Оператор, унитар оператор

Мазмұны

I. Кіріспе

II. Негізгі бөлім
1. Унитар кеңістік
2. Оператор, унитар оператор
3. Сызықты түйіндес оператор
4.Өзіне.өзі түйіндес оператор
5. Полярлы жіктелу

III. Қорытынды
Осыған дейінгі қарастырылған абстрактылы сызықтық кеңестіктер бағытталған кесінділер кеңестікке қарағанда түсініктері мен қасиеттері аз. Аз себебі оларда ұзындық , бұрыш , аудан , көлем және тағы басқа өлшеу қарастырылмаған. Метриканың қасиеттерін абстрактілі кеңестіктерге түрлі жолмен қолдануңа болады. Алайда өлшемді енгізуде аксиоматикалық түрде скаляр көбейтуді енгізуге болады. Біз сандық сызықтың кеңестіктерінен бастаймыз.

Біз негізгі математикалық түсініктерді тек сызықтың сандық кеңестік үшін қарастырсақ. Дәл осындай нәтежиелер сызықты комплексты кеңістіктерде де орындалады.
Сызықты комплексты кеңестік U унитарлы деп аталады егер кез келген х,у, векторлар жұбы үшін U кеңестігінен (х,у) комплекс сан болатын скаляр көбейтінді болса және
1) (х,у) = ( )
2) (
3) (x + y, z)=(x,z)+(y,z)
4) (x,x)>0 егер x (0,0)=0
шарттары орындалса .
Келесі кезекте оператрға тоқталып өтсек
Математикалық анализдің негізін қалағанда функцианы енгізу үлкен зор роль атқарған. Функцияның берілуіндегі заңдарға байланысты екі сандық жиын X, Y көрсетіп, әрбір x қа сәйкесінше y бір сан табылатын ереже қорыту керек . Бұл ереже бірмәнді Х жиынында берілген х айнымалысының функциясы деп аталады.
Ал функционалды тәуелділікті қарастырғанда Х,У – ң міндетті түрде сандық болуын талап ету шарт емес. Х,У – ті түрлі элементтер жиыны деп алып , функция түсінігін жалпыландыратын келесі анықтамаға келеміз.
Х бос емес кеңестіктің х элементіне У бос емес кеңестіктің бір у элементін сәйкестендіру оператор деп аталады және оны былай белгілейді.
y = A(x) y = Aх
Оны А операторы Х – та У – қа бейнелейді дейді.
Х жиыны А операторының анықталу обылысы деп аталады . (1) – дегі у х элементінің бейнесі , ал х – ң өзі у элементінің батапқы бейнесі болады. Т барлық бейнелердің шоғыры А оператор мәндер обылысы деп аталады. Егер әрбір, у элементі тек қана өзіне сәйкес х алдың бейнеге ие болса онда ерже өзара бірмәнді деп аталады. Операторды кейде бейнелеу түрлендіру немесе операция деп те аталады.
Келешекте біз тек сызықтың оператор шартын қарастырамыз. Олардың ерекшеліктері біріншіден олардың анықталу облысы әрқашанда қандайда бір сызықтық кеңестіктің немесе ішкі кеңестік болады. Екіншіден сызықтық оператордың операциалары сызықтық кеңестіктегі векторларға көлденең операциаларымен тығыз байланысты . Сызықтық операторларды қарастырғанда біз кеңестікті сандық немесе көлемді жазықтық үстінде алынған дейміз. Келешекте оператор дегенде сызықтық оператоды түсінеміз. Жалпы операторлар теориясында сызықтық операторлар түзу мен жазықтықтың математикалық анализде рөлі қандай болса сондай роль ойнайды. жазықтығында алынған Х,У сызықты кеңестіктер берілсін. А операторын қарастырамыз: анықталу обылысы х , мәндер облысы У. А оператор сызықтық деп аталады егер
А( (2)
кез келген u , және
үшін (2) теңсіздік орындалса.
Мысал 1. С екі рет үздіксіз диффернциалданатын функциалар кеңестігінде L операторын таңдаймыз:
        
        Мазмұны
I. ... ... ... ... кеңістік
2. Оператор, унитар оператор
3. Сызықты түйіндес оператор
4.Өзіне-өзі түйіндес оператор
5. Полярлы жіктелу
III. Қорытынды
Осыған ... ... ... сызықтық кеңестіктер
бағытталған кесінділер ... ... ... ... аз. Аз ... ... ... , бұрыш , аудан , көлем және
тағы ... ... ... ... қасиеттерін абстрактілі
кеңестіктерге түрлі жолмен қолдануңа болады. Алайда өлшемді ... ... ... ... ... болады. Біз сандық
сызықтың кеңестіктерінен бастаймыз.
Біз ... ... ... тек ... сандық
кеңестік үшін қарастырсақ. Дәл осындай нәтежиелер сызықты комплексты
кеңістіктерде де ... ... ... U ... деп аталады егер кез
келген х,у, векторлар жұбы үшін U ... (х,у) ... ... ... көбейтінді болса және
1) (х,у) = ()
2) (
3) (x + y, ... (x,x)>0 егер x ... ... ... кезекте оператрға тоқталып өтсек
Математикалық ... ... ... ... ... ... роль ... Функцияның берілуіндегі заңдарға байланысты екі
сандық жиын X, Y көрсетіп, әрбір x қа ... y бір ... ... ... керек . Бұл ... ... Х ... х ... функциясы деп аталады.
Ал функционалды тәуелділікті қарастырғанда Х,У – ң ... ... ... ... ету шарт ... Х,У – ті ... ... деп алып , функция түсінігін жалпыландыратын келесі анықтамаға
келеміз.
Х бос емес ... х ... У бос емес ... ... ... ... ... деп аталады және оны ... = A(x) y = ... А ... Х – та У – қа ... ... ... А операторының анықталу обылысы деп аталады . (1) ... у х ... ... , ал х – ң өзі у ... ... ... Т барлық бейнелердің шоғыры А
оператор ... ... деп ... Егер ... у элементі
тек қана өзіне сәйкес х алдың ... ие ... онда ерже ... деп аталады. Операторды ... ... ... ... деп те ... біз тек ... ... шартын қарастырамыз.
Олардың ерекшеліктері ... ... ... ... әрқашанда
қандайда бір сызықтық ... ... ішкі ... ... ... оператордың операциалары сызықтық кеңестіктегі
векторларға ... ... ... ... . ... ... біз ... сандық немесе көлемді
жазықтық үстінде алынған ... ... ... ... ... ... ... операторлар теориясында
сызықтық ... түзу мен ... ... ... ... ... ... роль ойнайды. жазықтығында алынған
Х,У сызықты ... ... А ... ... ... х , мәндер облысы У. А оператор сызықтық деп ... ... ... ... u , және ... (2) ... орындалса.
Мысал 1. С екі рет ... ... ... L операторын таңдаймыз:
L:c оның анықталу ... (L) = {u(x) u(1)=b} a,b – ... ... формуламен беріледі.
Lu(x) = - u(x) +q(x) u(x) , q(x) = c ... ... ... u(x) ... мәні ... көру қиын ... ... оның мәндер ... R(L) ... ... ... емес, себебі ол ... ... ... ... етпейтін үзіліссіз функциаларды қамтиды.
Мысал 2. Үздіксіз функциалар ... ... ... ... ... қарастырамыз. Мұнда
операция - комплексті түйіндес.
А оператордың анықталу облысы ... ... ... ... (A) = C[0,1] және ... ол ... көп бейне болады.
Сызықтықтың екінші шартын тексереміз.
Айталық u ... А ... ... ... ... ... А операторы
аддедивті. Алайда кез – келген үшін келесіні ... ғана ... Бұл ... ... болу ... ... А оператор сызықтық емес себебі Аu(x) = u(x)
фонрмуламен берілген, яғни біртекті ... ... ... U ... деп ... егер ... ... оператор U тең болса яғни
U U= UU = ... U ... ... унитар болады тек қана сонда, егер
оның ... ... ... ... 1 – ге тең ... Егер ... U – унитар оператор .Оның кез – ... мәні және оған ... ... нормаланған меншікті
вектор х – ті аламыз. ... = (x,y) = ... U ... ... ... меншікті мәндер модульі
бойынша 1 – ге тең ... х ... U ... ... ... ал арқылы оның ... Бұл ... ... ... i үшін ... ... ... жайт U түйіндес оператордың х векторлары
меншікті болып қала ... ... ... мәндерге сай
келеді. Кез – келген х ... ... және оны U ... ... ... ... = ...
есептейміз.
Кез – келген вектор болғандықтан U екені шығады.
Теорема: U оператор ... ... тек ... ғана , егер кез – ... ... үшін ... ... олардың бейнелерінің ... тең ... . ... U – ... ... онда кез – ... екі ... үшін
(х,у) = (x,u (1)
Енді қандайда бір U ... үшін кез – ... ... (1) ... орындалады делік. Онда бұдан ... х, у - кез – ... ... ... онда ... ... ... ... U кері ... бар болады.
U теңдікті сол ... U ... ал оң ... U операторға
көбейтіп басқа теңдік аламыз.
яғыни U оператор унитарлы ... тек қана ... , егер ... U
Сандар. Кез – келген унитарлы оператор кез – ... ... ... ... Егер ... оператор U қандай да бір ортонормаланған
базисті ... ... ... ... онда U – ... да, егер х ... ... болса, онда
U және у - да ортонормаланған базис . Кез – ... екі ... ... ... = Y = ... =
U – ... ... ... = Uy = ... ... Uy) = ... (1) теңдік кез – келген х,у екі вектор үшін ... ... ... ... біз ... ... ... ретінде табуға болатын еді, яғни ... ... ... ... Бұл (2) ... және оңай
тексерілетін теңдіктен ... = ... ... ... ... ... ... бұған дейін
комплекс ... ... ... ... ... ... ... біз оператордың қосымша қасиеттерін ... ... Ол ... ... ... ... сондай операторлар қарастырылады, оалр бір ... ... бір ... ... әсер ... бұл
бөліндіге негізгі рольді ... ... ... екі ... Х ,У ... берілсін . Оператор А*, У –
тен Х – ке әсер ... егер кез – ... екі х ... = (x,A*y) ... кез – келген А оператор үшін А* ... ... ... ... ... Х ... қандайда бір ортонормаланған е
базис ... Кез – ... х ... үшін мына ... = ... А* ... бар болса онда (2) ... ... кез ... ... = ... немесе (1) – ді ескере отырып,
А*у = ... бұл, егер А* ... бар ... онда ол тек ... ... ... (3) ... А* ... ... деп қабылдаймыз.
Жоғарғы әдіспен ... А* ... ... ... ... қиын ... Ол (1) – ші ... де қанағаттандырады.
Шынында да е l жүйесінің ортонормалдылығын және (2) ... ... ... , кез – келген х векторлар үшін
(Ах,у) = (A
(x,A*y)=
Теорема ... ... ... А ... ... ... ... Солардың кейбірін тізейік:
(А*)* = A
(A+B)*=A*+B*
(
(4)
(AB)*=B*+A*
(A*)
Мұндағы төбесіндегі сызықтар комплексті ... ... бір ... ... ... біз тек ... ... Енді кез – келген А операторлар мен ... А* ... ... А* ... ... өз ... оператор , (А*)* болады. Ендеше кез – келген х ... = ... = ... сол жағы кез – келген у ... оң ... ... Демек (А*)*х = Ax. Бірақ берілген ... кез – ... х – ... ... ... болады.
Айталық А оператор х ... ... ... Ең ... А* ... да ... екенін
көрсетеміз. А*у= y делік (3) ... ... ... ... ... болады, сондықтан
(у,Ае ... ... ... ... ол кез – келгегн ... ... ... Онда Ае ... жүйесі базис болады және
(5) формуладан у = 0 ... ... ... А* оператор ядросы тек
нольдік векторды қамтиды. Яғни бұл ... ...... х, у векторлар аламыз. u, v тек қана ... ... олар ... = x , A*v = ... нәтежиеде
(х,(А
Табамыз. Кез – келген х – те сол жағы оң ... тең ... ... кез –келген вектор ... А ... х ... ... у ... кеңестікке әсер
етсе, онда х – та А*А оператор бар және У – та АА* ... ... бұл ... үлкен роь ... ... ... ... зерттейміз. А*А және АА* ... Бұл ... ... ... ... ... ... кез –
келген х үшін
(А*Ах,х) = (Ax, Ax)
(AA*y,y) = (A*y,A*y)
Сондықтан х ... ... емес G ... ал ... ... емес Ғ ... бар ... және олар
А*А = G AA* = F
G және Ғ ... ... ... ... А ... қандай болмасын А*А оператор ... ... ... ие. Бұл жүйе А ... ... ... бір ... өтеді.
Шынында да егер
А*Ах р ... к = ... ... к ... ... бөлек, барлық к ... Ах ... үшін 0 ... ... тек қана сонда , егер
А*А оператордың меншікті мәндері 0 –ге тең ... ... емес ... АА* ... ... векторы
болады. және меншікті мәндерге ... ... ... да
АхАх р теңдігіне сай
АА*(Ах
Сонымен А*А ... ... 0 ... емес меншікті мәндері АА*
операторының ... ... ... кері ... да ... ... Сондықтан А*А және ... ... емес ... ... ... ... ... және АА* оператордың меншікті мәндерін біз ... ... ... ... меншікті мәндері 0 – ге тең. А*А және АА* ... ... ... және АА* ... ... ... ... ішіндегі
квадрат ... ... ... А ... сингуляр
сандары деп айтады.
Оператор А*А және АА* ... ... ... отырып Х
және У ... ... ... құруға болады. Олардың
көмегімен А және А* ... ... ... ... Х ... базис ретінде А*А ... ... ... ... ... ...
векторлары Т* - да ... ... Ал ... N – да ... У – ... ... базисті келесідей
құрамыз. векторы ретінде
А нормалаған соң ... ... ... Әрине векторы
АА* операторы .шін меншікті байланысты ... ... және ол У – ... ... ... ... отырып табамыз:
Ах ... ... А* ... ... және (1) – ді ... ... аламыз.
А*у ... ... А,А* ... (2) (3) ... ... ортонормаланған базистер сингулярлы базистер
Егер х,у ... ... ... онда сингуляр базисте А
оператордың ... ... ... оны А ... ... ... ге ... ол мына түрде болады.
А ... х,у ... ... ... онда ... ... сингулярлы базисті қолданбаймыз. ... (2) және (3) ... ... ... жағыдайлардың бірі, Олар арқылы кез – келген
сызықты операторды таңдауға ... ... ... А ... ... х – те ... Оны
әрқашан мына түрде таңдауға ... ... = НН ... жөнінде Н және Н ... ... да, ... ... бар ... ... = НН ... ... = Н= ... ... (1) ... ... ... Н- Н Н = болғандықтан
А оператордың дұрыстығын Н Н ... ... ... ортонормаланған меншікті ... ... ... оператордың (2) формулаға сәйкес АА* оператордың ... ... ... ... ... бар ... ... болсын, бар к үшін (6)
Енді х ... Ғ және U ... ... ... ... теңдеулер арқылы таңдаймыз.
Ux Fy ... ... ... ... ... = ... Ғ теріс емес ... ... ... ол ... ... ... ... және теріс емес
меншікті мәндерге ие. U ... ... ... ол
ортонормаланған жүйеге өткізеді. Ескере кететін жайт (8) – ден
АА* = F ... Ғ АА* ... ... ... түбірі.
Жалпы (7) жіктелуді А ... ... ... деп ... жіктелуде арифметикалық түбірдің жалғыздығынан Ғ ... дара ... U ... ... болады. Сонда ғана егер А
оператор азғындалмаған болса, бұл жағыдайда
U = F ... А ... ... мен ... ... ауыстырымдылығы тікелей байланыс бар. Шынында да айталық UF =
FU ... кез – ... А ... үшін , ... = U*F* FU = ... ... (9) бен ... А оператордың дұрыстығын дәлелдейді.
Айталық А оператор дұрыс ... А*А =AA* (8) – ге сай А = ... ... ... А*= U*F ... ... ... келеді . немесе F
(7) өрнектің екіншісін ескере отырып
F теңдеуін ... ... k = ... m үшін ...
векторлар Ғ оператор .шін меншікті болады. Жоғарыда ... және Ғ ... ... ... векторларға ие сондықтан
(FU)y
Болады, барлық k = ... m үшін . ... ... (7) ... (2) ... ... соңғы теңдіктер FU және UF ... ... ... ... ... ... ... UF = FU.
Қолданылған әдебиеттер
1. В.В. ... ... ... М. ... 1980 ... М.А. ... ... теорий линейных дифференциальных
операторов ”
Шымент- 2007 ж.
3. А.Г. ... ... ... алгебры” М. “Наука” 1971 ж.
4. В.А. Ильин. ... ...

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Көлемі: 12 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 400 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Delphi операторлары26 бет
PHP тілінде шартты операторлар (if, switch), циклдермен жұмыс (while, for, foreach) және include, require функцияларын қолдану12 бет
SQL тілінде деректерді өңдеудің негізгі операторлары. Деректер базасын құру13 бет
Turbo Pascal - дағы енгізу және шығару операторлары26 бет
Turbo Pascal тілінің операторлары26 бет
Turbo Pascal тілінің операторлары жайлы16 бет
Диференциалдық оператор49 бет
Мемлекетті басқарудың унитарлы нысаны26 бет
Меншіктеу операторы19 бет
Операторлар жайлы10 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь