Векторлық кеңістік

Кіріспе

ХІХ ғ сызықтық теңдіктер жүйесінің теориясымен бірге векторлар теориясы да дамыған. Бағытталған кесінділерді Арган (J.Argand, 1768-1822) 1806 жылы жарияланған «Жалған шамалардың бірқатар көрінісінің тәжірибесі» атты жұмысында пайдаланған. Ол кесінділерді Арган а, b және т.б. белгілерімен белгілеген. Мебиус басы А нүктесі және соңы В нүктесі кесіндісін АВ белгісімен белгілеген. Ол векторлар теориясын құрушылардың бірі болып табылады. «Вектор» терминін Гамильтон шамамен 1845 жылы енгізген. Ол сондай-ақ 1863 жылы векторлардың скалярлық және векторлық туындыларын анықтаған. Бүл туындыларды Грасманның еңбектерінде 1844 жылдың өзінде көрсетілгенін атап көрсету қажет. Ол оларды ішкі және сыртқы туындылар деп атаған.
Вектор интуициялық тараптан шамасы, бағыты және (міндетті емес) жету нүктесі бар нысан ретінде түсініледі. Векторлық санақ бастамалары кешенді сандардың геометриялық үлгісімен бірге пайда болды (Гаусс, 1831). Векторлармен дамыған операцияларды Гамильтон өзінің кватернионды есептерінің бөлігі ретінде (вектор кватерионның жалған бөлшектерін құраған) жариялаған. Гамильтон вектор (лат. Vector, тасымалдаушы) терминінің өзін ұсынды және векторлық анализдің кейбір операцияларын сипаттады. Ол түсінікті Максвелл өзінің электромагнетизм бойынша еңбектерінде пайдаланып, өзінің есептеріне ғалымдардың назарын аударды. Сәл уақыттан кейін Гиббстің «Векторлық анализдің элементтері» жарық көрді (1880 жж), ал біраздан кейін Хевисайд (1903) векторлық анализге заманауи сипат берді.
Бұл курстық жұмыстың негізгі бөлімінде вектордың негізгі теориялық мазмұны, вектордың базиске қарағанда координаттары мен олардың қасиеттері, кез келген екі векторлық кеңістіктің арасындағы изоморфизм, векторлық кеңістіктің ішкі кеңістігі, «Алмастырулар» туралы Штейниц теоремасы және векторлық кеңістіктің сызықты көрнісі жайында толық айтылған. Ал екінші бөлімінде векторлық кеңістіктің қосымшалары яғни векторлық кеңістіктің геометрия, физика, математика, астрономияда қолданылуы жайында айтылған. Және міндетті түрде практикалық бөлімде векторлық кеңістікке байланысты шығарған есептер бар.

Қолданылған әдебиеттер тізімі:
1. П.С.Александров «Лекции по аналитической геометрии». Издательство «Наука». Москва 1968
2. Ж.Рашбаев, Х. Сейтов. «Аналитикалық геометрияда лекциялары». Алматы 1967. Республикалық баспа кабинеті.
3. C.Аяпбергенов. «Аналитикалық геометрия». Алматы 1971
4. Д.В. Клетеник. «Сборник задач по аналитической геометрии». Москва «Наука» 1986г

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 14 бет
Таңдаулыға:

Кіріспе
Негізгі бөлім
1. Векторлық кеңістіктің негізгі теориялық мазмұны
1.1 Вектордың берілген базиске қарағанда координаттары және олардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.2 Кез келген екі векторлық кеңістіктің арасындағы изоморфизм ... ... ... ... ... .
1.3 Векторлық кеңістіктің ішкі кеңістігі. Алмастырулар туралы Штейниц теоремасы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1.4 Векторлық кеңістіктің сызықты көрінісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.Векторлық кеңістіктің қосымшалары
2.1 Геометрия
2.2 Физика
2.3 Есептер
Қорытынды
Қолданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
3

4

5
6

7
10
13

15
16
17
Мазмұны

Кіріспе

ХІХ ғ сызықтық теңдіктер жүйесінің теориясымен бірге векторлар теориясы да дамыған. Бағытталған кесінділерді Арган (J.Argand, 1768-1822) 1806 жылы жарияланған Жалған шамалардың бірқатар көрінісінің тәжірибесі атты жұмысында пайдаланған. Ол кесінділерді Арган а, b және т.б. белгілерімен белгілеген. Мебиус басы А нүктесі және соңы В нүктесі кесіндісін АВ белгісімен белгілеген. Ол векторлар теориясын құрушылардың бірі болып табылады. Вектор терминін Гамильтон шамамен 1845 жылы енгізген. Ол сондай-ақ 1863 жылы векторлардың скалярлық және векторлық туындыларын анықтаған. Бүл туындыларды Грасманның еңбектерінде 1844 жылдың өзінде көрсетілгенін атап көрсету қажет. Ол оларды ішкі және сыртқы туындылар деп атаған.
Вектор интуициялық тараптан шамасы, бағыты және (міндетті емес) жету нүктесі бар нысан ретінде түсініледі. Векторлық санақ бастамалары кешенді сандардың геометриялық үлгісімен бірге пайда болды (Гаусс, 1831). Векторлармен дамыған операцияларды Гамильтон өзінің кватернионды есептерінің бөлігі ретінде (вектор кватерионның жалған бөлшектерін құраған) жариялаған. Гамильтон вектор (лат. Vector, тасымалдаушы) терминінің өзін ұсынды және векторлық анализдің кейбір операцияларын сипаттады. Ол түсінікті Максвелл өзінің электромагнетизм бойынша еңбектерінде пайдаланып, өзінің есептеріне ғалымдардың назарын аударды. Сәл уақыттан кейін Гиббстің Векторлық анализдің элементтері жарық көрді (1880 жж), ал біраздан кейін Хевисайд (1903) векторлық анализге заманауи сипат берді.
Бұл курстық жұмыстың негізгі бөлімінде вектордың негізгі теориялық мазмұны, вектордың базиске қарағанда координаттары мен олардың қасиеттері, кез келген екі векторлық кеңістіктің арасындағы изоморфизм, векторлық кеңістіктің ішкі кеңістігі, Алмастырулар туралы Штейниц теоремасы және векторлық кеңістіктің сызықты көрнісі жайында толық айтылған. Ал екінші бөлімінде векторлық кеңістіктің қосымшалары яғни векторлық кеңістіктің геометрия, физика, математика, астрономияда қолданылуы жайында айтылған. Және міндетті түрде практикалық бөлімде векторлық кеңістікке байланысты шығарған есептер бар.

Векторлық кеңістік.
Бос емес элементтері еркін векторлар деп аталатын V=∅ жиынының элементтері үшін қосу және векторды скалярға көбейту амалдары анықталып және мынадай шарттар:
a+b=b+a, a+b+c=a+b+c, a+∅=a, a+-a=∅, 1-a=a, αμa=αμa, α+μa=αa+μa, αa+b=αa+αb
орындалса V жиынын сызықты векторлық кеңістік, ал жоғарыда көрсетілген сегіз шарт оның аксиомалары деп аталады.
Мысалы. Ұзындықтары тең және бағыттары бірдей бағытталған кесінділер жиыны векторлық кеңістік болады: V={a, b,..., x} V векторлық кеңістіктің реттелген e1, e2,..., en векторлар жүйесінің векторлары сызықты тәуелсіз және кез келген а∈V векторы осы жүйенің векторлары арқылы жіктелсе (сызықтық комбинация), онда e1, e2,..., en векторлар жүйесін V векторлық кеңістіктің базисі, ал e1, e2,..., en базистік векторлар деп аталады. Анықтама бойынша векторлар жүйесі базис болу үшін:
1. a1∈R, i=1,..., n сандары табылып a1e1+a2e2+...+anen теңдігі тек a1=...=an=0 болғанда ғана орындалуы керек.
2. a=∅ болса a=a1e1+a2e2+...+anen теңдігі орындалатып, мұндағы а1, а2,..., аn∈R сандарының бәрі бірдей нөлге тең емес болуы қажет.
Базистік векторларының саны V векторлық кеңістіктің өлшемі деп аталады және dim(V)=n деп белгіленеді (dimension-өлшем). Енді V векторлық кеңістіктің өлшемін табуды қарастырайық.
Компланар емес e1=OA, e2=OB, e3=OC векторлары үшін xe1+ye2+ze3=∅ теңдігі тек қана x=y=z=∅ болғанда орындалады және кез келген a векторы 4⁰ қасиеті бойынша e1, e2,e3 векторлары арқылы сызықты өрнектеледі:
a=xe1+ye2+ze3, (1)
мұндағы x, y, z сандарының ең болмағанда біреуі нөлге тең емес. Демек, В=(e1, e2,e3) векторлар жүйесі V векторлық кеңістіктің базисі болады және тәуелсіз векторлар саны үшке тең, сондықтан dim(V)=3. Мұндағы кеңістікті үш өлшемді векторлық кеңістік деп атайды және V3 деп белгілейді. В=(e1, e2,e3) кеңістіктің базисі. Мұнда e1 векторы бірінші, e2 екінші, e3 үшінші базистік векторлар деп талады.
Ескерте кететін жай e1, e2,e3, e2,e3, e1, (e3, e2, e1) әртүрлі базистер.
(1) формуланы векторды базистік векторларға жіктеу формуласы деп атайды. Мұндай жіктелу тек қана біреу болатын, яғни e1, e2,e3 векторларына сәйкес x, y, z сандарының тек қана бір үштігі бар болады. Шынында да, егер мұндай жіктелу екеу деп жорысақ, тағы да бір реттелген x1, y1, z1∈R сандары сандар үштігі табылып: a=x1e1+y2e2+z1e3 (2)
Онда (1), (2) теңдіктерінен ∅=x-x1e1+y-y1e2+(z-z1)e3 теңдігін табамыз. Ал, e1, e2,e3 тәуелсіз векторлар жүйесі болғандықтан, мұндай теңдік тек x-x1=∅, y-y1=∅, (z-z1)=∅ немесе x=x1,y=y1,z=z1 болғанда дұрыс. Олай болса а векторы үшін (1) жіктелуден басқа жіктелуі жоқ. (1) формуладағы x, y, z сандары а векторының В(e1, e2,e3) базисіне қатысты координаттары немесе компоненттері деп аталады және оны былай жазып көрсетеді a(x, y, z), мұндағы х бірінші, у екінші, z үшінші координаттары. Базистік векторлардың координаттары e1 1, 0, 0, e20, 1, 0, e30, 0, 1 болады.Вектордың берілген базиске қатысты координаттарының қасиеттерін қарастырайық:
1. Векторлардың қосындысының координаттары қосылғыштардың координаттарының қосындысына тең болады.
Дәлелдеу: a∈ V3 және b∈ V3 векторларын базистік векторлар бойынша жіктеп жазайық: a=x1e1+y1e2+z1e3, b=x2e1+y2e2+z2e3 сондықтан
a+b=x1+x2e1+y1+y2e2+(z1+z2)e3
2. Векторды скалярға көбейткенде берілген вектордың әрбір координатасы сол скалярға көбейтіледі.
Дәлелдеу: αa=αxe1+ye2+ze3, α∈R
αa=αxe1+αye2+(αz)e3
3. {e1, e2,e3} базисінде координаттарымен берілген a(a1, a2, a3) және b(b1, b2, b3) векторлары коллинеар болуы үшін олардың координаттары пропорционал болуы қажетті және жеткілікті.
Дәлелдеу: a∥b⇒b=αa⇒b1e1+b2e2+b3e3=αa1e1+αa2e2 +αa3e3⇒b1=αa1, b2=αa2, b3=αa3⇒b1a1=α,b2a2=α,b3a3=α.
Демек a және b векторларының координаттары пропорционал. Керісінше, a және b векторларының координаттары пропорционал болсын. b1a1=b2a2=b3a3=α. Бұл теңдіктердің біріншісін е1, екіншісін е2, үшіншісін е3 көбейтіп қоссақ b=αa. Бұдан a және b векторлары коллинеар болатындығы шығады.

N бірдей соңғы өлшем бірлігінің кез келген екі векторлық кеңістігінің арасындағы изоморфизм туралы теорема.
Теорема 2. Екі соңғы өлшемді векторлық кеңістіктер өзара изоморфты болуы үшін олардың өлшем бірлігі бірдей болуы қажетті және жеткілікті.
Дәлелдеу. Өзара изоморфты екі кеңістіктің біреуінде n векторларынан тұратын сызықтық тәуелсіз жүйе болып, векторлардың көп мөлшерінен тұратын сызықтық тәуелсіз жүйе болмаса, онда ол екінші векторлық кеңістік үшін де әділетті болады.
Басқаша айтқанда: өзара изоморфты кеңістік бір өлшем бірлігіне ие.
Шарт жеткілікті. Оған көз жеткізу үшін кез келген n-мөлшерлі U кеңістігі n-мөлшерлі Аn арифметикалық кеңістігіне изоморфты екендігін дәлелдейік. u1, u2, ..., un - U кеңістігінің туынды базисі болсын. Онда әрбір uϵU векторы міндетті түрде былай жазылады:
u=x1u1+x2u2+...+xnun.
u=x1u1+x2u2+...+xnun∈U векторына сәйкес v={x1, x2, ..., xn}∈An векторын қоя отырып, U және An кеңістіктері арасындағы ізделініп отырған изоморфты сәйкестікке қол жеткіземіз (дәлелдеу u∈U, u'∈U екі векторын қосқан кезде олардың сәйкес координаталары қосылатындығынан, ал u∈U векторын қандай да бір λ санына көбейткен кезде дәл сол λ санына u векторының координаталары да көбейтілетіндігінен шығады).
Ескерту 1.
u1=1∙u1+0∙u2+...+0∙un,u2=0∙u1+1∙u2+ ...+0∙un, ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ...un=0∙u1+0∙u2+... +1∙un,
болғандықтан, U және An векторлық кеңістіктері арасындағы изоморфизм анықталған жағдайда U кеңістігінің u1, u2, ..., un базисі An кеңістігінің векторлар жүйесіне өтеді
v1=1, 0,..., 0,v2=0, 1,..., 0, ... ... ... ... ... .vn={0, 0,..., 1}
және векторлардың осы жүйесі An кеңістінің базисін құрайды.
Жалпы U және V - екі изоморфты векторлық кеңістіктер. U және V кеңістіктерінің арасындағы u--v изоморфтық сәйкестік кезінде (ерікті түрде таңдалған) U кеңістігінің кез келген u1, u2, ..., un базисіне V кеңістігінің v1, v2, ..., vn қандай да бір базисі сәйкес келеді және U кеңістігінің u=x1u1+x2u2+...+xnun кез келген векторына u векторы u1, u2, ..., un базисіне қатысты координаталары тәрізді v1, v2, ..., vn базисіне қатысты координаталары бар V кеңістігінің v=x1v1+x2v2+...+xnvnвекторына сәйкес келеді. Керісінше, u1, u2, ..., un және v1, v2, ..., vn туынды базистері бойынша n-мөлшерлі екі кеңістіктің арасынан таңдай отырып және осы базистерге қатысты х1, x2, ..., xn бірдей координаталарға ие u=x1u1+x2u2+...+xnun∈U және v=x1v1+x2v2+...+xnvn∈V кез келген екі векторды салыстыра отырып, U және V кеңістіктері арасындағы изоморфизмге u--v қол жеткіземіз.
Ескерту 2. Болашақта біз n аталған мөлшерінің векторлық кеңістіктерін Vn, Un, Ln арқылы белгілейтін боламыз, сондай-ақ олардың арифметикалық n-мөлшерлі кеңістігі үшін (олардың барлығы изоморфты) An белгілемесін сақтаймыз.

Векторлық кеңістіктің ішкі кеңістігі. Векторлардың сызықтық тәуелділігі және векторлық кеңістік базисі туралы ары қарайғы теоремалар
1. Векторлық кеңістіктің ішкі кеңістігі анықтамасы. V векторлық кеңістікте келесі шарттарды қанағаттандыратын L векторлар жиынтығы болсын:
10 L құрамындағы u1 және u2 қандай болғанына қарамастан, олардың жалпы сомасы да L жиынтығына тиесілі болады.
20 L құрамындағы u векторы мен λ саны қандай болғанына қарамастан, λu векторы да L жиынтығына тиесілі болады.
Осы екі шартты қанағаттандыратын кез келген L жиынтығы V векторлық кеңістіктің ішкі кеңістігі деп аталады. 10 және 20 шарттары жиынтық құрай отырып, бір шартқа тең:
30 L жиынтығына тиесілі свекторларының кез келген λ1u1+ λ2u2+...+ λrur векторлық комбинация u1,..., uk осы жиынтыққа жататын вектор болып табылады.
Сондықтан V векторлық кеңістіктің ішкі кеңістігі 30 шартын қанағаттандыратын L жиынтығы ретінде анықталуы мүмкін.
Ескерту 1. U векторлық кеңістігінің барлық элементтері бір уақытта V векторлық кеңістігінінің элементтері болып табылсын, сонымен қатар U-дағы сызықтың векторлар көлемдік кеңістіктегілер тәрізді. Онда V векторлық кеңістігіндегі жиынтық ретінде қарастырылып отырған U 10 және 20 шарттарын қанағаттандырады.
Керісінше: осы шарттарды қанағаттандыратын кеp келген U⊆V жиынтығы элементтері V-дағы векторларының мәні болып табылатын векторлық кеңістік болып табылады, сондай-ақ U-дағы сызықтық операциялар V-дағы тәрізді.
Сонымен, V векторлық кеңістігінің векторлық ішкі кеңістігін элементтері V векторлық кеңістігінің мәні болып табылатын кез келген векторлық кеңістік ретінде қарастыра аламыз, ал оның үстіндегі сызықтық операциялар - V-дағы тәрізді , болады.
Ескерту 2. Барлық V кеңістіктері және сондай-ақ нөлдік вектордан тұратын кеңістік V векторлық кеңістігінің ішкі кеңістігі екендігі айқын.
Енді В қандай да бір толықтай туынды, шекті немесе шексіз V кеңістігінің векторлық жиынтығы. В жиынтығына жататын барлық векторлардың сызықтық комбинациялары болып табылатын барлық векторлардан тұратын В жиынтығын қарастырайық. В жиынтығы 10 және 20 шарттарын қанағаттандыратындығы айқын, сондықтан V кеңістігінің ішкі кеңістігі болып табылады; бұл ішкі кеңістік V кеңістігінің туындатқан ішкі кеңістік немесе В кеңістігінің сызықтық қабығы (немесе сызықтық бекіткіш) болып табылады. В өз кезегінде В кеңістігін туындататын жиынтық немесе В кеңістігін қалыптастыратын жиынтық немесе жүйе болып табылады.
В кеңістігі V кеңістігімен сәйкес келуі мүмкін, мысалы егер V кеңістігінің қандай да бір базисі болса. Сонымен, V кеңістігінің кез келген базисі оны құраушылардың жүйесі болып табылады, сондай-ақ ол сызықтық тәуелсіз.Біз жақында керісінше ұсынысты дәлелдейміз: соңғы мөлшерлі векторлық кеңістік құраушыларының кез келген сызықтық тәуелсіз жүйесі оның базисі болып табылады.
Мысал. Жазықтықта d1 және d2 екі қиысатын түзу берілсін; d1түзуіне коллениалды барлық векторлардың жиынтығын L1 арқылы, ал d2 түзуіне коллениалды барлық векторлар жиынтығын L2 арқылы белгілейік; осы екі жиынтықтың (бір өлшемді) әрбіреуі жазықтықтың барлық векторларының V кеңістігінің ішкі кеңістігі болып табылады, алайда L1 және L2 жиынтығының B= L1∪L2 бірігуі векторлық кеңістік болып табылмайды (неге?). Алайда В жиынтығынан туындаған В векторлық кеңістігі V барлық кеңістігі.
Келесі өте маңызды сөйлем айқын деуге болады.
Теорема 3. Егер V соңғы мөлшерлі векторлық кеңістіктің L ішкі кеңістігі V-дағыдай өлшемге ие болса, онда ол V-мен барлығы бойынша бірдей.
Дәлелдеу. L мен V бірдей n u1, ..., un өлшеміне тең болсын. L-де n векторлардан тұратын сызықтық тәуелсіз жүйесін алайық; ол жүйе екі кеңістіктің де базисі болып табылады. Сондықтан әрбір n∈V, вектор u1, u2, ..., un (L-де бар) векторларының сызықтық комбинациясы бола отырып, L ішкі кеңістігіне жатады, яғни V⊆L, ал ол V=L.
2. Алмастыру туралы Штейництің теоремасы.
Енді векторлық ішкі кеңістіктер мен ондағы векторлардың сызықтық тәуелсіздігіне байланысты негізгі теоремалардың бірі, алмасу туралы Штейнецтің теоремасы дәлелденетін болады (теорема 4). Өз элементтерінің жиынтығынан туындаған (соңғы) V векторлық кеңістігі берілсін
u1, u2, ..., um
Сондай-ақ, V-де n векторлардан тұратын сызықтық тәуелсіз жүйе берілген
v1, v2, ..., vn
Онда n=m міндетті және u1, u2, ..., un векторлардың арасында қандай да бір n векторларды сызып тастап, v1, v2, ..., vn векторларымен алмастыруға болады, сондықтан V кеңістігін тудыратын векторлардың жиынтығы қайта пайда болады.
Осы теореманы n бойынша индукция арқылы дәлелдейік. V векторлық кеңістігін тудыратын векторлардың жүйесі (1) және v1∈V бір вектордан тұратын сызықтық тәуелсіз жүйе (2) берілсін, ол V-да v!=0 векторының берілгендігін білдіреді. Онда ең алдымен n=1=m.
v1∈V болғандықтан, ал ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.