Матроидтарда қолданылатын алгоритм

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 2
І тарау. Матроидтарда қолданылатын алгоритм

1.1 Матроид түралы ұғым ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 3
1.2 Циклдер матроиды, Еркін матроид, Бинарлы матроид ... ... ... ... ... ... ... 3
1.3 Бағаналық матроид ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 4

ІІ тарау. Негіздер мен қарапайым циклдар

2.1 Матроидтың қарапайым циклі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6
2.2 Салдарлары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 7
2.3 Матроидтар мен комбинаторлық тиімділендіру ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 7

Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 13

Пайдаланылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 14
Кіріспe
Алгоритмда сараң алгоритмдер маңызды рөл ойнайды, олар түсіну мен жүзеге асыру үшін қарапайым салыстырмалы жылдам жұмыс жасайды, сараң алгоритмнің көмегімен шешуге болатын көптеген әр алуан тапсырмалар белгілі. Дегенмен, көптеген тапсырмалардың нақты шешемін табу үшін сараң алгоритмді қолдану мүмкіндігін барлық уақытта дәлелдеу мүмкін емес. Бұл мақалада сараң алгоритмдердің теоретикалық негізі - матроидтер теориясы қарастыратын болады. Оның көмегі арқылы барынша жиі сараң алгоритм қолдануы мүмкіндігін орнатуға болады. Кейін анықгалғандай ол үшін көпшілік зерттеулер матроид болып табылатындығы қажет. Алдымен матроидқа анықтама беріледі, сосын матроидтармен тікелей байланысты бірқатар стандарттық тапсырмалар қарастырылатын болады.
Циклдер матройды
- Матроид бірқатар бағаналар қабырғаларының мәнінің элементтері, ал негіздер бұл бағана каркастары; матроидтар циклі ретінде бағаналардың іргетастық циклдары қызмет етеді.
Еркін матроид
- Е көбейтіндісінің өзі жалғыз ғана негіз ретінде қызмет ететін матроид.
Маршрут
- Кезектесуші жүйелілік
a=v0, e1, v1, e2, …, vn-1, en, vn=b
Бағаналардың биіктіктері мен қабырғалары осындай е=(v-1, v), маршруттар биіктіктерді біріктіреді дейді. а және b маршрут соңы. Бұл жерде маршрутты тек олардың биіктіктерін есептеумен беруге болады.
а = v0, v1, …, vn=b немесе оның қабырғалары е1, е2, ..., еп соңғы егер
оған енетін қабырғалар саны әрине қарама-қарсы жағдайда аяқсыз.
Аяқсыз n. тек бір ғана нүктесіне ие және бір жақты аяқсыз маршрут деп аталады. Аяқсыз биіктіксіз n. екі жақты аяқсыз нүкте деп аталады.
Бинарлы мартоид
-Тұтас сандар бойынша көрсетілген матроид бағана кесіндісі матроиды мен циклді матроид және графикалық матроид бинарлы деп аталады.
Келісімділік
Әңгіме үшін алдымен осы мақалада қолданылатын терминдер себебі бойынша бағытталуы қажет. Графада цикл деп ондағы әрбір жабық жолдарды атаймыз. Онда бағана қабырғаларының әрбірі бір реттен көп кездеседі. Барлық қарастырылған бағаналар бағытталмаған. Бағаналардың бағаналық матроидтарын М деп белгілейміз. Матрицаның векторлы матроидын М (А) деп белгілейміз.
Матроид туралы ұғым
Келесі матрицаны қарастырамыз.
1001000
0101110
0010110
Е көбейтіндісін анықтаймыз. Матрица бағаналырының {1,2,3,4,5,6,7} нөмірлерден тұратын көбейтінді сияқты, ал 1 көбейтіндісін, Е көбейтіндісінен тұратын көбейтінді сияқты. Олармен анықталатын векторлар R заттық сандарының аймағы үстінде тәуелсіз сызықтық болып табылады. Тұрғызылған 1 көбейтіндісі қандай қасиеттерге ие деген сұрақты қоямыз.
1.Бір көбейтіндісі бос емес. Тіпті егер не бастапқы көбейтіндісі бос болса да - Е=□, егер 1 бос орынға ие көбейтіндінің бір элементінен тұрады.
і = {{□}}.
2.Бір көбейтіндісінің кез келген элементінің кез келген көбейтіндісі осы көбейтінді элементі болады. Бұл қасиет түсінікті - егер векторлардың бірқатар жиынтығы аймақ үстінде сызықтық тәуелсіз болса, онда оның кез келген жиынтығы сызықтық тәуелсіз болады.
З.Сондай-ақ бір көбейтіндісінде тағы да бір маңызды және превиальды емес қасиет бар. Егер X, Ү I, әрі [Х]=[Ү]+1, бұл кезде х Х-Ү, элементі бар. Тағы мұндай Ү□{х}□I бұл кезеңде ол біршама қызғылықты және таңғаларлық болып көрінеді. Кейіннен бұл түсінікті болады.
Матроид ұғымының өзін анықтауға өтеміз. Матроид деп – матроидтың тәуелсіз көбейтінділерінің көбейтіндісі деп аталатын 1 көбейтіндісінің және матроидтың негіздік көбейтіндісі деп аталатын Е соңғы көбейтіндісінен тұратын Е I көбейту сыңарларын айтады. Әрі 1 жоғарыда айтылған 3 қасиетті қанағаттандырады. №2 қасиет мұрагерлік қасиет деп те аталатындығын айту қажет.
Қарастырылым мысалда сызықтық тәуелсіз бағаналар көбейтіндісі шындығында да матроид болып табылатындығын дәлелдейміз. Бұл үшін матроид анықтаудын үшінші қасиетті дәлелдеу жеткілікті. Қарсы әдіс дәлелдемесін жүргіземіз.
Дәлелдеме. Х,Ү І [Х]=[Ү]+1 болсын. w Х□Ү қамтитын вектор кеңістігі болсын. Оның өлшем бірлігі [X] кем емес болуы керек. Ү□{х} барлық х Х-Ү үшін сызықтық тәуелсіз болады деп болжамдайық. Онда Ү w кеңістігінде негіз түзеді. Бұл жерде [X] dim W [Ү]. Дегенмен, X және Ү шарттары бойынша сызықтық тәуелсіз векторлардан тұрады және [Х]>[Ү], қарама-қайшылық аламыз. Векторлардың мұндай көбейтіндісі матроид болып табылады. Оны кейде векторлық матроид деп те атайды.
Бағаналық матроидты қарастырамыз
Бағаналар бағытталмаған және 4 биіктікпен тесік болып табылатын 7 қабырғадан тұрады. Айталық Е осы бағана қабырғаларынан тұратын көбейтінді болсын, Е={1,2,3,4,5,6,7}, ал I бағана циклі өзіне әрбір элементті иеленбейтін Е көбейтіндісінің көбейтіндісі болады. Бұл сыңар матроид болып табылады. Оны бағаналы матроид дейді және М(G) белгілейді.
Пайдаланылған әдебиеттер:
1. В.П.Сигорский. Математический аппарат инженера. – К., «Техника», 1975, 768 с.
2. Ю.Н.Кузнецов, В.И.Кузубов, А.Б.Волощенко. Математическое программирование: учебное пособие. 2-е изд. Перераб. И доп. – М., Высшая школа, 1980, 300 с.
3. Е.В.Маркова, А.Н.Лисенков. Комбинаторные планы в задачах многофакторного эксперимента. – М., Наука, 1979, 345 с.
4. Е.П.Липатов. Теория графов и её применения. –М., Знание, 1986, 32 с.
5. В.М.Бондарев, В.И.Рублинецкий, Е.Г.Качко. Основы программирования. –Харьков, Фолио; Ростов на Дону, Феникс, 1998, 368 с.
        
        Мазмұны
Кіріспе
............................................................................
...................................... 2
І тарау. Матроидтарда қолданылатын алгоритм
1. Матроид түралы ұғым
.......................................................................
.......... 3
2. ... ... ... ... Бинарлы матроид
........................... 3
3. Бағаналық матроид
.......................................................................
............... 4
ІІ тарау. Негіздер мен қарапайым циклдар
2.1 Матроидтың қарапайым циклі
................................................................... 6
2.2 Салдарлары
............................................................................
...................... 7
2.3 Матроидтар мен ... ... ... ... ... 14
Кіріспe
Алгоритмда сараң алгоритмдер маңызды рөл ойнайды, олар ... ... ... үшін ... ... жылдам жұмыс жасайды, сараң
алгоритмнің көмегімен шешуге болатын көптеген әр алуан ... ... ... ... нақты шешемін табу үшін сараң алгоритмді
қолдану мүмкіндігін барлық ... ... ... емес. Бұл мақалада сараң
алгоритмдердің теоретикалық негізі - ... ... ... Оның ... ... барынша жиі сараң алгоритм қолдануы мүмкіндігін
орнатуға болады. Кейін анықгалғандай ол үшін ... ... ... табылатындығы қажет. Алдымен матроидқа анықтама беріледі, сосын
матроидтармен ... ... ... ... ... болады.
Циклдер матройды
- Матроид ... ... ... ... ал ... бұл ... каркастары; матроидтар циклі ретінде
бағаналардың іргетастық циклдары қызмет етеді.
Еркін матроид
- Е ... өзі ... ғана ... ... ... ететін матроид.
Маршрут
- Кезектесуші жүйелілік
a=v0, e1, v1, e2, …, vn-1, en, ... ... мен ... ... е=(v-1, v),
маршруттар биіктіктерді біріктіреді дейді. а және b ... ... Бұл ... тек ... ... есептеумен беруге болады.
а = v0, v1, …, vn=b немесе оның ... е1, е2, ..., еп ... ... ... ... саны әрине қарама-қарсы жағдайда аяқсыз.
Аяқсыз n. тек бір ғана нүктесіне ие және бір ... ... ... ... Аяқсыз биіктіксіз n. екі жақты аяқсыз нүкте деп аталады.
Бинарлы мартоид
-Тұтас сандар бойынша ... ... ... ... ... ... ... және графикалық матроид бинарлы деп аталады.
Келісімділік
Әңгіме үшін алдымен осы мақалада қолданылатын терминдер ... ... ... ... цикл деп ... ... жабық жолдарды атаймыз.
Онда бағана қабырғаларының ... бір ... көп ... ... ... ... ... бағаналық матроидтарын
М деп белгілейміз. Матрицаның векторлы матроидын М (А) деп ... ... ... ... ... ... ... Матрица бағаналырының {1,2,3,4,5,6,7}
нөмірлерден тұратын көбейтінді ... ал 1 ... ... тұратын көбейтінді сияқты. Олармен анықталатын векторлар R
заттық ... ... ... ... ... болып табылады.
Тұрғызылған 1 көбейтіндісі қандай қасиеттерге ие деген сұрақты қоямыз.
1.Бір көбейтіндісі бос ... ... егер не ... ... бос ... - Е=□, егер 1 бос ... ие ... бір элементінен тұрады.
і = {{□}}.
2.Бір көбейтіндісінің кез келген элементінің кез келген ... ... ... ... Бұл ... ... - ... ... ... ... ... сызықтық тәуелсіз болса, онда
оның кез келген ... ... ... ... бір көбейтіндісінде тағы да бір маңызды және превиальды ... бар. Егер X, Ү I, әрі ... бұл ... хХ-Ү, ... Тағы ... Ү□{х}□I бұл кезеңде ол біршама қызғылықты және таңғаларлық
болып көрінеді. Кейіннен бұл түсінікті болады.
Матроид ұғымының өзін анықтауға өтеміз. Матроид деп – ... ... ... деп ... 1 ... ... ... көбейтіндісі деп аталатын Е соңғы көбейтіндісінен
тұратын Е I ... ... ... Әрі 1 ... ... 3 қасиетті
қанағаттандырады. №2 қасиет мұрагерлік ... деп те ... ... мысалда сызықтық тәуелсіз бағаналар көбейтіндісі
шындығында да матроид болып табылатындығын ... Бұл үшін ... ... ... дәлелдеу жеткілікті. Қарсы әдіс дәлелдемесін
жүргіземіз.
Дәлелдеме. Х,ҮІ [Х]=[Ү]+1 болсын. w Х□Ү ... ... ... Оның ... ... [X] кем емес ... керек. Ү□{х} барлық хХ-Ү
үшін сызықтық тәуелсіз болады деп болжамдайық. Онда Ү w кеңістігінде негіз
түзеді. Бұл жерде [X] dim W [Ү]. ... X және Ү ... ... ... ... тұрады және [Х]>[Ү], қарама-қайшылық
аламыз. Векторлардың мұндай ... ... ... ... Оны кейде
векторлық матроид деп те атайды.
Бағаналық матроидты қарастырамыз
Бағаналар бағытталмаған және 4 ... ... ... ... ... тұрады. Айталық Е осы бағана қабырғаларынан ... ... ... ал I ... ... ... ... элементті
иеленбейтін Е көбейтіндісінің көбейтіндісі ... Бұл ... ... табылады. Оны бағаналы ... ... және ... ... 6 ... ... ал АG - оның ... матрицасы. Егер де АG
-ді аймақ ішіндегі ... ... ... ... {0, 1}, ... ... ... модуль бойынша орындалады, осы кезде АG -
құрастырылады. Векторлық ... ... ... жоқ ... ... көптеген қабырғаларға ие болады және М(G)=М[АG].
Дәлелдеме. Х□АG X циклға ие болған жағдайда ғана ... ... ... ... X өзіне С циклін иемденетіндігін болжаймыз.
Егер С - тесік болса, онда X нөлдік векторға ие ... және ол ... ... ... С ... емес ... онда осы ... әрбір биіктік
С-ның екі қабырғасына сәйкес болады және екінші модуль бойынша векторлар
жиынтығы нөлдік вектор болады. Осының ... X ... ... болады.
Енді X сызықтық тәуелсіз деп болжамдаймыз. D және X ... ... ... Егер де D ... ... ... болса, онда X
тесікке және циклға ие болады.
Егер де D нөлдік векторға ие болмаса: өйткені {0, 1} ... ... ... емес элемент - 1 бар болады, онда D-дағы векторлар жиынтығы
нөлдік вектор болып ... Бұл D ... ... ... ... ... Осы ... D цикл қабырғаларына ие
екендігі көрінеді және егер қандай да бір ... D ... ... онда ... ... тағы да бір оған инцидентті қабырға бар болады.
Аяғында d1 қабырғасын аламыз және v0 v1 ... осы ... ... ... v1 ... d2 ... бір ... инцидентті
болсын. Айталық v2 биіктігі d2 қабырғасының ... ұшы ... Осы ... ... екі ... алынады – v0, v1, ... d1, d2, ...
биіктіктер саны мен D аяқты болатындықтан, мұнда v ... ... ... ... Бұл ... ... ... цикл табылады. Сәйкес циклмен
X табылады.
Негіздер мен қарапайым циклдар
Тікелей матроидтардың ... ... әр ... міндеттерді шешуге өту үшін
осы теориядан тағы да бір маңызды ... ... ... ... ... матроидтардың максималды тәуелсіз көбейтінділері.
Матроидтың қарапайым циклі - ... ... ... ... ... - М ... барлық мүмкін базаларынан тұратын
көбейтінді, оны ВМ деп ... және М ... ... ... ... тұратын көбейтінді, оны СМ деп ... ... ... ие ... бұл екі ... ... матроидты толығымен анықтай алады.
Теорема - 2
X көбейтіндісі ... екі ... ... жағдайда ғана М матроид
базасының көбейтіндісі болып табылады:
1. В ... бос ... де В1, ... х□В1, - В2 болса, онда □В2-В1 бар болады. Бұл кезде (В1-
х)□{у}□В.
Дәлелдеме. Онда келтірілген екі ... ... ... В ... базаға
ие екендігін дәлелдеу ... ... ... ... ... В1□В ... I элементі бар. Ол мұндай
В1□{I}□В, І=В1-В. Дегенмен бұл кезде Ү□В-(В□{I}) элементі жоқ болады.
Айталық В - ... ... екі ... те орын ... ... қасиет көрініп тұр. Екінші қасиетті қарастырамыз, х В1-
В2 бірақ В2-В1 жоқ болады, мұнда В1-х {y} В ... бұл ... ... ... ... ... және мұндай бар болу
тиіс.
Салдарлары
Кез келген базаның қуаттылығы екі қасиет бойынша бірдей болып ... ... деп оның ... ... ... - 3
С ... келесі үш қасиет орындалған ... ғана ... ... ... ... табылады:
1. С элементтерінің ешқайсысы бос көбейтінді болып табылмайды.
2. С-ның ешқандай элементі С-ның басқа ... ... ... Егер де С1 және С2 ... □ С және е □ С1 □ С2 ... онда
(С1□С2) - е қандайда бір С1 элементіне ие болады.
Дәлелдеме.
Келтірілген екі ... ... ... оны өз ... ... мен комбинаторлық тиімділендіру
Матроидтар комбинаторлық тиімділенген байланысты тапсырмаларға және шешімі
сараң алгоритмдерге негізделген тапсырмаларда кең ... ... ... қарастырамыз: менеджерде m бір адам үшін J1, J2,
J3, Jm бір күндік жұмыс бар және ол ... бір ... ... ... n ... ие. ... оның ... бір күн ішінде қандай
максимальды жұмыс көлемін орындауға қабілетті екенін ... ... ... бұл ... бір ... рангы болады.
Айталық А - қандайда бір Е көбейтіндісінің көбейтіндісі. Мысалыға,
айталық А=({1,2,4}, ... {5,6}, {7}, ... ... Е ... Е - {Х1, Х2, ...., Хk} ... деп ... егерде Ф мен {1,2, .... k} {1,2, ..., m} ... ... бар ... әрі xi□ АФ(i) кез ... і ... Егер ... онда мұнда жартылай трансверсан трансверсаль деп ... ... ... ... ... онда бұл ... сол ... А үшін трансверсаль болады.
Теорема - 4
Айталық А Е ... ... бір ... Ал 1 - ... ... ... ... Онда Е сыңары, 1
- матроид.
Дәлелдеме
Жартылай трансверсальдың ... ... - ... ... ... де жартылай трансверсаль. Сондықтан матроидтардың алғашқы
екі қасиеті орындалады. Матроидтардың үшінші қасиетін дәлелдеу үшін ... ... ... Ол ... ... ... ... суретте белгіленеді. Айталық сол жақтағы биіктіктер Е көбейтіндісінің
элементтеріне ал оң жақтағы биіктіктер А ... ... ... Оң ... сол ... ... сол үлестің сәйкес элементі оң
үлес сәйкес элементіне жататын жағдай да ғана ... ... ... және ... сыңарлар сәйкестігінен Х-қа сәйкес қабырғаны көк
түске, ал Y-ге сәйкесін қызыл ... ... әрі ... ... сәйкес
қабырғалар күлгін түске боялатын болады. Осылайша [X-Y] қабырғалары көк
түске, [Y-X] қызыл ... ... және ... ... ... Бастапқы бағанадан қызыл және көк ... H ... ... ... ... екі көк және қызыл
қабырғаға не бір көк немесе қызыл қабырғаға сәйкес енеді. ... ... ... не жол, не ... және көк ... ... ... көрінеді. Бағаналар екі үлесті болғандықтан кез келген ... жұп ... ... Өйткені көк қабырғалар қызылға қарағанда
бір санға артық, мұнда көк қабырғамен басталатын және аяқталатын жол ... Бұл ... H` ... Н-ді көк және ... түске боялған
қабырғалар бағанадағы сыңарлар үйлесімдігін түзетіндігін аламыз. Ары ... ... осы ... ... ... Y□{x} ... ие
болатындығын көрсету оңай, мұнда Х-бұл Х ал Y-ден бірқатар элемент. Бөлім
басында қойылған ... ... ... ... ... бір күн ішінде жұмысшылар орындай алатын максимарды жұмыс көлміне
тең екі ... ... ... сыңарлар үйлесімі қуаттылығына сәйкес
болады.
Салдар-1
В матроидтың кез келген негізі үшін М(Е) және кез ... ... Bp ... бір ... ие және бұл цикл p ... ... қадамда біз қос матроид ұғымын қарастырамыз.
Бұл қадамда біз сараң алгоритм ұғымын ... Е - бос емес ... ... және w - R ... ... Е ... w (е) санын еЕ элементінің салмағы ... ... Кез ... бос емес ае ... w (А) А ... ... деп атайтын боламыз.
Бірқатар жиынтығын ең болмағанда бір бос емес ... бар ... В-ға ... ... көбейтінділік енгізілім жартылай
реттелген көбейтіндісі ретінде қарайтын боламыз. Элементтер қолайлылығы
үшін жартылай реттелген көбейтінді 1 ... деп ... ... ... В ... ... ... яғни нысан
көбейтіндісі нысан болып табылады деп санайтын боламыз.
Келесі тапсырманы қарастырамыз: жартылай реттелген көбейтіндіде В ... ... ... ... ... құрастырады.
Нысандар ұяшығына қандай жағдайларда келесі алгоритм берілген тапсырманы
шешетінін зерттейміз.
Сараң алгоритм.
7. е1, ... ... ... аз ... ... ... ол ... {e1,}B.
8. Айталық е1,..., еi-1, элементтері ... ... ... ... аз ... ... ... таңдаймыз. Ол мынадай:
және
9. Мүмкін болғанға ... ... ... ... Үрдіс міндетті түрде
аяқталады және максималды нысаны құрастырылады.
Айталық В - М=М(G) матроидының ... ... Бұл ... В сәйкес коостово
деп те атайды. Лемма екі күшімен М(G) матроидының ... ... ... және тек сол ... ... көбейтіндісі, олар әрбір негізбен
бос емес қиылысуға ие. Демек, М(G) Ко ... ... - ... ... бос ... ... кезінде қирайтын сол және тек сол
қабырғалар көбейтіндісі, яғни ... ... саны ... М(G) Ко ... ... - бағана қабырғаларының нақты
кесуші көбейтінділері, ал онда көп циклдер – бұл кесінділер. Демек, циклдер
мен ... ...... ... қос ... М*(G) ... М(G)
матроидына қосарлы, G бағанасының кесінді матроиды деп аталады.
Кез ... Т ағаш үшін М(Т) ... бос, ал M*(Т) ... ... ... Келесі бағана циклдары матроидын қарастырамыз:
Сурет-1. бағана мысалы.
1. E = {е1,е2,е3,е4,е5} – матроидтың негізгі көбейтіндісі;
2. ... ... ... - ... бекінісі;
3. B2={е1,е5},= {е2,е5},= {е3,е5} – кобаз көбейтіндісі;
4. {е1,е2}, {е1,е3}, {e2,e3},{e4} – ... ... ... ... Ko ... ... Келесі қадамды біз сараң
алгоритм ұғымына анықтама ... - ... ... қанағаттандыратын Е бос ... ... X ... ... ... ... ғана М
матроид циклі болып табылады:
кез келген ко цикл үшін С*.
Дәлелдеме.
Егер X матроид циклі болып табылса, онда 4 лемма ... ... ... қанағаттандырады. Ал 3 лемма күшімен қажетті минимальдылықта орын
алады.
Керісінше айталық X - көрсетілген қасиетті қанағаттандыратын Е бос ... ... ... көбейтінді. 4 лемма негізінде және X
минимальдылығында Х=С аламыз. Егер Е бос емес ... бір ... ... Е ... ... болсақ, онда сірә еркін немесе
дискретті матроид деп аталатын Е ... ... ... Ind = Р(Е)
Е1 матроиды еркін матроидқа ... және ... ... ... Ол бір ғана ... ... және жалғыз негіз - бос
көбейтіндіге ие, сондықган r(А) = 0 кез ... үшін оның ... ... көбейтіндісі болып табылады.
Айталық G ... ... емес ... (п, т,к). M ... ... G ... көбейтіндісінде қарастырамыз.
Бұл матроид ... оның ... ... бағана қабырғаларының
көбейтіндісі болады. Сірә, матроид рангасы r(М) = п-k G ... ... ал оның ... r*(М) = т-r(М) = т-п+k G ... санымен сәйкес келеді.
Қорытынды.
Менің бұл курстық ... ...... ... ... оның ... мен ... бар, оларға қысқаша
сипаттамалар беріп кеттім. Олардың ... ... ... бар. ... ... орта мектеп оқушыларына және сонымен қатар жоғарғы оқу
орнының студенттеріне ... ... ... ... деп ... ... ... есептерді шешуде қолдануға болады.
Бұл жұмысты орта оқу ... ... ... ... ... оқу ... ретінде де қолдануға болады.
Үнемі алгоритмдердің мақсаты – берілген есептерді ең ... ... ... мен шеше ... ... ... тез ... табылады. Бұл жұмысқа көп материалдар таба алмадым, бірақ аз ... ... ... бұл ... ... тест сұрақтарын
енгізуге де болатын еді, бірақ, өкінішке орай уақыттың ... ... ... ... ... Бірақ, келешекте оған тест сұрақтарын енгіземін ... ... тест ... ... ... онда бұл жұмысты ... ... ... ... беруге болады.
Пайдаланылған әдебиеттер:
1. В.П.Сигорский. Математический аппарат инженера. – К., «Техника», 1975,
768 с.
2. ... ... ... Математическое
программирование: учебное пособие. 2-е изд. Перераб. И доп. – ... ... 1980, 300 ... ... ... Комбинаторные планы в ... ... – М., ... 1979, 345 ... ... ... графов и её применения. –М., Знание, 1986, 32 с.
5. В.М.Бондарев, В.И.Рублинецкий, ... ... ... ... Ростов на Дону, Феникс, 1998, 368 с.
-----------------------

Пән: Информатика
Жұмыс түрі: Реферат
Көлемі: 12 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 400 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Бір өлшемді массивтерді сұрыптау алгоритмдері16 бет
Массивтер жайлы5 бет
Delphi ортасында программалау29 бет
DES (Data Encryption Standard) алгоритмін талдау21 бет
DES алгоритмі20 бет
DES шифрлеу10 бет
HTML тілі көмегімен Web-парақтарды жасау технологиялары21 бет
Turbo Pascal жүйесінде жолдарды ұйымдастыру технологиясы22 бет
Turbo Pascal жүйесіндегі графиканы ұйымдастыру технологиясы21 бет
«12 жылдық мектептің бастауыш сыныптарында «Алгоритм» тақырыбын оқытудың әдістемесі»»50 бет


Исходниктер
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь