Тізбек


Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі:  Курстық жұмыс
Тегін:  Антиплагиат
Көлемі: 27 бет
Таңдаулыға:   

Жоспар

Кіріспе . . . 2

І. Тізбектің шектері.

1. 1. Тізбек және тізбектің шегі . . . 3

1. 2. Тізбек шегінің анықтамасы . . . 4

ІІ. Шегі бар тізбектердің қасиеттері(жинақталған тізбектер) .

2. 1. Шенелген және шенелмеген тізбектер . . . 8 2. 2. Жиынтықты тізбектер және олардың негізгі қасиеттері . . . 10

2. 3. Функцияның шегі . . . 12

2. 4. Тізбектерге арифметикалық амалдар қолдану . . . 19

ІІІ. Монотонды тізбектер.

3. 1. Монотонды тізбектердің анықтамасы. Негізгі теорема . . . 20

3. 2. Функцияның монотонды болуының белгілері . . . 24

Қорытынды . . . 28

Әдебиеттер . . . 29
Кіріспе

Білім - болашақ бағдары, кез-келген маман даярлайтын оқу орынның басты міндеттерінің бірі - жеке тұлғаның құзіреттілігін дамыту. Құзірет - оқушының жеке және қоғам талаптарын қанағаттандыру мақсатындағы табысты іс-әрекетіне қажетті білім дайындығына әлеуметтік тапсырыс. Құзыреттілік - оқушының әрекет тәсілдерін жан-жақты игеруінен көрінетін білім нәтижесі. Ақпараттық құзыреттілік - бұл жеке тұлғаның әртүрлі ақпаратты қабылдау, табу, сақтау, оны жүзеге асыру жәнеақпараттық - коммуникациялық технологияның мүмкіндіктерін жан-жақты қолдану қабілеті. Оқушылардың түпкілікті құзіреттіліктері - білім берудің жаңа нәтижелер. Құзіреттілікті оқушының пән бойынша игерген білім, білігінің жинағы деп қабылдауға келмейді. Ол - оқу нәтижесінде өзгермелі жағдайда меңгерген білім, білік, дағдыны тәжірибеде қолдана алу қабілеті болып табылатын жаңа сапа. Ақпараттық құзіреттілікті қалыптастырудың басты мақсаты - оқушыларды ақпаратты беру, түрлендіру және оны қолдану білімдерімен қаруландыру, олардың компьютерлік технологияны өз қызметтеріне еркін, тиімді пайдалана алу қабілеттерін қалыптастыру.

Оқушылар үшін математика - бұл ойлау әдісі, сондықтан болашақ математиктердің қоршаған ортаны қабылдауында математикалық комплекстің пайдасы өте көп. Математика тараулары мен қолданбалы есептерді шығару алда негізгі пәндерді жақсы меңгеруге септігін тигізеді. Математикалық анализ, алгебра және геометрия пәндері сияқты жоғарғы дәрежелі кадрлар даярлауда қажетті пән болып табылады. Тізбектің шегі тарауы математикада әртүрлі қолданылуларында маңызды орын алады. Тізбек ұғымы, жалпы шек ұғымы, оқушылардың түсініп, меңгеруіне аса күрделі тақырыптардың бірі. Курстық жұмыстың мазмұнында математиканың негізгі тарауларының бірі - тізбектің шегі толық қамтылған. Негізгі анықтамалар мен теоремалардың мағынасын ашатын мысалдар мен ескертулер көптеп келтірілген.

І. Тізбектің шектері.

1. 1. Тізбек және тізбектің шегі.

Натурал сандар жиынында анықталған функциясы тізбек деп аталады. n натурал санына сәйкес ƒ функциясының мәні х n , деп белгіленеді, яғни ƒ (n) =х п .

Тізбектің мәні, яғни х n тізбектің мүшелері деп аталады.

Тізбекті былайша белгілейміз: х 1 , х 2 , . . . , х n, . . . ;

х 1 , х 2 . . . ;

{ х n } ∞ n=1 х;

n }

n }, n ≥ 1 ;

n → x n (n = 1, 2, . . . ) ;

→x n ;

Қысқаша, «тізбек { х n } ∞ n=1 х; », деген сөзді «х п тізбегі» деп айтамыз. Егер тізбек қасиеттері арқылы берілсе (мысалы, жинақтылық немесе монотондық т. б. ), онда (1) белгілеу қолданылады. Тізбекті анықтау үшін төмендегідей тәсілдер пайдаланылады:

1°. х п -ді тікелей табу ережесі қолданылады.

Мысалы, хп = 1(n=1, 2, . . . ) ;

х п = n 2 +4 п +3 (п= 1, 2, . . . ) ;

х п = п (п= 1, 2, . . . ) ; т. б . . .

2°. х п -ді жанамалап табу ережесі арқылы, мысалы, x 1 =x 2 =l, х п n -1 +х п -2 (п=3, 4, . . . ), (2) рекурренттік формула(к=2) . яғни 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . . - бұл Фибоначчи тізбегі. Берілген тізбектің алғашқы к мүшелері арқылы тізбектің n-ші мүшесін табу формуласын шығару үшін (к - натурал сан) қолданылатын формула рекуренттік формула деп аталады, (recurrence - лат. «қайта оралу») .

3°. Тізбектің мүшелерін табу үшін ережені сөзбен көрсетуге болады, мысалы, хп - жай сан, яғни 1, 3, 5, 7, 11, . . .

4°. Алғашқы мүшелерінің берілуі арқылы;

Мысалы, 1, 1 2 , 1 3 \frac{1}{2}, \ \frac{1}{3} , 1 4 \ \frac{1}{4} тізбегінде жалпы мүше x n 1 n \frac{1}{n} = тең болады.

1. 2. Тізбек шегінің анықтамасы.

Тізбек және оның шегі ұғымдары математиканың ішкі проблемаларымен қатар оны қолдану жолдарында пайда болады. Мысалы, біз үшбұрыштың ауданының анықтамасын және оны есептеу жолын біле тұра, радиусы R-ге тең дөңгелектің ауданы деген не және оны қалай табуға болады деген сұрақта қарастырайық.

Әрбір n ≥ 2 үшін радиусы R-ға тең дөңгелекке 2 n бұрышты дұрыс көпбұрыш Sn -ді іштей сызсақ, онда олардың аудандары хп тізбегін құрайды. Бір жағынан п өскен сайын Sn фигурасы дөңгелекке ақырсыз жақындай түседі, екінші жағынан кез келген п үшін Sn фигурасы дөңгелекпен дәл беттеспейді. Онда дөңгелектің ауданы дегеніміз не?

Бұл сұраққа жауап беру үшін тізбектің шегі ұғымын енгізуіміз қажет. Шек ұғымының негізі мағынасы мынада: номері өскен сайын тізбектің мүшелері қандай да бір санға ақырсыз жақындайды. Сол санды тізбектің шегі деп аталады.

Анықтама . Егер бізге қалағанымызша аз e оң саны берілсе және айнымалы шама http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image015.gif -тің бір мәнікөрсетіліп, одан кейінгі мәндерінің бәрі мына

теңсіздікті http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image016.gif қанағаттандырса, түрақты http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image017.gif саны айнымалы http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image018.gif тің шегі

делінеді де, былайша жазылады: http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image019.gif Сандар тізбегі http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image020.gif http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image021.gif үшін бұл анықтаманы былайша айтуға болар еді. Егер де алдын ала кез келген аз eоң саны берілсе, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image022.gif теңсіздігі http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image023.gif нөмірден бастап орындалатын болса, онда түрақты сан http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image003.gif -ны тізбектің шегі дейді де http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image024.gif cимволымен жазады. Мұндағы lіm латын тіліндегі lіmes (шек) деген сөзден қысқартылып алынған. Бұл жағдайды былайша: http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image025.gif тізбегі түрақты http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image003.gif санына ұмтылады деп те айтады және былай жазады:

http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image026.gif http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image027.gif ; тізбекті http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image003.gif санына жинақталады деп те атайды.

Мысалы. 1) жалпы мүшесі http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image028.gif түрінде берілген сан тізбегі өзінің шегі http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image029.gif -ке ұмтылады.

Шынында, алдын ала http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image030.gif санын алып, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image031.gif теңсіздігі http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image032.gif номерінің қай мәнінен бастап орындалатынын анықталық. Бұл теңсіздікті мына түрге түрлендіреміз http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image033.gif бұдан http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image034.gif .

Демек, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image035.gif болғанда, анықтамаға сәйкес http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image029.gif қарастырылып отырған тізбектің шегі болады.

2) Тізбектің жалпы мүшесі былай http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image036.gif берілсе, бұл тізбектің шегі бірге тең.

Шынында, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image037.gif кез-келген e>0үшін http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image038.gif теңсіздігі http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image039.gif болғанда орындалады.

Бұдан кез келген тізбектің шегі болады деген ұғым тумауы керек.

Мысалы. Тізбектің мүшелері мына формулалармен берілсе

http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image040.gif

мұнда k-ның үлкен номерлерінен бастап, жұп номерлі мүшелерінің нольден айырмашылығы керегінше аз болады да, тақ номерлері мүшелерінің бірден айырмашылығы аз болады. Сондықтан тізбектің шегі болмайды.

Анықтама. Егер алдынала берілген әрбір оң сан М үшін айнымалы http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image041.gif -тің бір мәнікөрсетіліп және кейінгі мәндерінің бәрі мына теңсіздікті http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image042.gif қанағаттандырса, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image043.gif шексіздікке ұмтылады дейміз. Бұндай айнымалы шаманы шексіз үлкен айнымалы шама деп, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image044.gif cимволымен белгілейді.

Мысалы. http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image045.gif тізбегі шексіздікке ұмтылады.

e саны. http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image046.gif функциясының http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image047.gif шегі

Жалпы мүшесі http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image048.gif түрінде берілген сан тізбегінің шегін e саны деп атайды, яғни http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image049.gif . e-саны иррационал сан және оның жуық мәні мынадай e=2. 71828128 . . .

Теорема. http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image050.gif . (**)

(**) -формуласын 2-ші тамаша шек деп атайды.

Егерде (**) формулада http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image051.gif десек, онда х®¥ Þ a®0 (a¹0) болады да, ол формуланы былай жазуға болады: http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image052.gif . e-cанын пайдаланып шығарылатын кейбір шектерді келтірейік:

1) http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image053.gif .

2) http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image054.gif e http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image003.gif .

3) http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image055.gif .

3') http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image056.gif .

4) http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image057.gif

5) http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image058.gif

6) http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image059.gif

http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image060.gif

Егерде http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image061.gif шегін http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image062.gif және http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image063.gif болған жағдайда есептеп шығару керек болса, онда http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image064.gif түріндегі анықталмағандық алар едік.

Бұл секілді анықталмағандықтарды ашу үшін, берілген функцияның

http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image065.gif негізі мен дәреже көрсеткішін мына формуланы http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image066.gif

қолдану мүмкін болатындай етіп түрлендіру керек .

Мысалы.

http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image067.gif .

Осыдан, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image062.gif , http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image063.gif жағдайда, мына формула табылады

http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image068.gif (бұл жерде үзіліссіз функциялардың композициясының үзіліссіздігі пайдаланылды) .

Мысал келтірейік,

http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image069.gif .

Ескерту . Егер логарифмдердің негізін e деп алсақ, мұндай логарифмдер натуралдықлогарифмдер, не неперлік логарифмдер делінеді. Непер (1550-1617) - логарифм кестелерін алғашқы жасаушылардың бірі.

Егер х=e y болса, y-ті х санының натуралдық логарифмі дейді, y=lnx деп жазады (y=log e x деудің орнына) .

Бір санның ондық логарифмі мен натуралдық логарифмдерінің байланысын былай табады.

Егер y=lgx, не х=10 y болса, оны е негізінде логарифмдесек ln x=y× ln10 , http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image070.gif http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image071.gif .

Егер http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image072.gif десек, lgx=М×lnx болады. М-ауысу модулі деп аталады.

Осылайша, егер санның натуралдық логарифмі белгілі болса, онда оның ондық логарифмін ауысу модуліне көбейту арқылы табады.

ІІ. Шегі бар тізбектердің қасиеттері.

2. 1. Шенелген және шенелмеген тізбектер.

х n (n=1, 2, …) сандарынан тұратын сандар жиынын {хn} тізбегінің мәндерінің жиыны деп атайды.

Мәндерінің жиыны жоғарыдан шенелген болатын, яғни белгілі бір С нақты саны және барлық нөмерлері үшін хn ≤ C теңсіздігі орындалатын {хn} тізбегін жоғарыдан шенелген деп аталады.

Дәл осылайша төменгі жағынан шенелгендік анықталады: белгілі бір С нақты саны және кез келген n оң бүтін сандары үшін хn ≥ C теңсіздігі орындалалуы керек.

Жоғарыдан да, төменнен де шенелген тізбекті шенелген тізбектер деп атайды.

Тізбектерге тән екі қасиеттің шенелгендігі мен шегі бар болуының арасындағы кейбір байланыстарды көрсетейік.

1 0 . Кез келген шенелген тізбектің, әлде ешқандай шегі болмайды, ал шегі бар болса, онда ол тек қана ақырлы болады.

2 0 . Егер {х n } тізбегінің ақырлы шегі болса, онда ол шенелген тізбек болады.

3 0 . Ақырсыз шегі бар тізбек шенелмеген тізбек деп аталады. 10 Егер тізбектің шегі + ∞ немесе − ∞ болса, онда ол сәйкес жоғарыдан және төменнен шенелмеген болады.

4 0 . Егер { х n } n=1 тізбегі қандай түрде шенелмеген болса (жоғарыдан, төменнен, екі жақты), әрбір т > 1 үшін { х n } n =m тізбегі де сондай түрде шенелмеген болады.

Мысалдар:

1. х n = 1 n \frac{\ \ \ 1}{n} жинақталатын (шегі 0 саны), шенелген (себебі x n < 1), мәндерінің жиыны{1, 1 2 , 1 3 \frac{1}{2}, \frac{1}{3} , . . . } ақырсыз жиын болатын тізбек.

2. Тізбек х n = (− 2 ) n ∞-ке ұмтылады, жоғарыдан да, төменнен де шенелмеген: мәндерінің жиыны ақырсыз.

3. х n =n 2 тізбегі + ∞ -ке ұмтылады (сондықтан жоғарыдан шектелмеген), төменнен шенелген (себебі х n ≥ 1), оның мәндерінің жиыны ақырсыз болады.

4. х n = 1 2 \frac{1}{2} + ( 1 ) n 2 \frac{( - 1) n\ }{2} тізбегінің шегі болмайды, бірақ шенелген оның мәндерінің жиыны ақырлы болады (0 және 1) .

5. х n =1 тізбегінің шегі болады, шенелген, мәндер жиыны ақырлы болады.

6. x n = 1 , n т а қ n , n ж ұ п \frac{1, n - тақ}{n, n - жұп} , тізбегінің шегі болмайды, жоғары жағынан шектелмеген, ал төменнен шенелген, мәндерінің жиыны ақырсыз.

7. 1, n=3k

x n = n, n=3k+1 (k=1, 2…. )

-n, n=3k+2

тізбегінің шегі болмайды, екі жағынан да шенелмеген, мәндерінің жиыны ақырсыз.

2. 2. Жиынтықты тізбектер және олардың негізгі қасиеттері

Монотонды тізбектер саны. е- саны.

e саны. http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image046.gif функциясының http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image047.gif шегі

Жалпы мүшесі http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image048.gif түрінде берілген сан тізбегінің шегін e саны деп атайды, яғни http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image049.gif . e-саны иррационал сан және оның жуық мәнімынадай e =2. 71828128 . . .

Теорема . http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image050.gif . (**)

(**) -формуласын 2-ші тамаша шек деп атайды.

Егерде (**) формулада http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image051.gif десек, онда х®¥ Þ a®0 (a¹0) болады да, ол формуланы былай жазуға болады: http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image052.gif . e-cанын пайдаланып шығарылатын кейбір шектерді келтірейік:

1) http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image053.gif .

2) http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image054.gif e http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image003.gif .

3) http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image055.gif .

3') http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image056.gif .

4) http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image057.gif

5) http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image058.gif

6) http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image059.gif

http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image060.gif

Егерде http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image061.gif шегін http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image062.gif және http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image063.gif болған жағдайда есептеп шығару керек болса, онда http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image064.gif түріндегі анықталмағандық алар едік.

Бұл секілді анықталмағандықтарды ашу үшін, берілген функцияның http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image065.gif негізі мен дәреже көрсеткішін мына формуланы http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image066.gif қолдану мүмкін болатындай етіп түрлендіру керек .

Мысалы.

http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image067.gif .

Осыдан, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image062.gif , http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image063.gif жағдайда, мына формула табылады http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image068.gif (бұл жерде үзіліссіз ) .

Мысал келтірейік,

http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image069.gif .

Ескерту. Егер логарифмдердің негізін e деп алсақ, мұндай логарифмдер натуралдықлогарифмдер, не неперлік логарифмдер делінеді. Непер (1550-1617) - логарифм кестелерін алғашқы жасаушылардың бірі.

Егер х=e y болса, y-ті х санының натуралдық логарифмі дейді, y=lnx деп жазады (y=log e x деудің орнына) .

Бір санның ондық логарифмі мен натуралдық логарифмдерінің байланысын былай табады.

Егер y=lgx, не х=10 y болса, оны е негізінде логарифмдесек ln x=y× ln10 , http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image070.gif http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image071.gif .

Егер http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image072.gif десек, lgx=М×lnx болады. М-ауысу модулі деп аталады.

Осылайша, егер санның натуралдық логарифмі белгілі болса, онда оның ондық логарифмін ауысу модуліне көбейту арқылы табады.

2. 3. Функцияның шегі.

Анықтама. http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image108.gif функциясы http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image003.gif нүктесінің бір төңірегіндегі нүктелерде анықталсын делік. Егер әрбір e>0 үшін dоң саны табылып, x -тің http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image109.gif теңсіздігін қанағаттандыратын барлық мәндеріүшін, мына http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image110.gif теңсіздік орындалса, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image111.gif шамасы http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image112.gif -тің http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image113.gif -ға ұмтылғандағы http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image114.gif функциясының ( http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image115.gif нүктесіндегі ) шегі деп аталады.

Осы анықтамадағы http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image116.gif шамасының функцияның анықталу облысына кіруішарт емес, бірақ http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image117.gif -ға мейлінше жақын нүктелердіңфункцияның анықталу облысына кіруішарт.

Егер http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image118.gif шамасы http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image119.gif -ға ұмтылғанда, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image120.gif функциясының мәні http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image121.gif -ға ұмтылса, оны былайша жазатын боламыз

http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image122.gif .

Анықтамадағы http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image003.gif және http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image123.gif шамалары сан болуы да, не ±¥ болуы да мүмкін.

Егер http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image124.gif -ның шамасы http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image125.gif символдарының бірі болса, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image126.gif - шексіз үлкен деп аталады, мұны былай жазамыз

http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image127.gif .

Егер әрбір e>0 үшін http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image128.gif саны табылып, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image129.gif үлкен болғанда http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image130.gif теңсіздігі орындалса, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image131.gif деп жазамыз.

Егер http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image003.gif -ның шамасы http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image125.gif символдарының бірі болса, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image132.gif деп жазамыз.

Ендіфункцияның шегінің геометриялық мағынасын анықтайық. Айталық http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image133.gif делік. Бұлай деу, берілген e>0 үшін d>0 саны табылып, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image134.gif теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image135.gif үшін http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image136.gif теңсіздігі орындалады деген сөз.

Басқаша айтқанда: аргумент x -тің http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image137.gif теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық мәндеріне сәйкес келетін ¦(x) функциясының барлық мәндері http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image138.gif теңсіздігін қанағаттандыруы тиіс. b -саны http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image139.gif функциясының х шамасы http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image003.gif -ға ұмтылғандағы шегі дегенді геометрияда былай түсіндіруге болады. http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image140.gif http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image141.gif түзулер шектеген алап қандай болса да, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image142.gif нүктесінің төңірегіне http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image143.gif маңайын салуға болады (яғни d>0 саны табылады) . Олай болса, абсциссалары http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image137.gif http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image011.gif қисығының барлық нүктелері

http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image144.gif , http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image145.gif түзулері шектеде жатады (тек абсциссасы http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image003.gif -ға тең нүкте ғана алапқа енбей қалуы мүмкін) . Функция шегінің анықтамасындағы d>0 саны e санына тәуелді, жалпы айтқанда e өзгерсе d да өзгереді . Бірнеше мысалдар қарастырайық.

1) http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image146.gif болатынын көрсету керек.

Алдын ала e>0 саны берілсін. Оған сәйкес http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image015.gif -тің

http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image147.gif (*)

теңсіздігін қанағаттандыратын барлық мәндері үшін

http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image148.gif (**)

теңсіздігі, яғни http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image149.gif теңсіздігі орындалатын d>0 санын табайық. Ал (*) -дан http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image150.gif теңсіздігі шығады. Демек,

http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image151.gif . (***)

(**) мен (***) -дан мына қорытындыға келеміз: егер d санын d(5+d) =e тендігін қанағаттандыратын етіп алсақ, (*) (***) да орындалады.

Сонымен, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image146.gif екендігі дәлелденеді.

2) http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image152.gif екендігін дәлелдеу керек.

Алдын ала e>0 cаны берілген делік. Сонда аргумент http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image153.gif теңсіздігін қанағаттандырысымен http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image154.gif N санын іздеуіміз керек.

Ал, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image155.gif . Cондықтан http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image156.gif болғанда http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image157.gif теңсіздігі орындалады. Бұдан http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image158.gif . Демек, егер http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image159.gif деп алсақ, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image160.gif болғанда http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image161.gif , яғни http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image162.gif болатыны айқын.

Ескерту. Егер http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image011.gif функциясы http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image163.gif шамасына ұмтылғанда, x -тің http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image003.gif -ға ұмтылуы тек http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image003.gif -дан кіші мәндер қабылдау арқылы ғана болса, былай жазып http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image164.gif , http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image165.gif ді функцияның http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image116.gif нүктесіндегі сол жақты шегі дейді.

Егер х тек http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image003.gif -дан үлкен мәндер қабылдайтын болса, былай жазып http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image166.gif , http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image167.gif -ні функцияның http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image003.gif нүктесіндегі оң жақты шегі дейді.

Ескерту. Егер аргумент х -тің берілген анықталу облысындағы барлық мәндері үшін http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image168.gif М саны табылса, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image011.gif функциясы қарастырылып отырған облыста шектелген деп аталады. Егер ондай М саны табылмаса функция http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image139.gif берілген облыста шектелмеген делінеді.

Функцияның шегі

Анықтама. http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image108.gif функциясы http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image003.gif нүктесінің бір төңірегіндегі нүктелерде анықталсын делік. Егер әрбір e>0 үшін d оң саны табылып, x -тің http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image109.gif теңсіздігін қанағаттандыратын барлық мәндері үшін, мына http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image110.gif теңсіздік орындалса, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image111.gif шамасы http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image112.gif -тің http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image113.gif -ға ұмтылғандағы http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image114.gif функциясының ( http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image115.gif нүктесіндегі ) шегі деп аталады.

Осы анықтамадағы http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image116.gif шамасының функцияның анықталу облысына кіруі шарт емес, бірақ http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image117.gif -ға мейлінше жақын нүктелердіңфункцияның анықталу облысына кіруі шарт.

Егер http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image118.gif шамасы http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image119.gif -ға ұмтылғанда, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image120.gif функциясының мәні http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image121.gif -ға ұмтылса, оны былайша жазатын боламыз

http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image122.gif .

Анықтамадағы http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image003.gif және http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image123.gif шамалары сан болуы да, не ±¥ болуы да мүмкін.

Егер http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image124.gif -ның шамасы http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image125.gif символдарының бірі болса, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image126.gif - шексіз үлкен деп аталады, мұны былай жазамыз

http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image127.gif .

Егер әрбір e>0 үшін http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image128.gif саны табылып, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image129.gif үлкен болғанда http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image130.gif теңсіздігі орындалса, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image131.gif деп жазамыз.

Егер http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image003.gif -ның шамасы http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image125.gif символдарының бірі болса, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image132.gif деп жазамыз.

Ендіфункцияның шегінің геометриялық мағынасын анықтайық. Айталық http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image133.gif делік. Бұлай деу, берілген e>0 үшін d>0 саны табылып, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image134.gif теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image135.gif үшін http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image136.gif теңсіздігі орындалады деген сөз.

Басқаша айтқанда: аргумент x -тің http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image137.gif теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық мәндеріне сәйкес келетін ¦(x) функциясының барлық мәндері http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image138.gif теңсіздігін қанағаттандыруы тиіс. b -саны http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image139.gif функциясының х шамасы http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image003.gif -ға ұмтылғандағы шегі дегенді геометрияда былай түсіндіруге болады. http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image140.gif http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image141.gif түзулер шектеген алап қандай болса да, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image142.gif нүктесінің төңірегіне http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image143.gif маңайын салуға болады (яғни d>0 саны табылады) . Олай болса, абсциссалары http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image137.gif теңсіздіктерін қанағаттандыратын http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image011.gif қисығының барлықнүктелері http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image144.gif , http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image145.gif түзулері шектеген алаптың ішінде жатады (тек абсциссасы http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image003.gif -ға тең нүкте ғана алапқа енбей қалуы мүмкін) . Функция шегінің анықтамасындағы d>0 саны e санына тәуелді, жалпы айтқанда e өзгерсе d да өзгереді . Бірнеше мысалдар қарастырайық.

1) http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image146.gif болатынын көрсету керек.

Алдын ала e>0 саны берілсін. Оған сәйкес http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image015.gif -тің

http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image147.gif (*)

теңсіздігін қанағаттандыратын барлық мәндері үшін

http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image148.gif (**)

теңсіздігі, яғни http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image149.gif теңсіздігі орындалатын d>0 санын табайық. Ал (*) -дан http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image150.gif теңсіздігі шығады. Демек,

http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image151.gif . (***)

(**) мен (***) -дан мына қорытындыға келеміз: егер d санын d(5+d) =e тендігін қанағаттандыратын етіп алсақ, (*) (***) да орындалады.

Сонымен, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image146.gif екендігі дәлелденеді.

2) http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image152.gif екендігін дәлелдеу керек.

Алдын ала e>0 cаны берілген делік. Сонда аргумент http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image153.gif теңсіздігін қанағаттандырысымен http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image154.gif N санын іздеуіміз керек.

Ал, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image155.gif . Cондықтан http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image156.gif болғанда http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image157.gif теңсіздігі орындалады. Бұдан http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image158.gif . Демек, егер http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image159.gif деп алсақ, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image160.gif болғанда http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image161.gif теңсіздігі орындалатыны, яғни http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image162.gif болатыны айқын.

Ескерту. Егер http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image011.gif функциясы http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image163.gif шамасына ұмтылғанда, x -тің http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image003.gif -ға ұмтылуы тек http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image003.gif -дан кіші мәндер қабылдау арқылы ғана болса, былай жазып http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image164.gif , http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image165.gif ді функцияның http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image116.gif нүктесіндегі сол жақты шегі дейді.

Егер х тек http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image003.gif -дан үлкен мәндер қабылдайтын болса, былай жазып http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image166.gif , http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image167.gif -ні функцияның http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image003.gif нүктесіндегі оң жақты шегі дейді.

Ескерту. Егер аргумент х -тің берілген анықталу облысындағы барлық мәндері үшін http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image168.gif М саны табылса, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image011.gif функциясы қарастырылып отырған облыста шектелген деп аталады. Егер ондай М саны табылмаса функция http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image139.gif берілген облыста шектелмеген делінеді.

Шексіз аз шама және оның қасиеттері

Анықтама. Егер http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image169.gif не http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image170.gif болса, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image171.gif функциясы http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image172.gif не x ®¥ болғанда шексіз аз шама делінеді.

Шектің анықтамасына сүйеніп, жоғарыдағы анықтаманы былайша тұжырымдауға болады: алдынала берілген кез-келген жеткілікті аз e>0 саны үшін http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image173.gif теңсіздігі орындалатын x - тың мәндері үшін http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image174.gif теңсіздігі орындалатындай d саны табылса, a(x) шексіз аз шама делінеді (x® http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image003.gif ) .

Мысалы.

1) функция a(x) =(x-2) 2 , x шамасы 2-ге ұмтылғанда шексіз аз шама, өйткені http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image175.gif .

2) функция a(x) = http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image176.gif , х®¥ болғанда шексіз аз шама, өйткені http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image177.gif .

Теорема. Егер http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image011.gif функциясы b санымен шексіз аз шама a-нің қосындысына тең болса, яғни y=b+a болса, lіm y=b (x®a не х®¥) болады. Керісінше, егер http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image178.gif болса, http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image179.gif деп жазуға болады. Мұндағы a шексіз аз шама.

Теорема. Егер http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image015.gif шамасы http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image003.gif -ға ұмтылғанда a(x) нольге ұмтылса, y= http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image180.gif шексіз үлкен шамаға ұмтылады.

Теорема. Бірнеше (саны шектеулі) шексіз аз шамалардың алгебралық қосындысы шексіз аз шама болады.

Теорема. Шексіз аз шама a(x) -тың шектелген g(x) функциясына көбейтіндісі (x® http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image003.gif , x®¥) шексіз аз шама.

Салдар. Егер lіm a(x) =0, lіm b(x) =0 болса, lіmab=0.

Салдар. Егер lіm a(x) =0, c=const болса, lіm ca=0.

Теорема. Егер lіma(x) =0, lіmb(x) ¹0 болса a(x) ·b -1 (x) -шексіз аз шама болады.

Шектер туралы негізгі теоремалар

Теорема. Бірнеше (саны шектеулі) функциялардың қосындысының шегі сол функциялардың шектерінің қосындысына тең

lіm(u 1 +u 2 + . . . +u k ) = lіm u 1 +lіm u 2 + . . . +lіm u k .

Теорема. Бірнеше (саны шектеулі) айнымалы шегі сол шамалардың тең:

lіm(u 1 u 2 . . . u k ) =lіm u 1 lіm u 2 . . . lіm u k .

Теорема. http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image181.gif http://www.yki.kz/images/stories/lecture/mattaldau.files/image182.gif .

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Сан тізбектері және олардың шектері
Сандық тізбектің шегі
Шектер теориясы түсінігі
Шектер теориясы жайлы
Сөзжасам – лингвистика ғылымында жеке сала ретінде кеш дамып, жетіліп келе жатқан сала
Шектер теориясы туралы
Монотонды тізбектер
Электр тізбектеріндегі өтпелі үрдістер
Функцияның шексіздіктегі шегі
Қазақ тіліндегі сөзжасамдық тізбектер
Пәндер



Реферат Курстық жұмыс Диплом Материал Диссертация Практика Презентация Сабақ жоспары Мақал-мәтелдер 1‑10 бет 11‑20 бет 21‑30 бет 31‑60 бет 61+ бет Негізгі Бет саны Қосымша Іздеу Ештеңе табылмады :( Соңғы қаралған жұмыстар Қаралған жұмыстар табылмады Тапсырыс Антиплагиат Қаралған жұмыстар kz