Тізбек

Жоспар

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...2
І.Тізбектің шектері.
1.1.Тізбек және тізбектің шегі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
1.2. Тізбек шегінің анықтамасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .4
ІІ.Шегі бар тізбектердің қасиеттері(жинақталған тізбектер).
2.1.Шенелген және шенелмеген тізбектер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 8 2.2.Жиынтықты тізбектер және олардың негізгі қасиеттері. ... ... ... ... ... ... ... ...10
2.3.Функцияның шегі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12
2.4.Тізбектерге арифметикалық амалдар қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..19
ІІІ.Монотонды тізбектер.
3.1.Монотонды тізбектердің анықтамасы. Негізгі теорема ... ... ... ... ... ... ... ... ..20
3.2.Функцияның монотонды болуының белгілері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 24
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .28
Әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .29

Кіріспе

Білім – болашақ бағдары, кез-келген маман даярлайтын оқу орынның басты міндеттерінің бірі – жеке тұлғаның құзіреттілігін дамыту. Құзірет – оқушының жеке және қоғам талаптарын қанағаттандыру мақсатындағы табысты іс-әрекетіне қажетті білім дайындығына әлеуметтік тапсырыс. Құзыреттілік – оқушының әрекет тәсілдерін жан-жақты игеруінен көрінетін білім нәтижесі. Ақпараттық құзыреттілік – бұл жеке тұлғаның әртүрлі ақпаратты қабылдау, табу, сақтау, оны жүзеге асыру жәнеақпараттық – коммуникациялық технологияның мүмкіндіктерін жан-жақты қолдану қабілеті. Оқушылардың түпкілікті құзіреттіліктері – білім берудің жаңа нәтижелер. Құзіреттілікті оқушының пән бойынша игерген білім, білігінің жинағы деп қабылдауға келмейді. Ол – оқу нәтижесінде өзгермелі жағдайда меңгерген білім, білік, дағдыны тәжірибеде қолдана алу қабілеті болып табылатын жаңа сапа.Ақпараттық құзіреттілікті қалыптастырудың басты мақсаты – оқушыларды ақпаратты беру, түрлендіру және оны қолдану білімдерімен қаруландыру, олардың компьютерлік технологияны өз қызметтеріне еркін, тиімді пайдалана алу қабілеттерін қалыптастыру.
Оқушылар үшін математика - бұл ойлау әдісі, сондықтан болашақ математиктердің қоршаған ортаны қабылдауында математикалық комплекстің пайдасы өте көп. Математика тараулары мен қолданбалы есептерді шығару алда негізгі пәндерді жақсы меңгеруге септігін тигізеді. Математикалық анализ, алгебра және геометрия пәндері сияқты жоғарғы дәрежелі кадрлар даярлауда қажетті пән болып табылады. Тізбектің шегі тарауы математикада әртүрлі қолданылуларында маңызды орын алады. Тізбек ұғымы, жалпы шек ұғымы,оқушылардың түсініп, меңгеруіне аса күрделі тақырыптардың бірі. Курстық жұмыстың мазмұнында математиканың негізгі тарауларының бірі - тізбектің шегі толық қамтылған. Негізгі анықтамалар мен теоремалардың мағынасын ашатын мысалдар мен ескертулер көптеп келтірілген

Пайдаланылған әдебиеттер.

1. Ильин, В.А. Математический анализ. 1-2 том/ В.А. Ильин, В.А.Садовничий, Б.Х.Сендов – М.: МГУ,1989г. -540 с
2. Виноградова, И.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Часть 1,2 / И.А. Виноградова, С.Н. Олексич, В.А.Садовничий - М.: МГУ, 2005г.- 640с
3. Темиргалиев, Н. Математикалық анализ. 1,2,3 бөлімдер/ Н.Темиргалиев - Алматы.: Білім, 1997.
4. Лунгу, К.Н. Сборник задач по математике. Часть 1,2./ К.Н. Лунгу– М.: Айрис-пресс .2005г.-589с. –ISBN 5- 8112-1496-0
5. Бугров, Я.С. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. ФКП. Учебник/ Я.С.Бугров, М.М.Никольский – М.:МГУ, 1985 г.
6. Рябушко, А.П. Сборник индивидуальных работ по высшей математике: учеб. пособие / А.П.Рябушко, В.В.Бархатов, В.В.Державец, И.Е.Юруть –Минск.: Высшая школа, 2002г.
7. Выбор методов обучения в средней школе. Под ред. Ю.К.
Бабанского. –М., 1981.
8. Глейзер Г.И. История математики в школе. 4-6 классы. Пособие
для учителей. –М., Просвещение. 1981.
9. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы. Пособие
для учителей. –М., Просвещение. 1982.
10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы. Пособие
для учителей. –М., Просвещение. 1983.
11. Гнеденко Б.В. Формирование мировозрения учащихся в процессе
обучения математике. –М., Просвещение. 1983.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 27 бет
Таңдаулыға:

Жоспар

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .2
І.Тізбектің шектері.
1.1.Тізбек және тізбектің шегі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
1.2. Тізбек шегінің анықтамасы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .4
ІІ.Шегі бар тізбектердің қасиеттері(жинақталған тізбектер).
2.1.Шенелген және шенелмеген тізбектер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...8 2.2.Жиынтықты тізбектер және олардың негізгі қасиеттері. ... ... ... ... ... ... ... ...10
2.3.Функцияның шегі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..12
2.4.Тізбектерге арифметикалық амалдар қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..19
ІІІ.Монотонды тізбектер.
3.1.Монотонды тізбектердің анықтамасы. Негізгі теорема ... ... ... ... ... ... ... ... ..20
3.2.Функцияның монотонды болуының белгілері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ..24
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .28
Әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..29Кіріспе

Білім - болашақ бағдары, кез-келген маман даярлайтын оқу орынның басты міндеттерінің бірі - жеке тұлғаның құзіреттілігін дамыту. Құзірет - оқушының жеке және қоғам талаптарын қанағаттандыру мақсатындағы табысты іс-әрекетіне қажетті білім дайындығына әлеуметтік тапсырыс. Құзыреттілік - оқушының әрекет тәсілдерін жан-жақты игеруінен көрінетін білім нәтижесі. Ақпараттық құзыреттілік - бұл жеке тұлғаның әртүрлі ақпаратты қабылдау, табу, сақтау, оны жүзеге асыру жәнеақпараттық - коммуникациялық технологияның мүмкіндіктерін жан-жақты қолдану қабілеті. Оқушылардың түпкілікті құзіреттіліктері - білім берудің жаңа нәтижелер. Құзіреттілікті оқушының пән бойынша игерген білім, білігінің жинағы деп қабылдауға келмейді. Ол - оқу нәтижесінде өзгермелі жағдайда меңгерген білім, білік, дағдыны тәжірибеде қолдана алу қабілеті болып табылатын жаңа сапа.Ақпараттық құзіреттілікті қалыптастырудың басты мақсаты - оқушыларды ақпаратты беру, түрлендіру және оны қолдану білімдерімен қаруландыру, олардың компьютерлік технологияны өз қызметтеріне еркін, тиімді пайдалана алу қабілеттерін қалыптастыру.
Оқушылар үшін математика - бұл ойлау әдісі, сондықтан болашақ математиктердің қоршаған ортаны қабылдауында математикалық комплекстің пайдасы өте көп. Математика тараулары мен қолданбалы есептерді шығару алда негізгі пәндерді жақсы меңгеруге септігін тигізеді. Математикалық анализ, алгебра және геометрия пәндері сияқты жоғарғы дәрежелі кадрлар даярлауда қажетті пән болып табылады. Тізбектің шегі тарауы математикада әртүрлі қолданылуларында маңызды орын алады. Тізбек ұғымы, жалпы шек ұғымы,оқушылардың түсініп, меңгеруіне аса күрделі тақырыптардың бірі. Курстық жұмыстың мазмұнында математиканың негізгі тарауларының бірі - тізбектің шегі толық қамтылған. Негізгі анықтамалар мен теоремалардың мағынасын ашатын мысалдар мен ескертулер көптеп келтірілген.

І.Тізбектің шектері.
1.1.Тізбек және тізбектің шегі.

Натурал сандар жиынында анықталған функциясы тізбек деп аталады. n натурал санына сәйкес ƒ функциясының мәні хn, деп белгіленеді, яғни ƒ (n) =хп.
Тізбектің мәні, яғни хn тізбектің мүшелері деп аталады.
Тізбекті былайша белгілейміз: х1, х2, ... , хn, ... ;
х1, х2...;
х n n1 х;
{хn}
х n , n 1 ;
n x n n 1,2,... ;
x n;
Қысқаша, тізбек х n n1 х; , деген сөзді хп тізбегі деп айтамыз. Егер тізбек қасиеттері арқылы берілсе (мысалы, жинақтылық немесе монотондық т.б.), онда (1) белгілеу қолданылады. Тізбекті анықтау үшін төмендегідей тәсілдер пайдаланылады:
1°. хп - ді тікелей табу ережесі қолданылады.
Мысалы, хп = 1(n=1,2,...);
хп = n 2 +4п+3 (п= 1, 2, ...);
хп = п (п= 1, 2, ...); т.б...
2°. хп - ді жанамалап табу ережесі арқылы, мысалы, x1=x2=l, хп=хn-1 +хп-2 (п=3, 4, ...), (2) рекурренттік формула(к=2). яғни 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... - бұл Фибоначчи тізбегі. Берілген тізбектің алғашқы к мүшелері арқылы тізбектің n-ші мүшесін табу формуласын шығару үшін (к - натурал сан) қолданылатын формула рекуренттік формула деп аталады, (recurrence -- лат. қайта оралу).
3°. Тізбектің мүшелерін табу үшін ережені сөзбен көрсетуге болады, мысалы, хп - жай сан, яғни 1, 3, 5, 7, 11, ...
4°. Алғашқы мүшелерінің берілуі арқылы;
Мысалы, 1, 12, 13, 14тізбегінде жалпы мүше xn 1n тең болады.
1.2.Тізбек шегінің анықтамасы.

Тізбек және оның шегі ұғымдары математиканың ішкі проблемаларымен қатар оны қолдану жолдарында пайда болады. Мысалы, біз үшбұрыштың ауданының анықтамасын және оны есептеу жолын біле тұра, радиусы R-ге тең дөңгелектің ауданы деген не және оны қалай табуға болады деген сұрақта қарастырайық.
Әрбір n 2 үшін радиусы R-ға тең дөңгелекке 2 n бұрышты дұрыс көпбұрыш Sn - ді іштей сызсақ, онда олардың аудандары хп тізбегін құрайды. Бір жағынан п өскен сайын Sn фигурасы дөңгелекке ақырсыз жақындай түседі, екінші жағынан кез келген п үшін Sn фигурасы дөңгелекпен дәл беттеспейді. Онда дөңгелектің ауданы дегеніміз не?
Бұл сұраққа жауап беру үшін тізбектің шегі ұғымын енгізуіміз қажет. Шек ұғымының негізі мағынасы мынада: номері өскен сайын тізбектің мүшелері қандай да бір санға ақырсыз жақындайды. Сол санды тізбектің шегі деп аталады.
Анықтама. Егер бізге қалағанымызша аз e оң саны берілсе және айнымалы шама -тің бір мәнікөрсетіліп, одан кейінгі мәндерінің бәрі мына
теңсіздікті қанағаттандырса,түрақты саны айнымалы тің шегі
делінеді де, былайша жазылады: Сандар тізбегі үшін бұл анықтаманы былайша айтуға болар еді.Егер де алдын ала кез келген аз eоң саны берілсе, теңсіздігі нөмірден бастап орындалатын болса, онда түрақты сан -ны тізбектің шегі дейді де cимволымен жазады. Мұндағы lіm латын тіліндегі lіmes (шек) деген сөзден қысқартылып алынған. Бұл жағдайды былайша: тізбегі түрақты санына ұмтылады деп те айтады және былай жазады:
;тізбекті санына жинақталады деп те атайды.
Мысалы. 1) жалпы мүшесі түрінде берілген сан тізбегі өзінің шегі -ке ұмтылады.
Шынында, алдын ала санын алып, теңсіздігі номерінің қай мәнінен бастап орындалатынын анықталық. Бұл теңсіздікті мына түрге түрлендіреміз бұдан .
Демек, болғанда, анықтамаға сәйкес қарастырылып отырған тізбектің шегі болады.
2) Тізбектің жалпы мүшесі былай берілсе, бұл тізбектің шегі бірге тең.
Шынында, кез-келген e0үшін теңсіздігі болғанда орындалады.
Бұдан кез келген тізбектің шегі болады деген ұғым тумауы керек.
Мысалы. Тізбектің мүшелері мына формулалармен берілсе

мұнда k-ның үлкен номерлерінен бастап, жұп номерлі мүшелерінің нольден айырмашылығы керегінше аз болады да, тақ номерлері мүшелерінің бірден айырмашылығы аз болады. Сондықтан тізбектің шегі болмайды.
Анықтама. Егер алдынала берілген әрбір оң сан М үшін айнымалы -тің бір мәнікөрсетіліп және кейінгі мәндерінің бәрі мына теңсіздікті қанағаттандырса, шексіздікке ұмтылады дейміз. Бұндай айнымалы шаманы шексіз үлкен айнымалы шама деп, cимволымен белгілейді.
Мысалы. тізбегі шексіздікке ұмтылады.
e саны. функциясының шегі
Жалпы мүшесі түрінде берілген сан тізбегінің шегін e саны деп атайды, яғни . e-саны иррационал сан және оның жуық мәні мынадай e=2.71828128 ... .
Теорема. . (**)
(**)-формуласын 2-ші тамаша шек деп атайды.
Егерде (**) формулада десек, онда х(R)Yen Þ a(R)0 (a¹0) болады да, ол формуланы былай жазуға болады: . e-cанын пайдаланып шығарылатын кейбір шектерді келтірейік:
1) .
2) e.
3) .
3') .
4)
5)
6)

Егерде шегін және болған жағдайда есептеп шығару керек болса, онда түріндегі анықталмағандық алар едік.
Бұл секілді анықталмағандықтарды ашу үшін, берілген функцияның
негізі мен дәреже көрсеткішін мына формуланы
қолдану мүмкін болатындай етіп түрлендіру керек .
Мысалы.
.
Осыдан, , жағдайда, мына формула табылады
(бұл жерде үзіліссіз функциялардың композициясының үзіліссіздігі пайдаланылды).
Мысал келтірейік,
.
Ескерту. Егер логарифмдердің негізін e деп алсақ, мұндай логарифмдер натуралдықлогарифмдер, не неперлік логарифмдер делінеді. Непер (1550-1617)- логарифм кестелерін алғашқы жасаушылардың бірі.
Егер х=ey болса, y-ті х санының натуралдық логарифмі дейді, y=lnx деп жазады (y=logex деудің орнына).
Бір санның ондық логарифмі мен натуралдық логарифмдерінің байланысын былай табады.
Егер y=lgx, не х=10y болса, оны е негізінде логарифмдесек lnx=yxln10, .
Егер десек, lgx=Мxlnx болады. М-ауысу модулі деп аталады.
Осылайша, егер санның натуралдық логарифмі белгілі болса, онда оның ондық логарифмін ауысу модуліне көбейту арқылы табады.

ІІ.Шегі бар тізбектердің қасиеттері.
2.1.Шенелген және шенелмеген тізбектер.

хn (n=1,2,...) сандарынан тұратын сандар жиынын {хn} тізбегінің мәндерінің жиыны деп атайды.
Мәндерінің жиыны жоғарыдан шенелген болатын, яғни белгілі бір С нақты саны және барлық нөмерлері үшін хn C теңсіздігі орындалатын {хn} тізбегін жоғарыдан шенелген деп аталады.
Дәл осылайша төменгі жағынан шенелгендік анықталады: белгілі бір С нақты саны және кез келген n оң бүтін сандары үшін хn C теңсіздігі орындалалуы керек.
Жоғарыдан да, төменнен де шенелген тізбекті шенелген тізбектер деп атайды.
Тізбектерге тән екі қасиеттің шенелгендігі мен шегі бар болуының арасындағы кейбір байланыстарды көрсетейік.
10 . Кез келген шенелген тізбектің, әлде ешқандай шегі болмайды, ал шегі бар болса, онда ол тек қана ақырлы болады.
20 . Егер {хn} тізбегінің ақырлы шегі болса, онда ол шенелген тізбек болады.
30 . Ақырсыз шегі бар тізбек шенелмеген тізбек деп аталады. 10 Егер тізбектің шегі немесе болса, онда ол сәйкес жоғарыдан және төменнен шенелмеген болады.
40 . Егер х n n1 тізбегі қандай түрде шенелмеген болса (жоғарыдан, төменнен, екі жақты), әрбір т 1 үшін х n n m тізбегі де сондай түрде шенелмеген болады.
Мысалдар:
1. хn = 1n жинақталатын (шегі 0 саны), шенелген (себебі xn 1), мәндерінің жиыны{1,12,13,...} ақырсыз жиын болатын тізбек.
2. Тізбек х n 2 n -ке ұмтылады, жоғарыдан да, төменнен де шенелмеген: мәндерінің жиыны ақырсыз.
3. х n n2 тізбегі -ке ұмтылады (сондықтан жоғарыдан шектелмеген), төменнен шенелген (себебі х n 1), оның мәндерінің жиыны ақырсыз болады.
4. х n 12 + (-1)n 2тізбегінің шегі болмайды, бірақ шенелген оның мәндерінің жиыны ақырлы болады (0 және 1).
5. х n 1 тізбегінің шегі болады, шенелген, мәндер жиыны ақырлы болады.

6. xn=1,n-тақn,n-жұп , тізбегінің шегі болмайды, жоғары жағынан шектелмеген, ал төменнен шенелген, мәндерінің жиыны ақырсыз.

7. 1,n=3k
x n n,n=3k+1 (k=1,2 ... )
-n,n=3k+2
тізбегінің шегі болмайды, екі жағынан да шенелмеген, мәндерінің жиыны ақырсыз.

2.2.Жиынтықты тізбектер және олардың негізгі қасиеттері

Монотонды тізбектер саны. е- саны.
e саны. функциясының шегі
Жалпы мүшесі түрінде берілген сан тізбегінің шегін e саны деп атайды, яғни . e-саны иррационал сан және оның жуық мәнімынадай e =2.71828128 ... .
Теорема. . (**)
(**)-формуласын 2-ші тамаша шек деп атайды.
Егерде (**) формулада десек, онда х(R)Yen Þ a(R)0 (a¹0) болады да, ол формуланы былай жазуға болады: . e-cанын пайдаланып шығарылатын кейбір шектерді келтірейік:
1) .
2) e.
3) .
3') .
4)
5)
6)

Егерде шегін және болған жағдайда есептеп шығару керек болса, онда түріндегі анықталмағандық алар едік.
Бұл секілді анықталмағандықтарды ашу үшін, берілген функцияның негізі мен дәреже көрсеткішін мына формуланы қолдану мүмкін болатындай етіп түрлендіру керек .
Мысалы.
.
Осыдан, , жағдайда, мына формула табылады (бұл жерде үзіліссіз функциялардыңкомпозициясының үзіліссіздігіпайдаланылды).
Мысал келтірейік,
.
Ескерту. Егер логарифмдердің негізін e деп алсақ, мұндай логарифмдер натуралдықлогарифмдер, не неперлік логарифмдер делінеді. Непер (1550-1617)- логарифм кестелерін алғашқы жасаушылардың бірі.
Егер х=e[y] болса, y-ті х санының натуралдық логарифмі дейді, y=lnx деп жазады (y=logex деудің орнына).
Бір санның ондық логарифмі мен натуралдық логарифмдерінің байланысын былай табады.
Егер y=lgx, не х=10[y] болса, оны е негізінде логарифмдесек lnx=yxln10, .
Егер десек, lgx=Мxlnx болады. М-ауысу модулі деп аталады.
Осылайша, егер санның натуралдық логарифмі белгілі болса, онда оның ондық логарифмін ауысу модуліне көбейту арқылы табады.

2.3.Функцияның шегі.

Анықтама. функциясы нүктесінің бір төңірегіндегі нүктелерде анықталсын делік. Егер әрбір e0 үшін dоң саны табылып, x -тің теңсіздігін қанағаттандыратын барлық мәндеріүшін, мына теңсіздік орындалса, шамасы -тің -ға ұмтылғандағы функциясының (нүктесіндегі ) шегі деп аталады.
Осы анықтамадағы шамасының функцияның анықталу облысына кіруішарт емес, бірақ -ға мейлінше жақын нүктелердіңфункцияның анықталу облысына кіруішарт.
Егер шамасы -ға ұмтылғанда, функциясының мәні -ға ұмтылса, оны былайша жазатын боламыз
.
Анықтамадағы және шамалары сан болуы да, не +-Yen болуы да мүмкін.
Егер -ның шамасы символдарының бірі болса, - шексіз үлкен деп аталады, мұны былай жазамыз
.
Егер әрбір e0 үшін саны табылып, үлкен болғанда теңсіздігі орындалса, деп жазамыз.
Егер -ның шамасы символдарының бірі болса, деп жазамыз.
Ендіфункцияның шегінің геометриялық мағынасын анықтайық. Айталық делік. Бұлай деу, берілген e0 үшін d0 саны табылып, теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық үшін теңсіздігі орындалады деген сөз.
Басқаша айтқанда: аргумент x-тің теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық мәндеріне сәйкес келетін (x) функциясының барлық мәндері теңсіздігін қанағаттандыруы тиіс. b-саны функциясының х шамасы -ға ұмтылғандағы шегі дегенді геометрияда былай түсіндіруге болады. түзулер шектеген алап қандай болса да, нүктесінің төңірегіне маңайын салуға болады (яғни d0 саны табылады). Олай болса, абсциссалары теңсіздіктерінқанағаттандыратын қисығының барлық нүктелері
, түзулері шектеде жатады (тек абсциссасы -ға тең нүкте ғана алапқа енбей қалуы мүмкін). Функция шегінің анықтамасындағы d0 саны e санына тәуелді, жалпы айтқанда e өзгерсе d да өзгереді . Бірнеше мысалдар қарастырайық.
1) болатынын көрсету керек.
Алдын ала e0 саны берілсін. Оған сәйкес -тің
(*)
теңсіздігін қанағаттандыратын барлық мәндері үшін
(**)
теңсіздігі, яғни теңсіздігі орындалатын d0 санын табайық. Ал (*)-дан теңсіздігі шығады. Демек,
. (***)
(**) мен (***)-дан мына қорытындыға келеміз: егер d санын d(5+d)=e тендігін қанағаттандыратын етіп алсақ, (*) теңсіздігіорындалысымен (***) да орындалады.
Сонымен, екендігі дәлелденеді.
2) екендігін дәлелдеу керек.
Алдын ала e0 cаны берілген делік. Сонда аргумент теңсіздігін қанағаттандырысымен теңсіздігіорындалатындай N санын іздеуіміз керек.
Ал, . Cондықтан болғанда теңсіздігі орындалады. Бұдан . Демек, егер деп алсақ, болғанда теңсіздігіорындалатыны, яғни болатыны айқын.
Ескерту. Егер функциясы шамасына ұмтылғанда, x-тің -ға ұмтылуы тек -дан кіші мәндер қабылдау арқылы ғана болса, былай жазып , ді функцияның нүктесіндегі сол жақты шегі дейді.
Егер х тек -дан үлкен мәндер қабылдайтын болса, былай жазып, -ні функцияның нүктесіндегі оң жақты шегі ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.