Логарифмдік және көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу

ЖОСПАР

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..2
І.Логарифдік және көрсеткіштік функцияның қалыптасуы
1.1. Логарифмдік функция және олардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
1.2. Натурал және ондық логарифмдер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .10
1.3. Көрсеткіштік функция және көрсеткіштік функцияның графигі ... ...13
ІІ.Логарифмдік және көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістері.
2.1. Логарифмдік және Көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...22
2.2. Көрсеткіштік теңсіздіктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...24
2.3 Логарифмдік теңдеулерді құрастыру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..27
2.4. Көрсеткіштік теңдеулер жүйесін шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .29
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .31
Пайдланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..32

Еліміздің егемендікке ие болып, Қазақстан өз алдына мемлекет мәртебесіне жетіп бүкіл әлемге, жер жүзіне өзінің елдігін, саясатын танытатын шаққа жетіп отыр. Еліміздің елдігін танытып, оны жетілдіріп, дамытатын жас ұрпақ сондықтан да еліміздің болашағы жас жеткіншектің білім дәрежесінің тереңдігімен өлшенеді. Ал осы балғын жеткіншектерге жол көрсетуші, бағыт беруші мектеп мұғалімдері.
Сондықтан адал ниет жас жеткіншектерге білім мен тәрбие есігін ашу мектеп мұғалімдеріне абыройлы да жауапты жұмыс жүктейді. Өйткені білім тәрбиенің негізі, демек баланың жеке басының қалыптасу кезеңі мектеп қабырғасында қаланады.
Біз біліктілікті қалыптастыратын бірғана математика саласын қарастырып отырмыз. Оның білімділікке қосатын үлесі қандай деген сауал тілімізге оралады. Бағдарлама бүреудің ойпікірі. Оның материалын жүйелеп бергенде болған. Мұндай жағдайда оқырманның өзіне тән обьективтік пікір қалыптаспайды. Адам есепті өзі құрастырса, онда ол есеп құрамындағы өрнектерді өзінің бұрын оқыған математикалық сөйлемдеріндегі, формулалардың, теоремалардың құрамындағы өрнектермен салыстырып олардың теңдеулер құрамына қосатын үлесін анықтап біреудің айтуы бойынша емес өз басымен ойлап тапқан шешімді шешім қабылдайды.
Теңдеулерді шешуде негізінен екі түрлі тәсіл жиі қолданылады. Бұл екі тәсілде де берілген күрделі теңдеулерді қарапайымдау бірнеше теңдеулер жиынтығына келтіріп шешеді. Сондықтан логарифмдік және көрсеткіштік теңдеулерді түрлендіру барысында олардың тең шамалылығын қадағалай отырып, функцияларға тән қасиеттерді де қолдану керек. Әрине, білімімізді кеңейту арқылы ойлау заңдылығының өрбуінің және оның дамуын үйренеміз. Зерттеу нәтижесінде логарифмдік және көрсеткіштік теңдеулерді әртүрлі жолдарымен алынған тәсілінің мәнін ашпақты.

Пайдаланылған әдебиеттер

1. Көбесов А. «Математика тарихы» Алматы, «Қазақ университеті», 1993.
2. Биляров Т. Н. «Элементар математика есептер жинағы» Алматы, 1992
3. Сканави М. И. «Математикадан конкурстық есептер жинағы». Аударғандар: Меңдіғарина
4. Айдос, Е. Ж. Балықбаев Т. О. «Математика» Алматы 2006.
5. «Математика және физика» журналы N1; N2; N3 2008, Алматы.
6. «Математика және физика» журналы N1; N2; N3; N4; N5;
7. «Математика және физика» журналы N4; N5; N6 2008, Алматы.
8. «Математика және физика» журналы N1; N2; N3 2006, Алматы.
9. «Математика және физика» журналы N1; N2; N3 2007, Алматы.
10. Сканави М. И. и др. Элементарная математика. М. 1974.
11. Темірғалиев Н., Әубәкір Б., Баилов Е., Потапов М.К., Шерниязов
12. Математикалық анализ, 1 т., А, «Мектеп», 1987.
13. Сатыбалдин С.С., Аганина Қ. Ж. «Организационно – педагогические вопросы
14. Алдамұратова Т.А. Математика; Жалпы білім беретін мектептің 5-сыныбына арналған
15. Баймұханов Б. Жалпы білім беретін мектептің 6-сыныбына арналған байқау
16. Баймұханов Б. Жалпы білім беретін мектептің 7-сыныбына арналған байқау
17. Баймұханов Б. Жалпы білім беретін мектептің 8-сыныбына арналған байқау
18. Аганина Қ. Ж. Экономикалық білім беру – заман талабы
19. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия 11 Учебник для классов

20. Қабдықайыров Қ.А. «Жоғарғы математика негіздері»
Алгебра және анализ бастамалары
21. Бәрі де сандар туралы, Алматы кітап
22. Н.П.Антонов, М.Н. Выгодский . Сборник задач по элементарной математике.
23. А.Е. Әбілқасымова. Т.Б Бекбаев,т.б. Алгебра және анализ бастамалары. Алматы "Мектеп" 2007
24. В.Г.Болтянский, Ю.В.Сидоров. Матиматика попурри Минск1996.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 23 бет
Таңдаулыға:

ЖОСПАР

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2
І.Логарифдік және көрсеткіштік функцияның қалыптасуы
1.1. Логарифмдік функция және олардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... .3
1.2. Натурал және ондық логарифмдер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .10
1.3. Көрсеткіштік функция және көрсеткіштік функцияның графигі ... ...13
ІІ.Логарифмдік және көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістері.
2.1. Логарифмдік және Көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..22
2.2. Көрсеткіштік теңсіздіктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .24
2.3 Логарифмдік теңдеулерді құрастыру ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... 27
2.4. Көрсеткіштік теңдеулер жүйесін шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..29
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .31
Пайдланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..32
Кіріспе.

Еліміздің егемендікке ие болып, Қазақстан өз алдына мемлекет мәртебесіне жетіп бүкіл әлемге, жер жүзіне өзінің елдігін, саясатын танытатын шаққа жетіп отыр. Еліміздің елдігін танытып, оны жетілдіріп, дамытатын жас ұрпақ сондықтан да еліміздің болашағы жас жеткіншектің білім дәрежесінің тереңдігімен өлшенеді. Ал осы балғын жеткіншектерге жол көрсетуші, бағыт беруші мектеп мұғалімдері.
Сондықтан адал ниет жас жеткіншектерге білім мен тәрбие есігін ашу мектеп мұғалімдеріне абыройлы да жауапты жұмыс жүктейді. Өйткені білім тәрбиенің негізі, демек баланың жеке басының қалыптасу кезеңі мектеп қабырғасында қаланады.
Біз біліктілікті қалыптастыратын бірғана математика саласын қарастырып отырмыз. Оның білімділікке қосатын үлесі қандай деген сауал тілімізге оралады. Бағдарлама бүреудің ойпікірі. Оның материалын жүйелеп бергенде болған. Мұндай жағдайда оқырманның өзіне тән обьективтік пікір қалыптаспайды. Адам есепті өзі құрастырса, онда ол есеп құрамындағы өрнектерді өзінің бұрын оқыған математикалық сөйлемдеріндегі, формулалардың, теоремалардың құрамындағы өрнектермен салыстырып олардың теңдеулер құрамына қосатын үлесін анықтап біреудің айтуы бойынша емес өз басымен ойлап тапқан шешімді шешім қабылдайды.
Теңдеулерді шешуде негізінен екі түрлі тәсіл жиі қолданылады. Бұл екі тәсілде де берілген күрделі теңдеулерді қарапайымдау бірнеше теңдеулер жиынтығына келтіріп шешеді. Сондықтан логарифмдік және көрсеткіштік теңдеулерді түрлендіру барысында олардың тең шамалылығын қадағалай отырып, функцияларға тән қасиеттерді де қолдану керек. Әрине, білімімізді кеңейту арқылы ойлау заңдылығының өрбуінің және оның дамуын үйренеміз. Зерттеу нәтижесінде логарифмдік және көрсеткіштік теңдеулерді әртүрлі жолдарымен алынған тәсілінің мәнін ашпақты.
.

І.Логарифдік және көрсеткіштік функцияның қалыптасуы
1.1. Логарифмдік функция және олардың қасиеттері

Логарифм (logos -- қатынас және arіthmos -- сан), N санының негізі бойынша логарифмі -- N санын алу үшін а саны m дәреже (Логарифм негізі), бұл logaN түрінде белгіленеді. Сонымен, егер am=N болса, m=logaN. а0 болғанда шексіз көп оң сандардың нақты логарифмі болмас еді, сондықтан да a0 деп алынады. Логарифмдік функциялардың қасиеті бойынша, кез келген оң санның берілген негізі бойынша бір ғана нақты Логарифмі болады (теріс санның Логарифмі Логарифмді ойлап тапқан және логарифмдік кесте құрастырған ғалым туралы қысқаша айта кетейік. Джон Непер - шотландияда туған. 16 жасында континентке кетіп, 5 жыл Европаның әртүрлі университеттерінде оқып, математиканы игерген. Кейін астрономия және математикамен терең айналысқан. Логарифмдік есептеулер идеясына Непер 16-ғасырдың 80-жылдарында келген, дегенмен өзінің кестесін 25 жыл есептеулерден кейін 1614 жылы ғана жариялаған. Ол Логарифмдік керемет кестелер сипаты деген атпен шыққан. Логарифм деген терминнің өзін де Непер ұсынған, ол оны қолдан жасалған сан деп аударған. Непердің кестелері мен идеялары тез таралып, қолданықа түскен. Непер ережесін және Непер аналогияларын сфералық тригонометрияда кездестіруге болады. логарифмдік терминнің (сандардың қатынасыдеген мағынаны білдіреді) тұңғыш ұсынған ғалым. Гректің екі сөзінің бірігуінен құралған: -сан және - қатынас. Бюрги және Непер еңбектері есептеу жұмыстары анағұрлым жеңілденді. Уақыт өте келе, ол кең етек жая бастады. Логарифм көбінесе физикалық есептерді шығарғанда және химиялық, биологиялық басқа да процестерге математикалық сипаттама берген кезде қолданылады. Логарифмдік функциялардың қасиеттеріне түрлендірулер жүргізген кезде, сондай-ақ теңдеулер, теңсіздіктер және олардың жүйелерін шешуде қолданылуда.
1.b санының негізі а болғандағы логарифмі дегеніміз - b саны шығу үшін негіз шығарылатын дәреже көрсеткіш.a негіздегі b санының логарифмі loga b деп белгіленеді.
2. Егер a 0, a != 1, b 0, онда теңдігі логарифмнің негізгі теңбе-теңдігі деп атайды.
Мысалы,
3. Ондық логарифмді log10 b, мұндағы b- кез-келген оң сан, lg b деп жазады.

Логарифмдік функция, қасиеттері

1. (мұндағы a 0, a != 1) N 0 үшін ғана орындалады.
2. loga N - негізі a 1 әрі N 1 болса, онда логарифмнен оң сандар, ал 0 N 1 болса, онда теріс сандар шығады. Мысалы,
3. loga N - негізі 0 a 1 әрі N 1 болса, онда логарифмнен теріс сандар, ал a N 1 болса, онда оң сандар шығады.
Мысалы,

4. Егер a 1, онда loga N1 loga N2 теңсіздігінен N1 N2 екені шығады.
Мысалы: log37 log35 осыдан 75.
6. Егер 0 a 1, онда loga N1 loga N2 теңсіздігінен екені шығады.
Мысалы: осыдан 97.
7. loga1 = 0 (a0, a != 1).
8. logaa = 1 (a0, a != 1).
y = loga x функциясының қасиеттері, егер a1:
А) D(f) = R+;
Б) E(f) = R;
В) функция өспелі;
Г) егер x = 1болса, онда loga x = 0;
Д) егер 0 x 1 болса, онда loga x 0;
Е) егер x 1 болса, онда loga x 0.
y = loga x функциясының қасиеттері, егер 0 a 1:
А) D(f) = R+;
Б) E(f) = R;
В) функция кемімелі;
Г) егер x = 1 болса, онда loga x = 0;
Д) егер 0 x 1 болса, онда loga x 0;
Е) егер x 1 болса, онда loga x 0.

Логарифм формулалары

Логарифмнің негізгі қасиеттері:

loga(МN)=logaМ+logaN;
loga(MN)=logaM - logaN;
logaNk= =klogaN;
(яғни сандарды көбейту және бөлу Л-ін олардың Л-дерін қосу мен алуға, ал дәрежеге шығару мен түбір табу Логарифмін сол дәреже немесе түбір көрсеткішіне көбейту мен бөлуге, яғни барынша қарапайым амалдарға келтіруге мүмкіндік береді). Егер a негізі белгілі болса, анықталған Логарифм жүйесі туралы айтуға болады. Әдетте lgN түрінде белгіленетін ондық Логарифм (a=10) көбірек қолданылады. 10k (k -- бүтін сан) санынан басқа рационал санның ондық Логарифмі ондық бөлшек түрінде жуықтап өрнектелетін трансцендент сан. Ондық Логарифмнің бүтін бөлігін сипаттамасы, ал бөлшек бөлігін мантиссасы деп атайды.
lg(10 kN)=k+lgN
болғандықтан, 10k көбейткішімен ерекшеленетін сандардың ондық Логарифмінің мантиссасы бірдей, тек сипаттамалары әр түрлі болады. Логарифм кестелері осы қасиетке негізделіп жасалған, онда бүтін сандардың тек мантиссалары ғана берілген.
Негізі e=2,71828... трансцендент сан болатын натурал Логарифмнің де маңызы зор; ол lnN түрінде белгіленеді. Логарифмнің бір негізінен екінші негізіне ауысу үшін
logbN=logaNlogab

формуласы қолданылады. 1logab көбейткіші a негізден b негізге ауысу (өту) модулі деп аталады. Натурал Логарифмнен ондық Логарифмге немесе керісінше өту lnN=lgNlge, lgN=lnNln10; 1lge=2,30258; 1ln10=0,43429... формулалары арқылы жүзеге асырылады.

Логарифм атауын Дж. Непер ұсынған. Логарифм ең алдымен 16 ғасырда астрономияның тез дамуымен, астрономия бақылауларды анықтай түсуге және астрономия есептеулердің күрделілене түсуіне байланысты ашылды. Алғашқы Логарифм кестелерінің авторлары геометриялық прогрессия қасиеттері мен оның мүшелерінің дәреже көрсеткіштерінен құрастырылған арифметикалық прогрессия қасиеттерінің арасындағы тәуелділікті пайдаланған. Бұл тәуелділіктерді б.з.б. 3 ғасырда Архимед ішінара байқаған болатын, 1484 ж. Н.Шюке, 1544 ж. М.Штифель оларды жақсы білген. Алғашқы Логарифм кестелерін 1614 -- 1619 ж. Дж.Непер мен 1620 ж. Й.Бюрги бір-біріне тәуелсіз және бір мезгілде құрастырған. Логарифмді теория тұрғыдан зерттеуде Бельгия математигі Григорий мен Л.Эйлер (1707 -- 1783) еңбектерінің маңызы зор
Логарифмдік функция -- x = e^y көрсеткіштік функциясына кері y=lnx функциясы. х аргументінің белгілі бір мәніне сәйкес келетін у Логарифмдік функцияның мәні х санының натурал логарифмі деп аталады. Логарифмдік функцияның негізгі қасиеттері көрсеткіштік функция мен логарифмдердің қасиеттерінен шығады. Математика анализ курсында
\log_a x = y\,

(мұндағы x0, а0, a \ne 1) Логарифмдік функциясы қарастырылады. Бұл функция y=lnx Логарифмдік функциямен қатынасы арқылы байланысады. \log_a x\, Логарифмдік функциясы x0 болғанда анықталған, бірсарынды (монотонды) (а1 болғанда өседі, 0а1 болғанда кемиді), үзіліссіз және шексіз дифференциалданады. Логарифмдік функция өзінің анықталу облысындағы әрбір нүктенің маңайында дәрежелік қатарға жіктелуі мүмкін.
Қарапайым логарифмдік теңдеу және теңсіздіктің мәндес өзгерісінің орындалу схемасы

*

( болғандықтан, онда және сондықтан ақырғы теңдеудің (ММЖ) (ОДЗ) автоматты түрде ескеріледі.)
*

немесе

* , мұнда
онда Теңсіздің таңбасы өзгермейді және (ММЖ) (ОДЗ) есептеледі
онда Теңсіздің таңбасы өзгереді және (ММЖ) (ОДЗ) есептеледі

Осы бөлімде оң санның логарифмінің анықтамасы мен логарифмнің қасиеттерін қарастырамыз. Аталған анықтама мен қасиеттерді білу логарифмдік өрнектерді түрлендірулерге, логарифдік функцияларды зерттеуге, логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді және олардың жүйелерін шешуге қатысты есептерді қарастырғанда қажет болады. Логарифм тақырыбы 11-сыныптың материалы екендігін білеміз және бұл тақырыпты түсіну үшін 7-сыныпта өткен дәреже мен оның қасиеттерін жақсы білудің маңызды екендігін атап кетеміз.
Анықтама. Оң санының негізі бойынша логарифмі деп санын алу үшін а санын дәрежелеу керек болатын с дәреже көрсеткіші аталады:

а - логарифм негізі, - логарифмденетін сан.

Мұндағы а санының оң болу себебі: егер а теріс болса, онда, мысалы, а12 өрнегінің мағынасы жоқ, себебі теріс санның квадраттық түбірі анықталмаған; ал егер а=0 болса, онда, мысалы а-1 өрнегінің мағынасы жоқ, себебі нөлге бөлуге болмайды ғой! саны да оң сан болады, себебі ол оң а санының дәрежесі, ал оң санның кез келген дәрежесі оң сан болатындығын біз білеміз.

- негізгі логарифмдік теңбе-теңдік.

10 негізі бойынша алынған логарифм ондық логарифм деп аталып, былай белгіленеді:

е негізі бойынша алынған логарифм натурал логарифм деп аталып, былай белгіленеді:

.

е санының рөлі (яғни ғылым мен техникада алатын орны) PI санының рөлінен артық болмаса, кем емес екендігін атап кетеміз.

Жаңа негізге көшу формуласы:

Жаңа негізге көшу формуласының дербес жағдайы: Егер b=c болса, онда

Соңғы теңдіктен logab∙logba=1 теңдігін аламыз, бұл logab және logba сандары өзара кері сандар дегенді білдіреді (екі санның көбейтіндісі 1-ге тең болса, олар өзара кері сандар деп аталатындығын еске сала кетеміз), бұдан өз кезегінде logab және 1logba сандары өзара кері сандар екендігі шығады.

1.2.Натурал және ондық логарифмдер

Натурал логарифм - негізі e=2,71826... саны болатын логарифм. N санының Натурал логарифмі lnN деп белгіленеді. 1-ден 1000-ға дейінгі сандардың Натурал логарифмінің алғашқы таблицасын Дж.Спейдель жасаған (1619).Натурал логарифм атауын 1659 жылы П.Менголи (1625 - 1686) және 1668 жылы Н.Меркатор (1620 - 1687), ал ln белгіленуін 1893 ж. А.Прингсхейм (1850 - 1941) енгізген. Натурал логарифм-нен ондық логарифмге lnNlgNlge және керісінше lgNlnNln10 формулалары арқылы өтеді. Ол жоғары математикада кеңінен қолданылады.

Натурал логарифм функциясының графигі

Ондық логарифм - негізі онға тең логарифм, яғни берілген сан шығуы үшін онның дәрежеленетін дәреже көрсеткіші. Мыс., lg100=2. N санының Ондық логарифмі lgN таңбасы арқылы жазылады.[1] Басқаша айтқанда b санының ондық логарифмы деп ~10^x=b теңдеуі шешімін айтады. Белгіленуі ~\operatorname{log}, \operatorname{Log}, \operatorname{Log10}, дегенмен алғашқы екеуі натурал логарифмды білдіруі де мүмкін.

саны ондық логарифмдердің модулі деп аталып, М әрпімен белгіленеді:

Логарифмдердің қасиеттері

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

Бұл қасиеттердің дәлелдеулерін келтірмейміз. Бірақ осы қасиеттердің дәлелдеулерін білудің осы тақырыпқа, яғни логарифмге қатысты есептерді шешу барысында көп көмегі тиетіндігін айта кетеміз.

Логарифмдік функцияның туындысы. Логарифмдерді кейбір тамаша . шекте қолдану
Көрсеткіштік функция туындысы:

Логарифмдік фукнция туындысы:

мұндағы, бөліміндегі lna - сан болғандықтан, коэффициент ретінде алуға болады да, тек қана алымы lnx- тен ғана туынды алуға болады.

1.3.Көрсеткіштік функция және көрсеткіштік функцияның графигі.

Көрсеткіштік функция , экспоненциялық функция, экспонента - y=ez expz функциясы [мұндағы е (натурал логарифмдердің негізі) - непер саны]. z-тің кез келген (нақты немесе комплекс) ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.