Векторлық кеңістік

Мазмұны

Кіріспе

ХІХ ғ сызықтық теңдіктер жүйесінің теориясымен бірге векторлар теориясы да дамыған. Бағытталған кесінділерді Арган (J. Argand, 1768-1822) 1806 жылы жарияланған «Жалған шамалардың бірқатар көрінісінің тәжірибесі» атты жұмысында пайдаланған. Ол кесінділерді Арган а, b және т. б. белгілерімен белгілеген. Мебиус басы А нүктесі және соңы В нүктесі кесіндісін АВ белгісімен белгілеген. Ол векторлар теориясын құрушылардың бірі болып табылады. «Вектор» терминін Гамильтон шамамен 1845 жылы енгізген. Ол сондай-ақ 1863 жылы векторлардың скалярлық және векторлық туындыларын анықтаған. Бүл туындыларды Грасманның еңбектерінде 1844 жылдың өзінде көрсетілгенін атап көрсету қажет. Ол оларды ішкі және сыртқы туындылар деп атаған.

Вектор интуициялық тараптан шамасы, бағыты және (міндетті емес) жету нүктесі бар нысан ретінде түсініледі. Векторлық санақ бастамалары кешенді сандардың геометриялық үлгісімен бірге пайда болды (Гаусс, 1831) . Векторлармен дамыған операцияларды Гамильтон өзінің кватернионды есептерінің бөлігі ретінде (вектор кватерионның жалған бөлшектерін құраған) жариялаған. Гамильтон вектор (лат. Vector, тасымалдаушы) терминінің өзін ұсынды және векторлық анализдің кейбір операцияларын сипаттады. Ол түсінікті Максвелл өзінің электромагнетизм бойынша еңбектерінде пайдаланып, өзінің есептеріне ғалымдардың назарын аударды. Сәл уақыттан кейін Гиббстің «Векторлық анализдің элементтері» жарық көрді (1880 жж), ал біраздан кейін Хевисайд (1903) векторлық анализге заманауи сипат берді.

Бұл курстық жұмыстың негізгі бөлімінде вектордың негізгі теориялық мазмұны, вектордың базиске қарағанда координаттары мен олардың қасиеттері, кез келген екі векторлық кеңістіктің арасындағы изоморфизм, векторлық кеңістіктің ішкі кеңістігі, «Алмастырулар» туралы Штейниц теоремасы және векторлық кеңістіктің сызықты көрнісі жайында толық айтылған. Ал екінші бөлімінде векторлық кеңістіктің қосымшалары яғни векторлық кеңістіктің геометрия, физика, математика, астрономияда қолданылуы жайында айтылған. Және міндетті түрде практикалық бөлімде векторлық кеңістікке байланысты шығарған есептер бар.

Векторлық кеңістік.

Бос емес элементтері еркін векторлар деп аталатын $V = \varnothing$ жиынының элементтері үшін қосу және векторды скалярға көбейту амалдары анықталып және мынадай шарттар:

$\overline{a} + \overline{b} = \overline{b} + \overline{a}, \ \overline{a} + \left( \overline{b} + \overline{c} \right) = \left( \overline{a} + \overline{b} \right) + \overline{c}, \ \overline{a} + \varnothing = \overline{a}, \ \overline{a} + \left( - \overline{a} \right) = \varnothing, \ 1 - \overline{a} = \overline{a}, \ \alpha\left( \mu\overline{a} \right) = (\alpha\mu) \overline{a}, \ (\alpha + \mu) \overline{a} = \alpha\overline{a} + \mu\overline{a}, \ \alpha\left( \overline{a} + \overline{b} \right) = \alpha\overline{a} + \alpha\overline{b}$

орындалса $V$ жиынын сызықты векторлық кеңістік, ал жоғарыда көрсетілген сегіз шарт оның аксиомалары деп аталады.

Мысалы. Ұзындықтары тең және бағыттары бірдей бағытталған кесінділер жиыны векторлық кеңістік болады: $V = \{\overline{a}, \ \overline{b, }\ldots, \ \overline{x}\}$ $V$ векторлық кеңістіктің реттелген $\overline{e_{1}}, \ \overline{e_{2}}, \ldots, \ \overline{e_{n}}$ векторлар жүйесінің векторлары сызықты тәуелсіз және кез келген $\overline{а} \in V$ векторы осы жүйенің векторлары арқылы жіктелсе (сызықтық комбинация), онда $\overline{e_{1}}, \ \overline{e_{2}}, \ldots, \ \overline{e_{n}}$ векторлар жүйесін $V$ векторлық кеңістіктің базисі, ал $\overline{e_{1}}, \ \overline{e_{2}}, \ldots, \ \overline{e_{n}}$ базистік векторлар деп аталады. Анықтама бойынша векторлар жүйесі базис болу үшін:

1. a1∈R, i=1, …, na_{1} \in R, \ i = 1, \ldots, \ nсандары табылыпa1e1¯+a2e2¯+…+anen¯a_{1}\overline{e_{1}} + a_{2}\overline{e_{2}} + \ldots + a_{n}\overline{e_{n}}теңдігі текa1=…=an=0a_{1} = \ldots = a_{n} = 0болғанда ғана орындалуы керек.
2. a¯=⌀\overline{a} = \varnothingболсаa¯=a1e1¯+a2e2¯+…+anen¯{\overline{a} = a}_{1}\overline{e_{1}} + a_{2}\overline{e_{2}} + \ldots + a_{n}\overline{e_{n}}теңдігі орындалатып, мұндағыа1¯, а2¯, …, аn¯∈R\overline{а_{1}}, \ \overline{а_{2}}, \ldots, \ \overline{а_{n}} \in Rсандарының бәрі бірдей нөлге тең емес болуы қажет.

Базистік векторларының саны $V$ векторлық кеңістіктің өлшемі деп аталады және dim(V) =n деп белгіленеді (dimension-өлшем) . Енді $V$ векторлық кеңістіктің өлшемін табуды қарастырайық.

Компланар емес $\overline{e_{1}} = \overline{OA}, \ \overline{e_{2}} = \overline{OB}, \ \overline{e_{3}} = \overline{OC}$ векторлары үшін $x\overline{e_{1}} + y\overline{e_{2}} + z\overline{e_{3}} = \varnothing$ теңдігі тек қана x=y=z= $\varnothing$ болғанда орындалады және кез келген $\overline{a}$ векторы 4⁰ қасиеті бойынша $\overline{e_{1}}, \ \overline{e_{2}}, \overline{e_{3}}$ векторлары арқылы сызықты өрнектеледі:

$\overline{a} = x\overline{e_{1}} + y\overline{e_{2}} + z\overline{e_{3}}$ , (1)

мұндағы x, y, z сандарының ең болмағанда біреуі нөлге тең емес. Демек, $В = (\overline{e_{1}}, \ \overline{e_{2}}, \overline{e_{3}})$ векторлар жүйесі $V$ векторлық кеңістіктің базисі болады және тәуелсіз векторлар саны үшке тең, сондықтан dim(V) =3. Мұндағы кеңістікті үш өлшемді векторлық кеңістік деп атайды және $V_{3}$ деп белгілейді. $В = (\overline{e_{1}}, \ \overline{e_{2}}, \overline{e_{3}})$ кеңістіктің базисі. Мұнда $\overline{e_{1}}$ векторы бірінші, $\overline{e_{2}}$ екінші, $\overline{e_{3}}$ үшінші базистік векторлар деп талады.

Ескерте кететін жай $\left( \overline{e_{1}}, \ \overline{e_{2}}, \overline{e_{3}} \right), \ \left( \overline{e_{2}}, \overline{e_{3}}, \ \overline{e_{1}} \right), \ (\overline{e_{3}}, \ \overline{e_{2}}, \ \overline{e_{1}})$ әртүрлі базистер.

(1) формуланы векторды базистік векторларға жіктеу формуласы деп атайды. Мұндай жіктелу тек қана біреу болатын, яғни $\overline{e_{1}}, \ \overline{e_{2}}, \overline{e_{3}}$ векторларына сәйкес x, y, z сандарының тек қана бір үштігі бар болады. Шынында да, егер мұндай жіктелу екеу деп жорысақ, тағы да бір реттелген $x_{1}, \ y_{1}, \ z_{1} \in R$ сандары сандар үштігі табылып: $\overline{a} = x_{1}\overline{e_{1}} + y_{2}\overline{e_{2}} + z_{1}\overline{e_{3}}$ (2)

Онда (1), (2) теңдіктерінен $\overline{\varnothing} = \left( x - x_{1} \right) \overline{e_{1}} + \left( y - y_{1} \right) \overline{e_{2}} + (z - z_{1}) \overline{e_{3}}$ теңдігін табамыз. Ал, $\overline{e_{1}}, \ \overline{e_{2}}, \overline{e_{3}}$ тәуелсіз векторлар жүйесі болғандықтан, мұндай теңдік тек $\left( x - x_{1} \right) = \varnothing, \ \left( y - y_{1} \right) = \varnothing, \ (z - z_{1}) = \varnothing$ немесе $x{= x}_{1}, y = y_{1}, z = z_{1}\$ болғанда дұрыс. Олай болса а векторы үшін (1) жіктелуден басқа жіктелуі жоқ. (1) формуладағы x, y, z сандары а векторының В( $\overline{e_{1}}, \ \overline{e_{2}}, \overline{e_{3}})$ базисіне қатысты координаттары немесе компоненттері деп аталады және оны былай жазып көрсетеді $\overline{a}$ (x, y, z), мұндағы х бірінші, у екінші, z үшінші координаттары. Базистік векторлардың координаттары $\overline{e_{1}}(\ 1, \ 0, \ 0), \ \overline{e_{2}}(0, \ 1, \ 0), \ \overline{e_{3}}(0, \ 0, \ 1)$ болады. Вектордың берілген базиске қатысты координаттарының қасиеттерін қарастырайық:

1. Векторлардың қосындысының координаттары қосылғыштардың координаттарының қосындысына тең болады.

Дәлелдеу: $\overline{a} \in \ V_{3}$ және $\overline{b} \in \ V_{3}$ векторларын базистік векторлар бойынша жіктеп жазайық: $\overline{a} = x_{1}\overline{e_{1}} + y_{1}\overline{e_{2}} + z_{1}\overline{e_{3}}, \ \overline{b} = x_{2}\overline{e_{1}} + y_{2}\overline{e_{2}} + z_{2}\overline{e_{3}}$ сондықтан

$$\overline{a} + \overline{b} = \left( x_{1} + x_{2} \right) \overline{e_{1}} + \left( y_{1} + y_{2} \right) \overline{e_{2}} + (z_{1} + z_{2}) \overline{e_{3}}$$

2. Векторды скалярға көбейткенде берілген вектордың әрбір координатасы сол скалярға көбейтіледі.

Дәлелдеу: $\alpha\overline{a} = \alpha\left( x\overline{e_{1}} + y\overline{e_{2}} + z\overline{e_{3}} \right), \ \alpha \in R$

$\alpha\overline{a} = (\alpha x) \overline{e_{1}} + (\alpha y) \overline{e_{2}} + (\alpha z) \overline{e_{3}}$

3. {e1¯, e2¯, e3¯}\overline{e_{1}}, \ \overline{e_{2}}, \overline{e_{3}}\}базисінде координаттарымен берілгенa¯(a1, a2, a3) \overline{a}(a_{1}, \ a_{2}, \ a_{3}) жәнеb¯(b1, b2, b3) \overline{b}(b_{1}, \ b_{2}, \ b_{3}) векторлары коллинеар болуы үшін олардың координаттары пропорционал болуы қажетті және жеткілікті.

Дәлелдеу: $\overline{a} \parallel \overline{b} \Rightarrow b = \alpha\overline{a} \Rightarrow b_{1}\overline{e_{1}} + b_{2}\overline{e_{2}} + b_{3}\overline{e_{3}} = \alpha a_{1}\overline{e_{1}} + \alpha a_{2}\overline{e_{2}} + \alpha a_{3}\overline{e_{3}} \Rightarrow \overline{b_{1}} = \alpha a_{1}, \ \overline{b_{2}} = \alpha a_{2}, \ \overline{b_{3}} = \alpha a_{3} \Rightarrow \frac{b_{1}}{a_{1}} = \alpha, \frac{b_{2}}{a_{2}} = \alpha, \frac{b_{3}}{a_{3}} = \alpha.$

Демек a және b векторларының координаттары пропорционал. Керісінше, a және b векторларының координаттары пропорционал болсын. $\frac{b_{1}}{a_{1}} = \frac{b_{2}}{a_{2}} = \frac{b_{3}}{a_{3}} = \alpha.$ Бұл теңдіктердің біріншісін $е_{1},$ екіншісін $е_{2}$ , үшіншісін $е_{3}$ көбейтіп қоссақ $\overline{b} = \alpha\overline{a}$ . Бұдан a және b векторлары коллинеар болатындығы шығады.

N бірдей соңғы өлшем бірлігінің кез келген екі векторлық кеңістігінің арасындағы изоморфизм туралы теорема.

Теорема 2 . Екі соңғы өлшемді векторлық кеңістіктер өзара изоморфты болуы үшін олардың өлшем бірлігі бірдей болуы қажетті және жеткілікті.

Дәлелдеу . Өзара изоморфты екі кеңістіктің біреуінде n векторларынан тұратын сызықтық тәуелсіз жүйе болып, векторлардың көп мөлшерінен тұратын сызықтық тәуелсіз жүйе болмаса, онда ол екінші векторлық кеңістік үшін де әділетті болады.

Басқаша айтқанда: өзара изоморфты кеңістік бір өлшем бірлігіне ие.

Шарт жеткілікті. Оған көз жеткізу үшін кез келген n-мөлшерлі U кеңістігі n-мөлшерлі А ⁿ арифметикалық кеңістігіне изоморфты екендігін дәлелдейік. u ₁ , u ₂ , …, u _n - U кеңістігінің туынды базисі болсын. Онда әрбір uϵU векторы міндетті түрде былай жазылады:

$$u = x_{1}u_{1} + x_{2}u_{2} + \ldots + x_{n}u_{n}.$$

$u = x_{1}u_{1} + x_{2}u_{2} + \ldots + x_{n}u_{n} \in U\$ векторына сәйкес $v = \{ x_{1}, \ x_{2}, \ \ldots, \ x_{n}\} \in A^{n}$ векторын қоя отырып, U және A ⁿ кеңістіктері арасындағы ізделініп отырған изоморфты сәйкестікке қол жеткіземіз (дәлелдеу $u \in U, \ u' \in U$ екі векторын қосқан кезде олардың сәйкес координаталары қосылатындығынан, ал $u \in U$ векторын қандай да бір λ санына көбейткен кезде дәл сол λ санына u векторының координаталары да көбейтілетіндігінен шығады) .

Ескерту 1.

$$\begin{matrix} u_{1} = 1 \bullet u_{1} + 0 \bullet u_{2} + \ldots + 0 \bullet u_{n}, \\ u_{2} = 0 \bullet u_{1} + 1 \bullet u_{2} + \ldots + 0 \bullet u_{n}, \\ \begin{matrix} \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\ u_{n} = 0 \bullet u_{1} + 0 \bullet u_{2} + \ldots + 1 \bullet u_{n}, \end{matrix} \end{matrix}$$

болғандықтан, U және A ⁿ векторлық кеңістіктері арасындағы изоморфизм анықталған жағдайда U кеңістігінің u ₁ , u ₂ , …, u _n базисі A ⁿ кеңістігінің векторлар жүйесіне өтеді

$$\begin{matrix} v_{1} = \left\{ 1, \ 0, \ldots, \ 0 \right\}, \\ v_{2} = \left\{ 0, \ 1, \ldots, \ 0 \right\}, \\ \begin{matrix} \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\ v_{n} = \{ 0, \ 0, \ldots, \ 1\} \end{matrix} \end{matrix}$$

және векторлардың осы жүйесі A ⁿ кеңістінің базисін құрайды.

Жалпы U және V - екі изоморфты векторлық кеңістіктер. U және V кеңістіктерінің арасындағы $u \leftrightarrow v$ изоморфтық сәйкестік кезінде (ерікті түрде таңдалған) U кеңістігінің кез келген u ₁ , u ₂ , …, u _n базисіне V кеңістігінің v ₁ , v ₂ , …, v _n қандай да бір базисі сәйкес келеді және U кеңістігінің $u = x_{1}u_{1} + x_{2}u_{2} + \ldots + x_{n}u_{n}$ кез келген векторына u векторы u ₁ , u ₂ , …, u _n базисіне қатысты координаталары тәрізді v ₁ , v ₂ , …, v _n базисіне қатысты координаталары бар V кеңістігінің $v = x_{1}v_{1} + x_{2}v_{2} + \ldots + x_{n}v_{n}$ векторына сәйкес келеді. Керісінше, u ₁ , u ₂ , …, u _n және v ₁ , v ₂ , …, v _n туынды базистері бойынша n-мөлшерлі екі кеңістіктің арасынан таңдай отырып және осы базистерге қатысты х ₁ , x ₂ , …, x _n бірдей координаталарға ие $u = x_{1}u_{1} + x_{2}u_{2} + \ldots + x_{n}u_{n} \in U$ және $v = x_{1}v_{1} + x_{2}v_{2} + \ldots + x_{n}v_{n} \in V$ кез келген екі векторды салыстыра отырып, U және V кеңістіктері арасындағы изоморфизмге $u \leftrightarrow v$ қол жеткіземіз.

Ескерту 2 . Болашақта біз n аталған мөлшерінің векторлық кеңістіктерін V ⁿ , U ⁿ , L ⁿ арқылы белгілейтін боламыз, сондай-ақ олардың арифметикалық n-мөлшерлі кеңістігі үшін (олардың барлығы изоморфты) A ⁿ белгілемесін сақтаймыз.

Векторлық кеңістіктің ішкі кеңістігі. Векторлардың сызықтық тәуелділігі және векторлық кеңістік базисі туралы ары қарайғы теоремалар

1. Векторлық кеңістіктің ішкі кеңістігі анықтамасы. V векторлық кеңістікте келесі шарттарды қанағаттандыратын L векторлар жиынтығы болсын:

1 ⁰ L құрамындағы u ₁ және u ₂ қандай болғанына қарамастан, олардың жалпы сомасы да L жиынтығына тиесілі болады.

2 ⁰ L құрамындағы u векторы мен λ саны қандай болғанына қарамастан, λu векторы да L жиынтығына тиесілі болады.

Осы екі шартты қанағаттандыратын кез келген L жиынтығы V векторлық кеңістіктің ішкі кеңістігі деп аталады. 1 ⁰ және 2 ⁰ шарттары жиынтық құрай отырып, бір шартқа тең:

3 ⁰ L жиынтығына тиесілі свекторларының кез келген λ ₁ u ₁ + λ ₂ u ₂ +…+ λ _r u _r векторлық комбинация $u_{1}, \ldots, \ u_{k}$ осы жиынтыққа жататын вектор болып табылады.

Сондықтан V векторлық кеңістіктің ішкі кеңістігі 3 ⁰ шартын қанағаттандыратын L жиынтығы ретінде анықталуы мүмкін.

Ескерту 1 . U векторлық кеңістігінің барлық элементтері бір уақытта V векторлық кеңістігінінің элементтері болып табылсын, сонымен қатар U-дағы сызықтың векторлар көлемдік кеңістіктегілер тәрізді. Онда V векторлық кеңістігіндегі жиынтық ретінде қарастырылып отырған U 1 ⁰ және 2 ⁰ шарттарын қанағаттандырады.

Керісінше: осы шарттарды қанағаттандыратын кеp келген $U \subseteq V$ жиынтығы элементтері V-дағы векторларының мәні болып табылатын векторлық кеңістік болып табылады, сондай-ақ U-дағы сызықтық операциялар V-дағы тәрізді.

Сонымен, V векторлық кеңістігінің векторлық ішкі кеңістігін элементтері V векторлық кеңістігінің мәні болып табылатын кез келген векторлық кеңістік ретінде қарастыра аламыз, ал оның үстіндегі сызықтық операциялар - V-дағы тәрізді, болады.

Ескерту 2 . Барлық V кеңістіктері және сондай-ақ нөлдік вектордан тұратын кеңістік V векторлық кеңістігінің ішкі кеңістігі екендігі айқын.

Енді В қандай да бір толықтай туынды, шекті немесе шексіз V кеңістігінің векторлық жиынтығы. $\overset{⃑}{В}$ жиынтығына жататын барлық векторлардың сызықтық комбинациялары болып табылатын барлық векторлардан тұратын В жиынтығын қарастырайық. $\overset{⃑}{В}$ жиынтығы 1 ⁰ және 2 ⁰ шарттарын қанағаттандыратындығы айқын, сондықтан V кеңістігінің ішкі кеңістігі болып табылады; бұл ішкі кеңістік V кеңістігінің туындатқан ішкі кеңістік немесе В кеңістігінің сызықтық қабығы (немесе сызықтық бекіткіш) болып табылады. В өз кезегінде $\overset{⃑}{В}$ кеңістігін туындататын жиынтық немесе $\overset{⃑}{В}$ кеңістігін қалыптастыратын жиынтық немесе жүйе болып табылады.

$\overset{⃑}{В}$ кеңістігі V кеңістігімен сәйкес келуі мүмкін, мысалы егер V кеңістігінің қандай да бір базисі болса. Сонымен, V кеңістігінің кез келген базисі оны құраушылардың жүйесі болып табылады, сондай-ақ ол сызықтық тәуелсіз. Біз жақында керісінше ұсынысты дәлелдейміз: соңғы мөлшерлі векторлық кеңістік құраушыларының кез келген сызықтық тәуелсіз жүйесі оның базисі болып табылады.

Мысал. Жазықтықта d ₁ және d ₂ екі қиысатын түзу берілсін; d ₁ түзуіне коллениалды барлық векторлардың жиынтығын L ₁ арқылы, ал d ₂ түзуіне коллениалды барлық векторлар жиынтығын L ₂ арқылы белгілейік; осы екі жиынтықтың (бір өлшемді) әрбіреуі жазықтықтың барлық векторларының V кеңістігінің ішкі кеңістігі болып табылады, алайда L ₁ және L ₂ жиынтығының $B = \ L1 \cup L2\$ бірігуі векторлық кеңістік болып табылмайды (неге?) . Алайда В жиынтығынан туындаған $\overset{⃑}{В}$ векторлық кеңістігі V барлық кеңістігі.

Келесі өте маңызды сөйлем айқын деуге болады.

Теорема 3. Егер V соңғы мөлшерлі векторлық кеңістіктің L ішкі кеңістігі V-дағыдай өлшемге ие болса, онда ол V-мен барлығы бойынша бірдей.

---

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс