Еркін айнымалылары бар функцияналдық теңдеуді коши әдісімен шешу


Мазмұны

1 ФУНКЦИОНАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ТЕОРИЯСЫ ТУРАЛЫ НЕГІЗГІ ТҮСІНІКТЕР 6

2 БІР ФУНКЦИЯНАЛДЫҚ ТЕҢДЕУДІ ШЕШУ. 13
2.2 Логарифдік функция 16
2.3 Дәрежелік функция 16
2.4 Тригонометриялық және гиперболалық косинус 17

3 ЕРКІН АЙНЫМАЛЫЛАРЫ БАР ФУНКЦИЯНАЛДЫҚ ТЕҢДЕУДІ КОШИ ӘДІСІМЕН ШЕШУ 19

4 ДИФФЕРЕНЦИЯЛДАНАТЫН ФУНКЦИЯ КЛАСЫНА ЕРКІН АЙНЫМАЛЫЛАРЫ БАР ФУНКЦИЯНАЛДЫҚ ТЕҢДЕУДІ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ

Қорытынды

ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
Даламбер 1769 жылы күштердің қосылу заңын дәлелдеу кезінде теңдеуінің шешіміне келді. 1804 жылы сол теңдеуді дәл сол мақсатпен Пуассон қарастырды, ал 1821 жылы Коши сол теңдеудің жалпы шешімдерін тапты. Коши, Лежандр мен Гаусс қарастырған функционалдық теңдеуінің шешімін тапты.
Лобачевский бірдей арақашықтықта орналасқан және центрлері бір нүктеде жатқан екі орицклдің доғаларының ұзындықтарының арасындағы теңдеуін қорытып шығару үшін Кошидің функционалдық теңдеуін пайдаланған.
1826-1827 ж. функционалдық теңдеулермен бірнеше рет айналысқан Абель бұл пән бойынша өзінің 3 еңбегін жариялаған.
Дарбу функционалдық теңдеуді күш параллелограммасы мәселесіне және проективтік геометрияның негізгі теоремасына қолданды. 1908 жылы Шиммак функционалдық теңдеудің теоремасы мен олардың механикада қолданылуына шолу жасады. Кейбір теңдеулер Сикордың шолулық мақаласында қаралған.
Бірнеше белгісіз функциялары бар функционалдық теңдеулер Синцованың шолу мақаласында кездеседі.
Сонымен қатар белгісіз функциялары бар функцияналдық теңдеулер Сута Швейцермен, Вилсонмен және т. б. авторлармен қарастырылады.
Басқа математикалық теориядан гөрі функцияналдық теңдеу теориясында жалпы шешу әдістері аз. Бұл жағдай көбінде функцияналды теңдеудің әртүрлілігімен және зерттеу кезінде пайда болатын қиындықтармен де түсіндіріледі. Еркін айнымалылар бар және еркін айнымалылары жоқ теңдеуді шешу әдістері арасында көп айырмашылықтары бар, сондықтан да олар бөлек зерттеледі.
Біз ізделінетін функция бір айнымалы функциясы болатын еркін айнымалылары бар сызықты функцияналды теңдеумен айналысамыз.
Функционалдық теңдеу деп композициялар операциясының көмегімен белгілі функция белгісіз функциялармен байланысты болатын теңдеуді айтамыз.
Сызықты функционалдық теңдеу деп дәрежесі 1-ге тең ізделінді белгісіз функциясы бар теңдеуді айтамыз.
Құрамында еркін айнымалылар бар теңдеулер функционалдық теңдеулер деп аталады, егер тәуелсіз айнымалылар саны белгісіз функциялар санынан үлкен болса.
ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

1. Ацель Я. Некоторые общие методы в теории функционалных уравнений одной переменной. Новые применения функциональных уравнений / Я. Ацель // успехи математических наук: т. 11, вып 3. (69)-1956.-20 мая.
2. Бродский Я.С. Функциональные уравнения / Я.С. Бродский, А.К. Слипенко. – Киев: Вища школа, 1983.-251с.
3. Лихтарников Л.М. Функциональные уравнения (методические рекомендации для учителей математики средних школ) /Л.М. Лихтарников, Л.В. Зорик.- Новгород: Новгородский педагогический институт, 1986.-310с.
4. Лихтарников Л.М. Элементарное введение в функциональные уравнения/ Л.М. Лихтарников. -Санкт-Петербург: «Лань», 1997.-322с.
5. Садовничий В.А. Задачи студенческих олимпиад по математике / В.А. Садовничий, А.С Подколзин. - Масква: «Наука», 1978.-317с.
6. Садовничий В.А. Задачи студенческих олимпиад по математике / В.А. Садовничий, А.А Григорьян, С.В. Конягин. – Издательство московского университета, 1987.-407с.
7. Зарубежные математические олимпиады. – Москва: «Наука», 1987.-253с.
8. Морозова Е.А. Международные математические олимпиады (задачи, решения, итоги)/ Е.А. Морозова, И.С. Петракова, В.А. Скворцов. Москва: «Просвешение», 1976.-150с.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Көлемі: 25 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 500 теңге




Мазмұны

1 ФУНКЦИОНАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ТЕОРИЯСЫ ТУРАЛЫ НЕГІЗГІ
ТҮСІНІКТЕР
6

2 БІР ФУНКЦИЯНАЛДЫҚ ТЕҢДЕУДІ ШЕШУ. 13

2.2 Логарифдік функция 16

2.3 Дәрежелік функция 16

2.4 Тригонометриялық және гиперболалық косинус 17

3 ЕРКІН АЙНЫМАЛЫЛАРЫ БАР ФУНКЦИЯНАЛДЫҚ ТЕҢДЕУДІ КОШИ ӘДІСІМЕН ШЕШУ 19

4 ДИФФЕРЕНЦИЯЛДАНАТЫН ФУНКЦИЯ КЛАСЫНА ЕРКІН АЙНЫМАЛЫЛАРЫ БАР
ФУНКЦИЯНАЛДЫҚ ТЕҢДЕУДІ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ

Қорытынды

ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

Даламбер 1769 жылы күштердің қосылу заңын дәлелдеу кезінде
теңдеуінің шешіміне келді. 1804 жылы сол теңдеуді дәл сол мақсатпен Пуассон
қарастырды, ал 1821 жылы Коши сол теңдеудің жалпы шешімдерін тапты.
Коши, Лежандр мен Гаусс қарастырған функционалдық теңдеуінің шешімін
тапты.
Лобачевский бірдей арақашықтықта орналасқан және центрлері бір
нүктеде жатқан екі орицклдің доғаларының ұзындықтарының арасындағы
теңдеуін қорытып шығару үшін Кошидің функционалдық теңдеуін пайдаланған.
1826-1827 ж. функционалдық теңдеулермен бірнеше рет айналысқан Абель
бұл пән бойынша өзінің 3 еңбегін жариялаған.
Дарбу функционалдық теңдеуді күш параллелограммасы мәселесіне және
проективтік геометрияның негізгі теоремасына қолданды. 1908 жылы Шиммак
функционалдық теңдеудің теоремасы мен олардың механикада қолданылуына шолу
жасады. Кейбір теңдеулер Сикордың шолулық мақаласында қаралған.
Бірнеше белгісіз функциялары бар функционалдық теңдеулер Синцованың
шолу мақаласында кездеседі.
Сонымен қатар белгісіз функциялары бар функцияналдық теңдеулер Сута
Швейцермен, Вилсонмен және т. б. авторлармен қарастырылады.
Басқа математикалық теориядан гөрі функцияналдық теңдеу теориясында
жалпы шешу әдістері аз. Бұл жағдай көбінде функцияналды теңдеудің
әртүрлілігімен және зерттеу кезінде пайда болатын қиындықтармен де
түсіндіріледі. Еркін айнымалылар бар және еркін айнымалылары жоқ теңдеуді
шешу әдістері арасында көп айырмашылықтары бар, сондықтан да олар бөлек
зерттеледі.
Біз ізделінетін функция бір айнымалы функциясы болатын еркін
айнымалылары бар сызықты функцияналды теңдеумен айналысамыз.
Функционалдық теңдеу деп композициялар операциясының көмегімен
белгілі функция белгісіз функциялармен байланысты болатын теңдеуді айтамыз.
Сызықты функционалдық теңдеу деп дәрежесі 1-ге тең ізделінді белгісіз
функциясы бар теңдеуді айтамыз.
Құрамында еркін айнымалылар бар теңдеулер функционалдық теңдеулер деп
аталады, егер тәуелсіз айнымалылар саны белгісіз функциялар санынан үлкен
болса.

1 ФУНКЦИОНАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ТЕОРИЯСЫ ТУРАЛЫ НЕГІЗГІ
ТҮСІНІКТЕР

Сандық функция деп ішкі жиынын нақты сандар жиынының
басқа ішкі жиынының жиынында бейнелеуді айтады.
Мұнда – функцияның анықталу аймағы, ал функцияның
мәндердің аймағы деп аталады. Басқаша айтқанда, сандық функция – бұл
жиынындағы әр нақты санына сәйкес жиынынан бір сан қиылатын
заңы. Мұнда деп жазады.
-ті аргумент немесе тәуелсіз айнымалы, ал -ті функция
немесе тәуелді айнымалы деп атайды.
Көбінде функцияны функциясының сәйкес мәндерін табу үшін
аргументіне қолданылатын амалдар көрсетіліп тұрған формула түрінде
беріледі. Бұл жағдайда, функцияны аналитикалық түрде берілген деп айтады.
Бізге екі функция берілсін:
функциясы жиынын жиынына бейнелейтін функция, және
, жиынын жиынына бейнелейтін функция.
пен функциясының немесе пен функциясынан
құралған күрделі функциясының композициясы деп теңдеуімен табылатын
және жиынын жиынында бейнелейтін функцияны атайды.
Мысалы, жиынында анықталған функциясы менжиынында
жиын мәні [-1,1] анықталған функциясының композициясы жиынында
жиын мәні [-1,1] анықталған функиясы болады.
Шешу кезінде осы алмасытру әдісінің теңдеуін қолдана отырып, біз
кейбір жаңа функциялармен (соның ішінде тұрақтымен де) бір немесе екі
тәуелсіз айнымалыларды ауыстыра алатынымыз айқын.
Қарапайым жағдайларда тәуелсіз айнымалыны тұрақтыға ауыстыру еркін
айнымалы бар функцияналды теңдеуді шешімі тез табылатын еркін айнымалысы
жоқ теңдеуге әкеледі.
Сөйтіп, теңдеуде деп алып,біз теңдігіне немесе
мұнда келеміз.
Мұнда формула тікелей тексеру арқылы бұл функцияның кез келген нақты
теңдеуінің шешімі болатынына көз жеткізуге болады.
Күрделі жағдайларда бір тәуелсіз айнымалыны тұрақтыға ауыстыру еркін
айнымалысы жоқ теңдеулерге әкеледі, бірақ ол өз кезегінде алмастыру
әдісімен шешілуі мүмкін.
Мысалы, теңдеуге деп алып, біз
теңдеуін табамыз. Бұл теңдеуде -ті -ке ауыстырып, біз
теңдеуіне келеміз.
Соңғы екі теңдеудің бірігуі пен белгісіз функцияларына
сәйкес сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін береді, мұнда белгісіз
теңдеуі былай табылады:
.
теңдеуіне сүйене отырып, табамыз, теңдеуінің
шешімі келесі функция болады:
.
Тәуелсіз айнымалының біреуін тұрақтыға теңестіре отырып, біз белгісіз
функцияның бір мәнін қарастырылуын шығарамыз. Кейде бұл мән анықталады.
Мәселен теңдеуін шешкенде ол болды. Алайда кейде бұл мәнді табу
мүмкін болмайды, ал мұндай жағдайда табылған шешім туынды тұрақтыға
байланысты болады.
Осыған орай әр жағдайда табылған функцияның қандай мәндерінде теңдеу
шешімі болатынын тексеріп отыру керек.
Мұндай өнерді бір не екі тәуелсіз айнымалының функцияларға ауыстыру
кезінде аламстыруды іздеу талап етеді.
Мысал ретінде келесі теңдеуді қарастырайық:

Бұл теңдеуде ауыстырып, біз мына теңдікке келеміз:
.
болғанда:
.
Яғни, . Мұнда қойып, мына түрдегі теңдеу шешімін аламыз:
, мұнда .
Көріп тұрғандай бұл функция кез келген үшін алғашқы теңдеудің
шешімі болады.
Әрине, еркін айнымалылары бар функциялы теңдеуді шешу кезінде
алмастыруды таңдау теңдеудің құрылымына байланысты болады.
Нақты түрдің аламастырылуында жіберілетін осындай теңдеудің
түрлерінің саны жұмыста келтірілген. Солардың кейбіреулерін
қарастырайық.
1) Мына бір түрдің теңдеуі:
,
Мұнда - кейбір функция, жалпылама теңдеу ретінде қарастырылады.

Мұндай теңдеулер -ті -ке, ал -ті -ге ауыстыру
жолы арқылы жай түрге келтіріледі. Бұл алмастыруларды теңдеуіне
қолданайық. Нәтижесінде мына теңдеуді аламыз.

пен теңдеулердің оң жақ бөліктерін теңестіру арқылы келесі
теңдеуге келеміз:
,
Мұнда .
Соңғы теңдікті алмасытыру кезінде Коши теңдеуіне ауысады:
,
оның шешімі

және болады.
2) Мына түрдегі теңдеу:

Мұнда - қандайда бір теңдеу.
Оған екі тәсіл көрсетеміз, әр тәсілге - функциясына байланысты
аламстырулар қолданылады. Осы тәсілдердің біріншісін мына мысалда
төмендегі теңдеумен көрсетеміз:

теңдеуіне үш алмастыру жүргіземіз:
және
белгілеулерін енгіземіз.
Нәтижесінде үш теңдеу аламыз:

Бұл , және үш белгісізден құралған үш алгебралық
теңдеудің жүйесі.
Жүйенің алғашқы екі теңдеуін қосып, шыққан қосындымен үшінші теңдеуді
есептеп, белгісіз функциясын табамыз.
Тікелей тексеру бұл функцияның кез келген мен
теңдеуінің шешімі болатынын көрсетеді. Мысалды қарастырғанда, үшін
фукциясының тепе-теңдігі 0-ге айналады. Сондықтан да, осы әдістің
түрдегі теңдеу сияқты таралуы үшінмәні болуы керек, ал ол үшін
теңдеудегі
функциясы -тен тәулсіз болуы керек.

мұнда, -қандай да бір функция.
Егр бұл шарт орындалса, онда келесі аналогиялық әдіс шешімді табуға
көмектеседі.
теңдеуінде
алмастыруларын жасай отырып, және белгілерін енгізе отырып, біз
келесі теңдеулерді аламыз:

Осы теңдеуден мен алу арқылы ізделетін функциясын
аламыз.
Егер, шарты орындалмаса, онда келесі тәсілді қолдануға болады.
теңдеуін қарастырамыз.
алмастыруларын орындай отрып, осыған белгісіздеріне
қатысты алгебралық теңдеулерді аламыз:

Осыдан табамыз, мұнда . Бұл функция берілген теңдеуді кез
келген нақты тұрақтысында қанағаттандырады.
Сипатталған тәсілді жалпы теңдеуге қолданамыз. Шынында да,
теңдеуінде алматыруды орындай отырып, белгісіздеріне
қатысты үш теңдеудің жүйесін аламыз:

Егер бұл жүйе шешілетін болса, онда белгісіз функциясы
табылады.
3) Мына түрдегі теңдеу,

Мұнда - қандай да бір функия.
теңдеуі үшін төмендегі 4 алмастыруды орындайық:

Бұл бізге белгісіздері болатын 4 теңдеудің жүйесін береді. Егер
алынған жүйе шешілетін болса, онда біз белгісіз фунциясын табамыз.
Мысалы, мына теңдеуді қарастырайық:

Көрсетілген алмастырулар арқылы осы теңдеуден 4 сызықты алгебралық
теңдеудің жүйесін аламыз:

Мұнда
Бірінші мен үшінші теңдеудің қосындысынан үшке көбейтілген төртінші
және екінші теңдеуді есептеп:

немесе қысқаша,
табамыз. Мұнда тұрақты.
Алайда тікелей алмастыру арқылы функциясы болғанда ғана
теңдеуді қанағаттандыра алады. Сонда,
үшін шешімі болуы мүмкін.
теңдеуіне жалпы жағдайда алмастыруларын жүргізуге болады.
Нәтижесінде белгісіз функцияларына қатысты төрт теңдеудің жүйесін
аламыз:

мұнда .
Егер бұл жүйе шешілсе, онда белгісіз функциясы да табылады.

2 БІР ФУНКЦИЯНАЛДЫҚ ТЕҢДЕУДІ ШЕШУ.

Анықтама: функциясы нүктесінде үзіліссіз болады, егер
келесі қатынас орындалса: .
Есепті шешейік:
Кез-келген болғанда .
шартын қанағаттандыратын функциясының аралығындағы
барлық үзіліссіздіктерін табу керек.
.
түріндегі біртекті сызықтық функциялар теңдеуін
қанағаттандырады.
Бұл функциялардың теңдеуінің қасиеті бар жалғыз үзіліссіз
функциялар болатынын дәлелдейік.
Қандай да бір үздіксіз функциясы теңдеуін
қанағанттандырады делік, сонда ол теңдеуінің түрінде болатынын
көрсетейік.
Математикалық индукция әдісінің көмегімен қатынасын кез-келген
-қосылғыштар санына жалпылаймыз:
1. болсын,

2. Ол -қосылғыштар үшін де орынды деп ұйғарайық,

3. -қосылғыштар үшін орынды болатынын дәлелдейік.

теңдеуде болсын, онда

Егер , онда .
Егер , онда
Егер теңдеуінде болса, онда

Егер болса, онда
Онда мен

-қатынастарын келесі теңдікке біріктіруге болады:
Кез-келген және үшін .
Егер деп алып, деп белгілесек, онда

Сөйтіп, функцияның үзіліссіздігін пайдаландай, функцияның
теңдеуін қанағаттандыратынын қолданып, функциясының түрін тек
аргументтің рационал мәндері үшін ғана шығардық.
Енді аргументтің кез-келген иррационалды мәні болсын.
Рационал сандар тізбегі .
қолдана отырып, шығарамыз, мұнда
Сонда
функциясының үздіксіздігін пайдаланып,
аламыз.
Онда .
Сонымен, функциясы болғанда үздіксіз функциялардағы
теңдеуінің жалпы шешімін беретін формуласымен көрсетіледі.
Функцияның функционалдық қасиетін қарастырайық.

2.1 Көрсеткіштік функция

Егер болса, онда әдетте дәрежелердің көбейтіндісін
білдіретін болғанда . Сонымен, жалғыз анықтарлған және
аралығында үзіліссіз және шартын қанағаттандыратын функция
көрсеткіштік функция ( басқалары) болып табылады, яғни формуласы
үзіліссіз функцияларда функциялық теңдеуінің жалпы шешімін береді.
Дәлелдеуі:
Кез-келген мәнінде үзіліссіз және анықталған және шартын
қанағаттандыратын кез-келген функциясын қарастырайық.
болғанда, .
Егер болса, онда кез-келген үшін .
Егер болса, онда болатындай (Б).
екендігін пайдаланып, теңдігін логарифмдейік:

Егер болса, онда - үзіліссіз (үзіліссіз функциялардың
суперпозиция нәтижесі ретінде) және келесі шартты қанағаттандыратын
функция: , теңдеуіне сәйкес.
Онда,

.

2.2 Логарифдік функция

Егер
болса, онда кез-келген болғанда әдетте, логарифмдік туындыны
білдіретін болады.
Сөйтіп, жалғыз анықталған және аралығында үздіксіз және
шартын қанағаттандыратын логарифмдік функция ( басқа) болып табылады,
сондықтан формуласы үздіксіз функцияларда функциялар теңдеуінің
жалпы шешімін береді.
Дәлелдеуі:
үшін үздіксіз және және осы теңдеуді қанағаттандыратын кез-келген
функциясын аламыз.
, болсын, онда
, бұдан,
үздіксіз функциясы теңдеуіндегідей шартын
қанағаттандырады:

Яғни, және
Сонымен, мұнда ( басқа).

2.3 Дәрежелік функция

функционалдық теңдеуді (кез-келген оң )
қанағаттандыратын, өйткені , функциясын
қарастырайық.
Сөйтіп, аралығында анықталған, үздіксіз және шартын
қанағаттандыратын жалғыз ғана функция ол дәрежелік ... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Теңдеу. Теңдеуді шешу тәсілдері
Рунге-Кутта әдісі бойынша теңдеуді шешу бағдарламасын құру
Сызықты программалау есебін сиплекс әдісімен шешу
Жүк тасымалдау есебін потенциалдар әдісімен шешу
Ірі құйындар әдісімен пішіндеу
Көші-қон
Жүктелген параболалық теңдеуді коэффициент арқылы басқару
Еркін жүріп-тұру құқығы
Халықтың көші-қоны туралы
Көші-қон мәселесі жайлы
Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор №1 болып табылады.

Байланыс

Qazaqstan
Phone: 777 614 50 20
WhatsApp: 777 614 50 20
Email: info@stud.kz
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь