Оператор, унитар оператор


Мазмұны

I. Кіріспе

II. Негізгі бөлім
1. Унитар кеңістік
2. Оператор, унитар оператор
3. Сызықты түйіндес оператор
4.Өзіне.өзі түйіндес оператор
5. Полярлы жіктелу

III. Қорытынды
Осыған дейінгі қарастырылған абстрактылы сызықтық кеңестіктер бағытталған кесінділер кеңестікке қарағанда түсініктері мен қасиеттері аз. Аз себебі оларда ұзындық , бұрыш , аудан , көлем және тағы басқа өлшеу қарастырылмаған. Метриканың қасиеттерін абстрактілі кеңестіктерге түрлі жолмен қолдануңа болады. Алайда өлшемді енгізуде аксиоматикалық түрде скаляр көбейтуді енгізуге болады. Біз сандық сызықтың кеңестіктерінен бастаймыз.

Біз негізгі математикалық түсініктерді тек сызықтың сандық кеңестік үшін қарастырсақ. Дәл осындай нәтежиелер сызықты комплексты кеңістіктерде де орындалады.
Сызықты комплексты кеңестік U унитарлы деп аталады егер кез келген х,у, векторлар жұбы үшін U кеңестігінен (х,у) комплекс сан болатын скаляр көбейтінді болса және
1) (х,у) = ( )
2) (
3) (x + y, z)=(x,z)+(y,z)
4) (x,x)>0 егер x (0,0)=0
шарттары орындалса .
Келесі кезекте оператрға тоқталып өтсек
Математикалық анализдің негізін қалағанда функцианы енгізу үлкен зор роль атқарған. Функцияның берілуіндегі заңдарға байланысты екі сандық жиын X, Y көрсетіп, әрбір x қа сәйкесінше y бір сан табылатын ереже қорыту керек . Бұл ереже бірмәнді Х жиынында берілген х айнымалысының функциясы деп аталады.
Ал функционалды тәуелділікті қарастырғанда Х,У – ң міндетті түрде сандық болуын талап ету шарт емес. Х,У – ті түрлі элементтер жиыны деп алып , функция түсінігін жалпыландыратын келесі анықтамаға келеміз.
Х бос емес кеңестіктің х элементіне У бос емес кеңестіктің бір у элементін сәйкестендіру оператор деп аталады және оны былай белгілейді.
y = A(x) y = Aх
Оны А операторы Х – та У – қа бейнелейді дейді.
Х жиыны А операторының анықталу обылысы деп аталады . (1) – дегі у х элементінің бейнесі , ал х – ң өзі у элементінің батапқы бейнесі болады. Т барлық бейнелердің шоғыры А оператор мәндер обылысы деп аталады. Егер әрбір, у элементі тек қана өзіне сәйкес х алдың бейнеге ие болса онда ерже өзара бірмәнді деп аталады. Операторды кейде бейнелеу түрлендіру немесе операция деп те аталады.
Келешекте біз тек сызықтың оператор шартын қарастырамыз. Олардың ерекшеліктері біріншіден олардың анықталу облысы әрқашанда қандайда бір сызықтық кеңестіктің немесе ішкі кеңестік болады. Екіншіден сызықтық оператордың операциалары сызықтық кеңестіктегі векторларға көлденең операциаларымен тығыз байланысты . Сызықтық операторларды қарастырғанда біз кеңестікті сандық немесе көлемді жазықтық үстінде алынған дейміз. Келешекте оператор дегенде сызықтық оператоды түсінеміз. Жалпы операторлар теориясында сызықтық операторлар түзу мен жазықтықтың математикалық анализде рөлі қандай болса сондай роль ойнайды. жазықтығында алынған Х,У сызықты кеңестіктер берілсін. А операторын қарастырамыз: анықталу обылысы х , мәндер облысы У. А оператор сызықтық деп аталады егер
А( (2)
кез келген u , және
үшін (2) теңсіздік орындалса.
Мысал 1. С екі рет үздіксіз диффернциалданатын функциалар кеңестігінде L операторын таңдаймыз:

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Көлемі: 12 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 400 теңге




Мазмұны

I. Кіріспе

II. Негізгі бөлім
1. Унитар кеңістік
2. Оператор, унитар оператор
3. Сызықты түйіндес оператор
4.Өзіне-өзі түйіндес оператор
5. Полярлы жіктелу
III. Қорытынды

Осыған дейінгі қарастырылған абстрактылы сызықтық кеңестіктер
бағытталған кесінділер кеңестікке қарағанда түсініктері мен
қасиеттері аз. Аз себебі оларда ұзындық , бұрыш , аудан , көлем және
тағы басқа өлшеу қарастырылмаған. Метриканың қасиеттерін абстрактілі
кеңестіктерге түрлі жолмен қолдануңа болады. Алайда өлшемді енгізуде
аксиоматикалық түрде скаляр көбейтуді енгізуге болады. Біз сандық
сызықтың кеңестіктерінен бастаймыз.

Біз негізгі математикалық түсініктерді тек сызықтың сандық
кеңестік үшін қарастырсақ. Дәл осындай нәтежиелер сызықты комплексты
кеңістіктерде де орындалады.
Сызықты комплексты кеңестік U унитарлы деп аталады егер кез
келген х,у, векторлар жұбы үшін U кеңестігінен (х,у) комплекс сан
болатын скаляр көбейтінді болса және
1) (х,у) = ()
2) (
3) (x + y, z)=(x,z)+(y,z)
4) (x,x)0 егер x (0,0)=0
шарттары орындалса .
Келесі кезекте оператрға тоқталып өтсек
Математикалық анализдің негізін қалағанда функцианы енгізу үлкен
зор роль атқарған. Функцияның берілуіндегі заңдарға байланысты екі
сандық жиын X, Y көрсетіп, әрбір x қа сәйкесінше y бір сан
табылатын ереже қорыту керек . Бұл ереже бірмәнді Х жиынында
берілген х айнымалысының функциясы деп аталады.
Ал функционалды тәуелділікті қарастырғанда Х,У – ң міндетті
түрде сандық болуын талап ету шарт емес. Х,У – ті түрлі элементтер
жиыны деп алып , функция түсінігін жалпыландыратын келесі анықтамаға
келеміз.
Х бос емес кеңестіктің х элементіне У бос емес кеңестіктің бір
у элементін сәйкестендіру оператор деп аталады және оны былай
белгілейді.
y = A(x) y = Aх
Оны А операторы Х – та У – қа бейнелейді дейді.
Х жиыны А операторының анықталу обылысы деп аталады . (1) –
дегі у х элементінің бейнесі , ал х – ң өзі у элементінің
батапқы бейнесі болады. Т барлық бейнелердің шоғыры А
оператор мәндер обылысы деп аталады. Егер әрбір, у элементі
тек қана өзіне сәйкес х алдың бейнеге ие болса онда ерже өзара
бірмәнді деп аталады. Операторды кейде бейнелеу түрлендіру
немесе операция деп те аталады.
Келешекте біз тек сызықтың оператор шартын қарастырамыз.
Олардың ерекшеліктері біріншіден олардың анықталу облысы әрқашанда
қандайда бір сызықтық кеңестіктің немесе ішкі кеңестік болады.
Екіншіден сызықтық оператордың операциалары сызықтық кеңестіктегі
векторларға көлденең операциаларымен тығыз байланысты . Сызықтық
операторларды қарастырғанда біз кеңестікті сандық немесе көлемді
жазықтық үстінде алынған дейміз. Келешекте оператор дегенде
сызықтық оператоды түсінеміз. Жалпы операторлар теориясында
сызықтық операторлар түзу мен жазықтықтың математикалық анализде
рөлі қандай болса сондай роль ойнайды. жазықтығында алынған
Х,У сызықты кеңестіктер берілсін. А операторын қарастырамыз: анықталу
обылысы х , мәндер облысы У. А оператор сызықтық деп аталады егер

А( (2)
кез келген u , және
үшін (2) теңсіздік орындалса.
Мысал 1. С екі рет үздіксіз диффернциалданатын
функциалар кеңестігінде L операторын таңдаймыз:
L:c оның анықталу облысы.
D (L) = {u(x) u(1)=b} a,b – const
Ол мынадай формуламен беріледі.
Lu(x) = - u(x) +q(x) u(x) , q(x) = c (1)
Берілген оператордың барлық u(x) функциясында мәні дар
екенін көру қиын емес. Алайда оның мәндер облысы R(L) C
кеңестігімен толық сәйкес емес, себебі ол өзінде міндетті түрде
дифференциалдауды керек етпейтін үзіліссіз функциаларды қамтиды.
Мысал 2. Үздіксіз функциалар кеңестігінде Au(x)=(x)
формуласымен берілген А:С[0,1] операторды қарастырамыз. Мұнда
операция - комплексті түйіндес.
А оператордың анықталу облысы барлық кеңестіктерде болады. Яғыни
D (A) = C[0,1] және осыдан ол сызықтың көп бейне болады.
Сызықтықтың екінші шартын тексереміз.
Айталық u онда
А(u
және А оператор сызықтыққа “ұқсас”. Дәлірек айтсақ А операторы
аддедивті. Алайда кез – келген үшін келесіні аламыз.
А(
Сондықтан
А(
шарты
болғанда ғана орындалады. Бұл сызықты оператор болу үшін
жеткіліксіз. Сондықтан А оператор сызықтық емес себебі Аu(x) = u(x)
фонрмуламен берілген, яғни біртекті емес.

Унитар оператор.
Дұрыс оператор U унитарлы деп аталады егер Uтүйіндес оператор
кері оператор U тең болса яғни
U U= UU = E
Теорема: U дұрыс оператор унитар болады тек қана сонда, егер
оның меншікті мәндер модуль бойынша 1 – ге тең болса.
Дәлелдеу. Егер айталық U – унитар оператор .Оның кез – келген
меншікті мәні және оған сәйкес келетін нормаланған меншікті
вектор х – ті аламыз. Сонда
1 = (x,y) = (x,u
Енді U дұрыс оператордың барлық меншікті мәндер модульі
бойынша 1 – ге тең делік. х арқылы U оператоының
ортонормаланған векторларын белгілейміз, ал арқылы оның меншікті
мәндерін Бұл шарты бойынша барлық i үшін алынады. Еске
сала кететін жайт U түйіндес оператордың х векторлары
меншікті болып қала береді, бірақ меншікті мәндерге сай
келеді. Кез – келген х векторды аламыз және оны U операторының
меншікті операторы бойынша жіктейміз.
X =
Енді
есептейміз.
Кез – келген вектор болғандықтан U екені шығады.
Теорема: U оператор унитар болады тек сонда ғана , егер кез – келген
екі вектор үшін скаляр көбейтінді олардың бейнелерінің скаляр
көбейтіндісіне тең болады.
Дәлелі . Айталық U – унитарлы оператор, онда кез – келген екі вектор
х,у үшін
(х,у) = (x,u (1)
Енді қандайда бір U операторы үшін кез – келген х,у
векторларда (1) теңдік орындалады делік. Онда бұдан шығатыны:
(х(U
Себебі х, у - кез – клген вектор болғандықтан, онда бұл
U U
теңдік орындалмайды. Сондықтан U кері оператор бар болады.
U теңдікті сол жағын U операторға, ал оң жағын U операторға
көбейтіп басқа теңдік аламыз.

яғыни U оператор унитарлы болады тек қана сонда , егер
немесе U
Сандар. Кез – келген унитарлы оператор кез – клген
ортонормаланған векторлар жүйесіне өткізеді.
Сандар. Егер сызықтық оператор U қандай да бір ортонормаланған
базисті қайта ортонормаланған базиске өткізсе, онда U – унитарлы
оператор.
Шынында да, егер х ортонормаланған базис болса, онда
U және у - да ортонормаланған базис . Кез – келген екі х,у
векторды аламыз. Егер
Х = Y =
Онда;
(х,у) =
U – сызықтық оператор болғандықтан
Ux = Uy = орынды болады.
Сондықтан
(Ux, Uy) =
Нәтежиеде (1) теңдік кез – келген х,у екі вектор үшін орынды
болатыны шықты.
Айта, кететін жайт, біз унитар операторды изометриалы
оператор ретінде табуға болатын еді, яғни барлық векторлардың
ұзындығын сақтаушы оператор. Бұл (2) теоремадан және оңай
тексерілетін теңдіктен шығады.
(х,у) =
Түйіндес оператор .
Кеңестіктегі сызықтық операторларды қарастырамыз.Әрине бұған дейін
комплекс кеңестікте операторға қатысты барлық нәтежиелер есепке
алынады. Сондықтан біз оператордың қосымша қасиеттерін ғана
қарастырамыз.ғана қарастырамыз. Ол ортаганалдыққа қатысты. Дербес
жағыдайда кейбір сондай операторлар қарастырылады, оалр бір унитар
кеңестіктен басқа бір унитар кеңестікке әсер етеді.Біздің бұл
бөліндіге негізгі рольді түйіндес оператор ойнайды.
Айталық екі унитар Х ,У кеңестіктер берілсін . Оператор А*, У –
тен Х – ке әсер ететін, егер кез – келген екі х векторлар
үшін.
(Ах,у) = (x,A*y) (1)
Теорема: кез – келген А оператор үшін А* түйіндес оператор бар
және жалғыз болады.
Дәлелі: Х кеңестігінде қандайда бір ортонормаланған е
базис таңдаймыз. Кез ... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Диференциалдық оператор
Паскаль программалау тіліндегі шартты оператор
Жай дифференциалдық теңдеулер және операторлар
Сызықты кеңістіктер
Интегралдық кластарды кластарға бөлу
Кеңістіктер мен операторлар
Паскаль тілінің алғашқы түсініктері
Паскаль программалау тілі. Мәлiметтердi енгiзу және шығару операторлары
n-өлшемді векторлық кеңістк
Паскаль программалау тілінің негізі операторлары
Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор №1 болып табылады.

Байланыс

Qazaqstan
Phone: 777 614 50 20
WhatsApp: 777 614 50 20
Email: info@stud.kz
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь