Логарифмдік және көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу

ЖОСПАР

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..2
І.Логарифдік және көрсеткіштік функцияның қалыптасуы
1.1. Логарифмдік функция және олардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
1.2. Натурал және ондық логарифмдер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .10
1.3. Көрсеткіштік функция және көрсеткіштік функцияның графигі ... ...13
ІІ.Логарифмдік және көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістері.
2.1. Логарифмдік және Көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...22
2.2. Көрсеткіштік теңсіздіктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...24
2.3 Логарифмдік теңдеулерді құрастыру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..27
2.4. Көрсеткіштік теңдеулер жүйесін шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .29
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .31
Пайдланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..32
Еліміздің егемендікке ие болып, Қазақстан өз алдына мемлекет мәртебесіне жетіп бүкіл әлемге, жер жүзіне өзінің елдігін, саясатын танытатын шаққа жетіп отыр. Еліміздің елдігін танытып, оны жетілдіріп, дамытатын жас ұрпақ сондықтан да еліміздің болашағы жас жеткіншектің білім дәрежесінің тереңдігімен өлшенеді. Ал осы балғын жеткіншектерге жол көрсетуші, бағыт беруші мектеп мұғалімдері.
Сондықтан адал ниет жас жеткіншектерге білім мен тәрбие есігін ашу мектеп мұғалімдеріне абыройлы да жауапты жұмыс жүктейді. Өйткені білім тәрбиенің негізі, демек баланың жеке басының қалыптасу кезеңі мектеп қабырғасында қаланады.
Біз біліктілікті қалыптастыратын бірғана математика саласын қарастырып отырмыз. Оның білімділікке қосатын үлесі қандай деген сауал тілімізге оралады. Бағдарлама бүреудің ойпікірі. Оның материалын жүйелеп бергенде болған. Мұндай жағдайда оқырманның өзіне тән обьективтік пікір қалыптаспайды. Адам есепті өзі құрастырса, онда ол есеп құрамындағы өрнектерді өзінің бұрын оқыған математикалық сөйлемдеріндегі, формулалардың, теоремалардың құрамындағы өрнектермен салыстырып олардың теңдеулер құрамына қосатын үлесін анықтап біреудің айтуы бойынша емес өз басымен ойлап тапқан шешімді шешім қабылдайды.
Теңдеулерді шешуде негізінен екі түрлі тәсіл жиі қолданылады. Бұл екі тәсілде де берілген күрделі теңдеулерді қарапайымдау бірнеше теңдеулер жиынтығына келтіріп шешеді. Сондықтан логарифмдік және көрсеткіштік теңдеулерді түрлендіру барысында олардың тең шамалылығын қадағалай отырып, функцияларға тән қасиеттерді де қолдану керек. Әрине, білімімізді кеңейту арқылы ойлау заңдылығының өрбуінің және оның дамуын үйренеміз. Зерттеу нәтижесінде логарифмдік және көрсеткіштік теңдеулерді әртүрлі жолдарымен алынған тәсілінің мәнін ашпақты.
Пайдаланылған әдебиеттер

1. Көбесов А. «Математика тарихы» Алматы, «Қазақ университеті», 1993.
2. Биляров Т. Н. «Элементар математика есептер жинағы» Алматы, 1992
3. Сканави М. И. «Математикадан конкурстық есептер жинағы». Аударғандар: Меңдіғарина
4. Айдос, Е. Ж. Балықбаев Т. О. «Математика» Алматы 2006.
5. «Математика және физика» журналы N1; N2; N3 2008, Алматы.
6. «Математика және физика» журналы N1; N2; N3; N4; N5;
7. «Математика және физика» журналы N4; N5; N6 2008, Алматы.
8. «Математика және физика» журналы N1; N2; N3 2006, Алматы.
9. «Математика және физика» журналы N1; N2; N3 2007, Алматы.
10. Сканави М. И. и др. Элементарная математика. М. 1974.
11. Темірғалиев Н., Әубәкір Б., Баилов Е., Потапов М.К., Шерниязов
12. Математикалық анализ, 1 т., А, «Мектеп», 1987.
13. Сатыбалдин С.С., Аганина Қ. Ж. «Организационно – педагогические вопросы
14. Алдамұратова Т.А. Математика; Жалпы білім беретін мектептің 5-сыныбына арналған
15. Баймұханов Б. Жалпы білім беретін мектептің 6-сыныбына арналған байқау
16. Баймұханов Б. Жалпы білім беретін мектептің 7-сыныбына арналған байқау
17. Баймұханов Б. Жалпы білім беретін мектептің 8-сыныбына арналған байқау
18. Аганина Қ. Ж. Экономикалық білім беру – заман талабы
19. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия 11 Учебник для классов

20. Қабдықайыров Қ.А. «Жоғарғы математика негіздері»
Алгебра және анализ бастамалары
21. Бәрі де сандар туралы, Алматы кітап
22. Н.П.Антонов, М.Н. Выгодский . Сборник задач по элементарной математике.
23. А.Е. Әбілқасымова. Т.Б Бекбаев,т.б. Алгебра және анализ бастамалары. Алматы "Мектеп" 2007
24. В.Г.Болтянский, Ю.В.Сидоров. Матиматика попурри Минск1996.
        
        ЖОСПАР
Кіріспе..........................................................................................................................2
І.Логарифдік және көрсеткіштік функцияның қалыптасуы
1.1. Логарифмдік функция және олардың қасиеттері..................................3
1.2. Натурал және ондық логарифмдер.........................................................10
1.3. Көрсеткіштік функция және көрсеткіштік функцияның графигі.......13
ІІ.Логарифмдік және ... ... мен ... шешу ... ... және Көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу...........................................................................................................................22
2.2. ... ... ... ... құрастыру......................................................27
2.4. Көрсеткіштік теңдеулер жүйесін шешу.................................................29
Қорытынды.................................................................................................................31
Пайдланылған әдебиеттер тізімі..............................................................................32
Кіріспе.
Еліміздің егемендікке ие болып, Қазақстан өз алдына мемлекет мәртебесіне жетіп ... ... жер ... өзінің елдігін, саясатын танытатын шаққа жетіп отыр. Еліміздің елдігін танытып, оны жетілдіріп, дамытатын жас ұрпақ сондықтан да еліміздің болашағы жас ... ... ... тереңдігімен өлшенеді. Ал осы балғын жеткіншектерге жол көрсетуші, бағыт беруші мектеп мұғалімдері.
Сондықтан адал ниет жас жеткіншектерге білім мен тәрбие есігін ашу ... ... ... да жауапты жұмыс жүктейді. Өйткені білім тәрбиенің негізі, демек баланың жеке басының қалыптасу кезеңі мектеп қабырғасында қаланады.
Біз біліктілікті қалыптастыратын бірғана ... ... ... ... Оның білімділікке қосатын үлесі қандай деген сауал тілімізге оралады. Бағдарлама бүреудің ойпікірі. Оның материалын жүйелеп бергенде болған. ... ... ... ... тән обьективтік пікір қалыптаспайды. Адам есепті өзі құрастырса, онда ол есеп құрамындағы ... ... ... оқыған математикалық сөйлемдеріндегі, формулалардың, теоремалардың құрамындағы өрнектермен салыстырып олардың теңдеулер құрамына қосатын үлесін анықтап біреудің айтуы бойынша емес өз басымен ... ... ... ... ... ... негізінен екі түрлі тәсіл жиі қолданылады. Бұл екі тәсілде де берілген күрделі теңдеулерді қарапайымдау бірнеше теңдеулер жиынтығына ... ... ... логарифмдік және көрсеткіштік теңдеулерді түрлендіру барысында олардың тең шамалылығын қадағалай ... ... тән ... де ... ... ... білімімізді кеңейту арқылы ойлау заңдылығының өрбуінің және оның дамуын үйренеміз. Зерттеу нәтижесінде логарифмдік және көрсеткіштік теңдеулерді ... ... ... тәсілінің мәнін ашпақты.
.
І.Логарифдік және көрсеткіштік функцияның қалыптасуы
1.1. Логарифмдік функция және олардың қасиеттері
Логарифм (logos -- ... және ... -- сан), N ... ... ... логарифмі -- N санын алу үшін а саны m ... ... ... бұл logaN ... ... ... егер am=N ... m=logaN. а0 деп алынады. Логарифмдік функциялардың қасиеті бойынша, кез келген оң санның ... ... ... бір ғана ... Логарифмі болады (теріс санның Логарифмі Логарифмді ойлап тапқан және ... ... ... ... ... қысқаша айта кетейік. Джон Непер - шотландияда туған. 16 жасында ... ... 5 жыл ... әртүрлі университеттерінде оқып, математиканы игерген. Кейін астрономия және математикамен терең айналысқан. Логарифмдік есептеулер идеясына Непер 16-ғасырдың 80-жылдарында келген, ... ... ... 25 жыл ... кейін 1614 жылы ғана жариялаған. Ол деген атпен шыққан. ... ... өзін де ... ... ол оны деп ... ... ... мен идеялары тез таралып, қолданықа түскен. және сфералық тригонометрияда кездестіруге болады. логарифмдік терминнің (деген мағынаны білдіреді) тұңғыш ... ... ... екі сөзінің бірігуінен құралған: -сан және - ... ... және ... еңбектері есептеу жұмыстары анағұрлым жеңілденді. Уақыт өте келе, ол кең етек жая бастады. Логарифм көбінесе физикалық ... ... және ... ... ... да ... ... сипаттама берген кезде қолданылады. Логарифмдік функциялардың қасиеттеріне түрлендірулер жүргізген кезде, ... ... ... және ... жүйелерін шешуде қолданылуда.
1.b санының негізі а болғандағы логарифмі дегеніміз - b саны шығу үшін негіз шығарылатын ... ... ... b ... ... loga b деп белгіленеді.
2. Егер a > 0, a != 1, b > 0, онда ... ... ... ... деп ...
3. ... ... log10 b, мұндағы b- кез-келген оң сан, lg b деп ... ... ... ... a > 0, a != 1) N > 0 үшін ғана ... loga N - ... a > 1 әрі N > 1 болса, онда логарифмнен оң сандар, ал 0 < N < 1 ... онда ... ... ... ...
3. loga N - ... 0 < a < 1 әрі N > 1 болса, онда логарифмнен теріс сандар, ал a < N < 1 ... онда оң ... ...
4. Егер a > 1, онда loga N1 < loga N2 ... N1 > N2 ... ... log37 > log35 ... 7>5.
6. Егер 0 < a < 1, онда loga N1 < loga N2 ... ... ... осыдан 9>7.
7. loga1 = 0 (a>0, a != 1).
8. logaa = 1 (a>0, a != 1).
y = loga x ... ... егер ... D(f) = R+;
Б) E(f) = R;
В) функция өспелі;
Г) егер x = 1болса, онда loga x = ... егер 0 < x < 1 ... онда loga x < ... егер x > 1 болса, онда loga x > 0.
y = loga x функциясының қасиеттері, егер 0 < a < ... D(f) = ... E(f) = ... ... кемімелі;
Г) егер x = 1 болса, онда loga x = ... егер 0 < x < 1 ... онда loga x > ... егер x > 1 ... онда loga x < ... формулалары
Логарифмнің негізгі қасиеттері:
loga(МN)=logaМ+logaN;
loga(M/N)=logaM - logaN;
logaNk= =klogaN;
(яғни сандарды көбейту және бөлу Л-ін олардың Л-дерін қосу мен алуға, ал дәрежеге ... мен ... табу ... сол ... ... ... көрсеткішіне көбейту мен бөлуге, яғни барынша қарапайым амалдарға келтіруге мүмкіндік береді). Егер a негізі белгілі болса, ... ... ... ... ... болады. Әдетте lgN түрінде белгіленетін ондық Логарифм (a=10) көбірек ... 10k (k -- ... сан) ... ... ... санның ондық Логарифмі ондық бөлшек түрінде жуықтап өрнектелетін трансцендент сан. ... ... ... ... ... ал ... бөлігін мантиссасы деп атайды.
lg(10 kN)=k+lgN
болғандықтан, 10k көбейткішімен ерекшеленетін сандардың ондық Логарифмінің мантиссасы бірдей, тек сипаттамалары әр ... ... ... ... осы ... негізделіп жасалған, онда бүтін сандардың тек мантиссалары ғана берілген.
Негізі e=2,71828... трансцендент сан ... ... ... де ... зор; ол lnN ... ... ... бір негізінен екінші негізіне ауысу үшін
logbN=logaN/logab
формуласы қолданылады. 1/logab көбейткіші a негізден b негізге ауысу (өту) ... деп ... ... ... ... ... ... керісінше өту lnN=lgN/lge, lgN=lnN/ln10; 1/lge=2,30258; 1/ln10=0,43429... формулалары ... ... ... ... Дж. ... ұсынған. Логарифм ең алдымен 16 ғасырда астрономияның тез ... ... ... анықтай түсуге және астрономия есептеулердің күрделілене түсуіне байланысты ашылды. Алғашқы Логарифм кестелерінің авторлары ... ... ... мен оның ... ... ... құрастырылған арифметикалық прогрессия қасиеттерінің арасындағы тәуелділікті пайдаланған. Бұл тәуелділіктерді б.з.б. 3 ғасырда Архимед ішінара байқаған болатын, 1484 ж. ... 1544 ж. ... ... ... білген. Алғашқы Логарифм кестелерін 1614 -- 1619 ж. Дж.Непер мен 1620 ж. ... ... ... және бір мезгілде құрастырған. Логарифмді теория тұрғыдан зерттеуде Бельгия математигі Григорий мен Л.Эйлер (1707 -- 1783) ... ... ... функция -- x = e^y көрсеткіштік функциясына кері y=lnx ... х ... ... бір ... ... келетін у Логарифмдік функцияның мәні х санының натурал логарифмі деп аталады. Логарифмдік функцияның негізгі қасиеттері ... ... мен ... ... ... Математика анализ курсында
\log_a x = y\,
(мұндағы x>0, а>0, a \ne 1) Логарифмдік функциясы ... Бұл ... y=lnx ... ... ... ... байланысады. \log_a x\, Логарифмдік функциясы x>0 болғанда ... ... ... (а>1 болғанда өседі, 0 3x > 1 =˃ x ˃ 1
x2 + x +1˃0 x > 0 3
x > ... 1 + ... және ... теңдеулер мен теңсіздіктерді
шешу әдістері.
2.1.Логарифмдік және көрсеткіштік теңдеулер мен ... ... ... ... ... қарастырайық . Логарифмдік функция (0;) аралығында өседі (не ... және осы ... ... ... ... қабылдайды. Түбір туралы теорема бойынша, бұдан кез келген b үшін берілген теңдеудің түбірі бар және ол тек ... ғана ... ... ... ... ... аb саны сол шешім екендігі бірден табылады. 1-м ы с а ... ... ... + 4х + 3) = ... ... ...
х2 + 4х + 3 = 23
теңдігі орындалатындай мәндері ғана қанағаттандырады. Сонымен,
х2 + 4х + 5 = 0 ... ... ... Оның ... 1 мен -- 5 ... Олай ... берілген теңдеудің шешімі екі сан, олар: 1 мен -- 5.
2-м ы с а л. ... ... ... + 3) =log5(х + 1).
Бұл теңдеу х-тің тек
2х + 3 > 0 және х + 1 > ... ... ... ғана ... ... ... үшін ... теңдеу
2х + 3 = х+1
теңдеуімен мәндес. Бұдан х = - 2 екенін табамыз. Ал х = -2 саны х+1 > 0 ... ... Олай ... ... теңдеудің түбірлері болмайды.Ал осы теңдеуді басқаша шешуге болар еді. Берілген теңдеудің салдарына
2х + 3 = х + ... х = - 2 ... ... ... ... бұзылмайтындай етіп түрлендірген жағдайда, табылған мәнді бастапқы теңдеуге қойып, тексеру қажет.
Тап осы ... ... ... тура емес ... ... жоқ).
3-м ы с а л.
Теңдеуді шешейік
logx (х2-2х + 2) = 1.
Бұл теңдеуді ... тек х > 0 және х 1 (х -- ... ... ... және
х2-2х +2=х, яғни х2 -3х +2 = 0
теңдігі орындалатындай мәндері ғана қанағаттандырады. Осы табылған квадрат теңдеудің ... 1 және 2 ... ... ... Алайда х = 1 саны
2.2.Көрсеткіштік теңсіздіктер
a f(x) >= a g(x) ... ... ... деп ... ... мына ... эквивалентті:
1). a > 1 болса онда f(x) >= ... 1> a > 0 ... онда f(x) = 3[x+1] ... ... ]>= ... >= x+1 ... ... >= 1
x >= 1
Жауабы: x >= 1.
Екінші мысал.
(0,5)4x 0
4x >= x+6
4x-x >= 6
3x >= 6
x >= ... >= ... x >= ... ... ... ... 54x >= 5x+9 b). (0,3) 5 >= (0,3) x+3 c). 52y >= 25 ... ... тек ... бір санның (сандардың) дәрежесіне (дәрежелеріне) ғана еңетің теңдеулерді көрсеткіштік теңдеулер деп атайды.
Мысалы 4x-2x+1+1=0 теңдеуі көрсеткіштік теңдеуі ... ... ... ізделінетің белгісіз x саны 4 және 2 сандарының дәрежелеріне ... ... шешу үшін ... ... ... ... x=0 ... ... ... ... шешу үшін ... ... ... қажет болады.
32x- 4·3x+3=0
3x=t
t2-4·t+3=0
t1=1
t2=3
3x=1
x1=0
3x=3
x2=1
Жауабы: x1=0, x2=1.
1. а) Логарифмдік теңдеуді шешу: logax = b ... a > 0, a != 1. ... ... ... бар: x = ... жағдайда
б) logaf(x) = logag(x), a > 0, a != 1, теңдеуінің шешімі:
Сол сияқты logf(x)A = logg(x)A,A > 0 ... ... ... ... шешу:
2.3. Логарифмдік теңдеулерді құрастыру
Есепті өзіміз құрастырғанда көптеген жағдайда керегін таңдап аламыз. Егер есеп құруға белгілі шарттарды қанағаттандыратын ... ... онда ... іске ... ... ... ойымызды жүйеге келтіріп шыңдаймыз. Басқаша айтқанда, өзімізге тән ойлау ... ... ... ... құрылымын күрделендіреміз де шешімінің соны өзгермейтініне көз жеткізу.
Теңдеулерді құру ... ... ... ... ... нөлмен, ал олардың қатынасын бірмен алмастыру арқылы, есеп құрылымы ықшамдалып , теңдеу құру кезінде осыны пайдалансақ, берілген теңдеудің ... ... де ... саны ... есеп ... ... көз жеткіземіз.
- Логариифмдік теңдеулерге нөлді қосу арқылы күрделі теңдеу алу
- Берілген теңдеудің шешімі түрледірілген теңдеудің де ... ... және адам ... ... жоқ ... кері ... арқылы дәлелдеу.
- Күрделендіру арқылы теңдеу құрудың әдістерін қарастыру.
Есеп шығару процессі нақты мысалдар мен түсіндірейік.
log3 (2х+1) + lg5x - lg5x=2 ... (2х+1) + lg5x =2+ lg5x ... (2х+1) + lg5x = ...
log3 (2х+1) + lg5x = lg100+lg5x
log3 (2х+1) + lg5x = lg500x
Сонымен log3 (2х+1) =2 ... ... қосу ... мына ... ... алынады.
log3 (2х+1) + lg5x = lg500x
Берілген log3 (2х+1) =2 теңдеуін шешейік, х-тің тек 2х+1>0, х >- ... ... х - тің мәні үшін ... ... 2х+1=32 ... ... ... х=4 екенің табамыз. Бұл берілген теңдеудің шешімі. Осы сан түрлендірген теңдеудің де шешімі ... ... да, ... (2 4+1)+ lg 5 4= lg500 4 log39+ ... lg2000- lg20 log332= lg , 2=lg 100 lg102 ... теңдеудің шешімінің х=4-тен басқа шешімі жоқ екенін кері ... ... ... ... log3 (2х+1) =2 ... он жағын мынаған
көбейтейік. Сонда: Логарифмнің анықтамасын еске түсіріп, теңдеуді
түрлендіреміз
3 log3(2x+1) =3 log 49x (2x+1) ... ... ... ... көбейту арқылы мына
(2x+1) =49x2
күрделендірілген теңдеу алынады.
2.4. Көрсеткіштік теңдеулер жүйесін шешу
Қарапайым ... ... ... ... логарифмдік теңдеу деп аталады. Бұл ең қарапайым логарифмдік теңдеу. Бұл түрдегі теңдеулер логарифмнің анықтамасын қолдану арқылы тікелей ... бір ғана ... бар: ... теңдеулерді логарифмнің қасиеттерін қолданып түрлендіру барысында бөгде түбірлердің пайда ... да, ... ... ... жоғалтып алу да орын алуы мүмкін. ... ... ... мәндес түрлендірулер болуын қадағалап отыру қажет.
1795145-317500 ... ... де ... ... ... қатарына жатады да, теңдеуімен мәндес болады.
мысалдар:
№1.Теңдеуді шешіңіз: ... ... ... ... ... ... ...
№3. Теңдеуді шешіңіз: ... Бұл ... ... қарастырылған екі теңдеуге қарағанда күрделірек сияқты болып көрінгенімен, шын мәнінде олай емес. Мұнда логарифмнің ... екі рет ... , ... ... , ... ... егер ... да өрнек оң сандарды көбейту,бөлу, дәрежелеу және олардың түбір табу арқылы құрылған болса ,онда осы бүкіл өрнектің логарифімін оның ... ... ... арқылы өрнектеу өңгей. Логарифмге кері амал потенцирлеу деп аталады. Оның мәнісі ... да бір ... ... ... сол ... өзі ... табылатынына көз жеткіземіз.
Осында логарифмдерді пайдаланғанда көптеген математикалық формулаларды едәуір ықшамдауға болатынын математикалық ой-қорынды жасап, сараптай білуді үйрендім.
Қарастырған есептерге ... ... ... ... ... ... құра білу және шеше білу ... . Логарифмдік теңдеулер физикалық, химиялық, биологиялық т.б. ғылым салаларында кеңінен қолданылады. Логарифмдік ... шешу мен ... ... техникалық ғылымдар үшін маңызы зор.
Пайдаланылған әдебиеттер
* Көбесов А. Алматы, , 1993.
* Биляров Т. Н. ... 1992
* ... М. И. . ... ... ... Е. Ж. ... Т. О. Алматы 2006.
* журналы N1; N2; N3 2008, ...
* ... N1; N2; N3; N4; ... ... N4; N5; N6 2008, ...
* ... N1; N2; N3 2006, Алматы.
* журналы N1; N2; N3 2007, Алматы.
* Сканави М. И. и др. ... ... М. ... ... Н., ... Б., ... Е., ... М.К., Шерниязов
* Математикалық анализ, 1 т., А, , 1987.
* Сатыбалдин С.С., Аганина Қ. Ж.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Көлемі: 13 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 600 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Логарифмдік теңдеулерді және теңсіздіктерді шешу6 бет
Стандартты емес теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді оқыту әдістемесі51 бет
Қоршаған ортаны құқықтық қорғау»23 бет
Математикалық теңдеулер жүйесі12 бет
N сызықты теңдеулерден тұратын жүйенің жауабын табатын программа құру15 бет
n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешу36 бет
Алгебралық теңдеулер жүйесін шешу56 бет
Алгебралық теңдеулердің шешудің жанама әдісі7 бет
Анықталмаған теңдеулерді шешудің жаңа әдістері23 бет
Бастауыш сыныптарда теңдеулермен жұмыс істеу әдістемесі.18 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь