Оператор, унитар оператор

Мазмұны

I. Кіріспе

II. Негізгі бөлім
1. Унитар кеңістік
2. Оператор, унитар оператор
3. Сызықты түйіндес оператор
4.Өзіне.өзі түйіндес оператор
5. Полярлы жіктелу

III. Қорытынды

Осыған дейінгі қарастырылған абстрактылы сызықтық кеңестіктер бағытталған кесінділер кеңестікке қарағанда түсініктері мен қасиеттері аз. Аз себебі оларда ұзындық , бұрыш , аудан , көлем және тағы басқа өлшеу қарастырылмаған. Метриканың қасиеттерін абстрактілі кеңестіктерге түрлі жолмен қолдануңа болады. Алайда өлшемді енгізуде аксиоматикалық түрде скаляр көбейтуді енгізуге болады. Біз сандық сызықтың кеңестіктерінен бастаймыз.

Біз негізгі математикалық түсініктерді тек сызықтың сандық кеңестік үшін қарастырсақ. Дәл осындай нәтежиелер сызықты комплексты кеңістіктерде де орындалады.
Сызықты комплексты кеңестік U унитарлы деп аталады егер кез келген х,у, векторлар жұбы үшін U кеңестігінен (х,у) комплекс сан болатын скаляр көбейтінді болса және
1) (х,у) = ( )
2) (
3) (x + y, z)=(x,z)+(y,z)
4) (x,x)>0 егер x (0,0)=0
шарттары орындалса .
Келесі кезекте оператрға тоқталып өтсек
Математикалық анализдің негізін қалағанда функцианы енгізу үлкен зор роль атқарған. Функцияның берілуіндегі заңдарға байланысты екі сандық жиын X, Y көрсетіп, әрбір x қа сәйкесінше y бір сан табылатын ереже қорыту керек . Бұл ереже бірмәнді Х жиынында берілген х айнымалысының функциясы деп аталады.
Ал функционалды тәуелділікті қарастырғанда Х,У – ң міндетті түрде сандық болуын талап ету шарт емес. Х,У – ті түрлі элементтер жиыны деп алып , функция түсінігін жалпыландыратын келесі анықтамаға келеміз.
Х бос емес кеңестіктің х элементіне У бос емес кеңестіктің бір у элементін сәйкестендіру оператор деп аталады және оны былай белгілейді.
y = A(x) y = Aх
Оны А операторы Х – та У – қа бейнелейді дейді.
Х жиыны А операторының анықталу обылысы деп аталады . (1) – дегі у х элементінің бейнесі , ал х – ң өзі у элементінің батапқы бейнесі болады. Т барлық бейнелердің шоғыры А оператор мәндер обылысы деп аталады. Егер әрбір, у элементі тек қана өзіне сәйкес х алдың бейнеге ие болса онда ерже өзара бірмәнді деп аталады. Операторды кейде бейнелеу түрлендіру немесе операция деп те аталады.
Келешекте біз тек сызықтың оператор шартын қарастырамыз. Олардың ерекшеліктері біріншіден олардың анықталу облысы әрқашанда қандайда бір сызықтық кеңестіктің немесе ішкі кеңестік болады. Екіншіден сызықтық оператордың операциалары сызықтық кеңестіктегі векторларға көлденең операциаларымен тығыз байланысты . Сызықтық операторларды қарастырғанда біз кеңестікті сандық немесе көлемді жазықтық үстінде алынған дейміз. Келешекте оператор дегенде сызықтық оператоды түсінеміз. Жалпы операторлар теориясында сызықтық операторлар түзу мен жазықтықтың математикалық анализде рөлі қандай болса сондай роль ойнайды. жазықтығында алынған Х,У сызықты кеңестіктер берілсін. А операторын қарастырамыз: анықталу обылысы х , мәндер облысы У. А оператор сызықтық деп аталады егер
А( (2)
кез келген u , және
үшін (2) теңсіздік орындалса.
Мысал 1. С екі рет үздіксіз диффернциалданатын функциалар кеңестігінде L операторын таңдаймыз: