Еркін айнымалылары бар функцияналдық теңдеуді коши әдісімен шешу

Мазмұны

1 ФУНКЦИОНАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ТЕОРИЯСЫ ТУРАЛЫ НЕГІЗГІ ТҮСІНІКТЕР 6

2 БІР ФУНКЦИЯНАЛДЫҚ ТЕҢДЕУДІ ШЕШУ. 13
2.2 Логарифдік функция 16
2.3 Дәрежелік функция 16
2.4 Тригонометриялық және гиперболалық косинус 17

3 ЕРКІН АЙНЫМАЛЫЛАРЫ БАР ФУНКЦИЯНАЛДЫҚ ТЕҢДЕУДІ КОШИ ӘДІСІМЕН ШЕШУ 19

4 ДИФФЕРЕНЦИЯЛДАНАТЫН ФУНКЦИЯ КЛАСЫНА ЕРКІН АЙНЫМАЛЫЛАРЫ БАР ФУНКЦИЯНАЛДЫҚ ТЕҢДЕУДІ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ

Қорытынды

ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
Даламбер 1769 жылы күштердің қосылу заңын дәлелдеу кезінде теңдеуінің шешіміне келді. 1804 жылы сол теңдеуді дәл сол мақсатпен Пуассон қарастырды, ал 1821 жылы Коши сол теңдеудің жалпы шешімдерін тапты. Коши, Лежандр мен Гаусс қарастырған функционалдық теңдеуінің шешімін тапты.
Лобачевский бірдей арақашықтықта орналасқан және центрлері бір нүктеде жатқан екі орицклдің доғаларының ұзындықтарының арасындағы теңдеуін қорытып шығару үшін Кошидің функционалдық теңдеуін пайдаланған.
1826-1827 ж. функционалдық теңдеулермен бірнеше рет айналысқан Абель бұл пән бойынша өзінің 3 еңбегін жариялаған.
Дарбу функционалдық теңдеуді күш параллелограммасы мәселесіне және проективтік геометрияның негізгі теоремасына қолданды. 1908 жылы Шиммак функционалдық теңдеудің теоремасы мен олардың механикада қолданылуына шолу жасады. Кейбір теңдеулер Сикордың шолулық мақаласында қаралған.
Бірнеше белгісіз функциялары бар функционалдық теңдеулер Синцованың шолу мақаласында кездеседі.
Сонымен қатар белгісіз функциялары бар функцияналдық теңдеулер Сута Швейцермен, Вилсонмен және т. б. авторлармен қарастырылады.
Басқа математикалық теориядан гөрі функцияналдық теңдеу теориясында жалпы шешу әдістері аз. Бұл жағдай көбінде функцияналды теңдеудің әртүрлілігімен және зерттеу кезінде пайда болатын қиындықтармен де түсіндіріледі. Еркін айнымалылар бар және еркін айнымалылары жоқ теңдеуді шешу әдістері арасында көп айырмашылықтары бар, сондықтан да олар бөлек зерттеледі.
Біз ізделінетін функция бір айнымалы функциясы болатын еркін айнымалылары бар сызықты функцияналды теңдеумен айналысамыз.
Функционалдық теңдеу деп композициялар операциясының көмегімен белгілі функция белгісіз функциялармен байланысты болатын теңдеуді айтамыз.
Сызықты функционалдық теңдеу деп дәрежесі 1-ге тең ізделінді белгісіз функциясы бар теңдеуді айтамыз.
Құрамында еркін айнымалылар бар теңдеулер функционалдық теңдеулер деп аталады, егер тәуелсіз айнымалылар саны белгісіз функциялар санынан үлкен болса.
ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

1. Ацель Я. Некоторые общие методы в теории функционалных уравнений одной переменной. Новые применения функциональных уравнений / Я. Ацель // успехи математических наук: т. 11, вып 3. (69)-1956.-20 мая.
2. Бродский Я.С. Функциональные уравнения / Я.С. Бродский, А.К. Слипенко. – Киев: Вища школа, 1983.-251с.
3. Лихтарников Л.М. Функциональные уравнения (методические рекомендации для учителей математики средних школ) /Л.М. Лихтарников, Л.В. Зорик.- Новгород: Новгородский педагогический институт, 1986.-310с.
4. Лихтарников Л.М. Элементарное введение в функциональные уравнения/ Л.М. Лихтарников. -Санкт-Петербург: «Лань», 1997.-322с.
5. Садовничий В.А. Задачи студенческих олимпиад по математике / В.А. Садовничий, А.С Подколзин. - Масква: «Наука», 1978.-317с.
6. Садовничий В.А. Задачи студенческих олимпиад по математике / В.А. Садовничий, А.А Григорьян, С.В. Конягин. – Издательство московского университета, 1987.-407с.
7. Зарубежные математические олимпиады. – Москва: «Наука», 1987.-253с.
8. Морозова Е.А. Международные математические олимпиады (задачи, решения, итоги)/ Е.А. Морозова, И.С. Петракова, В.А. Скворцов. Москва: «Просвешение», 1976.-150с.
        
        Мазмұны
1 ФУНКЦИОНАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ТЕОРИЯСЫ ТУРАЛЫ НЕГІЗГІ
ТҮСІНІКТЕР
6
2 БІР ФУНКЦИЯНАЛДЫҚ ТЕҢДЕУДІ ШЕШУ. 13
2.2 Логарифдік функция 16
2.3 Дәрежелік ... ... ... және гиперболалық косинус 17
3 ЕРКІН АЙНЫМАЛЫЛАРЫ БАР ФУНКЦИЯНАЛДЫҚ ТЕҢДЕУДІ КОШИ ӘДІСІМЕН ШЕШУ 19
4 ... ... ... ... АЙНЫМАЛЫЛАРЫ БАР
ФУНКЦИЯНАЛДЫҚ ТЕҢДЕУДІ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ
Қорытынды
ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
Даламбер 1769 жылы ... ... ... ... ... ... ... келді. 1804 жылы сол теңдеуді дәл сол мақсатпен Пуассон
қарастырды, ал 1821 жылы Коши сол ... ... ... ... ... мен ... қарастырған функционалдық теңдеуінің шешімін
тапты.
Лобачевский бірдей арақашықтықта орналасқан және центрлері ... ... екі ... ... ... ...
теңдеуін қорытып шығару үшін Кошидің функционалдық теңдеуін пайдаланған.
1826-1827 ж. функционалдық теңдеулермен бірнеше рет айналысқан Абель
бұл пән ... ... 3 ... ... функционалдық теңдеуді күш параллелограммасы мәселесіне және
проективтік ... ... ... қолданды. 1908 жылы Шиммак
функционалдық теңдеудің теоремасы мен ... ... ... ... ... ... ... шолулық мақаласында қаралған.
Бірнеше белгісіз функциялары бар функционалдық теңдеулер ... ... ... ... ... ... бар функцияналдық теңдеулер Сута
Швейцермен, Вилсонмен және т. б. авторлармен қарастырылады.
Басқа математикалық теориядан гөрі функцияналдық ... ... шешу ... аз. Бұл ... ... ... теңдеудің
әртүрлілігімен және зерттеу кезінде пайда ... ... ... ... ... бар және ... айнымалылары жоқ теңдеуді
шешу әдістері арасында көп ... бар, ... да олар ... ... ... бір айнымалы функциясы ... ... бар ... ... ... ... теңдеу деп композициялар ... ... ... ... ... байланысты болатын теңдеуді айтамыз.
Сызықты функционалдық теңдеу деп дәрежесі 1-ге тең ізделінді белгісіз
функциясы бар теңдеуді айтамыз.
Құрамында еркін айнымалылар бар ... ... ... деп
аталады, егер тәуелсіз айнымалылар саны белгісіз функциялар санынан ... ... ... ТЕОРИЯСЫ ТУРАЛЫ НЕГІЗГІ
ТҮСІНІКТЕР
Сандық функция деп ішкі жиынын нақты сандар жиынының
басқа ішкі ... ... ... айтады.
Мұнда – функцияның анықталу аймағы, ал ... ... деп ... Басқаша айтқанда, сандық функция – бұл
жиынындағы әр нақты санына ... ... бір сан ... ... деп ... ... немесе тәуелсіз айнымалы, ал -ті ... ... ... деп ... ... ... сәйкес мәндерін табу үшін
аргументіне қолданылатын амалдар көрсетіліп ... ... ... Бұл жағдайда, функцияны аналитикалық түрде берілген деп айтады.
Бізге екі функция ... ... ... бейнелейтін функция, және
, жиынын ... ... ... ... ... пен ... ... функциясының композициясы деп теңдеуімен табылатын
және жиынын ... ... ... ... ... ... функциясы менжиынында
жиын мәні [-1,1] анықталған функциясының композициясы жиынында
жиын мәні [-1,1] ... ... ... ... осы ... ... ... қолдана отырып, біз
кейбір жаңа функциялармен (соның ... ... де) бір ... ... айнымалыларды ауыстыра алатынымыз айқын.
Қарапайым жағдайларда тәуелсіз айнымалыны ... ... ... бар ... ... ... тез ... еркін айнымалысы
жоқ теңдеуге әкеледі.
Сөйтіп, теңдеуде деп алып,біз ... ... ... ... ... ... арқылы бұл функцияның кез келген нақты
теңдеуінің шешімі болатынына көз жеткізуге болады.
Күрделі ... бір ... ... ... ... ... жоқ теңдеулерге әкеледі, бірақ ол өз ... ... ... ... ... деп алып, біз
теңдеуін табамыз. Бұл теңдеуде -ті -ке ауыстырып, біз ... ... екі ... ... пен ... ... сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін береді, мұнда ... ... ... ... ... табамыз, теңдеуінің
шешімі келесі функция болады:
.
Тәуелсіз айнымалының біреуін тұрақтыға теңестіре отырып, біз белгісіз
функцияның бір мәнін ... ... ... бұл мән ... ... ... ол болды. Алайда кейде бұл мәнді табу
мүмкін болмайды, ал ... ... ... ... ... тұрақтыға
байланысты болады.
Осыған орай әр жағдайда табылған функцияның қандай мәндерінде ... ... ... ... керек.
Мұндай өнерді бір не екі тәуелсіз айнымалының функцияларға ауыстыру
кезінде аламстыруды іздеу талап етеді.
Мысал ретінде келесі теңдеуді қарастырайық:
Бұл ... ... біз мына ... ... . Мұнда қойып, мына түрдегі теңдеу шешімін аламыз:
, мұнда .
Көріп ... бұл ... кез ... үшін ... ... ... еркін айнымалылары бар функциялы теңдеуді шешу кезінде
алмастыруды таңдау теңдеудің құрылымына байланысты болады.
Нақты ... ... ... ... ... саны ... келтірілген. Солардың кейбіреулерін
қарастырайық.
1) Мына бір ... ... ... - кейбір функция, жалпылама теңдеу ретінде қарастырылады.
Мұндай теңдеулер -ті -ке, ал -ті -ге ... ... жай ... ... Бұл ... теңдеуіне
қолданайық. Нәтижесінде мына теңдеуді аламыз.
пен теңдеулердің оң жақ бөліктерін теңестіру ... ... ... ... теңдікті алмасытыру кезінде Коши теңдеуіне ауысады:
,
оның шешімі
және болады.
2) Мына ... ... - ... бір ... екі ... көрсетеміз, әр тәсілге - функциясына байланысты
аламстырулар қолданылады. Осы тәсілдердің біріншісін мына ... ... ... үш ... ... енгіземіз.
Нәтижесінде үш теңдеу аламыз:
Бұл , және үш ... ... үш ... жүйесі.
Жүйенің алғашқы екі теңдеуін қосып, шыққан қосындымен үшінші теңдеуді
есептеп, белгісіз функциясын табамыз.
Тікелей тексеру бұл функцияның кез келген мен ... ... ... көрсетеді. Мысалды қарастырғанда, үшін
фукциясының тепе-теңдігі 0-ге айналады. ... да, осы ... ... ... таралуы үшінмәні болуы керек, ал ол үшін
теңдеудегі
функциясы -тен тәулсіз болуы керек.
мұнда, -қандай да бір функция.
Егр бұл шарт ... онда ... ... әдіс ... ... ... ... отырып, және белгілерін енгізе ... ... ... ... теңдеуден мен алу арқылы ... ... ... орындалмаса, онда келесі тәсілді қолдануға болады.
теңдеуін қарастырамыз.
алмастыруларын орындай отрып, осыған ... ... ... ... ... ... . Бұл ... берілген теңдеуді кез
келген нақты тұрақтысында қанағаттандырады.
Сипатталған тәсілді жалпы теңдеуге қолданамыз. Шынында да,
теңдеуінде ... ... ... белгісіздеріне
қатысты үш теңдеудің жүйесін аламыз:
Егер бұл жүйе ... ... онда ... ... Мына ... ... - ... да бір функия.
теңдеуі үшін төмендегі 4 алмастыруды орындайық:
Бұл бізге белгісіздері болатын 4 теңдеудің ... ... ... жүйе ... ... онда біз ... ... табамыз.
Мысалы, мына теңдеуді қарастырайық:
Көрсетілген алмастырулар арқылы осы теңдеуден 4 ... ... ... ... ... мен үшінші теңдеудің қосындысынан үшке көбейтілген төртінші
және екінші теңдеуді есептеп:
немесе қысқаша,
табамыз. Мұнда тұрақты.
Алайда тікелей алмастыру арқылы ... ... ... қанағаттандыра алады. Сонда,
үшін шешімі болуы мүмкін.
теңдеуіне жалпы ... ... ... болады.
Нәтижесінде белгісіз функцияларына қатысты төрт ... ... ... бұл жүйе ... онда ... ... да табылады.
2 БІР ФУНКЦИЯНАЛДЫҚ ТЕҢДЕУДІ ШЕШУ.
Анықтама: ... ... ... ... ... ... ... .
Есепті шешейік:
Кез-келген болғанда ... ... ... аралығындағы
барлық үзіліссіздіктерін табу керек.
.
түріндегі ... ... ... ... ... ... ... бар жалғыз үзіліссіз
функциялар болатынын дәлелдейік.
Қандай да бір ... ... ... ... ... ол ... түрінде болатынын
көрсетейік.
Математикалық индукция әдісінің көмегімен қатынасын кез-келген
-қосылғыштар санына жалпылаймыз:
1. ... Ол ... үшін де ... деп ... -қосылғыштар үшін орынды болатынын дәлелдейік.
теңдеуде болсын, онда
Егер , онда ... , онда ... ... ... онда
Егер болса, онда
Онда мен
-қатынастарын келесі теңдікке біріктіруге болады:
Кез-келген және үшін ... деп ... деп ... ... ... ... пайдаландай, функцияның
теңдеуін ... ... ... ... ... ... ... үшін ғана шығардық.
Енді аргументтің кез-келген иррационалды мәні болсын.
Рационал сандар тізбегі .
қолдана ... ... ... ... ... ... пайдаланып,
аламыз.
Онда .
Сонымен, функциясы болғанда үздіксіз функциялардағы
теңдеуінің жалпы шешімін беретін формуласымен көрсетіледі.
Функцияның ... ... ... ... ... болса, онда әдетте ... ... ... болғанда . Сонымен, жалғыз анықтарлған және
аралығында ... және ... ... ... функция ( басқалары) болып табылады, яғни формуласы
үзіліссіз функцияларда функциялық ... ... ... береді.
Дәлелдеуі:
Кез-келген мәнінде үзіліссіз және анықталған және шартын
қанағаттандыратын кез-келген ... ... ... ... онда ... үшін ... ... онда болатындай (Б).
екендігін пайдаланып, теңдігін логарифмдейік:
Егер болса, онда - ... ... ... ... ... және ... ... қанағаттандыратын
функция: , теңдеуіне сәйкес.
Онда,
.
2.2 Логарифдік функция
Егер
болса, онда кез-келген болғанда әдетте, логарифмдік ... ... ... жалғыз анықталған және аралығында үздіксіз және
шартын қанағаттандыратын логарифмдік функция ( басқа) болып табылады,
сондықтан ... ... ... ... ... ... береді.
Дәлелдеуі:
үшін үздіксіз және және осы теңдеуді қанағаттандыратын ... ... ... ... ... ... ... теңдеуіндегідей ... және ... ... ( басқа).
2.3 Дәрежелік функция
функционалдық теңдеуді (кез-келген оң ... ... , ... ... ... ... және шартын
қанағаттандыратын жалғыз ғана функция ол дәрежелік функция болып табылады.
Дәлелденуі:
функциясы үшін ... және ... ... ... ... ... онда
.
Онда үздіксіз функциясы ... ...
2.4 ... және ... ... ... ... онда кез-келген болғанда
әдетте екі косинус үшін ... ... ... ... ... ... анықталған және шартын
қанағаттандыратын ... ... ... және ... () болып табылады.
Дәлелденуі:
функциясы барлық үшін ... және ... ... онда ... онда -жұп ... болғандықтан, барлық аралығында болатындай
табылады.
Бірақ сонымен қатар 2 ... да ... ... ;
2) ... ... қарастырайық: , яғни , онда ... ... ... онда ... ... аламыз:
Егер болса, онда
аралығында , ал косинус ... ... ... сәйкес, егер болса, онда
Онда теңдеулерінен теңдеуін аламыз.
Сонымен түріндегі -тің оң мәндері үшін: .
Бірақ кез-келген оң ... бұл ... ... шегі деп ... онда ... өту ... (пен функциясының
үздіксіздігін қоса алғанда) формула барлық үшін ... ... ол ... ... ... ал үшін ... ... ті -ауыстырып, қойсақ, онда ... ... ... қарастырайық: .
Егер болса, онда болатындай табылады.
Жоғарыдағы ... ... ... ... және ... ... ... АЙНЫМАЛЫЛАРЫ БАР ФУНКЦИЯНАЛДЫҚ ТЕҢДЕУДІ КОШИ ӘДІСІМЕН ШЕШУ
Коши әдісі еркін айнымалылары бар ... ... ... ... класында ізделінгенде қолданылады. Бұл кезде ең алдымен
теңдеуінің , пен жиындарындағы ... ... ... кез ... ... алынып, -ке жинақталатын
рационал сандарының тезбегі құрылып функциясының мәндер тізбегі
алынады.
Үздіксіз функциялар ... ... ... белгілерімен шекті
ауыспалылық мүмкін болса, онда
теңдеуі дұрыс және осының ізінше R ... ... ... табылады.
Коши әдісінің негізін нақты мысалмен көрсетейік:
Оның шешімін алдымен натурал аргументтің функциясы класынан табамыз.
Теңдеу тізбегінде -ті -ке теңестіре отырып, мынаны табамыз:
Бұл ... ... ... ... түрдегі гипотезаны
шығаруға мүмкіндік береді:
. ... ... ... ... индукция арқылы дәлелдейміз.
болғанда теңдіктің шынайлығы ... ... ... ... ... деп алайық та, оның шынайлығын келесі
натурал саны үшін ... ... ... ... де осы ... деп ... алсақ, функцияналды теңдеудің натурал аргументтің функциясы класы
түріндегі шешімі:
немесе ... ... ... ... кез ... ... шешімі болатынына көз жеткізуге болады.
Енді функциясы болғандағы теңдеудің шешімі ... -ті -ге ... ... ... ... теңдікті ескере отырып,
табамыз.
Осыдан шешімі аргументтің оң ... яғни ... ... ... ... функцияналдық теңдеулер ... ... ... ... ... ... мынаны аламыз:
осыдан теңдікті есептегенде:
яғни, алғашқы функцияналдық ... ... ... ... ... де ... екендігін аламыз.
Тек функциясы болғанда да теңдеудің ... ... ғана ... - ... ... жинақталатын рационал
сандардың кез келген тізбегі болсын. Онда ... саны ... ... ... , ал ... ... ... болғандағы шекке ауыстырайық.
Нәтижесінде мынаны аламыз:
және шешімі аргументтің кез келген нақты мәндерінде дұрыс.
теңдеуін шешу күрделі болып табылады.
Бұл жерде -ті -ке тең деп ... ... ... жағдайларды
қарастырамыз:
Бұл дербес жағдайларда қарастырылатын заңдылықтар келесі түрдің
гипотезасын шығаруға көмектеседі:
Кошидің әдісін қолдану арқылы, ... -ның кез ... ... мәнінде, яғни дәлелдеуге болады екен.
Дәлелдемені 3 кезеңге ... ... ... -де ... Оның ... ... де ... деп алайық. Онда келесі мынаны аламыз:
яғни, теңдігі және кез ... ... саны үшін ... ... яғни , ... . ... ... болады.
Өйткені осы теңдіктердің сол жақ бөліктері тең болса, онда оң жақ
бөліктері де тең.
Осыдан мынаны табамыз:
.
Яғни, ... үшін ... , ... ... сандар және шегі болсын.
Онда мына теңдік дұрыс ... ... ... ... ... ... өтіп, біз
аламыз, яғни теңдігі кез келген үшін дұрыс.
функиясының анық түсіндірмесін келсі түрде алуға болады: ... ал ... ... кез келген тұрақтыда алғашқы
функцияналды ... ... яғни ... ... ... әдістермен бірге монотонды функция класында
функцияналды ... ... ... ... ... жағдайда, Коши
әдісін үздіксіз функциялар ... ... ... ... ... аргументтің кез-келген рационал дұрыс мәндері ... Одан ... мен ... ... ... ... ... санмен нақты қиылысатындай, ал тізбегі кеми келе пен
қиылысатындай екі тізбек қарастырылады. Мұны әр ... де ... ... көрсетілген тізбектерге -ке жеткілікті 10 жуық ... ... 10 жуық ... алу арқылы.
Мұндайда тесіздігі дұрыс болады.
Функцияның монотонды күшіне соңғы теңсіздіктерден
кемімесе
өспесе
теңсіздіктері шығады.
Егер мен ... бір ... ... онда
функциясының мәні осы шекке тең болады.
4 ДИФФЕРЕНЦИЯЛДАНАТЫН ... ... ... ... ... ... ШЕШУ ӘДІСТЕРІ
Дифференциаланатын функция класында еркін айнымалылары бар функциялық
теңдеуді шешу идеясы функцияналды теңдеудің ... ... ... тұрады. Ол, ... ... әр ... ... ... ... табылады.
Мұндай жол, теңдеуге кіретін белгісіз функция не қосындыдан және
айырмадан немесе ... ... жеке ... ... ... ... не , не , не , құралса ғана ... ... әр екі ... ... дифференциалдау екі
тәуелсіз айнымалысы бар функциясынан туынды алатын екі ... ... ... ... ... белгісіз функциясына
байланысты жетеді.
Дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі ... ... ... ... ... ... келтірейік.
1) Дифференциалданатын функция класында Коши теңдігінің бірі болып
табылатын ... ... ... бірінші бойынша, онда кейін ... ... екі ... ... ... сол ... тең ... оң жақтары да тең
болады.
Оларды теңестіріп, мынаны шығарамыз:
деп ... ... ... ... теңдік пен айнымалысының барлық мәндерінде дұрыс
болса, онда мына шарт ... ғана ... ... мүмкін:
(мұнда -тұрақты)
Ақырғы теңдікті интегралдап, келесі теңдікті аламыз:
немесе
Мұнда
Сөйтіп, дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі:
түрінде ... ... ... ... теңдеуден
үшін шығады. Бұл екі жағдайда ғана мүмкін:
не . ... ... ... ... шешімнен
шығарамыз, яғни деген ... ... ... шешімнен шығарамыз және шешім
түрінде болады.
2) Дифференциалданатын ... ... ... ... бірінші бойынша, одан кейін ... Бұл ... ... ... ... ... пен, одан ... пен
дифференциалдаймыз. Бұл бізге екі теңдік береді.
Осыдан шығатыны анық.
Бұл ... ... ... ... ... теңдігіне
келеміз. Осыдан . Артынша ... ... ... ... ... осы ... функционалдық теңдеулерді шешу теориясында соңғы
250 жылдың ішінде пайда болған функционалдық теңдеулерді ... ... ... тек ... ... ... қарастырылған
әдістерден функционалдық теңдеулердің шешімдерін тапқан ... ... ... және ... анық ... Өз жұмысымызда орта мектептің
жоғарғы сынып ... ... ... ... және олимпиадалық
есептерді шығаруда тиімді қолдана алатын ... ... ... ... ... алғашқы кезеңінде
оқушыларды функционалдық теңдеулерді шешудің қарапайым әдістеріне ... ... ... теңдеулерді шешудің қарапайым әдістерін
факультативтік сабақаьрда жете түсініп, үйренген оқушылардың кейбіреулері
бұл теориямен ... ... ... деңгейде айналысуы мүмкін.
Біз тек қана сызықты функционалдық теңдеулерді ... ... ... ... ... біз ... емес функционалдық
теңдеулерді жуықтап шешу ... ... ... ... ... ... және ... байқалатын күрделі жүйелі құбылыстарды
сипаттайды.
Сондықтан, функционалдық теңдеулер теорисының жарыққа шығуының келесі
кезеңі сызықты емес ... ... ... ... ... байланысты болады. Бұл кезеңнің кейбір бастамаларын сызықтық емес
функционалдық ... ... ... ... көруге болады.
Бұғанқатысты көп жұмыс жасау қажет, ... ... ... ... айналысатын адамдар болашақта сызықтық емес ... шешу ... ... ... теңдеулерді шешу әдістерімен жұмыс жасау оқушылардың қй
өрісін кеңейтеді. Бір жағынан ... ... ... ... ... екінші жағынан олар жаратылыстану және техника
салаларында кездесетін ... ... ... ... ... Сондыцқтан оқушылар химия, физика, биология,
геометрия сияқты ... ... ... ... ... бар және ... ... қатар
ғылыми-танымдық салада болашағы зор деп айтамыз.
Болашақта біз сызықтық емес функционалдық теңдеулерді ... ... ... ... осы жұмысты жалғастырамыз.
ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
1. Ацель Я. Некоторые общие методы в теории функционалных уравнений
одной переменной. Новые применения функциональных ... / ... // ... математических наук: т. 11, вып 3. ... ... Я.С. ... ... / Я.С. ... ... – Киев: Вища школа, 1983.-251с.
3. Лихтарников Л.М. ... ... ... для учителей математики ... ... ... Л.В. ... ... ... педагогический
институт, 1986.-310с.
4. Лихтарников Л.М. Элементарное введение в ... Л.М. ... ... ... ... Садовничий В.А. Задачи студенческих олимпиад по математике / ... А.С ... - ... «Наука», 1978.-317с.
6. Садовничий В.А. Задачи студенческих олимпиад по математике / ... А.А ... С.В. ...... московского
университета, 1987.-407с.
7. Зарубежные математические олимпиады. – ... ... ... ... Е.А. ... ... ... (задачи,
решения, итоги)/ Е.А. Морозова, И.С. Петракова, В.А. ... ... ...

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Көлемі: 25 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 500 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Диференциалдық оператор49 бет
Ток функциясы, құйын24 бет
«Айнымалы жұлдыздар үшін информация мен энтропия қатынасын анықтау»48 бет
Математикалық логика. Буль алгебрасы7 бет
1970 – 1990 жылдардағы Қазақстандағы көші – қон процестерінің тарихы46 бет
«ш. бейсенованың «сүзгенің соңғы күндері» хикаятындағы лиризм мен психологизм. а.кемелбайдың "қоңыр қаз" шығармасын талдау. е.раушановтың « ғайша - бибі»поэмасының құрылымдық ерекшелігі. е.раушановтың «аспанға көшіп кеткен ел» поэмасының сипаты. е.раушановтың «қызық емес оқиға» атты поэмасының діни- мифологиялық сюжеті. ақын н.айтұлының «тоғыз тарау» поэмалар кітабына қысқаша талдау»21 бет
«Қазақстан мен ресейдегі көші қон мәселесінің бақ тағы көрінісі»69 бет
«Қазақстан Республикасында көші-қон қатынастарын реттеудің мемлекеттік-құқықтық негізі» тақырыбына69 бет
Ірі құйындар әдісімен пішіндеу12 бет
Алматы қ. көші-қон полициясының іід басқармасында өткен өндірістік тәжірибе есебі9 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь