Локальді шекті теорема

МАЗМҰНЫ
1. Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
3
2. Муаврдың локалды теоремасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
3.5
3. Локалды теорема ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
5.6
4. Муавр.Лапластың локалды теоремасы ... ... ... ... ... ...
6.7
5. Кестелер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
7.8
6. Муавр.Лапластың асимптоталық формуласы ... ... ... ...
10
7. Муавр.Лапластың шектік теоремалары ... ... ... ... ... ... .
11
8. Муавр.Лапластың төңіректік теоремасы ... ... ... ... ... ..
12
9. Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
16
10. Әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 17

Кіріспе.
n және m-нің үлкен мәндерінде P_n (m) ықтималдығын табу техникалық қиын тапсырмаға айналатыны бізге белгілі. Бұл жағдайда XVIII ғасырдың басында математиктердің демографиялық мәселелерге арналған еңбектерінде атап өтілген болатын.
P_n (m) сияқты асимпотикалық формуласы үшін және сол сияқты ∑_(m=a)^b▒〖P_n (m)〗 үшін де қажеттілік туындады.
Бұл тапсырманы шешкен француз математигі Абрахам де Муавр(1667-1754). Бар өмірін Англияда өткізген, кейіннен бірнеше мәрте формулировкасы мен дәлелдеуі таныс оның екі керемет теоремасы қолданыла бастады, және кең көлемде. Оның ең алғашқысы локалды шектік теорема деген атау алды.

Муаврдың локалды теоремасы.
Егер кейбір оқиғаның пайда болу ықтималдығы n тәуелсіз сынақтарда тұрақты және P-ға тең болса (0<р<1), онда P_n (m) ықтималдығы осы сынақтардағы А оқиғасы n→∞ қатынасын қанағаттандырғанда тура m рет орындалады.
√npg P_n (m): 1/√2π e^(-1/2 x^2 )→1 (1)
Барлық m үшін бірдей өлшемді:
x=x_mn=(m-np)/√npg (2)
Қандай да бір шектік интервалда жатады.
Дәлелдеуі.
Біз келтірген дәлелдеу бізге математикалық талдау курсынан таныс Стирлинг формуласына сүйенеді( бірмезгілде ашық және Муавр)
s!= √2πs s^s e^(-s) e^(θ_s )
Қалынды көрсеткіш θ_s теңсіздігін қанағаттандыратын:
|θ_s |≤1/12s (2’)
Екінші теңдікті

Әдебиеттер тізімі.
1. Гнеденко Б.В «Курс теории вероятностей»
2. Ақанбай Нұрсадық «Ықтималдықтар теориясы»
3. Жаңбырбаев Б.С «Ықтималдылықтар теориясы және математикалық статистика элементтері»
4. Боровков А.А «Теория вероятностей»
5. Гихман И.И , Скороход А.В , Ядренко М.И «Теория вероятностей и математическая статистика»
6. Климов Г.П «Теория вероятностей и математическая статистика»
7. Коваленко И.Н , Филипова А.А Теория вероятностей и математическая статистика»
8. Лоэв М «Теория вероятностей»
9. Нейман Ю «Вводный курс теории вероятностей и математической статистики»
10. Севастьянов Б.А «Курс теория вероятностей и математическая статистика»

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 16 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ
1.
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

3
2.
Муаврдың локалды теоремасы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... .

3-5
3.
Локалды теорема ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

5-6
4.
Муавр-Лапластың локалды теоремасы ... ... ... ... ... ...

6-7
5.
Кестелер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

7-8
6.
Муавр-Лапластың асимптоталық формуласы ... ... ... ...

10
7.
Муавр-Лапластың шектік теоремалары ... ... ... ... ... ... .

11
8.
Муавр-Лапластың төңіректік теоремасы ... ... ... ... ... ..

12
9.
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

16
10.
Әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... .
17

Кіріспе.
n және m-нің үлкен мәндерінде Pn(m) ықтималдығын табу техникалық қиын тапсырмаға айналатыны бізге белгілі. Бұл жағдайда XVIII ғасырдың басында математиктердің демографиялық мәселелерге арналған еңбектерінде атап өтілген болатын.
Pn(m) сияқты асимпотикалық формуласы үшін және сол сияқты m=abPn(m) үшін де қажеттілік туындады.
Бұл тапсырманы шешкен француз математигі Абрахам де Муавр(1667-1754). Бар өмірін Англияда өткізген, кейіннен бірнеше мәрте формулировкасы мен дәлелдеуі таныс оның екі керемет теоремасы қолданыла бастады, және кең көлемде. Оның ең алғашқысы локалды шектік теорема деген атау алды.

Муаврдың локалды теоремасы.
Егер кейбір оқиғаның пайда болу ықтималдығы n тәуелсіз сынақтарда тұрақты және P-ға тең болса (0р1), онда Pn(m) ықтималдығы осы сынақтардағы А оқиғасы n--infinity қатынасын қанағаттандырғанда тура m рет орындалады.
npgPnm: 12PI e-12x2--1 (1)
Барлық m үшін бірдей өлшемді:
x=xmn=m-npnpg (2)
Қандай да бір шектік интервалда жатады.
Дәлелдеуі.
Біз келтірген дәлелдеу бізге математикалық талдау курсынан таныс Стирлинг формуласына сүйенеді( бірмезгілде ашық және Муавр)
s!= 2PIs sse-seθs
Қалынды көрсеткіш θs теңсіздігін қанағаттандыратын:
θs=112s (2')
Екінші теңдікті
m=np+xnpg.
Түрінде жазуға болатынын байқаймыз. Осыдан ,
n-m= np-xnpg.
Соңғы теңдіктер , егер х қандай да бір шектелген кесіндіде қалып қойса, онда n және m сандары n-мен бірге шексіздікке дейін m өсетінін көрсетеді. Бұл ескертуден кейін біз Стирлингтің формуласын пайдалана аламыз. Оны қолдану бізге
Pnm=n!m!n-m!pmgn-m== 12PInm(n-m)e-θnmpmnn-mgn-m ,
Мұнда,
θ=θn-θm-θn-m1121n+1m+1n-m.
Осыдан a=x=b кесіндісі қандай болса да , n--infinity кезде осы кесіндіде х нөлге ұмтылғанға қатысты θ өлшемді де тең өлшемді екенін көреміз.
Бұдан, e-θ сол шартта теңөлшемді бірге ұмтылады.
Енді өлшемін қарастырайық
lnAn=lnnmpmnn-mgn-m=
= -np+xnpgln1+xgnp-np-xnpgln1-xpnp.
Теорема шартында gnp және pnp өлшемдері n жеткілікті үлкен болған кезде қалағанынша аз болып жасалуы мүмкін. Сондықтан, дәрежелік қатарға логарифмдік орналастыруда қолдануға болады.
Алғашқы екі мүшемен шектей отырып ,
ln1+xgnp= xgnp-12 gx2np+O1n32
ln11xpnp= -xpnp-12 px2np+O1n32 табамыз.
Қиын емес есептелім lnAn=-x22+1n және х кез-келген шектік кесіндісінде теңөлшемді қатысты екенін көрсетеді.
An: 12PI e-12x2--1 n--infinity.
Ары қарай, npg. nm(n-m)--1 x-тің әр шектік кесіндісінде тең өлшемді.
Келтірілген есептелім теореманы дәлелдеді. Негізінде осы есептелімдерден аналитикалық локалды теореманы және полиминалды орналасуларды дәлелдеуге болады.

Локалды теорема.
Егер p1,p2,...,pk ықтималдықтарының пайда болуы A1(s),A2(s),...,Ak(s) оқиғаларына сәйкес болса, s-ші сынақта сынақ санына тәуелді емес және 0-ден 1-ге дейінгі өзгеретін болса
0pi1, i=1,2,...,k, онда Pnm1,m2,...,mk ықтималдығы n тәуелсіз сынақтар кезінде Ais i=1,2,...,k оқиғасы mi рет
m1+m2+...+mk=n пайда болса , төмендегі қатынасты қанағаттандырады:
nk-1Pnm1,m2,...,mk: e-12i=1gixi22PIk-12p1p2...pk--1
n--infinity
Барлық mi (i=1,2,...,k) үшін тең өлшемді ai=xi=bi шектік интервалда жататын xi=mi-npinpigi үшін.
i=1kmi=n теңдігінен i=1kxinpigi=0 xi-лердің біреуін басқалары арқылы өрнектей алатын қатынас шығады. Оған қоса , i=1kpi=1 екенін байқаймыз. Бұл теоремадан k=2 болған кезде , жекеленген жағдайда, Муавр теоремасы шығады.
Мысал 1.
Бізге Pnm ықтималдықты табу керек болсын. мұнда, n=10000 , m=40, p =0,005 . жана ғана дәлелденген теорема бойынша:

Pnm ~12PInpge-12m-npnpg2
Біздің келтірілген мысал үшін:
npg=10000*0.005*0.995=49.75~7.05
m-npnpg~-1.427
Сәйкесінше,
Pnm ~17,052PIe-1,4222
φ(x)= 12PIe-x22 функциясы кесте ретінде құрылды.
Бізге осы функцияның мәндерінің қысқаша кестесі берілген. Осы кесте бойынша, Pnm ~0,14567,05=0,00206
Муавр-Лапластың теоремасын пайдаланбай есептеген нақты есептелім бізге Pnm ~0,00197 береді.
Муавр-Лапластың теоремасы беретін жуық сипаттаманың иллюстрциясы үшін, сондай ақ оның аналитикалық түрлендіруінің дәлелденуі кезінде геометриялық анықталуында біз сандық мысалдарды қарастырамыз.

Кесте 1.
n=4
m
0
1
2
3
4
Pnm
0.4096
0.4096
0.1536
0.0256
0.0016
x
-1.00
0.25
1.50
2.75
4.00
npgPnm
0.3277
0.3277
0.1229
0.0205
0.0013
φ(x)
0.2420
0.3867
0.1295
0.0091
0.0001

Кесте 2.
n=25
m
x
Pnm
npgPnm
φ(x)
0
-2.5
0.0037
0.0075
0.0175
1
-2.0
0.0236
0.0472
0.0540
2
-1.5
0.0708
0.1417
0.1295
3
-1.0
0.1358
0.2715
0.2420
4
-0.5
0.1867
0.3734
0.3521
5
0
0.1960
0.3920
0.3989
6
0.5
0.1633
0.3267
0.3521
7
1
0.1108
0.2217
0.2420
8
1.5
0.0623
0.1247
0.1295
9
2
0.0294
0.0589
0.0540
10
2.5
0.0118
0.0236
0.0175
11
3
0.0040
0.0080
0.0044
12
3.5
0.0012
0.0023
0.0009
13
4
0.0003
0.0006
0.0001
14
4.5
0.0000
0.0000
0.0000
˃14
˃4.5
0.0000
0.0000
0.0000

Кесте 3.
n=100
m
x
Pnm
npgPnm
φ(x)
8
-3.00
0.0006
0.0023
0.0044
9
-2.75
0.0015
0.0059
0.0091
10
-2.50
0.0034
0.0134
0.0175
11
-2.25
0.0069
0.0275
0.0317
12
-2.00
0.0127
0.0510
0.0540
13
-1.75
0.0216
0.0863
0.0862
14
-1.50
0.0335
0.1341
0.1295
15
-1.25
0.0481
0.1923
0.1826
16
-1.00
0.0638
0.2553
0.2420
17
-0.75
0.0788
0.3154
0.3011
18
-0.50
0.0909
0.3636
0.3521
19
-0.25
0.0981
0.3923
0.3867
20
-0.00
0.0993
0.3972
0.3989
21
0.25
0.0946
0.3783
0.3867
22
0.50
0.0849
0.3396
0.3521
23
0.75
0.0720
0.2879
0.3011
24
1.00
0.0577
0.2309
0.2420
25
1.25
0.0439
0.1755
0.1826
26
1.50
0.0316
0.1266
0.1295
27
1.75
0.0217
0.0867
0.0862
28
2.00
0.0141
0.0565
0.0540
29
2.25
0.0088
0.0351
0.0317
30
2.50
0.0052
0.0208
0.0175
31
2.75
0.0029
0.0117
0.0091
32
3.00
0.0016
0.0063
0.0044

Кесте 4.
n=400
m
x
Pnm
npgPnm
φ(x)
56
-3.000
0,0004
0.0034
0.0044
57
-2,875
0,0006
0.0051
0.0064
58
-2,750
0,0009
0.0076
0.0091
59
-2,625
0,0014
0.0104
0.0127
60
-2,500
0,0019
0.0156
0.0175
61
-2,375
0,0027
0.0218
0.0238
62
-2,250
0,0037
0.0298
0.0317
63
-2,125
0,0050
0.0399
0.0417
64
-2.000
0,0066
0.0525
0.0540
65
-1,875
0.0089
0.0679
0.0684
66
-1,750
0.0108
0.0862
0.0862
67
-1,625
0.0134
0.1075
0.1065
68
-1,500
0.0164
0.1316
0.1295
69
-1,375
0.0198
0.1583
0.1550
70
-1,250
0.0234
0.1871
0.1827
71
-1,125
0.0271
0.2175
0.2119
72
-1.000
0.0310
0.2483
0.2420
73
-0,875
0.0349
0.2789
0.2721
74
-0,750
0.0385
0.3081
0.3011
75
-0,625
0.0419
0.3317
0.3282
76
-0,500
0.0447
0.3580
0.3521
77
-0,375
0.0471
0.3766
0.3719
78
-0,250
0.0487
0.3919
0.3867
79
-0,125
0.0497
0.3973
0.3957
80
-0.000
0.0498
0.3985
0.3989
81
0,125
0.0492
0.3956
0.3957
82
0,250
0.0478
0.3828
0.3867
83
0,375
0.0458
0.3666
... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.