Көпбұрыш

Кіріспе

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 24 бет
Таңдаулыға:

Тақырыптар:
Көпбұрыш.
Үшбұрыш оның қасиеттері.
Үшбұрыштың медианасы, биссектриясы, биіктігі, орта сызығы, тең
бүйірлі, тең қабырғалы, тік бұрышты үшбұрыш.
Төртбұрыштар.
Параллелограм.
Ромб.
Тік төртбұрыштар
ҰШБҰРЫШ

Үшбұрыш деп бір түзуде жатпайтын үш нүктеден және осы нүктелерді қос-
қостан қосатын үш кесіндіден тұратын фигураны атайды. Нүктелер үшбұрыштың
төбелері, ал кесінділер қабырғалары деп аталады.
21-суретте төбелері А, В, С, ал қабырғалары АВ, ВС, AC болатын үшбұрыш
кескінделген. Ұшбұрышты төбелері арқылы белгілейді. Үшбұрыш деген сөздің
орнына кейде Д таңбасын қолданады. Мысалы, 21-суреттегі үшбұрыш былай
белгіленеді: ABC.

ABC үшбұрышының A төбесіндегі бұрышы деп АВ және AC жарты түзулерімен
жасалатын бұрышты айтады. Үшбұрыштың В және С төбелеріндегі бұрыштары да
осылай анықталады.
Егер екі кесіндінің ұзындықтары бірдей болса, онда олар тең кесінділер
деп аталады. Егер екі бұрыштың градус есебімен бұрыштың шамалары бірдей
болса, онда олар тең бұрыштар деп аталады.
Егер екі кесіндінің ұзындықтары бірдей болса, онда олар тең
кесінділер деп аталады. Егер екі бұрыштың градус есебімен бұрыштық
шамалары бірдей болса, онда олар тең бұрыштер деп аталады.
Егер үшбұрыштардың сәйкес қабырғалары және сәйкес бұрыштары тең
болса, онда олар тең ұшбұрыштар деп аталады. Сонда сәйкес бұрыштар
сәйкес қабырғаларға қарсы жатуы тиіс.
22-суретте өзара тев АВС және А1 В1 С1 ұшбұрыштары көрсетілген.

Сызбада тең кесінділерді, әдетте бір, екі не үш сызықшамен, ал тең
бұрыштарды бір, екі не үш кішкене доғамен белгілейді.
Үшбұрыштардың теңдігін көрсету үшін, әдетте теңдік белгісі =
пайдаланылады. АВС = А1В1С1 жазуы былай оқылады: ABC үшбұрышы
Д5,С, үшбұрышына тең. Бұл жерде үшбұрыш төбелерінің жазылу ретінің мәні
бар. АВС = іА1В1С1 теңдігі мынаны білдіреді: A = Al B = B2
... Ал, АВС = В1А1С1. теңдігінің мәнісі мүлде басқаша: A = B1,
B = A1,

БЕРІЛГЕН ҮШБҰРЫШҚА ТЕҢ ҮШБҰРЫШТЫҢ БОЛАТЫНЫ ТУРАЛЫ

Айталық, бізде ABC үшбұрышы және а сәулесі бар болсын (23, а-сурет). ABC
үшбұрышын басқаша орналастырайық: оның А төбесі а сәулесінің бас нүктесімен
беттессін, В төбесі а сәулесінде жатсын, ал С төбесі а сәулесі мен оның
жалғасына қатысты берілген жарты жазықтықта жатсын. Орны өзгерген

23-сурет
үшбұрыштың осы жаңа қалыптағы төбелерін А1, В1, С1 деп белгілейік (23, б-
сурет).
А1, В1, С1 үшбұрышы ABC үшбұрышына тең.
ABC үшбұрышына тең және берілген а сәулесіне қатысты көрсетілген қалыпта
орналасқан А1, В1, С1 үшбұрышының бар болуын біз қарапайым фигуралардың
негізгі қасиеттерінің қатарына жатқызамыз. Бұл қасиетті былай
тұжырымдаймыз:
VIII. Үшбұрыш қандай болса да, берілген жарты түзуге қатысты көрсетілген
қалыпта орналасқан оған тең үшбұрыш бар болады.

ҮШБҰРЫШТАР ТЕҢДІГІНІҢ БЕЛГІЛЕРІ
ҮШБҰРЫШТАР ТЕҢДІГІНІҢ БІРІНШІ БЕЛГІСІ
Теорема 3.1 (екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрышы бойынша
үшбұрыштардың теңдік белгісі). Егер бір үшбұрыштың екі қабырғасы мен
олардың арасындағы бұрышы сәйкесінше екінші үшбұрыштың екіқабырғасы мен
олардың арасындағы бұрышына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады.
Дәлелдеу. Айталық, ABC және А1, В1, С1 үшбұрыштарында A= А1, АВ =
АВ1, АС = А1С болсын (44-сурет). Үшбұрыштар тең болатынын дәлелдейміз.
Айталық, А1, В2, С2 — ABC үшбұрышына тең үшбұрыш болсын, оның В1 төбесі
А1, В1 сәулесінде жатсын, С2 төбесі С1 төбесімен бір жарты жазықтықта
жатсын (45, а-сурет).
А1В1=А1В2 болатындықтан, В2 төбесі В2 төбесімен беттеседі (45, а-сурет).
В1,A1С1 = В1,A1С1 болғандықтан, А1С2 сәулесі A1С1 сәулесімен беттеседі
(45, в-сурет). A1С1=A1С2 болғандықтан, С2 төбесі С1 төбесімен беттеседі
(45, г-сурет).

45-сурет

Сонымен, В1,A1С1 үшбұрышы А1В2С2 үшбұрышымен беттеседі, демек ABC
үшбұрышына тең болады. Теорема дәлелденді.

ҮШБҰРЫШТАР ТЕҢДІГІНІҢ ЕКІНШІ БЕЛГІСІ

Теорема 3.2 (бір қабырғасы және оған іргелес бұрыштары бойынша
үшбұрыштардың теңдік белгісі). Егер бір үш-бұрыштың бір қабырғасы мен оған
іргелес бұрыштары сәйкесінше екінші үшбұрыштың бір қабырғасы мен оған
іргелес бұрыштарына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады.
Дәлелдеу. Айталық, ABC және В1,A1С1—екі үшбұрыш, оларда АВ =AВ = А1 және
A=A1 және В=В1 болсын (47-сурет). Үшбұрыштардың тең екенін дәлелдейік.
Айталық, A1В2С2 —ABC үшбұрышына тең үшбұрыш болсын, төбесі-А1В1
сәулесінде жатсын, ал С2 төбесі С1 төбесімен түзуіне қарағанда бір жарты
жазықтықта жатсын.
\В2 = А\В\ болғандықтан, В2 төбесі В\ төбесімен беттеседі. А\Сч= LB\AiC\
және -А\В\С2= -А\В\С\ болғандықтан,

47-сурет

А1С2 сәулесі А1С1 сәулесімен беттеседі, ал В1С2 сэулесі В1С1 сәулесімен
беттеседі. Б9дан С1 төбесі С2 төбесімен беттесетіндігі шығады.
Сонымен, А1В1С1 үшбүрышы А1В2С2 үшбұрышымен беттеседі, демек, ABC
үшбұрышына тең болады. Теорема дәлелденді.

ҮШБҰРЫШТЫҢ БИІКТІГІ, БИССЕКТРИСАСЫ ЖӘНЕ МЕДИАНАСЫ

Үшбұрыштың берілген төбесінен түсірілген биіктігі деп осы төбеден
үшбұрыштың қарсы жатқан қабырғасын қамтитын түзуге жүргізілген
перпендикулярды айтады.

олардың В және В1 төбелерінен биіктіктер жүргізілген. 51,
а-суретте биіктіктің табаны үшбұрыштың қабырғасында жатыр, ал 51, б-
суретте үшбұрыш қабырғасының созындысында жатыр.
Үшбұрыштың берілген төбесінен жүргізілген биссектрисасы деп үшбұрыш
бұрышының биссектрисасының осы төбені қарсы жатқан қабырғадағы нүктемен
қосатын кесіндісін айтады (52, а-сурет).
Үшбұрыштың берілген төбесінен жүргізілген медианасы деп осы төбені қарсы
жатқан қабырғаның ортасымен қосатын кесіндіні айтады (52, б-сурет).

ҮШБҰРЫШТАР ТЕҢДІГІНІҢ ҮШІНШІ БЕЛГІСІ

Теорема 3.6 (үшбұрыштардың үш қабырғасы бойынша теңдік белгісі). Егер бір
үшбұрыштың үш қабырғасы сәйкесінше екінші үшбұрыштың үш қабырғасына тең
болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады.
Дәлелдеу. Айталық, ABC және А1В1С1 үшбұрыштарында АВ = А1В1, AC = A1С1,
ВС = В1С1 болсын (55-сурет). Үшбұрыштар тең екенін дәлелдеу керек.

Үшбұрыштар тең емес деп жориық. Сонда A А1, В В1,
CC1,болсын. Әйтпесе, олар бірінші белгі бойынша тең болар еді.
Айталық, А1В1С1—ABC үшбұрышына теқ үшбұрыш болсын: оның С2 төбесі С1
төбесімен А1В1 түзуіне қатысты бір жарты жазықтықта жатсын (55-суретті
қараңдар).
D нүктесі — С1С2 кесіндісінің ортасы болсын. Сонда А1С1С2 және В1С1С2—
үшбұрыштары тең бүйірлі, ал С1С2 бұларға ортақ табан болады. Сондықтан
бұлардың A1D және B1D медианалары биіктіктер де болып табылады. Демек, A1D
және B1D түзулері С1С2 түзуіне перпендикуляр болады. A1D және B1D түзулері
беттеспейді, өйткені А1, В1. D нүктелері бір түзуде жатпайды. Ал С1С2
түзуінің D нүктесі арңылы оған тек қана бір перпендикуляр түзу жүргізуге
болады. Біз қайшылыққа келдік. Теорема дәлелденді.

56-сурет

ҮШБҰРЫШТЫҢ БҰРЫШТАРЫНЫҢ ҚОСЫНДЫСЫ

Т е о р е м a 4.4 Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180°-қа тең.
Дәлелдеу. ABC берілген үшбұрыш болсын. В төбесі арқылы AC түзуіне
параллель түзу жүргіземіз. А және D нүктелері ВС түзуінің әр жағында
жататындай етіп D нүктесін белгілейміз (78-сурет).
DBC және АСВ бұрыштары — ішкі айқыш бұрыштар. Сондықтан олар тең. Олай
болса, үшбұрыштың В және С төбелеріндегі бұрыштарының қосындысы ABD
бұрышына тең.
Сонда үшбұрыштың барлық үш бұрышының қосындысы ABD және ВАС бұрыштарының
қосындысына тең. Ал бұлар AC жөне BD параллель түзулері мен АВ қиюшысы
жасайтын ішкі тұстас бұрыштар, сондықтан бұлардың қосындысы 180°-қа тең.
Теорема дәлелденді.
4.4-теоремадан мынадай салдар шығады: кез келген үшбұрыштың ең кемінде
екі бұрышы сүйір болады.
Шынында да, үшбұрыштың тек қана бір бұрышы сүйір немесе оның сүйір бұрышы
мүлдем жоқ деп ұйғарсақ, сонда бұл үшбұрыштың әрбіреуі 90°-таи кем емес екі
бұрышы бар болады. Осы екі бұрыштың қосындысы-ақ, 180°-тан кем емес
болады. Ал, бұл мүмкін емес, өйткені үшбұрыштың барлық бұрыштарының
қосындысы 180°-қа тең. Дәлелдеу керегі де осы еді.

ҮШБҰРЫШТЫҢ СЫРТҚЫ БҰРЫШТАРЫ

Үшбұрыштын берілген төбесіндегі сыртқы бұрышы деп осы төбедегі үшбұрыштын
бұрышымен сыбайлас бұрышты атайды (79-сурет).
Берілген төбедегі үшбұрыштың бұрышын осы төбедегі оның сыртқы бұрышымен
шатастырмас үшін оны кейде ішкі бұрыш деп атайды.

Т е о р е м a 4.5. Үшбұрыштың сыртқы бұрышы онымен сыбайлас емес екі
ішкі бұрыштың қосындысына тең болады.
Дәлелдеу. ABC — берілген үшбұрыш болсын (80-сурет). Үшбұрыштың
бұрыштарының қосындысы туралы теорема бойынша

Бұдан
Бұл теңдіктің оң жақ бөлігінде үшбұрыштың С төбесіндегі
сыртқы бұрыштың градустық өлшемі тұр. Теорема дәлелденді.
4.5-теоремадан мынадай салдар шығады: үшбұрыштың сыртқы бұрышы онымен
сыбайлас емес кез келген ішкі бұрыштан үлкен болады.

ҮШБҰРЫШ ТЕҢСІЗДІГІ

Егер А мен В әр түрлі нүктелер болса, онда олардың ара қашықтығы деп АВ
кесіндісінің ұзындығын атайды. Егер A мен В нүктелері дәл келіп беттесетін
болса, онда олардың ара қашықтығы нөлге тең деп алынады.
Т е о р е м a 7.3 (үшбұрыш теңсіздігі). Үш нүкте қандай болғанмен де,
ол үш нүктенің кез келген екеуінің ара қашықтығы олардың үшінші нүктеге
дейінгі ара қашықтықтарының қосындысынан артық болмайды.
Ал бұл осы ара қашықтықтардың әрқайсысы да қалған екеуінің қосындысынан
кіші не оған тең дегенді білдіреді.
Дәлелдеу. А, В, С — берілген үш нүкте болсын. Егер осы үш нүктенің
екеуі немесе тіпті үшеуі де беттесетін болса, онда теорема тұжырымы өзінен-
өзі айқын.
Егер үш нүктенің барлығы да әр түрлі нүктелер болып және бір түзудің
бойында жатса, олардың біреуі, мысалы В нүктесі, былайғы екеуінің арасында
жатады. Бұл жағдайда АВ+ВС = АС. Бұдан байқайтынымыз: ол үш ара
қашықтықтың әр-қайсысы былайғы екеуінің қосындысынан артық болмайды.
Енді үш нүкте бір түзуде жатпайды деп ұйғарайық (154-сурет). Сонда
АВАС+ВС болатындығын дәлелдейміз. АВ түзуіне CD перпендикулярын түсіреміз.
Жоғарыда дәлелдегеніміз бойынша ABAD+BD. Сонымен бірге ADAC және
BDBC болғандықтан, АВ ACBC. Теорема дәлелденді.

Үш нүкте бір түзудің бойында жатпайтын жағдайда үшбұрыш теңсіздігі —
қатаң теңсіздік екенін ескертеміз. Мұның мәнісі — кез келген үшбұрыштың
әрбір қабырғасы былайғы екі қабырғасының қосындысынан кіші болады.
ТЕҢ БҮЙІРЛІ ҮШБҰРЫШТЫҢ МЕДИАНАСЫНЫҢ ҚАСИЕТІ

Т е о р е м a 3.5 (тең бүйірлі үшбұрыштың медианасының қасиеті). Тең
бүйірлі үшбұрыштың табанына жүргізілген медианасы оның биссектрисасы да,
биіктігі де болып табылады.
Дәлелдеу. ABC — табаны АВ болатын тең бүйірлі үшбұрыш, ал CD — оның
табанына жүргізілген медианасы болсын (53-сурет).
Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі бойынша CAD және CBD үшбұрыштары
тең. (Оларда АС=ВС, өйткені ABC үшбұрышы тең бүйірлі. Тең бүйірлі
үшбұрыштың табанындағы бұрыштар болғандықтан, CAD= CBD. AD және BD
қабырғалары тең, өйткені D нүктесі — АВ кесіндісінің ортасы).
Үшбұрыштардың теңдігінен келесі бұрыштардың теңдігі шығады: ACD = BCD,
ADC= BCD. ACD және BCD бұрыштары тең болғандықтан, CD биссектриса
болады. ADC және BDC бұрыштары сыбайлас және тең болғандықтан, олар — тік
бұрыштар, сондықтан CD үшбұрыштың биіктігі болады. Теорема дәлелденді.

Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер
Егер шеңбер үшбұрыштатың барлық төбелері арқылы өтсе, онда
ол үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер деп аталады.
Теорема 5.1. Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің

центрі үшбұрыш қабырғаларының орталары арқылы жүргі-зілген
перпендикулярдың қиылысу нүктесі болып табылады.
Дәлелдеу. Айталық ABC — берілген үшбұрыш және О — оған сырттай сызылған
шеңбердің центрі болсын (93-сурет). АОС үшбұрышы тең бүйірлі: оның ОА мен
ОС қабырғалары радиустар болғандықтан тең. Бұл үшбұрыштың OD медианасы оның
биіктігі де болып табылады. Сондықтан шеңбердің центрі AC қабырғасына
перпендикуляр әрі оның ортасынан өтетін түзудің бойында жатады. Дәл
осылайша шеңбердің центрі үшбұрыштың қалған екі қабырғасының да
перпендикулярында жататыны дәлелденеді. Теорема дәлелденді.

ҮШБҰРЫШҚА ІШТЕЙ СЫЗЫЛҒАН ШЕҢБЕР

Егер шеңбер үшбұрыштың барлық қабырғаларын жанайтын болса, онда ол
үшбұрышқа іштей сызылған деп аталады.
Теорема. ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.