Теорема,оның құрылымы және түрлері
МАЗМҰНЫ
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
І Математикалық сөйлемдер және пікірлер
1.1Математикалық сөйлемдер және теоремалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...5
1.2 Математикалық құрама сөйлемдер және пікірлер ... ... ... ... ... ... ... 7
1.3. Теореманың құрылымы және түрлері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12
ІІ Теоремалырды дәлелдеу
2.1 Дәлелдеу туралы түсінік ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .13
2.2 Теоремалырды дәлелдеу әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..16
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..23
Пайдаланылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...25
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
І Математикалық сөйлемдер және пікірлер
1.1Математикалық сөйлемдер және теоремалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...5
1.2 Математикалық құрама сөйлемдер және пікірлер ... ... ... ... ... ... ... 7
1.3. Теореманың құрылымы және түрлері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12
ІІ Теоремалырды дәлелдеу
2.1 Дәлелдеу туралы түсінік ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .13
2.2 Теоремалырды дәлелдеу әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..16
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..23
Пайдаланылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...25
Кіріспе
Курстық жұмыстың өзектілігі. Басты мақсаты — математикалық теорияларды игеру және өздігінен теоремаларды дәлелдеуге машықтану.
Дәлелдеу әдістерін үйрену үшін тео¬ремаларды дәлелдеудің мән-мағынасынан шығатын баяндау қағидаларын сақтау кажет. Дәлелдеудің мағынасы — теореманың шартынан корытындысына логикалық көшу екені мәлім. Олай болса, бұл көшуді іске асыру үшін теорема¬ның шарты қайсы, қорытындысы кайсы екенін ажырата білуі тиіс. Ендеше, теореманы дәлелдеудің басты қағидасы — теореманың шарты мен қорытындысын айырып көрсету, оларды саналы ажыратуға кол жеткізу. Сондықтан теоремаларды баяндағанда бұл қағиданы мүлтіксіз орындау үнемі талап етуі тиіс.
Математикада кез келген теореманы дәлелдеудің мақсаты — айтылған ұйғарымның ақиқаттығын тағайындау және дәлелденетін теореманың бұрын дәлелденген теоремалармен байланысын анықтау. Теореманы дәлелдеу логика заңдарына негізделеді.
Курстық жұмыстың мақсаты: Зерттеудiң мақсаты математикалық бекiтулердiң дәлелдемелерiн ұғыну.
Зерттеу нысаны. Теоема,оның құрылымы және түрлері болып табылады.
Курстық жұмыстың міндеттері:
1. Теорема ұғымының мәнін ашу.
2.Математикалық бекiтулердiң дәлелдемелерiн терiске шығаруға үйренудiң мазмұнын анықтап алу.
3. Теоремалардың түрлерімен танысу.
4. Теореманың құрылымын зерттеу.
Зерттеудiң обьектісі – теореманың құрылымын және дәлелдеу әдісін үйрену.
Жұмыстың практикалық маңыздылығы – математикалық терминдарды ұғыну.
Курстық жұмыстың өзектілігі. Басты мақсаты — математикалық теорияларды игеру және өздігінен теоремаларды дәлелдеуге машықтану.
Дәлелдеу әдістерін үйрену үшін тео¬ремаларды дәлелдеудің мән-мағынасынан шығатын баяндау қағидаларын сақтау кажет. Дәлелдеудің мағынасы — теореманың шартынан корытындысына логикалық көшу екені мәлім. Олай болса, бұл көшуді іске асыру үшін теорема¬ның шарты қайсы, қорытындысы кайсы екенін ажырата білуі тиіс. Ендеше, теореманы дәлелдеудің басты қағидасы — теореманың шарты мен қорытындысын айырып көрсету, оларды саналы ажыратуға кол жеткізу. Сондықтан теоремаларды баяндағанда бұл қағиданы мүлтіксіз орындау үнемі талап етуі тиіс.
Математикада кез келген теореманы дәлелдеудің мақсаты — айтылған ұйғарымның ақиқаттығын тағайындау және дәлелденетін теореманың бұрын дәлелденген теоремалармен байланысын анықтау. Теореманы дәлелдеу логика заңдарына негізделеді.
Курстық жұмыстың мақсаты: Зерттеудiң мақсаты математикалық бекiтулердiң дәлелдемелерiн ұғыну.
Зерттеу нысаны. Теоема,оның құрылымы және түрлері болып табылады.
Курстық жұмыстың міндеттері:
1. Теорема ұғымының мәнін ашу.
2.Математикалық бекiтулердiң дәлелдемелерiн терiске шығаруға үйренудiң мазмұнын анықтап алу.
3. Теоремалардың түрлерімен танысу.
4. Теореманың құрылымын зерттеу.
Зерттеудiң обьектісі – теореманың құрылымын және дәлелдеу әдісін үйрену.
Жұмыстың практикалық маңыздылығы – математикалық терминдарды ұғыну.
Пайдаланылған әдебиеттер
1. Б.Баймұханов. Математика есептерін шығаруға үйрету.
2. Әбілқасымова А.Е., Көбесов А.К., Рахымбек Д., Кенеш Ә.С. «Математиканы оқытудың теориясы мен әдістемесі». Алматы «Білім» 1998ж
3. А.Б.Жанәділ. «Математика сабақтарын түрлендіріп өткізу». Бастауыш мектеп №8-9. 1998ж. 41 бет.
4. Дүйсенбекова «Оқушылардың танымдық әрекеттерін дамыту». Бастауыш мектеп №10. 1999ж. 27 бет.
5. Ж.Қайыңбаев. «Математиканы оқыту ерекшеліктері». Бастауыш мектеп №5. 1999ж. 9 бет.
6. Баймұқанов Б., Мубараков А. «Математиканы оқытудағы сабақтастық». Бастауыш мектеп №1. 2000ж. 25 бет.
7. Б.М.Қосанов. «Математикадан сыныптан тыс жұмыстарда оқушыларға экономикалық тәрбие беру». Алматы «Іскер» 1998ж.
8. «Бастауыш сыныптарда математиканы оқыту әдістемесі» Қ.Оспанов Алматы, Атамұра 2005.
9. «Бастауышмектептематематиканыоқытудыңтеориясыжәнетехнологиясы», Т.Қ.Оспанов Алматы, 1994.
10. Қ.Оспанов, О.В.Кочеткова, Ж.Қ.Астамбаева. «Жаңабуыноқулықтарыбойыншабастауышсыныптардаматематиканыоқытуәдістемесі». Алматы, 2005
11. . «Бастауыш мектептерде математиканы оқыту әдістемесі» Т.Қ. Оспанов, Ш.Х. Құрманалина, Астана -2007
12. «Бастауыш кластарда математиканы оқыту». Алматы, «Мектеп» 1987
13. ОспановТ.Қ, Құрманалина Ш.Х. «Математиканың бастауыш курсын оқытудың әдістемесі» Алматы 1994
1. Б.Баймұханов. Математика есептерін шығаруға үйрету.
2. Әбілқасымова А.Е., Көбесов А.К., Рахымбек Д., Кенеш Ә.С. «Математиканы оқытудың теориясы мен әдістемесі». Алматы «Білім» 1998ж
3. А.Б.Жанәділ. «Математика сабақтарын түрлендіріп өткізу». Бастауыш мектеп №8-9. 1998ж. 41 бет.
4. Дүйсенбекова «Оқушылардың танымдық әрекеттерін дамыту». Бастауыш мектеп №10. 1999ж. 27 бет.
5. Ж.Қайыңбаев. «Математиканы оқыту ерекшеліктері». Бастауыш мектеп №5. 1999ж. 9 бет.
6. Баймұқанов Б., Мубараков А. «Математиканы оқытудағы сабақтастық». Бастауыш мектеп №1. 2000ж. 25 бет.
7. Б.М.Қосанов. «Математикадан сыныптан тыс жұмыстарда оқушыларға экономикалық тәрбие беру». Алматы «Іскер» 1998ж.
8. «Бастауыш сыныптарда математиканы оқыту әдістемесі» Қ.Оспанов Алматы, Атамұра 2005.
9. «Бастауышмектептематематиканыоқытудыңтеориясыжәнетехнологиясы», Т.Қ.Оспанов Алматы, 1994.
10. Қ.Оспанов, О.В.Кочеткова, Ж.Қ.Астамбаева. «Жаңабуыноқулықтарыбойыншабастауышсыныптардаматематиканыоқытуәдістемесі». Алматы, 2005
11. . «Бастауыш мектептерде математиканы оқыту әдістемесі» Т.Қ. Оспанов, Ш.Х. Құрманалина, Астана -2007
12. «Бастауыш кластарда математиканы оқыту». Алматы, «Мектеп» 1987
13. ОспановТ.Қ, Құрманалина Ш.Х. «Математиканың бастауыш курсын оқытудың әдістемесі» Алматы 1994
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
ТАРАЗ МЕМЛЕКЕТТІК ПЕДАГОГИКАЛЫҚ ИНСТИТУТЫ
Математика және МОӘ кафедрасы
КУРСТЫҚ ЖҰМЫС
Тақырыбы: Теорема,оның құрылымы және түрлері
Курс : 1
Топ : М-13-1
Орындаған : Арапбай М.А
Қабылдаған : Мұсабекова З.Е.
Қорғауға жіберілді : 17.04.2014
Қорғаған бағасы 19.04.2014
Тараз 2014
Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
І Математикалық сөйлемдер және пікірлер
1.1Математикалық сөйлемдер және
теоремалар ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ..5
1.2 Математикалық құрама сөйлемдер және
пікірлер ... ... ... ... ... ... ... .7
1.3. Теореманың құрылымы және
түрлері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12
ІІ Теоремалырды дәлелдеу
2.1 Дәлелдеу туралы
түсінік ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... 13
2.2 Теоремалырды дәлелдеу
әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...16
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 23
Пайдаланылған
әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... .25
Кіріспе
Курстық жұмыстың өзектілігі. Басты мақсаты — математикалық теорияларды
игеру және өздігінен теоремаларды дәлелдеуге машықтану.
Дәлелдеу әдістерін үйрену үшін теоремаларды дәлелдеудің мән-мағынасынан
шығатын баяндау қағидаларын сақтау кажет. Дәлелдеудің мағынасы — теореманың
шартынан корытындысына логикалық көшу екені мәлім. Олай болса, бұл көшуді
іске асыру үшін теореманың шарты қайсы, қорытындысы кайсы екенін ажырата
білуі тиіс. Ендеше, теореманы дәлелдеудің басты қағидасы — теореманың
шарты мен қорытындысын айырып көрсету, оларды саналы ажыратуға кол жеткізу.
Сондықтан теоремаларды баяндағанда бұл қағиданы мүлтіксіз орындау үнемі
талап етуі тиіс.
Математикада кез келген теореманы дәлелдеудің мақсаты — айтылған
ұйғарымның ақиқаттығын тағайындау және дәлелденетін теореманың бұрын
дәлелденген теоремалармен байланысын анықтау. Теореманы дәлелдеу логика
заңдарына негізделеді.
Курстық жұмыстың мақсаты: Зерттеудiң мақсаты математикалық бекiтулердiң
дәлелдемелерiн ұғыну.
Зерттеу нысаны. Теоема,оның құрылымы және түрлері болып табылады.
Курстық жұмыстың міндеттері:
1. Теорема ұғымының мәнін ашу.
2.Математикалық бекiтулердiң дәлелдемелерiн терiске шығаруға үйренудiң
мазмұнын анықтап алу.
3. Теоремалардың түрлерімен танысу.
4. Теореманың құрылымын зерттеу.
Зерттеудiң обьектісі – теореманың құрылымын және дәлелдеу әдісін үйрену.
Жұмыстың практикалық маңыздылығы – математикалық терминдарды ұғыну.
Зерттеудің теориялық мәні – математикалық дәлелдеудің тарихына,
дәлелдеуді зерттеген әдіскерлер, еңбектеріне шолу жасалынды.
Курстық жұмыста қолданылған зерттеу әдістері – оқылған әдебиеттерде шолу
жасау, түсіндіру, анализ – синтез, бақылау – байқау т.б. зерттеу әдістерін
пайдаландым. Зерттеу тақырыбына қатысты педагогикалық, психологиялық,
әдістемелік әдебиеттерді, дидактикалық нұсқауларды зерделеу;
Курстық жұмысының құрылымы – кіріспеден, екі тараудан, қорытындыдан
және әдебиеттер тізімінен қосымшадан тұрады.
І Математикалық сөйлемдер және пікірлер
1.1 Математикалық сөйлемдер және теоремалар
Әңгіме не туралы болып жатса соны обьект дейміз.Әңгіме фигуралар немесе
өрнектер туралы болып жатса,онда оны математикалық обьект дейміз.
Обьектілер бір-бірімен математика амалдары арқылы өрнектелсе, онда
мұныкүрделі обьект дейді. Егер тәуелді және тәуелсіз сөйлемдербірімен-бірі
жалғастырылса, онда мұндағы ақпарды пайымдайтын сойлемді математикалық
сөйлем дейміз. Математнкалық сөйлемдер аксиома, анықтама, теорема, формула,
ереже, заң тағы да сол сияқты атаулармен аталады.Математнканы
репродуктивтік (айтқанды немесе оқығанды қайталау) әдісімен үйретіп жүрміз.
Бұл түрі оданқарастырғанда оқушылардан математикалық сөйлемдерді табиғи
тілде тұжырымдау талап етілмейдМатематикалық есептеменің маңызды бөлігін
табиғи тілде тұжырымдану кезінде тіл грамматикасы менсинтаксисінің зандарын
пайдаланып бірнеше сөйлемдер біріктіріледі, жалпыланады, редакцияланады.
Осы уақытқа дейін редакциялану проблемасы математиканы оқыту әдістемесінде
қарастырылмай жүр. Математика тұрғысынан сөз обьектілерінің іс-қимылдардың
тұжырымдары, ал болып жатқан құбылыстарды сипаттау кезінде бұл тұжырымдар
бір-бірімен тіл граматикасы арқылы байланыстырады.
Анықтама құрылымы: анықтама құрылымы екі бөліктентұрады.Бірінші
бөлігінде шарты деп аталатын тәулсізсөйлем, яғни фигураның (обьектінің)
қасиеті танымдаладыда, екінші болігінде фигураға(обьектіге) атау беріледі.
Өйткені біз білім ғана қалыптастырып жатқан жоқпыз жалпылау арқылы
абстракциялау процессін де үйренуге тиіспіз.
Теорема құрылымы туралы күдік туғызатын мәселелер баршылық.
Тұжырымдалған математикалық сөйлемде оның мағынасы толық ашылуы керек.
Оқулықтарда теореманы геометриялық фигуралардың қасиетінөрнектейтін және
дәлеледейтін сөйлем делінген. Бұл анықтамада теоремаға қатысты ой
тұйықталмаған. Сондықтантөмендегідей ойлар туындап жатыр. Олар дәлелденетін
математикалық сойлемдердің барлығын математикалық теорема деп неге айтамыз?
Қандай теореманы фигураның қасиеті, ол қандай теореманы оның белгісі деп
айтады. Осы сияқты құрылымға қатысты мазалайтын сұрақтар математикада
жеткілікті бола тұрса да әдіскерлер мен оқулық иегерлерінің үндері шықпай
жатыр. Мәселелердіанық айқын бермеу түсінбеушілікті туғызады. Түсінбеушілік
болғанда білім қалыптаспайды . Ойлауға үйрету әдістемесінің негізгі
мақсаты көмескі ойды туғызбау. Теоремаға ұқсас есептерді теорема деп
айтпайтынымыз оларжаттығу есептерінде сирек пайдаланылады. Есеп
шығаруғакөзделіп оларға аксиома, анықтама, теорема, формула тағысол сияқты
арнайы атаулар беріліп отыр деген түсініктемеберудің пайдасы барлығын өз
тәжірибемізден байқадық.Оқушының жадына жеткізу әдісі теореманы өзіне
тұжырымдатқызу. Тұжырымдау кезінде сөйлемдерді біріктіру, қажеті
редакциялық түзетулер жасау сияқты процесстер оның ой-өрісін дамытуға ықпал
етеді. Теореманың құрылымы туралы толық мағлұмат болғанда ғана ол теореманы
өзі тұжырымдай алады. Теорема математикалық сөйлемдерден кұрастырылады.
Математикалық сөйлемдерде обьектілердің арасындағы немесе олардың
арасындағы байланыс және солардан жасалатын қорытынды пайымдалады.
Соныментеоремаға мынадай анықтама беруге болады: Тәуелсіз және тәуелді
математикалық сойлемдерден құрастырылған жиі пайдаланылатын күрделі
сөйлемді теорема дейді.
Тәуелсіз сөйлемді теореманың шарты, ал тәуелді сөйлемді оның қорытындысы
немесе талабы дейді.Теоремадағы сөйлемдердің әрбіреуінің обьектілері әр
түрлі де, бірдей болуы да мүмкін. Бұлардың бір-біріне тәуелділігіне,
тәуелсіздігіне байланысты теоремаларды топқа бөлуге және құрылымдарындағы
сөйлемдердің саны туралы да тиянақты пікір айтуға болады. Егер екі
сөйлемнің обьектілері әр түрлі болса, онда теорема екі сөйлем арқылы
тұжырымдалады. Мысалы, егер жазықтық параллель екі түзудін біріне
перпендикуляр болса, онда ол екінші түзуге де перпендикуляр болады деген
теорема шартының обьектілері жазықтық және екінші түзу. Түзулер әр түрлі
болуына байланысты шарт пен қортындының обьектілері де әр түрлі дейміз.
Дұрыс түсіну тұрғысынан қарастырғанда мұндай сөйлемдерде алғашқы кезде.
Егер ..., онда ... түрінде тұжырымдап кейінде қысқартып былай
тұжырымдатқызуға болады. Параллель екі түзудің біріне перпендикуляр
жазықтық, екіншісіне де перпендикуляр. Егер екі сөйлемнің обьектілері
бірдей болса, онда теорема бір сөйлем арқылы тұжырымдалады. Мысалы,
Сыбайлас бұрыштардың қосындысы 180"-қа тең-деген теореманың шартының
обьектісі бұрыштар, ал қорытындысының обьектісі де сыбайлас бұрыштар. Екі
сөйлемнен құрастырылған теореманың кез-келген тәуелсіз сейлем үшін
қабылдауға болады, яғнн қорытынды мен шарттың орындарын ауыстырып жаза
аламыз. Онда соңғы теорема алғашқыға кері депаталады. Мысалы, егер
төртбұрыш паралпелограмм болса , онда оның диагоналдары қиылысу
нүктелерінде қақ болінеді - деген теореманың шарты мен қорытындысының
орындарын ауыстырып Төртбұрыштардың днагоналдары қнылысу нүктесінде қақ
бөлінсе, онда ол параллелограмм болады деген біріншіге кері теорема
аламыз. Теореманың екі бөлігін алмастыру арқылы әрқашанда 0С алынады деген
ой оқушыға қалыптасуы мүмкін. Осындайтеріс ойды оқушыға қалыптастырмау
үшін сөйлем туралы мынадайталдау жасатқызу керек. Мысалы Теореманың
шарттары мен қорытындысын жазып алу керек.
2. Математикалық құрама сөйлемдер және пікірлер
Математикалық сөйлемдерді айтылу мағынасына карай пікір және пікірленетін
форма деп белуге болады. Олар: Шын - Ш жене жалған - Ж. Мысалы, 4 саны жұп
сан - Ш, 6+2=9 - Ж. Сонымен, пікірге екі түрлі мән тағайындалады екен.
Оларды пікірдің шындың мәні деп атайды.
Берілген сейлемнің шын немесе жалған екендігі туралы айтуға болатын
болса, онда мүндай сейлемдерді пікір деп атаймыз.
Пікірлер сөйлем сияқты болғандықтан, оларды сөйлемдер сияқты жай және
құрама пікірлер деп екіге белуге болады. Егер пікір жай пікір болса, онда
оның шындық мәнін анықтауды бұрыннан белгілі білімдерге сүйеніп анықтау
жеңіл (жоғарыдағы мысалдарды қара). Ал егер пікір жай пікір емес, құрама
пікір болса, онда оның шындық мәнін қалай анықтауға болады? Құрама
пікірлердің мәнін анықтау үшін қолданылатын ережелерді пайдаланамыз.
Бұл ережелерді тұжырымдамас бұрын А ˄ В, A ˅ В және A = В
формалардындағы құрама пікірлерді құрап тұрған жай пікірлер қабылдайтын
мүмкін мәндерді анықтайық:
1. Құрама пікірді құрап тұрған жай пікірлердің екеуі де шын болуы мүмкін.
2. Жай пікірлердің біреуі шын, біреуі жалған болуы мүмкін.
3. Жай пікілердің екеуі де жалған болуы мүмкін.
Ереже: А ˄ В формасындағы пікір А пікірі де, В пікірі де шын болғанда
ғана шын болады, қалған мәндерінде жалған болады.
Мысалы: пікірлердің шын немесе жалған екендігін анықтайық.
1. 111213. Бұл 1112 жене 1213 деген екі жай пікірден құралған
құрама пікір. Оның мәні шын болып тұр, өйткені құрама пікірдің құрамына
енетін жай пікірлердің екеуі де шын, яғни 1112-ні А деп, ал 1213-ті В
деп белгілесек, онда А ˄ В формасы шығады. Ендеше, ереже сейкес
111213 қүрама пікірінің мағынасы шын.
2. 1 12 саны жүп сан жене 5-ке белінеді. Бұл пікірдің формасы да А
˄ В мүндағы А сөйлемі: 112 саны жұп сан, ал В сөйлемі - 112 саны 5-ке
белінеді. А сөйлемінің мағынасы шын екендігін, ал В сөйлемінің
мағынасы жалған екендігін бірден көруге болады. Ендеше, сөйлем
тұтастай алғанда жалған болады.
Енді А ˄ В формасындағы сөйлемнің мағынасын анықтау ережесін
қарастырайық:
Ереже: A˅ В формасындағы пікір А пікірі де, В пікірі де жалған болғанда
ғана жалған болады, ал қалған мәндерінде шын болады.
Адам баласы өзін коршаған дүниені танып, білген сайын математикалық
объектілер арасындағы, объектілер мен олардың қасиеттері арасындағы түрлі
байланыстарды тағайындайды. Тілде бұл байланыстар сөйлемдер арқылы
өрнектеледі. Ендеше, тілдегі сияқты математикада да сөйлемдер болады. Кез
келген математикалык сөйлем оның мазмұны және логикалык құрылымымен
сипатталады. Біз негізінен сөйлемдердің логикалық құрылымына көңіл
аударамыз. Математикалық сөйлемдерді логикалык, құрылымына қарай жай және
кұрама сөйлемдер деп екіге бөлеміз.
Берілген дене немесе объект туралы бір ғана ойды білдіретін сөйлемдерді
жай сөйлетдер деп атаймыз.
Мысалы: 25 саны - так сан. Бұл - жай сөйлем, өйткені сөйлемде объект
ретінде алынып тұрған 25 санының тек тақ сан екендігі туралы ғана айтылып
тұр.
Екі немесе бірнеше жай сөйлемдерден құралған сөйлемдерді құрама
сөйлемдер деп атаймыз. Басқаша, берілген дене немесе объект туралы екі
немесе бірнеше ойды білдіретін сөйлемдерді құрама сөйлемдер деп атаймыз.
Мысалы, 25 саны тақ сан және 5-ке бөлінеді. Бұл -құрама сөйлем. Өйткені,
бұл сөйлем 25 саны таң сан және 25 саны 5-ке бөлінеді деген екі жай
сөйлемнен құралған. Басқаша айтқанда, бұл сөйлемде берілген дене немесе
объект 25 саны туралы екі ой айтылып түр. Оның біреуі - 25 санының тақ сан
екендігі, екіншісі -25 санының 5-ке бөлінетіндігі.
Құрама сөйлемдерді алу үшін және, немесе, егер...онда, емес,
т.б. сөздерді пайдаланамыз. Оларды математикада логикалық байламдар деп
атай-ды. Аталған логикалық байламдарға байланысты құрама сөйлемдердің
логикалык, құрылымы анықталады. Құрама сөйлемдердің логикалық құрылымын
анықтау үшін, мыналарды тағайындау керек:
1.Құрама сөйлемдердің қандай жай сөйлемдерден
жасалғанын.
2.Қандай логикалық байлам арқылы жасалғанын.
Енді қүұрама сөйлемдердің логикалың құрылымын анықтауды мысалдар арқылы
көрсетейік.
25 саны тақ сан және 5-ке бөлінеді. Бұл сөйлем екі жай сөйлемнен
құралған. Бірінші жай сөйлемді А-деп, ал екінші жай сөйлемді В-деп
белгілесек, онда А жөне В түріндегі (формасындағы) сөйлем аламыз. Оны
қысқаша былай жазуға болады: А ˄ В, ˄ - белгісі - конъюнкция белгісі
цазақша біріктіремін деген магына береді. Оңылуы: А және В .
6 саны 8-ден үлкен немесе 8-ге тең. 6 саны 8-ден үлкен деген жай
сөйлемді А-деп, ал 8-ге тең деген жай сөйлемді Б-деп белгілеп, А немесе В
формасындағы сөйлемді аламыз. Оны қысқаша былай жазады: A v В, v -белгісі -
дизъюнкция белгісі. Қазақша ажыратамын деген мағына береді. Оқылуы: А
немесе В.
Егер үшбұрыштың табанындағы бұрыштары тең болса, онда үшбұрыш тең
бүйірлі. Үшбұрыштың табанындагы бұрыштары тең. Оны А-деп, ал үшбұрыш
тең бүйірлі деген жай сөйлемді В-деп белгілесек, онда егер А, онда В
формасындағы сөйлем аламыз. Оны қысқаша былай жазуға болады: А = В. = -
белгісі импликация белгісі. Қазақша шығады деген мағына береді. Сонда А
:= В формасындағы сөйлемді басқаша А сейле-мінен В сөйлемі шығады деп те
оқуга болады. Оқылуы: ЕгерА, ондаВ.
Емес деген логикалық байлам арқылы жасалатын сөйлемнің құрылымын анықтау
үшін, 15 саны тақ сан деген сейлем алайық та, оны А-деп белгілейік. Енді
осы сөйлемнің соңына емес деген логикалык, байламды тіркеп жазайық.
Сонда: 15 саны тақ сан емес деген жаңа сейлем аламыз. Соңғы сейлемнің
формасы А емес болып шығады. Оны қысқаша былай жазамыз: -i А. Оқылуы: А
емес. А-ның алдындағы сызықша белгісі терістеу деп аталады. Ендеше, біз
15 саны тақ сан деген сейлемді 15 саны тақ сан емес деп теріске шығарып
отырмыз.
Математикада математикалык сөйлемдер туралы айқын түсінік берілмейді.
Алайда өрнектерді, теңдіктерді оқу кезінде біз іс-жүзінде математикалық
сөйлемдермен кездесеміз. Сондықтан мұғалімінің математикалык, сөйлемдер
туралы түсінігі болғаны дұрыс.
Сондықтан берілген қандай да бір объектіні түсіну үшін, оның негізгі
қасиеттерін білу жеткілікті. Бұл жағдайда объект туралы үғым-түсінік бар
деп айтуға болады.
Объектінің өзара байланысты барлық негізгі касиеттерінің жиынтығын осы
объект туралы ұгымның мазмұны деп атайды.
Математикалық объект туралы айтқанда бір ғана сөзбен, терминмен
түсіндірілетін барлық объектілердің жиынтығы айтылады. Мысалы, үшбұрыш
туралы айтқанда, үшбұрыш болып есептелетін барлық геометриялык, фигуралар
туралы айтылады. Барлық үшбұрыштардың жиынтығы үшбұрыш туралы үғымды
қүрайды.
Жалпы ұгымның көлемі дегеніміз - бір ғана сөзбен, терминмен белгіленетін
барлық объектілердің жиынтығы.
Сонымен, кез келген ұғым аталу терминімен, көлемімен және мазмұнымен
сипатталады екен.
Ұғымның мазмұны мен көлемінің арасында мынадай байланыс бар:
Ұғымның көлемі неғұрлым артық болса, оның мазмұны соғұрлым аз
болады. Мысалы, тік бұрышты үшбұрыш ұғымының көлемі үшбұрыш ұғымының
көлемінен кіші, өйткені, алғашқы ұғымның көлеміне барлық үшбұрыштар
кірмейді, тек тік бұрышты үшбұрыштар ғана кіреді. Бірақ тік бұрышты
үшбұрыш ұғымының мазмұны үшбұрыш ұғымының мазмұнынан артық, яғни
кеңірек. Өйткені тік бұрышты үшбұрыш барлық үшбұрыштарға тән қасиеттермен
қоса, озіне ғана тән қосымша қасиеттерге математикалық түрде математикалық
ұғымдарға өте бай. 1-сыныптың өзінде оқушылар цифр, сан, қосылғыш,
қосындының мәні, кесінді, т.б. ұғымдармен танысады. Сынып жоғарылаған
сайын мұндай ұғымдардың саны артып, кеңейе береді.
Ендеше, болашақ мұғалім ұғым туралы жоғарыда баяндалған мәселелерді
білуге міндетті.
1.3. Теореманың құрылымы және түрлері
Теорема деп ақиқаттығы дәлелдеу арқылы тағайындалатын математикалық
сөйлемді айтады.Әрбір теорема өзінің р шартын және q қорытындысын
қамтиды.Мәселен “Вертикаль бұрыштар тең” теоремасында вертикаль бұрыштар
ол шарты,ал тең деген қорытындысы.
Ал теореманы дәлелдеу дегеніміз р шартын ақиқат деп алып, q
қорытындысының ақиқаттығын логикалық жолмен көрсету.
Теоремалар тура,кері,қарама-қарсы және кері теоремаға қарама –қарсы
теорема түрінде кездеседі.
р q тура теорема деп алсақ,мысалы “Егер төртбұр ыш тең бүйірлі
трапеция болса,онда оның диоганальдары тең болады ” ,сияқты берілген
теоремаға қарсы теорема деп тура теореманың шартын қорытындысымен,ал
қорытындысын шартымен ауыстырудан шыққан теореманы айтады q
р.Мысалы :”Егер трапеция болатын төртбұрыштың диоганальдары тең болса,онда
ол теңбүйірлі болып табылады”.
Тура теоремаға қарамаөқарсы теорема деп оның шарты мен қорытындысын
тікелей теріске шығарудан алынған теореманы айтады.
р q .Мысалы “Егер тқртбұрыш тең бүйірлі трапеция болса,онда оның
диоганальдары тең болмайды”.
Қарама-қарсы теоремаға кері теорема деп шарты мен қорытындысын
теріске шығарудан алынған теореманы айтады. q рМысалы:”Егре трапеция
болатын диоганальдары тең болмаса,онда ол тең бүйірлі болмайды”.
Сонымен р q теорема берілген болса, онда q р берілген
теоремаға кері, р q берілген теоремаға қарма-қарсы , q р қарама
қарсы теоремаға кері теорема деп аталады.
Жалпы алғанда р q түріндегі ұйғарымды логика тілінде теорема
дейді(грекше theorem –қарастырамын,ойланамын).Теорема-ақ иқаттығын дәлелдеу
арқылы анықталатын математикалық сөйлем.
Теореманың сөздік тұжырымдамасы әр түрлі формада болуы мүмкін.Алайда
,теорема қанедай формада тұжырымдалса да барлық кезде оның шарты р және
қорытындысы q болу керек.Сонымен қатар теоремада сөз болып отырған
обьектілерді сипаттайтын теореманығ мәлімдеу бөлігі болады.
Сонда
мәлімдеу бөлігі;
р(х)-шарты;
q(x)-қорытындысы.
ІІ Теоремалырды дәлелдеу
2.1 Дәлелдеу туралы түсінік
Дәлелдеу, логика мен математикада – қандай да бір пікірдің, тұжырымның
(мыс., теореманың) ақиқаттығын не жалғандығын негіздеу әдісі.
Математикадағы дәлелдеуге қойылатын талаптар математика дамуының
ертедегі сатысында-ақ жасалды. Ол кезде математика теориясын құрудың
аксиомалық әдісі пайдаланылды. Мұндай әдісті қолданудың нақты үлгісі Евклид
Негіздерінде баяндалған геометриялық жүйе болды. Дәлелдеу әдісінің
аксиомалық теориясы үшін тән белгі – ондағы қорытынды деп аталатын
тұжырымдардың белгілі бір тәртіппен тізбектеп қойылатындығы. Мұның үстіне
ол тұжырымдардың біреуі ұйғару ретінде қабылданып, қалғандары сол
тізбектегі бұрынғы тұжырымдардан логикалық жолмен қорытылып шығарылады.
Егер барлық ұйғарулар берілген қорытынды шегінде ғана емес, барлық
қарастырылып отырған теорияда ақиқат болса, онда мұндай қорытынды дәлелдеу
деп аталады. Нақты дәлелдеуде аксиомалар ғана емес, бұрын дәлелденген
сөйлемдер де пайдаланылады. Жалпы айтқанда, қандай да бір пікір өздігінен
дәлелдеу бола алмайды, ол белгілі бір аксиомалық теорияның шекарасында ғана
дәлелдеу бола алады.
Дәлелдеу-математиканың іргетасы, онсыз математиканың дамуы мүмкін емес.
Математикадағы ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
ТАРАЗ МЕМЛЕКЕТТІК ПЕДАГОГИКАЛЫҚ ИНСТИТУТЫ
Математика және МОӘ кафедрасы
КУРСТЫҚ ЖҰМЫС
Тақырыбы: Теорема,оның құрылымы және түрлері
Курс : 1
Топ : М-13-1
Орындаған : Арапбай М.А
Қабылдаған : Мұсабекова З.Е.
Қорғауға жіберілді : 17.04.2014
Қорғаған бағасы 19.04.2014
Тараз 2014
Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
І Математикалық сөйлемдер және пікірлер
1.1Математикалық сөйлемдер және
теоремалар ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ..5
1.2 Математикалық құрама сөйлемдер және
пікірлер ... ... ... ... ... ... ... .7
1.3. Теореманың құрылымы және
түрлері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12
ІІ Теоремалырды дәлелдеу
2.1 Дәлелдеу туралы
түсінік ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... 13
2.2 Теоремалырды дәлелдеу
әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...16
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 23
Пайдаланылған
әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... .25
Кіріспе
Курстық жұмыстың өзектілігі. Басты мақсаты — математикалық теорияларды
игеру және өздігінен теоремаларды дәлелдеуге машықтану.
Дәлелдеу әдістерін үйрену үшін теоремаларды дәлелдеудің мән-мағынасынан
шығатын баяндау қағидаларын сақтау кажет. Дәлелдеудің мағынасы — теореманың
шартынан корытындысына логикалық көшу екені мәлім. Олай болса, бұл көшуді
іске асыру үшін теореманың шарты қайсы, қорытындысы кайсы екенін ажырата
білуі тиіс. Ендеше, теореманы дәлелдеудің басты қағидасы — теореманың
шарты мен қорытындысын айырып көрсету, оларды саналы ажыратуға кол жеткізу.
Сондықтан теоремаларды баяндағанда бұл қағиданы мүлтіксіз орындау үнемі
талап етуі тиіс.
Математикада кез келген теореманы дәлелдеудің мақсаты — айтылған
ұйғарымның ақиқаттығын тағайындау және дәлелденетін теореманың бұрын
дәлелденген теоремалармен байланысын анықтау. Теореманы дәлелдеу логика
заңдарына негізделеді.
Курстық жұмыстың мақсаты: Зерттеудiң мақсаты математикалық бекiтулердiң
дәлелдемелерiн ұғыну.
Зерттеу нысаны. Теоема,оның құрылымы және түрлері болып табылады.
Курстық жұмыстың міндеттері:
1. Теорема ұғымының мәнін ашу.
2.Математикалық бекiтулердiң дәлелдемелерiн терiске шығаруға үйренудiң
мазмұнын анықтап алу.
3. Теоремалардың түрлерімен танысу.
4. Теореманың құрылымын зерттеу.
Зерттеудiң обьектісі – теореманың құрылымын және дәлелдеу әдісін үйрену.
Жұмыстың практикалық маңыздылығы – математикалық терминдарды ұғыну.
Зерттеудің теориялық мәні – математикалық дәлелдеудің тарихына,
дәлелдеуді зерттеген әдіскерлер, еңбектеріне шолу жасалынды.
Курстық жұмыста қолданылған зерттеу әдістері – оқылған әдебиеттерде шолу
жасау, түсіндіру, анализ – синтез, бақылау – байқау т.б. зерттеу әдістерін
пайдаландым. Зерттеу тақырыбына қатысты педагогикалық, психологиялық,
әдістемелік әдебиеттерді, дидактикалық нұсқауларды зерделеу;
Курстық жұмысының құрылымы – кіріспеден, екі тараудан, қорытындыдан
және әдебиеттер тізімінен қосымшадан тұрады.
І Математикалық сөйлемдер және пікірлер
1.1 Математикалық сөйлемдер және теоремалар
Әңгіме не туралы болып жатса соны обьект дейміз.Әңгіме фигуралар немесе
өрнектер туралы болып жатса,онда оны математикалық обьект дейміз.
Обьектілер бір-бірімен математика амалдары арқылы өрнектелсе, онда
мұныкүрделі обьект дейді. Егер тәуелді және тәуелсіз сөйлемдербірімен-бірі
жалғастырылса, онда мұндағы ақпарды пайымдайтын сойлемді математикалық
сөйлем дейміз. Математнкалық сөйлемдер аксиома, анықтама, теорема, формула,
ереже, заң тағы да сол сияқты атаулармен аталады.Математнканы
репродуктивтік (айтқанды немесе оқығанды қайталау) әдісімен үйретіп жүрміз.
Бұл түрі оданқарастырғанда оқушылардан математикалық сөйлемдерді табиғи
тілде тұжырымдау талап етілмейдМатематикалық есептеменің маңызды бөлігін
табиғи тілде тұжырымдану кезінде тіл грамматикасы менсинтаксисінің зандарын
пайдаланып бірнеше сөйлемдер біріктіріледі, жалпыланады, редакцияланады.
Осы уақытқа дейін редакциялану проблемасы математиканы оқыту әдістемесінде
қарастырылмай жүр. Математика тұрғысынан сөз обьектілерінің іс-қимылдардың
тұжырымдары, ал болып жатқан құбылыстарды сипаттау кезінде бұл тұжырымдар
бір-бірімен тіл граматикасы арқылы байланыстырады.
Анықтама құрылымы: анықтама құрылымы екі бөліктентұрады.Бірінші
бөлігінде шарты деп аталатын тәулсізсөйлем, яғни фигураның (обьектінің)
қасиеті танымдаладыда, екінші болігінде фигураға(обьектіге) атау беріледі.
Өйткені біз білім ғана қалыптастырып жатқан жоқпыз жалпылау арқылы
абстракциялау процессін де үйренуге тиіспіз.
Теорема құрылымы туралы күдік туғызатын мәселелер баршылық.
Тұжырымдалған математикалық сөйлемде оның мағынасы толық ашылуы керек.
Оқулықтарда теореманы геометриялық фигуралардың қасиетінөрнектейтін және
дәлеледейтін сөйлем делінген. Бұл анықтамада теоремаға қатысты ой
тұйықталмаған. Сондықтантөмендегідей ойлар туындап жатыр. Олар дәлелденетін
математикалық сойлемдердің барлығын математикалық теорема деп неге айтамыз?
Қандай теореманы фигураның қасиеті, ол қандай теореманы оның белгісі деп
айтады. Осы сияқты құрылымға қатысты мазалайтын сұрақтар математикада
жеткілікті бола тұрса да әдіскерлер мен оқулық иегерлерінің үндері шықпай
жатыр. Мәселелердіанық айқын бермеу түсінбеушілікті туғызады. Түсінбеушілік
болғанда білім қалыптаспайды . Ойлауға үйрету әдістемесінің негізгі
мақсаты көмескі ойды туғызбау. Теоремаға ұқсас есептерді теорема деп
айтпайтынымыз оларжаттығу есептерінде сирек пайдаланылады. Есеп
шығаруғакөзделіп оларға аксиома, анықтама, теорема, формула тағысол сияқты
арнайы атаулар беріліп отыр деген түсініктемеберудің пайдасы барлығын өз
тәжірибемізден байқадық.Оқушының жадына жеткізу әдісі теореманы өзіне
тұжырымдатқызу. Тұжырымдау кезінде сөйлемдерді біріктіру, қажеті
редакциялық түзетулер жасау сияқты процесстер оның ой-өрісін дамытуға ықпал
етеді. Теореманың құрылымы туралы толық мағлұмат болғанда ғана ол теореманы
өзі тұжырымдай алады. Теорема математикалық сөйлемдерден кұрастырылады.
Математикалық сөйлемдерде обьектілердің арасындағы немесе олардың
арасындағы байланыс және солардан жасалатын қорытынды пайымдалады.
Соныментеоремаға мынадай анықтама беруге болады: Тәуелсіз және тәуелді
математикалық сойлемдерден құрастырылған жиі пайдаланылатын күрделі
сөйлемді теорема дейді.
Тәуелсіз сөйлемді теореманың шарты, ал тәуелді сөйлемді оның қорытындысы
немесе талабы дейді.Теоремадағы сөйлемдердің әрбіреуінің обьектілері әр
түрлі де, бірдей болуы да мүмкін. Бұлардың бір-біріне тәуелділігіне,
тәуелсіздігіне байланысты теоремаларды топқа бөлуге және құрылымдарындағы
сөйлемдердің саны туралы да тиянақты пікір айтуға болады. Егер екі
сөйлемнің обьектілері әр түрлі болса, онда теорема екі сөйлем арқылы
тұжырымдалады. Мысалы, егер жазықтық параллель екі түзудін біріне
перпендикуляр болса, онда ол екінші түзуге де перпендикуляр болады деген
теорема шартының обьектілері жазықтық және екінші түзу. Түзулер әр түрлі
болуына байланысты шарт пен қортындының обьектілері де әр түрлі дейміз.
Дұрыс түсіну тұрғысынан қарастырғанда мұндай сөйлемдерде алғашқы кезде.
Егер ..., онда ... түрінде тұжырымдап кейінде қысқартып былай
тұжырымдатқызуға болады. Параллель екі түзудің біріне перпендикуляр
жазықтық, екіншісіне де перпендикуляр. Егер екі сөйлемнің обьектілері
бірдей болса, онда теорема бір сөйлем арқылы тұжырымдалады. Мысалы,
Сыбайлас бұрыштардың қосындысы 180"-қа тең-деген теореманың шартының
обьектісі бұрыштар, ал қорытындысының обьектісі де сыбайлас бұрыштар. Екі
сөйлемнен құрастырылған теореманың кез-келген тәуелсіз сейлем үшін
қабылдауға болады, яғнн қорытынды мен шарттың орындарын ауыстырып жаза
аламыз. Онда соңғы теорема алғашқыға кері депаталады. Мысалы, егер
төртбұрыш паралпелограмм болса , онда оның диагоналдары қиылысу
нүктелерінде қақ болінеді - деген теореманың шарты мен қорытындысының
орындарын ауыстырып Төртбұрыштардың днагоналдары қнылысу нүктесінде қақ
бөлінсе, онда ол параллелограмм болады деген біріншіге кері теорема
аламыз. Теореманың екі бөлігін алмастыру арқылы әрқашанда 0С алынады деген
ой оқушыға қалыптасуы мүмкін. Осындайтеріс ойды оқушыға қалыптастырмау
үшін сөйлем туралы мынадайталдау жасатқызу керек. Мысалы Теореманың
шарттары мен қорытындысын жазып алу керек.
2. Математикалық құрама сөйлемдер және пікірлер
Математикалық сөйлемдерді айтылу мағынасына карай пікір және пікірленетін
форма деп белуге болады. Олар: Шын - Ш жене жалған - Ж. Мысалы, 4 саны жұп
сан - Ш, 6+2=9 - Ж. Сонымен, пікірге екі түрлі мән тағайындалады екен.
Оларды пікірдің шындың мәні деп атайды.
Берілген сейлемнің шын немесе жалған екендігі туралы айтуға болатын
болса, онда мүндай сейлемдерді пікір деп атаймыз.
Пікірлер сөйлем сияқты болғандықтан, оларды сөйлемдер сияқты жай және
құрама пікірлер деп екіге белуге болады. Егер пікір жай пікір болса, онда
оның шындық мәнін анықтауды бұрыннан белгілі білімдерге сүйеніп анықтау
жеңіл (жоғарыдағы мысалдарды қара). Ал егер пікір жай пікір емес, құрама
пікір болса, онда оның шындық мәнін қалай анықтауға болады? Құрама
пікірлердің мәнін анықтау үшін қолданылатын ережелерді пайдаланамыз.
Бұл ережелерді тұжырымдамас бұрын А ˄ В, A ˅ В және A = В
формалардындағы құрама пікірлерді құрап тұрған жай пікірлер қабылдайтын
мүмкін мәндерді анықтайық:
1. Құрама пікірді құрап тұрған жай пікірлердің екеуі де шын болуы мүмкін.
2. Жай пікірлердің біреуі шын, біреуі жалған болуы мүмкін.
3. Жай пікілердің екеуі де жалған болуы мүмкін.
Ереже: А ˄ В формасындағы пікір А пікірі де, В пікірі де шын болғанда
ғана шын болады, қалған мәндерінде жалған болады.
Мысалы: пікірлердің шын немесе жалған екендігін анықтайық.
1. 111213. Бұл 1112 жене 1213 деген екі жай пікірден құралған
құрама пікір. Оның мәні шын болып тұр, өйткені құрама пікірдің құрамына
енетін жай пікірлердің екеуі де шын, яғни 1112-ні А деп, ал 1213-ті В
деп белгілесек, онда А ˄ В формасы шығады. Ендеше, ереже сейкес
111213 қүрама пікірінің мағынасы шын.
2. 1 12 саны жүп сан жене 5-ке белінеді. Бұл пікірдің формасы да А
˄ В мүндағы А сөйлемі: 112 саны жұп сан, ал В сөйлемі - 112 саны 5-ке
белінеді. А сөйлемінің мағынасы шын екендігін, ал В сөйлемінің
мағынасы жалған екендігін бірден көруге болады. Ендеше, сөйлем
тұтастай алғанда жалған болады.
Енді А ˄ В формасындағы сөйлемнің мағынасын анықтау ережесін
қарастырайық:
Ереже: A˅ В формасындағы пікір А пікірі де, В пікірі де жалған болғанда
ғана жалған болады, ал қалған мәндерінде шын болады.
Адам баласы өзін коршаған дүниені танып, білген сайын математикалық
объектілер арасындағы, объектілер мен олардың қасиеттері арасындағы түрлі
байланыстарды тағайындайды. Тілде бұл байланыстар сөйлемдер арқылы
өрнектеледі. Ендеше, тілдегі сияқты математикада да сөйлемдер болады. Кез
келген математикалык сөйлем оның мазмұны және логикалык құрылымымен
сипатталады. Біз негізінен сөйлемдердің логикалық құрылымына көңіл
аударамыз. Математикалық сөйлемдерді логикалык, құрылымына қарай жай және
кұрама сөйлемдер деп екіге бөлеміз.
Берілген дене немесе объект туралы бір ғана ойды білдіретін сөйлемдерді
жай сөйлетдер деп атаймыз.
Мысалы: 25 саны - так сан. Бұл - жай сөйлем, өйткені сөйлемде объект
ретінде алынып тұрған 25 санының тек тақ сан екендігі туралы ғана айтылып
тұр.
Екі немесе бірнеше жай сөйлемдерден құралған сөйлемдерді құрама
сөйлемдер деп атаймыз. Басқаша, берілген дене немесе объект туралы екі
немесе бірнеше ойды білдіретін сөйлемдерді құрама сөйлемдер деп атаймыз.
Мысалы, 25 саны тақ сан және 5-ке бөлінеді. Бұл -құрама сөйлем. Өйткені,
бұл сөйлем 25 саны таң сан және 25 саны 5-ке бөлінеді деген екі жай
сөйлемнен құралған. Басқаша айтқанда, бұл сөйлемде берілген дене немесе
объект 25 саны туралы екі ой айтылып түр. Оның біреуі - 25 санының тақ сан
екендігі, екіншісі -25 санының 5-ке бөлінетіндігі.
Құрама сөйлемдерді алу үшін және, немесе, егер...онда, емес,
т.б. сөздерді пайдаланамыз. Оларды математикада логикалық байламдар деп
атай-ды. Аталған логикалық байламдарға байланысты құрама сөйлемдердің
логикалык, құрылымы анықталады. Құрама сөйлемдердің логикалық құрылымын
анықтау үшін, мыналарды тағайындау керек:
1.Құрама сөйлемдердің қандай жай сөйлемдерден
жасалғанын.
2.Қандай логикалық байлам арқылы жасалғанын.
Енді қүұрама сөйлемдердің логикалың құрылымын анықтауды мысалдар арқылы
көрсетейік.
25 саны тақ сан және 5-ке бөлінеді. Бұл сөйлем екі жай сөйлемнен
құралған. Бірінші жай сөйлемді А-деп, ал екінші жай сөйлемді В-деп
белгілесек, онда А жөне В түріндегі (формасындағы) сөйлем аламыз. Оны
қысқаша былай жазуға болады: А ˄ В, ˄ - белгісі - конъюнкция белгісі
цазақша біріктіремін деген магына береді. Оңылуы: А және В .
6 саны 8-ден үлкен немесе 8-ге тең. 6 саны 8-ден үлкен деген жай
сөйлемді А-деп, ал 8-ге тең деген жай сөйлемді Б-деп белгілеп, А немесе В
формасындағы сөйлемді аламыз. Оны қысқаша былай жазады: A v В, v -белгісі -
дизъюнкция белгісі. Қазақша ажыратамын деген мағына береді. Оқылуы: А
немесе В.
Егер үшбұрыштың табанындағы бұрыштары тең болса, онда үшбұрыш тең
бүйірлі. Үшбұрыштың табанындагы бұрыштары тең. Оны А-деп, ал үшбұрыш
тең бүйірлі деген жай сөйлемді В-деп белгілесек, онда егер А, онда В
формасындағы сөйлем аламыз. Оны қысқаша былай жазуға болады: А = В. = -
белгісі импликация белгісі. Қазақша шығады деген мағына береді. Сонда А
:= В формасындағы сөйлемді басқаша А сейле-мінен В сөйлемі шығады деп те
оқуга болады. Оқылуы: ЕгерА, ондаВ.
Емес деген логикалық байлам арқылы жасалатын сөйлемнің құрылымын анықтау
үшін, 15 саны тақ сан деген сейлем алайық та, оны А-деп белгілейік. Енді
осы сөйлемнің соңына емес деген логикалык, байламды тіркеп жазайық.
Сонда: 15 саны тақ сан емес деген жаңа сейлем аламыз. Соңғы сейлемнің
формасы А емес болып шығады. Оны қысқаша былай жазамыз: -i А. Оқылуы: А
емес. А-ның алдындағы сызықша белгісі терістеу деп аталады. Ендеше, біз
15 саны тақ сан деген сейлемді 15 саны тақ сан емес деп теріске шығарып
отырмыз.
Математикада математикалык сөйлемдер туралы айқын түсінік берілмейді.
Алайда өрнектерді, теңдіктерді оқу кезінде біз іс-жүзінде математикалық
сөйлемдермен кездесеміз. Сондықтан мұғалімінің математикалык, сөйлемдер
туралы түсінігі болғаны дұрыс.
Сондықтан берілген қандай да бір объектіні түсіну үшін, оның негізгі
қасиеттерін білу жеткілікті. Бұл жағдайда объект туралы үғым-түсінік бар
деп айтуға болады.
Объектінің өзара байланысты барлық негізгі касиеттерінің жиынтығын осы
объект туралы ұгымның мазмұны деп атайды.
Математикалық объект туралы айтқанда бір ғана сөзбен, терминмен
түсіндірілетін барлық объектілердің жиынтығы айтылады. Мысалы, үшбұрыш
туралы айтқанда, үшбұрыш болып есептелетін барлық геометриялык, фигуралар
туралы айтылады. Барлық үшбұрыштардың жиынтығы үшбұрыш туралы үғымды
қүрайды.
Жалпы ұгымның көлемі дегеніміз - бір ғана сөзбен, терминмен белгіленетін
барлық объектілердің жиынтығы.
Сонымен, кез келген ұғым аталу терминімен, көлемімен және мазмұнымен
сипатталады екен.
Ұғымның мазмұны мен көлемінің арасында мынадай байланыс бар:
Ұғымның көлемі неғұрлым артық болса, оның мазмұны соғұрлым аз
болады. Мысалы, тік бұрышты үшбұрыш ұғымының көлемі үшбұрыш ұғымының
көлемінен кіші, өйткені, алғашқы ұғымның көлеміне барлық үшбұрыштар
кірмейді, тек тік бұрышты үшбұрыштар ғана кіреді. Бірақ тік бұрышты
үшбұрыш ұғымының мазмұны үшбұрыш ұғымының мазмұнынан артық, яғни
кеңірек. Өйткені тік бұрышты үшбұрыш барлық үшбұрыштарға тән қасиеттермен
қоса, озіне ғана тән қосымша қасиеттерге математикалық түрде математикалық
ұғымдарға өте бай. 1-сыныптың өзінде оқушылар цифр, сан, қосылғыш,
қосындының мәні, кесінді, т.б. ұғымдармен танысады. Сынып жоғарылаған
сайын мұндай ұғымдардың саны артып, кеңейе береді.
Ендеше, болашақ мұғалім ұғым туралы жоғарыда баяндалған мәселелерді
білуге міндетті.
1.3. Теореманың құрылымы және түрлері
Теорема деп ақиқаттығы дәлелдеу арқылы тағайындалатын математикалық
сөйлемді айтады.Әрбір теорема өзінің р шартын және q қорытындысын
қамтиды.Мәселен “Вертикаль бұрыштар тең” теоремасында вертикаль бұрыштар
ол шарты,ал тең деген қорытындысы.
Ал теореманы дәлелдеу дегеніміз р шартын ақиқат деп алып, q
қорытындысының ақиқаттығын логикалық жолмен көрсету.
Теоремалар тура,кері,қарама-қарсы және кері теоремаға қарама –қарсы
теорема түрінде кездеседі.
р q тура теорема деп алсақ,мысалы “Егер төртбұр ыш тең бүйірлі
трапеция болса,онда оның диоганальдары тең болады ” ,сияқты берілген
теоремаға қарсы теорема деп тура теореманың шартын қорытындысымен,ал
қорытындысын шартымен ауыстырудан шыққан теореманы айтады q
р.Мысалы :”Егер трапеция болатын төртбұрыштың диоганальдары тең болса,онда
ол теңбүйірлі болып табылады”.
Тура теоремаға қарамаөқарсы теорема деп оның шарты мен қорытындысын
тікелей теріске шығарудан алынған теореманы айтады.
р q .Мысалы “Егер тқртбұрыш тең бүйірлі трапеция болса,онда оның
диоганальдары тең болмайды”.
Қарама-қарсы теоремаға кері теорема деп шарты мен қорытындысын
теріске шығарудан алынған теореманы айтады. q рМысалы:”Егре трапеция
болатын диоганальдары тең болмаса,онда ол тең бүйірлі болмайды”.
Сонымен р q теорема берілген болса, онда q р берілген
теоремаға кері, р q берілген теоремаға қарма-қарсы , q р қарама
қарсы теоремаға кері теорема деп аталады.
Жалпы алғанда р q түріндегі ұйғарымды логика тілінде теорема
дейді(грекше theorem –қарастырамын,ойланамын).Теорема-ақ иқаттығын дәлелдеу
арқылы анықталатын математикалық сөйлем.
Теореманың сөздік тұжырымдамасы әр түрлі формада болуы мүмкін.Алайда
,теорема қанедай формада тұжырымдалса да барлық кезде оның шарты р және
қорытындысы q болу керек.Сонымен қатар теоремада сөз болып отырған
обьектілерді сипаттайтын теореманығ мәлімдеу бөлігі болады.
Сонда
мәлімдеу бөлігі;
р(х)-шарты;
q(x)-қорытындысы.
ІІ Теоремалырды дәлелдеу
2.1 Дәлелдеу туралы түсінік
Дәлелдеу, логика мен математикада – қандай да бір пікірдің, тұжырымның
(мыс., теореманың) ақиқаттығын не жалғандығын негіздеу әдісі.
Математикадағы дәлелдеуге қойылатын талаптар математика дамуының
ертедегі сатысында-ақ жасалды. Ол кезде математика теориясын құрудың
аксиомалық әдісі пайдаланылды. Мұндай әдісті қолданудың нақты үлгісі Евклид
Негіздерінде баяндалған геометриялық жүйе болды. Дәлелдеу әдісінің
аксиомалық теориясы үшін тән белгі – ондағы қорытынды деп аталатын
тұжырымдардың белгілі бір тәртіппен тізбектеп қойылатындығы. Мұның үстіне
ол тұжырымдардың біреуі ұйғару ретінде қабылданып, қалғандары сол
тізбектегі бұрынғы тұжырымдардан логикалық жолмен қорытылып шығарылады.
Егер барлық ұйғарулар берілген қорытынды шегінде ғана емес, барлық
қарастырылып отырған теорияда ақиқат болса, онда мұндай қорытынды дәлелдеу
деп аталады. Нақты дәлелдеуде аксиомалар ғана емес, бұрын дәлелденген
сөйлемдер де пайдаланылады. Жалпы айтқанда, қандай да бір пікір өздігінен
дәлелдеу бола алмайды, ол белгілі бір аксиомалық теорияның шекарасында ғана
дәлелдеу бола алады.
Дәлелдеу-математиканың іргетасы, онсыз математиканың дамуы мүмкін емес.
Математикадағы ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz