Тұжырымдар алгебрасы. Тұжырымдар есептелімі

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ 3
1 ТАРАУ. ТҰЖЫРЫМДАР АЛГЕБРАСЫ 5
1.1. Тұжырым ұғымы 5
1.2. Тұжырымдарға қолданылатын логикалық амалдар. Терістеу 7
1.3 Конъюнкция 8
1. 4 Дизъюнкция 9
1. 5 Эквиваленция 10
1.6 Импликация 11
1.7 Тұжырымдар алгебрасының формулалары 13
1.8 Тұжырымдар алгебрасының пара.пар, тепе.тең ақиқат және тепе.тең жалған формулалары 15
2 ТАРАУ. ТҰЖЫРЫМДАР ЕСЕПТЕЛІМІ 166
2.1 Тұжырымдар есептелімі формуласының ұғымы 166
2.2. Дәлелденетін формула ұғымы 188
2.3 Тұжырымдар есептелімінің аксиомалар жүйесі 19
3 ТАРАУ
3.1 Предикат ұғымы 200
3.2 Предикаттарға логикалық амалдарды қолдану 211
3.3 Кванторлық амалдар 222
3.4 Предикаттар логикасының формуласының ұғымы 233
3.5 Предикаттар логикасының формулаларының тепе.теңдігі 25
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...26
Пайдаланылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .27
КІРІСПЕ
Математика барлық тұжырымдар ақыл қорытындысы арқылы, яғни адамның ойлау қабілеті заңының жолдарын қолданып, дәлелденетін ғылым болып табылады. Адамның ойлау қабілетінің заңын оқу логика пәні болып табылады. Логика өз алдына ғылым болып грек философы Аристотельдің (384-322 ж.ж б.э.д) еңбегінде нақтыланған. Ол өзіне дейінгі мәліметтерді жүйеледі және осы жүйе кейін формальды немесе Аристотель логикасы деп аталды. Формальды логика еш өзгеріссіз 20 ғасырдай өмір сүрді. Математиканың дамуы Аристотель логикасының жетіспеушіліктерін көрсетті және оның әрі қарай дамуын талап етті. Математикалық негізде логиканы құру идеясын тарихта алғашқы болып неміс математигі Г.Лейбниц (1646-1716) XVI ғ. аяғында айтты. Ол логиканың негізгі ұғымдарын арнайы шарттармен байланысқан символдармен белгіленуі тиіс дейді. Бұл кез-келген ойларды есепке ауыстыруға мүмкіндік береді. Алғашқы болып Лейбництің айтуын жүзеге асырған ағылшын ғалымы Д. Буль (1815-1864). Ол айтылымдар әріптермен белгіленген алгебраны құрды және бұл айтылымдар алгебрасын дүниеге әкелді. Логикаға симвлодық белгілеуді ендіру, бұл ғылымға маңызды болды. Дәл осы символдарды логикаға ендіру жаңа математикалық логика ғылымының негізін қалады. Логикада математиканы қолдану логикалық теорияларды жаңа формада кқруге мүмкіндік берді және есептеуіш аппараттарды адамның ойлау қабілеті жетпейтін есептерді шешуде қолдану логиканың зерттеу облысын кеңейтті. XIX ғ. аяғында математика үшін актуальді мәнге ие болатын сұрақтар туындады, яғни оның негізгі ұғымдары мен идеялары бойынша. Бұл мәселенің логикалық негізі болды және бұл математикалық логиканың әрі қарай дамуына алып келді. Бұл қатынаста неміс математигі Г.Фреге (1848-1925) және Итальян математигі Д. Пеано (1858-1932) еңбектерінде көрсетілген. Математикалық ойлаудың ерекшеліктері математикалық абстракция және олардың байланыстарының түрлілігінің ерекшеліктерімен түсіндіріледі. Осыған орай осы заманғы математикалық логиканы математиканың бөлімі ретінде қарастырады. Математикалық логиканың дамуының негізгі себептерінің бірі әртүрлі математикалық теорияларды құруда аксиоматикалық әдістердің кең таралуы болып табылады. Математикалық теорияны аксиоматикық құруда алдын-ала кейбір белгісіз жүйе ұғымы және олардың арасындағы қатынас тандалады. Осы ұғымдар мен қатынастар негізгі деп аталады. Әрі қарай дәлелдеусіз теория қарастыратын негізгі орын аксиома қолданылады. Барлық алдағы теорияның мазмұны аксиомадан логикалық түрде шығарады. Математикалық теорияда аксиоматикалық құруды алғашқы болып геометрияны құруды Эвклид қолданды. Бұл теория алғашқыда әлсіз түсіндірілді. Эвклид мұнда негізгі ұғымдарға (нүкте, түзу, жазықтық) анықтама бергісі келді. Теорияны дәлелдеуде еш жерде жинақталмаған орын қолданылды. Теорияны аксиоматикалық құру тәсілі XIX ғ. дейін жалғыз болды. Осы әдісті өзгертуде Н. И. Лобачевский (1792-1856) еңбектерінің маңызы зор болды.Лобачевский алғашқы болып Евклидтің 5 постулатының дәлелденбейтінін айтты және осы айтуын жаңа геометрияны құруда нақтылады. Кейін неміс математигі Ф.Клейн (1849-1925) Лобачевский геометриясын дәлелдеді. Осылайша математика тарихында олардың еңбектері алғашқы болып аксиоматикалық теорияның ділелденбейтін мәселесі көрсетілді. Математиканы негіздеудің басқа тәсілдері Д. ГИЛБЕРТ (1862-1943) және оның мектебінде дамытылды. Олар математикалық теорияны құруды синтаксистік теория негізіне сүйене отырып құрды. Осылайша, математикалық теорияның қарсылықты еместігін дәлелдеу басқа математикалық теория пәні болды, оны Гильберт математика немесе дәлелдеу теориясы деп атады.Осы тұрғыда синтаксистік, яғни фромальданған аксиоматикалық теорияны математикалық логика негізін құру мәселесі туындайды. Әртүрлі тәсілмен аксиома жүйесі және басқа формуланы шығару шартын таңдауда әртүрлі синтаксистік логикалық теорияны аламыз. Олардың әрқайсысын логика есептелімі деп атаймыз.
Пайдаланылған әдебиеттер

1. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А., «Математическая логика». М., Наука, 1979.
2. Жетпісов Қ., Түсіпов Ж.А., «Математикалық логика», Тараз, 2000.
3. Лавров И.А., Максимова Л.Л., «Задачи по теории множеств, математической статистике и теории алгоритмов». М., Наука, 1975.
4. Лихтарников Л.М., Сукачева Т.Г., «Математическая логика». СПб.: «Лань», 1998.
5. Мальцев А.И., «Алгоритмы и рекурсивные функции». М.: Наука, 1986.
6. Мендельсон Э., «Введение в математическую логику», М., 1976.
        
        МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ 3
1 ТАРАУ. ТҰЖЫРЫМДАР АЛГЕБРАСЫ 5
1.1. Тұжырым ұғымы 5
1.2. Тұжырымдарға қолданылатын логикалық ... ... ... 4 Дизъюнкция 9
1. 5 Эквиваленция 10
1.6 Импликация 11
1.7 Тұжырымдар алгебрасының формулалары 13
1.8 Тұжырымдар алгебрасының пара-пар, тепе-тең ақиқат және тепе-тең жалған формулалары 15
2 ... ... ... Тұжырымдар есептелімі формуласының ұғымы 166
2.2. Дәлелденетін формула ұғымы 188
2.3 Тұжырымдар есептелімінің аксиомалар жүйесі 19
3 ТАРАУ
3.1 ... ... ... ... ... қолдану 211
3.3 Кванторлық амалдар 222
3.4 Предикаттар логикасының формуласының ұғымы 233
3.5 Предикаттар логикасының формулаларының ... ... ... ... ... ақыл қорытындысы арқылы, яғни адамның ойлау қабілеті заңының жолдарын қолданып, дәлелденетін ғылым болып табылады. Адамның ... ... ... оқу ... пәні ... ... ... өз алдына ғылым болып грек философы Аристотельдің (384-322 ж.ж б.э.д) еңбегінде нақтыланған. Ол өзіне дейінгі ... ... және осы жүйе ... ... ... Аристотель логикасы деп аталды. Формальды логика еш өзгеріссіз 20 ғасырдай өмір сүрді. Математиканың ... ... ... жетіспеушіліктерін көрсетті және оның әрі қарай дамуын талап етті. Математикалық негізде логиканы құру ... ... ... болып неміс математигі Г.Лейбниц (1646-1716) XVI ғ. аяғында айтты. Ол логиканың негізгі ... ... ... ... символдармен белгіленуі тиіс дейді. Бұл кез-келген ойларды есепке ауыстыруға мүмкіндік береді. Алғашқы болып ... ... ... ... ... ... Д. Буль ... Ол айтылымдар әріптермен белгіленген алгебраны құрды және бұл ... ... ... ... ... ... ... ендіру, бұл ғылымға маңызды болды. Дәл осы символдарды логикаға ендіру жаңа математикалық логика ғылымының негізін қалады. ... ... ... ... ... жаңа ... кқруге мүмкіндік берді және есептеуіш аппараттарды адамның ойлау қабілеті ... ... ... ... логиканың зерттеу облысын кеңейтті. XIX ғ. аяғында ... үшін ... ... ие болатын сұрақтар туындады, яғни оның негізгі ұғымдары мен идеялары бойынша. Бұл мәселенің логикалық ... ... және бұл ... ... әрі ... ... алып ... Бұл қатынаста неміс математигі Г.Фреге (1848-1925) және Итальян математигі Д. Пеано ... ... ... ... ... ерекшеліктері математикалық абстракция және олардың байланыстарының түрлілігінің ерекшеліктерімен ... ... орай осы ... ... логиканы математиканың бөлімі ретінде қарастырады. Математикалық логиканың дамуының негізгі себептерінің бірі әртүрлі математикалық теорияларды құруда аксиоматикалық әдістердің кең ... ... ... ... ... аксиоматикық құруда алдын-ала кейбір белгісіз жүйе ұғымы және олардың арасындағы қатынас тандалады. Осы ұғымдар мен қатынастар ... деп ... Әрі ... дәлелдеусіз теория қарастыратын негізгі орын аксиома қолданылады. Барлық алдағы теорияның мазмұны аксиомадан логикалық түрде шығарады. Математикалық теорияда аксиоматикалық құруды ... ... ... ... ... ... Бұл теория алғашқыда әлсіз түсіндірілді. Эвклид мұнда негізгі ұғымдарға (нүкте, түзу, жазықтық) анықтама ... ... ... ... еш ... ... орын ... Теорияны аксиоматикалық құру тәсілі XIX ғ. дейін жалғыз болды. Осы әдісті ... Н. И. ... ... ... маңызы зор болды.Лобачевский алғашқы болып Евклидтің 5 постулатының дәлелденбейтінін ... және осы ... жаңа ... құруда нақтылады. Кейін неміс математигі Ф.Клейн (1849-1925) Лобачевский геометриясын дәлелдеді. Осылайша математика тарихында ... ... ... болып аксиоматикалық теорияның ділелденбейтін мәселесі көрсетілді. Математиканы негіздеудің басқа тәсілдері Д. ГИЛБЕРТ (1862-1943) және оның ... ... Олар ... ... ... ... ... негізіне сүйене отырып құрды. Осылайша, математикалық теорияның қарсылықты еместігін ... ... ... ... пәні ... оны ... математика немесе дәлелдеу теориясы деп атады.Осы тұрғыда синтаксистік, яғни фромальданған аксиоматикалық ... ... ... ... құру ... ... Әртүрлі тәсілмен аксиома жүйесі және басқа формуланы шығару шартын таңдауда әртүрлі синтаксистік логикалық теорияны аламыз. Олардың әрқайсысын логика есептелімі деп ... ... ... АЛГЕБРАСЫ
1.1. Тұжырым ұғымы
Бүкіл математикадағы сияқты, біздің курстағы әр бөлімде де ... ... ... бар. ... ... анықталмайды. Біздің әрқайсысымыздың олар туралы ішкі түсінігіміз бар деп есептеледі. Бұл ішкі ... ... ... саласындағы адамзаттың тарихи тәжірибесі жинақталған. Негізгі ұғымдар анықталмайды, оларға квазианықтамалар, яғни басқа анықталған ұғымдар мен ... ... ... анықтамалар беріледі. Бірінші бөлімде мұндай негізгі анықталған ұғым тұжырымдар болып табылады.
Тұжырым деп - ақиқатығы немесе жалғандығы ... ... ... байланысты баяндамалы сөйлемді айтамыз.
Мысал 1. (екі көбейту екі тең төрт).
Мысал 2. .
Мысал 3. Тауық қүс емес.
Мысал 4. ... және 2 ... - ... ал 3, 4 - жалған. Бір ғана тұжырым болатын айтылымды жай ... ... деп ... ... ... ... болып 1 тұжырымды айтуға болады. Граматикалық байланыстар көмегімен (, , , ) ... ... ... деп атайды. Осылайша 2 тұжырым мынадай қарапайым тұжырымдардан ... , . 4 ... ... ... және ... Әрі ... бізді тұжырымдардың мағыналы жағы қызықтырмастан, олар қандай ақиқаттық ( немесе ) мәнге ие болатындығы қызықтырады. Тұжырымдар алгебрасында бірдей ақиқаттық мәні бар ... ... ... яғни бізде ақиқат тұжырым және жалған тұжырым секілді екі тұжырым класы бар.
Қарапайым тұжырымдары ... ... ... ... ... ... А ... немесе 1 цифрмен, жалған мәнді Ж әріппен немесе 0 ... ... а ... ... онда а=1, ал егер ... болса, а=0 деп жазамыз.
1.2. Тұжырымдарға қолданылатын логикалық ... ...
а ... ... жаңа ... ... ... бұл тұжырым а ақиқат болғанда жалған, ал а жалған болғанда кезде, ақиқат болады.
a терістеу ... (-a) деп ... және ... деп ... -a тұжырымының логикалық мәнін кесте арқылы көрсетуге болады:
218884554610а
-a
1
0
0
1
00а
-a
1
0
0
1
Бұл түрдегі кестені ақиқаттық кестесі деп атайды.
Мәселен, тұжырымы үшін терістеу болып ... ...
а ... ... да тұжырым болғандықтан, тұжырымына терістеу құруға болады, яғни тұжырымы а тұжырымына екілік ... ... және а ... логикалық мәні бірдей.
1.3 Конъюнкция
a және b тұжырымдарының конъюнкциясы деп, егер екі тұжырым да ақиқат болғанда ақиқат және егер кем ... ... ... болғанда жалған болатын жаңа тұжырымды айтамыз.
a және b ... ... мына ... ... ab (a ּb, a b, a&b) және ... ... . a , b ... конъюнкция мүшелері деп аталады. a және b екі тұжырымның барлық мүмкін логикалық мәндерінің ... ... ... ... ...
a ... , ... үшін оның конъюнкциясы тұжырымы болады, бұл ақиқат. Конъюнкция операциясы анықтамасында көрсетілгендей сөзі ... ... ... ... ... ... ... Бірақ кәдімгі сөйлесуде сөзімен мағынасы әртүрлі екі тұжырымды біріктіру қабылданбаған, ал логика алгебрасында ... екі ... ... ... 4 ... және b ... ... деп,егер екі тұжырымның бірі ақиқат болса, ақиқат және егер ... де ... ... ... ... жаңа ... ... b тұжырымдардың дизъюнкциясы мына символмен белгіленеді: ab және былай оқылады . a, b ... ... ... деп ... және b екі ... барлық мүмкін логикалық мәндерінің дизъюнкциясы келесі ақиқат кестеде көрсетілген:
2171700199390а
b
аb
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
00 ... 5 ... және b екі ... ... деп егер ... бірдей ақиқат немесе жалған болса, ақиқат, ал қалған жағдайларда жалған болатын жаңа тұжырымды айтамыз.
a және b ... ... мына ... ... a~b (ab) және ... ... "a үшін ... және жеткілікті b " немесе " a сонда және тек сонда ғана, қашан b". a, b тұжырымдары эквиваленция мүшелері деп ... a және b екі ... ... мүмкін логикалық мәндерінің эквиваленциясы келесі ақиқат кестеде көрсетілген:
a
B
a~b
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Мысалы: эквиваленциясы ақиқат. " S ... және PQ ... ... SPQ ... тең ... және " S ... және PQ ... берілген SPQ үшбұрышында P=Q " тұжырымдары бір мезгілде ақиқат немесе жалған.
Эквиваленттілік математикалық дәлелдеуде үлкен роль атқарады. Теоремалардың белгілі ... ... және ... ... ... яғни ... формасында. Бұл жағдайда оның екі элементінің бірі ақиқат немесе ... ... біле ... және ... ... ақиқаттығын дәлелдеп біз эквиваленттіліктің екінші мүшесінің ақиқат немесе жалған екенін қорытындылаймыз.
1.6 Импликация
a және b екі тұжырымның импликациясы деп, егер a ... ал b - ... ... ... және ... ... ... болатын жаңа тұжырымды айтамыз. a, b тұжырым импликациясы былай белгіленеді a b (a b a b) және ... ... ... a, онда b " ... . а ... шарт немесе сілтеме тұжырым, ал b тұжырымын - салдары немесе қорытынды деп атайды. a және b екі ... ... ... логикалық мәндерінің импликациясы келесі ақиқаттық кестеде көрсетілген:
a
b
a b
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
Мысалы, "егер 12 6-ға бөлінсе, онда ол 3-ке бөлінеді" тұжырымы ақиқат. ... ... ... және ... қорытынды. Импликация математикалық дәлелдеуде үлкен роль атқарады. Теоремалардың белгілі бөлігі қажетті және жеткілікті ... ... Егер бұл ... a ... ... және a b ... ... дәлелденген болса, онда b салдардың ақиқат екенін қорытындылаймыз. Логикалық амалдармен алғаш танысқанда импликациядан басқаның ... ... ... түрде енгізілген секілді. Ал импликация анықтамасын енгізуді қабылдауға біздің санамыз қарсылық көрсетіп жатқандай болып көрінеді. Бірақ ... ... ... ... түйсікті ішкі логикамызға және математикада өте жиі ... ... ... ... ... мысал келтіруге болады. Арифметикадан бір теореманы еске түсірейік - Q(x)= . Бұл теореманың әділдігіне біз күмән келтіреміз, яғни Q(x ) - қа ... х ... ... ... та біз ақиқат айтылым аламыз. Белгілеу енгіземіз: А(х)= , В(х)= . ... ... )= А(x ) В(x ) ... ... х=8, 2, 3 ... қоя отырып келесілерді аламыз: 1 1, 01, 0 0. (1) ... 1 0 ... ... ... мәнін қою мүмкін емес (себебі келтірілген теорема әділ).
Қарапайым тілде түрдегі ... А мен В ... ... ... ... көреміз. Біздің импликация анықтамасында бұл мүлде міндетті емес. Яғни біз мынадай импликацияны қарастыру құқымыз бар: , бұл ... ... ... күні ... ал ... жалған.
1.7 Тұжырымдар алгебрасының формулалары
Тұжырымдарға қолданылатын логикалық амалдары көмегімен берілген тұжырымдардан күрделі тұжырымдарды құруға болады. Операциялардың орындалу реті жақшамен ... ... x, y, z үш ... ... ... ... болады:
және .
Қарапайым тұжырымдардан терістеу, конъюнкция, дизъюнкция, импликация және эквиваленция ... ... ... ... алынған күрделі тұжырым тұжырымдар алгебрасының формуласы деп ... ... ... ... ... ... бас әріптерімен белгілейміз: A, B, C,...,X, Y, Z,... Жазуды жинақтау үшін формулалардағы амалдарды ретімен орындау келісілген. Басқа барлық ... ... ... ... ал ... импликация мен эквиваленттік бұрын орындалады. Бұл амалдардың орындалу ретін анықтайтын жақшалар қойылмауы мүмкін. Егер кейбір ... ... ... ... ... ол жағдайда да жақша қойылмайды.
Демек, жоғарыда келтірілген және ... ... ... ...
және
немесе және ... ... ... логикалық мәні оған кіретін қарапайым тұжырымдардың логикалық мәндерімен толығымен анықталады. Мысалы, x=1, y=1, z=0 ... (xy)z ... ... мәні ... ... яғни (xy)z =1.
Логикалық амалдар сияқты, формуланың барлық мүмкін болған мәндері оның ақиқаттық ... ... ... ... xyху ... үшін ... кестесінің көрінісі төмендегідей:
х
у
x
у
xy
ху
xyху
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
Егер формуланың құрамына n қарапайым тұжырым енетін болса, онда ол нөл және ... ... 2n мән ... ... ... ... ... 2n қатардан тұрады деп айтуға болады.
1.8 Тұжырымдар алгебрасының пара-пар, тепе-тең ақиқат және тепе-тең жалған формулалары
Егер ... ... А және В ... ... құрамына енетін қарапайым тұжырымдарының кез келген мәндерінде ... мән ... онда бұл ... ... деп ... ... ... белгісімен белгілейміз, яғни
А В А және В формулалары ... А ... оған ... айнымалылардың барлық мәндерінде 1 мәнді қабылдайтын ... онда бұл ... ... ақиқат (немесе тавтология) деп аталады.
Егер А формуласы оған кіретін айнымалылардың ... ... 0 ... ... ... онда бұл ... тепе-тең жалған (немесе қарама-қайшылық) деп аталады.
2 тарау. тұжырымдар есептелімі
2.1 Тұжырымдар есептелімі формуласының ұғымы
Тұжырымдар есептелімі бұл интерпретациясы тұжырымдар алгебрасы болатын ... ... ... ... ... ... бұл ... символдарының, формулаларының сипаттамасы, дәлелденетін формулалардың анықтамасы енеді.
Тұжырымдар есептелімінің алфавиті үш түрлі символдардан тұрады:
1. Бұл символдарды айнымалы ... деп ...
2. Бұл ... ... байланыс деген жалпы атауға ие. Келтірілген символдардың біріншісі дизъюнкция (немесе логикалық қосу) белгісі, екіншісі - ... ... ... ... ... үшіншісі - импликация және төртіншісі - ... ...
3. ... деп ... ... (, ... есептелімінде басқа символдар болмайды. Тұжырымдар есептелімінің формуласы тұжырымдар есептелімі ... ... ... ... ... ... үшін латын алфавитінің үлкен әріптерін қолданамыз. Олар өздері есептелімнің символдары болмай, формулалардың тек ... ... ...
Тұжырымдар есептелімі формуласының анықтамасы
1. Кез келген айнымалы формула болады. 2. Егер А және В - ... ... онда ... де ...
3. Ешқандай басқа символдардың қатары формула болмайды.
Айнымалы тұжырымдарды қарапайым формулалар деп атаймыз.
Тұжырымдар есептелімі формуласына мысал келтірейік.
айнымалы ... ... 1-ші ... бойынша формулалар болады. Бірақ, онда сөздер де ... 2-ші ... ... ... бола ... Сол ... байланысты сөздер де формула бола алады.
Формула түсінігі мен бірге ішформула немесе формула бөлігі түсінігі енгізіледі.
1. ... ... ... оның өзі ...
2. Егер ... ... ... онда оның ішформулалары формуланың өзі, А формуласы және А формуланың барлық ішформулалары болады.
3. Егер ... (А*В) ... * - үш ... бірі деп ... ... ... онда оның ... формуланың өзі, А, В формулалары және А мен В формулалардың барлық ішформулалары ... ... ... саны ... ... деп аталады.
2.2. Дәлелденетін формула ұғымы
Тұжырымдар есептелімінің құруда келесі кезең дәлелденетін (шығарылатын) формулалардың класын бөліктеу болады. Дәлелденетін формула анықтамасы ... ... ... ... ... дәлелденетін шығарылатын формулалар (аксиомалар) анықталады, ал содан кейін бар дәлелденетін формулалардан жаңа дәлелденетін формулаларды алуға мүмкіндік ... ... ... ... ... ... формулалардан шығару ережелерін қолдану көмегімен жаңа дәлелденетін формуланы алу процесі ... ... ... шығаруы (дәлелдеуі) деп аталады.
2.3 Тұжырымдар есептелімінің ... ... ... ... ... ... бірінші тобы (құрамыларыны тек импликация енеді).
: .
:.
Аксималардың екінші тобы ( импликацияға конъюнкция қосылды):
:
: .
: ... ... тобы ( ... дизъюнкция қосылды):
:
:
: .
Аксималардың төртінші тобы ... ... ...
: ... ... Предикат ұғымы
Анықтама 1. x1, x2, ..., xn - пәндік айнымалылардың символдары болсын. Пәндік айнымалылардың (x1, x2, ..., xn) ... ... ... деп ... жиыныны тиісті болсын. пәндік аймағында анықталған n-орынды предикат деп, -ның ... ... ... ... ... ... алдын n-орынды предикаттарға квазианықтама берейік:
Анықтама 2. . Мысал 1. D(x1, x2) = - NN жиынында анықталған екі ... ... ... D(4, 2)=1, D(3, ... 2. Q(x) = - екі орынды тепе-тең ақиқат предикат.
Р(x1, x2, ..., xn) - ... ... ... ... болсын. Онымен келесі түрде анықталған екі жиынды байланыстырамыз:
IP={( x1, x2, ..., xn ) | Р(x1, x2, ..., xn)=1} - Р ... ... ... x1, x2, ..., xn) | Р(x1, x2, ..., xn)=0} - Р ... ... жиыны.
Анықтама 2. Р - -да ... ... ... Егер IP= (LP=) ... онда Р ... ... егер LP= (IP=) ... онда Р тепе-тең жалған предикат деп аталады.
Егер IP және LP болса, онда Р ... ... деп ... ... 3 ... R(x, y, z) ... IP және LP жиындарын көрсетейік (1 сурет). ... z IP
1 ... ... логикалық амалдарды қолдану
Анықтама 3. Р - -да анықталған предикат ... Р ... ... ... белгіленетін және -да келесі түрде анықталған ... және Q - -да ... ... ... және Q ... дизъюнкциясы (конъюнкциясы, импликациясы, эквиваленциясы) дегеніміз былай белгіленетін , ( (,, PQ), , ) және -да ... ... ... ... 4. Егер ... ... кез ... ( x1, x2, ..., xn ) пәндік айнымалылардың топтары үшін Р( x1, x2, ..., xn ) Q( x1, x2, ..., xn ) ... онда P және Q ... ... анықталған пара-пар предикаттар деп аталады (PQ).
Теорема 1. аймағында анықталған n - ... ... ... ... ... ... құрайды, яғни олар үшін бульдік алгебраның келесі 19 негізгі тепе-теңдіктер орынды:
0.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18. ... 1 - ... ... ... предикаттың, ал 0 - тепе-тең жалған предикаттың белгілері.
Бұл теореманың дұрыстығы айқын. Өйткені ... ... ... ... ... ... ... енгізілген, ал тұжырымдар бульдік алгебраны құрайды.
3.3 Кванторлық амалдар
Предикаттарды тұжырымдарға түрлендіретін амалдарды қарастырайық. М жиынында анықталған Р(х) предикат ... Егер "а" - М ... ... да бір элементі болса, онда Р(х) предикатта х орнына а ны қою берілген предикатты Р(а) тұжырымға айналдырады. ... ... ... деп ... Мысалы, Р(x): "х - жұп сан" - ... ал Р(6) - ... ... Р(3) - ... ... ... n - орынды предикаттарға жалпылау мүмкін: егер барлық хi, i=, пәндік айнымалылардың орнына ... ... ... онда ... алынады Квантификация амалдарын қарастырамыз. Бұл амалдардар да предикаттарды тұжырымдарға айналдырады. ... ... - ... ... ... ... Бұл предикатқа предикат тепе-тең ақиқат болғанда ғана ақиқат болатын тұжырымын сәйкестікке қоямыз. тұжырымы былай оқылады: "Кез келген х үшін Р(х) ... ". ... Р(х) ... х ... ... жалпылау кванторын ілу көмегімен алынған деп айтады.
символын жалпылау кванторы деп атайды. Р(х) предикатқа х айнымалы бос болып, ал ... - х ... ... ... болып енеді деп айтады.
Бар болу кванторы
P(x) - ... ... ... ... Бұл ... ... тепе-тең жалған болғанда ғана жалған болатын тұжырымын сәйкестікке қоямыз. тұжырымы былай оқылады:" P(x) ақиқат болатын х табылады". ... бар болу ... ... деп аиаймыз. тұжырымы Р(х) предикатқа х айнымалы бойынша бар болу кванторын ілу ... ... деп ... х ... бұл ... ... болады.
Кванторлық амалдарды көп орынды предикаттарға да қолдануға болады. Мысалы, жиынында екі орынды P(x,y) ... ... ... ... кванторларды іліп, мынадай тұжырымдарды алуға болады.
3.4 Предикаттар логикасының формуласының ұғымы
Предикаттар логикасында келесі символдарды пайдаланамыз:
* p, q, r, ... ... - 1 - ... ... 0 - жалған екі мәнді қабылдайтын айнымалы тұжырымдар;
* x, y, z, ... - ... М ... ... ... қабылдайтын пәндік айнымалылар;
x0, y0, z0 - пәндік тұрақтылар, яғни пәндік айнымалылардың мәндері.
* P(·), Q(·), F(·), ... - бір ... ... ... R (·,·, ...,·) - ... ... ... Q[0](·,·, ...,·) - тұрақты предикаттардың символдары.
* Логикалық амалдардың символдары:
* ... ... ...
* ... символдар: жақшалар, үтірлер.
Предикаттар логикасы формуласының анықтамасы
* Кез келген тұжырым (қарапайым) формула болады.
* Егер F (·,·, ...,·) - ... ... ... ... тұрақты предикат, ал x1, x2,..., xn - ... ... ... пәндік тұрақтылар болса, онда F(x1, x2,..., xn) - формула. Мұндай формула қарапайым деп аталады, бұл ... ... ... бос, ... ... болады.
* Егер А және В - формулалар (бұл формулаларға айнымалылар бір түрде кіреді - бос ... ... онда ... - ...
* Егер А - формула болса, онда да - ... А ... ... ... ... ... ену түрі өзгермейді.
* Егер А(х) - формула (бұл формулаға х пәндік айнымалы бос болып енеді), онда және ... де ...
* 1 - 5 ... ... ... ... сөздер формула болмайды.
Мысалы, егер Р(х) және Q(x,y) - бір ... және екі ... ... ал q, r - ... ... ... онда келесі сөздер (өрнектер) формулалар болады: .
Мысалы, сөзі формула ... ... ... бөлімнің шарты бұзылған: формулаға х айнымалы байланған болып, ал Р(х) формулаға бос болып енеді.
Предикаттар ... ... ... ... ... әрбір формуласы предикаттар логикасының формуласы болатыны түсінікті.
Предикаттар логикасының формуласының мәні
Формуланың логикалық мәні ... бұл ... ... предикаттардың М анықталу аймағы берілгенде ғана айтуға болады. Формуланың логикалық мәні үш түрлі айнымалылардың мәндеріне тәуелді: 1) ... ... ... ... ... 2) М жиынына тиісті бос пәндік айнымалылардың мәндеріне, 3) ... ... ...
Осы үш түрлі айнымалылардың анық мәндерінде предикаттар ... ... ... ... ... мән ... тұжырым болады.
Мысал ретінде келесі формуланы қарастырамыз:
, ... ... екі ... Р(x, y) ... MM ... ... мұнда M={0,1,2,...,n,...}, яғни MM=NN.
В формулу (1) формулаға кіретін P(x,y) айнымалы предикаттың үш x,y,z пәндік айнымалыларынан ... - у және z ... ... ал ... х - бос. ... предикаттың мәнін бекітеміз: P0(x,y)=

Пән: Педагогика
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Көлемі: 24 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 1 600 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Тұжырымдар алгебрасы41 бет
Геометриялық есептерді алгебралық, тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шығару әдістері47 бет
Инвестициялық жобаның техникалық негізделгендігін және сатып алынуын бағалауға қойылатын талаптар5 бет
Логика алгебрасы2 бет
Абай «Қарасөздерінің» ағылшын тіліне аударылған нұсқасындағы прагматикалық аспектісі, сонымен қатар лексикалық және стилистикалық жағынан қарастырылған сәйкестіктерді анықтау арқылы қазақ аударматану ғылымының дербес теориясы мен практикасына қатысты жалпы тұжырымдар43 бет
Буль алгебрасы9 бет
Интелектісі бұзылған балаға арнайы білім берудің мемлекеттік стандарты негізінде тұжырымдар10 бет
Кванттық теорияның басты тұжырымдарын тәжірибе жүзінде негіздеу.Франк және Герц тәжірибелері7 бет
Л.С. Выготскийдің оқыту және дамыту жөніндегі тұжырымдары27 бет
Л.С.Выготскийдің оқыту және дамыту жөніндегі тұжырымдары19 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь