық (функция) тәуелділік ұғымы. Бұл ұғымның басқа ұғымдардан басты ерекшелігі -- ол ... оқу ... де жиі ... ... ... -- ... ... оқып үйренуге негізделген математикалық модель. Осы модель арқылы дүниенің біртұтас ғылыми бейнесі оқып-игеріледі. ... ... ... ... ... ... мәні көрнекі түрде айқындалады, ұғымды оқушылардың меңгеруі басқа ұғымдардың дұрыс ... ... ... ... ... тәуелділіктің дербес жағдайы, яғни функцияның дербес жағдайы -- сандық тізбек. Туынды ұғымы математикалық анализдің негізгі ұғымдарының бірі және математикалық анализдің ... ... ... ... осы ұғым ... ... ескерсек, бұл ұғымның математикалық талдауға арналған кез келген оқулықтан ойып тұрып орын алатынына оңай көз ... ... Ана ... ... ... және өз ... университеттер мен педагогикалық институттардың физика, математика, механика факультеттері, жоғары білімді техникалық мамандар және экономика саласының мамандарын даярлайтын жоғары оқу ... ... ... ... бен жоғары математика саласынан сапалы білім алуына үлкен жағдай жасаған О.Ә.Жәутіков /1/, Х.И.Ибрашев пен Ш.Т.Еркеғұлов /2/, Б.Т.Төлегенов /3/, Н.Темірғалиев /4/ ... ... ... ... тақырыбы терең қарастырылған. Жалпы орта білім беретін мектептерге арналған математика оқулықтарының ішінен Кеңес Одағы кезінен бері ... келе ... ... /5/, ал ... соңғы буын оқулықтардың ішінен Ә.Н.Шыныбековтың /6/ және Қ.Д.Шойынбеков бастаған авторлық ұжымның еңбектерін /7/ атауға болады. 1935 жылы қазақтың ... ... ... оқулығын жазып шығарған Әлімхан Әбеуұлы Ермековтің еңбегінің тарауының ... ... ... ... мен дифференциалы және туынды арқылы бұрыштық коэффициентті табу қарастырылған /8/.
Туындыға ... ... ... мен ... ... және ... ... оқу орындарында /9-15/ және жалпы орта білім беретін мектептерде қосымша ретінде және ... ... мен ... ... ... ... ... олимпиадаларға дайындық кезінде қолданылып жүрген /16-25/ оқулықтар мен оқу құралдарын атауға болады. Функцияның туындысы ұғымына қатысты және оның ... ... ... және ... журналдар мен газет беттерінде жарияланған /26-29/ мақалаларды атап кетеміз. Біз олардың барлығын дипломдық жұмысты ... ... ... ... қажет материалдарды қолданып отырдық.
Жұмыстың мақсаты:
1) ... ... ... ... ... ... бірі болып табылатын шек ұғымының нақты қолданылуының ең негізгілерінің бірі болып табылатын функцияның туындысы ұғымын оқушылардың меңгеруін ... ... ... ... ... ... жолдарын, оны жүргізудің әдістемесін жасау.
Жұмыстың міндеті:
1) оқушыларда функцияның туындысы ... ... мен ... жүйелеу;
2) функцияның туындысының бар болуының қажетті шартын талдау;
3) функцияның туындысын оқып-үйренудің жалпы математиканы ... ... ... ... ... ... ... тәсілдерін көрсету.
Зерттеу нысаны: пәнін оқып-үйренгенде оқушыларға функцияның туындысы ұғымын және туындыны қолдануды үйрету.
Ғылыми ізденіс әдісі:
* Педагогикалық, математикалық және ... да ... ... тақырыпқа байланысты ғылыми мақалаларға талдау жасау.
* Педагогикалық озық іс-тәжірибелерді жинақтау, ... ... озық ... ... танысып, оның элементтерін пайдалану.
Ғылыми жаңалығы және алынған нәтижелер: Функцияның ... ... және ... туындысы ұғымдары тыңғылықты және тиянақты талданды; туындыға қатысты негізгі теоремалар мен ... ... ... шарттардың әрқайсысының алатын орны талқыланды. Функцияның туындысы ұғымының мектеп математика курсында алатын орны және туындының мектеп математика ... ... ... ... ... ... жұмыс кіріспеден, үш тараудан, қорытындыдан және 29 аталымды қамтитын қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады; көлемі 48 бет.
I тарау. Функцияның ... ... ... ... не?
Шек ұғымы функциялық тәуелділік ұғымы сияқты математикалық талдаудың маңызды концепцияларының бірі. Математикалық талдауда негізгі үш амал бар, ... ... ... және ... ... Басқа амалдардың барлығы осы амалдарға туынды амалдар болып табылады. Қосу мен ... ... ... ... ... ... болып табылатыны баршаға аян. Шек ұғымының негізгі қолдануларының бірі - туынды, дәлірек айтқанда, функцияның туындысы шекке көшу ... ... ... ... мен ... ілімдері математикалық талдаудың негізгі (орталық) бөлімдері болып табылады.
Туынды ... ... ... ... ... ... біз, ... оны тереңірек түсіну үшін, екіншіден, өзіміз үйренген туынды концепциясын толықтырып, ... және ... үшін бұл ... ... және ... айналысуымыз керек.
тәуелсіз айнымалысының нүктесінің қандай да бір маңайында анықталған функция ... Егер біз ... осы ... ... ... көшетін болсақ, онда функциясы өсімшесіне ие болады, ал аргументтің өсімшесі деп аталады; оң да, ... те бола ... атап ... яғни ... ... оң жағында да, сол жағында да жата алады. Егер ... ... ... ... ... (функциясы) қаншалықты тез өзгеретіндігі жөнінде мәлімет алғымыз келсе, яғни функциясы аргументтің осындай өзгерісіне қаншалықты сезімтал екендігін ... ... онда біз, ... ... да бір ... тәуелсіз айнымалысының өзгеруі мен функциясының оның ( тәуелсіз айнымалысының) өзгерісі салдарынан пайда болған өсімшесін сәйкестендіріп ... ... Бұл ... функциясының тәуелсіз айнымалысының өсімшесінің бірлігіне есептелген орташа өсімшесін ... ... бұл ... -тың ... мәні ... ... болғандықтан, жалпы алғанда, -тың әртүрлі мәндерінде әртүрлі нәтиже беретін болады. Қойылған ... ... ... үшін ... ... да бір ... ... негіздеп таңдап алуымыз қажет.
Егер мақсатымыз ретінде функциясының нүктесіне жақын жердегі мінезін зерттеу болатын ... онда ... ... ... етіп алсақ, функциясының мөлшері ретінде алған (1) шамасы біздің талабымызды ... ... ... болады. Шын мәнінде, (1) шамасы функцияның кесіндісіндегі көрсетеді, ал ол кесінді шамасы ... кіші ... ... нүктесіне соғұрлым жақындай түседі. Осы пайымдаулардан кейін, шекке көшу ұғымымен таныс бізге, ... ... ... қанағаттанарлықтай етіп шешу үшін функциясының нүктесіне ... ... ... ... ... (1) ... ... шегін (бұл шек бар деп есептей отырып) қарастыру керек екендігін, яғни
(2)
шамасын қарастыру керек екендігін ... ... Өзге де ... ... белгілеулер бар: , , .
Соңғы шаманы функциясының ... ... >) ... деп ... ... ... ... берілген нүктедегі туындысы бұл функцияның берілген нүктенің оған өте ... ... ... өзгергіштігін сипаттайды; неғұрлым үлкен болған сайын ... ... ... ... өте аз ... ... өте сезімтал болады; шамасының таңбасы осы ... ... ... ... бастапқы мәнінен өте аз ауытқуының салдарынан ... өсуі ... ... ... ... ... оң немесе теріс болады. Егер функциясын графиктік түрде бейнелейтін болсақ, яғни аталған функцияның ... ... ... онда ... қызықтырып отырған өзгергіштік шамасы өзінің мәнінен ... ... ... ... тік ... ... ... бейнелейді. Дәл терминдерде туынды функциясының графигіне аргументі ... ... ... ... ... ... ... бұл қасиетті математикада туындының геометриялық мағынасы деп атайды.
Туындының ең нақты және ... ... ... ... ... білдірген жағдайда мүмкін болады. Бұл жағдайда (1) шамасы шамасының уақыт аралығындағы өзгеруінің ... ... ... ал ... бұл өзгерістің уақыт мезетіндегі білдіреді. Дербес жағдайда, егер функциясы қозғалыстағы ... ... ... ... ... мезетінен уақыт мезетіне дейін жүрген жолын білдіретін болса, онда туынды ұғымы механикадағы лездік жылдамдық ұғымымен дәл ... яғни бұл ... ... нүктедегі туындысы қозғалып келе жатқан нүктенің осы нүктедегі (уақыт ... ... ... тең ... бұл ... ... ... механикалық мағынасы деп атайды.
Зерттеліп отырған құбылыстың локальдік (жергілікті) сипаттамасын нағыз маңызды қатынаста - ... ... екі ... ... ... ... салдарынан екіншісінің өзгеруін сандық қатынаста бағалауы туындының математикалық талдаудың қолдану ... ... ... ... ... және де ... ... басқа салаларында маңызды рөлге ие болуына мол мүмкіндік ашады.
Адам ... ... ... ... рет ... деген сұрақтарды қоюы әбден мүмкін. деген сөз дегеннің қысқаша түрі. ... ... мен ... ... ... ... ... түрде алынған (бір ғана) нүктесінде жүргізілгендіктен, біз осы пайымдаулар мен есептеулерді осы аралықтың кез келген ... үшін (әр жолы ... ... шек бар деп ... ... ... аламыз. Осы тәсілмен алынған функциясы функциясының туындысы деп аталады. Бұл ... ... ... функцияның тұтас кесіндісіндегі емес, ал оның жекелеген нүктелерінің нақты өте кішкене маңайындағы мінезін сипаттауға бағытталған және ... ... әр ... ... ... ... ... локальді (жергілікті) сипаттамасы деген негізгі фактіде ештеңе өзгертпейді.
Егер нүктесінде ... ... бар ... онда ... ... ... деп аталады немесе дифферециалданатын функция деп аталады. Егер де кесіндісінің әрбір ішкі ... ... ... бар ... онда функциясы кесіндісінің ішінде дифференциалданады деп аталады ... ... ... деп ... ... ... оның үзіліссіздігі сияқты, локальді қасиет екендігі түсінікті. нүктесінде үзіліссіз ... ғана осы ... ... ... бұл (1) ... ... ... нольге ұмтылғанда шектің бар болуы үшін осы бөлшектің алымының да нольге ұмтылуы қажеттігінен көрініп тұр, ал бұл өз ... ... ... ... ... Кері ... ... жағдайда, дұрыс емес; үзіліссіз функция дифференциалданбайтын болуы да мүмкін. Осындай ең қарапайым мысалдардың бірі ... ... ... ... ... бұл ... ... сан түзуінде үзіліссіз екендігін дәлелдеу қиын емес. Нақты санның модулінің (абсолют шамасының) анықтамасын ... ... ашып ... ... , ... . ... , және және болады. Сонымен, оң жақты және сол жақты туындылар бар болып, олар ... ... тең ... ... ... ... жай (екі жақты) туындысы жоқ.
Егер нүктесінде функциясының оң жақты және сол жақты туындылары бар ... ... жай ... ... онда ... ... сыну ... деп аталады. нүктесі функциясының сыну нүктесі болады.
Екінші мысал ретінде графигі 1.2-суретте келтірілген функцияны қарастыруға болады, бұл ... ... ... ... ... ... жоқ, функция үзіліссіз, бірақ нүктесінде (1) өрнектің және ... ... бар бола ... өзара тең болмайды, бұны геометриялық тұрғыдан нүктесінде берілген қисықтың анықталған нақты жанамасы болмайды деп ... ... екі ... үзіліссіз функцияның жеке алынған нүктеде туындысы болмайтындығының мысалдары, дей тұрғанмен олардың осы туындысы жоқ нүктелерде сол жақты және оң ... ... бар. ... жоқ ... ... ... ылғи да осылай бола ма? Үзіліссіз функция бұдан да тереңірек мағынада дифференциалданбайтын жағдайлар бар екенін көрсетелік. ... ... ... 1.3-суретте бейнеленген. Осы функцияның нүктесінің маңайындағы мінезін анықтайық. Кез келген үшін және болғандықтан , біз, ... ... ... ... екендігін көреміз. Бірақ нольге ұмтылғанда, мысалы, оң жағынан ұмтылғанда , ал 1 мен аралығында шексіз рет ... ... ... ... онда , және жұп (яғни ) болғанда , ал тақ ... ) ... . ... және ... ... ... рет ... де, (1) өрнек түріне келтіріліп, өзінің дербес шектері ретінде ... кез ... ... ... оның ... шегі -ге тең, ал ... шегі -ге тең. ... сол жағынан ұмтылған жағдайда да тап осылай болады; сонымен нүктесінде берілген функцияның сол жақты туындысы да, оң ... ... да ... жағдайда (1) өрнектің болғанда да, болғанда да жоғарғы және төменгі шектері бар болады; бұл төрт ... ... ... ... ... туынды сандары деп атайды; олардың әрқайсысы сан да бола алады, және символдарының бірі де бола ... ... кез ... ... кез ... ... ... қандай да бір маңайында анықталған болған жағдайында) төрт туынды саны бар болады: оң жақты ... оң ... ... сол ... жоғарғы, сол жақты төменгі. Егер оң жақты екі туынды сандар тең болса, онда берілген функцияның берілген нүктеде оң жақты ... бар ... және ол ... ... сандарға тең болады. Дәл осылай, егер сол жақты екі туынды сандар тең болса, онда берілген функцияның берілген нүктеде сол ... ... бар ... және ол ... ... ... тең болады. Төрт
01809751.3-сурет
0
у
х
001.3-сурет
0
у
х
туынды сан да ақырлы болып, өзара тең болса (және тек осы жағдайда ғана) функция берілген нүктеде дифференциалданады. ... да бір ... төрт ... ... ... да ... ... жағдайлар бар. Мысал ретінде функциясын келтіруге болады. Бұл функцияның нүктесіндегі төрт туынды сандарының барлығы да шексіз ... ... ... ... жоғарыдағы суреттегі функция бейнесі әртүрлі нүктеде әрқилы екенін ескерсек, онда бір ғана функцияны дифференциалдауға қатысты қарастырғанда оның ... ... ... ... ... болады. 1.3-ші суретте бейнеленген құбылыс тек қана оқшауланған нүктелерге ғана тән деп ... ... Әр ... ... ... өте күрделі болатын және тұтас бір аралықта немесе бүкіл сан түзуінің бір де бір нүктесінде дифференциалданбайтын функциялар бар. ... сан ... ... ... ... нүктеде дифференциалданбайтын функция мысалы ретінде Вандер-варден алғаш қарастырған қатар мен ... ... ... өрнектелетін функцияны атап кетуге болады.
Туынды сандарды қолдану мысалын қарастырайық. ... ... үшін ... өсу мен ... ... сипаттамасы функцияның туындысының таңбасымен тығыз байланысты. Егер кесіндісінің барлық нүктелерінде болса, онда - осы ... ... ... ... ал егер ... ... нүктелерінде болса, онда - осы кесіндіде (сегментте) өспейтін функция. Функцияның өсуі мен ... бұл ... ... ... аясы ... яғни ... функция дифференциалданатын болған жағдайда артық ештеңені қолданбай-ақ қою мүмкіндігін қамтамасыз етеді; бірақ функция ... ... ... ... ... ... ... бермейді; соған қарамастан онша терең емес зерттеулердің өздері функцияның өсуі мен кемуінің оларға ұқсас белгілері барлығын және ол ... ... ... тәуелсіз екендігін көрсетеді. Бұған көз жеткізу үшін келесі тұжырымды дәлелдейміз.
Теорема. ... ... ... ... және осы функцияның төрт туынды санының біреуі - оны ... ... - ... үшін ... емес ... онда ... ... бұл түрдегі тұжырымдалуы әдеттегі тұжырымдалуынан едәуір күштірек, себебі мұнда ... кез ... ... ... (ол дифференциалданбайтын болуы да мүмкін) туралы болып тұр.
Дәлелдеу. Теорема ... кері ... ... ... ... санын алайық. Анықтық үшін - функциясының оң жақты жоғарғы туынды саны ... ... ... ... және
, ... ... ... болатындай барлық нүктелерінің жиыны болсын, және - осы жиынның ең жоғарғы ... ... Егер ... ... онда ... ... ... себепті нүктесін кез келген нүктесінде (немесе сәйкесінше ) ... етіп ... ... ... болар едік. Екінші жағынан, жоғарғы шекараның анықтамасына сәйкес ... кез ... ... болатындай нүктелерді қамтуы керек. Бұл қарама-қайшылық екендігін көрсетеді. болғандықтан үшін ; мұндай кез ... ... сол ... . ... ... ... ... қайшы келеді. Сонымен, теорема дәлелденді.
1.2 Функцияның туындысы ұғымына алып келетін ... ... алып ... есептер ішінде мектеп оқушыларына таныс және олардың түсінулеріне еш қиындығы жоқ есептер бар, олардың қатарына 1.1-параграфта ... және ... ... ... деп аталған жылдамдық туралы есепті, сол параграфта келтірілген және туындының геометриялық мағынасы деп аталған функция ... ... бір ... ... жанама туралы есепті, сонымен қатар химиялық реакцияның ... ... ... және тағы ... ... ... ... ережелері
Жалпы жағдайда функцияның туындысын белгілі бір ережелерге сүйене отырып табу қажет.
Берілген ... ... ... ... ... отырып табу үшін келесі алгоритмді қолдану керек:
1) аргументіне өсімшесін бере отырып функцияның өсірілген мәні табу керек:
;
2) функцияның ... ... табу ... функцияның өсімшесінің аргументтің өсімшесіне қатынасын құру керек:
;
4) қатынастың жағдайындағы шегін табу керек:
.
Негізгі ... ... ... осы ... ... ... есептеп алғаннан кейін деп аталатын ережелерді енгізіп, содан кейін дифференциалданатын функциялардың туындыларын соңғы ережелерге сүйене отырып ... жөн; ... ылғи да ... ... ... ... келтірілген алгоритм арқылы тауып отыру өте қолайсыз және көп уақыт талап етеді. Жоғарыда аталған алгоритмді қолданып туындыны есептеуге ... ... ... сан ... ... туындысы -не тең, яғни
егер , онда . ... ... ... Егер ... өсімшесін берсек, онда :
.
2) Ньютон биномының формуласын қолдана отырып функцияның сәйкес өсімшесін табамыз:
немесе
.
3) ... ... ... ... ... табамыз:
,
сонымен, . Теорема дәлелденді.
2-мысал. функциясының туындысы ... ... , онда . ... ... ... Егер ... өсімшесін берсек, онда :
.
2) Ньютон биномының формуласын қолдана отырып функцияның сәйкес өсімшесін табамыз:
.
3) қатынасын ... ... ... ... ... , ... ... тамаша шекті еске түсірелік) және ... ... ... ... ... ... ... ,
сонымен, . Теорема дәлелденді.
Әр функция үшін оның туындысын туындының ... ... ... ... өте ... және өте ... тәсіл, сондықтан дифференциалдау ережелері деп аталатын ережелер мен негізгі элементар функциялардың туындыларының кестесін қолданады.
Негізгі элементар функциялардың туындылары
1. - ... . 2. . . .
3. . . 4. . .
5. . . 6. .
7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . 13. .
14. . 15. . 16. ... ... ... ... туындысын есептеу, яғни функцияны дифференциалдау туралы ілімнің келесі негізгі ұғымы - ... ... ... ... біз, ... ... ... арқылы анықталатын екінші дәрежедегі (рөлдегі) ұғым деп есептеп жүрміз; шын мәнінде ақырсыз кішкене шамалардың талдауы алғаш дүниеге келгенде және одан ... ... ... бойы ... ... емес, дифференциал ұғымы алғашқы ұғым деп есептелді; ал туындыны дифференциалдардың қатынасы деп санады, яғни екінші рөлдегі ұғым деп ... Айта кету ... ол ... ... ... әлі де ... ... да дәл анықтамаға ие емес еді және ол ... ... ... да жоқ емес еді, ... ол ... математикалық ойқорытуда тәуелсіз айнымалы мен тәуелді айнымалылырдың өзгерістерін тұтас нысан түрінде қарастыру әлі де ... ... ... еді.
Функцияның дифференциалының формальді түрдегі анықтамасы әрине белгілі: функциясының дифференциалы деп біз
(1)
шамасын атаймыз, мұндағы - ... ... ... сонымен, функциясының дифференциалы өзара тәуелсіз екі айнымалының - шамасы мен оның ... - ... ... бұл екі ... ... ... ... байланыста емес және олардың кез келген біреуін екіншісіне тәуелсіз таңдап алуға болады.
Дербес жағдайда функциясын қарастыра отырып, біз ... ... яғни ... ... үшін ... мен ... ... бірдей болады. (1) формулада өсімшесінің орнына -ті қоя отырып, біз, келесі теңдікке келеміз:
, ... ... ... ... әдетте қолданып жүрген анықтамасын аламыз: функцияның дифференциалы оның ... мен ... ... ... көбейтіндісіне тең.
(2) теңдіктен
, (3) ... ... ... ... ... тәуелсіз айнымалының дифференциалына қатынасына тең.
Бұл, соңғы (3)-ші өрнек немесе формальді түрдегі анықтама дифференциал ұғымының математикалық талдау мен оның ... өте ... аша ... Бұл ... ... ... үшін ... ұғымына және дифференциал идеясына тиянақты көңіл бөлу керек. Түсінуге жеңіл және сенімдірек болу үшін ... ... ... ... ал ... қозғалыстағы материалдық нүктенің 0-ден -ке дейінгі уақыт аралығында жүрген жолын білдіретін дербес жағдайды қарастырған дұрыс сияқты. Бұл ... ... ... ... ... мезетіндегі лездік жылдамдығын бейнелейтінін білеміз; сондықтан - қозғалыстағы нүктенің уақыт аралығында, егер ... осы ... ... ... нүктесіндегі жылдамдықпен бірқалыпты қозғалатын болса, жүретін жолының шамасы. Шындығында осы уақыт аралығында нүктенің жүрген жолы, жалпы ... ... ... ... қозғалыстағы нүктенің жылдамдығы тұрақты болып қала бермейді.
left16567152.1- сурет
О
у
х
dy
y=f(x)
х
х+Δх
Δy
f(x)
002.1- сурет
О
у
х
dy
y=f(x)
х
х+Δх
Δy
f(x)
Жалпы ... біз ... ... және шамаларының -тің берілген мәніндегі салыстырмалы өзгергіштіктерінің өлшемі ретінде қарастыруға болады. Сондықтан ... ... оның ... дейін өзгергендегі, кесіндісінің барлық нүктелерінде осы өлшем осы аралықтың басындағыдай ... қала ... ... ... ... ... қарастыруға болады. Бұл концепция 2.1-суретте көрнекі бейнеленген: - қисығының ординатасы абсцисса -тен ... ... ... ... ... жүргізілген жанама осы аралықтың барлық нүктелерінде нүктесіндегі мәнімен бірдей болғандағы, яғни біз осы ... оған ... ... ... ... ... ... өсімшесі.
Бізге қолданбалы ғылымдарда өсімшесінің кішкене мәндерінде көбінесе функциясының өсімшесі мен дифференциалы арасында айырмашылық жоқ деп ... ... бұл өз ... дифференциалды деп қате және зиянды түсінуге себеп болады, шындығында, жалпы жағдайда дифференциал өсімше емес. Осындай ... ... ... екі ... ... беруге тырысып көрейік: 1) бұл алмастыру қандай дәрежеде негізделген? және 2) ол қандай пайда әкелуі мүмкін?
Бірінші сұраққа жауап беру ... ... ... Осы ... негізінде ақырсыз аз шама болатын айырмасын арқылы белгілейміз, нәтижесінде
(1')
қатынасына келеміз.
болғанда болғандықтан, ... -пен ... ... ... ... аз шама болып табылады; бірақ қатынасы тұрақты шама, ал болғанда қатынасының шегі осы ... ... тең ... ... егер ... онда , және шамаларының үшеуі де бір реттегі ақырсыз аз шамалар болады; сол себепті ... -пен ... ... ретті ақырсыз аз шама бола отырып, және шамаларының әрқайсысымен салыстырғанда да жоғары ретті ақырсыз аз шама ... ... ... (1') ... егер ... онда ... ... өсімшесі мен дифференциалының айырмасы , және шамаларының ... ... ... ... ақырсыз аз шама болатынын көрсетеді; басқаша айтқанда, функцияның өсімшесін дифференциалмен немесе дифференциалды өсімшемен алмастырғанда салыстырмалы ... өте ... ... ... ... аз) ... алынған қатынас келесі
қатынасымен мәндес, ал соңғы қатынас болғанда және ... ... аз ... ... көрсетеді. Осы нәтижелерге сүйене отырып кішкене болғанда жуықтап есептеулерде функцияның өсімшесін оның дифференциалымен алмастыруға болады.
Қойылған екінші сұраққа - ... ... оның ... ... ... пайда әкелуі мүмкін? - жауап беру үшін өсімшенің құрылымынан гөрі дифференциалдың құрылымы теориялық ... ... және ... ... ыңғайлырақ екенін байқаймыз. Дифференциал шамасының сызықтық функциясы ... ... ... дифференциалдың өзгеру сипаттамасы өте қарапайым, және оны оқып-үйрену үшін мәнін бір ғана нүктеде есептеуден басқа ештеңе талап ... ал ... ... біз ... ... көрмейміз. Мысалы, -тің -қа өте жақын мәндері үшін, мысалы, , және т. с. с. ... үшін ... ... ... құру ... ... ... олардың мәндерін дәл есептейтін құралдар мен құрылғылар жоқ делік. болғанда екендігін білеміз, бірақ -тің -қа жақын ... ... ... ... ... ... ... білмейміз. Есебімізде өсімшелерінің кішкенелігін ескере ... ... ... дифференциалдарымен алмастырып көруге батыл шешім қабылдап көрелік. және болғандықтан болады, мұндағы радиандық өлшемде ... (), ... біз ... жуық ... бірден аламыз:
,
,
,
...............................................
Сонымен, біз, дифференциалдың келесі екі қасиетке ие екенін көріп отырмыз: 1) ол шамасының ... ... және 2) ол ... -ке ... ... жоғары ретті ақырсыз аз шамаға өзгешелігі бар. Енді осы екі қасиет арқылы дифференциалдың толық анықталатынын көрсетелік, олай ... ... ... ... дәл осы ... ... ... еді деген қорытынды жасауға болар еді (дегенмен, кез келген ... яғни ... бар ... үшін оның ... бар екендігін дәлелдеу үшін бәрібір туынды ұғымын ... кету ... емес ... 1)
2) ... ; 2. ; 3. ;
4. ; 5. ... ... теоремасы
Дифференциалдық есептеулердің басым бөлігі ішіндегі ең алғашқысы болып табылатын Лагранж теоремасына негізделген. Лагранж теоремасы математикалық ... ... ... маңызды орын алатын болғандықтан оған жіті көңіл бөлу қажет.
Теорема (Лагранж теоремасы). Егер ... ... ... және осы ... ішкі нүктелерінде дифференциалданатын болса, онда осы аралықтың ішінен
(1)
теңдігі орындалатындай кемінде бір ... ... ... ... формуласы немесе ақырлы өсімшелер формуласы деп те атайды.
айырмасы функциясының мен арасындағы өсімшесі деп ... Ал (1) ... сол ... оның ... ... аргументтің өсімшесі () арқылы бейнелейді, сондықтан, ақырлы ... ... деп ... ... де осында.
1.6 Жоғарғы ретті туындылар
Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар индукциялық тәсілмен анықталады: функцияның - ші ретті туындысы оның -ші ... ... ... ... және ... үшін де ... осылай. Сонымен , , ..., .
функциясының ... ... ... мен дифференциалдары келесі қатынастармен байланысқан:
, ... ... ... ... дифференциалының -ші дәрежесі; ол да индукция ... ... Егер ... ... ... онда -ке ... ... (1) өрнекті дифференциалдай отырып келесі нәтижелерді аламыз:
.
II тарау. Функцияның туындысы ұғымын мектепте оқыту
2.1 Функция туындысы ... ... орта ... беретін мектеп бағдарламасына енгізудің қажеттілігі
Қазіргі заманғы оқу стандартына сай жоғары сыныпта математика пәнінен сағат саны аз. Оның үстіне ... ... ... ... ... ... бөлігі осы жоғары сыныптарда өтілетінін ескерсек, онда түсіндіруге және оқушылар алған теориялық білімді есептер шығару ... ... ... ... ... ... ... уақыттың тапшылығына байланысты көптеген тақырыптар, соның ішінде тақырыбы да бар, үстірт өтіледі. Оған қоса жоғарыда аталған екі тәсіл өте ... ... ... мен ... ... ... себебі бұл екі тәсілдің екеуі де практикадан көрі абстракцияға жақынырақ. Функцияның туындысын туындының анықтамасына ғана сүйене отырып табу ұзақ уақытты және ... бір ... ... ... ... ал ... ... аз уақытқа ғана шоғырландыруға болады. Уақытқа байланысты туынды ұғымының негізгі идеялары оқушылардың ... ... ... ... анықтамасын пайдаланып пайымдауда процестердің саны көп. Тәуелсіз айнымалы мен тәуелді айнымалылардың ұмтылыстары екі процесс, мен -лардың тосыннан ... ... ... ... мен ... арасындағы сабақтастықтар бір-біріне жалғасып күрделенуінің нәтижесінде оқушылардың білім қабылдау мүмкіншіліктеріне сәйкес келмейді. Оның ... ... ... ... ... ... өте нәзік сезімді талап ететін теңсіздіктер арқылы дәлелденеді. Басқаша айтқанда, күрделенген процесті ажырату оқушылардың жақын арада даму зонасынан шығып ... ... шек ... ... ... Біздің ұсынып отырғанымыз процестердің саны мен ұғымды пайымдауға қажетті уақытты азайту және ... ... шек ... ... ... бірден негізгі элементар функциялардың туындыларының кестесі мен ... ... ... ... ... ... ... ұсынылып отыр. Алдымен туынды ұғымын бағдарламаға енгізудің қажеттілігіне ... ... ... қоғамға қажетті шаруашылықтың қай саласында қызмет атқаратындығы бізге ... ... қай ... ... етсе де еңбегінің нәтижелі болуын көздеп олар ой таразысына салып ... ... Бұл ... ... ... ... ... ақпарларды бір-бірімен салыстырып, өзгеру тенденциясына назар аударып, тиісті қорытынды ... ... ... оқу құралы осы туынды ұғымы. Мұның танымдық мәселесін дамытуға да қосатын үлесі айтарлықтай. Математикалық ... ... ... ... туынды ұғымының атқаратын қызметі ерекше. Өйткені функцияның туындысын есептеу кезінде математикалық формулалар мен теоремалар жиі айналымға ...
2.2 ... ... ... ... үйрету тәсілі
Ұғымды қалыптастыруға еңбектендіру арқылы оқушының өзін ... ... ... ... ... ... ... үйрету әдісімен қалыптастыру керек. Есептеудің қарқынын жылдамдату үшін калькуляторды пайдалануға болады.
Күдік туғызбас үшін ... ... ... ... ... ... және ... дайындап қоюы керек.
Тақырыпты мынадай жаттығулардан бастауға болады.
1. 2.2-суретке қарай ... ... ... бір ғана ... ... бар түзу деп ... ... сәтсіз екендігіне көз жеткізіңіз. AB және CD түзулерінің қайсысы қисықты нүктесінде жанайды?
2. 2.3-суреттегі функцияның графигіне ... ... ... жанама жүргізуге болатындығын, қайсыларында жанама жүргізуге болмайтындығын анықтаңыз.
3. Түзуге жүргізілген жанама деп нені түсінуге болады?
4. ... екі ... ... ... ... ... ... сурет
О
у
х
А
y=f(x)
00C
D
В
М0
2.2- сурет
О
у
х
А
y=f(x)
308610097790C
D
Е
В
F
2.3- сурет
О
у
х
y=f(x)
А
00C
D
Е
В
F
2.3- сурет
О
у
х
y=f(x)
А
Осы тақырыпты оқушыларға оқытып-үйрету барысында математиканың ... ... бірі ... ... ... ... ең қиын мәселе болып табылады. Тәжірибе көрсетіп отырғанындай, оқушыларға ... ... ... дифференциалдау ережелерін қолдана отырып функцияның туындысын табуды, функцияның туындысының нүктедегі мәнін есептеуді үйрету салыстырмалы түрде жеңіл ... ... ... ... қатар, оқушылар есеп шешудің алгоритмін алдын-ала білген жағдайларда, ... ... ... ... ... ... ... берілген қисыққа берілген нүктеде жанама жүргізу, оларды қолдана білуді үйрету де онша қиын мәселе емес. Функцияны экстремумға зерттегенде туындыны қолдану ... де онша ... ... Туындыны оқушылардың оны алуан түрлі жағдайларда (физикада, химияда, биологияда және басқа да ғылым салаларында) кездескенде өздерінің көре (таба, байқай) ... ... өте қиын ... ... ... жаратылыстану ғылымдарының көптеген ұғымдары туынды ұғымынсыз сандық тұрғыдан суреттеле (сипаттала) алмауымен қатар, олар ... ... ... ... да. ... ... оқушылардың туындының механикалық мағынасын, яғни функция мәнінің берілген нүктедегі өзгеру жылдамдығы екенін меңгергенлері абзал.
Математиканың ... да ... ... ... ... ... оны үйренудің басынан бастап қандай да бір көрнекі модельмен байланыстырғанда жеңілірек меңгеріледі. Мұндай модель ретінде ... ... ... дәлірек айтқанда берілген функцияның графигіне берілген нүктеде жүргізілген жанаманың бұрыштық ... ... ... ... ... меңгерудің біз ұсынып отырған тәсілінің реті жанаманы оқып-үйренуден басталады. ... ... - ... ... ... ... үшін ... кескіндерді қолдану болып табылады.
Мұндай рет, біріншіден, туынды ұғымының кем дегенде екі нақты ... ... ... мен ... ... ... үшін пайда болғанын, екіншіден, туындының геометриялық мағынасын бірден енгізу локалбдік жылдамдық ұғымын меңгертуді және кейбір ... ... ... ... мен ... ... байланысты, функцияның өсімшесін оның басты бөлігіме жуықтап алмастырудыдың геометриялық ... ... ... ... ... ... қатар, бұл рет туындыны қолдануға берілген жаттығулар аясын кеңітуге және бұл есептерді қарастыруды неғұрлым ертерек ... ... ... Қорыта айтқанда, оқушылардың дифференциалдау техникасын дамытумен қатар ... ... ... ... қатар алып жүруге үйрету керек.
2.3 Күрделі функцияның туындысы
Егер және болса, яғни болса, онда , ... ... ... ... ... -ке ... ... және болса, онда
Функция
Туынды
Функция
Туынды
2.4 Кері функцияның туындысы
Теорема. аралығын аралығына ... ... кері ... бар ... нүктесіне сәйкес нүкте болсын. Егер функциясының нүктесінде туындысы бар және ... тең емес ... онда кері ... ... туындысы бар болады және болады.
Теореманың дәлелдеуі өте қарапайым: теңдігінен шекке көшу арқылы алынады.
III тарау. ... ... ... курсында қолданылулары
Бұл тарауда функцияның туындысының мектеп математика курсында қолданылу аясы туралы айтылады. Бірнеше анықтамалар мен ... ... ғана ... ... ... кез ... ... табуға болатындықтан оларды келтірмейміз. Тараудың алғашқы алты (3.1-3.6) параграфында келтірілген ережелер мен теоремалардың қолданылулары ның бір мысалы ретінде 3.7 ... бір ... ... зерттеуін келтіреміз.
3.1 Туындының геометриялық қолданылулары
Берілген аралықта үзіліссіз функциясыныңleft47625x
y=f(x)
O
α
x0
жанама
y
N
M
y0
қиюшы
00x
y=f(x)
O
α
x0
жанама
y
N
M
y0
қиюшы
графигін кез келген екі нүктеде қиып өтетін түзу қиюшы деп ... ... ... ол ... ... және ... Егер ... бекітіп алып, нүктесін функциясының графигінің бойымен нүктесіне ұмтылдырсақ, онда ... ... ... ... ие ... шектік жағдай функциясының графигіне нүктесінде жүргізілген жанама деп аталады. функциясының нүктесіндегі туындысы функцияның графигіне ... ... ... ... ... тең, яғни , мұндағы - жанаманың көлбеу бұрышы.
қисығына нүктесінде жүргізілген жанаманың теңдеуі:
.
Екі түзудің ... ... ... екі түзу өзара перпендикуляр болса, онда олардың бұрыштық коэффициенттерінің көбейтіндісі -ге тең) ... ... ... ... ... ... осы ... жүргізілген перпендикулярдың (оны нормаль деп атайды) теңдеуін алуға болады ... ... ... ... ... ... ... түзу сызықты қозғалысының уақыт мезетіндегі лездік жылдамдығы , ... ... ... ... және ... өсуі мен кемуі
Туындының көмегімен функцияның локальді және глобальді қасиеттері зерттеледі.
Егер функция ... да бір ... ... ... онда осы ... ... ... нөлге тең. Кері тұжырым да орын алады:
1-теорема (функцияның аралықта тұрақтылығының шарты). Егер функция аралығында дифференциалданатын болып, осы ... ... ... оның ... ... тең ... онда функция осы аралықта тұрақты болады.
2-теорема (функцияның нүктеде өсуінің (кемуінің) жеткілікті ... Егер ... ... ... ... және () ... онда ... бұл функция өседі (кемиді).
3-теорема (функцияның аралықта өсуінің (кемуінің) қажетті және жеткілікті шарттары). функциясы ... ... ... ... ... ... үшін аралығының әрбір нүктесінде () шартының орындалуы қажетті және ... ... ... ... ... ... ... және жеткілікті шарттары). функциясы аралығында кемімейтін (өспейтін) болуы үшін ... ... ... () ... ... ... және жеткілікті.
3.4 Функцияның экстремумдары
1-теорема (Локальді экстремумның қажетті ... Егер ... ... ... экстремум нүктесі болса, онда осы нүктеде функция не дифференциалданбайды, не осы ... ... ... ... тең болады, яғни .
Бұл теорема қарапайым геометриялық мағынаға ие: функцияның графигінің локальді экстремум нүктесіне ... ... ... ... не жоқ ... не ... ... параллель болады.
Экстремум нүктесінде дифференциалданбайтын функцияның мысалы ретінде нүктесі минимум нүктесі болатын, бірақ ол нүктеде дифференциалданбайтын ... ... ... шарт ... шарт болғанымен экстремумның жеткілікті шарты бола алмайды. Мысалы, функциясының туындысы нүктесінде нөлге тең, яғни , ... бұл ... ... ... ... ... емес.
Локальді экстремумның қажетті шарты орындалатын нүктелер, яғни болатын нүктелер мен ... ... ... ... ... деп аталады. Бұл нүктелер нүктелер. ... ... ... бар ... туралы мәселе жеткілікті шарттар көмегімен шешіледі.
Локальді экстремумның келесі жеткілікті шарттары берілген функцияның ... ... ... ... ... ... ... жеткілікті шарттары). функциясының үзіліссіздік нүктесі болатын нүктесі осы функцияның кризистік нүктесі ... және ... ... ... ... дифференциалданатын болсын. Онда
1) егер нүктесінен өткенде ... -тен > -ке ... ... онда - функциясының локальді максимум нүктесі,
2) егер ... ... ... > -тен -ке ... ... онда - ... ... минимум нүктесі,
3) егер нүктесінен өткенде таңбасы өзгермейтін болса, онда - ... ... ... ... емес.
Локальді экстремумның келесі жеткілікті шарттары берілген функцияның бірінші туындысы ... ... ... ... ... екінші туындысын қолданатын басқа жеткілікті шартын қарастырамыз.
3-теорема (Локальді экстремумның жеткілікті шарты). нүктесі функциясының кризистік нүктесі ... және осы ... ... екі рет ... ... Онда, егер болса, онда функцияның локальді ... ... ... ... ...
1) егер , онда - ... ... ... ... егер , онда - ... локальді максимум нүктесі.
3.5 Функцияның аралықтағы ең үлкен және ең кіші ... ... ... саны ... ... анықталу облысына тиісті болып, функцияның туындысы нөлге тең болатын немесе туынды жоқ ... ... ... осы кесіндідегі ең үлкен және ең кіші мәндерін табу үшін, функцияның ... ... ... ... мен кесіндінің шеткі нүктелердегі мәндерін есептеп, сол ... ... ... ең ... мен ең ... ... алу керек.
Егер берілген кесіндіде берілген функцияның бір ғана экстремум нүктесі бар болатын болса, онда функцияның кесіндідегі ең үлкен және ең кіші ... табу ... есеп ... ... Бұл ... теоремадан көрінеді.
Теорема. Егер функциясы аралығында үзіліссіз болса және осы аралықта функцияның бір ғана локальді экстремум ... бар ... онда осы ... ... ... ... ... минимум нүктесі) болғанда бұл нүктеде функция ең үлкен (ең ... ... ие ...
3.6 ... ... ... Иілу нүктелері
функциясы аралығының ішкі нүктелерінде дифференциалданатын болсын. Онда функция графигінің әр () ... ... ... ... емес жанамасы бар болады.
Функцияның графигінің қандай да бір берілген ... ... ... ... ... нүктесінде функцияның екінші туындысы бар деп есептейміз.
1-теорема функциясының графигі нүктеде дөңес ... ... үшін () ... ... ... және () шартының орындалуы жеткілікті.
функциясы нүктесінің маңайында анықталған, ... ... және ... ... Егер нүктесінен өткенде функциясының дөңестік бағыты өзгеретін болса, онда нүктесі функциясының иілу нүктесі деп ... ал ... ... графигінің иілу нүктесі деп аталады.
Иілу нүктесінің бар ... ... ... жоқ.
Иілу нүктесінің бар болуының жеткілікті шарттары
1. Егер нүктесінен өткенде ... ... ... онда - иілу ... Егер ал болса, онда тақ болғанда - иілу ... жұп ... иілу ... ... ... ... зерттеу және оның графигін салу
Тарау басында аталған мәселені жүзеге асырамыз.
Функцияны толық зерттеп, графигін салу үшін келесі схеманы ұстанған жөн:
* Функцияның ... ... табу ... ... ... зерттеп, үзіліс нүктелерін тауып, үзілу түрін анықтау керек.
* Функцияның графигінің асимптоталарын табу керек.
* Функцияны жұп-тақтыққа зерттеу керек.
* Функцияны периодтылыққа зерттеу ... ... ... ... ... ... нүктелерін анықтау керек.
* Функцияны дөңестікке зерттеп, иілу (майысу) нүктелерін анықтау керек.
* Функцияның графигінің координаталық осьтермен қиылысу нүктелерін ... ... ... және ... анықтау керек.
* Жоғарыдағы зерттеулердің нәтижелерін кестеге (таблицаға) жазу ... және ... ... ... ... салу ... функциясын толық зерттеп, графигін салу керек.
* Функцияның анықталу облысы:
* Функция өзінің анықталу ... ... екі ... ... ... ... болады.
Үзіліс нүктелері және .
* , ... ... және ... ... ... вертикаль асимптоталары болып табылады. Әрі қарай
,
болғандықтан түзуі графиктің көлбеу асимптотасы болады.
* , сондықтан функция тақ, ал оның ... ... бас ... ... ... ... Функция периодты емес.
* Берілген функциясы анықталу облысында дифференциалданады, туындысы . , , нүктелерінде туынды нольге айналады. , ... , , ... . ... , , ... функция өседі, , аралықтарында кемиді.
Туынды және ... ... ... яғни олар ... нүктелері. нүктесінде туынды таңбасын > - тен - ке (аргумент өскенде) өзгертетін болғандықтан, бұл ... ... ... ... ... . ... ... таңбасын - тен > - ке өзгертетін болғандықтан, бұл ... ... ... ... ... .
* ... екінші туындысы . нүктесінде екінші туынды нольге айналады. , аралықтарында , ... бұл ... ... ойыс (дөңестігі төмен бағытталған). , аралықтарында , сондықтан бұл аралықтарда ... ... ... ... ... ... туынды нүктесінде таңбасын > - тен - ке өзгертеді, яғни нүктесі графиктің иілу (майысу) ...
* ... ... ... ... ... ... анықтаймыз. Функцияның графигінің осімен қиылысу нүктелерін табу үшін , яғни ... ... ... ... яғни ... графигі осін координаталар басында қиып өтетіндігі шығады. Функцияның графигінің осімен қиылысу нүктесін табу үшін функцияның нүктесіндегі мәнін ... , яғни ... ... осін ... ... қиып өтетіндігі шығады.
* ,.
* ... ... ... ... ... төмен
дөңестігі жоғары
Зерттеулердің нәтижелерін пайдаланып, функцияның графигін саламыз.
29165551252855
00
2171700224155у
00у
center216535
00 ... ... ... ең ... де, ... бірі ... екенін кіріспеде атап кеткенбіз. Бұдан ұғымы ұғымы мен ... ... ... ... ... екі ... ... яғни екеуі синоним деп қарастыруға болатынын көреміз. ... ... және ... ... ұғымына, функцияның түрлеріне жеткілікті деңгейде көңіл бөлініп, көптеген мәселелер белгілі бір ... ... ... Бірақ бір өкініштісі, функцияның анықталу облысы, мәндерінің облысы, өсу және кему аралықтары, иілу нүктесі, ең ... және ең кіші ... ... бір аралықтағы), графигі және тағы басқа да мәселелерді жаттап алу негізінде үйретіледі. Функцияның құрылымы, оның ... және ... ... ... ... ... бөлінбейді. Ғылым мен техникада, жалпы өскелең ұрпаққа математика саласынан білім беруде тақырыбын жетік меңгеруге көп пайдасын тигізетін ... ... ... ... ... сай) үстіртін қарастырылады. Өмірде, техникада кездесетін көптеген құбылыстар үзіліссіз екендігін ескерсек және бұл құбылыстарды математикалық ... ... ... ... ... дифференциалданатын функциялар болатындығын еске түсірсек, онда біз туынды ... ... ... ... ... ... ... жеткіліксіз дәрежеде оқытылып жүргенін, мектеп оқушыларының әр түрлі деңгейдегі математикалық кештер, конкурстар мен олимпиадаларда және ... ... ... ... нәтижелерінен байқауға болады. Сонымен қатар, педагогикалық институттар мен университеттерді , және ... ... ... ... де көпшілігі функциялардың туындыларын табуда және туындыны нақты есеп ... ... ... білу ... келгенде қиналып қалады.
Дипломдық жұмыста
* Оқушыларда функцияның туындысы ... ... мен ... жүйелеу.
* Функцияның туындысының бар болуының қажетті шартын талдау.
* Функцияның туындысын оқып-үйренудің жалпы математиканы оқып-үйренгенде алатын орнын көрсету.
* Функцияның ... ... ... ... ... ... мәселелер қарастырылған.
Дипломдық жұмыста туындыны есептеу тәсілдері егжей-тегжейлі қарастырылған. Біз ұсынып отырған тәсіл өте ... ... ... және ... үнемдеуге мол мүмкіндік береді. Ал Ұлттық Бірыңғай Тестілеуге қосатын жасөспірімдерге (талапкерлерге) уақыт үнемдеудің ... мен ... ... ... ... ... ... Бірыңғай Тестілеуде математика пәнінен базалық оқу құралы болып табылатын Қазақстан Республикасының ... және ... ... Білім беру мен тестілеудің мемлекеттік стандарттарының ұлттық орталығы (БТМСҰО) ... ... оқу ... ... арналған (Алматы-2000) оқу әдістемелік құралында функцияның туындысын есептеуге, кризистік ... ... ... ... өсу және кему ... ... дөңестік және ойыстық аралықтарын табуға, иілу нүктелерін табуға, түзудің бұрыштық коэффициентін табуға және функцияның графигіне берілген нүктеде жүргізілген жанама теңдеуін ... ... ... ... сонымен қатар осы және осы тектес есептер 2000-2014 жылдар аралығында бақылау сынақтары мен емтихандарға жиі енгізілді.
Функцияның туындысы ... ... ... және ... функциялардың қасиеттерін туынды ұғымымен тікелей байланыстыра оқыту барысында меңгерген оқушы математикалық анализді, сонымен қатар математиканың ... ... ... ... және ... меңгеруге деген құлшыныс пайда болады деген қорытынды жасауға болады.
Қолданылған әдебиеттер тізімі
1. Жәутіков О.Ә. Математикалық ... ... - ... Мектеп, 1958.
2. Ибрашев Х.И., Еркеғұлов Ш.Т. ... ... ... 1-бөлім. - ... Каз. уч. пед. изд., ... ... Б.Т. ... ... ... ... 1-бөлім. - Алматы: Мектеп, 1973.
4. Темірғалиев Н. Математикалық анализ. 1-бөлім. - ... ... ... ... А.Н. ... және анализ бастамалары. 10-11 сыныптар. - Алматы: Мектеп, 2001.
6. Шыныбеков Ә.Н. Алгебра-9. - ... ... 2005.
7. ... Қ.Д., ... А.Е., Есенова М.И., Тұрлыханова М.А. Анализ бастамалары: Оқу ... - ... ... ... ... ... ұлы ... Ұлы математика курсы. 1-ші бөлім. - Алматы: РБК, 1995.
9. Қабдықайыр Қ. Жоғарғы ... - ... РБК, ... Искаков М.Ө. Математика мен математиктер жайындағы әңгімелер. 3-ші кітап. - Алматы: Мектеп, 1971.
11. ... Т. ... ... /дифференциалдық есептеу/. - Алматы: ... ... ... ... Колягин Ю. М. Методика преподавания математики в средней школе: Частные методики. - М.: ... ... ... А.Б. ... арналған математика. 1-ші том. - Алматы: Экономикс, 2006.
14. Ивашев-Мусатов О.С. Начала ... ... - М.: ... ... Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч.I. - М.: ... ... ... ... Н.Я., ... О.С., ... С.И. ... и математический анализ - 10. - М.: ... ... ... В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. - М.: Просвещение, 1998.
18. Галицкий М.Л., Мошкевич М.М., Шварцбурд С.И. ... ... ... алгебры и математического анализа. - М.: Просвещение, 1998.
19. Шарыгин И.Ф., ... В.И. ... курс по ... ... ... ... - М.: Просвещение, 1991.
20. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике. Решение ... ... - М.: ... ... ... Г.Н. ... по математике для поступающих в вузы. - М.: ... ... ... Л.В. ... ... Беседы об основных понятиях. Пособие для учащихся. - М.: Просвещение, 1979.
23. ... И. С. ... ... в 8-10 классах. Книга для учителя. - М.: Просвещение, 1987.
24. Канин Е.С. Приложения производной. - М.: ... ... ... Л.С. Математический анализ для школьников. - М.: Наука, 1988.
26. ... П. Г. О ... ... ... при ... ... // Математика в школе. - М.: - 1993. - ... ... А.Н., ... О.С. ... ... ... ... и их пределы. // Математика в школе. - М.: - 1975. - №2.
28. ... М.Д. ... на ... ... производной. // Квант. - 1979. - №2.
29. Сатыбалдиев О. Математикалық анализ курсында ... ... ... // ИФМ. - ... - 2001. - №3.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Көлемі: 40 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 3 200 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Туынды ұғымын оқып үйренуде тарихи мағлұматтарды пайдалану28 бет
Авторлық құқық. Сабақтас құқық туралы жалпы түсінік28 бет
Авторлық құқықтың ұғымы және қатынастардың реттелуі59 бет
Тұжырымдар алгебрасы41 бет
Қылмыстық процестегі дәлелдемелердің ұғымы мен маңызы76 бет
Әдеби портрет ұғымының әдебиетте қолданылуы93 бет
Архетиптік ұғымдардың ХІХ ғасырлардағы ақын-жыраулар туындыларында көрініс34 бет
Архетиптік ұғымдардың ХІХ ғасырлардағы ақын-жыраулар туындыларында көрініс беруі36 бет
Алғашқы қауымдық және дәстүрлі өнер дегеніміз не?4 бет
C# Тілінің негіздері32 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь