Локальді шекті теорема
МАЗМҰНЫ
Кіріспе . . . . . .:
Муаврдың локалды теоремасы . . .
3:
3-5
Кіріспе . . . . . .:
Локалды теорема……. . . . .
3:
5-6
Кіріспе . . . . . .:
Муавр-Лапластың локалды теоремасы…… . . .
3:
6-7
Кіріспе . . . . . .:
Кестелер . . .
3:
7-8
Кіріспе . . . . . .:
Муавр-Лапластың асимптоталық формуласы . . .
3:
10
Кіріспе . . . . . .:
Муавр-Лапластың шектік теоремалары . . .
3:
11
Кіріспе . . . . . .:
Муавр-Лапластың төңіректік теоремасы . . .
3:
12
Кіріспе . . . . . .:
Қорытынды . . .
3:
16
Кіріспе . . . . . .:
Әдебиеттер тізімі . . .
3:
17
Кіріспе.
n
n
және m-нің үлкен мәндерінде
P
n
(
m
)
P_{n}(m)
ықтималдығын табу техникалық қиын тапсырмаға айналатыны бізге белгілі. Бұл жағдайда XVIII ғасырдың басында математиктердің демографиялық мәселелерге арналған еңбектерінде атап өтілген болатын.
P
n
(
m
)
P_{n}(m)
сияқты асимпотикалық формуласы үшін және сол сияқты
∑
m
=
a
b
P
n
(
m
)
\sum_{m = a}^{b}{P_{n}(m) }\
үшін де қажеттілік туындады.
Бұл тапсырманы шешкен француз математигі Абрахам де Муавр(1667-1754) . Бар өмірін Англияда өткізген, кейіннен бірнеше мәрте формулировкасы мен дәлелдеуі таныс оның екі керемет теоремасы қолданыла бастады, және кең көлемде. Оның ең алғашқысы локалды шектік теорема деген атау алды.
Муаврдың локалды теоремасы.
Егер кейбір оқиғаның пайда болу ықтималдығы n тәуелсіз сынақтарда тұрақты және
P
P
-ға тең болса (0<р<1), онда
P
n
(
m
)
P_{n}(m)
ықтималдығы осы сынақтардағы А оқиғасы
n
→
∞
n \rightarrow \infty
қатынасын қанағаттандырғанда тура
m
m
рет орындалады.
n
p
g
P
n
(
m
)
:
1
2
π
e
−
1
2
x
2
→
1
\sqrt{npg}P_{n}(m) :\ \ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ e^{- \frac{1}{2}x^{2}} \rightarrow 1
(1)
Барлық
m
m\
үшін бірдей өлшемді:
x
=
x
m
n
=
m
−
n
p
n
p
g
x = x_{mn} = \frac{m - np}{\sqrt{npg}}
(2)
Қандай да бір шектік интервалда жатады.
Дәлелдеуі.
Біз келтірген дәлелдеу бізге математикалық талдау курсынан таныс Стирлинг формуласына сүйенеді( бірмезгілде ашық және Муавр)
s
!
=
2
π
s
s
s
e
−
s
e
θ
s
s! = \ \sqrt{2\pi s}\ s^{s}e^{- s}e^{\theta_{s}}
Қалынды көрсеткіш
θ
s
\theta_{s}
теңсіздігін қанағаттандыратын:
θ
s
≤
1
12
s
\left \theta_{s} \right \leq \frac{1}{12s}
(2’)
Екінші теңдікті
m
=
n
p
+
x
n
p
g
.
m = np + x\sqrt{npg}.
Түрінде жазуға болатынын байқаймыз. Осыдан,
n
−
m
=
n
p
−
x
n
p
g
.
n - m = \ np - x\sqrt{npg}.
Соңғы теңдіктер, егер х қандай да бір шектелген кесіндіде қалып қойса, онда
n
n
және m сандары
n
−
n -
мен бірге шексіздікке дейін m өсетінін көрсетеді. Бұл ескертуден кейін біз Стирлингтің формуласын пайдалана аламыз. Оны қолдану бізге
P
n
(
m
)
=
n
!
m
!
(
n
−
m
)
!
p
m
g
n
−
m
=
=
1
2
π
n
m
(
n
−
m
)
e
−
θ
(
n
m
p
)
m
(
n
n
−
m
g
)
n
−
m
,
P_{n}(m) = \frac{n!}{m!(n - m) !}p^{m}g^{n - m} = = \ \ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{n}{m(n - m) }}e^{- \theta}\left( \frac{n}{m}p \right) ^{m}\left( \frac{n}{n - m}g \right) ^{n - m}\,
Мұнда,
θ
=
θ
n
−
θ
m
−
θ
n
−
m
<
1
12
(
1
n
+
1
m
+
1
n
−
m
)
.
\theta = \theta_{n} - \theta_{m} - \theta_{n - m} < \frac{1}{12}\left( \frac{1}{n} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n - m} \right) .
Осыдан
a
≤
x
≤
b
a \leq x \leq b
кесіндісі қандай болса да,
n
→
∞
n \rightarrow \infty\
кезде осы кесіндіде х нөлге ұмтылғанға қатысты
θ
\theta\
өлшемді де тең өлшемді екенін көреміз.
Бұдан,
e
−
θ
e^{- \theta}\
сол шартта теңөлшемді бірге ұмтылады.
Енді өлшемін қарастырайық
ln
A
n
=
ln
(
n
m
p
)
m
(
n
n
−
m
g
)
n
−
m
=
\ln A_{n} = \ln\left( \frac{n}{m}p \right) ^{m}\left( \frac{n}{n - m}g \right) ^{n - m} =
=
−
(
n
p
+
x
n
p
g
)
ln
(
1
+
x
g
n
p
)
−
(
n
p
−
x
n
p
g
)
ln
(
1
−
x
p
n
p
)
.
= \ - \left( np + x\sqrt{npg} \right) \ln\left( 1 + x\sqrt{\frac{g}{np}} \right) - \left( np - x\sqrt{npg} \right) \ln\left( 1 - x\sqrt{\frac{p}{np}} \right) .
Теорема шартында
g
n
p
\sqrt{\frac{g}{np}}
және
p
n
p
\sqrt{\frac{p}{np}}\ \
өлшемдері
n
n\
жеткілікті үлкен болған кезде қалағанынша аз болып жасалуы мүмкін. Сондықтан, дәрежелік қатарға логарифмдік орналастыруда қолдануға болады.
Алғашқы екі мүшемен шектей отырып,
ln
(
1
+
x
g
n
p
)
=
x
g
n
p
−
1
2
g
x
2
n
p
+
O
(
1
n
3
/
2
)
\ln\left( 1 + x\sqrt{\frac{g}{np}} \right) = \ x\sqrt{\frac{g}{np}} - \frac{1}{2}\ \frac{gx^{2}}{np} + O\left( \frac{1}{n^{3/2}} \right)
ln
(
11
x
p
n
p
)
=
−
x
p
n
p
−
1
2
p
x
2
n
p
+
O
(
1
n
3
/
2
)
\ln\left( 11x\sqrt{\frac{p}{np}} \right) = \ - x\sqrt{\frac{p}{np}} - \frac{1}{2}\ \frac{px^{2}}{np} + O\left( \frac{1}{n^{3/2}} \right)
табамыз.
Қиын емес есептелім
ln
A
n
=
−
x
2
2
+
(
1
n
)
\ln A_{n} = - \frac{x^{2}}{2} + \left( \frac{1}{\sqrt{n}} \right)
және х кез-келген шектік кесіндісінде теңөлшемді қатысты екенін көрсетеді.
A
n
:
1
2
π
e
−
1
2
x
2
→
1
(
n
→
∞
)
.
A_{n}:\ \ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ e^{- \frac{1}{2}x^{2}} \rightarrow 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (n \rightarrow \infty) .
Ары қарай,
n
p
g
.
\sqrt{npg}. \ \
n
m
(
n
−
m
)
→
1
\sqrt{\frac{n}{m(n - m) }} \rightarrow 1
x-тің әр шектік кесіндісінде тең өлшемді.
Келтірілген есептелім теореманы дәлелдеді. Негізінде осы есептелімдерден аналитикалық локалды теореманы және полиминалды орналасуларды дәлелдеуге болады.
Локалды теорема.
Егер
p
1
,
p
2
,
…
,
p
k
p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}\ \
ықтималдықтарының пайда болуы
A
1
(
s
)
,
A
2
(
s
)
,
…
,
A
k
(
s
)
A_{1}^{(s) }, A_{2}^{(s) }, \ldots, A_{k}^{(s) }\ \ \
оқиғаларына сәйкес болса,
s
−
s -
ші сынақта сынақ санына тәуелді емес және 0-ден 1-ге дейінгі өзгеретін болса
(
0
<
p
i
<
1
,
i
=
1
,
2
,
…
,
k
)
\left( 0 < p_{i} < 1, \ \ i = 1, 2, \ldots, k \right)
, онда
P
n
(
m
1
,
m
2
,
…
,
m
k
)
P_{n}\left( m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{k} \right) \ \ \
ықтималдығы
n
n
тәуелсіз сынақтар кезінде
A
i
(
s
)
(
i
=
1
,
2
,
…
,
k
)
A_{i}^{(s) \ \ }(i = 1, 2, \ldots, k) \
оқиғасы
m
i
m_{i}\
рет
(
m
1
+
m
2
+
…
+
m
k
=
n
)
\left( m_{1} + m_{2} + \ldots + m_{k} = n \right)
пайда болса, төмендегі қатынасты қанағаттандырады:
n
k
−
1
P
n
(
m
1
,
m
2
,
…
,
m
k
)
:
e
−
1
2
∑
i
=
1
g
i
x
i
2
(
2
π
)
k
−
1
2
p
1
p
2
…
p
k
→
1
\sqrt{n^{k} - 1}P_{n}\left( m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{k} \right) :\ \ \frac{e^{- \frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{}{g_{i}x_{i}^{2{(2\pi) ^{\frac{k - 1}{2}}\sqrt{p_{1}p_{2}\ldots p_{k}}} \rightarrow 1\ \ \ \
(
n
→
∞
)
\ \ (n \rightarrow \infty)
Барлық
m
i
m_{i}\
(
i
=
1
,
2
,
…
,
k
)
i = 1, 2, \ldots, k)
үшін тең өлшемді
a
i
≤
x
i
≤
b
i
a_{i} \leq x_{i} \leq b_{i}
шектік интервалда жататын
x
i
=
m
i
−
n
p
i
n
p
i
g
i
x_{i} = \frac{m_{i} - np_{i}}{\sqrt{np_{i}g_{i}}\ }
үшін.
∑
i
=
1
k
m
i
=
n
\sum_{i = 1}^{k}m_{i} = n\
теңдігінен
∑
i
=
1
k
x
i
n
p
i
g
i
=
0
\sum_{i = 1}^{k}x_{i}\sqrt{np_{i}g_{i}} = 0
x
i
x_{i}
-лердің біреуін басқалары арқылы өрнектей алатын қатынас шығады. Оған қоса,
∑
i
=
1
k
p
i
=
1
\sum_{i = 1}^{k}{p_{i} = 1}
екенін байқаймыз. Бұл теоремадан
k
=
2
k = 2
болған кезде, жекеленген жағдайда, Муавр теоремасы шығады.
Мысал 1.
Бізге
P
n
(
m
)
P_{n}(m) \
ықтималдықты табу керек болсын. мұнда,
n
=
1
,
n = 1\,
m
=
40
,
m = 40, \ \
p
=
0
,
005
p\ = 0, 005
. жана ғана дәлелденген теорема бойынша:
P
n
(
m
)
∼
1
2
π
n
p
g
e
−
1
2
(
m
−
n
p
n
p
g
)
2
{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ P}_{n}(m) \ \sim\frac{1}{\sqrt{2\pi npg}}e^{- \frac{1}{2}\left( \frac{m - np}{\sqrt{npg}} \right) ^{2}}
Біздің келтірілген мысал үшін:
n
p
g
=
1
*
0. 005
*
0. 995
=
49. 75
∼
7. 05
\sqrt{npg} = \sqrt{1*0. 005*0. 995} = \sqrt{49. 75}\sim 7. 05
m
−
n
p
n
p
g
∼
−
1. 427
\frac{m - np}{\sqrt{npg}}\sim - 1. 427
Сәйкесінше,
P
n
(
m
)
∼
1
7
,
05
2
π
e
−
1
,
42
2
2
{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ P}_{n}(m) \ \sim\frac{1}{7, 05\sqrt{2\pi}}e^{- \frac{{1, 42}^{2}}{2}}
φ
(
x
)
\varphi(x)
=
1
2
π
e
−
x
2
2
\ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{- \frac{x^{2}}{2}}
функциясы кесте ретінде құрылды.
Бізге осы функцияның мәндерінің қысқаша кестесі берілген. Осы кесте бойынша,
P
n
(
m
)
∼
0
,
1456
7
,
05
=
0
,
00206
{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ P}_{n}(m) \ \sim\frac{0, 1456}{7, 05} = 0, 00206
Муавр-Лапластың теоремасын пайдаланбай есептеген нақты есептелім бізге
P
n
(
m
)
∼
0
,
00197
{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ P}_{n}(m) \ \sim 0, 00197
береді.
Муавр-Лапластың теоремасы беретін жуық сипаттаманың иллюстрциясы үшін, сондай ақ оның аналитикалық түрлендіруінің дәлелденуі кезінде геометриялық анықталуында біз сандық мысалдарды қарастырамыз.
Кесте 1.
n=4
m:
𝐏
𝐧
(
𝐦
)
\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right)
0:
0. 4096
1:
0. 4096
2:
0. 1536
3:
0. 0256
4:
0. 0016
m:
x
0:
-1. 00
1:
0. 25
2:
1. 50
3:
2. 75
4:
4. 00
m:
𝐧
𝐩
𝐠
𝐏
𝐧
(
𝐦
)
\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right)
0:
0. 3277
1:
0. 3277
2:
0. 1229
3:
0. 0205
4:
0. 0013
m:
𝛗
\mathbf{\varphi}
(x)
0:
0. 2420
1:
0. 3867
2:
0. 1295
3:
0. 0091
4:
0. 0001
Кесте 2.
n=25
m
x
𝐏
𝐧
(
𝐦
)
\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right)
𝐧
𝐩
𝐠
𝐏
𝐧
(
𝐦
)
\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right)
m:
0
x:
-2. 5
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0037
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0075
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 0175
m:
1
x:
-2. 0
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0236
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0472
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 0540
m:
2
x:
-1. 5
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0708
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 1417
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 1295
m:
3
x:
-1. 0
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 1358
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 2715
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 2420
m:
4
x:
-0. 5
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 1867
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 3734
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 3521
m:
5
x:
0
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 1960
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 3920
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 3989
m:
6
x:
0. 5
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 1633
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 3267
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 3521
m:
7
x:
1
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 1108
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 2217
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 2420
m:
8
x:
1. 5
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0623
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 1247
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 1295
m:
9
x:
2
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0294
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0589
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 0540
m:
10
x:
2. 5
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0118
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0236
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 0175
m:
11
x:
3
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0040
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0080
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 0044
m:
12
x:
3. 5
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0012
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0023
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 0009
m:
13
x:
4
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0003
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0006
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 0001
m:
14
x:
4. 5
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0.
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0.
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0.
m:
˃14
x:
˃4. 5
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0.
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0.
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0.
Кесте 3.
n=100
m
x
𝐏
𝐧
(
𝐦
)
\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right)
𝐧
𝐩
𝐠
𝐏
𝐧
(
𝐦
)
\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right)
m:
8
x:
-3. 00
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0006
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0023
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 0044
m:
9
x:
-2. 75
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0015
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0059
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 0091
m:
10
x:
-2. 50
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0034
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0134
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 0175
m:
11
x:
-2. 25
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0069
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0275
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 0317
m:
12
x:
-2. 00
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0127
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0510
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 0540
m:
13
x:
-1. 75
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0216
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0863
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 0862
m:
14
x:
-1. 50
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0335
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 1341
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 1295
m:
15
x:
-1. 25
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0481
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 1923
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 1826
m:
16
x:
-1. 00
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0638
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 2553
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 2420
m:
17
x:
-0. 75
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0788
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 3154
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 3011
m:
18
x:
-0. 50
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0909
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 3636
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 3521
m:
19
x:
-0. 25
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0981
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 3923
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 3867
m:
20
x:
-0. 00
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0993
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 3972
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 3989
m:
21
x:
0. 25
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0946
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 3783
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 3867
m:
22
x:
0. 50
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0849
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 3396
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 3521
m:
23
x:
0. 75
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0720
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 2879
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 3011
m:
24
x:
1. 00
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0577
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 2309
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 2420
m:
25
x:
1. 25
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0439
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 1755
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 1826
m:
26
x:
1. 50
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0316
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 1266
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 1295
m:
27
x:
1. 75
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0217
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0867
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 0862
m:
28
x:
2. 00
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0141
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0565
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 0540
m:
29
x:
2. 25
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0088
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0351
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 0317
m:
30
x:
2. 50
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0052
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0208
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 0175
m:
31
x:
2. 75
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0029
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0117
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 0091
m:
32
x:
3. 00
𝐏𝐧(𝐦)\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0016
𝐧𝐩𝐠𝐏𝐧(𝐦)\sqrt{\mathbf{npg}}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{m} \right):
0. 0063
𝛗\mathbf{\varphi}(x):
0. 0044
Кесте 4.
n=400
... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
