Сызықтық бағдарламалау есептерінің графиктік түсіндірмесі

1. Кіріспе.
2. Негізгі бөлім
2.1.Проблемалық есептің қойылымы
2.2. Есептің математикалық моделін құру
2.2.1. Әдісті таңдау негізі
2.2.2. Есеп модельдерінің сандық берілуі
2.3. Әдісті таңдау негізі
2.4. Модельді жүзеге асырудағы таңдалған әдісті сипаттау
2.5. Проблемалық есепті шешу алгоритмі
2.6. Проблемалық есеп алгоритмін жүзеге асыру
2.7. Алынған нәтиженің сараптамасы
3. Қорытынды
4. Қолданылған әдебиеттер тізімі
5. Қосымша (программа листингі, блок.схема)
1. Кіріспе.
Соңғы жылдары халық шаруашылығын тиімді басқаруда матиматикалық әдістер мен есептеуіш техникалар жиі қолданылуда, Есептеуіш техникаларды дұрыс пайдалану үшін, экономиканың әртүрлі саласында болатын заңдар мен құбылыстардың ағымын біліп қана қою жеткіліксіз. Ол үшін шаруашылықты басқаруға қажетті барлық ақпараттар мен мәліметтерді белгілі бір математикалық өрнектер түрінде бейнелеу қажет.
Зерттегелі отырған экономикалық процесті немесе құбылысты белгілі бір математикалық өрнектер түрінде бейнелеу дегеніміз – сол процестің немесе құбылыстың математикалық моделін құру деген сөз. Модель құру үшін экономикалық құбылыстар мен процестер белгілі бір дәрежеде абстракцияланады. Математикалық моделін құру барысында шаруашылықта болатын құбылыстар мен процестердің ең басты қасиеттері іріктелініп, математикалық өрнектер түрінде бейнеленеді.
4. Қолданылған әдебиеттер тізімі
1. В.В.Федорсева Экономико- математические методы и прикладны модели.
2. Ж.Ә.Құлекеев «Сызықтық программалау негіздері»
3. Н.Ш.Крамера “Исследование операции в экономике” 2000ж
4. Ә.Ж. Сапарбаев, Қ.А. Ахметов, А.Т. Макулова «Экономикалық әдістермен модельдер»
5. Акулич «Примеры, решение задач математического программирования»
6. И.Л. Ларинов «Планирование производство»
7. Балықбаев Т.О. “Математическое моделирование и инфармационые” Алматы АГУ. 1998г.
8. «Технологии Разроботки Програмного Обеспечения» С.А.Орлов, «Питер 2004»
9. «Delphi 6 и Kulix» Сергей Бобров, «Питер 2002»
10. В.Понамарев, «Самаучитель Delphi studio 7 », «БХВ-Петербург», Санкт-Петербург 2003ж.
11. «Программирование в Delphi» А.Я.Архангельский, «Бином 2006»
12. «Delphi в задачах и примерах» Никита Культин, «БХВ- Петербург 2004»
        
        1. Кіріспе.
Соңғы жылдары халық шаруашылығын ... ... ... мен ... ... жиі ... Есептеуіш техникаларды
дұрыс пайдалану үшін, экономиканың әртүрлі саласында ... ... ... ... ... қана қою ... Ол үшін шаруашылықты
басқаруға қажетті ... ... мен ... ... ... өрнектер түрінде бейнелеу қажет.
Зерттегелі отырған экономикалық процесті ... ... ... ... ... түрінде бейнелеу дегеніміз – сол процестің немесе
құбылыстың математикалық моделін құру деген сөз. Модель құру үшін
экономикалық құбылыстар мен процестер белгілі бір ... ... ... құру ... ... болатын
құбылыстар мен процестердің ең басты қасиеттері іріктелініп, математикалық
өрнектер түрінде бейнеленеді.
2. Негізгі бөлім
2.1.Проблемалық есептің қойылымы
Айталық, өндіріс орны үш топ ... ... ... ... ... және ... ... станоктар 400 сағат, II-топтағы
станоктар 360 сағат, ал III-топтағы станоктар 3200 сағат жұмыс атқара
алсын. Сонымен қатар бір дана әрбір затты шығаруға ... ... ... ... ... ... –кесте
|Станоктар |Бір дана затқа қажетті уақыт ... ... ... | |
| |І зат –А |ІІ ... |
|1 топ |0,4 |2 |
|2 топ |0,9 |1,2 |
|3 топ |10,0 |4,0 ... ... ... ... құру
2.2.1. Әдісті таңдау негізі
1. Белгілеулер енгіземіз:
1-ші затты – А заты, 2-ші затты – B заты деп ... ... ... ... ... ... ...
ІІ топтағы станок үшін:
ІІІ топтағы станок үшін :
3. ... ең ... ... табу ... ... ... х1 ≥ ... 0.
2.2.2. Есеп модельдерінің сандық берілуі
(1)
(2)
Мақсат функциясы:
(3)
Табу керек: x=(x1,x2)
А және В ... ... ... жасау және max пайда түсіретін
жоспарды табу.
2.3. Әдісті таңдау ... ... ... пәні ... ... ... қолданбалы математиканың ең негізгі бөлімі. ... ... ... ... ... ... ... көп
таралғаны, әртүрлі әдістері терең зерттелген бөлімі сызықты программалау
әдістері болып ... ... ... ... ең ... ... ... есептері дүние жүзінде бірінші рет 1930 жылдары
жарық көрді. Сызықты ... ... ... ... ... өте ... зерттеуге ыңғайлы.
Сызықты программалаудың дербес есебінің бірі – қатынас есебінің
дербес түрі ... ... ... ... бұл ... авторы
математик Эгервари болатын. Кейінірек келе бұл мақаланың негізінде ... ... ... ... үшін 1951 және 1956 ... ... ... Х.В. және Таккер А.В., 1957ж. жазылған Форд Х.Р. және ... ... ... ... Бұл ... ... есептерін шешуге арналған
әдістер көрсетілген, кейін келе әдебиеттерде бұл әдісті ... ... ... ... ... ... ... программалау атты термин алғаш
рет 1940 ... ... ... ... ... ... арнайы
есептерінің бірі 1941 жылы АҚШ-та басылып шықты, оның авторы Хичкок Ф.Л.
болатын.
Бұрынғы Кеңестер ... ... ... ... негізін
қалаушы академик Л.В. Канторович болды. Себебі оның ... ... ... ... ... есептері 1930 жылдардан ... шыға ... 1956 жылы ... Х.Р.Форд және Д.Р. Фалкерсон
Венгер әдісінің ... ... ... ... шешуге
арналған. Л. В. Канторович ұсынған потенциал әдісіне өте ... ... Ал ... Дж. Б. ... ... ... әдістерінің ішіндегі
әмебап симплекс әдісін жарыққа шығарды. Бірақ бұл әдістің Л.В.Канторовичтың
1939 ж. ұсынған, біртіндеп ... ... ... өте аз ... орай бұл әдісті ... ... ... да ... ... ... әдісін Дж. Дациг әдісі деп атайды.
Графиктік әдіс сызықты ... ... тек екі ... ... ... ал ... ... Теория жүзінде екі және ... бар ... ... ... ... ... кез келген
белгісізі бар есептер де графиктік жолмен шешіледі деп қарастыруға болады.
Өйткені егер ... саны екеу ... ... ... аймағы
жазықтықта жатқан дөңес көпбұрышты береді. Егер белгісіздің саны ... онда ... ... ... ... ... үш ... дөңес көп
жақтыны береді. Егер шектеуші шарттар мынадай белгісізден тұрса:
(i=1,2,…, m)
(j=1,2,…, n),
Онда осы шектеулер ... ... М ... ... ... ... n ... дөңес көпжақты деп қарастыруға болады. Бұл
жағдайда мақсат функциясы
Z-дің кез-келген тұрақты мәнінде ... ... ... ... ... ... үшін ... тақырыптағы кейбір белгілі
қағидаларды тағы да еске түсірейік. Мысалға, егер Z-дің мәні - ∞ тен + ... ... онда ... өзіне-өзі параллель жылжи отырып, М дөңес
көпжақтыға жетеді де, онымен бір нүктеде ... бір ... ... қиылысады, бұл нүкте «ену» нүктесі делінетіні алдыңғы тақырыпта
айтылды. Гипержазықтықты және өзіне-өзін параллель етіп, М ... ... ... Z-дің бір мәнінде, ол гипержазықтық М ... ... ... да (бұл ... «шығу» нүктесі делінетіні белгілі),
осыдан кейін М аймағынан шығып кетеді.
2.4. Модельді ... ... ... ... ... ... геометриялық (графиктік) шешу жолы қарапайым
сандық мысал бойынша қысқаша баяндалған. Осы ... ... ... ... ... ... ... шешу әдістерін
қарастырайық. Мысалға, екі белгісізді m- теңсіздіктермен ... ... ... ... ... ... ... моделінің жалпы түрі былай жазылады. Төмендегі шектеу шарттарын
қанағаттандыратын:
... ... ... ... ... ... ... үлкен (ең кіші) мәнін табу керек. Бұл есепті график бойынша шешу үшін,
ең алдымен бірінші теңсіздікті қарастырайық:
немесе ... және ... ... деп ... онда
осы теңсіздік жазықтықта қандай аймақты құрады деген сұрау туады.
Бұл сұрауға жауап беру үшін, ... ... Z ... Z түзуі барлық жазықтықты екі ... ... ... ... >0 ... ... ... жазықтың біреуі , ал екіншісі ... ал ... бұл ... екеуінде де жатады деп қарастыруға
боолады, өйткені екі ... де ... ... және ... ... ... Егер десек, онда ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... жазықтық Z түзуінен ... ... ... Z ... төмен жатады. Ал егер ... ... ... ... ... ... ... да, X-h=0
сызығы Z түзуінің оң немесе сол жағында ... ... ... ... ... ... беретінін анықтайық:
Шешуі. Берілген теңсіздікті былай жазамыз: демек ол ... оның ... ... ... ... ... ... (3.1-
сурет). Көрсетілген тәсілмен қалған теңсіздіктердің графигін сызуға болады.
Нәтижесінде, жарты жазықтықтардың қиылысуынан пайда болған (3.1) және ... ... ... ... ... ... көпбұрыштың барлық нүктелерінің координаттары (3.1) және ... ... ... және осы ... ... аймағы болып есептелінеді (3.2- сурет(А)).
3.2- сурет А-сурет
X X L
. . .. .. L
.. . .. ... . .. ..
1 .. . M .. .. L
L .. . .. ..
L . .. ... 1 ... екі ... ... ... ... түзуді гипер түзуі деп
атайды. Гипер түзуі ретінде Zтүзулерін қарастыруға болады. Есептің
(теңсіздіктердің) ... ... ... шектелмеуі де мүмкін (Б,В-
суреттер). Егер есепте ... ... ... мәні іздестірілінсе,
онда мұндай есептің анықталу аймағы ... ... ... ... ... ... функциясының максималды мәні болмайды.
Қандай жағдай болмасын есептің шешімі болуы үшін, M ... ... ... ... құрайтын шектеуші шарттар сызықтық
теңсіздіктер болғандықтан, M ... ... түзу ... ... Сондықтан есептің анықталу аймағы M жазықтықта
жатқан көпбұрыш.
Егер M аймағы барлық жағынан қоршалған (шектелген) аймақ ... ... (3.1) және (3.2) ... ... беретін аймақ деп есептелінеді.
Кейбір жағдайларда бірден барлық жарты жазықтықтарда жататын бір ... ... ... мүмкін: былайша айтқанда, M ... ... ... ... онда (3.1) және (3.2) ... ... бір-біріне
қарама –қайшы теңсіздіктер болып шығады (3.4-сурет).
M аймағының ерекше қасиеті- ол ... ... ... ... ... ... яғни дөңес аймақ деп те айтылатынына тоқталайық.
Егер M аймағы кез келген екі А және В ... ... сол А және ... ... ... ... нүктелерін қамтитын болса, онда ... ... ... ... ... а).б).
Берілген есептің анықтау аймағы қалай құрылатынынқарсатырдық. Енді
осы аймақта жатқан қандай нүкте мақсат функциясының оптималдық ... ... ... ... ... осы ... ... функциясының
экстремалдық мәніқалай табылады. Бқл дөңес М аймақта жатқан бір нүкте, яғни
табуымыз керек ... ... ... функциясының экстремалдық (максималдық
немесе минималдық) мәнін ... осы ... ... Егер ... (Z) ... бір d ... тең десек , онда сызықтық теңдеу
аламыз, ал оның графигі түзу сызық болатынын ... Егер ... ... ... өзгерте берсек, онда түзу сызығы өзіне -өзі параллель бола
отырып, бүкіл жазық аумағын сызып ... (3.6- ... М ... ... аймағы екен делік, ал мақсат функциясы өзіне
-өзі параллель ... ... М ... ... Бұл ... ... нүктесі
деп, А арқылы белгілейік. Мақсат функциясы ... -өзі ... ... ... М аймағының В нүктесіне жетсін. Бұл В нүктені шартты
түрде «шығу» нүктесі делік. ... ... Z ... ... ең
кіші мәні А нүктесінде, ал ең үлкен мәні М аймағының В ... ... тұр. ... және ... ... ... ... мүмкін, міне, осыған байланысты кей кездерде Z функцияның
графигі М аймағы мен бір ... (3.6- ... ғана ... ... ... Z ... ... бір ғана мәні болады., ол мән ... сол ... ... (А немесе В,б-сурет)
координаттарыныңмәнін енгізу арқылы ... ... , ... ... Ал кей ... ... ... өзіне-өзі
параллель жылжи отырып, М аймағының бір қабырғасының үстіне түсуі мүмкін (в-
сурет).Мысалы, 3.6- суреттің (в) жағдайында ... M ... ... ... ... бұл ... Z мақсат функциясының кіші мәні
шексіз, ал максималдық мән M аймағының D нүктесінде жалғыз болатындығы, ... (a) оған ... ... ... ... ... жағдайларда М аймағы ... ... ... ... осы ... Z ... максималдық мәні
болмайды (3.7-сурет,б). Ал M аймағы төменгі жағынан (жалпы ... ... мәні ... ... ... келешекте өте
қажет болатын сызықтық бағдарламалау әдісінің бір теоремасын дәлелдеусіз
айта кету қажет. Егер ... ... ... ... мәні
болса, ол мән шектеулі шарттардағы теңсіздіктер ... ... ... ... ... ең ... ... нүктелерінде жатады.
Жоғарыда біз шектеулі шарттардағы сызықтық теңсіздіктердің
шешулерінің шексіз көп ... ... М ... ... бойында сан жетпес көп ... ... ... де ... ... Мақсат функциясы Z-
дің сол аймақтағы оптималдық мәнін табу ... сол М ... ... ... (саны шексіз) мәнін тауып, бірі мен бірін салыстырып,
оның ішіндегі ең үлкен (ең ... ... ... алу. ... әрекеттер жасау
тәжірибе жүзінде орындалмайтын жұмыс, демек есеп ... ... сөз. ... ... ... бұл ... ... үлкен мүмкіндік береді. Бұл
теорема бойынша М аймағында жатқан барлық ... ... ... тек М ... көпбұрышынгың төбелерінің координаттарының мәндерін тапсақ
болғаны. Ал М ... ... ... саны ... оның саны ... теңсіздіктерінің санына байланысты (теңсіздіктердің санына тең).
Демек, енді ... ... ... ... жолмен табуға болады.
Жоғарыда оңай болу үшін екі белгісізі бар ... ... ... ... ... түзу сызықтар болғандықтан, М аймағы
жазықтықта жатқан ... ... ... ... ... саны ... онда ... теңсіздіктің графигі түзу сызық емес жазықтықтың ... ... М ... ... ... емес, жазықтықтардың
қиылысуынан пайда болған үш өлшемді кеңістіктегі ... дене ... Ал ... ... ... бұл жағдайда да өз мәнін жоймайды.
Мұндай жағдайда бір кеңістікті екі жарты кеңістікке ... ... деп ... Үш белгісізі бар сызықтық бағдарламалау есептерін
график әдісімен шешуге болады, ал белгісіздердің саны ... ... ... ... ... график әдісімен шешуге болмайды.
Күнделікті шығарып жүрген тәжірибелік ... ... ... ... жетеді. Мұндай есептерді шешу үшін, келесі тақырыптарда
қарастырылылатын айырым әдістері қолданылады.
Сызықтық ... ... ... ... ... түсініктерді математикалық әдіске қолдану оңай болу үшін жоғарыда
берілген қарапайым есептерді ... ... ... ... ... шешу ... бағдарламалау есебінінің графиктік шешімінің алгоритімі
мынадай:
1. ... ... ... ... ... шешімнің тиімді шарттарды қанағаттандыратынын тексеру.
Графиктік есепті шешу үшін бірінші теңсіздікті ... ... ... ... теңсіздіктерді қарастырып, осьтердің мәндерін табамыз.
3. мына сызықтық мақсат функциясының ... ... (ең ... мәнін табу керектігін білдіреді.
Ол үшін ең алдымен сызықты программалау есептерінің жалпы ... ... ... ... ... ... ... ... ... мақсат функцияның мәнін табу керек делік:
2.6. Проблемалық есеп алгоритмін ... ... шешу ... ... ... ... әдісін тәжірибелік есептерде пайдалану жайын қарастыру
үшін жоғарыдағы 2.4 тақырыпта келтірілген І-ші ... ... ... Мына ... ...
мына
мына функциясының максималдық мәнін график әдісімен іздейік.
Шешуі: Өстері және болатын тік бұрышты ... ... да, ... ... деп ... ... ... сызып,
сол түзулердің қиылысуынан пайда болған барлық теңсіздіктерге ортақ ... ... ... ... М ... ... ... жазайық: D(0;200), E(320;0), O(0;0). Ал N және K
нүктелерінің координаттары белгісіз, N ... І- ші және ... ... қиылысуынан пайда болып отырғындықтан, І- ші
және ІІ-ші теңсіздіктерді теңдеу деп қарап, олардың бір –бірімен қиылысқан
N нүктесінің координатын іздейік, яғни:
Бұл теңдеулерді шешу ... 1-ші ... 0,6-ға ... ... ... мына ... -дің мәнін табамыз: . Табылған
-дің мәнін екі теңдеудің кез-келген біреуіндегі - дің орнына
қойсақ табылады, ... N ... ... 182 және 164 тең, ... К ... ... табу үшін ... және ІІІ-ші
теңдеулерді қосып шешеміз:
=286, =85 болады, демек K(286;85). Бұл төбелерге сәйкес мақсат
функциясының мәндерін табалық.
1. O(0;0)- бұл төбедегі есептің экономикалық мәні ... ... ... ... де әлі ... қосылмаған, сондықтан ешбір өнім (зат)
шығарылмаған, олай болса өнімнен келетін пайда нөлге тең. Шынында да:
2. ... ... , , ... ... зат ... тек
екінші заттан 200 дана жасау керек дегенді білдіреді. Бұл жағдайда мақсат
функциясының мәні:
теңге болады, ал бұл жағдайда ... ... ... жоғарыда қарастырғанбыз (1-ші топтағы станоктың уақыты
толық пайдаланылады, 2-ші топтағы станоктардың 120 сағат ... ... ... 2400 ... уақыты пайдаланылмайды).
3. E(320;0)- бұл жағдайда , , демек 2-ші зат өндірілмейді, ал
1-ші заттан 320 дана өнім өндіріледі деген сөз. Бұл ... ... мәні 384 ... тең (3-ші ... станоктар толық
пайдаланылады, ал 1-ші топтағы станоктардың 72 ... ... ... ... ...
тең болды. Енді станоктар қалай пайдаланылатынын көрелік. 1-ші
топтағы станоктардың уақыты: ... ... 2- ші ... ... ... пайдаланылады, 3-ші топтағы станоктардың
сағат уақыты ғана пайдаланылады, ал 724 сағат уақыты ... ... ... ... бұл ... ... ... мәні
тең болады, ал 2-ші және 3-ші топтағы станоктар толық
пайдаланылады. 1-ші топтағы станоктардың 116 сағат уақыты
пайдаланылмай қалады. Енді осы ... ... ең ... ... ол мың ... тең, бірақ бұл жағдайда 3-ші топтағы
станоктардың 724 ... ... ... қалады. Өндіріс орны беретін 3-
ші топтағы станоктарды не сатып ... ... ... ... ... сәйкес келетін 1-ші немесе 2-ші топтағы станоктарды сатып
алып, орнын кеңейту керек, онда қосымша уақытқа сәйкес және пайда
түседі. Ал бұл ... ... ... орны 1005,8 мың теңге
пайда таба алмайды. Өйткені 724 сағатқа сәйкес техника, жұмыскерлер
шығынын өндіріс орны төлеу ... ал ақша осы ... ... ... нәтиженің сараптамасы
Оптимальды орындалды, яғни Fmax = 1005,6.
|Станоктар |Бір дана ... ... ... ... ... |
|топтары | |
| |І зат –А |ІІ ... |
|1 топ |0,4 |2 |
|2 топ |0,9 |1,2 |
|3 топ |10,0 |4,0 ... ... мың ... тең, бірақ бұл жағдайда 3-ші топтағы
станоктардың 724 ... ... ... ... Өндіріс орны беретін 3-ші
топтағы станоктарды не сатып жіберу керек немесе уақыттары осы уақытқа
сәйкес келетін 1-ші немесе 2-ші топтағы станоктарды ... ... ... ... онда ... уақытқа сәйкес және пайда түседі. Ал бұл
айтылғандар орындалмаса, өндіріс орны 1005,8 мың теңге пайда таба алмайды.
Қазіргі таңда геометриялық ... ... ... барлығы,
яғни үш теңсіздіктерден артық тұратын есепті біздер ... ... ... ... қолымызға ала аламыз.
4. Қорытынды
Қорғайын деп отырған курстық жобамның тақырыбы «Сызықтық
бағдарламалау есептерінің графиктік түсіндірмесі». Бұл ... ... 7 ... ... ... сол ... нәтижесін алған
боатынмын. Ол есеп тек қана есептеу формасынан емес, сонымен қатар
графиктік формадан да ... Яғни ... ... нәтижесін графикаға
бейнелеу керек. Сондықтан да осы бағдарламаны тиімді деп ойладым.
Курстық жобама тек қана өзімнің ғана емес, жеткшімнің де ... ... ... ... есепті шешу маған оңайға түсті.
«Өндірістік және экономикалық процестерде модельдеу» пәнінен жазған
бұл курсттық жобам қолдануға жеңіл әрі ... ... деп ... ... әдебиеттер тізімі
1. В.В.Федорсева Экономико- математические методы и прикладны модели.
2. Ж.Ә.Құлекеев ... ... ... ... ... ... в экономике” 2000ж
4. Ә.Ж. Сапарбаев, Қ.А. Ахметов, А.Т. Макулова ... ... ... «Примеры, решение задач математического программирования»
6. И.Л. Ларинов ... ... ... Т.О. ... ... и инфармационые” Алматы
АГУ. 1998г.
8. «Технологии Разроботки Програмного Обеспечения» С.А.Орлов, «Питер 2004»
9. «Delphi 6 и Kulix» ... ... ... ... ... ... Delphi studio 7 », «БХВ-Петербург», Санкт-
Петербург 2003ж.
11. «Программирование в Delphi» А.Я.Архангельский, «Бином 2006»
12. «Delphi в ... и ... ... Культин, «БХВ- Петербург 2004»
5. Қосымша (программа листингі, блок-схема)
-----------------------
КЖ ... ...

Пән: Информатика
Жұмыс түрі: Реферат
Көлемі: 10 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 600 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Сызықты және математикалық программалау6 бет
Сызықтық бағдарламалау есебінің графикалық әдісі20 бет
Delphі ортасында жұмыс істеу технологиясы80 бет
Экономикалық процестерді зерттеудегі сызықтық бағдарламалау модельдері24 бет
Принципиалды-электрлік сұлбалар5 бет
Action Script бағдарламалау тілінің теориялық негіздері22 бет
C++ Builder бағдарламалау тілінде логикалық желіде виртуалдық қарым қатынас жасау10 бет
C++ тілінде сызықтық тізіммен жұмыс29 бет
Delphi бағдарламалау ортасына сипаттама48 бет
Delphi бағдарламалау тілі13 бет


Исходниктер
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь