Инверсия

Геометриялық түрлендірулердің тағы бір түрі инверсияны қарастырайық. Бұл инверсияның көмегімен көптеген салуға берілген қиын есептердің шешімін табуға болады. Бұл әдісті басқаша "айналдыру" немесе "кері радиустар" әдісі деп те атауға болады. Салудың бұл әдісі басқаларға қарағанда "жасырақ" екенін айта кетейік. Инверсияны тек өткен ғасырдың 30-шы жылдарында ғана зерттей бастаған.
§1. Инверсия анықтамасы. Инверсия нүктелерді салу.
Жазықтықта қандай да бір w (O, R) шеңбері берілсін. P – жазықтықтың O нүктесінен өзгеше кез келген нүктесі болсын. (1 сурет) Оған төмендегі екі шартты қанағаттандыратын, P' нүктесін сәйкестірейік:
1. P' нүктесі OP сәулесіне тиісті
2.
Мұндай P' нүктесін, w шеңберіне қатысты P нүктесіне инверсиялы немесе кері деп атаймыз. w –инверсияның базистік шеңбер деп аталады. Оның центрі – инверсия центрі, радиусы – инверсия радиусы болады.

1 сурет
Анықтама: егер қандай да бір фигураның кез келген нүктесіне, сол инверсиялы нүктесі қойылса, онда мұндай түрлендіру инверсия деп аталады.
Ал берілген фигураның әрбір нүктесіне инверсиялы нүктелерден құралған фигура берілген фигураға қатысты инверсиялы фигура болып табылады.
Егер P =1, болып, P нүктесі P' нүктесіне инверсиялы болса, онда OP мен аралықтары өзара кері сандар болып табылады. Осыдан, P' нүктесі P нүктесіне кері нүктеден ұйғарым шыққан. Ал қаралып отырған түрлендіру "кері
        
        Инверсия
Геометриялық түрлендірулердің тағы бір түрі инверсияны қарастырайық.
Бұл инверсияның көмегімен көптеген салуға ... қиын ... ... ... Бұл ... ... ... немесе "кері радиустар" әдісі
деп те атауға болады. Салудың бұл әдісі ... ... ... айта ... Инверсияны тек өткен ғасырдың 30-шы жылдарында ғана
зерттей бастаған.
§1. Инверсия анықтамасы. Инверсия нүктелерді салу.
Жазықтықта қандай да бір w (O, R) ... ... P – ... ... ... кез ... нүктесі болсын. (1 сурет) Оған төмендегі екі
шартты қанағаттандыратын, P' нүктесін сәйкестірейік:
1. P' нүктесі OP сәулесіне ... ... P' ... w ... ... P ... ... немесе
кері деп атаймыз. w –инверсияның базистік шеңбер деп аталады. Оның центрі –
инверсия ... ...... ... ... ... егер ... да бір фигураның кез келген нүктесіне, сол
инверсиялы нүктесі қойылса, онда мұндай ... ... деп ... ... фигураның әрбір нүктесіне инверсиялы нүктелерден құралған
фигура берілген фигураға қатысты инверсиялы фигура болып табылады.
Егер P =1, ... P ... P' ... ... ... ... мен аралықтары өзара кері сандар болып табылады. ... ... P ... кері ... ұйғарым шыққан. Ал қаралып отырған
түрлендіру "кері радиустар" немесе "айналдыру" (латынша ) деп аталады.
Тікелей ... ... ... бірнеше қарапайым
қасиеттеріне тоқталайық:
1. егер P' нүктесі P нүктесіне инверсиялы болса, онда ... P ... P' ... егер ... ... Ф ... Ф' фигурасына түрленсе, онда
керісінше Ф' фигурасы Ф фигурасына түрленеді;
3. жазықтықтың ешқай нүктесі инверсия центріне инверсиялы болмайды;
Ендігәрі біз ... ... ... ... ... "тесіп алынған"
жазықтық жайлы айтқан боламыз.
4. инверсия центрі "тесіп ... ... ... ... бірмәнді
түрлендіру болып табылады;
5. базистің шеңбердің кез келген нүктесі өз-өзіне инверсиялы болады;
6. егер берілген нүкте базистік ... ... ... онда ... ... ... ... ішінде болады және керісінше. Бұл
теңдігінен ... егер ... ... сыртындағы нүкте сол шеңберден шексіз алыстаса,
онда оған инверсиялы нүкте (базистік шеңбер ... ... ... ... Керісінше де орынды болады.
8. инверсия кезіде, инверсия центрі арқылы өтетін сәуле, өз-өзіне түрленеді
және де, сәуленің базистік шеңбердің ішіндегі ... ... ... ... де орынды.
9. инверсия кезінде, инверсия центрі арқылы өтетін түзу, ... ... ... нүктені циркуль мен сызғыш көмегімен салуға
болады. Бұндай салуды инверсияның геометриялық анықтамасы деп ... Бұл салу ... ... ... ... екі теоремасына
негізделеді:
1. шеңберге жүргізілген ... ... ... ... қосатын
радиусқа перпендикуляр болады,
2. тік бұрышты үшбұрыштың катеты гипотенуза мен оның ... ... орта ... ... үш ... ... :
1-жағдай: P нүктесі базистік шеңбер бойында. Оған инверсиялы нүкте – сол
P нүктесінің өзі.
2- жағдай: P нүктесі w (O, R) ... ... ... OP сәулесін
саламыз (2 сурет). P ... ... ... шеңберге PТ жанамасын саламыз.
Жанасу нүктесі Т арқылы OP түзуіне
перпендикуляр жүргіземіз. Сол
перпендикуляр табаны P' нүктесі
P нүктесіне
инверсиялы ... ... ... үшбұрышынан
2 сурет
екені белгілі.
Ескерту: бұл салуда басқаша да салуға болады: OP ... ... OP ... ... шеңбері мен w базистік шеңберінің қиылысу
нүктелерін қосатын ТТ1 ... ... (3 ... ... ... ... ... P' деп белгілейміз. Сол P' нүктесі ... ... ... болады.
3-жағдай: P нүктесі базистік шеңбер ішінде. Жоғарыдай жағдайға ұқсас.
3 сурет
§2 Антипараллель ... ... ... ... ... ... ұғым ... болады. Айталық қандай да бір а
түзуі қандай да бір (k,l) бұрышының екі ... да қиып ... ... ... ... ... k сәулесімен, бұл түзу төрт бұрыш
салады. ... тек ... ... (k,l) ... ... ... пайда
болатын үшбұрыштың ішінде жатады (4 сурет).
4 ... ... түзу мен ... ... ... жайында сөз айтқанда,
біз тек осы ... ... ... енді екі түзу бұрыш жақтарын қияды ... ... ... ... бір ... ... ... келесі жағымен қиылысқанда
(1=2) пайда болады (5 сурет). Екі бұрыш тең ... ... түзу ... жақпен қиылысқанда пайда болады бұрыш тең болады (
3≠4)
6 ... ... ... да бір ... ... ... екі түзу, сол
бұрышқа қатысты антипараллель түзулер деп ... егер ... ... ... ... пайда болатын бұрыш, екіншісі келесі жақпен қиылысқанда
пайда болатын бұрышқа тең болса.
Антипараллель түзулерге: 5 ... ... 6 ... ... ... былайша
айтқанда
параллель емес. Ерекшелік
ретінде, екі
түзу де ... ... ... ... (7 сурет)
8 сурет
Теорема: (антипараллель түзулер туралы лемма) жазықтықтардың кез
келген екі ... ... түзу мен сол ... ... ... ... ... түзу, төбесі инверсиялы центрінде жататын және жақтары
берілген нүктелер ... ... ... қатысты антипараллель болады.
Дәлелдеуі: Айталық (O:R) шеңбері (8 ... ... ... болады. Ал ... ... ... ... : : Сонымен қатар ... ~, ... ... ... ... ... ... Дәлелдеу керегі де осы.
Егер (8 сурет) ... ... да бір ... ... екі
нүктелері инверсиялы болса, онда біз кез келген нүктесінің
бейнесін оңай ... ... ... ... ... ... мен нүктелерін қиып,
түзуін болатындай жүргіземіз.
§3 Инверсия центрі ... ... ... ... ... бір ... инверсиялы центрі арқылы
өтеді. Инверсия кезінде ... ... ...
нүктесінен басқа, қандайда басқа нүктелерге түрленеді. Ол нүктелер қандай
фигураны құрайды?
9 сурет
Теорема: Инверсия кезінде, ... ... ... ... ... ... Бұл түзу берілген шеңбер және базистік шеңбердің центрлер
түзуіне перпиндикуляр ...... ... ... ... 1) – берілген шеңбер нүктесі арқылы өтетін 1
түзуін жүргізейік. Ол γ ... ... қиып ... (9 ... ... ... ... болсын. γ шеңберінің
бойынан кез-келген нүктесін алып, оған инверсиялы ... ... ... пен -ты ... түзу ... ... . Бірақ, =900, себебі
γ шеңберінің ... ... ... ... яғни ... ... ... өтетін
түзуіне перпендикуляр түзудің бойында жатыр. ... ... Біз γ ... ... ... ... ... көз жеткіздік.
10 сурет
Керісінше де орынды болады. Ендеше γ шеңбері инверсия кезінде ... ... ... ... де ... ... ... берілген шеңбермен γ қиылысатын болса, онда γ-
шеңберіне инверсиялы түзу, екі қиылысу ... ... түзу ... (10 ... γ мен жанасатын ... онда γ екі ... ... ... ... ... ... өтпейтін шеңбер инверсиясы.
Теорема: Инверсия кезнде инверсия центрі арқылы өтпейтін шеңбер,
шеңберге түрленеді.
Дәлелдеуі: (:) ... ... (11 ... ... ... және γ ... ... қиылысу нүктелерін
белгілейміз. Ал, және оларға инверсиялы нүктелер. - ... кез ... ... - оған ... нүкте.
(11 сурет)
мен -ны, , -ты және -пен ... ... ... ... , ... ... Сөйтіп, нүктесінен
кесіндісі тік бұрыштан көрінеді. Яғни нүктесі диаметрі
болатын шеңбер бойында ... Бұл ... γ/ деп ... Біз ... кез-келген нүктесі инверсия кезінде γ/ шеңберінің нүктесіне
түрленетінін дәлелдедік. §1-дің l және 2 ... ... ... әр бір нүктесі γ шеңберінің қандай да бір нүктесінің бейнесі
болатынын көреміз. Теорема дәлелденді.
§5 Инверсия кезінде түзуді түрлендіру.
Біз ... ... ... ... ... ... түзу ... білеміз. Ал инверсия центрі арқылы өтпейтін түзу ... ... ... ... ... ... ... арқылы өтпейтін түзу
инверция центрі арқылы өтетін шеңберге түрленеді.
Айталық (:) (12 ... ... ... ... ... ... ... перпендикуляр
түсіреміз. Ал нүктесі нүктесіне инверсиялы нүкте болсын. γ -
диаметрі болған ... ... ... γ ... ... (§3 –тегі теорема бойынша) §1-дегі 20 қасиет бойынша, ... да ... яғни ... γ шеңберіне түрленеді.
(12 сурет)
§6 Инвариантты шеңберлер
Инверсия кезінде базистік шеңбер өз-өзіне ... (§1, ... ... ие тағы да ... ... бар ма?
Кейбір анықтамаларды еске салайық.
Екі түзулердің Т қиылысу нүктесіндегі бұрышы деп, сол түзулердің ... ... ... ... жанамалары арасындағы бұрышты айтамыз.
Екі шеңбер тік бұрыш ... ... ... онда олар ... ... екі шеңбер өзара ортогональ болса, онда олардың ... ... ... ... ... ... берілген шеңберіне, берілген Т нүктесі арқылы өтетін
ортогональ шеңберлерді салу әдісі шығады.
Ол үшін Т нүктесі арқылы ... t - ... ... сол ... кез ... 1 нүктесін алып, 1 (1,
1T) шеңберін жүргізсек жеткілікті. Енді параграф ... ... ... ... шеңберден өзгеше шеңбердің инверсия кезінде өз-
өзіне түрленуі үшін, оның базистік шеңберге ортогональ болуы қажетті және
жеткілікті.
Дәлелдеуі: 1) ... ... γ (1,r1) ... ... (13 сурет) берілген шеңберге ... ... ... ... кезінде өз-өзіне түрленетінін дәлелдейік.
(13 сурет) (14 сурет)
- γ ... кез ... ... ... салайық.
Ол γ шеңберін қандайда бір 1 нүктесінде қиып ... ... γ ... ... ... 1 ... -ны
қарастырамыз). γ шеңбері шеңберіне ортогональ болғандықтан, инверсия
центрі мен ... ... ... ... T радиусы γ шеңберге
жанама болады. Сондықтан, , яғни 1 ... ... ... ... ... кезінде γ шеңбердің
болғандағы әр-бір нүктесі, сол шеңбердің болғандағы 1 нүктесіне
түрленеді.
Инверсиялы нүктелердің өзара қайтымдылық ... ... ... ... да ... екенін айтуға болады.
γ шеңберінің әр бір нүктесі сол шеңбердің қандай да бір ... ... ... γ ... ... ... Қажеттілік шарты:
Айталық берілген шеңберін өзгеше γ шеңбері инверсия ... ... ... ... ... ... екенін дәлелдейік, γ шеңбері
шеңберінен өзгеше болғандықтан, онда -ға тиісті емес ... бар. 1 ... ... ... Онда сол ... біреуі шеңбердің ішінде, біреуі сыртында жатады. Бұдан γ
шеңбері ... қиып ... ... ... ... Т деп белгілейік. T түзуі ... ... ... ... Оны ... жору» әдісімен дәлелдеуге
болады.
Айталық, T түзуі γ шеңберін Т нүктесінен басқа Т1 нүктесінде
кездестіреді дейік.
және 1 ... ... бір ... жататынын
байқадық. Сондықтан нүктесі γ шеңбердің сыртында орналасқан.
Шеңберге бір нүктеден ... ... ... ...
болғандықтан болуы тиіс. Бұдан Т және Т1 нүктелері беттесетіні
шығады. Яғни және γ ... ... ... Инверсия кезінде бұрыштардың сақталуы
М нүктесі арқылы γ1 және γ2 сызықтары өтеді. Айталық, М нүктесінен
өтетін екі ... ... ... ... бар. ... ... М нүктесі
М' нүктесіне түрленеді, ал γ1 және γ2 сызықтары сәйкесінше γ1' және ... ... М' ... γ1' және γ2' ... ... М ... γ1 және γ2 ... арасындағы бұрышқа тең
болады екен.
Лемма: егер
(о, r) шеңберіне
қатысты
инверсия нәтижесінде
М нүктесі және сол
арқылы
өтетін γ ... М' ... ... ' ... ... онда γ ... '
сызықтары осы нүктелерде ОМ
түзуімен тең бұрыштар жасайды.
15 сурет
Дәлелдеуі: Р - γ сызығының кез келген ... (15 ... Р ... инверсиялы нүкте. Онда Р ' нүктесі γ ' ... ... М мен Р ... М' және Р ' - ты ... Онда ... ... туралы лемма
бойынша немесе (1) Р нүктесін γ сызығы ... М ... ... МР қиюшысы МА түзуіне ұмтылады. МА түзуі γ қисығына М
нүктесіндегі ... ... ... онда ... ... ... ... Сондықтан (1) теңдігіне ьайланысты болады.
Осылайша Р ... γ ... ... М ... ... γ сызығы бойымен
М'Р' түзуі қандайда бір шектелген М'А' жағдайына ұмтылады.
А'М' - γ' ... М' ... ... Осыдан . Лемма дәлелденді.
§8. Салу есептерін инверсия әдісімен шығару
Инверсия әдісінің мәні келесіде: берілген және ізделінді фигуралармен
қатар біз, ... ... ... ... ... ... Кейде бұл, ізделінді және берілген фигуралардың арасындағы
есепті шешуге қажетті байланысты ... ... ... жағдайда, берілген фигураға инверсиялы фигура салынған деп
есептеп, ізделінді фигураға инверсиялы фигура ... Бұл ... ... ... ... ... берілген есептен жеңіл болады.
Ізделіндіге инверсиялы фигура салып, содан кейін ... ... ... Инверсия әдіс элементарлы ... ... ... шешуге мүмкіндік береді.
Бұл әдістің кемшілігі: кең көлемдегі салуларды талап етеді.
Бірнеше мысалдарды қарастырайық:
Мысал1: А және В ... ... ... (о, r) – базистік шеңбер
деген, онда инверсия кезінде ізделінді γ шеңбері өз-өзіне түрленеді, ал А
және В ... сол ... А' және В' ... ... (16 ... ... γ шеңбері үш (А, В, және А') нүктесі белгілі болғандықтан, оңай
анықталады. Осыдан салу шығады:
1) шеңберіне қатысты, А ... ... А' ... ... А, В және А' ... ... өтетін γ шеңберін саламыз. γ – ізделінді
шеңбер
Егер А нүктесі шеңберінің бойында жатса, онда А' пен А ... әдіс ... ... ... ... сәйкес салуларды В
нүктесіне қатысты жүргізу керек. Ал егер А мен В ... ... ... ... жатса, онда салуды келесідей жүргізуге болады: А
және В нүктелері ... -ға ... ... ... қиылысу
нүктесін О1 деп белгілейміз. О1 – ізделінді шеңбердің центрі.
Бұл салулар ... егер А, В және О ... бір түзу ... ... ... А және В ... ... болмаса, онда есептің
шексіз көп шешімі бар: А және В ... ... ... кез ... шеңбер
-ға ортогональ.
Мысал2: Берілгені: О нүктесінде және одан өтпейтін а, b екі түзуі ... ... ... ... нүктелеріне дейінгі кесінділердің
көбейтінділері берілген кесіндінің квадратына тең болатындай, О нүктесінен
сәуле жүргіз.
(17 сурет)
Талдау: О – ... ... (17 ... a және b ... ... ОАВ -
болатындай ізделінді сәуле. r- ... ... (о, ... ... ... А нүктесін В нүктесіне, а түзуін қандай да бір
а' шеңберіне (В нүктесі арқылы өтетін) түрлендіреді. Осыдан, ... (о, r) ... ... инверсия нәтижесіндегі а түзуіне инверсиялы а' шеңберін;
3)
4) есептің шартын қанағаттандыратын ОВ ... ... ... онда (о, r)-ге ... ... ... В ... кескіні. Себебі а түзуі а' шеңберінің кескіні. ... ... ... ... ... ... болуы мүмкін:
1) а' шеңбері b түзуден қияды; екі шешім
2) а' шеңбері b түзумен жанасады; бір шешім
3) а' ... b ... ... ... жоқ; ... ... ... міндетті түрде А нүктесіне сәйкес инверсия болғандықтан, В
нүктесі b түзуі мен а' шеңберінің ... ... ... керек. Осыдан есептің
табылған шешімнен басқа шешімі жоқ екені шығады.
§9. Аполлония есебі
Инверсия әдісімен шеңберлердің жанасуы жайлы ... ... ... ... ... берілген үш шеңберге жанасатын шеңберді сал.
Аполлоний есебінін шешімін жалпы ... ... ... оның жеке ... ... ... ... Оның жеке жағдайы шеңберлердің
арнайы орналасуынан шығады, ал шекті жағдайы: шеңберлердің кейбіреуі немесе
барлығы нүкте түріне (шеңбер радиусы ... ... ... түзу ... ұлғаяды) түріне көшсе.
1 есеп: үш нүкте арқылы өтетін шеңбер салу. Шешімі бар.
2 есеп: үш түзумен жанасатын шеңбер салу. ... ... Төрт ... ... ... берілген нүкте арқылы өтетін және берілген екі параллель түзулермен
жанасатын шеңберсалу. (шешімі §6,ІІ бөлім)
4 есеп: берілген нүкте және берілген екі ... ... ... ... ... ... есеп: берілген екі нүкте және берілген түзумен жанасатын шеңбер салу.
Шешімі инверсия әдісімен табылады: ... ... деп ... ... алып, ал оның түзуге дейінгі арақашықтығын радиусы деп саламыз.
6 есеп: берілген шеңбермен ... және ... екі ... ... өтетін
шеңбер салу.
7 есеп: Р нүктесі арқылы өтетін берілген үш шеңбермен жанасатын шеңберді
салу.
Егер үш γ1, γ2 және γ3 ... ... ... инверсия центрі
деп алсақ, онда осы үш шеңбер ... ... ... енді ... ... ... ... шеңбер салу керек ... Осы ... ... ... ... ... болады.
Енді Аполлоний есебін салудың жалпы жағдайын қарастырайық. Бұл ... ... ала ... екі ... ... ... ... Аполлоний есебінің жеке және шектік жағдайларына болып табылады)
1-ші көмекші есеп:
берілген екі
параллель
түзулермен және берілген
шеңбермен
жанасатын ... ... ... ... ... ... ... а және b берілген түзулер,(о, ... ... ... . Кез ... болатындай АВ кесіндісінің ортасы С нүктесі
арқылы А түзуіне параллель с түзуін саламыз. Центрі О ... ... ... ... ... Бұл шеңберлердің с түзуімен
қиылысу нүктелерін ... Осы ... ... шеңбердің центрі
болады.
Бұл есептің төртке жуық шешімі болуы мүмкін.
2-ші көмекші ... ... ... ... ... ... салу.
Бұл есеп инверсия әдісімен
шешіледі.
γ1, γ2 және γ3 – берілген шеңберлер
(19 сурет)
және γ1 мен γ2 Т нүктесінде жанасады, (19 ... Т ... ... деп, ал ... радиусы деп – кез келген кесіндіні аламыз. (Ыңғайлы
болу үшін, оны базистік ... γ1 және γ2 ... ... ... ... Инверсия нәтижесінде γ1 және γ2 шеңберлері екі ... және γ2' ... ... ал γ3 γ3' ... ... түрленеді. γ1' және γ2' шеңберлері жанасатын және γ3' ... ... γ' ... салуды біз білеміз (1- ші көмекші есеп). ... ... ... γ ... ... түзуіне) түрленеді. Ол γ1, γ2
және γ3 шеңберлерімен жанасатын болады.
Аполлоний есебі жалпы жағдайда да осы 2- ші ... ... ... Біз ол үшін ... ... ... ... үшін, осы үш
шеңбердің әр қайсысы қалған екі ... ... ... ... (20 сурет) Басқа жағдайларда шешімдері ұқсас болады.
(20 сурет)
Айталық, γ1(о1, r1), γ2 (о2, r2) және γ3 (о3, r3) ... ... γ1 ... А1 және А1' ... ал γ2 ... А2 және А2'
нүктелерінде қиып өтеді. Пайда болған А1А2, А1'А2', А1' А2 және ... ... ең ... ... алайық. Айталық ол А1А2. Оның
ортасын Т деп белгілейік берілген ... ... ... ... ұзартсақ, яғни ... ... ... γ1', γ2' және γ3' ... жанасатын γ' шеңберін
сала аламыз (2-ші көмекші есепті қара). γ' ... ... О, ... r ' деп ... Егер осы шеңберге концентрлі шеңберін
сызсақ, сол ізделінді шеңбер болады. Аполлоний есебінің ... ... ... ... ... болады. Дәлелдеусіз бірнеше
мысалдар келтірейік:
1. егер γ2 ... γ1 (21 ... ... ... ал γ3 ... орналасса, онда Аполлоний есебінің шешімі болмайды, және де,
(21 сурет) (22 сурет)
егер үш шеңбер өзара ... ... онда да ... ... ... ал егер γ1 мен γ2 жанасып, γ3 оларды қиып өтетін болса, онда есептің екі
шешімі болады (F1 және F2) (22 ... егер ... әр ... ... сыртында орналасса, сонымен қатар
әр екі шеңберде ортақ жанамамен ... ... ... ... ... сегіз шешімі бар болады (23 сурет).
4. егер барлық үш шеңбер жұп жұбымен бір нүктеде жанасса, онда ... ... ... ... көп ... ... болады (24 сурет).
(23 ... ... ... ... ... ... ... шешімдері болса, онда
олар сегізден аспайды.
§10. Инверсия және осьтік симметрия.
Инверсия мен осьтік симметрияның қасиеттерінің арасындағы ... ... ... Ол үшін ... кейбір қасиеттерін еске
түсітейік:
1. инверсия, екі түзудің қиылысу бұрышын ... тек ... ... ... ... ортогональ түзу, өз-өзіне түрленеді;
3. инверсияның базистік шеңбері өз-өзіне түрленеді;
4. базистік шеңберге ортогональ кез келген шеңбер ... ... кез ... ... түзуге, ал түзу шеңберге түрленеді;
6. екі нүкте сонда және тек қана сонда, ... да бір ... ... ... ... егер олар ... ... ортогональ
шеңберлер үйірінің төбелері болса.
Егер осы ... ... ... "осьтік симметрия" сөзімен,
"базистік шеңберді"- "симметрия осьімен", ал ... ... ... ... ... онда осьтік симметрияның қасиеттерін
аламыз

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Көлемі: 18 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 400 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Алтай3 бет
Ауа температурасы7 бет
Байланыс тораптары40 бет
Буль алгебрасы9 бет
Жауын – шашынның ластануы3 бет
Көркем шығармалардағы эпитет, теңеу, метафоралардың қолданылуы, жасалу түрлеріне мысалдар8 бет
Молда мұса шығармаларының тілі55 бет
Мутациялық жағдайлар туралы4 бет
Мұнай эмульсияларын қыздыруға арналған қыздыру блоктары66 бет
Салу есептерін алгебралық әдіспен шешу58 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь