Векторлық кеңістік

Кіріспе
Негізгі бөлім
1. Векторлық кеңістіктің негізгі теориялық мазмұны
1.1 Вектордың берілген базиске қарағанда координаттары және олардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.2 Кез келген екі векторлық кеңістіктің арасындағы изоморфизм ... ... ... ... ... .
1.3 Векторлық кеңістіктің ішкі кеңістігі. «Алмастырулар» туралы Штейниц теоремасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1.4 Векторлық кеңістіктің сызықты көрінісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.Векторлық кеңістіктің қосымшалары
2.1 Геометрия
2.2 Физика
2.3 Есептер
Қорытынды
Қолданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Кіріспе

ХІХ ғ сызықтық теңдіктер жүйесінің теориясымен бірге векторлар теориясы да дамыған. Бағытталған кесінділерді Арган (J.Argand, 1768-1822) 1806 жылы жарияланған «Жалған шамалардың бірқатар көрінісінің тәжірибесі» атты жұмысында пайдаланған. Ол кесінділерді Арган а, b және т.б. белгілерімен белгілеген. Мебиус басы А нүктесі және соңы В нүктесі кесіндісін АВ белгісімен белгілеген. Ол векторлар теориясын құрушылардың бірі болып табылады. «Вектор» терминін Гамильтон шамамен 1845 жылы енгізген. Ол сондай-ақ 1863 жылы векторлардың скалярлық және векторлық туындыларын анықтаған. Бүл туындыларды Грасманның еңбектерінде 1844 жылдың өзінде көрсетілгенін атап көрсету қажет. Ол оларды ішкі және сыртқы туындылар деп атаған.
Вектор интуициялық тараптан шамасы, бағыты және (міндетті емес) жету нүктесі бар нысан ретінде түсініледі. Векторлық санақ бастамалары кешенді сандардың геометриялық үлгісімен бірге пайда болды (Гаусс, 1831). Векторлармен дамыған операцияларды Гамильтон өзінің кватернионды есептерінің бөлігі ретінде (вектор кватерионның жалған бөлшектерін құраған) жариялаған. Гамильтон вектор (лат. Vector, тасымалдаушы) терминінің өзін ұсынды және векторлық анализдің кейбір операцияларын сипаттады. Ол түсінікті Максвелл өзінің электромагнетизм бойынша еңбектерінде пайдаланып, өзінің есептеріне ғалымдардың назарын аударды. Сәл уақыттан кейін Гиббстің «Векторлық анализдің элементтері» жарық көрді (1880 жж), ал біраздан кейін Хевисайд (1903) векторлық анализге заманауи сипат берді.
Бұл курстық жұмыстың негізгі бөлімінде вектордың негізгі теориялық мазмұны, вектордың базиске қарағанда координаттары мен олардың қасиеттері, кез келген екі векторлық кеңістіктің арасындағы изоморфизм, векторлық кеңістіктің ішкі кеңістігі, «Алмастырулар» туралы Штейниц теоремасы және векторлық кеңістіктің сызықты көрнісі жайында толық айтылған. Ал екінші бөлімінде векторлық кеңістіктің қосымшалары яғни векторлық кеңістіктің геометрия, физика, математика, астрономияда қолданылуы жайында айтылған. Және міндетті түрде практикалық бөлімде векторлық кеңістікке байланысты шығарған есептер бар.
Қолданылған әдебиеттер тізімі:
1. П.С.Александров «Лекции по аналитической геометрии». Издательство «Наука». Москва 1968
2. Ж.Рашбаев, Х. Сейтов. «Аналитикалық геометрияда лекциялары». Алматы 1967. Республикалық баспа кабинеті.
3. C.Аяпбергенов. «Аналитикалық геометрия». Алматы 1971
4. Д.В. Клетеник. «Сборник задач по аналитической геометрии». Москва «Наука» 1986г
        
        Кіріспе
Негізгі бөлім
1. Векторлық кеңістіктің негізгі теориялық мазмұны
1.1 Вектордың берілген базиске қарағанда координаттары және олардың қасиеттері....................................................................................................................
1.2 Кез келген екі векторлық ... ... ... ... кеңістіктің ішкі кеңістігі. туралы Штейниц теоремасы..............................................................................................................
1.4 Векторлық кеңістіктің сызықты көрінісі..........................................................
2.Векторлық кеңістіктің қосымшалары
2.1 Геометрия
2.2 Физика
2.3 Есептер
569976018859500Қорытынды
Қолданылған әдебиеттер тізімі..............................................................................
29083034290003
4
5
6
7
10
13
15
16
210820685800017
Мазмұны
296989522796500
3143250-52578000Кіріспе
ХІХ ғ ... ... ... теориясымен бірге векторлар теориясы да дамыған. Бағытталған кесінділерді Арган (J.Argand, 1768-1822) 1806 жылы жарияланған атты жұмысында пайдаланған. Ол ... ... а, b және т.б. ... белгілеген. Мебиус басы А нүктесі және соңы В нүктесі кесіндісін АВ белгісімен белгілеген. Ол ... ... ... бірі ... табылады. терминін Гамильтон шамамен 1845 жылы енгізген. Ол сондай-ақ 1863 жылы векторлардың скалярлық және векторлық ... ... Бүл ... ... ... 1844 ... ... көрсетілгенін атап көрсету қажет. Ол оларды ішкі және сыртқы туындылар деп атаған.
Вектор интуициялық ... ... ... және ... ... жету ... бар ... ретінде түсініледі. Векторлық санақ бастамалары кешенді сандардың геометриялық үлгісімен бірге пайда болды (Гаусс, 1831). ... ... ... ... ... ... есептерінің бөлігі ретінде (вектор кватерионның жалған бөлшектерін құраған) жариялаған. Гамильтон вектор (лат. Vector, тасымалдаушы) терминінің өзін ұсынды және векторлық ... ... ... ... Ол түсінікті Максвелл өзінің электромагнетизм бойынша еңбектерінде пайдаланып, өзінің есептеріне ғалымдардың назарын аударды. Сәл уақыттан кейін ... ... ... (1880 жж), ал ... ... ... (1903) ... анализге заманауи сипат берді.
Бұл курстық жұмыстың негізгі бөлімінде вектордың негізгі теориялық мазмұны, вектордың ... ... ... мен ... ... кез ... екі векторлық кеңістіктің арасындағы изоморфизм, векторлық кеңістіктің ішкі кеңістігі, туралы Штейниц теоремасы және векторлық кеңістіктің сызықты көрнісі жайында ... ... Ал ... ... векторлық кеңістіктің қосымшалары яғни векторлық кеңістіктің геометрия, физика, математика, астрономияда қолданылуы жайында айтылған. Және міндетті түрде практикалық бөлімде ... ... ... ... ... ... кеңістік.
Бос емес элементтері еркін векторлар деп аталатын V=∅ жиынының элементтері үшін қосу және ... ... ... ... ... және ... шарттар:
a+b=b+a, a+b+c=a+b+c, a+∅=a, a+-a=∅, 1-a=a, αμa=αμa, α+μa=αa+μa, αa+b=αa+αb
орындалса V жиынын сызықты векторлық кеңістік, ал жоғарыда көрсетілген ... шарт оның ... деп ... ... тең және бағыттары бірдей бағытталған кесінділер жиыны векторлық кеңістік болады: V={a, b,..., x} V ... ... ... e1, e2,..., en ... ... векторлары сызықты тәуелсіз және кез келген а∈V векторы осы жүйенің векторлары арқылы жіктелсе (сызықтық ... онда e1, e2,..., en ... ... V векторлық кеңістіктің базисі, ал e1, e2,..., en базистік векторлар деп ... ... ... векторлар жүйесі базис болу үшін:
* a1∈R, i=1,..., n сандары табылып a1e1+a2e2+...+anen ... тек ... ... ғана орындалуы керек.
* a=∅ болса a=a1e1+a2e2+...+anen теңдігі орындалатып, мұндағы а1, а2,..., аn∈R сандарының бәрі бірдей нөлге тең емес ... ... ... саны V ... ... ... деп ... және dim(V)=n деп белгіленеді (dimension-өлшем). Енді V векторлық кеңістіктің өлшемін ... ... емес e1=OA, e2=OB, e3=OC ... үшін ... ... тек қана ... болғанда орындалады және кез келген a векторы 4⁰ қасиеті бойынша e1, e2,e3 ... ... ... ... ... x, y, z ... ең болмағанда біреуі нөлге тең емес. Демек, В=(e1, e2,e3) векторлар жүйесі V векторлық кеңістіктің базисі болады және ... ... саны үшке тең, ... ... ... ... үш өлшемді векторлық кеңістік деп атайды және V3 деп белгілейді. В=(e1, e2,e3) ... ... ... e1 ... ... e2 екінші, e3 үшінші базистік векторлар деп талады.
Ескерте кететін жай e1, e2,e3, e2,e3, e1, (e3, e2, e1) ... ... ... ... ... ... ... формуласы деп атайды. Мұндай жіктелу тек қана біреу ... яғни e1, e2,e3 ... ... x, y, z ... тек қана бір үштігі бар болады. Шынында да, егер мұндай жіктелу екеу деп жорысақ, тағы да бір ... x1, y1, z1∈R ... ... ... табылып: a=x1e1+y2e2+z1e3 ... (1), (2) ... ... ... ... Ал, e1, e2,e3 ... векторлар жүйесі болғандықтан, мұндай теңдік тек x-x1=∅, y-y1=∅, (z-z1)=∅ немесе x=x1,y=y1,z=z1 болғанда дұрыс. Олай болса а векторы үшін (1) жіктелуден ... ... жоқ. (1) ... x, y, z ... а ... В(e1, e2,e3) ... қатысты координаттары немесе компоненттері деп аталады және оны былай жазып көрсетеді a(x, y, z), мұндағы х ... у ... z ... ... ... векторлардың координаттары e1 1, 0, 0, e20, 1, 0, e30, 0, 1 ... ... ... қатысты координаттарының қасиеттерін қарастырайық:
* Векторлардың қосындысының координаттары қосылғыштардың координаттарының қосындысына тең болады.
Дәлелдеу: a∈ V3 және b∈ V3 ... ... ... ... ... ... a=x1e1+y1e2+z1e3, b=x2e1+y2e2+z2e3 сондықтан
a+b=x1+x2e1+y1+y2e2+(z1+z2)e3
* Векторды ... ... ... вектордың әрбір координатасы сол скалярға көбейтіледі.
Дәлелдеу: αa=αxe1+ye2+ze3, α∈R
αa=αxe1+αye2+(αz)e3
* {e1, e2,e3} ... ... ... a(a1, a2, a3) және b(b1, b2, b3) ... коллинеар болуы үшін олардың координаттары пропорционал болуы қажетті және жеткілікті.
Дәлелдеу: a∥b⇒b=αa⇒b1e1+b2e2+b3e3=αa1e1+αa2e2+αa3e3⇒b1=αa1, b2=αa2, b3=αa3⇒b1a1=α,b2a2=α,b3a3=α.
Демек a және b векторларының координаттары пропорционал. ... a және b ... ... пропорционал болсын. b1a1=b2a2=b3a3=α. Бұл теңдіктердің біріншісін е1, екіншісін е2, ... е3 ... ... b=αa. ... a және b ... ... болатындығы шығады.
N бірдей соңғы өлшем бірлігінің кез келген екі ... ... ... ... ... ... 2. Екі соңғы өлшемді векторлық кеңістіктер өзара изоморфты ... үшін ... ... бірлігі бірдей болуы қажетті және жеткілікті.
Дәлелдеу. Өзара изоморфты екі кеңістіктің біреуінде n векторларынан ... ... ... жүйе болып, векторлардың көп мөлшерінен тұратын сызықтық тәуелсіз жүйе болмаса, онда ол екінші векторлық кеңістік үшін де әділетті болады.
Басқаша ... ... ... ... бір өлшем бірлігіне ие.
Шарт жеткілікті. Оған көз жеткізу үшін кез келген n-мөлшерлі U кеңістігі n-мөлшерлі Аn арифметикалық ... ... ... ... u1, u2, ..., un - U ... туынды базисі болсын. Онда әрбір uϵU векторы міндетті түрде былай ... ... ... v={x1, x2, ..., xn}∈An векторын қоя отырып, U және An кеңістіктері арасындағы ізделініп отырған изоморфты сәйкестікке қол жеткіземіз (дәлелдеу u∈U, u'∈U екі ... ... ... олардың сәйкес координаталары қосылатындығынан, ал u∈U векторын қандай да бір λ санына көбейткен кезде дәл сол λ ... u ... ... да ... ... 1.
u1=1∙u1+0∙u2+...+0∙un,u2=0∙u1+1∙u2+...+0∙un,.............................................un=0∙u1+0∙u2+...+1∙un,
болғандықтан, U және An векторлық кеңістіктері арасындағы изоморфизм ... ... U ... u1, u2, ..., un ... An ... ... ... өтеді
v1=1, 0,..., 0,v2=0, 1,..., 0,.....................vn={0, 0,..., 1}
және векторлардың осы жүйесі An кеңістінің базисін құрайды.
Жалпы U және V - екі ... ... ... U және V кеңістіктерінің арасындағы uv изоморфтық сәйкестік кезінде (ерікті түрде таңдалған) U кеңістігінің кез ... u1, u2, ..., un ... V ... v1, v2, ..., vn ... да бір ... сәйкес келеді және U кеңістігінің u=x1u1+x2u2+...+xnun кез келген векторына u ... u1, u2, ..., un ... ... ... ... v1, v2, ..., vn базисіне қатысты координаталары бар V ... ... ... ... ... u1, u2, ..., un және v1, v2, ..., vn ... базистері бойынша n-мөлшерлі екі кеңістіктің арасынан таңдай отырып және осы базистерге қатысты х1, x2, ..., xn ... ... ие ... және ... кез келген екі векторды салыстыра отырып, U және V кеңістіктері арасындағы изоморфизмге uv қол жеткіземіз.
Ескерту 2. Болашақта біз n ... ... ... ... Vn, Un, Ln ... белгілейтін боламыз, сондай-ақ олардың арифметикалық n-мөлшерлі кеңістігі үшін (олардың барлығы изоморфты) An ... ... ... ішкі ... ... ... ... және векторлық кеңістік базисі туралы ары қарайғы теоремалар
1. Векторлық кеңістіктің ішкі кеңістігі анықтамасы. V ... ... ... шарттарды қанағаттандыратын L векторлар жиынтығы болсын:
10 L ... u1 және u2 ... ... қарамастан, олардың жалпы сомасы да L жиынтығына тиесілі болады.
20 L құрамындағы u векторы мен λ саны ... ... ... λu ... да L жиынтығына тиесілі болады.
Осы екі шартты қанағаттандыратын кез келген L жиынтығы V векторлық ... ішкі ... деп ... 10 және 20 ... ... құрай отырып, бір шартқа тең:
30 L ... ... ... кез ... λ1u1+ ... λrur ... ... u1,..., uk осы жиынтыққа жататын вектор болып табылады.
Сондықтан V векторлық кеңістіктің ішкі кеңістігі 30 ... ... L ... ... ... мүмкін.
Ескерту 1. U векторлық кеңістігінің барлық элементтері бір уақытта V векторлық кеңістігінінің элементтері болып табылсын, сонымен қатар ... ... ... ... ... ... Онда V ... кеңістігіндегі жиынтық ретінде қарастырылып отырған U 10 және 20 шарттарын ... осы ... ... кеp ... U⊆V ... элементтері V-дағы векторларының мәні болып табылатын векторлық кеңістік болып табылады, сондай-ақ ... ... ... V-дағы тәрізді.
Сонымен, V векторлық кеңістігінің векторлық ішкі кеңістігін ... V ... ... мәні ... табылатын кез келген векторлық кеңістік ретінде қарастыра аламыз, ал оның үстіндегі сызықтық операциялар - ... ... , ... ... 2. ... V кеңістіктері және сондай-ақ нөлдік вектордан тұратын кеңістік V векторлық кеңістігінің ішкі кеңістігі екендігі айқын.
Енді В қандай да бір ... ... ... ... шексіз V кеңістігінің векторлық жиынтығы. В жиынтығына жататын барлық векторлардың сызықтық комбинациялары болып табылатын барлық векторлардан тұратын В жиынтығын ... В ... 10 және 20 ... ... ... ... V ... ішкі кеңістігі болып табылады; бұл ішкі кеңістік V кеңістігінің туындатқан ішкі ... ... В ... сызықтық қабығы (немесе сызықтық бекіткіш) болып табылады. В өз кезегінде В кеңістігін туындататын ... ... В ... ... ... ... жүйе болып табылады.
В кеңістігі V кеңістігімен сәйкес келуі мүмкін, мысалы егер V ... ... да бір ... болса. Сонымен, V кеңістігінің кез келген базисі оны құраушылардың жүйесі болып табылады, ... ол ... ... ... ... ... дәлелдейміз: соңғы мөлшерлі векторлық кеңістік құраушыларының кез келген сызықтық тәуелсіз жүйесі оның ... ... ... ... d1 және d2 екі ... түзу берілсін; d1түзуіне коллениалды барлық векторлардың жиынтығын L1 арқылы, ал d2 түзуіне коллениалды барлық векторлар жиынтығын L2 арқылы белгілейік; осы екі ... (бір ... ... ... ... векторларының V кеңістігінің ішкі кеңістігі болып табылады, алайда L1 және L2 ... B= L1∪L2 ... ... ... болып табылмайды (неге?). Алайда В жиынтығынан туындаған В векторлық ... V ... ... ... өте ... сөйлем айқын деуге болады.
Теорема 3. Егер V соңғы мөлшерлі векторлық кеңістіктің L ішкі кеңістігі V-дағыдай ... ие ... онда ол V-мен ... ... ...
Дәлелдеу. L мен V бірдей n u1, ..., un ... тең ... L-де n ... ... ... ... жүйесін алайық; ол жүйе екі кеңістіктің де ... ... ... Сондықтан әрбір n∈V, вектор u1, u2, ..., un (L-де бар) векторларының сызықтық комбинациясы бола отырып, L ішкі ... ... яғни V⊆L, ал ол ... ... ... ... ... ішкі кеңістіктер мен ондағы векторлардың сызықтық тәуелсіздігіне байланысты негізгі теоремалардың бірі, туралы Штейнецтің ... ... ... ... 4). Өз ... жиынтығынан туындаған (соңғы) V векторлық кеңістігі берілсін
u1, u2, ..., um
Сондай-ақ, V-де n векторлардан тұратын сызықтық тәуелсіз жүйе ... v2, ..., ... n=n ... ... ... Алайда егер cn, ...., cm барлық коэффиценттері нөлге тең болатын ... онда (5) ... (2) ... ... ... ... тәуелді екендігін білдіретін болады. Сонымен, шынымен де m>=n және cn, ...., cm коэффиценттерінің арасында тым болды біреуі - ... ол cn ... - ... ... ... онда (5) мына ... қайта жазылуы мүмкін
un=1cnvn-c1cnv1-...-cn-1cnvn-1-cn+1cnun+1-...-cmcnum (6)
ол un
v1, ..., vn, un+1,..., um (7)
векторларының сызықтық комбинациясы екендігін білдіреді.
Енді u ... ... ... болсын. Ол (4) векторларының сызықтық комбинациясы болып табылады; егер бұл ... un ... оның ... (6) алмастыратын болсақ және ұқсас мүшелерді келтіретін болсақ, онда u векторы да
v1, ..., vn, ... um ... ... ... түрінде берілетін болады, яғни (7) векторлар жүйесі ... ... ... туындатады. туралы теорема дәлелденді.
Оның ең басты дәлелдемесі болып m>=n теңсіздігі болып табылуы тиіс, ол ерекше теорема ретінде ерекшеленуі тиіс.
Теорема 5. u1, ..., um ... ... ... осы ... сызықтық комбинациясынан тұратын) m векторлық кеңістігінде m-нен ... ... ... ... тәуелсіз жүйенің болуы мүмкін емес.
Басқаша айтқанда, векторлық кеңістіктің ... осы ... ... қандай да бір туынды жүйе элементтері санынан артуы мүмкін емес.
Енді ол ... ... 6. L ... кеңістігін құрайтын В сызықтық тәуелсіз жүйесі оның базисі болып табылады.
Шынымен де, В құраушысының аталған жүйесіндегі элементтер саны m болсын, ал L ... ... n ... ... В жүйесі тәуелсіз болғандықтан, онда m=n екендігін көрдік. Яғни, m=n, В жүйесі n-өлшемді n ... ... ... ... жүйе ... ... яғни осы кеңістіктің базисі.
Теорема 7. n>0 өлшемді L кеңістігінің В құраушылардың кез келген жүйе осы кеңістіктің базисінен тұрады.
Дәлелдеу. В-ға ... vp ... ... тәуелсіз жүйесі В-да максималды болып табылады, егер оны v∈B ырықты векторымен ... онда ... ... жүйеге қол жеткіземіз1.
В-да максималды жүйені құрастырайық. Ол үшін В-да қандай да бір v1!=0 векторын аламыз (ол бар, ... біз L-дің ... оң деп ... ... Егер v1 ... ғана ... сызықтық тәуелсіз жүйе В-да максималды болса, онда біздің құрастыруымыз аяқталды. Егер олай ... - В-да v1, v2 ... ... тәуелсіз болатындай v2 векторын таңдаймыз. Егер ол максималды болса, онда құрастыру аяқтады. Егер олай ... - v1, v2, v3 үш ... ... ... ... және ары қарай солай жалғастыра береміз.
L кеңістігі n соңғы өлшеміне ие болғандықтан, қадамдар санының соңғысынан ... В-да ... ... ... ...
v1, v2, ..., vm
сызықтық тәуелсіз жүйесіне қол жеткіземіз.
Мен бұл жүйе (9) базис болып табылады деп ... ... ... n ... ... ... алдындағының негізінде ол үшін (9) V бүкіл кеңістігін құраушы жүйе бар екендігін дәлелдеу жеткілікті, яғни кез ... u∈V ... ... ... комбинациясы (9) болып табылады. Алдымен u∈B болсын. Онда В-дағы максималды жүйе арқасында (9) u, v1, v2, ..., vm ... ... ... ал (9) - ... ... жүйе ... u векторлардың сызықтық комбинациясы (9) болып табылады. Енді u - V-да ... ... ... ... В-да V ... ... жүйелер бар болғандықтан, u векторы В-дағы қандай да бір w1, w2, ..., ws векторларының ... ... ... ... ... ... В-ға ... барлық вектор және сәйкесінше w1, w2, ..., ws векторларының әрқайсысы v1, ...vm ... ... ... болып табылады. Теңдікке (10) w1 векторының әрқайсысының ... оның v1, vm ... ... ... қоя ... ұқсас мүшелерді келтіргеннен кейін, u-ды да векторлардың сызықтық комбинациясы арқылы берейік. Тұжырым дәлелденді.
Сондай-ақ (m=n) теңдігі де дәлелденді, оны былайша құрастыруға ... 8. V ... ... векторлық кеңістіктің мөлшері V кеңістігін құрайтын ырықты жиынтықтың сызықтық тәуелсіз векторларының максималды санына тең.
Ескерту 3. ... біз ... ... да ... 9. Ln кеңістігі векторларының кез келген сызықтық тәуелсіз жүйесі Ln кеңістігінің базисіне дейін толықтырылуы мүмкін.
Векторлық кеңістіктердің сызықтық көріністері
1. Сызықтық ... ... мен ... ... А - V ... ... ... U векторлық кеңістігінің сызықтық көрінісі болсын, ол U ... ... u ... V ... v=Au ... сәйкесінше қойып отырады.
Анықтама 2. А көрінісі келесі екі ... () ... ... деп ... кез ... екі u1 және u2 ... ... кез келген u векторы және кез келген λ саны үшін
Aλu=λ(Au)
1) және 2) шарттарынан сызықтық көрініс кезінде U ... ... дп бір u1, ..., um ... λ1u1+...λmum кез келген сызықтық комбинациясы дәл сол λ1, ..., λm коэффиценттерімен U кеңістігінің v1=Au1, ..., vm=Aum векторларының λ1v1+...λm vn ... ... ... Векторлық кеңістіктің сызықтық көріністері сызықтық операторлар деп аталады және ол атау көп ... ... ... ... ... анықтайық.
10 Сызықтық көрініс кезінде U кеңістігінің 0U нөлдік векторы V ... 0V ... ... ... де, 0U=0*u (мұндағы u - U кеңістігінің ырықты векторы). Яғни А(0U)=0*Au=0V. Осыдан шығады
20 Егер u1, ..., un ... ... ... ... онда ... v1=Au1, ..., vn=Aun ... де ... тәуелді болады ().
Шынымен де, егер u2, ..., un сызықтық тәуелді болса, онда барлығы нөлге тең емес λ1, ..., λn ... да бар, ал ... онда ... ... ... ..., Aun ... сызықтық тәуелді.
Салдар. А - U кеңістігіне деген V кеңістігіне деген сызықтық көрінісі және v1, ..., vk ... V-да ... ... ... ... Онда U-да u1, ..., uk векторларының k тұратын және сәйкесінще v1, ..., vk бейнеленетін сызықтық тәуелсіз жүйе бар:
Au1=v1, ..., Auk=vk.
Шынымен де, ... v∈V ... үшін ең аз ... дәл ... бір u∈U ... бар, ал ол Au=v (себебі А - V-ның барлық ... ... ... U-да u1, ..., uk ... ... ... ол Au1=v1, ..., Auk=vk. u1, ..., uk ... сызықтық тәуелсіз (кері жағдайда, 20 бойынша v1, ..., vk жүйесі де ... ... ... ... m-өлшемді U кеңістігі n-өлшемді V кеңістігіне сызықтық бейнеленсе, онда m>=n. Шынымен де, болжам бойынша, V-да n ... ... ... ... жүйе бар, ... онда дәл сондай жүйе U-да да бар, ... ... А U ... ... V ... ... деген өзара бір мәнді сызықтық көрінісі болсын. Онда V кеңістігінің U кеңістігіне деген А-1 кері көрінісі анықталады.
Ол да ... ... ... ... ... де А-1 ... сызықтықтың екі шартын да қанағаттандыратындығын дәлелдейік.
v1 мен v2 - V-ның ырықты векторлары болсын, v=v1+v2 болсын. Енді А-1v1+A-1v2=A-1v екендігін ... ... ... ... Онда А-1 ... бейнелену салдарынан
AA-1v1+AA-1v2=Au,
яғни, v1+v2=Au, алайда Au=v және u=A-1 екендігін білдіреді, бізге соны дәлелдеу керек еді.
u=A[-1]v болсын. Онда А ... ... Au=v, ... ... яғни ... ...
λA-1v=A-1λv,
(егер осы теңдікке u=A-1v қойсақ), дәл осыны дәлелдеу керек еді.
Осы дәлелдемеден бір ... ... ... кеңістікке түсетін өзара бір мәнді сызықтық көрінісі изоморфтық көрінісі (изоморфизмі) ... ... U ... ... ... бір ... сызықтық көрінісі (изоморфизмдер) сызықтық бейнелеулер деп аталады. Изоморфизмдердің дәлелденген қасиеттері бойынша сызықтық бейнелеу кезінде векторлардың кез келген сызықтық ... ... ... ... ... ал U ... кез келген базисі осы кеңістіктің базисіне өтеді.
Ескерту 1. Енді біз жазықтықтың немесе үш өлшемді кеңістіктің кез келген аффиндік ... ... ... бос ... көптүрлі бейнелеулерін тудырады (сәйкесінше үш өлшемді кеңістік).
Векторлық кеңістіктің қосымшалары
Векторлық кеңістіктің қосымшалары дегеніміз векторлық кеңістіктің әр жерде ... ... ... ... ... ... анализде қолдануы.
Геометрияда.
Геометрияда векторды бағытталған кесінділер ретінде қарастырады. Ол түсіндірмені жарықтандыра карталарын құру кезінде компьютерлік графикада жиі пайдаланады. Сондай-ақ, векторлардың ... әр ... ... ... табуға болады, мысалы үшбұрыштардың немесе параллелограммдардың, сонымен қатар денелердің көлемдерін: тетраэдр және параллелепипед.
Кей ... ... ... ... ...
Вектор геометрияда тасымалға (параллельді тасымал) теңестіріледі, ал ол оның атауының шығу негізін түсіндіреді (лат. Vector, тасымалдаушы). Шынымен де, кез ... ... ... ... ... ... параллельді көшуін анықтайды және керісінше, параллельлі көшу міндетті түрде жалғыз бағытталған кесіндіні анықтайды (міндетті түрде - ... ... ... тең және ... бірдей деп алса - яғни оларды еркін векторлар ретінде қарастырса).
Векторды тасымалдаушы ретінде түсіндіру векторларды екі (немесе ... ... ... ... ... қосу операциясын табиғи және интуитивті айқын тәсілмен енгізу мүмкіндігін береді; ол векторды санға көбейту операциясына да қатысты.
Сызықтық ... ... ... деп сызықтық кеңістіктің элементі аталады, ал ол төмендегі жалпы анықтамаға сәйкес келеді. Векторлар табиғаты әр ... ... ... ... ... ... ... функциялар және басқалары, бір шамалы барлық сызықтық кеңістіктер ... ... ... ... көбінесе сызықтық алгебралық теңдіктерді шешу кезінде, сондай-ақ ... ... ... операторға мысал - бұрылыс операторы) жұмыс кезінде қолданылады. Ол анықтаманы норманы немесе скалярлық ... ... ... ... ... ... әдетте кеңейтеді, ал содан кейін нормаланған және евклидтік кеңістіктермен операция жүргізеді, скалярлық туындымен көбінесе векторлар арасындағы бұрышты ал нормамен - ... ... ... ... ... ... ... (мысалы, матрицалар, тензорлар және т.б.), соның ішінде соңғы реттелген тізімге ... (кей ... ... де ... ... құрылымға ие нысандар векторлық кеңістік аксиомаларын қанағаттандырады, яғни ... ... ... ... табылады.
Функциялық анализде
Функциялық анализде функциялық кеңістіктер - ... ... ... ... ... ... болып функциялар болуы мүмкін. Осы тұжырым негізінде Фурье қатарлары теориясы ... ... ... ... ретінде функция кеңістігінде норманығ скалярлық туындыны немесе метриканы енгізеді. Гильбер ... ... ... ... ... ... ... кейбір тәсілдері негізделеді, мысалы, соңғы элементтер тәсілі
Практикалық бөлім
* Вектордың бағыттаушы косинустарын тап. a={12; -15; -16}.
Шешімі: X=|a|cosα , cosα =x-|a|, ... ... ... ... α, β ... ... ... a,b векторлары коллинеарлы болатынын анықтаныз. a=-2i+3j+βk , ... ... ... ... Берілген a={4; -2; -4}, b={6; -3; 2} векторлары. Анықтау керек: 1) ab; 2)a2; 3) b2; 4) ... 5) (a+b)2; 6) ... ...

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Көлемі: 14 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 700 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Векторлармен жұмыс34 бет
Кинематиканың негізгі ұғымдары8 бет
Ұлы математиктер8 бет
Кеңістіктегі вектор25 бет
Кеңістіктегі координаталар әдісі мен векторлар5 бет
Фотометриялық шамалар. Жарықтың жұтылуы. Бугер заңы8 бет
Географиялық ақпараттық жүйе құрылымы9 бет
Corel draw векторлық графиканың интерфейсі68 бет
Microsoft visio векторлық графикасының пакеті4 бет
«Кеңістік» концептісіндегі жер-су атауларының вербалдануы3 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь