Кеңістіктегі вектор

Жоспар

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...2
І.Вектор ұғымының теориялық сипатталуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...3
1.1.Вектор ұғымы және оның шығу тарихы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3
1.2.Векторларға амалдар қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..5
1.3.Векторларды жіктеу тәсілдері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12
ІІ.Кеңістіктегі вектордың математикалық әдістемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ..14
2.1.Кеңістіктегі векторлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 14
2.2.Векторлардың скаляр көбейтіндісі оның қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...18
2.3.Векторлардың аралас көбейтіндісі оның қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 22
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .29
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 30

Кіріспе.

Қоғамдағы қазіргі кездегі қайта құрулар,экономианы дамытудағы жаңа стратегиялық бағдарлар,қоғамның ашықтығы оның жедел ақпараттануы мен қарқынды дамуы білім беруге қойылатын талаптарды түбегейлі өзгертті.
Әлемнің жетекші елдерінің көпшілігінің білім беру,білім берудің мақсатын,мазмұны мен технлогияларын оның нәтижесіне қарап бағалайтын болды.
Жас ұрпақты жан-жақты жетілген,ақыл парасаты,өресі биік,өз отанын сүйетін азамат етіп тәрбиелеудегі басты тұлға –ұстаз.Қазіргі таңда жемісті еңбекпен,шығармашылық ізденіс арқылы ғана реалды жаңару жолына шыға аламыз.
Математиканы оқытудағы негізгі міндет-математикалық білік ,білім жүйелерін нақты және сапалы меңгеруді қамтамасыз ету қабілеттерін дамыту мен анықтау.
Тәуелсіз Қазақстанымыздың экономикасы өркендеп,өндіріс орындарының жандануына байланысты математика саласының ғылымдарына,білікті мамандарына сұраныс қазіргі кезде күрт артып отыр.
Оқушыларға мектепте оқытылатын математика салаларын,соның ішінде,техникалық ғылымдардың негізі болып табылатын векторлар ұғымын неғұрлым тереңірек білгізіп,меңгерту керек.

Қолданылған әдебиеттер тізімі

1. Альсейтов А.Г. Математика: Формулалар жинағы (анықтамалық материалдар). – Орал, 2012. – 156 б.
2. Альсейтов А.Г. Математика. 5-бөлім: Планиметрия. – Орал. – Полиграфсервис. 2013. – 212 бет.
3. Альсейтов А.Г. Математика: Қысқаша анықтамалық. – Орал. – Полиграфсервис. 2014. – 96 бет
4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. Москва 1978
5. БеклемишевД.В. Курс аналитической геометрии линейной алгебры. Москва 1987
6. Цуберкиллер О.Н. Задачи и упражнение по аналитической геометрии. Москва 1970
7. А.И. Кострикина Сборник задач по алгебре Москва 1996
8. Б.Л. Ван дер Варден, Алгебра Москва 1976
9. Л.А. Скорняков Элемент общей алгебры. Москва. 1978
10. Бүкібаева К.Векторларды есептерді шығаруда қолдану,журнал ИФМ 27 бет №4 1993 жыл
11. Аяпбергенова С,Аналитикалық геометрия.Алматы 1971
12. Әмірбаев М, Аналитикалық геометрия 1-2 бөлімдері Алматы 1963-1966
13. Глейзер Н.С.Ұлы математика ғылымдары 1995жыл
14. Жәутіков О.А Математикалық анализ 1961 жыл

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 28 бет
Таңдаулыға:

Жоспар

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .2
І.Вектор ұғымының теориялық сипатталуы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ..3
1.1.Вектор ұғымы және оның шығу тарихы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... 3
1.2.Векторларға амалдар қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...5
1.3.Векторларды жіктеу тәсілдері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...12
ІІ.Кеңістіктегі вектордың математикалық әдістемесі ... ... ... ... ... ... . ... ... .14
2.1.Кеңістіктегі векторлар ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...14
2.2.Векторлардың скаляр көбейтіндісі оның қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ..18
2.3.Векторлардың аралас көбейтіндісі оның қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ...22
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .29
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 30

Кіріспе.

Қоғамдағы қазіргі кездегі қайта құрулар,экономианы дамытудағы жаңа стратегиялық бағдарлар,қоғамның ашықтығы оның жедел ақпараттануы мен қарқынды дамуы білім беруге қойылатын талаптарды түбегейлі өзгертті.
Әлемнің жетекші елдерінің көпшілігінің білім беру,білім берудің мақсатын,мазмұны мен технлогияларын оның нәтижесіне қарап бағалайтын болды.
Жас ұрпақты жан-жақты жетілген,ақыл парасаты,өресі биік,өз отанын сүйетін азамат етіп тәрбиелеудегі басты тұлға - ұстаз.Қазіргі таңда жемісті еңбекпен,шығармашылық ізденіс арқылы ғана реалды жаңару жолына шыға аламыз.
Математиканы оқытудағы негізгі міндет-математикалық білік ,білім жүйелерін нақты және сапалы меңгеруді қамтамасыз ету қабілеттерін дамыту мен анықтау.
Тәуелсіз Қазақстанымыздың экономикасы өркендеп,өндіріс орындарының жандануына байланысты математика саласының ғылымдарына,білікті мамандарына сұраныс қазіргі кезде күрт артып отыр.
Оқушыларға мектепте оқытылатын математика салаларын,соның ішінде,техникалық ғылымдардың негізі болып табылатын векторлар ұғымын неғұрлым тереңірек білгізіп,меңгерту керек.

І.Вектор ұғымының теориялық сипатталуы.
1.1.Вектор ұғымы және оның шығу тарихы.

Қазіргі заман математикасының негізгі де ілгерлі ұғымдарының бірі - векторлық кеңістік ұғымы.Бұл ұғым математиканың сызықтық алгебра,сызықтық программалау,функционалдық анализ және физиканың толып жатқан салаларында қолданылады.
Векторлық аппарат қазіргі заман математикасында қолданумен шектелмей,жоғары оқу орындарында оқытылатын техникалық матеатика пәндерінің оқулықтарында лайықты орын алды.Векторлық аппараттың атқаратын рөлінің маңызы соншалық-аталмыш курстар векторлардың өздеріне қажетті тараулардың толығымен қамтиды.
Қазіргі кезде экономикалық есептердің көпшілігі векторлық аппарат көмегімен шешіледі.Компьютерді дефференциялдық геометрия,аналитикалық геометрия,математикалық физика,теориялық физика векторлар негізінде баяндалады.
Векторлар математика мектептерде оқытыла бастағанына ширек ғасырдан астам уақыт болды.Абстрактылығы жоғары векторларды оқушыларға саналы да терең меңгерту үшін,олардың векторларды оқып білуге деген ынтасын арттыру үшін тарихи мағлұматтар бере отырудың маңызды екені сөзсіз.
Техника ғылымдарының қауырт дамуына байланысты он сегізінші ғасырдың өзінде ақ есептеу аппаратын жетілдірудің қажет екендігі байқалды.Бұрыннан қолданылып келген есептеу түрлері ендігі жерде қажеттілікті қанағаттандыра алмайтын болып шықты.Теориялық физиканың жедел де аса күшті қарқынмен дамуына байланысты он тоғызыншы ғасырдың басында математикалық аппаратты жетілдіруге деген талап күшейе түсті.Есептеудің талапқа сай жаңа түрін іздестіру қажет болды.Нәтижесінде он тоғызыншы ғасырдың екінші жартысында векторлық есептеулер дүниеге келді де,үлкен қарқынмен тез дамыды және математиканың құрамдас бір бөлігі болып қалыптасты
Векторлық есептеулерді жасауға көптеген елдердің толып жатқан ғылым математиктері мен физика-механиктері,инженер-техникте рі қыруар үлес қосты.Векторлық есептеулердің жасы жас болғанымен бастау көзі сонау ерте заманда өмір сүрген данышпан Аристотельдің Механикалық проблемалар атт еңбегінде табылды.Аристотельдің қозғалыстарды қосуға параллелограмм ережесін қолданғандығы,векторлардың геометриялық қосындысын табудың қазіргі біз қолданып жүрген түріне өте жақын келгендігі анық байқалды.ХҮІ - ғасырда Аристотельдің қозғалыстар параллелогамы қайтадан жанданды.Галилео Галелей күш және оның денені қозғайтын құраушының арасындағы метрикалық байланысты зерттеді.Оның еңбектеріне қарап ,
Галелейдің тең әсерлі күш , қорытқы жылдамдық, ұғымдарына өте жақын ,
қапталдас келгенің көруге болады.Ағылшын математигі,әрі физигі атақты Исаак Ньютон қозғалыстарды қосуға алғаш рет параллелограмм ережесін пайдаланды.Неміс математигі Готфрид Вильгельм Лейбниц геометриялық есептеулер идеясын берді,оны әрі қарай дамытпады.
Механикадағы векторлық алгебраның негізін қалаушы Джон Валлис механикаға геометриялық аппарат жасап беруг жаңа әрі аса ірі қадам жасады.Ол екі ,үш күштің тең әсерлі және қорытқы күшін табуға қорытқы жылдамдықты табуға қлданылатын параллелграмм ережесін ғылымға алғаш енгізген Джон Валлис болды.Ол механикада вектрлық алгебраның негізін қалаған оқымысты болды.
Векторлық есептеулердің негізін салушылар Ирландия математигі әрі астрномы Уильям Тамильтн және неміс математигі және неміс математигі Герман Грассман деп айтылып жүр.
Д.Валлис,Л.Карно,Сен-Венан,Резаль бұлар векторлық алгебра мен векторлық анализдің ұғымдарын ғылымға еңгізді,механикаға қажетті геометриялық аппарат жасау жолында жемісті еңбек етті.
Вектолық есептеулерді жасауға үлес қосқандардың ең көрнекті дегендеріне қысқаша тоқталдық.Ғылымның бұл саласын дамытуға,практикада қолдануға бұладан басқа да үлес қосқандар аз болған жоқ.Солардың қатарында:К.Бессель,К.Гаусс,Г.Белло витис,К.Максвель,Д.Гиббс,Л.Лоуренс, А.Мебиус,Арган,Хивисоид т.б атауға болады.
Векторлық есептеуді және олардың тамаша қолдануларын дамытуға И.И.Сомовтан басқа да орыс және Кеңес ғылымдарының қосқан үлкен үлес болды.Осы тұрғыда атақты математик - Санк-Петербург академиясының академигі М.В.Остроградскийді және П.А.Котельников,А.Л.Фридман,Н.Е.Коч ин,Я.И.Френкель.П.А.Широков,Д.И.Зей лиегер сияқтыларды атаған жөн.

1.2.Векторларға амалдар қолдану

Вектор деп бағытталған кесіндіні атаймыз. Яғни AB вектордың A басы мен B ұшы бар болады:

Мысалы.

Вектордың басы мен ұшының арақашықтығы оның (вектордың) ұзындығы немесе абсолюттік шамасы деп аталады.
Мысалы жоғарыдағы CD векторының CD ұзындығы:
CD=
CD=
CD=
CD=
CD=5
Егер вектордың басы мен ұшы бір нүктеде орналасса онда бұндай векторды нөлдік вектор деп атайды. Өйткені бұндай вектордың ұзындығы нөлге тең.
Вектордың координаттары деп оның (вектордың) ұшының және басының сәйкесінше координаттарының айырмасын атаймыз.
Яғни AB векторының басы A(x1, y1) нүктесі ал ұшы B(x2, y2) нүктесі болса онда AB векторының координаттары (x2-x1, y2 -y1) болады.
Мысалы жоғарыдағы CD векторының координаттары (5-1; 4-1)=(4; 3).
Геометрияда сәйкесінше координаттары бірдей векторларды бірдей векторлар деп санайды.Соңдықтан векторларды a, b, c,... деп бір ғана әріппен белгілейміз. a векторының координаттарын (ax, ay) деп белгілейміз. Ал a векторының өзін кейде {ax, ay} деп те белгілейміз.
Бағытталған кесінді деп -- "бас нүктесінен" бастап екінші - "соңғы"нүктесіне дейінгі түзу бойындағы нүктелер жиыны.
Жәй мағынасына сәйкес вектор деп бағытталғын кесінді деп түсінуге болады, ал басқа жағдайларда әртүрлі векторлар - белгілі бір эквиваленттік қатынасы бойынша әртүрлі бағытталған кесінділер эквивалентті класстары болып табылады. Бұл қатынасы әртүрлі болуы мүмкін: ол векторлардың түрін анықтайды ("еркін", "тұрақты" т.б.). Басқаша айтқанда, эквиваленттік ішінде кез келген екі вектор тең болып есептеледі, яғни кез келген вектор сол класты толықтай бейнелей алады.
Еркін векторлар жиыны мен олардың кеңістікті параллель жылжыту жиыны арасындағы изоморфизмды ескерсе, егерде қосу операциясын жылжыту композицияларымен теңестірсе, онда кеңістікті параллель жылжыту жиынын тіпті векторды анықтау үшін де пайдалануғы болады.
Кеңістікті шексіз аз зерттеуде маңызды рөл атқарады.
Бaс нүктесі соңғы нүктесімен беттесетін векторды нөль-вектор деп атайды:
векторын векторына қарсы вектор деп атайды.
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Еркін, сырғанақ және тұрақты векторлар
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Кейде, векторлар ретінде "барлық" тең бағытталған кесінділер жиыны орнына осы жиынның әлдебір өзгертілген түрін (факторжиынын) айтады. Осылайша еркін (барлық ұзындықтары мен бағыттары бірдей векторларды бір (толықтай бірдей) деп қарастырады), сырғанақ (еркін мағынасы байынша тең векторларды егер бас нүктелері мен соңғы нүктелері бір түзудің бойында жатса) және тұрақты векторлар (іс жүзінде бағытталған кесінділердің бас нүктелері әр-түрлі болса - векторлар тең емес деген сөз)
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Анықтама. Еркін мен векторлары, егер мен -- болатындай және нүктелері табылса, тең болады.
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Ескерту. Анықтаманың күрделенген себебі - нүктелерінің бір түзу бойында жату мүмкіндігінен. Әйтпегенде, оны оңайырақ былай жазуға болар еді:
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Анықтама. Еркін бір түзу бойында жатпайтын және векторлары, егер төртбұрыш -- болса, тең болады
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Анықтама. Сырғанақ және векторлары, егер * нүктелері бір түзу бойында жатпаса, ал * мен векторлары еркін векторлары ретінде тең болса, онда оларда өзара тең деп аталады.
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Қарапайым сөзбен айтқанда, сырғанақ векторларға бағыты мен ұзындығын өзгертпей түзуінің бойымен қозғалуына рұқсат етілген.
Ескерту. Сырғанақ векторлар әсіресе пайдаланылады. Механикадағы ең қарапайым мысал -- . Өзі жатқан түзу бойымен вектор бас нүктесін көшіргенмен қай нүктеге қатысты есептесе де күш моменті өзгермейді; керісінше, басын басқа түзуге көшірсе тіпті вектордың бығыты мен ұзындығын сақтағанның өзінде күш моменті әрдайым дерлік өзгереді: сондықтан күшті еркін вектор ретінде санауға болмайды.
Анықтама.Егер сәйкесінше мен , мен нүктелері беттессе, онда тұрақты және векторлары тең деп есептеледі.
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Векторларға операциялар қолдану
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Векторларды қосу
----------------------------------- ----------------------------------- ----------

----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Екі u, v векторлары және олардың қосындысы
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Екі векторларды қосуды ережесімен де,үшбұрыш ережесімен де іске асыруға болады.
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Үшбұрыш ережесі. Екі мен векторларын үшбұрыш ережесімен қосу үшін осы екі векторды өздеріне біреуінің бас жағы екіншісінің аяғымен беттесетіндей параллель көшіру керек. Сонда пайда болған үшбұрыштың үшінші қабырғасы бас жағы алғашқы вектордың басымен беттесетін бастапқы екі вектордың қосынды векторы болып табылады. Параллелограмм ережесі. Екі мен векторларын ережесімен қосу үшін екеуін де бастары беттесетіндей параллель көшіріп параллелограммға болықтырады. Сонда екеуінің қосындысы деп параллелограммның осы екі вектор бас жағынан шығатын диагоналін айтады
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Екі сырғанақ векторларды қосу тек қана олар жатқан екі түзу қиылысқанда ғана анықталған. Бұл жағдайда әр вектор өз түзуі бойымен қиылысу нүктесіне дейін көшіріліп, содан кейін параллелограмм ережесімен қосылады.Екі тұрақты векторларды қосу тек егер олардың ортақ бас нүктесі болғанда ғана анықталған. Бұл жағдайда да олар параллелограмм ережесімен қосылады.Егер екі сырғанақ векторлар параллель болса, онда қосындыны табу қиыншылығы қосынды вектор жатқан түзуді табудың қиындығында жатыр. (Қосынды вектор бағыты мен ұзындығын еркін векторларды қосқандағыдай анықтаған абзал болар еді) зерттегенде параллель, еркін векторлармен берілетін, күштерді қосу мәселесінде қосымша гипотеза беріледі: берілген векторлар жүйесіне осы векторлар жатқан түзулерді қиып өтетіндей ұзындықтары бірдей, бағыттары қарама-қарсы бір түзу бойында жататындай екі векторды қосуға болады. Мысалы, параллель түзулерде жататын сырғанақ екі және внкторларын қосу керек болсын. Оларға бір түзу бойындағы мен векторларын қосайық. мен векторлары жатқан түзулер қиылысады, сондықтан мен векторлары да қиылысады. Яғни, келесі векторлар анықталған
----------------------------------- ----------------------------------- ----------

----------------------------------- ----------------------------------- ----------
мен векторлары жатқан түзулер мен векторлары шамалары бойынша тең бірақ бағыттары қарама-қарсы болғанда ғана қиылыспайды, бұл жағдайда мен векторлары - векторлар жұбы деп аталады.
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Сонымен қорыта айтса, және векторларының қосындысы деп мен векторларының қосындысын түсіну керекі және бұл қосынды мен векторлары жұп болмаған жағдайдың бәрінде дұрыс анықталған.
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Векторларды санға көбейту
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
векторы мен санының көбейтіндісі леп деп (немесе ) белгіленетін, модулі тең, ал бағыты векторының бағытымен бірдей, егер болса, және керісінше, қарсы бағытталады, егер болса. Егер , немесе вектор нөлдік болса, тек осы жағдайда ғана көбейтінді де -- нөлдік вектор.
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Әдетте бұл көбейтіндіні жазғанда бірінші санды сосын векторды жазады, дегенмен де керісінше жазу да қате емес. Қалай десек те, .
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Скаляр көбейтінді мен векторларының көбейтіндісі деп тең санды айтады, мұндағы -- мен векторлары арасындағы бұрыш. Белгілеулері: немесе .
Егер векторлардың біреуі нөлдік болса бұрышының беймәлімдігіне қарамастан көбейтінді нөлге тең боп деп есептеледі.
Векторлардың скаляр көбейтіндісінің қасиеттері:
-- коммунативтілік.
-- дистрибутивтілік.
-- санға көбейтуге қатысты сызықтық қасиеті.
-- вектр нормасы.
Геометриялық түрде алғанда скаляр көбейтінді бір вектордың ұзындығын екінші вектордың біріншісінің бағытына ортогональ проекциясының ұзындығын көбейткенге тең. Кез келген векторының бірлік вектормен скаляр көбейтіндісі векторының сол бірлік векторға ортогональ проекциясы болып табылады.
----------------------------------- ----------------------------------- ----------

----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Векторлық көбейтінді
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
a векторынының b векторына Векторлық көбейтіндісі деп келесі шартты қанағаттандыратын c векторын айтады:
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
c векторының ұзындығы a мен b векторларының ұзындықтарының және осы векторлардың арасындағы φ тригонаметриялық функция көбейтінділеріне тең:

c векторы a мен b векторларының әр-қайсысына ортогоналдық
c векотры abc үштігі оң болатындай бағытталған.
Белгілеулер:
Геометриялық мағынасы бойынша векторлық көбейтіндісі векторларына керілген бағатталған параллелограммның ауданы болып табылады.
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Аралас көбейтінді
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
векторларының аралас көбейтіндісі деп векторын және векторларының векторлық көбейтінд скалярлық көбейтіндіге тең скалярды айтады:

(теңдікте скаляр және векторлық көбейтінділер белгілері пайдаланылған).
Кейде аралас көбейтіндіні векторлардың үштік скаляр көбейтінді деп те атайды, нәтижесі болғандықтан болу керек (дәлірек айтқанда - псевдоскаляр болады).
Геометриялық түрде аралас көбейтіндісі векторларына керілген (бағатталған) параллелепипед көлемі болып табылады.
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Векторлардың перпендикулярлық белгісі
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Векторлар сонда, тек сонда, егер олардыңскаляр көбейтіндісі нөлге тең болса перпендикуляр болады.
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Мысал
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Екі вектор берілген - және . Бұл екеуі теңдігі орындалса ғана өзара перпендикуляр болады.
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Векторлардың коллинеарлық векторлар белгісі
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Егер де бір вектордың абсциссасы екіншісінің абсциссасына қатынасы сәйкес ординаталарының қатынасындай болса бұл векторлар -- өзара коллинеар.
Екі вектор берілген - және . Бұл екеуі және , мұндағы , теңдіктері орындалса ғана өзара коллинеар болады.
Өзінің сандық мәнімен қоса кеңістіктегі бағытымен де сипатталатын векторлық шамалар деп аталады.
Сонымен, орын ауыстыру векторлық шама болып табылады. Векторларды бағыттау кесінді түрінде кескіндейді және бір әріп немесе вектордың басы мен ұшын көрсететін екі әріппен белгілеп, төбесіне нұсқама (стрелка) қояды. Мысалы жылдамдық векторын ʋ немесе АВ, күш векторын F немесе CD түрінде кескіндеуге болады.
кеңістік белгілі бір бағыты болмайтын, тек сандық мән ғана сипатталатын шаталар скалярлық шамалар немесе скаляр деп аталады. Мысалы, уақыт, заттың тығыздығы, дененің көлем, температура, арақашықтығын (орын ауыстыру емес), сынып бөлмесініңұзындық, ені және биіктігі, т.с.с. скалярлық шамаларға жатады.
Кез келген вектордың сандық мәні оның модулі деп аталады.Модуль -- скалярлық шама.
Егер a және b векторларының модуль мен бағыт бірдей болса, онда олар тең болады а = b. Ал векторлардың модульдері тең болып, бірақ бағыттары қарама-қарсы болса, онда а = - b болады.
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Векторларды қосу]
----------------------------------- ----------------------------------- ----------

----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Мысалы, кез келген а және b векторлары берілсін. Осы векторларды қосып, a + b-ға тең болатын с векторын табу керек. Ол үшін векторды өзіне-өзін параллель көшіргенде вектор өзгермейді дейтін ереже пайдаланамыз. Осы ереженің көмегімен векторларды қосудың бірнеше тәсіл көрсетуге болады. Мысалы, екі векторды бастарын түйістіре параллелограмм екі қабырғасы болатындай етіп өз-өзіне параллел проекция көшіреміз де, параллелограмм саламыз. Сонда екі вектордың шыққан нүктесінен жургізілген бағыты көрсетілген диагональ қорытқы вектор болып табылады . Векторларды осылайша қосу параллелограмм ережесі бойынша қосу деп аталады.
Векторларды қосуда үшбұрыш ережесін де қолдануға болады. Ол үшін берілген векторларды бірінші вектордың ұшы екінші вектордың басымен түйісетіндей етіп, өз-өзіне параллель көшіреміз. Сонда бірінші вектордың басынан екінші вектордің ұшына қарай жүргізілген вектор сол екі вектордың қосындысын береді.
Ал енді екеу емес, бірнеше векторды қосу керек болса. Онда векторларды, алдыңғы вектордың ұшына келесі вектордың басы жалғасатындай етіп, әркайсысын параллель көшіреміз. ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.